Operaciones con números complejos

Página 147

REFLEXIONA Y RESUELVE

Extraer fuera de la raíz

■ Saca fuera de la raíz:

a) b)

a) = = 4 b) = 10

Potencias de

■ Calcula las sucesivas potencias de :

a)

(

)

3=

(

)

2

(

)

= … b)

(

)

4 c)

(

)

5

a)

(

)

3=

(

)

2

(

)

= (–1) · = –

b)

(

)

4=

(

)

2

(

)

2 = (–1) · (–1) = 1

c)

(

)

5=

(

)

4· = 1 · =

¿Cómo se maneja k · ?

■ Simplifica.

a) –2 + 11 – 8 –

b) 5 + 2 – 10 + 3

c) 8 + – –

a) –2 + 11 – 8 – = 0 · = 0

b) 5 + 2 – 10 + 3 = 0

c) 8 + – – = + – – = 38 √–1

5 √–1

)

5 10 3 10 4 10 80 10

(

√–1 1 2 √–1 3 10 √–1 2 5 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 1 2 √–1 3 10 √–1 2 5 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1 √–1

√–1

√

–1

√–1 √–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1 √–1

√–1

√

–1

√–1 √–100

√–1 √–1 · 16

√–16

√–100 √–16

Expresiones del tipo a + b ·

■ Simplifica las siguientes sumas:

a)

(

–3 + 5

)

+

(

2 – 4

)

–

(

6

)

b) (–5)

(

5 +

)

– 2

(

1 – 6

)

a)

(

–3 + 5

)

+

(

2 – 4

)

–

(

6

)

= –1 – 5

b) (–5)

(

5 +

)

– 2

(

1 – 6

)

= –3 –

■ Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

a) 3

(

2 – 4

)

– 6

(

4 + 7

)

b) 8

(

5 – 3

)

+ 4

(

– 3 + 2

)

a) 3

(

2 – 4

)

– 6

(

4 + 7

)

= 6 – 12 – 24 – 42 = –18 – 54

b) 8

(

5 – 3

)

+ 4

(

– 3 + 2

)

= 40 – 24 – 12 + 8 = 28 – 16

Multiplicaciones

■ Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a)

(

4 – 3

)

· b)

(

5 + 2

)

· 8

c)

(

5 + 2

)(

7 – 3

)

d)

(

5 + 2

)(

5 – 2

)

a)

(

4 – 3

)

· = 4 – 3

(

)

2 = 4 – 3 (–1) = 3 + 4

b)

(

5 + 2

)

· 8 = 40 + 16

(

)

2 = –16 + 40

c)

(

5 + 2

)(

7 – 3

)

= 35 – 15 + 14 – 6

(

)

2 = 35 + 6 – = 41 –

d)

(

5 + 2

)(

5 – 2

)

= 25 – 10 + 10 – 4

(

)

2 = 25 + 4 = 29

Ecuaciones de segundo grado

■ Resuelve:

a)x2_{+ 10x+ 29 = 0 b)x}2_{+ 9 = 0}

a)x2+ 10x+ 29 = 0 8 x= = = =

= –5 ± 2

b)x2+ 9 = 0 8 x2= –9 8 x= ± = ±3 x1= 3√ — –1 — √–1

√–9

x₁= –5 + 2√—–1 x₂= –5 – 2√—–1 √–1

–10 ± 4√–1 2 –10 ±√–16

2 –10 ±√100 – 116

2

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 √1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1 √–1

√–1

Página 149

1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:

5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i

• Reales: 7, 0 y –7

Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i, –1 – i, 4i

Imaginarios puros: –5i, i, 4i

• Representación:

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:

a) z2+ 4 = 0 b) z2+ 6z+ 10 = 0

c) 3z2+ 27 = 0 d) 3z2– 27 = 0

a)z= = = ± 2i

z₁= 2i, z₂= –2i

b) z= = =

= = –3 ±i; z₁= –3 – i, z₂= –3 + i

–3 + i

–3 – i

– 6 ± 2i 2

– 6 ±√– 4 2 – 6 ±√36 – 40

2

2i

–2i

± 4i 2 ± √–16

2

i

— + — 1 i

2 5 4

5 – 3i

4i

–5i

7 –7

–1 – i √—3i

1

√3

√3 5

4 1 2

√3 5

c)z2_{= – 9 8 z= ± = ± 3i}

z₁= –3i, z₂= 3i

d)z2_{= 9 8 z= ±3}

z₁= –3, z₂= 3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:

a) 3 – 5i b) 5 + 2i c) –1 – 2i d) –2 + 3i

e) 5 f) 0 g) 2i h) –5i

a) Opuesto: –3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

b) Opuesto: –5 – 2i

Conjugado: 5 – 2i

–5 – 2i

5 + 2i

5 – 2i

–3 + 5i 3 + 5i

3 – 5i

–3 3

3i

–3i

c) Opuesto: 1 + 2i

Conjugado: –1 + 2i

d) Opuesto: 2 – 3i

Conjugado: –2 – 3i

e) Opuesto: –5

Conjugado: 5

f ) Opuesto: 0

Conjugado: 0

g) Opuesto: –2i

Conjugado: –2i

h) Opuesto: 5i

Conjugado: 5i 5i

–5i

2i

–2i

0

5 –5

–2 + 3i

–2 – 3i 2 – 3i

–1 – 2i

4. Sabemos que i2_{= –1. Calcula i}3_{, i}4_{, i}5_{, i}6_{, i}20_{, i}21_{, i}22_{, i}23_{. Da un criterio} para simplificar potencias de i de exponente natural.

i3= –i i4= 1 i5= i i6= –1

i20_{= 1 i}21_{= i i}22_{= –1 i}23_{= –i}

CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:

in_{= i}4c+ r_{= i}4c_{· i}r_{= (i}4₎c_{· i}r_{= 1}c_{· i}r_{= 1 · i}r_{= i}r

Por tanto, in= ir, donde r es el resto de dividir n entre 4.

Página 151

1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i)

b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)

c) (3 + 2i) (4 – 2i) d) (2 + 3i) (5 – 6i)

e) (–i+ 1) (3 – 2i) (1 + 3i)

f ) g) h)

i ) j ) k)

l ) 6 – 3 5 + i m)

a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2 (–5 + 6i) = 6 – 5i + 2 – i+ 10 – 12i= 18 – 18i

b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = 2 – 3i– 5 – 4i + 3 – 2i= – 9i

c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i + 8i – 4i2_{= 12 + 2i+ 4 = 16 + 2i}

d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i+ 15i – 18i2_{= 10 + 3i + 18 = 28 + 3i}

e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i+ 2i2+ 3– 2i) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) =

= (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i– 5i– 15i2_{= 1 + 15 – 2i = 16 – 2i}

f ) = = = = = i

g) = = = = =

13 –1

–1 – 13i 10 3 – 13i– 4

9 + 1 3 – i– 12i + 4i2

9 – i2 (1 – 4i) (3 – i)

(3 + i) (3 – i) 1 – 4i

3 + i

20i 20 20i

16 + 4 8 + 4i + 16i+ 8i2

16 – 4i2 (2 + 4i) (4 + 2i)

(4 – 2i) (4 + 2i) 2 + 4i

4 – 2i

1 2

(– 3i)2 _{(1 – 2i)} 2 + 2i

)

2 5

(

4 – 2i i 1 + 5i

3 + 4i 5 + i

–2 – i

4 + 4i –3 + 5i 1 – 4i

3 + i 2 + 4i

4 – 2i

h) = = = =

= = – i= – i

i) = = = = =

= + i

j) = = = =

= = + i

k) = = = – 4i– 2 = –2 – 4i

l) 6 – 3

(

5 + i

)

= 6 – 15 + i= – 9 + i

m) = = = =

= = = =

= = + i= + i

2. Obtén polinomios cuyas raíces sean:

a) 2 + i y 2 – i b) –3i y 3i c) 1+ 2i y 3 – 4i

(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

a)

[

x–

(

2 + i

)] [

x–

(

2 – i

)]

=

=

[

(x– 2) – i

] [

(x– 2) + i

]

= (x– 2)2–

(

i

)

2=

= x2_{– 4x+ 4 – 3i}2_{= x}2_{– 4x+ 4 + 3 = x}2_{– 4x+ 7}

b) [x– (–3i)] [x– 3i] = [x+ 3i] [x– 3i] = x2_{– 9i}2_{= x}2_{+ 9}

c) [x– (1 + 2i)] [x– (3 – 4i)] = [(x– 1) – 2i] [(x– 3) + 4i] =

= (x– 1) (x– 3) + 4 (x– 1)i– 2 (x– 3)i– 8i2₌

= x2_{– 4x+ 3 + (4x– 4 – 2x+ 6)i + 8 = x}2_{– 4x+ 11 + (2x+ 2)i =}

= x2_{– 4x+ 11 + 2ix+ 2i= x}2_{+ (– 4 + 2i)x+ (11 + 2i)} √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 27 4 9 4 54 8 18 8 18 + 54i

8

–18 + 54i+ 36 4 + 4 –18 + 18i+ 36i– 36i2

4 – 4i2 (– 9 + 18i) (2 – 2i)

(2 + 2i) (2 – 2i)

– 9 + 18i (2 + 2i) – 9 (1 – 2i)

(2 + 2i) 9i2_{(1 – 2i)}

(2 + 2i) (–3i)2_{(1 – 2i)}

(2 + 2i)

6 5 6 5 2 5

– 4i+ 2i2 1 (4 – 2i) (–i)

i(–i) 4 – 2i

i

11 25 23 25 23 + 11i

25

3 + 11i+ 20 9 + 16 3 – 4i+ 15i – 20i2

9 – 16i2 (1 + 5i) (3 – 4i)

(3 + 4i) (3 – 4i) 1 + 5i

3 + 4i

3 5 –11

5

–11 + 3i 5 –10 + 3i– 1

5 –10 + 5i– 2i+ i2

4 + 1 (5 + i) (–2 + i)

(–2 – i) (–2 + i) 5 + i

–2 – i

16 17 4 17 32 34 8 34 8 – 32i

34

–12 – 32i + 20 9 + 25 –12 – 20i– 12i – 20i2

9 – 25i2 (4 + 4i) (–3 – 5i)

(–3 + 5i) (–3 – 5i) 4 + 4i

3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 _{sea imaginario puro?} (25 – xi)2_{= 625 + x}2_i2_{– 50xi= (625 – x}2_{) – 50xi}

Para que sea imaginario puro:

625 – x2= 0 8 x2= 625 8 x= ± = ± 25

Hay dos soluciones: x₁= –25, x₂= 25

4. Representa gráficamente z₁ = 3 + 2i, z₂= 2 + 5i, z₁ + z₂. Comprueba que z₁+ z₂ es una diagonal del paralelogramo de lados z₁ y z₂.

z₁+ z₂= 5 + 7i

Página 153

1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos:

a) 1 + i b) + i c) –1 + i

d) 5 – 12i e) 3i f) –5

a) 1 + i= 2_60° b) + i = 2_30° c) –1 + i= _135°

d) 5 – 12i= 13_{292° 37'} e) 3i = 3_90° f ) –5 = 5

2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 5_{(π/6) rad} b) 2_135º c) 2_495º

d) 3_240º e) 5_180º f) 4_90º

a) 5_(π/6)= 5

(

cos + i sen

)

= 5

(

+ i

)

= + i

b) 2 = 2 (cos135° + i sen135°) = 2

(

–√2 + i √2

)

= –√2 + √2i 5 2 5√3

2 1 2 √3

2

π

6

π

6

√2 √3

√3

√3 √3

7i

i

5i

z1 + z2

z1

z2

1 2 3 4 5

c) 2_495° = 2_135°= – + i

d) 3_240°= 3 (cos240° + i sen240°) = 3

(

– – i

)

= – – i

e) 5_180°= –5

f ) 4_90°= 4i

3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z= r_a.

Opuesto: –z= r_{180° + a} Conjugado: –z= r_{360° – a}

4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo: z = 8(cos 30º + i sen 30º)

z= 8_30°= 8 (cos30° + i sen30°) = 8

(

+ i

)

= + i = 4 + 4i

5. Sean los números complejos z₁= 4_60º y z₂= 3_210º. a) Expresa z₁ y z₂ en forma binómica.

b) Halla z₁· z₂ y z₂/z₁, y pasa los resultados a forma polar.

c) Compara los módulos y los argumentos de z₁·z₂ y z₂/z₁ con los de z₁ y z₂ e intenta encontrar relaciones entre ellos.

a)z₁= 4_60°= 4 (cos60° + i sen60°) = 4

(

+ i

)

= 2 + 2 i

z₂= 3_210°= 3 (cos210° + i sen210°) = 3

(

– – i

)

= – – i

b)z₁· z₂=

(

2 + 2 i

)

(

– – i

)

=

= –3 – 3i– 9i– 3 i2= –3 – 12i+ 3 = –12i= 12_270°

= = =

= = = =

( )

150°

c)z₁· z₂= 4_60°· 3_210°= (4 · 3)_{60° + 210°}= 12_270°

= =

( )

210° – 60°

=

( )

150° 3 4 3

4 3_210°

4_60° z₂

z₁

3 4 – 6√—3 + 6i

16 –3√—3 + 6i– 3√—3

4 + 12 –3√—3 – 3i+ 9i+ 3√—3i2

4 – 12i2

3√—3 3

(

– —–— – —i

)

(

2 – 2√—3i

)

2 2

(

2 + 2√—3i

)(

2 – 2√—3i

)

3√—3 3

(

– —–— – —i

)

2 2

(

2 + 2√—3i

)

z₂

z₁

√3 √3

√3 √3

3 2 3√3

2 √3

3 2 3√3

2 1

2 √3

2

√3 √3

2 1 2

√3 8

2 8√3

2 1 2 √3

2

3√3 2 3 2 √3

2 1 2 √2

Página 155

1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica: a) 1_150º· 5_30º b) 6_45º: 3_15º c) 2_10º· 1_40º· 3_70º d) 5_(2π/3)rad: 1_60º e)

(

1 – i

)

5 f ) (3 + 2i) + (–3 + 2i)

a) 1_150°· 5_30°= 5_180°= –5

b) 6_45°: 3_15°= 2_30°= 2 (cos30° + i sen30°) = 2

(

+ i

)

= + i

c) 2_10°· 1_40°· 3_70°= 6_120°= 6 (cos120° + i sen120°) = 6

(

– + i

)

= –3 + 3 i

d) 5_(2π/3)rad: 1_60°= 5_120°: 1_60°= 5_60°= 5 (cos60° + i sen60°) =

= 5

(

+ i

)

= + i

e)

(

1 – i

)

5= (2_300°)5= 32_{1 500°}= 32_60°= 32 (cos60° + i sen60°) =

= 32

(

+ i

)

= 16 + 16 i

f) 4i = 4_90º

2. Compara los resultados en cada caso: a) (2_30°)3, (2_150°)3, (2_270°)3

b) (2_60°)4_{, (2}

150°)4, (2270°)4, (2330°)4 a) (2_30º)3_{= 2}3

3 · 30º= 890º

(2_150º)3= 23_{3 · 150º}= 8_450º= 8_90º

(2_270º)3_{= 8}

3 · 270º= 8810º= 890º

b) (2_60º)4_{= 2}4

4 · 60º= 16240º (2_150º)4= 16_600º= 16_240º

(2_270º)4_{= 16}

1 080º= 160º (2_330º)4= 16_{1 320º}= 16_240º

3. Dados los complejos z = 5_45º, w= 2_15º, t= 4i, obtén en forma polar:

a) z · t, b) c) d) z · w3

t z3

w· t2 z

w2

√3 √3

2 1 2 √3

5√3 2 5 2 √3

2 1 2

√3 √3

2 1 2

√3 1 2 √3

a)z· w= 10_60°

b) = = =

( )

15°

c) = =

( )

–60°

=

( )

300°

d) = = 10_0°= 10

4. Expresa cos 3a y sen 3a en función de sen a y cos a utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que:

(a+ b)3= a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3 (1_a)3_{= 1 (cosa+ i sena)}3₌

= cos3_{a+ i3 cos}2_{asena+ 3i}2_cosasen2_{a + i}3_sen3_a=

= cos3a+ 3 cos2a senai– 3 cosa sen2a– i sen3a=

= (cos3_{a– 3 cosasen}2_{a) + (3 cos}2_{a sena– sen}3_a)i

Por otra parte: (1_a)3_{= 1}

3a= cos3a+ i sen3a

Por tanto:cos3a= cos3_{a – 3 cosasen}2_a

sen3a = 3 cos2_{asena– sen}3_a

Página 157

1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.

= = 1_{(360° · k)/6}= 1_{60°· k}; k= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raíces son:

1_0°= 1 1_60°= + i 1_120°= – + i

1_180°= –1 1_240° = – – i 1_300°= – i

Representación:

1

√3 2 1 2 √3

2 1 2

√3 2 1 2 √3

2 1 2

6

√1_0°

6

√1

5_45°· 8_45° 4_90° z · w3

t

125 32 125

32 125_135°

2_15°· 16_180° z3

w· t2

5 4 5_45° 4_30° z

4_30º z

2. Resuelve la ecuación z3_{+ 27 = 0. Representa sus soluciones.}

z3_{+ 27 = 0 8 z= = = 3}

(180° + 360°n)/3= 360° + 120°n; n= 0, 1, 2

z₁= 3_60°= 3 (cos60° + i sen60°) = 3

(

+ i

)

= + i

z₂= 3_180°= –3

z₃= 3_240°= 3 (cos240° + i sen240°) = 3

(

– – i

)

= – – i

3. Calcula:

a) b) c) d)

a) = = 1_{(270° + 360°k)/3}; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son:

1_90°= i 1_210°= – – i 1_330°= + i

b) = = 2_{(120° + 360°k)/4}= 2_{30° + 90°k}; k= 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

2_30°= 2

(

+ i

)

= + i

2_120°= 2

(

– + i

)

= –1 + i

2_210°= 2

(

– – i

)

= –1 – i

2_300°= 2

(

– i 1

)

= – √3 i 2

√3 2

√3 √3

2 1 2

√3 √3

2 1 2

√3 1 2 √3

2

4

√16_120°

4

√– 8 + 8√—3i

1 2 √3

2 1

2 √3

2

3

√1_270°

3

√–i

–2 + 2i

√

— 1 + √—3i √–25

4

√

–8 + 8√—3i

3

√–i

z1

z2

z3

–3

3√3 2 3 2 √3

2 1 2

3√3 2 3 2 √3

2 1 2

3

√27_180°

3

c) = = 5_{(180° + 360°k)/2}= 5_{90° + 180°k}; k= 0, 1

Las dos raíces son: 5_90°= 5i; 5_270° = –5i

d) 3 = 3 = = _{(75° + 360°k)/3}= _{25° + 120°k}; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son: _25°; _145°; _265°

4. Resuelve las ecuaciones: a) z4+ 1 = 0

b) z6_{+ 64 = 0}

a)z4_{+ 1 = 0 8 z= = = 1}

(180° + 360°k)/2= 145° + 90°k; k= 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

1_45°= + i; 1_135°= – + i; 1_225°= – – i; 1_315°= – i

b)z6_{+ 64 = 0 8 z= = = 2}

(180° + 360°k)/6= 230° + 60°k; k= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raíces son:

2_30°= 2

(

+ i

)

= + 1 2_90°= 2i

2_150°= 2

(

– + i

)

= – + i 2_210°= 2

(

– – i

)

= – – i

2_270°= –2i 2_330°= 2

(

– i

)

= – i

5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones:

z· w, z/w, z2, z3

z y w raíces sextas de 1 8 z6_{= 1, w}6_{= 1}

(z· w)6= z6· w6= 1 · 1 = 1 8 z· w es raíz sexta de 1.

( )

6

= = = 1 8 es raíz sexta de 1.

z2= (z2)6= z12= (z4)3= 13= 1 8 z2 es raíz sexta de 1.

z3_{= (z}3₎6_{= z}18_{= z}16_{· z}2_{= (z}4₎4_{· z}2_{= 1}4_{· 1}2_{= 1 · 1 = 1 8 z}3 _{es raíz sexta de 1.} z

w 1

1 z6 w6 z

w

√3 1 2 √3

2

√3 1

2 √3

2 √3

1 2 √3

2

√3 1 2 √3

2

6

√64_180°

6

√– 64

√2 2 √2

2 √2

2 √2

2 √2

2 √2

2 √2

2 √2

2

4

√1_180°

4

√–1

6

√2

6

√2

6

√2

6

√2

6

√2

3

√√

—2_75°

√

√—8_135°

2_60°

√

–2 +2i 1 + √—3 i

6. El número 4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las otras tres raíces cuartas de z.

4 + 3i= 5_{36° 52'}

Las otras tres raíces cuartas de z serán:

5_{36° 52' + 90°}= 5_{126° 52'}= –3 + 4i

5_{36° 52' + 180°}= 5_{216° 52'}= – 4 – 3i

5_{36° 52' + 270°}= 5_{306° 52'}= 3 – 4i

7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:

a) b) c)

d) e) f )

a) = = 3_{(180° + 360°k)/2}= 3_{90° + 180°k}; k = 0, 1

Las dos raíces son:

3_90°= 3i; 3_270° = –3i

b) = = 3_{(180° + 360°k)/3}= 3_{60° + 120°k}; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son:

z₁= 3_60°= 3 (cos60° + i sen60°) = 3

(

+ i

)

= + i

z₂= 3_180°= –3

z₃= 3_300°= 3 (cos300° + i sen300°) = 3

(

– i

)

= – i

z1

z2

z3

–3

3√3 2 3 2 √3

2 1 2

3√3 2 3 2 √3

2 1 2

3

√27_180°

3

√–27

–3i

3i

√9_180° √– 9

3

√8i 5 ₃₂

√

i 3 _{1 – i}

√

1 + i

3

√2 – 2i

3

√–27

3

c) = = _{(315° + 360°k)/3}= _{105° + 120°k}; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son:

z₁= _105°= – 0,37 + 1,37i

z₂= _225°=

(

– – i

)

= –1 – i

z₃= _345°= 1,37 – 0,37i

d) 3 = 3 = = 1_{(270° + 360°k)/3}= 1_{90° + 120°k}; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son:

1_90°= i

1_210°= – – i

1_330°= – i

e)5 = 5 = = = 2_{(90° + 360°k)/5}= 2_{18° + 72°k}; k= 0, 1, 2, 3, 4

Las cinco raíces son:

z₁= 2_18°= 1,9 + 0,6i

z₂= 2_90°= 2i

z₃= 2_162°= –1,9 + 0,6i

z₄= 2_234°= –1,2 – 1,6i

z₅= 2_306°= 1,2 – 1,6i

f) = = 2_{(90º + 360º k)/3}= 2_{30º + 120º k}; k= 0, 1, 2

Las tres son:

z₁= 2_30º

z₂= 2_150º

z₃= 2_270º

z1

z2

z3 3

√8_90°

3

√8i

z1

z2

z3

z4 z5 5

√32_90°

5

√32i

√

–32 (–i) i(–i)

√

–32 i

1210° 1330°

i

1 2 √3

2 1 2 √3

2

3

√1_270°

√

√—2_315°

√—2_45°

√

1 – i 1 + i

√2

√2 2 √2

2 √2 √2

√2

√2 √2

3

√√

—8_315°

3

√2 – 2i

z1

z2

i

–i

z3

–1

Página 158

LENGUAJE MATEMÁTICO

1.Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas:

Describe con palabras cada una de las familias (“son los números complejos cuya parte real vale …”) y da un representante de cada una de ellas.

a)Re z= 3 b) –1 ÌIm z< 3 c) |z| = 3 d) |z| > 2 e) Arg z= 90°

2.Representa:

a) Re z= –3 b) Im z= 0 c) 3 < Re z≤5 d) |z|≥4 e) Arg z= 180°

a) b)

c) d)

e)

Página 162

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Números complejos en forma binómica

1 Calcula:

a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) b) 3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)

c) –2i– (4 – i)5i d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2

a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i + 4i – 2i2– 2 + 3i + 2i – 3i2=

= 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i

b) 3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i+ 2i2_{– 5 + 4i= 3 – 2i – 2 – 5 + 4i= – 4 + 2i}

c) –2i– (4 – i) 5i= –2i– 20i+ 5i2_{= –22i– 5 = –5 – 22i}

d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2 _{= 16 – (3i)}2_{– 16 – 9i}2_{+ 24i=}

= 16 + 9 – 16 + 9 + 24i= 18 + 24i

2 Calcula en forma binómica:

a) b)

c) (1 – i) d) +

a) = = = =

= = = 3 + 6i

b) = = = =

= = = = – i

c) (1 – i) = = = =

= = = + 23 i

13 15 13 15 + 23i

13 21 + 14i+ 9i– 6

9 + 4

(7 + 3i) (3 + 2i) (3 – 2i) (3 + 2i) 7 + 3i

3 – 2i 2 – 2i + 5i + 5

3 – 2i 2 + 5i

3 – 2i

7 20 9 20 9 – 7i

20 18 – 14i

40 12 + 4i– 18i+ 6

36 + 4

(–2 + 3i) (– 6 – 2i) (– 6 + 2i) (– 6 – 2i) –2 + 3i

– 6 + 2i –2 + 3i

– 4 + 4i – 2i– 2 –2 + 3i

(4 + 2i) (–1 + i)

24 + 48i 8 36 + 36i + 12i– 12

4 + 4

(18 + 6i) (2 + 2i) (2 – 2i) (2 + 2i) 18 + 6i

2 – 2i 12 – 6i+ 12i– 6i2

2 – 2i (3 + 3i) (4 – 2i)

2 – 2i

–3 – 2i 1 + 3i 1 + i

2 – i 2 + 5i

3 – 2i

–2 + 3i (4 + 2i) (–1 + i) (3 + 3i) (4 – 2i)

2 – 2i

d) + = + =

= + = + =

= = = + i

3 Dados los números complejos z= 1 – 3i, w= –3 + 2i, t= –2i, calcula:

a)zwt b)zt– w(t+ z) c) t

d) e) w f)

z= 1 – 3i; w= –3 + 2i; t= –2i

a)zwt= (1 – 3i) (–3 + 2i) (–2i) = (–3 + 2i+ 9i– 6i2)(–2i) =

= (3 + 11i) (–2i) = –6i – 22i2_{= 22 – 6i}

b)zt– w(t+ z) = (1 – 3i) (–2i) – (–3 + 2i) (–2i+ 1 – 3i) =

= (–2i + 6i2) – (–3 + 2i) (1 – 5i) = (–6 – 2i) – (–3 + 2i) (1 – 5i) =

= (–6 – 2i) – (–3 + 15i+ 2i– 10i2_{) = (–6 – 2i) – (7 + 17i) = –13 – 19i}

c) t= (–2i) = = =

= = = – + i

d) = = = =

= = – – i

e) w= (–3 + 2i) = (–3 + 2i) =

= – 3i (–3 + 2i) = –5 + i+ 9i– 6i2= 1 + i

f) = = =

= = –8 – 6i– 12 + 8i –20+ 2i= –10 +i

1 – 6i+ 9i2– (–3 + 2i)(– 4) 2

(1 – 3i)2– (–3 + 2i) (–2i)2 2

z2– wt2 2

37 3 10

3

)

5 3

(

3 – 9i+ 2 3 3(1 – 3i) +i(–2i)

3 3z+ it

3

4 13 6 13 –6 – 4i

9 + 4

2(–3 – 2i) (–3)2_{– (2i)}2 2 – 6i+ 6i

–3 + 2i 2(1 – 3i) – 3(–2i)

–3 + 2i 2z– 3t

w

9 5 7 5 –14 + 18i

10 4 + 12i+ 6i+ 18i2

1 + 9

(4 + 6i)(1 + 3i) 12– (3i)2 6i– 4i2

1 – 3i –3 + 2i

1 – 3i w

z

z2– wt2 2 3z+ it

3 2z– 3t

w

w z

13 10 –7 10 –7 + 13i

10 2 + 6i – 9 + 7i

10

– 9 + 7i 10 1 + 3i

5 –3 + 9i – 2i – 6

1 + 9 2 + i + 2i – 1

4 + 1

(–3 – 2i) (1 – 3i) (1 + 3i) (1 – 3i) (1 + i) (2 + i)

(2 – i) (2 + i) –3 – 2i

1 + 3i 1 + i

4 Calcula:

a) i37 _{b) i}126 _{c) i}–7 _{d) i}64 _{e) i}–216

a)i37_{= i}1_{= i b)i}126_{= i}2_{= –1}

c)i–7= = = i d)i64= i0= 1

e)i–216_{= = = = 1}

5 Dado el número complejo z= – + i, prueba que:

a) 1 + z+ z2= 0 b) = z2

a)z2=

(

– + i

)

2

= + i2– i= – – i=

= – – i = – – i

1 + z+ z2= 1 +

(

– + i

)

+

(

– + i

)

= 1 – + i– – i= 0

b) = = = = =

= = = = – – i

z2_{= – – i (lo habíamos calculado en a)}

Por tanto: = z2

Igualdad de números complejos

6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2 + mi) + (n+ 5i) = 7 – 2i.

(2 + mi) + (n+ 5i) = 7 – 2i

(2 + n) + (m+ 5)i= 7 – 2i 8 n= 5

m= –7

° ¢ £

2 + n= 7 m+ 5 = –2

° ¢ £ 1 z √3 2 1 2 √3 2 1 2 –1 – √3i

2 2

(

–1 – √3i

)

4 2

(

–1 – √3i

)

1 + 3

2

(

–1 – √3i

)

(–1 + √—3i) (–1 – √—3i) 2

–1 + √—3i 1

–1 + √—3i ———–—

2 1

1 √—3 – — + —i

7 Determina k para que el cociente sea igual a 2 – i.

= = = =

=

(

)

+

(

)

i = 2 – i 8

Por tanto, k= 3.

8 Calcula a y b de modo que se verifique: (a+ bi)2_{= 3 + 4i}

☛Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.

(a + bi)2_{= 3 + 4i}

a2_{+ bi}2_{+ 2abi= 3 + 4i}

a2_{– b}2_{+ 2abi= 3 + 4i 8}

b= =

a2–

( )

2= 3 8 a2– = 3 8 a4– 4 = 3a2 8 a4– 3a2– 4 = 0

a2= =

a= –2 8 b= –1

a= 2 8 b= 1

9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi, halla a y b para que su producto sea igual a 8 + 4i.

(2 – ai) (3 – bi) = 8 + 4i

6 – 2bi– 3ai+ abi2= 8 + 4i

6 – 2bi– 3ai– ab= 8 + 4i

(6 – ab) + (–2b– 3a)i= 8 + 4i

4 + 3a 6 – ab= 8 –2b– 3a= 4

° ¢ £

a2_{= 4 8 a = ±2} a2= –1 (no vale) 3 ± 5

2 3 ±√9 + 16

2

4 a2 2

a 2 a 4 2a

a2– b2= 3 2ab= 4

° ¢ £

1 – k 2 k+ 1

2

(k+ 1) + (1 – k)i 2 k– ki+ i + 1

1 + 1 (k+ i) (1 – i)

(1 + i) (1 – i) k+ i

1 + i

k+ i 1 + i

° § § ¢ § § £

= 2 8 k = 3

= –1 8 k= 3 1 – k

2 k+ 1

6 – a

(

)

= 8 8 6 + = 8

= 2 8 4a+ 3a2= 4 8 3a2+ 4a– 4 = 0

a= =

10 Calcula el valor de a y b para que se verifique:

a– 3i=

a– 3i=

(a – 3i) (5 – 3i) = 2 + bi

5a– 3ai– 15i– 9 = 2 + bi

(5a– 9) + (–3a– 15)i = 2 + bi

11 Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea un número:

a) Imaginario puro. b) Real.

(3 – 6i) (4 + bi) = 12 + 3bi– 24i + 6b= (12 + 6b) + (3b– 24)i

a) 12 + 6b= 0 8 b= –2

b) 3b– 24 = 0 8 b= 8

12 Determina a para que (a– 2i)2 sea un número imaginario puro.

(a– 2i)2_{= a}2_{+ 4i}2_{– 4ai= (a}2_{– 4) – 4ai}

Para que sea imaginario puro, ha de ser:

a2– 4 = 0 8 a = ±2 8 a₁= –2, a₂= 2

13 Calcula x para que el resultado del producto (x+ 2 + ix) (x– i) sea un nú-mero real.

(x+ 2 + ix) (x– i) = x2– xi+ 2x– 2i+ x2i – xi2=

= x2_{– xi+ 2x– 2i + ix}2_{+ x= (x}2_{+ 3x) + (x}2_{– x– 2)i}

Para que sea real, ha de ser:

x2– x– 2 = 0 8 x= = x1= –1 x₂= 2 1 ± 3

2 1 ±√1 + 8

2 a= 11/5 b= –108/5

° ¢ £

5a– 9 = 2 –3a– 15 = b

2 + bi 5 – 3i

2 + bi 5 – 3i – 4 ± 8

6 – 4 ±√16 + 48

6 4a + 3a2

2

4a+ 3a2 2 4 + 3a

–2

a= = 8 b= –3

a= –12 = –2 8 b= 1 6

Números complejos en forma polar

14 Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Ex-présalos en forma polar.

a) 1 – i b) –1 + i c) + i d) – – i

e) – 4 f ) 2i g) – i h)2 + 2 i

a) 1 – i= _315°

Opuesto: –1 + i = _135°

Conjugado: 1 + i= _45°

b) –1 + i= _135°

Opuesto: 1 – i = _315°

Conjugado: –1 – i = _225°

c) + i= 2_30°

Opuesto: – – i= 2_210°

Conjugado: – i = 2_330°

d) – – i= 2_210°

Opuesto: + i = 2_30°

Conjugado: – + i = 2_150°

e) – 4 = 4_180°

Opuesto: 4 = 4_0°

Conjugado: – 4 = 4_180°

f ) 2i= 2_90°

Opuesto: –2i= 2_270°

Conjugado: –2i = 2_270° √3 √3 √3

√3 √3 √3

√2 √2 √2

√2 √2 √2

√3 3

4

√3 √3

1 – i

–1 + i 1 + i

–1 – i

–1 + i

1 – i

√—3 + i

√—3 – i √—3 – i

–

√—3 + i

√—3 – i

–

√—3 + i

–

4 –4

2i

g) – i =

( )

270°

Opuesto: i=

( )

90°

Conjugado: i=

( )

90°

h) 2 + 2 i= _60°

Opuesto: –2 – 2 i= _240°

Conjugado: 2 – 2 i= _300°

15 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:

a) 2_45º b) 3_(π/6) c) _180º d) 17_0º

e) 1_(π/2) f) 5_270º g) 1_150º h)4_100º

a) 2_45°= 2 (cos45° + i sen45°) = 2

(

+ i

)

= + i

b) 3_(π/6)= 3

(

cos + i sen

)

= 3

(

+ i

)

= + i

c) _180°= (cos180° + i sen180°) = (–1 + i· 0) = –

d) 17_0°= 17

e) 1_(π/2)= cos + i sen = i

f ) 5_270°= –5i

g) 1_150°= cos150° + i sen150° = – + i = – + i

h) 4_100°= 4 (cos100° + i sen100°) = 4 (– 0,17 + i· 0,98) = – 0,69 + 3,94i 1

2 √3

2 1 2 √3

2

π

2

π

2

√2 √2

√2 √2

3 2 3√3

2 1 2 √3

2

π

6

π

6

√2 √2 √2

2 √2

2 √2 √14

√3 √14 √3

√14 √3

3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 3

4 3i/4

–3i/4

2 + 2 √—3i

16 Dados los números complejos:

z₁= 2_270°, z₂= 4_120°; z₃= 3_315° calcula:

a) z₁· z₂ b) z₂· z₃ c) z₁· z₃

d) e) f)

g) z 1

2

h) z 2

3

i) z 3

4

a)z₁ · z₂ = 8_30º b) z₂ · z₃ = 12_75º c) z₁ · z₃ = 6_225º

d) = 1,5_45º e) = 2_–150º = 2_210º f) = 1,5_105º

g) z₁2= 4_180º h) z₂3= 64_0º i) z₃4= 81_180º

17 Expresa en forma polar y calcula:

a) (–1 – i)5 b)

4

c)

d) e)

(

–2 + 2i

)

6 f ) (3 – 4i)3

a) (–1 – i)5=

(

_225°

)

5= 4 _{1 125°}= 4 _45°= 4

(

+ i

)

= 4 + 4i

b) = = _{(300° + 360°n)/4}= _{75° + 90°n}; n= 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

75° 165° 255° 345°

c) = = _(360°k)/4= 2 _90°k; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

2 _0°= 2 2 _90°= 2 i 2 _180°= –2 2 _270°= –2 i

d) = = 2_{(90° + 360°k)/3}= 2_{30° + 120°k}; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son:

2_30°= + i 2_150°= – + i 2_270°= –2i

e)

(

–2 + 2i

)

6= (4_150°)6_{= 4 096}

900°= 4 096180°= – 4 096 √3

√3 √3

3

√8_90°

3

√8i

√2 √2

√2 √2

√2 √2

√2 √2

√2

4

√26

4

√64_0°

4

√64

4

√2

4

√2

4

√2

4

√2

4

√2

4

√2

4

√2_300°

4

√

1 – √—3i

√2 2 √2

2 √2 √2

√2 √2

√3

3

√8i

6

√64

√

1 – √—3i

z₁· z₃ z₂ z₂

z₁ z₃

z₁

z₁· z₃ z₂ z₂

z₁ z₃

18 Calcula y representa gráficamente el resultado:

a)

3

b)

a)

(

)

3=

(

)

3 =

((

)

285°

)

3 =

( )

855° =

( )

135° =

= (cos135° + i sen135°) =

=

(

– + i

)

= + i

b) 3 = 3 = 3 = =

= =

( )

(71° 34' + 360°k)/3 = 6

23° 51' + 120°k

; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son:

6

23° 51'

= 0,785 + 0,347i

6

143° 51'

= – 0,693 + 0,56i

6

263° 51'

= – 0,092 – 0,853i

19 Calcula y representa las soluciones:

a) b) c)

a)

3

√

——4 – 4 i = = 2_{(300° + 360°k)/3}= 2_{100° + 120°k}; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son:

2_100°= – 0,35 + 1,97i

2_220°= –1,53 – 1,26i

2_340°= 1,88 – 0,68i

2 2 ₂

3

√8_300° √3

3

√8i

4

√–16

3

√

4 – 4√—3i

√

2 5

√

2 5

√

2 5

√

2 5 6 √10 3 √5 3 _√—₁₀

√

(

—

)

5 _{71° 34'}

3 _{1 3}

√

— + —i 5 5

√

1 + 3i 5

√

(1 + i) (2 + i) (2 – i) (2 + i)

√

1 + i 2 – i

1 4 –1 4 √2 2 √2 2 √2 4 √2 4 √2 4 √2 4 √2 2 √2_315°

2_30° 1 – i

√3 + i

3 _{1 + i}

√

2 – i

)

1 – i √—3 + i

(

1

i

–1 –— + —1 i

b) = = 2_{(180° + 360°k)/4}= 2_{45° + 90°k}; k= 0, 1, 2, 3

Las cuatro raíces son:

2_45°= + i 2_135°= – + i

2_225°= – – i 2_315°= – i

c) = = 2_{(90° + 360°k)/3}= 2_{30° + 120°k}; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son:

2_30°= + i 2_150° = – + i 2_270°= –2i

Página 163

20 Calcula pasando a forma polar:

a)

(

1 + i

)

5 b)

(

–1 – i

)

6

(

– i

)

c)

d) e) f )

g) h)

a) (1 + i )5= (2_60°)5 = 32_300°= 32 (cos300° + i sen 300°) =

= 32

(

– i

)

= 16 – 16 i

b)

(

–1 – i

)

6

(

– i

)

= (2_240°)6(2_330°) = (64_{1 440°}) (2_330°) =

= (64_0°) (2_330°) = 128_330°= 128 (cos330° + i sen 330°) =

= 128

(

+ i

)

= 64 – 64i

c) = = _{(120° + 360°k)/4} = _{30° + 90°k}=

= _{30° + 90°k}; k= 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son:

30°= + i 120°= – + i

210°= – – i 300°= – i √6

2 √2

2 √2

√2 2 √6

2 √2

√6 2 √2

2 √2

√2 2 √6

2 √2

√2

4

√22

4

√4

4

√4_120°

4

√

–2 + 2√—3i

√3 –1

2 √3

2 √3 √3

√3 √3

2 1 2 √3

2 – 2i

√

–3 + 3i

3

√–i

√–1 – i

6

√– 64 8

(1 – i)5

4

√

–2 + 2√—3i √3

√3 √3

2 2 2

√3 √3

3

√8_90°

3

√8i

2 2

2 2

√2 √2 √2

√2

√2 √2 √2

√2

4

√16_180°

4

d) = = = =

( )

–135°

=

( )

225°

=

= _225°= (cos225° + i sen225°) =

(

– – i

)

= –1 – i

e) = = _{(180° + 360°k)/6}= 2_{30° + 60°k}; k= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raíces son:

2_30°= + i 2_90°= 2i 2_150°= – + i

2_210°= – – i 2_270°= –2 2_330°= – i

f ) = = _{(225° + 360°k)/2}= _{112° 30' + 180°k}; k= 0, 1

Las dos raíces son:

112° 30' = – 0,46 + 1,1i 292° 30' = 0,46 – 1,1i

g) = = 1_{(270° + 360°k)/3}= 1_{90° + 120°k}; k = 0, 1, 2

Las tres raíces son:

1_90°= i 1_210° = – – i 1_330°= – i

h) = =

( )

180°

=

( )

(180° + 360°k)/2 =

=

( )

90° + 180°k

; k= 0, 1

Las dos raíces son:

( )

_90°= i

( )

270°

= – i

21 Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado z– en cada uno de estos casos:

a) z= 1 – i b) z= –2 – 2i c) z= –2 + 2i

a)z= 1 – i = 2_300°; –z= –1 + i = 2_120°; –z= 1 + i= 2_60°

b)z= –2 – 2i = 2 _225°; –z= 2 + 2i= 2 _45°; –z= –2 + 2i= 2 _135°

c)z= –2√3+ 2i= 4_150°; –z= 2√3– 2i= 4_330°; –z= –2√3– 2i= 4_210° √2 √2 √2 √3 √3 √3 √3 √3

√

2 3

√

2 3

√

2 3

√

2 3

√

2 3

√

2 3 2 3

√

2√—2_315°

3√—2_135°

√

2 – 2i –3 + 3i

1 2 √3 2 1 2 √3 2 3

√1_270°

3

√–i

4 √2 4 √2 4 √2 4 √2

√√

—2_225° √–1 – i

√3 √3

√3 √3

6

√26

6

√64_180°

6 √–64 √2 2 √2 2 √2 √2 √2 2 √2 8

4√2 8_0°

4√—2_{1 35°} 8_0°

4√—2_{1 575°} 8_0°

(

√—2_315°

)

5 8

22 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las si-guientes raíces:

a) b) c)

a) = = 1_{(90° + 360°k)/5}= 1_{18° + 72°k}; k= 0, 1, 2, 3, 4 Las cinco raíces son:

1_18° 1_90° 1_162° 1_234° 1_306°

Representación del polígono (pentágono):

b) = = 1_{(180° + 360°k)/6}= 1_{30° + 60°k}; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Las seis raíces son:

1_30° 1_90° 1_150° 1_210° 1_270° 1_330°

Representación del polígono (hexágono):

c) = = _{(30° + 360°k)/4}= _{7° 30' + 90°k}; k= 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son:

7° 30' 97° 30' 187° 30' 277° 30' Representación del polígono (cuadrado):

√—2

√2 √2

√2 √2

√2

4

√22

4

√4_30°

4

√

2√—3 + 2i

1

6

√1_180°

6

√–1

1

5

√1_90°

5

√i

4

√

2√—3 + 2i

6

√– 1

5

Ecuaciones y sistemas en

Ç

23 Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binó-mica:

a)z2+ 4 = 0 b)z2+ z+ 4 = 0

c)z2_{+ 3z + 7 = 0 d)z}2_{– z+ 1 = 0}

a)z2_{+ 4 = 0 8 z}2_{= – 4 8 z = ± = ±2i}

z₁= –2i, z₂= 2i

b)z2+ z + 4 = 0 8 z = = =

z₁= – – i, z₂= – + i

c)z2_{+ 3z + 7 = 0 8 z = = =}

z₁= – – i, z₂= – + i

d)z2_{– z + 1 = 0 8 z = = =}

z₁= – i, z₂= + i

24 Resuelve las ecuaciones:

a)z5+ 32 = 0 b)iz3– 27 = 0

c)z3+ 8i= 0 d)iz4+ 4 = 0

a)z5_{+ 32 = 0 8 z}5_{= –32}

z= = = 2_{(180° + 360°k)/5}= 2_{36° + 72°k}; k= 0, 1, 2, 3, 4 Las cinco raíces son:

2_36° 2_108° 2_180° 2_252° 2_324°

b)iz3_{– 27 = 0 8 z}3_{+ 27i = 0 8 z}3_{= –27i}

z= = = 3_{(270° + 360°k)/3}= 3_{90° + 120°k}; k= 0, 1, 2 Las tres raíces son:

3_90° 3_210° 3_330°

c)z3_{+ 8i = 0 8 z = = = 2}

(270° + 360°k)/3= 290° + 120°k; k= 0, 1, 2

Las tres raíces son:

2_90°= 2i 2_210°= –√3– i 2_330°= – √3 i

3

√8_270°

3

√–8i

3

√27_270°

3

√–27i

5

√32_180°

5

√–32

√3 2 1 2 √3

2 1 2

1 ±√3i 2 1 ±√–3

2 1 ±√1 – 4

2 √19

2 3 2 √19

2 3 2

–3 ±√19i 2 –3 ±√–19

2 –3 ±√9 – 28

2 √15

2 1 2 √15

2 1 2

–1 ±√15i 2 –1 ±√–15

2 –1 ±√1 – 16