PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI-CADAS A LAS CIEN-CIASSOCIALES II
Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
OPCIÓN A (Junio 2.006)
EJERCICIO 1
Sean las matrices ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
1 1
1 x x
A y ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =
1 1
1 0
B .
a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A.
b) (1 punto) Igualmente para que A – I2 = B–1.
c) (1 punto) Determine x para que A·B = I2.
EJERCICIO 2
a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función
f(x) = ax3 + 3x2 – 5x + b pase por el punto (1, –3) y tenga el punto de inflexión en x=–1. b) (1.5 puntos) Halle los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función
definida por g(x) = x3 – 3x2 + 7.
EJERCICIO 3
PARTE I
En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin res-paldo hay 3 nuevas y entre las sillas con resres-paldo hay 7 nuevas.
a) (1 punto) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva?
b) (1 punto) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no
tenga respaldo?
PARTE II
(2 puntos) En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media
des-conocida y desviación típica 9.
CIASSOCIALES II
Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
OPCIÓN B (Junio 2.006)
EJERCICIO 1
a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus
vértices:
x ≥ 0; y ≥ 0; –x+2y ≤6; x+y≤6; x≤4.
b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x, y) = 2x + 2y + 1 en la región anterior
e indique dónde se alcanza.
EJERCICIO 2
Sea la función f definida por
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
> +
≤ −
=
0 si
0 si
1 2 ) (
2
x x
x
x x
x x
f
a) (2 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidadde f.
b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el
punto de abscisa x = 1.
EJERCICIO 3
Parte I
Sean los sucesos A y B independientes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es 0.6. Sabemos también que P(A/B) = 0.3.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos.
b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B.
Parte II
(2 puntos) Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 80 veces el valor cinco.
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CADAS A LAS CIEN-CIASSOCIALES II
CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
OPCIÓN A
Ejercicio 1: 3 puntos
a) Hasta 1 punto. b) Hasta 1 punto. c) Hasta 1 punto.
Ejercicio 2: 3 puntos
a) 1.5 puntos (0.75 por cada condición).
b) 1.5 puntos (0.5 por puntos críticos, 0.5 por monotonía, 0.5 por extremos)
Ejercicio 3:
Parte I: 2 puntos
a) Hasta 1 punto. b) Hasta 1 punto.
Parte II: 2 puntos
Hasta 2 puntos.
OPCIÓN B
Ejercicio 1: 3 puntos
a) Por la región factible hasta 1 punto. Por los vértices hasta 1 punto.
b) 0.5 puntos por determinar el máximo; 0.5 puntos por determinar que se alcanza en todo el segmento.
Ejercicio 2: 3 puntos
a) 1 punto por la continuidad; 1 punto por la derivabilidad.
b) 0.5 puntos por la pendiente de la recta tangente y 0.5 puntos por la ecuación.
Ejercicio 3:
Parte I: 2 puntos
a) Hasta 1 punto. b) Hasta 1 punto.
Parte II: 2 puntos
Soluciones
OPCIÓN A (Junio 2.006)
EJERCICIO 1
Sean las matrices ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 1 1 x x
A y ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 0 B .
a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A.
B2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 0 1 1 1 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1 1
Para que esta matriz coincida con A, ambas deben tener todas las posiciones iguales:
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = = 2 1 1 1 1 1 1 x x
lo que sucede si, y sólo si x = 1.
b) (1 punto) Igualmente para que A – I2 = B–1.
Hallemos la matriz inversa de B.
|B| = 1 1
1 0
= –1; Bt = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 0
⇒ Adj(Bt) = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 0 1 1 1
⇒ B–1= 1 ( t)
B Adj
B = ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− 0 1 1 1
Por otro lado (I2 es la matriz identidad de orden 2):
A – I2 = ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
+ 0 1
0 1 1 1 1 x x = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − x x 1 1 1
Para que ambas matrices coincidan, todas sus posiciones deben ser iguales:
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − = − x x 0 1 1 1 1 1 1
lo que sucede si, y sólo si x = 0.
c) (1 punto) Determine x para que A·B = I2.
Como A·B = ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
+ 1 1
1 0 · 1 1 1 x x = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + 2 1 1 1 x x x
, esta matriz coincidirá con I2 si, y sólo
si: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + = 1 2 0 1 0 1 1 1 x x x
⇔ x = –1.
EJERCICIO 2
a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función
f(x) = ax3 + 3x2 – 5x + b pase por el punto (1, –3) y tenga el punto de inflexión en x=–1. Para que pase por (1, –3) debe ser f(1) = –3, es decir, a+3–5+b = –3 ⇔ a+b = –1. (*) Para que tenga un punto de inflexión en x = –1 basta con que f ”(–1) = 0. Pues bien:
f ”(–1) = 0 ⇔ –6a+6 = 0 ⇔ 6=6a ⇔ a=1. Sustituyendo en (*): 1+b = –1 ⇔ b = –2.
Luego el resultado es a=1 junto con b=–2.
b) (1.5 puntos) Halle los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función
definida por g(x) = x3 – 3x2 + 7.
• Discontinuidades de g y g’: No hay (son polinómicas). • g’(x) = 0 ⇒ 3x2–6x = 0 ⇒ x(3x–6) = 0 ⇒
⎩ ⎨ ⎧
= ⇒ = − =
2 0
6 3
0
x x
x
porque un
producto vale 0 cuando, y solamente cuando alguno de los factores que intervienen se anula. En el producto anterior intervienen los factores x y (3x–6).
Dividimos R en intervalos mediante los puntos obtenidos (0 y 2):
Tiene, por tanto, un máximo relativo en (0, 7) y un mínimo relativo en (2, 3). El cuadro anterior nos dice sólo la coordenada x del máximo o mínimo. La segunda coordenada se halla sustituyendo en la ecuación de f. Por ejemplo, f(0) = 7.
EJERCICIO 3 PARTE I
En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin res-paldo hay 3 nuevas y entre las sillas con resres-paldo hay 7 nuevas.
a) (1 punto) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva? El problema es trivial si se tiene en cuenta que de un total de 40 sillas, 3+7=10 son nue-vas. Por Laplace:
P(N) = 40 10
= 4 1
Sin embargo, podemos usar el procedimiento estándar para resolver este tipo de pro-blemas, donde hay una experiencia compuesta, con dos condicionantes sucesivos: tener
respaldo (R), o no tenerlo (RC) y ser nueva (N), o no serlo (NC). Este procedimiento es, evidentemente, más largo y complejo, pero resuelve siempre estos problemas. Consis-te en dibujar la situación medianConsis-te un árbol (figura adjun-ta).
Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total: P(N) = P(N/R)·P(R) + P(N/RC)·P(RC) =
40 10 · 10
3 40 30 · 30
7 +
=
40 3 40
7 + =
40 10
= 4 1
b) (1 punto) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no
tenga respaldo?
También puede resolverse directamente. Hay 30 sillas que no son nuevas. De ellas, hay 7 sin respaldo. Por tanto,
P(RC/NC) = 30
7
(–∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f ’ + 0 – 0 +
f À Máx Ì Mín À
40 30
40 10
R
RC
30 7
30 23
N
NC
10 3
10 7
N
Por el procedimiento estándar, hay que recurrir a la fórmula de Bayes. En el enunciado nos dan por seguro que la silla no es nueva (NC) y nos piden, sabiendo esto, la probabi-lidad de no tener respaldo (RC). Es decir, nos piden P(RC/NC). El árbol nos da las proba-bilidades al revés (por ejemplo, P(NC/RC)). Por eso usamos Bayes:
P(RC/NC) =
) (
) (
C C C
N P
N R
P ∩
=
) ( 1
) ( ) / (
N P
R P R N
P C C C
− =
4 1 1
40 10 · 10
7
− =
4 3 40
7
= 40 · 3
4 · 7
= 10 · 3
1 · 7
= 30
7
donde hemos aprovechado que ya teníamos calculado P(N).
EJERCICIO 3 PARTE II
(2 puntos) En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media
des-conocida y desviación típica 9.
¿De qué tamaño, como mínimo, debe ser la muestra con la cual se estime la media po-blacional con un nivel de confianza del 97% y un error máximo admisible igual a 3?
1–α = 0.97 ⇒ α = 1–0.97 = 0.03 ⇒ α/2 = 0.015 ⇒ 2
1−α = 0.985
⇒ zα2= 2.17 (según las tablas) El error máximo admisible es E =
n
zα2 σ . Despejando:
E =
n zα2σ
⇒ E n =zα2σ ⇒
E z
n = α2σ ⇒
2 2
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ =
E z
n α σ
O sea:
2 3
9 · 17 . 2
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ =
OPCIÓN B (Junio 2.006)
EJERCICIO 1
a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus
vértices:
x≥ 0; y≥ 0; –x+2y≤6; x+y≤6; x≤4. Usando una pequeña tabla de valores para
cada recta, se obtiene que la región factible es la del gráfico adjunto. Hay que tener pre-sente que:
• x≥0 es el área que queda a la derecha del eje OY
• y≥0 es la que está por encima del eje OX.
• –x+2y≤6 queda bajo la recta, pues despe-jando sería y≤(6+x)/2.
• x+y≤6 también es el área bajo la recta correspondiente, pues equivale a y≤6–x. • x≤4 queda a la izquierda de la recta vertical.
Los vértices son las intersecciones de las rectas. Hay algunos que son directos, porque están sobre alguno de los ejes. Así:
A(0, 0)
B(0, 3) (intersección de x=0 con –x+2y=6) E(4, 0)
Para los otros dos, resolvemos los correspondientes sistemas de ecuaciones:
C:
⎭ ⎬ ⎫ = +
= + −
6 6 2 y x
y x
⇒ Sumando ambas ecuaciones: 0+3y = 12 ⇒ y = 4
Sustituyendo en la segunda: x+4 = 6 ⇒ x = 2. Luego C(2, 4)
D:
⎭ ⎬ ⎫ =
= +
4 6 x
y x
⇒ Sustituyendo la segunda en la primera: 4+y = 6 ⇒ y = 2
Por tanto D(4, 2)
b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x, y) = 2x + 2y + 1 en la región anterior
e indique dónde se alcanza.
Podríamos hallar F en cada uno de los vértices y ver dónde se alcanza el máximo resul-tado. Pero como son muchos vértices, optamos por el método gráfico.
En el gráfico anterior se ha dibujado la recta 2x+2y+1 = 0, en verde. El máximo lo al-canzará cuando una paralela a ésta (2x+2y+1=c) sea lo más alta posible tocando algún punto de la región factible. Por el gráfico se ve que debe alcanzarse en C, en D o en todo el segmento que los une.
F(C) = F(2, 4) = 2·2+2·4+1 = 4+8+1 = 13 F(D) = F(4, 2) = 2·4+2·2+1 = 8+4+1 = 13
EJERCICIO 2
Sea la función f definida por
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤ − = 0 si 0 si 1 2 ) ( 2 x x x x x x x f
a) (2 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidadde f. Continuidad
• Zona (–∞, 0) (Los puntos que separan las zonas se estudian aparte: x=0 en este ca-so). La función coincide con una del tipo racional:
1 2 − =
x x
y . Estas funciones son discontinuas cuando el denominador se anula: 2x–1=0 ⇒ 2x=1 ⇒ x=1/2. Pero es-te punto no peres-tenece al ines-tervalo donde f coincide con esta función, que es el (–∞, 0). Por tanto, no nos interesa. Luego es continua en toda la zona.
• Zona (0, +∞). La función coincide con una polinómica, que son continuas en todos los puntos. f es, por tanto, continua en toda la zona.
• x=0. Veamos si cumple las tres condiciones de continuidad en un punto: ∃f(0) =
1 0 · 2
0
− = 0 Para calcular ( )
0 f x lím
x→ , dado que si la aproximación de x a 0 es por la derecha f tiene
una fórmula, y si es por la izquierda, otra, tendremos que hallar los límites laterales:
) ( 0 f x lím
x→ −
=
1 2 0− −
→ x x lím x = 1 0 · 2 0
− = 0 )
( 0 f x lím
x→ +
= lím x x
x→ + +
2
0 = 0
2+0 = 0
Como ambos valores coinciden ⇒ ∃ ( ) 0 f x lím
x→ =0
Como )( 0 f x lím
x→ =f(0), la función es continua en 0.
Por tanto f es continua en todo R.
Derivabilidad
Derivamos usando las fórmulas de derivación en intervalos abiertos (es decir,
exclu-yendo los extremos de las zonas de definición). La derivada de
1 2 − =
x x
y es:
2 2
2 (2 1)
1 ) 1 2 ( 2 1 2 ) 1 2 ( · 2 ) 1 2 ·( 1 ' − − = − − − = − − − = x x x x x x x y
Por tanto, en principio f ’(x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + < − − 0 si 1 2 0 si ) 1 2 ( 1 2 x x x x
Falta ver si existe la derivada en x=0. Como f ’(0–) = 2 ) 1 0 · 2 ( 1 − −
= –1 y f ’(0+) =
2·0+1 = 1 existen y no coinciden ⇒ No existe f ’(0). Por tanto, el resultado anterior es la fórmula final de la derivada de f.
b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el
punto de abscisa x = 1.
El punto donde la tangente toca a la función es (1, f(1)). Como f(1) = 12+1 = 2, dicho punto es (1, 2).
La recta que pasa por (1, 2) con pendiente m = 3 es, por la ecuación punto-pendiente: y–y0 = m(x–x0) ⇒ y–2 = 3(x–1) ⇒ y = 3x–3+2 ⇒ y = 3x–1.
EJERCICIO 3
Parte I
Sean los sucesos A y B independientes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es
0.6. Sabemos también que P(A/B) = 0.3.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos. Que suceda al menos uno de los dos sucesos es que suceda A o que suceda B o que su-cedan ambos a la vez. Es decir, que suceda A∪B.
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Como los sucesos son independientes, P(A/B) = P(A) = 0.3. Además: P(A∩B) = P(A/B)·P(B) = 0.3 · 0.6 = 0.18 Luego:
P(A∪B) = 0.3 + 0.6 – 0.18 = 0.72
b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B. Nos piden P(A∩BC) = P(A/BC)·P(BC).
Como A y B son independientes, también lo son A y BC. Por tanto, P(A/BC) = P(A). Por otra parte, P(BC) = 1–P(B) = 1–0.6 = 0.4
Por tanto: P(A∩BC) = 0.3·0.4 = 0.12
Otra forma de hacerlo es teniendo en cuenta que A∩BC (que es la zona amarilla de la figura) y A∩B (zona naranja) son incompatibles (disjuntos, sin nada en común) y que, además, su unión es A. Por tanto:
P(A) = P[(A∩BC) ∪ (A∩B)] = P(A∩BC) + P(A∩B) ⇒ 0.3 = P(A∩BC) + 0.18 ⇒ P(A∩BC) = 0.3 – 0.18 = 0.12
Parte II
(2 puntos) Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 80 veces el valor cinco.
Estime, mediante un intervalo de confianza al 95%, el valor de la probabilidad de obte-ner un cinco.
La probabilidad de obtener un 5 coincide con la proporción de veces que sale 5 en la población completa, es decir, en los infinitos lanzamientos teóricamente posibles del dado.
Se trata, entonces, de un intervalo de confianza para la proporción poblacional p. Nos dan la proporción muestral pˆ 80/400 = 0.2, el tamaño de la muestra n = 400 y el nivel = de confianza 1–α = 0.95 ⇒ zα2= 1.96. Sustituyendo en la fórmula del intervalo de confianza para proporciones:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝
⎛ −
+ −
−
n p p z p n
p p z
pˆ α2 ˆ(1 ˆ), ˆ α2 ˆ(1 ˆ) Queda:
(
)
(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝
⎛ −
+ −
−
400 2 . 0 1 2 . 0 96 . 1 2 . 0 , 400
2 . 0 1 2 . 0 96 . 1 2 .
CIASSOCIALES II
Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
OPCIÓN A (Septiembre 2.006)
EJERCICIO 1
a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de
inecuaciones:
x ≥ 3 (y–3); 2x + 3y ≤ 36; x≤15; y≥0 b) (1 punto) Calcule los vértices del recinto.
c) (1 punto) Obtenga el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto
e indique dónde se alcanza.
EJERCICIO 2
a) (1.5 puntos) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de
vér-tice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (–3, 0) y (3, 0). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
b) (1.5 puntos) Calcule los extremos relativos de la función g(x) = x3 – 3x.
EJERCICIO 3
Parte I
Laura tiene un dado con tres caras pintadas de azul y las otras tres de rojo. María tiene otro dado con tres caras pintadas de rojo, dos de verde y una de azul. Cada una tira su dado y observan el color.
a) (1 punto) Describa el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos
elementales.
b) (1 punto) Si salen los dos colores iguales gana Laura; y si sale el color verde, gana
María. Calcule la probabilidad que tiene cada una de ganar.
Parte II
a) (1 punto) Los valores:
52, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53
Constituyen una muestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviación típica 6. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel de confianza del 92%.
b) (1 punto) Se desea estimar la media poblacional de otra variable aleatoria Normal,
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI-CADAS A LAS CIEN-CIASSOCIALES II
Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
OPCIÓN B (Septiembre 2.006)
EJERCICIO 1
(3 puntos) El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos
sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El nú-mero de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros.
Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obte-ner el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.
EJERCICIO 2
Se considera la función
x x x
f
− − =
2 3 )
( .
a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el
pun-to de abscisa x = 1.
b) (1 punto) Estudie su monotonía.
c) (1 punto) Calcule sus asíntotas.
EJERCICIO 3
Parte I
De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: En el 23% de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65% no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30% de los casos se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el cinturón y respetaban los límites de velocidad.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya
cum-plido alguna de las dos normas.
b) (1 punto) Razone si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y
“respetar los límites de velocidad”.
PARTE II
(2 puntos) En una muestra aleatoria de 1000 personas de una ciudad, 400 votan a un
determinado partido político.
OPCIÓN A (Septiembre 2.006)
EJERCICIO 1
a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de
inecuaciones:
x ≥ 3 (y–3); 2x + 3y ≤ 36; x≤15; y≥0
Al cambiar los signos de desigualdad por iguales, resulta la ecuación de una recta. Des-pejando y, al darle valores a x se pueden dibujar las rectas correspondientes. La región factible es la del gráfico adjunto, puesto que:
• Al despejar en x ≥ 3 (y–3), queda: x ≥ 3y–9 ⇒ x +9 ≥ 3y ⇒
3 9 + ≤ x
y (observar que no ha cambiado el sentido de la desigualdad en este úl-timo despeje, porque 3, que pasa dividiendo, es positivo; de ser negativo, habría que cambiarlo). Luego el área correspondiente es la que queda ba-jo la recta (porque son los puntos cuyas coordena-das tienen un valor de y es menor o igual que la de los puntos de la recta).
• Al despejar en 2x + 3y ≤ 36, queda
3 2 36 x
y≤ − . Luego es, igualmente, el área que queda bajo la recta.
• Los puntos que verifican que x ≤ 15 son los que quedan a la izquierda de la recta x = 15 (los de la derecha tienen coordenadas con x mayor o igual que 15).
• Los puntos que verifican que y ≥ 0 son los que quedan por encima del eje de las x.
b) (1 punto) Calcule los vértices del recinto.
Empezando por el origen de coordenadas y girando en sentido contrario a las manecillas del reloj, los vértices son:
• A(0, 0)
• B: intersección de x = 15 con el eje de OX, cuya ecuación es y = 0: B(15, 0)
• C: intersección de 2x + 3y = 36 con x = 15. Formando un sistema de ecuaciones con ambas, y sustituyendo la segunda (que ya nos dice cuánto vale x) en la primera: 2·15 + 3y = 36 ⇒ 3y = 36 – 30 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2: C(15, 2)
• D: intersección de 2x + 3y = 36 con x = 3(y–3). Sustituyendo ésta en la primera: 2·3(y–3) + 3y = 36 ⇒ 6(y – 3) + 3y = 36 ⇒ 6y – 18 + 3y = 36 ⇒ 9y –18 = 36 ⇒ 9y = 36 + 18 ⇒ 9y = 54 ⇒ y = 6. Sustituyendo en la segunda ecuación original: x = 3(6–3) = 3·3 = 9: D(9, 6)
• E: intersección de x = 3(y–3) con el eje de las y, cuya ecuación es x = 0. Sustituyen-do éste valor en la primera ecuación: 0 = 3(y – 3) ⇒ 0 = y–3 ⇒ 3 = y: E(0, 3)
c) (1 punto) Obtenga el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto
e indique dónde se alcanza.
Para C(15, 2): F(15, 2) = 8·15+12·2 = 134 Para D(9, 6): F(9, 6) = 8·9+12·6 = 144
El valor máximo de la función objetivo es 144 y se obtiene en D(9, 6).
La segunda opción consiste en hallar el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices hallados anteriormente. En aquél que se obtenga el máximo resultado es donde se encuentra la solución.
EJERCICIO 2
a) (1.5 puntos) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de
vér-tice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (–3, 0) y (3, 0). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
La parábola en cuestión está dibujada junto a estas líneas. Ésta es la gráfica de f ’
Para valores de x del intervalo (–∞, –3) el sig-no de f ’ es negativo, puesto que las imágenes de todos esos valores de x quedan bajo el eje de las x. Luego f debe ser decreciente en dicho intervalo.
Para x = –3, la imagen es 0. Es decir, f ’(–3)=0, por lo que f tendrá posiblemente un máximo o un mínimo. Como en el intervalo (–3, 3) f ’ queda por encima del eje de las x, las imá-genes de los x de dicho intervalo son positivas. O sea, que f ’ es positiva en dicho inter-valo, por lo que f será creciente en el mismo. Eso quiere decir que en –3 hay un mínimo relativo, puesto que antes del mismo f era creciente y después, decreciente.
Para x = 3 nuevamente se cumple que f ’(3) = 0, por lo que posiblemente habrá un máximo o un mínimo relativo. Como en (3. +∞) f ’ es negativa, f es decreciente. Por tanto, en 3 lo que hay es un máximo relativo.
Todo lo dicho se resume simplemente en el siguiente cuadro:
b) (1.5 puntos) Calcule los extremos relativos de la función g(x) = x3 – 3x.
Como g ’(x) = 3x2 – 3, igualando a cero: 3x2 = 3 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1. En estos valo-res puede tener la función extremos relativos.
Como g ”(x) = 6x:
• g ”(–1) = –6 < 0 ⇒ En x = –1 hay un máximo relativo. Como g(–1) = (–1)3– 3(–1) = –1+3 = 2, sus coordenadas son (–1, 2).
• g ”(1) = 6 > 0 ⇒ En x = 1 hay un mínimo relativo. Como g(1) = 13–3·1 = 1–3 = –2, sus coordenadas son (1, –2).
EJERCICIO 3 Parte I
Laura tiene un dado con tres caras pintadas de azul y las otras tres de rojo. María tiene otro dado con tres caras pintadas de rojo, dos de verde y una de azul. Cada una tira su dado y observan el color.
(–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 (3, +∞)
f ’ – 0 + 0 –
a) (1 punto) Describa el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos
elementales.
En el diagrama de árbol adjunto hemos esquematizado el experimento siendo, siempre, el primero el dado de Laura. El espacio muestral es, pues:
E = {RR, RV, RA, AR, AV, AA}
Multiplicando las ramas del árbol correspondiente, tene-mos:
P(RR) = 0,5·0,5 = 0,25 P(RV) = 0,5·
3 1 = 3 1 · 2 1 = 6 1
P(RA) = 0,5· 6 1 = 6 1 · 2 1 = 12 1
P(AR) = 0,5·0,5 = 0,25 P(AV) = 0,5·
3 1 = 3 1 · 2 1 = 6 1
P(AA) = 0,5· 6 1 = 6 1 · 2 1 = 12 1
Observar que la suma de las seis probabilidades da 1.
b) (1 punto) Si salen los dos colores iguales gana Laura; y si sale el color verde, gana
María. Calcule la probabilidad que tiene cada una de ganar.
P(Ganar Laura) = P({RR, AA}) = P(RR) + P(AA) = 0,25 + 1/12 = 12 1 4 1+ = 12 1 12 3 + = 12 4 = 3 1
P(Ganar María) = P({RV, AV}) = P(RV) + P(AV) = 6 1 + 6 1 = 6 2 = 3 1 Parte II
a) (1 punto) Los valores:
52, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53
Constituyen una muestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviación típica 6. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel de confianza del 92%.
El intervalo de confianza para la media poblacional μ es:
2 2
x z x z
n n
α α
σ μ σ
− ≤ ≤ +
Sabemos que σ = 6, n = 9 y tendremos que calcular x:
n x x=
∑
i =9 53 50 68 60 53 49 58 61
52+ + + + + + + +
=56
Las calculadoras científicas realizan este cálculo con sólo introducir los valores. Nos piden que:
2 2
P x z x z
n n
α α
σ μ σ
⎛ − ≤ ≤ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠= 0,92
Es decir, 1–α = 0,92 ⇒ α = 1–0,92 = 0,08 ⇒ 2
α
= 0,04 ⇒ 1– 2
α
= 0,96 Es decir,
zα/2es tal que P(Z≤ zα/2)=0,96 ⇒ zα/2=1,75 (buscando en las tablas de la Normal). Lue-go el intervalo de confianza pedido es, sustituyendo:
56–1,75 9 6
≤ μ≤ 56+1,75 9 6
⇔ 56–1,76·2≤ μ≤ 56+1,75·2
⇔ 56–3,5 ≤ μ≤ 56+3,5 ⇔ 52,5 ≤ μ≤ 59,5
b) (1 punto) Se desea estimar la media poblacional de otra variable aleatoria Normal,
con varianza 49, mediante la media de una muestra aleatoria. Obtenga el tamaño míni-mo de la muestra para que el error máximíni-mo de la estimación, mediante un intervalo de confianza al 97%, sea menor o igual que 2.
1–α = 0.97 ⇒ α = 1–0.97 = 0.03 ⇒ α/2 = 0.015 ⇒ 2
1−α = 0.985 ⇒
2 α
z = 2.17 (según las tablas) El error máximo admisible es E =
n
zα2 σ , donde σ es la desviación típica, es decir, la raíz cuadrada de la varianza, y como ésta vale 49, entonces σ = 7. Despejando:
E =
n zα2σ
⇒ E n =zα2σ ⇒
E z
n = α2σ ⇒
2 2
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ =
E z
n α σ
O sea:
2 2
7 · 17 . 2
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ =
OPCIÓN B (Septiembre 2.006)
EJERCICIO 1
(3 puntos) El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos
sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El nú-mero de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros.
Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obte-ner el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.
Plantearemos un sistema de ecuaciones que resolveremos por el método de Gauss. Si x = Nº de billetes de 10€
y = Ídem de 20€ z = Ídem de 50€
el sistema de ecuaciones es:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = + + = + + y x z y x z y x 2 8 290 50 20 10 ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = − = + + = + + 0 2 8 29 5 2 y x z y x z y x
⇒
Inter-cambiando la 1ª ec. con la 3ª:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + + = + + = − 29 5 2 8 0 2 z y x z y x y x
que corresponde a la matriz:
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 29 5 2 1 8 1 1 1 0 0 2 1 1 3 1 2 F F F F − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 29 5 4 0 8 1 3 0 0 0 2 1 4 3 · 3 · 4 F F ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 87 15 12 0 32 4 12 0 0 0 2 1 2 3 F F − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 55 11 0 0 32 4 12 0 0 0 2 1 11 4 3 2 F F ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 5 1 0 0 8 1 3 0 0 0 2 1
equivalente al sistema:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = + = − 5 8 3 0 2 z z y y x La
triangularización aplicada nos da, en la tercera ecuación, el valor de z. sustituyendo en la segunda: 3y +5 = 8 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1. Y sustituyendo en la primera: x–2·1 = 0 ⇒ x = 2.
Luego la solución es: 2 billetes de 10, 1 de 20€ y 5 de 50€.
EJERCICIO 2
Se considera la función
x x x f − − = 2 3 ) ( .
a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el
pun-to de abscisa x = 1.
Cuando x = 1 ⇒ f(1) = 2. El punto de tangencia es (1, 2)
La pendiente de la tangente es f ’(1). Como f ’(x) = 2 ) 2 ( ) 3 )( 1 ( ) 2 ( 1 x x x − − − − − − = 2 ) 2 ( 3 2 x x x − − + + −
= 2
) 2 (
1 x
− ⇒ f ’(1) = 1
Luego la tangente, cuya forma general es y–f(a) = f ’(a)(x–a) es: y–2 = 1(x–1) ⇒ y = x–1+2 ⇒ y = x+1
b) (1 punto) Estudie su monotonía.
• f ’(x) = 0 ⇒ 2 ) 2 (
1 x
− =0 lo que no puede ser, porque el denominador no puede anularse para ningún valor de x.
Dividimos R en intervalos mediante el único punto resultante:
c) (1 punto) Calcule sus asíntotas.
• AV: Puede tenerla en los puntos de discontinuidad. En este caso, sólo en x = 2. Comprobémoslo:
x x
x −
−
→ 2
3 lim
2 = ∞ ⇒ En efecto, la recta vertical de ecuación x=2 es asíntota vertical.
• AH: Calculamos
x x
x −
−
∞
→ 2
3
lim =1, puesto que los coeficientes de la máxima potencia
de x tanto en numerador como en denominador valen –1; al dividirlos, resulta 1, tanto si x tiende a +∞ como a –∞. Por tanto, y=1 es asíntota horizontal cuando x tiende a ambos infinitos.
• AO: Por el lado del infinito donde haya asíntota horizontal, no puede haber asín-tota oblicua. Como tanto en +∞ como en –∞ hay asíntota horizontal, no hay oblicua.
EJERCICIO 3 Parte I
De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: En el 23% de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65% no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30% de los casos se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el cinturón y respetaban los límites de velocidad.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya
cum-plido alguna de las dos normas.
Llamemos A = Llevar puesto el cinturón de seguridad, y B = Respetar la velocidad. Entonces:
P(A) = 1–P(AC) = 1–0.23 = 0.77
P(B) = 1–P(BC) = 1–0.65 = 0.35
P(A∩B) = 0.3 Nos piden P(AC∪
BC) = P[(A∩B)C] = 1–P(A∩B) = 1–0.3 = 0.7
b) (1 punto) Razone si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y
“respetar los límites de velocidad”.
P(A/B) =
) (
) (
B P
B A P ∩
= 35 . 0
3 . 0
= 0.8571
Como P(A/B) ≠ P(A) = 0.77, los sucesos no son independientes. (–∞, 2) 2 (2, +∞)
f ’ + No existe +
f À No existe À
PARTE II
(2 puntos) En una muestra aleatoria de 1000 personas de una ciudad, 400 votan a un
determinado partido político.
Calcule un intervalo de confianza al 96% para la proporción de votantes de ese partido en la ciudad
Dicho intervalo es: ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝
⎛ −
+ −
−
n p p z p n
p p z
pˆ α2 ˆ(1 ˆ), ˆ α2 ˆ(1 ˆ)
Debe ser: 1–α = 0.96 ⇒ α = 1–0.96 = 0.04 ⇒ α/2 = 0.02 ⇒ 2
1−α = 0.98 ⇒
2 α
z = 2.055 (según las tablas) Como 0.4
1000 400 = =
p) porque es la proporción muestral, y n = 1.000, el intervalo es:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
1000 6 . 0 · 4 . 0 055 . 2 4 . 0 , 1000
6 . 0 · 4 . 0 055 . 2 4 .
0 ⇔
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
1000 6 . 0 · 4 . 0 055 . 2 4 . 0 , 1000
6 . 0 · 4 . 0 055 . 2 4 .
0 ⇔ (0.4–0.0318, 0.4+0.0318) ⇔
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0;1)
k 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99897 0.99900 3.1 0.99903 0.99906 0.99909 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929 3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950 3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99959 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965 3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976 3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983 3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0;1), esté por
