Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007

02) Mediciones

0202) Mediciones

Desarrollado por el Profesor Rodrigo

Vergara Rojas

A) Teoría de Errores e Incertezas

“Si usted puede medir lo que está considerando y expresarlo en números, usted sabe algo sobre ello; pero cuando no puede cuantificarlo, su conocimiento es vago e insatisfactorio. Podría ser el comienzo de un conocimiento, aunque sin alcanzar el nivel de ciencia”.

Lord Kelvin

Tal como se mencionó anteriormente, el quehacer científico se basa en la observación y en la experimentación. A partir de ellos se pueden analizar los fenómenos de forma cualitativa (a través de percepciones) o de forma cuantitativa (a través de mediciones).

Las mediciones se obtienen a través de un instrumento de medición (regla, balanza, etc), el cual tiene graduada la unidad patrón

correspondiente y permite compararla con la variable a medir.

Es un hecho natural e inevitable que toda medición vaya siempre acompañada de incertezas. En todo fenómeno natural, por más simple que sea, uno no puede controlar ni predecir todas las variables, por lo que hay un cierto grado de incertidumbre en el resultado exacto. Ello explica que, en muchas ocasiones, se obtengan resultados distintos al repetir varias veces una misma medición. Con el fin de maximizar la confiabilidad y utilidad de las mediciones, y en consecuencia la validez del experimento, es necesario reducir lo más posible las influencias de

estos factores, y para ello se hace necesario analizar las fuentes de incertezas.

Lo ideal es que las mediciones sean lo más precisas y exactas posibles. Y ambos conceptos son diferentes. Mientras la exactitud se refiere a que los valores estén en torno al valor “exacto” o “esperado”, la precisión se refiere a que la dispersión entre las mediciones y el valor esperado no sea muy

Figura 1) Conceptos de exactitud y precisión

grande. En la figura 1 quedan claramente explicitados estos conceptos. Un instrumento mal calibrado puede dar un conjunto de mediciones precisas (todas concentradas en un punto), pero inexactas. Un experimento llevado a cabo con descuido puede dar lugar a mediciones exactas (en torno al valor esperado), pero imprecisas (muy dispersas).

Considere las cuatro reglas de 20 [cm] de la figura 2. Nominalmente, todas deberían tener la misma graduación, pero se observa claramente que existen pequeñas diferencias de longitud. Esto implica que si, por ejemplo, medimos la longitud de un lápiz con cada una de ellas, obtendremos resultados diferentes. En este caso, tenemos diferencia de calibración entre las reglas.

En general, existen tres tipos de incertezas o errores de medición:

a) Sistemáticos: Se producen por factores indeseables (externos o internos) que interactúan consistentemente con el sistema en estudio. No pueden ser detectados y eliminados por simple repetición del experimento. Ejemplos:

• Mala calibración de instrumentos.

• Malos hábitos de trabajo del científico.

• Errores de paralaje (mala ubicación del observador al leer los instrumentos)

• Efectos de factores no considerados en el experimento.

Como se evitan:

• Controlando el estado de los instrumentos.

• Estableciendo claramente las condiciones de observación y/o experimentación.

b) Accidentales o Aleatorios: Son usualmente los más responsables de que se obtengan valores distintos al repetir una medición. Ejemplos:

• Errores de apreciación.

• Errores por condiciones fluctuantes.

• Errores por características del objeto medido. Como se evitan:

• Repitiendo la medición varias veces y tomando el promedio de los valores obtenidos como el resultado de la medición.

• Usando sistemas de medición en donde los datos observados sean registrados automáticamente por medio de máquinas especializadas. Estas pueden eventualmente trazar gráficos para que el científico los analice.

c) Burdos: Errores producto de equivocaciones de procedimiento de parte del científico. Ejemplos:

• Leer mal un instrumento.

• Contar mal un número de sucesos.

• Errores de cálculo

• Procediendo en las mediciones con rigurosidad, preocupándose constantemente de hacer bien cada cosa.

El tomar en cuenta los errores de medición tiene una gran importancia práctica en muchos casos. Consideremos el siguiente ejemplo: Se necesitan anillos que se ajusten alrededor de cilindros de 8,17 [cm] de diámetro: Tanto para los anillos como para los cilindros, los valores están medidos con un 0,2% de error.

Los diámetros nominales del anillo DA y del cilindro DC son tales que D_A =D_C =8,17

[

]

El 0.2% de error significa que:

• El diámetro de los anillos varía entre 0.998·DA y 1.002·DA.

• El diámetro de los cilindros varía entre 0.998·DC y 1.002·DC.

Se pueden dar los siguientes casos extremos

• Cilindro de diámetro máximo y anillo de diámetro mínimo

[

]

[

]

8,17 1,002 D 100 ep 1 D 100 ep D

D'_{C C C} ⋅ _C = ⋅ ≈

     + = ⋅ + =

[

]

[

]

8,17 0,998 D 100 ep 1 D 100 ep D

D'_{A A A} ⋅ _A = ⋅ ≈

     − = ⋅ − =

En este caso, los anillos no entrarían en los cilindros

• Cilindro de diámetro mínimo y anillo de diámetro máximo

[

]

[

]

8,17 0,998 D 100 ep 1 D 100 ep D

D'_{C C C} ⋅ _C = ⋅ ≈

     − = ⋅ − =

[

]

[

]

8,17 1,002 D 100 ep 1 D 100 ep D

D'_{A A A} ⋅ _A = ⋅ ≈

     + = ⋅ + =

B) Error experimental

Considere el siguiente ejemplo: Dos estudiantes A y B midieron el valor en [ohm] de una resistencia usando un voltímetro analógico. Cada estudiante obtuvo una serie distintas de 12 mediciones, las cuales se muestran en la tabla 1

Para expresar los datos, existen dos formas típicas:

• Tablas de mediciones v/s frecuencia (nº de veces que se repite el dato)

• Gráficos de barras o Histogramas En las figuras 3 y 4 se muestran las tablas e histogramas para los datos tomados por ambos estudiantes

Nº SERIE A SERIE B

1 47,5 43,0

2 48,5 56,0

3 53,5 47,5

4 44,8 50,2

5 55,6 57,3

6 50,2 49,4

7 50,2 43,1

8 50,2 50,2

9 51,1 56,6

10 48,5 50,2

11 50,2 54,0

12 49,7 42,5

Resistencia [ohm]

Tabla 1) Lista de datos tomados por los estudiantes A y B

Para poder caracterizar estos conjuntos de mediciones, necesitamos al menos dos parámetros.

• Uno que entregue un valor representativo del conjunto de mediciones ⇒ PROMEDIO

• Uno que permita cuantificar el grado de dispersión del conjunto de mediciones respecto al valor representativo ⇒ DESVIACIÓN STANDARD.

Promedio

El promedio es igual a la suma total de los valores medidos, dividida por el número total de mediciones.

∑

=

=

N

1 i

i

prom

X

N

1

X

X

En la tabla 2 se muestran los promedios calculados para las series de mediciones obtenidas por los estudiantes A y B. Se aprecia que el promedio es el mismo en ambas series, siendo que son diferentes entre sí. Así, el promedio por sí solo no es suficiente para caracterizar una serie de mediciones.

Echando un vistazo a los respectivos histogramas, nos damos cuenta que, aunque el promedio es el mismo para ambas series, la distribución de los datos respecto al promedio es diferente. Por lo mismo, necesitamos otro parámetro que nos permita cuantificar el grado de dispersión o desviación del conjunto de mediciones. Intuitivamente podemos

anticipar que, mientras menor sea la dispersión, más podemos confiar en la información proporcionada por las mediciones.

Figura 4) Tabla de mediciones e histograma para los datos del estudiante B.

Nº SERIE A SERIE B 1 47,5 43,0 2 48,5 56,0 3 53,5 47,5 4 44,8 50,2 5 55,6 57,3 6 50,2 49,4 7 50,2 43,1 8 50,2 50,2 9 51,1 56,6 10 48,5 50,2 11 50,2 54,0 12 49,7 42,5 Suma 600,0 600,0 Promedio 50,0 50,0

Resistencia [ohm]

Parámetros de Desviación.

Sea un conjunto de mediciones X1, X2,…XN, cuyo promedio es X. Para cualquier medición Xi de

ese conjunto se pueden definir los siguientes parámetros:

• Error absoluto o desviación absoluta: Es la diferencia entre Xi y el promedio calculado.

X X absoluto error = _i−

• Error porcentual: Es un parámetro que nos da una medida comparativa de la magnitud del error cometido en la medición de Xi respecto del promedio.

100% X

X X porcentual

error ₌ i− _×

En las tablas 3 y 4 se muestra el cálculo de error absoluto para todos los datos tomados por los estudiantes A y B.

Un primer parámetro de desviación que podría ser considerado sería el promedio de las desviaciones absolutas. Supongamos que se define el parámetro de desviación como

(

)

∑

=

− =

N

1 n

n

dev X X

N 1 X

Desarrollando la expresión anterior

Tabla 3) Cálculo de Desviación estándar

0 X -X X N N 1 -X X N 1 X N 1 X N 1 n N 1 n n

dev =

∑

∑

= =

Es decir, este parámetro de desviación siempre tomaría el valor cero, independientemente de los datos.En las tablas 3 y 4 se observa que las desviaciones absolutas pueden tomar valores positivos y negativos, que al sumarse se anulan entre sí. Este parámetro no es de ninguna utilidad, pues da siempre el mismo valor independiente de los datos. Un parámetro de desviación igual a cero sólo puede provenir de un conjunto de mediciones en la que todos los datos sean iguales al promedio.

Para evitar este efecto de compensación de errores absolutos, resulta conveniente considerar el promedio de las desviaciones “al cuadrado”. Así, se define la “varianza” como dado por

(

)

∑

X X X

N 1

σ

Var

Por otra parte, como en este caso estamos midiendo resistencias y no resistencias al cuadrado, hay que obtener la raíz cuadrada de este promedio de desviaciones al cuadrado. Al valor que resulta se le denomina “desviación standard”, y se simboliza con la letra griega σ. Es un parámetro que indica la “precisión” con que se efectuaron las mediciones.

(

)

∑

X X X

N 1

σ

Comparando los resultados obtenidos para desviación estándar en las tablas 3 y 4, el mayor valor obtenido refleja un mayor grado de dispersión en la serie B. Luego, la medición de la serie A es la más confiable.

Las mediciones se expresan en el formato _{X =X ±}σ_{X, que significa que el valor medido está}

entre _{X −}σ_{X y}

X σ

X + . Así:

• Para los datos de la serie A, R_A =

(

)

[ ]

Consideraciones de simetría en histogramas

Considere el histograma de la figura 9, en el cual la distribución de los datos es simétrica respecto del promedio.

Si se quitan o agregan datos iguales al promedio, éste se mantendrá invariante, pues se agregan o quitan datos cuyo aporte a la sumatoria de desviaciones al cuadrado es cero.

• Si se agregan datos iguales al promedio, aumenta el número total de mediciones, por lo que disminuye la desviación estándar del conjunto de mediciones.

• Si se quitan datos iguales al promedio, disminuye el número total de mediciones, por lo que aumenta la desviación estándar del conjunto de mediciones.

Si se agregan n4 mediciones iguales a X −

κ

agregar n4 mediciones iguales a X +

κ

X

n

n

n

n

X

X

+

δ

δ

−

X

X

+

ε

ε

−

X

δ

ε

2