Cuadernillo de ejercicios 1BAC

CUADERNO

DE

EJERCICIOS

MATEMÁTICAS

APLICADAS A LAS

CIENCIAS SOCIALES

ÍNDICE DE EJERCICIOS

PÁG.

TEMA 1 – POLINOMIOS Y RADICALES

3

TEMA 2 – MATRICES

5

TEMA 3 – DETERMINANTES

10

TEMA 4 – SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

13

TEMA 5 – INECUACIONES

19

TEMA 6 – FUNCIONES

22

TEMA 7 – LÍMITES

24

TEMA 7 – CONTINUIDAD

2

9

TEMA 8 – DERIVADAS

3

3

TEMA 9 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

3

7

TEMA 10 – COMBINATORIA

3

9

TEMA 1 - POLINOMIOS Y RADICALES

1. Realiza las siguientes restas con polinomios:

a.

(

4 3

) (

3 4

)

5 3 2 1 9

8x − x + − x+ x − x _{b. }

  

 

− + −

   

 

+ −

3 1 5 4 3 3 2 1

2_x3 _x2 _x2 _x

Solución. a) 13 4−12 3−2 +1 x x

x ; b)

3 10 5 4 5

2x3− x2− x+

2. Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios:

a.

(

5 2+3 −5

)(

7 3−6 +3

)

x x x x

b.

(

5 14

)

8 3 4

1 2

2 _{ − −}

  

 

−

− x x x

x

Solución. a) 35 5₊21 4₋65 3₋3 2₊39 ₋15 x x x x

x ; b)

4 21 8 43 8

105 4

21 3 2

4_{− − + +}

x x x

x

3. Realiza las siguientes divisiones de polinomios:

a.

(

x7−x

)

:

(

x+2

)

b.

(

5+ −2 3

)

:

(

−1

)

x x x

x c.

(

₃ 4−₆

)

_:

(

+₁

)

x x

Solución. a) C(x) = x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 + 16x2 – 32x + 63; R(x) = –126 b) x4 + x3 – x2 – x; R=0; c) 3x3 – 3x2 + 3x – 3; R= – 3

4. Resuelve las siguientes operaciones con polinomios:

1 2 4 ) ( ; 3 5 2 ) ( ; 2 3 )

(x =x3+ x− Q x = x2− x+ R x = x2+ x− P

a. 3P(x) + Q(x)

b. 2R(x) – 3Q(x)

c. P(x) · Q(x)

d. Q(x)·R(x) – P(x)

Solución. a) 3x3+2x2+4x−3; b) 2x2+19x−11

c)2x5−5x4+9x3−19x2+19x−6; d) 8x4−17x3+8x−1

5. Factoriza las siguientes expresiones polinómicas:

a. 3x2+14x−5

b. 5 4 3

2 2 4x + x − x

c. x3+5x2+8x

d. 2x3−10x2+14x−6

Solución. a) 3(x – 1/3)(x + 5); b) 4x3(x – 1/2)(x + 1); c) x(x2 + 5x + 8); d) 2(_x−1)2(_x−3)

6. Factoriza los siguientes polinomios:

a. P(x)=−5x2−x b. 4 2 10 4 )

(x x x

P = + c. P(x)=10x3−250x

Solución. a) – x (5x + 1); b) 2x2 (2x2 + 5); c) 10x(x + 5)(x – 5)

7. Simplifica:

a.

2 2

7

6

2

−

−

+

x

x

x

b.

100 4

100 40

4

2 2

− + −

x x x

c.

2 3

4

2 3

60 24

3

6 3

x x

x

x x

− +

Solución. a)

2 7

+

x

; b)

5 5

+ −

x x

; c)

10 1

+

x

8. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a.

2 2

14

7

21

x

x

x

−

b.

12 3

4

− −

x x

c.

3 2

4 3

x x x − d.

x x

2 8

4 −

e.

2 12 3 2

+ −

x x

f.

1 ) 1 (

2 2

− −

x x

Solución. a)

x x

2 1

3

− ; b) 3 1

− ; c) 3 ₂ 4

x x−

; d)

x x 2) (

2 −

; e) 3(x−2); f)

1 1

+ −

x x

9. Racionaliza las siguientes expresiones:

a. x x

2

b. x x+1

c.

1 1

+ −

x x

Solución. a)

2

x

; b)

x x x 1)

( +

; c)

1 2 1

− + − −

x

x x

10. Reduce las sumas:

a. 3 5− 80+2 45− 125 _{b. 12 4 27}

2 1 3

2 − +

Solución. a) 0 b) 13 3

11. Racionaliza:

a.

2 2

b.

3 2

3

c.

3 2

3 1−

d.

3 1

3

+

e.

2 5 2

5

−

f.

5 2

2 3

2

Solución. a)

2

b)

2 3

c)

6 3 3−

d)

2 3 3

− −

e)

8 5 5+

f)

3 8

5

12. Resuelve utilizando las propiedades de las raíces. Simplifica la respuesta lo máximo posible.

a.

5 7 4 3

3 3 3

b.

3 1 3 1 3 1 3

c.

3 2

6 5 7

ab b a

d.

x x x 8 3

3 4 ⋅

e. 3 4

2

2

2

f.

6 4 4 3 3 2

a a a a⋅ ⋅

g. 2 2 2 2

h. 316ab2 +3 250ab2 +3 2ab2

TEMA 2 – MATRICES

HOJA 1

1. Dadas las matrices:

      − − =       − =       − = 3 2 4 0 ; 5 3 5 1 ; 4 2 1 3 C B A Hallar:

a. A + B b. C – A + B

c. A·B d. A2

e. Bt·C f. A·B - C

Solución. a. _

  

 

−1 9 4 4

; b. _

     − − 4 7 2 2

; c. _   

 

−10 30 10 6

; d. _

     ₋ 14 14 7 7

; e. _

     − − − 5 10 13 6

; f. _

  

 

−8 27 14 6

2. Dadas las matrices:

          − − − =           − − − = 1 9 4 3 3 5 0 2 1 ; 3 2 1 2 6 0 1 5 2 B A Hallar:

a. A2 b. B3

c. B·A d. A·B

e. Bt·A f. A·I – B

Solución. a.           − − − − 4 11 5 6 32 2 5 18 3 ; b.           − − − − − − 4 294 9 90 154 156 18 48 25 ; c.           − − − 17 36 9 10 1 13 5 17 2 ; d.           − − − − 9 35 21 20 36 38 16 20 31 ; e.           − − − − 3 16 1 19 10 13 3 17 2 f.           − − − − 4 7 5 1 9 5 1 7 1

3. Tenemos las matrices:

      − =           − − − = 0 4 2 5 3 1 ; 3 2 1 2 6 0 1 5 2 B A

Calcula A·B y B·A

4. Dadas las siguientes matrices: _   

 

− =    

 

− =     

 −

=

1 1 2

5 3 1 ;

2 4

1 0 ;

2 3

1 2

C B

A

Calcula:

a. ABC

b. _

  

 

−B A Bt

2

1 c. 2 2 2

; ; B C A

Solución. a. _   



 _{− −}

39 25 6

16 16

4 _{; b.}

   

 

− −

2 / 15 . 6

12 10

; c. _{A B  C =No tiene} 

 

  −

− =

   

  −

= 2 2

2 _;

8 8

2 4 ;

1 12

4 1

5. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce el

modelo A: 400 unidades en terminación N, 200 unidades en terminación L y 50 unidades en

terminación S.

Produce el modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30

unidades en la terminación S.

La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de

taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de

administración.

a. Representar la información en dos matrices.

b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los

modelos.

Solución. Matriz de producción: _

  

 

30 100 300

50 200 400

; Matriz coste en horas:

  

 

  

 

3 , 1 33

2 , 1 30

1 25

Horas de taller y administración para modelos: _

  

 

459 490 . 11

705 650 . 17

6. Calcula las inversas de las siguientes matrices:

   



 ₋

=

   

 

− − =

   

 

− =

   



 ₋

=

2 8

1 4 ;

3 2

4 0 ;

5 3

5 1 ;

4 2

1 3

D C

B A

Solución. _

  

 

− =

   

 

− − − =

   



 −

=

   

 

−

= − − −

−

4 / 1 2 / 1

16 / 1 8 / 1 ;

0 4 / 1

2 / 1 8 / 3 ;

20 / 1 20 / 3

4 / 1 4 / 1 ;

14 / 3 7 / 1

14 / 1 7 /

2 _{1 1 1}

1 _{B C D}

7. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales sabiendo que:       =       =       = 3 1 2 1 ; 1 1 1 2 ; 4 3 1 1 C B A a. XA=B+I b. AX + B = C

c. XA + B = 2C d. AX + BX = C

e. XAB – XC = 2C

Solución. a. _

     − − 1 2 2 9

; b. _

     − − 1 3 2 4

; c. _

     − − 4 11 3 9

; d. _

     − − 7 / 1 7 / 1 7 / 4 7 / 3

; e. _

     − − 2 / 3 4 / 23 1 2 / 7

8. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

             − − − − − = −       − = + 1 0 1 2 3 4 3 0 1 2 2 2 1 2 B A B A

Solución. _

     =       − − − = 7 / 2 7 / 1 0 7 / 6 7 / 8 7 / 9 ; 7 / 1 7 / 3 1 7 / 4 7 / 3 7 / 1 B A

9. Sean las matrices: _

     =       + = 1 1 1 0 ; 1 1 1 B x x A

a) Halla el valor de x para que B2 = A b) Halla el valor de x para que A – I = B-I

c) Halla el valor de x para que AB = I

Solución: a) x = 1; b) x = 0; c) x = -1

10. Calcula el rango de las siguientes matrices:

          − − − =           − − =           − − − =           − = 3 9 6 3 2 6 4 2 1 3 2 1 ; 10 1 5 4 3 1 3 1 2 ; 1 3 2 1 7 1 5 3 1 0 3 2 ; 7 7 2 3 3 1 0 1 7 0 1 2 D C B A

Solución. Rango A = 2; Rango B = 3; Rango C = 2; Rango D = 1

11. Calcula el rango de las siguientes matrices según los distintos valores del parámetro

          + =           − − =           = 6 4 4 6 2 ; 3 1 2 3 4 3 2 1 ; 1 1 4 2 3 1 1 2 a a C m B a A

TEMA 2 – MATRICES

HOJA 2

1. Dadas las matrices:

      − − =       − − =       − = 2 4 2 1 ; 0 3 2 1 ; 1 2 2 4 C B A Hallar:

g. 2C – 3B h. C2

i. Bt

·Ct

j. A·B - I

Solución. a.

_











− − 4 1 2 5

; b.

_











− − − 4 4 2 7

; c

_











− − 8 2 10 7

; d

_











− − − 5 1 8 11

2. Dadas las matrices:

          − − =           − − − − = 2 0 1 1 2 3 1 4 2 ; 3 1 2 4 3 3 0 2 1 B A Hallar:

g. B2 h. B·A

i. Bt·A j. 2A·– 2B + I

Solución. a.





















−

−

−

−

−

5

4

4

1

8

11

8

16

7

; b.





















−

−

−

−

−

6

4

3

5

11

11

13

7

12

; c.





















−

−

−

2

1

6

8

2

2

15

14

9

; d.





















−

−

−

−

−

3

2

6

6

9

0

2

4

1

3. Calcula las inversas de las siguientes matrices:













− =













− = 2 3 3 6 ; 3 1 2 4 B A

Solución. a. _

  

 

−1/14 2/7 7 / 1 14 / 3

; b. _

     − 7 / 2 7 / 1 7 / 1 21 / 2

4. Calcula la matriz X por la que hay que multiplicar a la matriz _      − = 5 1 4 2

A , para obtener la matriz

      − = 14 7 14 14 B

Solución. _

5. Resuelve razonadamente la siguiente ecuación matricial.       − − =       − − − ⋅      

− 1 0 3 0

1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 1 4 X

Solución. _

     − − − − = 4 10 3 13 1 3 1 3 X

6. Halla una matriz B, sabiendo que su primera fila es (1, 0), y que verifica:

      = ⋅ 0 1 0 1 B

A , siendo _

    − = 0 1 2 2 2 1 A Solución.           − = 0 2 0 1 0 1 B

7. Resuelve los siguientes sistemas:

(a)              = + −       ₋ = − 0 3 4 2 3 4 7 2 2 5 3 Y X Y X (b)              − − = +       − = + 9 2 1 1 2 3 15 4 0 2 3 5 Y X Y X

Solución. (a) _

     =       = 1 4 2 / 5 2 ; 3 9 2 / 7 4 Y

X ; (b) _

     ₋ =       − = 0 2 5 1 ; 3 2 3 1 Y X

8. Calcula el rango de las siguientes matrices:

          − − − − =           − − = 1 7 4 1 4 1 0 1 7 5 4 3 ; 6 0 4 3 2 2 0 3 4 1 2 3 B A

Solución. Rango A = 3; Rango B = 2

9. Calcula el rango de las siguientes matrices según los distintos valores del parámetro

          − − =           − − − − = k B k A 3 1 2 4 2 3 4 1 0 2 1 ; 1 1 2 5 1 1 3 2

Solución. A: Si k=6/7: Rango (A) = 2; Si k

≠

6/7: Rango (A) = 3 B: Si k=17/4: Rango (B) = 2; Si k

≠

17/4: Rango (B) = 3

10. Calcula el rango de la siguiente matriz según los distintos valores del parámetro a:

TEMA 3 – DETERMINANTES

HOJA 1

1. Resuelve los siguientes determinantes:

2

7

0

1

;

0

4

3

9

;

4

6

8

2

;

6

5

1

2

;

7

2

5

3

;

2

5

3

0

−

−

=

−

−

=

−

=

−

−

=

−

=

−

=

F

E

D

C

B

A

Solución. A=−15; B =31; C =−7; D =−56; E =−12; F =2 2. Resuelve los siguientes determinantes:

2 3 1 4 0 2 2 5 4 7 9 3 6 5 5 0 2 2 3 3 4 4 8 3 4 2 8 4 5 5 6 7 3 1 9 5 6 5 1 9 5 5 1 2 3 1 2 3 6 0 4 1 2 5 − − = − − − − = − − − − = − − = − = − − = F E D C B A

Solución. A =−24; B =3; C =−172; D =18; E =−4; F =4

3. Calcula la matriz adjunta de las siguientes matrices:





















−

−

=





















−

−

−

=





















−

−

=

7

0

4

6

5

3

1

6

2

;

3

3

2

4

1

2

3

2

5

;

3

6

4

1

5

0

2

1

3

C

B

A

Solución.           − − − − − =           − − − − − − − =           − − − − − − = 8 15 41 24 10 42 20 45 35 ; 9 14 11 11 9 3 8 2 15 ; 15 3 11 22 17 9 20 4 21 C B A

4. Calcula las inversas de las siguientes matrices:

          − − − − =           − − − − = − − 3 / 7 1 1 21 / 2 7 / 1 0 2 1 1 ; 0 2 / 1 4 / 1 5 / 1 5 / 8 2 / 1 10 / 1 5 / 1 0 1 1 D C

5. Encuentra el valor de a para que la siguiente matriz no tenga inversa:





















=

a

M

5

2

3

2

1

3

3

1

Solución. a = 6.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:





















−

−

−

=





















=

2

2

2

2

1

3

0

2

1

;

1

2

1

4

3

3

2

0

1

B

A

a. AX + B = I

b. XA + B = I

Solución. a)

          − − − − − − = 19 12 15 24 16 21 16 10 12

X ; b)

          − − − − = 1 12 6 0 6 3 2 22 10 X

7. Resuelve la siguiente ecuación matricial: XA + 3B = 2C, siendo:





















−

−

−

=





















−

−

−

=





















−

−

−

=

3

2

2

1

4

3

0

2

6

;

1

6

7

4

0

2

3

1

5

;

2

1

3

4

2

5

3

2

1

C

B

A

Solución.           − − − − = 11 / 212 11 / 158 31 0 2 2 11 / 155 11 / 137 23 X

8. Calcula el rango de las siguientes matrices (por determinantes):

          − − =           − − =           − − = 3 5 6 7 8 9 1 2 3 ; 1 6 5 0 4 3 3 1 2 ; 9 6 4 1 2 6 5 2 1 C B A           − − − − =           − − − − − =           − − = 3 9 6 3 9 6 6 18 12 ; 4 8 6 2 4 3 2 4 3 ; 3 4 1 9 9 5 0 3 2 F E D

TEMA 3 – DETERMINANTES

HOJA 2

1. Calcula los siguientes determinantes:

4 1 2 5 2 0 1 2 3 4 5 3 1 2 1 3 0 2 1 1 7 2 0 4 1 2 1 − − = − − = −

= B C

A

Solución. A =18; B =39; C =63

2. Calcula el rango de las siguientes matrices (por determinantes):

              − − − − − =           − − − − =           − − − − − − =           − − − = 2 4 3 4 0 2 9 1 5 4 2 1 ; 4 2 11 1 4 0 5 3 4 1 3 2 ; 6 4 2 6 9 6 3 9 3 2 1 3 ; 1 0 2 2 5 3 2 7 6 D C B A

Solución. Rango (A) = 3; Rango (B) = 1; Rango (C) = 2; Rango (D) = 2

3. Calcula las inversas de las siguientes matrices:

          − − =           − − − − =           − =           − − − − − = 6 0 3 2 7 2 4 7 5 ; 4 2 6 2 1 2 8 2 4 ; 0 4 3 8 1 1 2 6 4 ; 4 5 5 6 3 3 6 3 8 D C B A Solución. tiene No D C B A =           − − − − =           − − − − =           − − = − − − − 1 1 1 1 ; 0 2 / 1 4 / 1 5 / 1 5 / 8 2 / 1 10 / 1 5 / 1 0 ; 5 1 2 / 7 17 3 12 23 4 16 ; 6 18 / 5 0 3 / 1 45 / 1 5 / 1 0 5 / 1 5 / 1

4. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales sabiendo que:

          − − − =           − − − =           − − − = 2 1 2 6 3 4 0 5 3 ; 6 5 1 2 4 0 3 1 2 ; 1 3 4 3 2 4 5 6 2 C B A

a. AX + B = C – I b. XA – 2B = 3C c. XA + I = 3B - C

Solución. a)           − − − − − = 4 0 3 / 10 15 / 13 5 / 2 15 / 29 10 / 37 5 / 9 15 / 38 X

b) _

        − − − − = 163 /15 196 /15 111/ 5

27 / 5 17 / 3 14 / 3

33 / 5 27 /10 1/ 2

X c)           − − − =

62 / 15 223 / 30 81 / 10

2 / 5 4 / 5

14 / 5

TEMA 4 – SIST. ECUAC. LINEALES

HOJA 1

1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Cramer











=

+

−

=

−

+

−

=

−

+

7

4

1

2

3

10

3

3

2

)

y

x

z

y

x

z

y

x

a











=

−

+

−

−

=

−

+

=

−

3

3

3

1

2

3

2

3

2

)

z

y

x

z

y

x

z

x

b











=

+

+

−

−

=

−

−

=

+

+

2

5

4

3

5

3

2

3

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c











−

=

−

+

−

=

−

−

=

+

+

−

3

3

3

2

3

2

6

2

)

z

y

x

z

x

z

y

x

d











=

+

−

−

=

−

=

−

+

−

7

2

3

5

2

3

2

3

4

)

y

x

z

x

z

y

x

e











=

−

−

−

=

+

+

−

−

=

+

2

4

4

6

15

5

3

9

3

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

f

Solución. a) x = 1; y = 2; z = 6; b) x = -1; y = -2/3; z = -4/3; c) x = 2; y = -3; z = 4;

d) x = -26/19; y = -55/19; z = -30/19; e) x = 6; y = 25/2; z = 23/2; f) x = -1; y = 3; z = -5.

2. Resuelve los sistemas del ejercicio anterior por el método de Gauss

3. Estudia los siguientes sistemas según el número de soluciones que tengan











=

−

−

=

−

−

=

−

+

5

2

4

2

10

5

5

8

0

3

4

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

a











=

+

=

−

+

=

+

−

4

3

5

1

7

3

6

2

4

2

3

)

z

y

z

y

x

z

y

x

b











−

=

−

+

−

=

−

+

=

−

+

1

12

13

8

3

6

3

4

2

3

5

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c











=

+

+

=

+

=

+

+

−

8

7

3

7

3

4

2

5

3

)

z

y

x

z

x

z

y

x

d











=

+

=

−

+

=

+

−

4

3

2

2

4

5

3

2

3

)

z

x

z

y

x

z

y

x

e











=

+

−

=

−

=

−

+

4

5

2

3

3

3

5

5

2

)

z

y

x

z

y

z

y

x

f

Solución. a) Sist. Compatible Indeterminado; b) Sist. Compatible Determinado; c) Sist. Incompatible;

4. Resuelve los siguientes sistemas compatibles indeterminados por el método de Gauss:











=

−

+

−

=

−

=

−

+

12

3

5

12

3

4

6

5

3

2

)

z

y

x

y

x

z

y

x

a











−

=

+

−

−

=

+

−

−

−

=

+

−

1

12

7

6

2

6

5

5

3

4

)

z

y

x

z

y

x

y

x

b











=

−

+

−

=

+

+

−

=

−

+

2

9

14

3

2

3

4

2

6

5

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c











=

+

+

−

=

+

+

−

=

+

−

9

17

6

2

1

5

3

2

6

2

3

4

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

d

Solución. a) _x= + α _y= + α_;z=α

13 3 13 18 ; 13 2 26 11

; b) x= + α y= − + α;z=α

23 24 23 13 ; 23 18 23 19

c) _x= + α _y=− _;z=α

13 2 ;

3 13

18 _{; d) = − α = − α =α}

z y

x 4 ;

3 8 ; 2 7 2 7

5. Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los distintos valores del parámetro:











=

+

−

=

+

=

+

+

0

2

0

2

0

)

mz

y

x

z

mx

z

y

x

a











=

+

+

=

+

+

=

+

+

m

z

my

x

z

y

mx

z

y

x

b

3

1

1

)











−

=

+

−

=

+

+

=

+

−

2

5

2

4

1

2

3

)

mz

y

x

m

z

y

x

z

y

x

c











=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

2

2

4

2

3

)

1

(

)

z

my

x

mz

y

x

z

y

x

m

d











=

+

+

=

+

+

=

+

0

3

3

0

0

3

)

z

y

x

z

my

mx

y

mx

e











=

−

−

=

+

−

=

−

+

0

2

4

0

2

4

0

3

)

z

y

mx

z

y

x

z

y

x

f

Solución. a) Para m = 2; S. C. INDET.; Para m = -3; S. C. INDET.; Para m

≠

2 y -3; S. C. DETERM.

b) Para m = 1; S. C. INDET.; Para m = 3; S. C. INDET.; Para m

≠

1 y 3; S. C. DETERM.

c) Para m = 1; S. INCOMPATIBLE; Para m

≠

1; S. C. DETERMINADO

d) Para m = -3; S. INCOM.; Para m = 0; S. C. IND.; Para m = 2; S. INCOM.; Para m

≠

0, 2 y -3; S. C. DET.

e) Para m = 3; S. C. INDETERMINADO; Para m

≠

3; S. C. DETERMINADO

6. Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los distintos valores del parámetro y

resuélvelos para el caso que se te proponga











=

+

−

=

+

+

=

−

+

0

5

4

0

0

2

2

)

mz

y

x

z

y

x

z

y

x

a

Resuélvelo para m = -32 y m = 2











=

−

+

−

=

+

−

=

+

+

1

2

2

2

4

5

3

2

)

z

my

x

z

y

z

y

x

b

Resuélvelo para m = 2











=

+

−

=

+

=

−

+

1

7

2

2

2

3

2

)

z

y

mx

z

x

m

z

y

x

c

Resuélvelo para m = 7

Solución. a) Para m = -32; S. C. INDETERMINADO; Para m

≠

-32; S. C. DETERMINADO

Solución para x =-32; _x=₃α_;y=−₄α_;z=α; Solución para x =2; _x=_0;y=_0;z=₀ b) Para m = -5; S. INCOMPATIBLE; Para m

≠

-5; S. C. DETERMINADO

Solución para x = 2; x=−1/28;y=9/7;z=23/28 c) Para m = 7; S. C. INDETERMINADO; Para m

≠

7; S. C. DETERMINADO

Solución para x =7; _x= + α _y= + α_;z=α 4

TEMA 4 – SIST. ECUAC. LINEALES

HOJA 2

1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Cramer











=

+

−

=

+

−

−

=

−

−

16

3

5

4

4

3

2

1

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

a











=

+

−

=

−

+

−

=

+

−

2

3

2

1

2

3

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

b











=

+

−

=

+

−

=

+

−

1

2

3

3

3

2

2

2

3

4

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c











=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

+

7

5

5

3

3

2

1

5

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

d

Solución. a) x = 3; y = 2; z = 1; b) x = -5; y = -4; z = 0; c) x = 6; y = 1; z = -7; d) x = 0; y = -1/3; z = -4/3.

2. Resuelve los sistemas del ejercicio anterior por el método de Gauss

3. Estudia los siguientes sistemas según el número de soluciones que tengan











=

+

−

−

=

+

−

=

+

−

1

4

2

5

3

2

2

3

)

z

y

x

z

x

z

y

x

a











=

−

+

−

=

−

=

−

−

1

3

2

1

5

4

0

3

2

)

z

y

x

z

y

z

y

x

b











=

−

+

−

=

−

+

=

−

+

−

3

7

9

1

4

3

2

0

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c











−

=

+

−

=

+

−

−

=

−

+

1

3

2

2

2

3

2

4

)

z

x

z

y

x

z

y

x

d











−

=

−

+

=

+

=

−

+

−

1

2

6

2

2

3

1

2

3

)

z

y

x

z

x

z

y

x

e











=

+

−

−

−

=

+

−

=

+

−

−

6

5

7

3

2

3

3

2

2

2

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

f

Solución. a) Sist. Compatible Indeterminado; b) Sist. Compatible Determinado; c) Sist. Incompatible;

d) Sist. Compatible Indeterminado; e) Sist. Compatible Determinado; f) Sist. Incompatible.

4. Resuelve los siguientes sistemas compatibles indeterminados por el método de Gauss

Solución.

a)x= 2+ 4α ;y=−2+ 7α ;z=α; b) x =1/2−α/2; y =0; z =α

c) x=3/2−α/2;y=−7/2+1/2α;z=α; d) x=3α;y=8;z=α

5. Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los distintos valores del parámetro











=

−

+

=

−

−

=

+

−

0

2

5

0

3

0

3

2

)

z

y

x

z

ky

x

z

y

x

a











−

=

+

−

=

+

−

−

=

+

−

1

6

8

1

4

3

4

)

z

y

x

z

mx

mz

y

x

b











=

+

−

=

+

−

=

+

−

−

4

9

4

2

2

1

3

2

)

2

(

)

z

y

az

x

z

y

x

a

c

    

= + − −

= + +

= + − −

4 3

2

0 2 4

2 2

3

)

2

z p y x

z y x

z y x

d

Solución. a) Para k

≠

-8; S. C. DETERM.; Para k = -8; S. C. INDETERM.

b) Para m

≠

-2 y 8, S. C. DET.; Para m = -2, S. C. INDET.; Para m = 8, S. INCOMPAT.

c) Para a

≠

-1 y 3, S. C. DETERM.; Para a = -1; S. INCOMPATIBLE; Para a = 3, S. C. INDET.

d) Para p

≠

-2, 2; S. C. DETERM.; Para p = -2; S. C. IND.; Para p = 2; S. INCOM.

6. Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los distintos valores del parámetro y

resuélvelos para el caso que se te proponga











−

=

−

+

=

+

+

−

=

+

+

2

0

2

2

3

)

a

z

y

ax

z

y

x

a

z

ay

x

a

Resuélvelo para a = 2 y a = 1











=

+

+

+

=

−

=

−

+

0

)

1

(

2

2

1

1

2

3

)

z

m

y

x

z

x

z

y

x

b

Resuélvelo para m = -1











=

+

−

=

+

+

+

−

=

+

−

5

6

2

1

4

)

1

(

3

2

2

2

)

z

y

mx

z

y

m

x

z

y

x

c

Resuélvelo para m = 1

Solución: a) Para a

≠

-2, 2 S. C. DETERM.; Para a=2, S. C. INDETERM.; Para a = -2; S. INCOMP.

Solución para a =2; _x=₃α_;y=−₅α_;z=α; Solución para a =1; x=−1/3; y=−1/3;z=1/3 b) Para m

≠

-1; S. C. DETERMINADO; Para m = -1; S. C. INDETERMINADO

TEMA 4 - PROBLEMAS DE SISTEMAS

DE ECUACIONES LINEALES

1. Un alumno de 1º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas y dos gomas de

borrar, tres euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos de euro a la suma de los

precios de un sacapuntas y de una goma. Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su

precio duplicará al de una goma de borrar. Determina el precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una

goma de borrar.

Solución. 0,55; 0,75; 0,30

2. Se tienen 9,50 euros en monedas de 5 céntimos, de 10 céntimos y de 50 céntimos. El número de

monedas de 10 céntimos excede en 9 unidades el número de monedas de 50 céntimos, y por cada 3

monedas de 10 céntimos se tienen 4 de 5 céntimos ¿Cuántas monedas se tiene de cada valor?

Solución. 28, 21, 12

3. La suma de las edades de tres hermanos es de 32 años. La edad del mayor es igual a la suma de las

edades de sus hermanos menores. Dentro de 8 años, el mayor doblará la edad del menor. Calcula la

edad actual de cada uno de los hermanos.

Solución. 16, 12, 4

4. La suma de las tres cifras de un determinado número es 13. La cifra de las centenas excede en 4

unidades a la cifra de las decenas. Si se intercambia la cifra de las unidades con la de las centenas, el

número aumenta en 495 unidades. ¿De qué número se trata?

Solución. El número es 409

5. Con 450 gr. de medicamento se fabricaron 60 pastillas de tres tipos: grandes, medianas y pequeñas. Las

pastillas grandes pesan 20 gr., las medianas 10 gr. y las pequeñas 5 gr. Si el total de pastillas grandes y

medianas es la mitad del número de pastillas pequeñas, ¿cuántas se fabricaron de cada tipo?

Solución. 5, 15, 40

6. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total de 2.000 euros. Si el número

de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 20, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.

Solución. 50, 25, 20

7. En un teatro, hay localidades de tres clases A, B y C, cuyos precios son 5, 10 y 12 euros,

respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 11.045 euros. Si se sabe, además, que de la

clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la clase B se vendió el

doble que de la C, averigua cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día.

TEMA 5 – INECUACIONES

1. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:

a)

x2 −(3x+1)≤(x−1)(x+2)

d)

1 12

6 4

5 3

< − − − x x

b)



    

− − < − −

2 1 1

4 2

) 1 ( 3

x x

x

e)

1

2 1

+ > −

x x

c)

3

2 5 1 3

1_{+ ≤ −}

−

− x x

f)

8 4 1

4

4 _{+ <} +

− x x

Solución. a) _

    

∞

, 4

1 _{; b)}

(

_−2,∞

)

_{; c) }

  



∞

, 25

106 _{; d)}

   

 

∞ −

8 21

, ; e)

(

−∞,−3

)

; f)

(

_−∞,4

)

2. Cierta empresa de programas informáticos cobra por sus servicios 60€ más 50€ por hora de

programación. Otra de la competencia, establece sus honorarios en 600€, cualquiera que sean las

horas de programación. ¿Hasta cuántas horas resulta más económica la primera?

Solución. Hasta 10,8 horas.

3. El aforo de un polideportivo es de 3.000 espectadores. En un partido con la entrada a 9 euros se

recaudaron más de 20.000 euros. ¿Qué número de asistentes al partido pueden estimarse?

Solución. Entre 2.223 y 3.000 espectadores.

4. Cristina decide montar un puesto en una feria para vender los artículos de artesanía que fabrica su

amiga Lola. Tiene que pagar al ayuntamiento 9€ diarios por la licencia de vendedora ambulante y a

Lola 2,5€ por cada pieza. Si Cristina cobra 4€ por artículo. ¿cuántos tiene que vender como mínimo

para obtener beneficios?

Solución. Tiene que vender como mínimo 7.

5. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a)

−x2 +5x>−6

d)

3x2 −27>0

b)

3≥x(2x+1)

e)

−x2 +2x+3>0

c)

x x+ <5−x

2 ) 1 (

f)

2x2 −3x+1≤0

Solución. a)

(

−1,6

)

; b)

   

− ,1 2

d)

(

−∞_,−₃

) ( )

∪ _3,∞ ; e) (−1,3); f)    

1 , 2 1

6. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a)

0

4 3

≥ − −

x x

c)

2 0

2

≥ − +

x x x

b)

0

1 2_<

+ −

x x

d)

0

3

5 _>

− −

x x

Solución. a)

(

−

∞

,

3

]

∪

(

4

,

∞

)

; b) (−1,2); c)

[

−

2

,

0

)

∪

[

1

,

∞

)

; d) (3,5)

7. Resuelve las siguientes inecuaciones con dos incógnitas:

a)

3x−2y≤1

c)

2

2 + y≥

x

b)

− x < y

4 4 1

d)

2x− y≤4

a)

b)

8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:

a)







≤ > −

y x

y

x 1

2

c)











≥

≥

−

≤

−

≤

−

0

;

0

3

2

1

y

x

x

y

x

y

b)















≥ ≥ ≤

≤ +

≤ + −

0 ; 0

4 16 4

1 3

y x y

y x

y x

d)















− ≥

≤ −

≥ +

2 2

4 2

2

y x

y x

y x

a)

b)

TEMA 6 – PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a)

( )

1 2

2 2

− − + =

x x x x

f f)

( )

= 2 −₄

x x f

b)

( )

4 3

2

2 − −

− =

x x

x x

f g)

( )

= 2 −₆ +₈

x x x f

c)

( )

1

2 +

=

x x x

f h)

( )

12 7

2+ −

+ =

x x

x x

f

d)

( )

1 2 2

2 − +

=

x x x

f i)

( )

2

3

−

+

=

x

x

x

f

e) f

( )

x = x−8 j)

( )

x x x

f

− −

+ =

1 1

2

Solución. a) R−

{ }

−1,1; b) R−

{ }

−1,4 ; c) R; d) R−

{}

1; e)

[

8,∞

)

; f)

(

−∞,−2

] [

∪ 2,∞

)

; g)

(

−∞,2

] [

∪ 4,∞

)

; h)

[

−7,∞

) {

− −4,3

}

; i)

(

−∞,−3

] [

∪ 2,∞

)

; i)

(

−∞,1

]

−

{ }

0

2. Calcula la simetría de las siguientes funciones:

a)

1 2 )

( ₂

2 4

− − + =

x x x x

f

e)

4 3 2 )

( ₃

3

− − =

x x x x f

b)

f

( )

x =2x3 +x

f)

f

( )

x =3x4 +2x2 −1

c)

( ) ₂1

x x x

f = +

g)

2 1 4 )

( ₂

+ + =

x x x f

d)

x x x f

3 2 )

(

4

− −

=

h)

1 )

( ₂

2 3

+ − + =

x

x x x x f

3. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

a)

( )







≥

+

<

−

=

0

3

0

2

x

si

x

x

si

x

x

f

d)

( )







≥ +

−

< −

=

1 3

1 1

2

x si x

x si x

x f

b)

( )











≥

−

<

<

≤

−

=

3

3

0

2

0

3

x

si

x

x

si

x

si

x

x

f

e)

( )

    

> ≤ < −

− ≤ +

=

2 4

2 3

3 1

2

x si

x si

x

x si x

x f

c)

( )

    

≥ +

−

< < +

−

≤ −

=

3 3

3 0

3

0 3

2

x si x

x si x x

x si

x

f

f)

( )

(

)











≥

<

<

−

−

≤

+

=

6

1

6

3

3

2

7

3

4

x

si

x

si

x

x

si

x

x

f

Solución. a) b) c)

d) e) f)

4. Calcula el signo de las siguientes funciones:

a)

f

( )

x =x2 −4x+3

c)

f

( )

x =−x2 +4x+5

b)

f

( )

x =−x2 +4x−4

d)

1 1 )

( ₂

− =

x x f

e)

1 )

( ₂

− =

x x x

f

Solución. a) Es positiva en:

(

−∞,1

) ( )

∪ 3,∞ ; b) Siempre negativa;

TEMA 7 - LÍMITES

HOJA 1

1. Calcula los siguientes límites

a.







>

−

≤

+

→

₄

₂

₁

1

1

)

(

)

(

lim

2

1

_x

_si

_x

x

si

x

x

f

si

x

f

x

Solución: 2

b.







−

≥

−

<

−

−

→

₂

₂

2

3

)

(

)

(

lim

2

2

_x

_si

_x

x

si

x

x

x

f

si

x

f

x

Solución: No existe límite

c.

    

≥ +

≤ < −

− ≤ +

−

− → →

0 3

4

0 2

3

2 2

) ( )

( lim ) ( lim

2 2

0

x si x

x si

x si x

x f si x f y x f

x x

Solución: 3 y No existe límite

d.







− ≥ +

− < +

−

−

→ _{3 5 1}

1 1

) ( )

( lim

1 _{x si x}

x si x

x f si x f x

Solución: 2

2. Resuelve los siguientes límites:

1. =

− + −

∞

→ ₂

8 6

lim ₂

2

x x x

x

Solución: 1

2. =

− −

∞

→ ₁

1

lim ₂

4

x x

x

Solución: ∞

3. =

− −

+ −

∞

→ _{x x x}

x x

x _{3 5 6}

8 7 6

lim _{6 2}

3

Solución: 0

4. =

− +

+ −

∞

→ _{2 3}

2

lim _{3 2}

2

x x

x x

x

Solución: 0

5. =

− +

− + −

∞

→ ₇

2 2 3 3

lim ₂

2 3

x x

x x x

x

Solución: ∞

6. =

− + −

+ −

∞

→ _{2 3 1}

8 4

lim _{3 2}

2 3

x x

x x

x

Solución: -2

7. =

+ + −

∞

→ ₇

1 5 9

lim ₂

2

x x x x

Solución: 3

8. =

− −

+ − −

∞

→ _{x x}

x x

x _{3 2}

2 6

lim ₂

2

Solución: 2

9. =

− + −

→ _{x x}

x x

x 2

2

1

5 6 lim

Solución: -4

10. =

− −

→ ₁

1 lim

2

1 _x

x

x

Solución: 2

11. =

+ +

→ ₁

1

lim ₂

1 _x

x

x

12. =

− −

→ ₁

1

lim ₂

3

1 _x

x

x

Solución: 3/2

13. + − =

→ 2

2 2

0

1 ) 1 ( lim

x x

x

Solución: 2

14. =

− − +

→ ₃

2 1 lim

3 _x

x x

Solución: 1/4

15. =

    

−

∞

→ x

x

3 5 lim

Solución: 5

16. + − − =

→ _x

x x

x ₃

1 1

lim

0

Solución: 1/3

17. =

+ −

→ _{1 1}

lim

0 _x

x x

Solución: -2

18.

+

+

−

=

∞

→

x

x

x

x

1

lim

2

Solución: 1/2

19.

+

−

=

∞

→

x

x

x

1

lim

2

Solución: 0

20.

+

−

=

∞

→

x

x

x

9

3

3

lim

2

Solución: 0

21. =

  

 

− − − +

−

→ ₁

3 1

2

lim ₂

1 _x

x x

x

Solución: -1/2

22. =

−

→ ₁

5 lim

1 _x

x

Solución: No existe límite

23.

(

−

)

=

→₂ 2

2 3 lim

x x

x

Solución: ∞

24. =

+ +

−

→ ₁

1 2 lim

1 _x

x

x

Solución: No existe límite

25.

(

+

)

= −

→ ₁ 2

1 lim

x x

x

Solución: −∞

26. =

+ +

→ ₁

1

lim ₂

1 _x

x

x

Solución: 1

27.

_

=











−

−

+

⋅

−

+

∞

→

₃

2

1

3

lim

₂

2

x

x

x

x

x

x

Solución: 1

28. =

− +

∞

→ 3 3

2

2 8

3 lim

x x

x

Solución: 1/2

29.

=

+

−

∞ →

1

1

lim

2 2

x

x

x

Solución: 0

30.

4 4

2

lim ₂

2

2 − +

− − =

→ _{x x}

x x x

Solución: No existe límite

3. Halla las asíntotas de las siguientes funciones

a.

2 3 ) (

+ − =

x x x

f

Soluc.: A.V: x = -2 A.H: y = -3

b.

4 2 )

( ₂

+ =

x x x

f

Soluc.: A.H: y = 0

c.

1 2 )

(

2

+ + =

x x x f

Soluc.: A.V: x = -1 A.O: y = x - 1

d.

2 2

1

4 2

+ +

)=

x x f (x