El Libro X
El Libro X de Los Elementos de Euclides es el único documento disponible de las investigaciones de la Matemática griega sobre las magnitudes irracionales desde el punto de vista aritmético. Con sus 114 proposiciones es el más extenso de todos, siendo el tema general del Libro una clasificación escrupulosa de las primeras longitudes irracionales originadas en la técnica de la Aplicación de las Áreas a partir de una determinada longitud tomada como unidad, aunque este término no aparece de forma explícita en el Libro.
Así pues, este Libro estudia las magnitudes inconmensurables entre sí, pero todo su contenido está incorporado a la literatura matemática actual, aunque en una forma muy diferente, con unos procedimientos mucho más operativos e inteligibles que los desarrollados por Euclides para manejar los números irracionales. Es por esto por lo que gran parte del Libro no tiene en la actualidad demasiado interés. Además, el Libro X desarrolla de una forma muy reiterativa sobre todo el estudio de un tipo muy concreto de números irracionales, de modo que, una vez creada una teoría general para dichas magnitudes, pierde importancia lo referido de forma exclusiva a una especie particular. No obstante, el prolijo trabajo desarrollado por Euclides, fruto de un esfuerzo riguroso, tenaz y minucioso, tiene su interés histórico toda vez que refleja una etapa importante en la evolución del pensamiento matemático griego.
El Libro X de Los Elementos de Euclides clasifica de forma sistemática los segmentos inconmensurables en los que intervienen expresiones con raíces cuadradas, obteniendo resultados que son los equivalentes geométricos de propiedades de los números que hoy denominamos como irracionales cuadráticos. Entre estos teoremas hay algunos que expresan la racionalización de denominadores en fracciones de diversos tipos, la construcción con regla y compás de segmentos dados por raíces cuadradas y por raíces cuadradas de sumas de raíces cuadradas.
Hasta la aparición del Álgebra simbólica, el Libro X fue uno de los más ponderados por los matemáticos, pero sus resultados hoy se obtienen mediante unas pocas reglas algebraicas. La forma puramente cualitativa con que los expuso Euclides supone que este Libro resulta realmente muy difícil de estudiar, además de requerir una gran atención y esfuerzo. Por esta razón Stevin calificó a este Libro como la «cruz de los matemáticos» (Le premier livre d’Arithmétique, def. XXXI, Oevres mathématiques, Leyden, 1634).
El Libro X comienza con cuatro definiciones. En la primera se explica lo que son segmentos conmensurables e inconmensurables –que tienen o no una medida común– y en la segunda se definen también magnitudes «conmensurables en cuadrado» que son las que sus cuadrados tienen una medida común. En palabras de Euclides:
D.X.1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común. D.X.1. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden
con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.
La proposición más importante del Libro I es precisamente la primera:
• Proposición X.1. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad y se repite continuamente este proceso, quedará una magnitud menor que la menor de las magnitudes dadas.
Esta proposición, junto con la Definición V.4, el llamado Axioma de Eudoxo–Arquímedes o Axioma de Continuidad, nos indica, en nuestro lenguaje, que las magnitudes que maneja Euclides tienen un carácter arquimediano.
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utiliza con una maestría sin par para obtener sus magníficos teoremas sobre cuadraturas y cubaturas.Sorprende, pues, la ubicación aislada de esta proposición en este lugar de Los Elementos, ya que apenas presta un servicio hasta el Libro XII. Tal vez se pueda justificar su situación aquí como paso previo a la Proposición X.2 donde se muestra el procedimiento para determinar si dos magnitudes son conmensurables o inconmensurables:
• Proposición X.2. Si al restar continua y sucesivamente la menos de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.
Euclides da un criterio de inconmensurable mediante el llamado proceso de antiphéresis, basado en la sustracción sucesiva, similar al algoritmo aritmético euclídeo para el cálculo del máximo común divisor de la Proposición 2 del Libro VII. Dos magnitudes son inconmensurable si el proceso de antiphéresis no tiene fin.
En la siguiente proposición, la X.3, Euclides halla mediante el proceso de antiphéresis la medida común de dos magnitudes conmensurables. Las proposiciones siguientes hasta la 17 estudian propiedades generales de magnitudes conmensurables e inconmensurables. De la 17 a la 21 se tratan las relaciones entre la conmensurabilidad de los lados y las de los cuadrados y rectángulos construidos sobre ellos.
En la Proposición 21 empieza el estudio de distintos tipos de inconmensurables y se introduce el «segmento medial», que es la media proporcional de dos segmentos conmensurables en cuadrado (es decir, de la forma aa b , donde a y b son fracciones numéricas). Las proposiciones que van hasta la 35 relacionan los segmentos mediales con líneas o rectángulos y estudian cuando son conmensurables en cuadrado.
A partir de la Proposición 36 y hasta la 72 se estudian hasta doce categorías de expresiones irracionales llamadas binomiales, que son de la forma a+ b , siendo a y b conmensurables.
Desde la Proposición 73 hasta la 110 se estudian las llamadas expresiones apótomas similares a las binomiales pero siendo «–» el signo del radicando, es decir: a− b . En ambos casos, Euclides estudia las diversas posibilidades en que estas expresiones radicales pueden ser simplificadas, sobre lo que basa su clasificación. Como en otros muchos aspectos relativos al Libro X, no está nada clara la utilidad y motivación euclídeas para el estudio de estas expresiones. Tal vez servían para la resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas o bicuadradas. También se utilizan en el Libro XIII para buscar las aristas de poliedros regulares inscritos en una esfera. Por ejemplo, las apótomas se utilizan explícitamente en la Proposición XIII.17 en la construcción de un Dodecaedro inscrito en un esfera.
De los términos lingüísticos acuñados por Euclides –medial, binomial, apótoma– sólo ha subsistido en nuestro lenguaje matemático la voz binomio, con cuyo modelo los algebristas forjaron los términos trinomio o polinomio.
reflexión sobre estas cuestiones nos pueda dar una idea de la conmoción cultural que pudo suponer la súbita aparición de las magnitudes inconmensurables en el horizonte pitagórico, más allá incluso de la quiebra de las concepciones filosóficas pitagóricas y de la ruina lógico–matemática de las pruebas geométricas que implicaban proporciones. Por lo aducido en este sentido, la condena al ostracismo del término irracional en el Libro X podría ser tanto una mutilación como un anacronismo.
La oscura, intrincada, problemática y hasta confusa organización del libro X ha propiciado diversas interpretaciones sobre su significado como encrucijada en Los Elementos. Importantes historiadores modernos de las Matemáticas –Heath, Van der Waerden, Mueller, Fowler, Knorr, ...– han dado sus juicios al respecto. He aquí algunos extractos de estas opiniones que guardan relación con la opinión de Stevin sobre el Libro X como la «cruz de los matemáticos» (Euclides. Elementos. Traducción y notas de M.L.Puertas, Gredos, Madrid, 1996, vol.3, Libros X–XIII, p.11):
• El Libro X responde al problema de determinar cuándo la raíz de ciertas líneas irracionales es un irracional dl mismo tipo y sigue una línea algebraica de pensamiento. • El Libro X carece de una motivación intuitiva clara y parece dedicado a elaborar una
clasificación de líneas irracionales en respuesta al problema de construcción del Icosaedro en la Proposición XIII.16.
• El Libro X se centra en el estudio de las relaciones entre los lados y diagonales del decágono, el hexágono y e pentágono regulares con el diámetro del círculo circunscrito, conforme a un patrón de conmensurabilidad / inconmensurabilidad
EL LIBRO X DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
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La Proposición X.1 de Los Elementos de Euclides (edición de I. Barrow, Londres, 1678).La Proposición I del Libro X es una de las más importantes de Los Elementos, ya que en ella se demuestra el Principio de Eudoxo, que es la base preliminar del Método de Exhaución, instrumento fundamental de la Geometría griega para la resolución a los problemas infinitesimales sobre cuadraturas y cubaturas del Libro XII de Los Elementos de Euclides. A este teorema junto con la Definición V.4 –el Axioma de Eudoxo–Arquímedes o de Continuidad, se les ha atribuido la misión de excluir la existencia de infinitésimos en la Geometría griega con la finalidad de prevenir las paradojas de la Escuela de Elea sobre el infinito.
Página de la proposición 18 del Libro X de Los Elementos de Euclides de la edición latina de Isaac Barrow (Londres, 1655).
Un ejemplar de esta edición fue manejado por Newton y en él dejó su impronta el sabio en unas notas manuscritas.
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El Libro XI
Los resultados geométricos de los Libros XI, XII y XIII, cuyo origen –según Arquímedes– podría estar tanto en Demócrito como en Eudoxo, para los dos primeros, y en Teeteto para el tercero –según Proclo–, cubren el último campo temático de Los Elementos de Euclides: el desarrollo de la Geometría de los sólidos o tridimensional, aunque en los Libros XII y XIII todavía aparecen algunos teoremas de Geometría plana.
Esta parte de Los Elementos descansa en 28 definiciones agrupadas al comienzo del Libro XI, y a diferencia de los Libros de Geometría Plana carece de postulados propios. Consta de 75 proposiciones, de las cuales 63 son teoremas y las 12 restantes problemas, aunque algunas de éstas en realidad tienen un carácter mixto.
Con los Libros XI, XII y XIII Euclides atiende la queja que Platón había vertido en el diálogo la República acerca de que el estudio de la Geometría del espacio había sido hasta el momento muy débil, de modo que debería ser promocionado por el Estado, y satisface el desafío que el filósofo había lanzado a los matemáticos de la Academia para que hicieran progresar la ciencia geométrica de los sólidos de la misma forma demostrativa que se había hecho con la Geometría plana (República, 528b):
«[...] Siguiendo un orden gradual, después de la segunda dimensión se debería tratar la tercera, es decir, lo que se refiere al desarrollo de los cubos y lo que participa de la profundidad [...]. No existe ninguna ciudad en la que se aprecien debidamente estos conocimientos [...], a pesar de que tiene un encanto extraordinario.»
He aquí una fuente real de origen platónico para los estudios geométrico–espaciales de los últimos Libros de Los Elementos de Euclides. Otra fuente de origen mitológico tiene que ver también con Platón en relación con una peste de Atenas. Consultado el oráculo de Delfos, Apolo exigió la solución del problema geométrico de la «Duplicación del Cubo». Tras diversas tentativas infructuosas de los atenienses, los sabios consejos geométricos de Platón permitieron conjurar una crisis que se había producido por la ira de los dioses ante el lamentable estado de los estudios sobre Geometría sólida.
Como buen platónico –según Proclo– Euclides dará plena satisfacción póstuma a la desiderata platónica. Tanto es así que el eminente matemático culmina su obra maestra, Los Elementos, con un magnífico estudio de los sólidos platónicos.
El Libro XI es una introducción general a la Estereometría –nombre para la Geometría tridimensional que aparece en el diálogo platónico Epinomis (991b) y en la obra de Aristóteles Analítica Posterior (Libro I, Cap.13, 78b)– que prepara el camino para los importantes resultados de los dos últimos libros. Contiene 39 proposiciones a las que anteceden 28 definiciones. En las 13 primeras se definen los conceptos de sólido, recta perpendicular a un plano, planos perpendiculares, ángulo de recta y plano, ángulos diedros, triedros y poliedros, planos paralelos –falta el paralelismo de recta y plano porque no se utiliza después–, figuras sólidas semejantes, prismas y pirámides.
En las cuatro últimas definiciones, Euclides introduce los cuatro poliedros regulares –cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro–, que son descritos según el número de polígonos de sus caras. Como elude el tetraedro, es de suponer que lo considera un caso particular de pirámide.
Se encuentran en el Libro XI teoremas sobre intersecciones de rectas y planos, rectas paralelas y perpendiculares, planos paralelos y perpendiculares, ángulos sólidos, paralelepípedos, prismas, etc.
Frente a la fachada axiomática del Libro I que abre la Geometría plana de Los Elementos de Euclides, sorprende un poco la ausencia de postulados geométricos en la antesala de la Geometría sólida que representa este Libro XI –en consecuencia, no aparecen especificadas en este Libro relaciones entre planos y puntos, planos y rectas, planos y planos–. De hecho un procedimiento que Euclides emplea de forma habitual, con una belleza digna de admiración, en la Geometría sólida es la reducción de una cuestión tridimensional a otra plana a la que, a su vez, aplica resultados que ha obtenido previamente. Como señala F.Vera (en Científicos griegos [Elementos de Euclides], Aguilar, Madrid, 1970, p.920):
«Establecidas las definiciones, Euclides pasa a demostrar los teoremas del Libro XI sin enunciar ningún postulado; defecto lógico que contrasta con el rigor del que dio fidedignas pruebas en la Geometría plana, que la hace superior a la del espacio. Un sistema de postulados, como en el Libro I hubiera evitado algunas demostraciones defectuosas y peticiones de principio de que adolecen ciertos teoremas existenciales de los tres último libros.»
Debido a su influencia sobre el más importante teorema de los poliedros que aparece en el último resultado de Los Elementos de Euclides, tal vez una de las proposiciones más importantes de este Libro sea la XI.21 que asegura que la suma de los ángulos planos de un ángulo sólido es menor que cuatro rectos.
El libro XI culmina con la primera determinación de un volumen, el del prisma triangular, punto de apoyo para la métrica del resto de volúmenes, de lo que se ocupa el Libro XII.
Definiciones:
D.XI.1. Un sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad [Aristóteles, Del Cielo, I.1,268b6; Tópicos VI 5, 142b24].
D.XI.2. Los extremos de un sólido son superficies.
D.XI.3. Una recta es ortogonal a un plano cuando forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el plano.
D.XI.4. Un plano es ortogonal a otro plano cuando las rectas trazadas en uno de los planos formando ángulos rectos con la sección común de los dos planos forman ángulos rectos con el otro plano.
D.XI.5. Cuando desde el extremo de una recta elevado sobre un plano se traza una perpendicular al plano y se traza otra recta desde el punto que va hasta el extremo que está en el plano de la primera recta, el ángulo comprendido por la recta así trazada y la que está sobre el plano es la inclinación de la recta con respecto al plano [ángulo de recta y plano].
D.XI.6. La inclinación de un plano respecto de otro plano es el ángulo agudo comprendido por las rectas trazadas en uno y otro plano de modo que formen ángulos rectos con la sección común de los dos planos en un mismo punto de ella [ángulo diedro]. D.XI.7. Se dice que un plano se inclina sobre otro plano de manera semejante a como otro
114
D.XI.8. Planos paralelos son los que no concurren.D.XI.9. Figuras sólidas semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número.
D.XI.10. Figuras sólidas iguales y semejantes son las comprendidas por figuras planas semejantes iguales en número y tamaño.
D.XI.11. Un ángulo sólido es la inclinación de más de dos líneas que se tocan entre sí y no están en la misma superficie respecto a todas las líneas. O dicho de otra forma: un ángulo sólido es el que está comprendido por más de dos ángulos planos construidos en el mismo punto, sin estar en el mismo plano.
D.XI.12. Una pirámide es una figura sólida comprendida por planos, construida desde un plano a un punto.
D.XI.13. Un prisma es una figura sólida comprendida por planos dos de los cuales, los opuestos, son iguales, semejantes y paralelos, mientras que los demás planos son paralelogramos.
D.XI.14. Cuando, estando fijo el diámetro de un semicírculo, se hace girar el semicírculo y se vuelve de nuevo a la misma posición inicial, la figura comprendida es una esfera [Euclides da una definición genética de la esfera, mientras Aristóteles en Del Cielo II.14, 297a24 la define como lugar de los puntos que equidistan del centro].
D.XI.15. El eje de la esfera es la recta que permanece fija en torno a la que gira el semicírculo.
D.XI.16. El centro de la esfera es el mismo que el del semicírculo.
D.XI.17. Diámetro de la esfera es cualquier recta trazada a través del centro y limitada en ambas direcciones por la superficie de la esfera.
D.XI.18. Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un triángulo rectángulo, se hace girar el triángulo y se vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cono. Y si la recta que permanece fija es igual a la otra del ángulo recto, el cono será rectángulo, y si es menor obtusángulo y si es mayor acutángulo.
D.XI.19. El eje del cono es la recta que permanece fija en torno a la que gira el triángulo. D.XI.20. La base de cono es el círculo que describe la recta que gira.
D.XI.21. Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un paralelogramo rectángulo, se hace girar el paralelogramo y vuelve de nuevo a la posición desde la que empezó a girar, la figura comprendida es un cilindro.
D.XI.22. El eje del cilindro es la recta que permanece fija en torno a la que gira el paralelogramo.
D.XI.23. Las bases del cilindro son los círculos descritos por los dos lados opuestos que giran.
D.XI.24. Conos y cilindros semejantes son los que tienen proporcionales los ejes y los diámetros de las bases.
D.XI.25. Un cubo es la figura sólida comprendida por seis cuadrados iguales.
D.XI.26. Un octaedro es una figura sólida comprendida por ocho triángulos iguales y equiláteros.
D.XI.27. Un icosaedro es la figura sólida comprendida por veinte triángulos iguales y equiláteros.
Algunas definiciones del Libro XI de Los Elementos de Euclides. Edición de Ratdolt (Venecia, 1482). Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso.
Las figuras geométricas se refieren a la pirámide y a la generación del cilindro y el cono por movimiento continuo
116
Proposiciones:
• Proposición XI.1. No es posible que una parte de una línea recta esté contenida en el plano de referencia y otra parte de la recta en un plano más elevado.
• Proposición XI.2. Si dos rectas se cortan una a otra están en el mismo plano, y todo triángulo está en un plano.
• Proposición XI.3. Si dos planos se cortan uno a otro su sección común es una recta.
• Proposición XI.4. Si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan una a otra en su sección común, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas.
• Proposición XI.5. Si se levanta una recta formando ángulos rectos con tres rectas que se tocan en su sección común, las tres rectas están contenidas en el mismo plano.
• Proposición XI.6. Si dos rectas forman ángulos rectos con el mismo plano, las rectas son paralelas.
• Proposición XI.7. Si dos rectas son paralelas y se toma un punto cualquiera en cada una de ellas, la recta que une estos puntos está contenida en el mismo plano que las paralelas.
• Proposición XI.8. Si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano cualquiera, la otra recta formará también ángulos rectos con el mismo plano.
• Proposición XI.9. Las paralelas a una misma recta y que no están contenidas en el mismo plano que la recta son también paralelas entre sí.
• Proposición XI.10. Si dos rectas que se tocan son paralelas a otras dos rectas que se tocan, sin estar en el mismo plano, comprenderán ángulos iguales.
• Proposición XI.11. Trazar una línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto dado elevado [exterior al plano].
• Proposición XI.12. Levantar una línea recta formando ángulos rectos con un plano dado desde un punto dado en el plano.
• Proposición XI.13. No se pueden levantar por el mismo lado dos rectas formando ángulos rectos con el mismo plano desde el mismo punto.
• Proposición XI.14. Los planos con los que una misma recta forma ángulos rectos serán paralelos.
• Proposición XI.15. Si dos rectas que se tocan son paralelas a dos rectas que se tocan sin estar en el mismo plano, los planos que pasan a través de ellas son paralelos.
• Proposición XI.16. Si dos planos paralelos son cortados por un plano, las secciones comunes son paralelas.
• Proposición XI.17. Si dos rectas son cortadas por planos paralelos, serán cortadas en las mismas razones.
• Proposición XI.18. Si una recta forma ángulos rectos con un plano cualquiera, todos los planos que pasen a través de ella formarán también ángulos rectos con el mismo plano.
• Proposición XI.19. Si dos planos que se cortan forman ángulos rectos con un plano, la sección común formará también ángulos rectos con el mismo plano.
• Proposición XI.20. Si un ángulo sólido está comprendido por tres ángulos planos, dos cualesquiera, tomados juntos de cualquier manera, son mayores que el restante.
La Proposición XI.21 sobre ángulos sólidos en la edición de Ratdolt de Los Elementos de Euclides (Venecia, 1482).
Esta proposición sobre ángulos sólidos juega un papel fundamental sobre el último teorema de
Los Elementos de Euclides:
«
existen cinco y sólo cinco poliedros regulares».EL LIBRO XI DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
EL LIBRO XI LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
Página de Los Elementos de Euclides, Libro XI, Proposiciones 33 (volúmenes de paralelepípedos). Manuscrito del siglo IX (Vat. gr. 190, vol. 2 fol.. 207 verso math22 NS.61 ).
El Libro XII
En el Libro XII, con sus 18 proposiciones, Euclides aplica, de forma impecable, el Método de Exhaución de Eudoxo para obtener diversos teoremas sobre el área del círculo y la cubatura –en nuestro lenguaje, el volumen– de pirámides, conos, cilindros y esferas. Todos estos resultados cubren, en manuales escolares de la Matemática Elemental, los capítulos sobre Geometría del Espacio
Las dos primeras proposiciones, donde Euclides aplica por primera vez el Método de exhaución, sirven para demostrar que los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros.
En la Proposición 3, con un gran ingenio y habilidad, Euclides descompone toda pirámide triangular en dos pirámides iguales y semejantes a la original más dos prismas iguales, consiguiendo un resultado que prepara la aplicación del Método de Exhaución y permite demostrar los siguientes resultados hasta la Proposición 7. En las Proposiciones 5 y 6 se demuestra que en las pirámides que tienen la misma altura su volumen es proporcional a sus bases; Euclides primero considera el caso de la pirámide triangular; para el caso general descompone la base de una pirámide poligonal en triángulos por medio de diagonales que concurren en un mismo vértice, de modo que la pirámide resulta ser la suma de pirámides triangulares cuyos vértices son los de la poligonal. En la Proposición 7 Euclides consigue la descomposición de un prisma triangular en tres pirámides triangulares equivalentes, resultado que constituye el fundamento de toda la teoría de los volúmenes, empezando por su corolario: el volumen de la pirámide es la tercera parte de su base por su altura. La Proposición 8 demuestra que la razón entre los volúmenes de pirámides semejantes es el cubo de la razón de semejanza.
La Proposición 10 muestra que el volumen del cono es la tercera parte del de un cilindro que tiene la misma base y altura –es decir, un tercio de su base por su altura–. Entre las proposiciones 11 y 16 Euclides estudia para los conos y cilindros la relación entre el volumen y las bases o las alturas. En particular en la Proposición 12 se demuestra que la razón entre los volúmenes de conos y cilindros semejantes es la razón de los cubos de los diámetros de las bases.
La Proposición 17 juega respecto de la siguiente el mismo papel que la Proposición 1 respecto de la 2. En ella Euclides demuestra que poliedros semejantes inscritos en esferas son proporcionales a los cubos de sus diámetros, resultado que se aplica para demostrar la Proposición 18, última del Libro XII, según la cual los volúmenes de las esferas son proporcionales a los cubo de los diámetros.
La forma de introducir las áreas y volúmenes en Los Elementos es diferente a las de los libros escolares donde se obtienen las fórmula correspondientes:
• Area del círculo = πr2.
• Volumen de la pirámide = 1 B·h 3
• Volumen del cono = 1 r h2
3 π ⋅ ⋅
• Volumen de la esfera: 4 r3
3 π ⋅ .
Euclides va obteniendo estos resultados, paso a paso, mediante el Método de Exhaución en las Proposiciones 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 16, 17 y 18.
125
LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE EXHAUCIÓN
EN EL LIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
Los limitados conceptos numéricos de los griegos no permitían asignar a las figuras geométricas números que midieran sus áreas o sus volúmenes y por tanto tenían que calcular directamente con las figuras, que se trataban como magnitudes. Para llevar a cabo la cuadratura o cubatura de una figura, los griegos debían encontrar la razón de la figura y otra figura previamente conocida. Es por ello por lo que los griegos desarrollaron una sofisticada teoría de magnitudes y proporciones, sobre todo por parte de Eudoxo.
En la Geometría griega, dada una figura curvilínea A, para determinar su área a(A) se busca una sucesión creciente de polígonos inscritos {P1, P2, ...,Pn, ...}, que aproximen progresivamente el área de
A. El Método de Exhaución se idea para sustituir con absoluto rigor en la demostración de la magnitud de un área o volumen a la idea vaga e intuitiva de que el área de A es el límite de las áreas de los polígonos {P1, P2, ...,Pn, ...}. El horror al infinito de la cultura griega evitaba pasar al límite. En vez de
ello se intenta demostrar que se puede encontrar un polígono en la sucesión {P1, P2, ...,Pn, ...} cuyo área
difiera del área de la figura A en una cantidad menor que otra prefijada, es decir, que la diferencia puede hacerse «tan pequeña como se quiera». Simbólicamente: dado ε>0 se debe encontrar un polígono Pn tal que la diferencia a(A) – a(Pn) sea menor que ε para n suficientemente grande. A este respecto
cumple un papel fundamental la Proposición X.1 de Los Elementos que Euclides demuestra aplicando el axioma de Eudoxo-Arquímedes:
«Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad y se repite continuamente este proceso, quedará una magnitud menor que la menor de las magnitudes dadas.»
La operativa técnica de la aplicación de este teorema tiene lugar de la siguiente forma: Sean Ro y ε las dos magnitudes dadas a priori.
Si {R1, R2, R3, ···}, una sucesión que cumple: 1 < 0 2 < 1 3 < 2
1 1 1
R R , R R , R R , ....
2 2 2 podemos concluir que
se puede encontrar un natural n para el que Rn < ε .
En efecto: según el axioma de Eudoxo–Arquímedes (Def. V.4 de Los Elementos de Euclides) podemos hallar un entero positivo N tal que (N+1) ε > Ro. Entonces se tiene: 1< 0 < + ε < ε
1 1
R R (N 1) N
2 2 .
Análogamente: R2 <1R1 <1Nε <(N 1)− ε
2 2 . Procediendo sucesivamente, se llega en N pasos a la desigualdad deseada: RN < ε .
127
EL ÁREA DEL CÍRCULO
EN EL LIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
Las Proposiciones XII.1 y XII.2 sobre el área del círculo en la edición de Ratdolt de Los Elementos
EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE EN
ELLIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
El cálculo del volumen de la pirámide en Los Elementos se basa en la disección que hace Euclides en la Proposición XII.3 de una pirámide arbitraria de base triangular:
130
EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE EN
EL LIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
Puesto que en cada paso de la disección exhibida en la construcción precedente la suma de los volúmenes de los prismas es mayor que la mitad de la suma de los de las pirámides obtenidas en el paso anterior, el Principio de Eudoxo (X.1) permite establecer que se puede encontrar una unión de prismas P tal que:
V–v(P) < ε para n suficientemente grande.
Este aserto es la base para la demostración de la Proposición XII.5 de Los Elementos de Euclides: «Las pirámides triangulares que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.» Es decir, si A1 y A2 son las áreas de las bases, V1 y V2 los volúmenes, se verifica: 1 = 1
2 2
V A V A .
La demostración tiene lugar mediante el habitual argumento de la doble reducción al absurdo:
Si se supone 1 < 1 > 2 = 2
2 2 1
, es decir: 1 D
V A V A
V
V A A , tomemos ε = V2 – D.
Sea P2 la unión de todos los prismas obtenidos en el paso n de la disección mostrada de la
segunda pirámide, con para n suficientemente grande, para que se pueda escribir:
V2 – v(P2) < ε = V2 – D,
Se tiene: v(P2) >D.
Ahora, si análogamente P1 es la unión de todos los prismas obtenidos en el paso n de la
disección de la primera pirámide, según los cálculos anteriores, se verifica:
+ + + + ⋅⋅⋅ + = = = + + ⋅⋅⋅ +
1 2 n 1
1 1 1
2 2
2 2 n 1
1 1 1
A h
v(P ) 4 4 4 A V
1 1 1
v(P ) A h A D
4 4 4
Así pues, = 1 >
2 1
V
D 1
v(P ) v(P ) , de donde resulta: v(P2) < D , resultado que está en contradicción con el obtenido anteriormente: v(P2) >D. Por tanto, la asunción 1 < 1
2 2
V A
V A es falsa.
Intercambiando los papeles entre las dos pirámides, se demuestra, análogamente, que la asunción 1 > 1
2 2
V A
V A también es falsa. De donde concluimos que la igualdad =
1 1
2 2
V A
V A es cierta.
En particular, de la Proposición XII.5 resulta que las pirámides que tienen iguales el área de las bases y las alturas tienen el mismo volumen.
Y puesto que el volumen de un prisma es el producto de su base por su altura –consecuencia a su vez de la Proposición XI.32 de Los Elementos de Euclides : «Los paralelepípedos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases»– podemos enunciar definitivamente que :
«El volumen de una pirámide triangular es un tercio del producto de su base por su altura.» El mismo resultado es válido para cualquier pirámide poligonal al descomponer el polígono de la base en triángulos mediante el trazado de las diagonales que concurren en un vértice.
En la Proposición XII.7 de Los Elementos, Euclides demuestra con gran ingenio que «todo prisma triangular se descompone en tres pirámides triangulares equivalentes». Las tres pirámides son equivalentes porque al tener la misma altura y el mismo área sus bases tienen el mismo volumen, según se ha visto.
EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE EN EL
LIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
132
EL VOLUMEN DEL CONO EN
EL LIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
En la Proposición XII.10 de Los Elementos, Euclides demuestra:
EL LIBRO XII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
Y LA INFLUENCIA DE EUCLIDES SOBRE ARQUÍMEDES
Los Elementos de Euclides en la edición de F. Domenichi, Venecia (1793). Esta versión contiene también obras de Arquímedes, como apunta su largo título: Degli Elementi d’Euclide gli otto libri contenenti la Geometria de’ piani e de’ solidi... Aggiuntavi in fine la dottrina d’Archimede. En concreto, esta edición tiene los Libros de Euclides, a excepción de los aritméticos (VII, VIII, IX), el X y el XIII, y también los teoremas de Arquímedes sobre la esfera, el cilindro y el cono.
Euclides y Arquímedes son las dos figuras más relevantes de la Matemática griega. Si Euclides es el gran maestro, compilador y el creador de un estilo de exposición, Arquímedes es el científico investigador por excelencia que magnifica de forma muy considerable el acervo matemático griego.
El Método de Exhaución preside la obtención de los resultados euclídeos del Libro XII sobre círculos, pirámides, cilindros, conos y esferas. Arquímedes atribuyó la obtención de muchos de estos resultados a Demócrito y las demostraciones rigurosas de los correspondientes teoremas a Eudoxo, de quien Euclides adaptaría el material para la redacción de Los Elementos.
En su famosa obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes demostrará de forma impecable, mediante el Método de Exhaución, resultados obtenidos mediante el Método Mecánico, sobre estas figuras y el cono, y en particular, la legendaria propiedad de la razón de 2 a 3 entre la esfera y el cilindro circunscrito, tanto en superficie total como en volumen, presente como epitafio en su tumba de Siracusa.
La Proposición XII.2 de Los Elementos dice que la razón del área de un círculo al cuadrado del diámetro es siempre la misma, un hecho de gran importancia que introducía una constante vinculada a todos los círculos y que, sin embargo, Euclides, de acuerdo con su proceder estrictamente geométrico, no reparó en su cuantificación. A este asunto dedicará Arquímedes todo un libro: Sobre la Medida del Círculo, donde obtiene una magnífica acotación del número π.
1. Euclides como geómetra. Grabado del siglo XVI.
137
EUCLIDES Y ARQUÍMEDES
SEGÚN FELIX KLEIN
F. Klein. Matemática elemental desde un punto de vista superior
Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dr: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. pp.253–255
Para hacer ver la limitación de materia de Los Elementos de Euclides frente a la totalidad de la Matemática griega es conveniente hacer una comparación con el primer matemático griego, Arquímedes, que vivió en Siracusa poco después de Euclides, hacia el año 250 a.C. La comparación hace resaltar las siguientes diferencias:
1. Contrariamente a lo que ocurre en Los Elementos de Euclides, en Arquímedes se encuentra fuertemente desarrollado el sentido del cálculo numérico. Basta recordar el cálculo del número π por medio de polígonos regulares y el valor aproximado 22/7 que para este número obtuvo. En Euclides, en cambio, no se encuentran ni huellas de tal interés por el cálculo numérico, pues, si bien nos dice que las áreas de dos círculos son (254) proporcionales a los cuadrados de sus radios, [...] ni siquiera ensaya el cálculo de factor de proporcionalidad, o sea el número π.
2. Es característico de Arquímedes el interés por las aplicaciones de todas las clases que le lleva a tratar numerosos problemas físicos y técnicos. Es sabido que encontró el principio fundamental de la hidrostática y que tomó parte en la defensa de Siracusa con potentes máquinas de su invención.
Euclides en sus Elementos prescinde de tal modo de las aplicaciones que los más sencillos instrumentos de dibujo, como la regla y el compás, no son ni siquiera mencionados, Postula, en abstracto que por dos puntos pasa una recta y que dado un punto, con él como centro se puede trazar una circunferencia, pero no emplea una sola palabra en mostrar cómo se hace. En esto Euclides sigue las ideas de ciertas Escuelas filosóficas antiguas que consideraban las aplicaciones prácticas como algo manual e impropio de la Ciencia
3. Finalmente, existe una diferencia que salta a la vista. Arquímedes fue un gran investigador que en cada uno de sus escritos avanza un paso más, sobre lo ya conocido, mientas que Los Elementos de Euclides se reducen a recoger y sistematizar los materiales ya existentes. De aquí su diferente forma de exposición, [...]. En este concepto es característico un manuscrito de Arquímedes encontrado en 1906 [HEIBERG, J. L.; ZEUTHEN, H. G.: Eine neue Schrift des Archimedes, Bibliotheca Mathematica de Teubner, pàgs. 321-363, Vol. VII3, Leipzig, juny, 19O7] en el cual comunica a
El Libro XIII
El último libro de Los Elementos de Euclides, con sus 18 proposiciones se dedica a estudiar las armoniosas propiedades de los cinco sólidos regulares, los «Cuerpos Platónicos», un tópico matemático de la Academia platónica, estudiada su geometría por el héroe Teeteto, amigo de Platón, y utilizados por éste para la construcción de la cosmogonía del Timeo (53a–56e). Con el Tetraedro, Cubo, Icosaedro y Octaedro había representado Platón los cuatro elementos materiales constitutivos del Cosmos –fuego, tierra, agua y aire– y con el Dodecaedro, la quintaesencia, la imagen misma del Cosmos en su conjunto estructural–. Puesto que Euclides debió formarse en el ambiente platónico de la Academia de Atenas, como parece indicar Proclo en su Comentario, él también debió sufrir la fascinación de sus miembros por los cinco poliedros regulares, para incluirlos como clímax final y culminación de un tratado tan brillante como Los Elementos. De hecho Proclo escribe:
«Euclides era platónico en cuanto a su opinión [...], ordenó diversos trabajos de Eudoxo, mejoró los de Teeteto [...], se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares.»
Esta opinión, basada en que Proclo como filósofo profesaba ciegamente como platónico, es manifiestamente exagerada, y no está respaldada por ninguna indicación del propio Euclides ni de ningún fragmento del texto de Los Elementos, aunque sí hay que decir que en el Libro XIII concurren materiales y resultados de casi todos los demás libros geométricos.
El Libro XIII tiene una estructura deductiva y una cohesión interna sumamente cuidada. Previamente al estudio de los poliedros, Euclides estudia en la seis primeras proposiciones nuevas propiedades de la división de un segmento en media y extrema razón, que, quizá, hubieran estado mejor ubicadas a continuación de la Proposición II.11, completando la parte de Álgebra Geométrica del Libro II. No obstante, estos resultados son una especie de lemas requeridos para pruebas posteriores. Se cree que proceden de Eudoxo, pues Proclo escribe en su Comentario que Eudoxo «hizo progresar las cuestiones relativas a la sección a partir de Platón». Se supone que se trata de la sección áurea. En la Proposición 7 se examinan los pentágonos equiangulares y en la 8 se demuestra que las diagonales de un pentágono se cortan en razón áurea –un resultado pitagórico de presunta trascendencia sobre el descubrimiento de los inconmensurables–. Desde la Proposición 9 a la 12 Euclides demuestra algunos resultados curiosos y bellísimos sobre triángulos, pentágonos, hexágonos y decágonos regulares inscritos en el mismo círculo. En particular, de la 9 resulta que los lados del hexágono y el decágono se yuxtaponen de forma áurea; y de la 10 que los lados del pentágono, hexágono y el decágono forman un triángulo rectángulo.
El tratamiento euclídeo de los poliedros regulares es especialmente importante para la Historia de la Matemática porque contiene el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación. En Euclides no se encuentra –como en Platón– una definición genérica de poliedro regular sino que los introduce uno por uno en las definiciones XI.12 (pirámide), XI.25 (cubo), XI.26 (octaedro), XI.27 (icosaedro), XI.28 (dodecaedro) de Los Elementos. Bajo la inspiración platónica, Euclides emprende la empresa geométrica de inscribir cada uno de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro– en la esfera, a base de hallar las razones de la arista de cada poliedro regular al diámetro de la esfera circunscrita para cada uno de ellos, resultados obtenidos por Euclides en las Proposiciones 13, 14, 15, 16 y 17, que se consideran de tipo mixto –son al mismo tiempo problemas y teoremas– ya que su enunciado señala de forma expresa la construcción de un objeto y la demostración de alguna característica métrica esencial. Euclides obtiene, además, como corolario, que al dividir la arista del cubo en media y extrema razón, la arista del dodecaedro resulta ser la parte mayor.
139
Proposiciones:
• Proposición XIII.1. Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado del segmento mayor junto con el de la mitad de la recta entera es cinco veces el cuadrado de la mitad.
• Proposición XIII.2. Si el cuadrado de una línea recta es cinco veces el de un segmento parte de ella, cuando se divide el doble de este segmento en media y extrema razón, el segmento mayor es la parte que queda de la recta inicial.
• Proposición XIII.3. Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado del segmento menor junto con el de la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor.
• Proposición XIII.4. Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado de la recta entera y el del segmento menor juntos, son el triple del cuadrado del segmento mayor.
• Proposición XIII.5. Si se divide una recta en media y extrema razón, y se le añade otra recta igual al segmento mayor, la recta entera queda dividida en media y extrema razón, y la recta inicial es el segmento mayor.
• Proposición XIII.6. Si una recta expresable [racional] se divide una recta en media y extrema razón, cada uno de los segmentos es la recta sin razón expresable [irracional] llamada apótoma.
• Proposición XIII.7. Si tres ángulos de un pentágono equilátero, consecutivos o no, son iguales, el pentágono será equiángulo.
LA CONSTRUCCIÓN DE LOS POLIEDROS EN
EL LIBRO XIII DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
143
Fragmentos de las importantes Proposiciones de Euclides sobre los Poliedros: construcción e inscripción en una esfera del Icosaedro (XIII.16) y del Dodecaedro (XIII.17). Edición de Ratdolt de
Los Elementos de Euclides (Venecia, 1482). Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso.
LA CONSTRUCCIÓN DE LOS POLIEDROS EN
LA COSMOGONÍA POLIÉDRICA PITAGÓRICA
Proclo en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides atribuye a Pitágoras la construcción de «las figuras cósmicas», nombre relacionado con su uso en la elaboración de una cosmogonía pitagórica que asociaría los cuatro elementos primarios –fuego, tierra, aire y agua–, con los cuatro sólidos– tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro–, respectivamente, mientras el dodecaedro como símbolo general del universo se relacionaba de forma mística con el Cosmos, representación del universo armónico ordenado por el número.
Aecio (basándose en Teofrastro) atribuye a Pitágoras la cosmogonía descrita con estas palabras (W.K.C.Guthrie. Historia de la Filosofía griega. Vol.1. Gredos, Madrid,1999, p.256):
«Por ser cinco las figuras sólidas, denominadas sólidos matemáticos, Pitágoras dice que la tierra está hecha del cubo, el fuego de la pirámide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro, y del dodecaedro está compuesta la esfera del todo.»
Y también, más adelante (en Vida Pitagórica, XXXIV, 247, p.141), Jámblico escribe:
Dicen que la divinidad se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como un impío en el mar por sacrílego el que reveló cómo la estructura del icoságono (esto es el dodecaedro, una de las cinco figuras llamadas sólidas) se inscribía en una esfera.»
Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crítica histórica considera improbable que Pitágoras hubiera planteado la cosmogonía descrita, ya que, por una parte, fue Empédocles de Agrigento el primero que distinguió explícitamente los cuatro elementos primarios –fuego, tierra, aire y agua–, y por otra, según mencionan diversas fuentes, los primeros pitagóricos habrían reconocido sólo el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyéndose el octaedro y el icosaedro al brillante matemático de la Academia, Teeteto, que realizó importantes aportaciones sobre los inconmensurables y que fue honrado por su amigo Platón con el nombre de uno de sus Diálogos (142a–210d).
También Filolao y en parte Simplicio aseguran lo mismo, mientras que algunos escoliastas del Libro XIII de Los Elementos de Euclides aseguran que los cinco cuerpos platónicos no tuvieron su origen en Platón, sino que el cubo, la pirámide [el tetraedro] y el dodecaedro derivaban de los pitagóricos y las otras dos formas de Teeteto.
Los pitagóricos estaban fascinados por los sólidos regulares, sobre todo por el dodecaedro, debido a la presencia del emblemático pentágono en sus caras, generador al trazar las diagonales de la estrella pentagonal, llamada Pentagrama místico, que era el símbolo de identificación de los miembros de la secta pitagórica y responsable, junto con el
Teorema de Pitágoras, de la aparición de la inconmensurabilidad.
La construcción del dodecaedro era un secreto guardado celosamente, hasta el punto de que se fue fraguando una leyenda sobre el terrible fin de quien osó divulgar sus misterios, relatada entre otros autores por Jámblico (Vida Pitagórica, XVIII.88, p.97):
«De Hipasos cuentan que fue uno de los pitagóricos que por haber divulgado por escrito por primera vez la esfera de doce pentágonos [la construcción del dodecaedro inscrito en una esfera] pereció en el mar por impío.»
145
LOS POLIEDROS REGULARES EN
EL TIMEO
DE PLATÓN
Página del Timeo de Platón, traducido al latín, en el siglo V, por el helenista hispanorromano Calcidius. Manuscrito de la Colección Vaticana (Reg. lat. 1308 fols. 21 verso-22 recto medbio01 NAN.10). En el siglo XVI, este manuscrito pertenecía a la Universidad de Leiden, de donde pasaría a la Biblioteca de la reina Cristina de Suecia, siendo entregado a la Biblioteca Vaticana a su muerte.
Los poliedros regulares se llaman «Cuerpos Platónicos» por el papel prominente que juegan en el famoso Dialogo de Platón sobre la Naturaleza, Timeo (Platón, 1969, 53a–56e) que es, sin duda, el más profundamente pitagórico de su obra. En él expone, de forma mística, la asociación que presuntamente habría hecho Pitágoras entre el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro y los cuatro elementos naturales primarios, que Empédocles había vinculado con la constitución de toda la materia; mientras que la veneración pitagórica por el dodecaedro conduce a Platón, fascinado por todo lo pitagórico, a considerar a este sólido como la quintaesencia, el quinto elemento,la sustancia de los cuerpos celestiales, el símbolo místico del Cosmos.
Platón construye, con base en Pitágoras y con el auxilio de Teeteto, una de las primeras teorías matemáticas completas: una definición general junto con una completa clasificación de los objetos que la satisfacen. La definición es: un sólido es regular si «tiene la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a). A continuación Platón estudia la generación y composición de los poliedros mediante elementos geométricos que son triángulos rectángulos con la hipotenusa doble de un cateto para el caso del tetraedro, octaedro e icosaedro y triángulos rectángulos isósceles para el caso del cubo. El dodecaedro es mencionado sólo al final del pasaje con una críptica sentencia de corte pitagórico:
«Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final» (Timeo 55c).
Enseguida Platón argumenta la identificación de cada poliedro (de acuerdo con sus cualidades) con cada uno de los elementos primarios para concluir (Timeo 55d):
«A la tierra le atribuimos la figura cúbica, porque la tierra es el [elemento] más difícil de mover, el más tenaz, el de las bases más sólidas, [...], la figura sólida de la pirámide [tetraedro] es el elemento y el germen del fuego; la segunda en orden de nacimiento [octaedro] es el elemento del aire, y la tercera [icosaedro], el del agua».
Para Platón (bajo una aureola de Filosofía pitagórica), el hacedor del universo creó el orden a partir del caos primigenio de los elementos por medio de las formas y los números esenciales de los poliedros, en una acción que culmina ese ordenamiento en la disposición armónica de los cinco elementos en el universo físico (Timeo 57b):
«Y por lo que respecta a las relaciones numéricas que se hallan en su número, en sus movimientos y en sus demás propiedades, hay que considerar siempre que el Dios [...] las ha realizado en todo de manera exacta, y así ha armonizado matemáticamente los elementos».
EL TIMEO
DE PLATÓN
Y LA DIVINA PROPORCIÓN
DE LUCA PACIOLI
Diseños de Leonardo da Vinci de los Sólidos Platónicos que aparecen en la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509).
En el Renacimiento emerge con fuerza inusitada, en Filosofía, Arte y Matemática, el significado simbólico, místico, cosmológico y cosmogónico
que Platón había concedido a los poliedros regulares en el Timeo.
[...] Platón asignó las cinco formas regulares a los cinco cuerpos simples que concurren en la formación de todo compuesto creado, es decir, a la
tierra, el aire, el agua, el fuego y el cielo, como aparece en su Timeo,
donde trata sobre la naturaleza del universo. Al elemento tierra le atribuyó la forma cúbica, es decir, la del hexaedro, dado que ninguna figura precisa de mayor violencia para moverse y, entre todos los elementos, ninguno es más fijo, constante y firme que la tierra. La forma del tetraedro la atribuyó al elemento del fuego, dado que éste, cuando vuela hacia arriba, origina la forma piramidal, como nos muestra nuestra vista cuando vemos que en la base es ancho y uniforme y que va adelgazándose hacia arriba de tal modo que su llama en lo alto termina en punta como el cono de la pirámide. La forma del octaedro la atribuye al aire, pues, así como el aire sigue al fuego en un pequeño movimiento, del mismo modo la forma del octaedro sigue a la piramidal por su facilidad para el movimiento. La figura de veinte bases, o sea, el icosaedro, la asignó al agua, ya que, al estar limitada por más bases que ninguna otra figura, le pareció que en la esfera convenía más al movimiento de la cosa que desciende derramándose que no al de la cosa que asciende. Y la forma de doce bases pentagonales la atribuyó al cielo como a aquello que es receptáculo de todas las cosas, del mismo modo que el dodecaedro es receptáculo y albergue de todos los otros cuerpos regulares, como se puede comprobar por la inscripción de un cuerpo en otro y además, porque, así como en el cielo hay doce signos en su zodíaco y cada uno de ellos se divide en treinta partes iguales, de manera que su revolución anual sea 360, de igual modo tiene este dodecaedro doce bases pentagonales, cada una de las cuales se resuelve en cinco triángulos con la punta en el centro, y cada uno de dichos triángulos en seis escalenos, que son treinta triángulos en cada base y trescientos sesenta en total, como en el mencionado zodíaco. [...] Y, así como el número de los cuerpos simples no puede aumentar en la naturaleza, de igual modo es imposible señalar otros cuerpos que sean iguales de bases, lados y ángulos y que, situados en la esfera, al tocar un ángulo la toquen todos los de más. [...] Por esta razón Platón atribuyó tales elementos a cada uno de los mencionados cuerpos simples, argumentando así como un magnífico geómetra y profundísimo matemático; viendo que las cinco diversas formas de estos cuerpos no pueden en modo alguno imaginarse ni formarse como no sea tendiendo hacia la esfera, con bases y ángulos iguales [...], argumentó con razón que dichas formas conducían a los cinco cuerpos simples y que de ellas dependía toda otra forma.
147
LOS POLIEDROS EN LAS OBRAS DE LUCA PACIOLI
1. Páginas relativa la geometría de los poliedros de la obra de Luca Pacioli
Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita. 2. Primera página de la obra de Luca
Pacioli La Divina Proporción
(Venecia, 1509) ilustrada de forma bellísima por Leonardo da Vinci. A pesar del título, la obra está dedicada sobre todo a un exhaustivo estudio de los poliedros.
Después del título de la obra de Luca Pacioli, el volumen impreso de La Divina Proporción empieza con dos poesías. La primera es un epigrama en latín transformado por Luca Pacioli –en su traducción poética al italiano– en un enrevesado soneto con estrambote. La poesía es un canto a las maravillosas virtudes de los sólidos platónicos. Es posible que la composición en latín sea del patricio veneciano Daniele Gaetani Cremonensis, autor de una epístola laudatoria hacia Luca Pacioli, mientras que traducción al italiano la hizo el propio autor de La Divina Proporción, dando muestras de su mística veneración hacia los sólidos platónicos.
SONETO DE LUCA PACIOLI
Cinque corpi in natura son producti, Da naturali semplici chiamati, Perchè a ciascun composito adunati Per ordine concorran fra lor tutti. Immixti, netti e puri fur constructi;
Quattro elementi e ciel così nomati; Quali Platone vol che figurati L’essere dien a infiniti fructi. Ma perchè el vacuo natura abhorre
Aristotil, in quel de Coelo et Mundo, Per se non figurati volesse porre. Però l’ingegno geometra profondo
Di Plato e d’Euclide piacque exporre Cinqu’altri che in sfera volgan tundo, Regolari, d’aspecto iocundo,
LOS POLIEDROS REGULARES Y LA ESFERA
Poliedro
Proposición
Arista
Tetraedro
Euclides. XIII.13
2
R 6
3
Cubo
Euclides.XIII.14
R 2
Octaedro
Euclides.XIII.15
2
R 3
3
Icosaedro
Euclides.XIII.16
R
10 5
(
5
)
5
−
Dodecaedro Euclides.XIII.17
R
(
15
3
)
3
−
LUCA PACIOLI.
LA DIVINA PROPORCIÓN
CAPÍTULO LVII (Pacioli, Akal, 1991, pp.105–106)
Cómo se colocan en la esfera los cinco cuerpos regulares
En la esfera podemos imaginar los cinco cuerpos regulares del modo siguiente:
En primer lugar, el tetraedro: si sobre la superficie de la esfera, es decir, sobre su revestimiento, se marcan o se imagina cuatro puntos equidistantes uno de otro en todos los sentidos y se unen mediante seis líneas rectas que, necesariamente, pasarán por dentro de la esfera, se formará exactamente en ella el cuerpo previsto. Y si imaginariamente cortamos la esfera con una superficie plana siguiendo dichas líneas en todos los sentidos, quedaría al descubierto justamente el mencionado tetraedro. [...]. Del mismo modo, si en la superficie esférica se marcan ocho puntos equidistantes entre sí y se unen mediante doce líneas rectas, habremos situado imaginariamente en la esfera el segundo cuerpo regular, llamado hexaedro o cubo, es decir, la figura del diabólico instrumento llamado dado. [...].
Y si en esa superficie se marcan seis puntos igualmente equidistantes entre sí, según se ha dicho, y se continúan o unen mediante doce líneas rectas, se habrá construido exactamente en dicha esfera el tercer cuerpo regular, llamado octaedro. [...].
Del mismo modo, si se marcan doce puntos y se unen mediante treinta líneas rectas, habremos colocado en dicha esfera el cuarto cuerpo, llamado icosaedro. [...].
Y si se marcan veinte puntos uniéndolos mediante treinta líneas rectas, se habrá formado en dicha esfera el quinto y nobilísimo cuerpo regular llamado dodecaedro, es decir, el cuerpo de doce bases pentagonales. [...].
149
LA ÚLTIMA PROPOSICIÓN (XIII.18)
DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
Fragmento de la última Proposición (XIII.18) de Los Elementos de Euclides. Edición de Ratdolt (Venecia, 1482). Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso.
El libro XIII de Los Elementos, y con él toda la brillante obra de Euclides culmina con el brillante esplendor de la última proposición, que ocupa el lugar 465, la XIII.18:
«Construir los cinco poliedros regulares inscritos en la misma esfera y comparar las aristas de las cinco figuras.»
Euclides traza la figura siguiente, y considera los segmentos:
A B
C D L
Z E
M
N H
K T
AB diámetro de la esfera AC = CB, AD = 2DB AH = AB, CL = KC .
Y demuestra, paso a paso, utilizando numerosas proposiciones anteriores (en particular las de la sección áurea) que:
• AZ es la arista t del tetraedro
• BZ es la arista c del cubo
• BE es la arista o del octaedro
• MB es la arista i del icosaedro
• NB es la arista d del dodecaedro Siendo la relación entre ellas:
• t2 = (4/3) o2 = 2c2 .
• o2 = (3/2) c2 .
LA ÚLTIMA PROPOSICIÓN (XIII.18)
DE
LOS ELEMENTOS
DE EUCLIDES
La ultima proposición de Los Elementos de Euclides (XIII.18) acaba, a su vez, con el teorema de clasificación de los poliedros, verdadero clímax de la obra de Euclides:
«Ninguna otra figura, además de estas cinco, se puede construir con polígonos equiláteros y equiángulos entre sí.»
Si concurren en un vértice m polígonos regulares de n lados, de acuerdo con la Proposición XI.21: «Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos»,
la demostración requiere resolver una inecuación en números enteros: m(n 2)· 180º 360º n
−
< . Esta inecuación es equivalente a (m–2)·(n–2)<4, que da como soluciones geométricas:
(m-2)·(n-2) < 4 :
n 3 (Tetraedro). para m 3 n 4 (Cubo).
n 5 (Dodecaedro). para m = 4, n = 3 (Octaedro). para m = 5, n =3 (Icosaedro). • = • = = = • •
El gran estudioso de Euclides Beppo Levi escribe al final de su obra Leyendo a Euclides (Zorzal, Buenos Aires, 2001, pp.219–220):
«El Libro XIII como coronación de Los Elementos de Euclides enseña la construcción y las propiedades de los poliedros regulares [...]; contiene también el teorema que afirma que no hay otros poliedros regulares además de los cinco platónicos; y si se considera la importancia que ellos tuvieron para la filosofía pitagórica, se puede bien pensar que tal coronación fuera digna propiamente para mostrar a Sócrates, la potencia del pensamiento abstracto»
EXISTEN CINCO Y SÓLO CINCO POLIEDROS REGULARES
EL TEXTO DE EUCLIDES (XIII.18)
Digo ahora que, aparte de las cinco figuras antedichas, no se construirá otra figura comprendida por [figuras] equiláteras y equiangulares iguales entre sí.
Porque no se construye un ángulo sólido con dos triángulo o, en absoluto, con dos planos. Sino que el ángulo de la pirámide se construye con tres triángulos, el del octaedro con cuatro, el del icosaedro con cinco; pero no se construirá un ángulo sólido mediante seis triángulos equiláteros y equiangulares [colocados] en un sólo punto; porque si el ángulo del triángulo equilátero es dos tercios de un recto, los seis serán iguales a dos rectos; lo cual es imposible, porque todo ángulo sólido es comprendido por menos de cuatro rectos [XI.21]. Por lo mismo, tampoco se construye un ángulo sólido con más de seis ángulos planos. Y el ángulo del cubo es comprendido por tres cuadrados; por cuatro es imposible, porque serán a su vez cuatro rectos. Y el [ángulo] del dodecaedro es comprendido por tres pentágonos equiláteros y equiangulares; por cuatro es imposible, porque, siendo el ángulo del pentágono equilátero un recto más un quinto, los cuatro ángulos serán mayores que cuatro rectos; lo cual es imposible. Y un ángulo sólido tampoco será comprendido por otros polígonos en razón de la misma imposibilidad.
