Problemas de la Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 2009

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Contenidos

Artículos

Cómo encontrar raíces complejas con regla

Traducido por el editor

Taller avanzado de geometría

Aarón Ramírez (Universidad de El Salvador)

Problemas de entrenamiento

Esta sección consta de problemas interesantes escogidos de diversas fuentes con el propósito de

brindar a estudiantes y docentes material de estudio personal. En esta ocasión presentamos los

problemas propuestos en el V Seminario de Resolución de Problemas Olímpicos de Matemática,

evento paralelo al curso de Futuros Dirigentes Técnico-Científicos de El Salvador en el cual

contamos con la participación de docentes de Guatemala, Honduras y Nicaragua.

Problemas olímpicos

Problemas de la Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 2009

La Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe (OMCC) es una competencia regional

creada en 1999 con el objetivo de estimular el estudio de la matemática en el área centroamericana.

Actualmente participan 12 países: Colombia, Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras,

México, Nicaragua, Panamá, Puerto Rico, República Dominicana y Venezuela. Cada país puede

participar enviando una delegación de tres estudiantes no mayores de 16 años. La 11ª edición de la

OMCC fue celebrada en octubre del presente año en Colombia, y los resultados obtenidos por la

delegación salvadoreña son:

José Daniel Madrid Bautista

Medalla de plata

Manuel Alejandro Mundo Dueñas

Medalla de bronce

Ramón Sanfeliu Beneke

Medalla de bronce

Problemas de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática 2009

La Olimpiada Iberoamericana de Matemática (OIM) es la competencia matemática de mayor

prestigio y dificultad a nivel latinoamericano. Fue celebrada por primera vez en 1989 a iniciativa de

Colombia y Argentina, como respuesta a la falta de una olimpiada que involucrara a todos los países

de la región. Desde ese entonces el número de países participantes ha ido en aumento hasta

comprender 23 países diferentes: Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Costa Rica, Cuba,

Ecuador, El Salvador, España, Guatemala, Honduras, México, Mozambique, Nicaragua, Panamá,

Paraguay, Perú, Portugal, Puerto Rico, República Dominicana, Uruguay y Venezuela. Cada uno de

estos países puede enviar al concurso una delegación de cuatro estudiantes no mayores de 18 años;

además cada estudiante puede participar un máximo de dos veces en la OIM. La 24ª olimpiada fue

celebrada en México en septiembre de este año, y los resultados de nuestra delegación son:

Julio César Ayala Menjívar

Medalla de bronce

Héctor Enmanuel Alberti Arroyo

Medalla de bronce

Nahomy Jhopselyn Hernández Cruz

Mención honorífica

Columna de problemas

Columna de problemas 3

En esta sección se incluyen 5 problemas de desafío a los lectores, quienes están invitados a resolverlos

y enviar sus mejores soluciones a la revista. Las soluciones más originales serán publicadas en el

siguiente número.

Soluciones a la columna de problemas 2

•

Problema 6: Resuelto por Ramón Sanfeliú Beneke (Academia Británica Cuscatleca).

•

Problemas 7 y 8: No se recibió ninguna solución. Ambos problemas siguen abiertos.

•

Problemas 9 y 10: Resueltos por Eduardo Arnoldo Aguilar Cañas (UCA).

Información de contacto

La revista del Programa Jóvenes Talento invita cordialmente a participar en su elaboración a todos los

miembros del Programa (alumnos, instructores, catedráticos, padres de familia) y al lector interesado

en general.

!

Artículos. Se invita a los lectores a contribuir con sus trabajos originales sobre matemática

elemental, o bien con artículos de divulgación científica. El documento debe incluir las

referencias académicas usadas en su elaboración, y la información de contacto de su autor,

incluyendo: Nombre, afiliación académica y correo electrónico.

!

Columna de problemas. Se invita a los lectores a enviar sus soluciones originales a los

problemas de esta sección, así como a proponer problemas interesantes para la columna del

siguiente número. El archivo enviado debe incluir la información de contacto del autor, y en

el caso de un problema propuesto su respectiva procedencia (nombre del libro, olimpiada, o

autor del problema).

Se solicita a los lectores enviar sus contribuciones, preguntas o comentarios a la dirección

[email protected], o bien contactar directamente con el editor.

Editor

Gabriel Alexander Chicas Reyes (Universidad de Tokio)

Correo electrónico: [email protected]

Apoyado por el grupo de instructores de Olimpiadas de Matemática del Programa Jóvenes Talento, y

la Asociación de Padres de Familia del Programa Jóvenes Talento (ASTALENTO)

Fecha tentativa para la siguiente edición: Marzo de 2010

C´

omo encontrar ra´ıces complejas con regla

(tomado del libroAn imaginary tale: The history of √₋1)

Es bien sabido que al graficar una funci´on polin´omicay =f(x), sus ra´ıces reales corresponden a las intersecciones de la curva con el eje de las abcisas; cada intersecci´on corresponde a una ra´ız distinta. Sin embargo, la gr´afica aparentemente no nos brinda informaci´on alguna sobre las ra´ıces complejas del polinomio (si existen). A continuaci´on discutiremos un m´etodo sencillo para encontrar dichas ra´ıces a partir la gr´afica de la funci´on.

Comencemos por el caso de la ecuaci´on cuadraticaf(x) =ax2_{+bx+c. Las dos ra´ıces de la ecuaci´on} son ambas reales o bien ambas complejas, dependiendo del signo del discriminante ∆=b2−4ac. Si ∆_≥0 las ra´ıces son reales y la gr´afica de la funci´on interseca dos veces al eje x, o bien es tangente a ´este (en el caso en el que ambas ra´ıces son iguales). Si∆ < 0 ambas ra´ıces son complejas y por tanto la curva no interseca al ejex, como se muestra en la figura. Ya que las dos ra´ıces son complejas conjugadas (¿por qu´e?) podemos expresarlas comop+iq yp₋iq, donde pyq son reales. Entonces factorizando la ecuaci´on original queda

f(x) =a(x₋p₋iq)(x₋p+iq) =a[(x₋p)2+q2].

Se sigue que f(x) alcanza su valor m´ınimo cuando x= psi a > 0, o bien alcanza su valor m´aximo sia < 0. En cualquier caso el punto x=pcorresponde al v´ertice de la par´abola, y en consecuencia podemos hallar el valor depmidiendo en la gr´afica la abcisa de dicho v´ertice.

Para encontrarq, consideremos la ordenada del v´erticef(p) =aq2_{. Tomando esta distancia dos veces} sobre el ejey marcamos 2aq2_{, y luego encontramos la intersecci´on de la par´abola y la rectay= 2aq}2_, como se indica en la figura. Si llamamosta la abcisa este punto tenemos que

2aq2=f(t) =a[(t2₋p)2+q2] =a(t₋p)2+aq2,

[image:4.612.198.421.433.622.2]

y de esto se desprende quep+q=t, o bienq=t₋p. A partir de esta relaci´on podemos medir el valor deq en la figura.

Figura 1: Encontrando las ra´ıces complejas de una ecuaci´on cuadr´atica

Ahora analicemos el caso de la ecuaci´on c´ubica. Claramente la ecuaci´on tendr´a tres ra´ıces reales o bien una ra´ız real y dos complejas (¿por qu´e?). Dado que el s´olo el ´ultimo caso es de nuestro inter´es aqu´ı, supongamos que las ra´ıces sonk, p+iq yp₋iq, donde k, pyqson reales. Factorizando la ecuaci´on tenemos que

f(x) = (x₋k)(x₋p₋iq)(x₋p+iq) = (x₋k)(x2

Ya que la ecuaci´on tiene solamente una ra´ız real, su gr´afica tendr´a la apariencia mostrada en la segunda figura. Observemos primero queOA=k. Para localizar las otras ra´ıces trazamos una tangente �a la

curva desde el puntoA, que interseca a ´esta en el puntoT. Notemos que podemos escribir la ecuaci´on

de�comoy=λ(x−k), dondeλes la pendiente de la recta. Dado queT es un punto com´un af(x) y �, sites la abcisa de T podemos escribir

λ(t₋k) = (t₋k)(t2₋2pt+p2+q2).

Claramentetes distinto de cero, as´ı que podemos cancelar el factor com´un a ambos lados para obtener λ=t2_−2pt+p2_+q2_{, o bien}

t2−2pt+p2+q2−λ= 0.

Pero ya que definimosT como punto de tangencia, esta ecuaci´on cuadr´atica debe tener una soluci´on

´unica, es decir, su discriminante deber ser igual a cero. Luego

0 = 4p2−4(p2+q2−λ) = 4(λ−q2),

y en consecuenciaλ=q2_{. Sustituyendo este valor en la ecuaci´on original obtenemos inmediatamente} t = p. Se sigue que podemos encontrar p y q indirectamente a partir de los valores de λ y t, que

podemos medir en la figura.

En conclusi´on, los pasos a seguir para determinar los valores depyqson los siguientes:

1. MedirOApara obtener el valor de la ra´ız real def(x).

2. Trazar la tangente� a la gr´afica desdeA. De esta manera localizamosT.

3. Trazar la proyecci´onM deT sobre el ejex.

4. MedirT M yAM, y luego calcularq= �

T M AM.

5. MedirOM para determinar el valor de p.

[image:5.612.188.423.465.654.2]

6. Las dos ra´ıces complejas def(x) sonp+iqyp−iq.

Figura 2: Ra´ıces complejas de una ecuaci´on c´ubica

Referencias

Taller avanzado de geometría

Aarón Ramírez

Problema 1:

Dado el triángulo ABC, sean P, Q, R en BC, CA, AB respectivamente, los puntos de tangencia de su

incírculo, y L, M, N en QR, RP, PQ respectivamente, los pies de las alturas del triángulo PQR.

a)

Demostrar que las rectas AL, BM y CN son concurrentes.

b)

Demostrar que el punto de concurrencia está sobre la recta de Euler del triángulo PQR.

Solución:

(a) Es propiedad conocida que los triángulos ABC y LMN son homotéticos (dado que los ángulos

ARQ, RPQ, RLM son iguales, por lo tanto AB||LM, y análogamente para los otros lados), por lo

tanto las rectas AL, BM, CN concurren en un punto T.

(b) Sean O y H el circuncentro y ortocentro del triángulo PQR, respectivamente, entonces OH es la

recta de Euler del triángulo PQR. Además, O es el incentro del triángulo ABC y H es el incentro del

triángulo LMN, por la homotecia, como los incentros son puntos correspondientes, deben estar

alineados con el centro de homotecia T, por lo tanto T pertenece a la recta de Euler del triángulo

PQR.

Problema 2:

El incentro de un triángulo es el punto de Nagel de su triángulo medial.

Solución:

Sea DEF el triángulo medial e I el incentro del triángulo ABC, T y U son las intersecciones de AI

con BC y FE respectivamente. Dado que BI es bisectriz en el triángulo ABT, por el teorema de la

bisectriz

Análogamente, si W es la intersección de EI con FD

Aplicando el Teorema de Menelao al triángulo WDI con la transversal FUE se tiene

Es fácil ahora probar que EF+FW=ED+DW, por lo que EW es una ceviana de Nagel, y

análogamente para DV, por lo que I es el punto de Nagel del triángulo DEF.

Problema 3:

Dado el triángulo ABC, sea O su circuncentro; se construye una circunferencia de centro O’ y

diámetro OA, y se definen los puntos R y S como las intersecciones de AB y AC con la

circunferencia. Sea M la intersección de OR con BO’, y N la intersección de OS con CO’. Sea X un

punto sobre MN tal que RAO= SAX. Demuestre que ARMX es cuadrilátero cíclico.

Solución:

Llamemos

Γ

a la circunferencia de centro O’ y diámetro OA. Se observa que

Γ

es tangente al

circuncírculo de ABC, con A como punto de tangencia; entonces, A es centro de homotecia de

dichas circunferencias, por lo que BC||RS.

Por otra parte, los triángulos BCO’ y RSO (en ese orden) están en perspectiva con respecto a O, y

por el teorema de Desargues, M, N y el punto de intersección de BC con RS deben estar alineados,

pero estas rectas son paralelas (se cortan en el punto al infinito respectivo a BC), por lo que

MN||BC||RS.

Problema 4: Teorema de Desargues Iterado

Sean abc y a’b’c’ dos triángulo en perspectiva con respecto a un punto P. La recta a’’ es aquella que

pasa por los puntos bc’ y cb’, análogamente se definen b’’ y c’’. Demuestre que el triángulo a’’b’’c’’

está en perspectiva con abc y a’b’c’ con respecto a P.

Solución:

Considere la siguiente figura. Sea A el vértice que se opone a la recta a del triángulo abc, y

análogamente para el resto de puntos B, C’’, etc. También se denota por A

b

el punto de intersección

de a y b’, y de igual manera quedan definidos el resto de puntos A

c

, B

a

, B

c

, C

a

, C

b

. Se sabe que AA’,

BB’, CC’ concurren en P, y se demostrará que A’’, B’’, C’’ pertenecen a cada una de estas rectas,

respectivamente, demostrando así el teorema. Por el teorema de Desargues, los puntos X=cc’, Y=aa’,

Z=bb’ están alineados, y determinan el eje de perspectiva de los triángulos abc y a’b’c’. Con esto, los

triángulos aa’c’’ y cc’a’’ están en perspectiva con respecto a Z=bb’, dado que B

a

B

c

=b, A

b

C

b

=b’, XY

pasan por Z, y de nuevo por el teorema de Desargues, el eje de perspectiva de BB’B’’, es decir, estos

tres puntos están alineados. El resto de los casos es análogo.

Problema 5:

Dos circunferencias k

1

y k

2

se intersecan en dos puntos A y B. Una línea que pasa por B corta a k

1 en

un punto C (aparte de B), y a k

2

en un punto E (aparte de B). Otra línea, que pasa por B corta a k

1 en

un punto D (aparte de B), y a k

2 en un punto F (aparte de B). Asuma que el punto B se ubica entre C

y E, y entre los puntos D y F. Finalmente, sean M y N los puntos medios de CE y DF. Pruebe que los

triángulos ACD, AEF y AMN son todos semejantes entre sí.

!

!

Solución:

!

Se observa que

ADF= = ACE

, porque sostienen el arco AB en k

1

, mientras que

AEC= =

AFD

, porque sostienen el arco AB en

k

2

. Así, los triángulos ADF y ACE (en ese orden) son

semejantes, y por tanto

_DAF=

_CAE

. Restando el ángulo CAF a estos ángulos se obtiene que

DAC= = FAE

, y utilizando una vez más la semejanza anterior, AD/AC=AF/AE, por lo que, por

criterio lal, los triángulos ADC y AFE son semejantes (en ese orden), lo que concluye la primera

parte.

!

Ahora bien, se probará que los triángulos ADN y ACM son semejantes (en ese orden), en base a la

semejanza de ADF y ACE. Esto se obtiene dado que DN/CM=DF/CE=AD/AC y

ADN = ACM

,

por lo que por criterio LAL, la semejanza buscada es cierta. Así

DAN=

CAM

, y restando el

CAN

se obtiene que

_DAC=

₌

_NAM

, y utilizando nuevamente que ADN y ACM son

semejantes, AD/AC=AN/AM, luego el triángulo ADC es semejante al ANM, por criterio LAL, lo

cual termina la prueba.

!

Contacto

V Seminario De Resoluci´

on De

Problemas Ol´ımpicos De Matem´

atica

Equipo de Dise˜

no:

Eduardo Arnoldo Aguilar Ca˜

nas

Gabriel Alexander Chicas Reyes

Eder Alexander Jacobo Ar´evalo

Aar´on Ernesto Ram´ırez Flores

15 de diciembre de 2009

´Indice

1. Problemas de Teor´ıa de N´

umeros.

2

2. Problemas de ´

Algebra.

3

3. Problemas de Combinatoria.

5

4. Problemas de Geometr´ıa.

7

1.

Problemas de Teor´ıa de N´

umeros.

1. Sea

N

el n´umero formado por 2010 cifras todas iguales a 9. Hallar la

suma de los d´ıgitos de

N

2

.

2. ¿Cu´al es el n´umero de divisores del n´umero 2010

2010

_{que son divisibles}

por exactamente 2010 enteros positivos?

3. Se escriben todos los n´umeros pares en el arreglo que se muestra en

la siguiente figura. Encontrar el n´umero de fila y de columna de de la

casilla donde est´a escrito el n´umero 2010.

2

4

6

8

16 14 12 10

18 20 22 24

32 30 28 26

34 36 38 40

... ... ... ... ...

4. Sea

d

(

n

) el n´umero de divisores del entero positivo

n

.

1

_{Por ejemplo}

d

(3) = 2 y

d

(10) = 4. Definimos

S

(

n

) =

d

(1) +

d

(2) +

_{· · ·}

+

d

(

n

)

Si llamamos

A

al n´umero de enteros positivos

n

entre 1 y 2010 tales

que

S

(

n

) es par, y

B

es el n´umero de aquellos tales que

S

(

n

) es impar,

¿cu´al es el valor de

A

₋

B

?

5. Hallar todos los primos

p

tales que la expansi´on decimal de

1

p

tiene

per´ıodo de longitud 6.

6. Sea

N

= +100

2

_{+ 99}

2

₋

₉₈

2

₋

₉₇

2

₊

_{· · ·}

_{+ 4}

2

_{+ 3}

2

₋

₂

2

₋

₁

2

_{, donde}

dos signos + seguidos se alternan con dos signos - seguidos. Calcular

el resto que

N

deja en la divisi´on por 1000.

7. Encontrar el menor entero positivo

n

que satisface

2010

|

n,

2009

_|

n

+ 1

,

2008

_|

n

+ 2

, . . . ,

2

_|

n

+ 2008

.

8. ¿Para qu´e valores enteros de

n

se cumple que los n´umeros 1+2+

· · ·

+

n

y 1

2

_{+ 2}

2

₊

_{· · ·}

₊

_n

2

_{son coprimos?}

1_{Incluyendo a 1 yn}

9. Sean

p

y

q

enteros tales que la ecuaci´on

x

2

+

px

+

q

= 0 tiene dos

soluciones reales

x

1

y

x

2

. Si se sabe que 1,

x

1

y

x

2

(en alg´un orden)

forman una progresi´on geom´etrica, probar que

q

es un cubo perfecto.

10. Dado un entero positivo

k

, sea

{

a

n

}

n≥1

una sucesi´on definida por:







a

1

= 2

a

2

=

k

2

+ 2

a

n

=

ka

n−1

−

a

n−1

para todo

n

≥

3

Hallar todos los valores de

k

tales que en la sucesi´on

_{

a

n

}

no aparece

ning´un m´ultiplo de 4.

2.

Problemas de ´

Algebra.

1. Ana eligi´o 3 d´ıgitos distintos y escribi´o todos los n´umeros de 3 cifras

que se forman con ellos sin repetir. Luego sum´o todos los n´umeros

que obtuvo. Sabiendo que la suma de los tres d´ıgitos originales es 14,

encuentre la suma obtenida por Ana.

2. Miguel sube la escalera de uno en uno. Daniel baja la escalera de dos en

dos. Daniel baja dos escalones en el mismo tiempo en que Miguel sube

uno. Ayer, cuando Miguel hab´ıa subido 11 escalones, Daniel empez´o a

bajar. Cuando Daniel termin´o de bajar, a Miguel le faltaba subir 8

escalones. ¿Cu´antos escalones tiene la escalera?

3. Un ciclista corre a la velocidad de 25

Km/h

en terreno plano; en subida

lo hace a 15

Km/h

y en bajada a 30

Km/h

. El ciclista hace 4 horas

y 24 minutos para recorrer una ruta en el sentido

AB

, y 4 horas y 36

minutos en el sentido

BA

. Si la ruta tiene una longitud de 100

Km

,

determine las longitudes del terreno plano, del terreno en cuesta y en

bajada cuando se viaja en el sentido

AB

.

4. Encuentre cinco n´umeros consecutivos tales que la suma de los

cua-drados de los dos m´as grandes sea igual a la suma de los cuacua-drados de

los tres menores.

5. Cien cofres contienen el mismo n´umero de monedas. Se toma del

pri-mero de ellos un cierto n´upri-mero de monedas; del segundo se toma el

doble n´umero de monedas que en el primero; del tercer cofre se toma

el triple de monedas que del primero, y as´ı sucesivamente. En el ´ultimo

cofre ´unicamente queda una moneda, y en total, quedan en todos los

cofres a´un 14950 monedas. ¿Cu´antas monedas hab´ıan inicialmente en

cada cofre?

6. Sea

n

un n´umero cuadrado perfecto, de cuatro cifras, todas

meno-res que 6. Si a cada cifra se le suma 1, el n´umero meno-resultante es otro

cuadrado perfecto. Determine

n.

7. Demuestre que 4a

3

_{+ 2b}

3

₌

_c

3

_{no tiene soluci´on en los n´umeros}

natu-rales.

8. Factorice

x

4

_{+ 4 como el producto de dos polinomios con coeficientes}

reales.

9. Calcule

_





1

2

−

1

3

1

3

−

1

4













1

4

−

1

5

1

5

−

1

6







· · ·







1

48

−

1

49

1

49

−

1

50







10. Simplifique

1

1

×

2

+

1

2

×

3

+

· · ·

+

1

k(k

+ 1)

11. Simplifique

1

√

1 +

√

2

+

1

√

2 +

√

3

+

· · ·

+

1

√

k

+

√

k

+ 1

12. Si

x, y

_∈

_R

son tales que

x

+

y

= 26 y

x

3

₊

_y

3

_{= 5408, ¿cu´anto vale}

x

2

+

y

2

?

13. Sean

a, b

tales que

ab

= 3 =

a

+

b. Calcule

a

3

+

b

3

.

14. Sabiendo que

�

x

+

1

x

�

2

= 7 calcule

x

3

₊

1

x

3

.

15. Calcule

a

3

₊

_b

3

₊

_c

3

_{si se sabe que}

_a

₊

_b

₊

_c

_{= 0 y}

_abc

_{= 1.}

16. Sean

a, b

_∈

R

y

a

_�

=

b. Calcule

a

+

b

a

₋

b

si:

2a

2

_{+ 2b}

2

_{= 5ab}

a

2

+

b

2

= 6ab

17. Sean

x, y

_∈

_N

tales que

x

+

y

+

xy

= 34. Calcule

x

+

y.

18. Si

a, b

son n´umeros reales tales que

a

−

b

=

ab

, calcule

a

b

+

b

a

−

ab

.

19. Sea

n

un n´umero natural. Demuestre que

n

2

+ (

n

+ 1)

2

+

n

2

(

n

+ 1)

2

es un cuadrado perfecto, es decir, puede escribirse de la forma (

a

+

b

)

2

.

20. Sea

n

un n´umero natural.

Verifique la identidad (

n

+ 1) (

n

+ 2) =

n

(

n

+ 3) + 2.

Demuestre, que

n

(

n

+ 1) (

n

+ 2) (

n

+ 3) + 1 es un cuadrado

per-fecto. (Utilice el problema anterior)

21. Resuelva el sistema de ecuaciones

(

x

+

y

)(

z

+

x

) = 30

(

y

+

z

)(

x

+

y

) = 15

(

z

+

x

)(

y

+

z

) = 18

3.

Problemas de Combinatoria.

1. Siete puntos son marcados sobre un c´ırculo. Se dibujan todas las

cuer-das que estos puntos definen y cuatro de ellas son seleccionacuer-das al azar.

¿Cu´al es la probabilidad que las cuatro cuerdas seleccionadas formen

un cuadril´atero convexo?

2. Determine el n´umero de pares ordenados de naturales (

a, b

) tales que

el m´ınimo com´un m´ultiplo de

a

y

b

es 2

3

₅

7

₁₁

13

_.

3. Cada uno de los 50 estudiantes que pertenecen a una clase le env´ıa

cartas a exactamente 25 estudiantes distintos de la clase. Pruebe que

existen dos estudiantes que se mandaron cartas mutuamente.

4. Los equipos de Nicaragua y de Honduras llevan jugados 13 partidos

entre si, jugando alternadamente en uno y en otro pa´ıs. En 7 partidos,

el ganador fue el equipo local. El equipo de Nicaragua gan´o 9 partidos

en total. No hubo ning´un empate. ¿Es posible saber con esta

informa-ci´on en qu´e pa´ıs ser´a el pr´oximo partido? En caso afirmativo, diga en

qu´e pa´ıs ser´a. Justifique su respuesta.

5. En un torneo con cinco equipos, todos los equipos juegan contra todos.

No hay posibilidad de empates y en cada partido ambos equipos tienen

50 % de probabilidad de ganar. Determine la probabilidad de que el

torneo termine sin ning´un equipo que gane todos los partidos y sin

ning´un equipo que pierda todos los partidos.

6. Se seleccionan al azar tres v´ertices de un cubo. Determine la

probabi-lidad de que los tres v´ertices formen un tri´angulo equil´atero.

7. Cada una de las seis caras de un cubo son pintadas con uno de seis

colores distintos; en una coloracion del cubo, no hay dos caras distintas

pintadas del mismo color. ¿Cu´antos coloreos distintos del cubo existen?

8. Un tablero de 4

×

4 est´a dividido en cuadritos de 1

×

1. Hay un n´umero

secreto escrito en cada cuadrito de 1

×

1. S´olo se sabe que la suma de los

cuatro n´umeros de cada fila es igual a 1, la suma de los cuatro n´umeros

de cada columna es igual a 1, y la suma de los cuatro n´umeros de cada

diagonal es igual a 1. Determine la suma de los cuatro n´umeros de las

esquinas y la suma de los cuatro n´umeros del centro.

9. A un concierto de beneficiencia asistieron 1997 personas entre

gua-temaltecos, hondure˜nos, nicarag¨uenses y salvadore˜nos; cada persona

pag´o por su boleto de entrada una cantidad entera entre $1 y $499,

inclusive, que voluntariamente quiso aportar.

Demostrar que hubo al menos dos personas de la misma

nacio-nalidad que aportaron la misma cantidad.

Se sabe que se vendieron boletos de cada uno de los precios, que

el mayor n´umero de veces que se repiti´o el precio de un boleto fue

10, y que la recaudaci´on fue la m´ınima posible. ¿Cu´antos boletos

de cada precio se vendieron?

10. En un tablero cuadrado que tiene un n´umero par de casillas y est´a

pin-tado como un tablero de ajedrez; se coloca un n´umero en todas las

casillas de acuerdo a las siguientes reglas:

En cada casilla blanca se escribe 0 ´o 1, de modo que haya la

misma cantidad de casillas blancas con 0 que con 1.

En cada casilla negra se escribe la suma de los n´umeros que hay

en las casillas blancas vecinas.

Si se ponen los n´umeros en el tablero de modo que la suma de todos

los n´umeros escritos sea la menor posible, la suma en

m

. Si se ponen

los n´umeros en el tablero de modo que la suma de todos los n´umeros

escritos sea la mayor posible, la suma es

m

+ 1996. Encuentre las

dimensiones del tablero.

4.

Problemas de Geometr´ıa.

1. Los tres lados del tri´angulo

ABC

se prolongan una distancia igual a

sus longitudes, tal como muestra la figura. Si [

ABC

] = 2

cm

2

, ¿cu´al es

el valor de [

DEF

]?

2.

ABCD

es rect´angulo.

P

es un punto de

CD

y

P B

=

AB

. El arco

P CB

es una semicircunferencia. Adem´as, [

BCP

] = 4[

AP D

] y [

ABP

] =

4

,

8

dm

2

. ¿Cu´al es el per´ımetro de la zona sombreada?

3. El tri´angulo

XOY

es recto en

O

. Sean

M

y

N

los puntos medios

de

OX

y

OY

, respectivamente. Si

XN

= 19 y

Y M

= 22, calcule la

medida de

XY

.

4. Dado el tri´angulo

CXY

, los puntos

A

y

B

se ubican sobre

CX

y

CY

,

respectivamente, y se cumple que

AB

= 10,

BC

= 7,

CA

= 6. Las

bisectrices de los ´angulos

BAX

y

ABY

se cortan en el punto

T.

P

es un punto sobre

AB, y por

P

se traza una recta paralela a

AT

que

corta a

AC

en

Q; de igual forma, la paralela por P a

T B

corta a

BC

en

R. Determine

CQ

+

CR.

5. En la siguiente figura, las dos c´ırcunferencias son tangentes entre si,

y adem´as se han trazado dos rectas tangentes a la circunferencia m´as

grande. Calcule el valor de

d

en funci´on de

R.

6. Sea

ABC

un tri´angulo rect´angulo en

A. Se toman dos puntos

cuales-quiera

D

y

E

sobre

BC

y se traza

DF

, una recta paralela a

AC

tal

que

DF

=

√

5. Se sabe que

AB

= 10,

AC

= 20 y que la suma de las

´areas de los tri´angulos

ABC

y

DEF

es 102. Encuentre la longitud de

DE.

XI Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe Girardot, Colombia, 4-10 de octubre de 2009

1. Sea P(n) el producto de los d´ıgitos no nulos del entero positivo n. Por ejemplo P(4) = 4, P(50) = 5,P(123) = 6,P(2009) = 18. Halle el valor de la suma

P(1) +P(2) +· · ·+P(2009).

2. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se intersecan en los puntos Ay B. Considere una circunferenciaΓ contenida enΓ1 yΓ2, tangente a ellas respectivamente en Dy E. Sean C uno de los puntos de intersecci´on de la recta AB conΓ,F la intersecci´on de la recta EC con Γ2 yGla intersecci´on de la recta DC con Γ1. Sean H e I los puntos de intersecci´on de la recta ED con Γ1 y Γ2, respectivamente. Demuestre queF,G,H eI est´an sobre una misma circunferencia.

3. Se tienen 2009 cajas numeradas del 1 al 2009, algunas de las cuales contienen piedras. Dos jugadoresAyB juegan alternadamente, comenzando porA. Una jugada consiste en seleccionar

una cajaique no este vac´ıa, tomar una o m´as piedras de esa caja y ponerlas en la cajai+ 1. Si i= 2009, las piedras que se tomen se desechan. El jugador que retire la ´ultima piedra (dejando

todas las cajas vac´ıas) gana.

a) Suponiendo que inicialmente en la caja 2 hay 2009 piedras y todas las dem´as cajas (1, 3, 4, 5,. . ., 2009) est´an vac´ıas, halle una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores y

justif´ıquela.

b) Suponiendo que inicialmente cada caja contiene exactamente una piedra, halle una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores y justif´ıquela.

4. Se desea colocar n´umeros naturales alrededor de una circunferencia cumpliendo la siguiente propiedad: Las diferencias entre cada par de n´umeros vecinos, en valor absoluto, son todas difer-entes.

a) ¿Ser´a posible colocar los n´umeros del 1 al 2009 satisfaciendo la propiedad?

b) ¿Ser´a posible suprimir alguno de los n´umeros del 1 al 2009, de tal manera que los 2008 n´umeros restantes se puedan colocar satisfaciendo la propiedad?

5. DadoABC un tri´angulo acut´angulo y escaleno, seaH su ortocentro,O su circuncentro,E yF

los pies de las alturas trazadas desde B yC, respectivamente. La recta AO corta nuevamente

al circunc´ırculo del tri´angulo en un puntoGy a los segmentosF E yBC en los puntosX yY,

respectivamente. La rectaAH corta a la tangente al circunc´ırculo trazada porGen un puntoZ.

Demuestre queHX es paralelo a Y Z.

6. Encuentre todos los n´umeros primospyq tales quep3

−q5_{= (p+q)}2_.

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matem´atica Quer´etaro, M´exico, 17-27 de septiembre de 2009

1. Seanun natural mayor que 2. Supongamos quenislas est´an ubicadas en un c´ırculo y que entre

cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:

Comenzando en la islax1, ¿de cu´antas maneras se pueden recorrer los 2npuentes pasando por

cada puente exactamente una vez?

2. Para cada entero positivonse definean =n+mdondemes el mayor entero tal que 22 m

≤n2n_. Determinar qu´e enteros positivos no aparecen en la sucesi´onan.

3. Sean_C1 y C2 dos circunferencias de centros O1 yO2 con el mismo radio, que se cortan enA y

enB. SeaP un punto sobre el arcoABde_C2que est´a dentro de C1. La rectaAP corta aC1en

C, la rectaCB corta a_C2enDy la bisectriz de∠CADintersecta aC1enE y aC2 enL. SeaF

el punto sim´etrico aD con respecto al punto medio de P E. Demostrar que existe un puntoX

que satisface∠XF L=∠XDC= 30◦ _yCX=O

1O2.

4. SeaABCun tri´angulo conAB�=AC. SeanIel incentro deABCyPel otro punto de intersecci´on

de la bisectriz exterior del ´angulo A con el circunc´ırculo de ABC. La recta P I interseca por

segunda vez al circunc´ırculo de ABC en el punto J. Demostrar que los circunc´ırculos de los

tri´angulosJIByJIC son tangentes aIC y aIB, respectivamente.

5. La sucesi´onan est´a definida por

a1= 1, a2k= 1 +ak y a2k+1=

1

a2k

para todo enterok≥1.

Demostrar que todo n´umero racional positivo aparece exactamente una vez en esta sucesi´on.

6. Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valork con la siguiente propiedad: Para toda coloraci´on de este tipo

existenkpuntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.

Problema  7  

 

Hallar  todas  las  soluciones  enteras  de  la  ecuación      

 

 

 

 

2x

2

 _{+  5y}

2  

_{=  11(xy  -­‐  11).}  

 

Solución  de  Ramón  Sanfeliu  (Academia  Británica  Cuscatleca)  

Operando:  

 

2x

2

_+5y

2

_{=11(xy-­‐11)}  

2x

2

+5y

2

=11xy-­‐121  

2x

2

_{-­‐11xy+5y}

2

_{=  -­‐121}  

(2x-­‐y)(x-­‐5y)=-­‐121  

 

Todos  los  factores  de  -­‐121  son:  1,-­‐1,  11,-­‐11,  121,  -­‐121  y  esto  nos  da  6  casos.  

 

Caso  1:  

2x-­‐y=1  y  x-­‐5y=  -­‐121,  resolviendo  tenemos  por  resultado  que  X=14  y  Y=27  

 

Caso  2:  

2x-­‐1=  -­‐1  y  x-­‐5y=121,  resolviendo  X=-­‐14  y  Y=-­‐27  

 

Caso  3:    

2x-­‐y=11  y  x-­‐5y=  -­‐11  resolviendo  tenemos  por  resultado  que  X=22/3  y  Y=11/3,  como  no  son  

enteras  no  se  puede.  

 

Caso  4:  

2x-­‐y=-­‐11  y  x-­‐5y=  11  resolviendo  tenemos  por  resultado  que  X=-­‐22/3  y  Y=-­‐11/3,  como  no  

son  enteras  no  se  puede.  

 

Caso  5:  

2x-­‐y=121  y  x-­‐5y=  -­‐1  resolviendo  X=202/3  y  Y=41/3,  como  no  son  enteras  no  se  puede.  

 

Caso  6:  

2x-­‐y=-­‐121  y  x-­‐5y=  1  resolviendo  X=-­‐202/3  y  Y=-­‐41/3  como  no  son  enteras  no  se  puede.  

 

Entonces  tenemos  como  resultado  las  parejas  (x,y)  de  valores  que  nos  resuelven  la  ecuación  

2x

2

 _{+  5y}

2

 _{=  11(xy  -­‐  11)  y  son:    (14,27),  (-­‐14,-­‐27).}  

Problema  8  

 

Dada  la  ecuación  cúbica  reducida  x

3

=3px+2q,  basándose  en  la  sustitución  

_{ݔ ൌ ʹඥ݌ …‘• Ʌ}

   

demostrar  que  si  q

2

 _൑p

3

   _{la  ecuación  admite  una  solución  real}    

 

ݔ ൌ ʹඥ݌ …‘•

൅ ʹ݉ߨ

_͵

ǡ  

 

donde  m  es  un  entero  y  

ൌ ƒ”… …‘• ݍ ݌ඥ݌

Τ

 .  

 

 

Solución  del  editor  

 

Sustituyendo  la  expresión  

š ൌ ʹඥ݌ …‘• Ʌ

 en  la  ecuación  cúbica  tenemos  que  

 

ͺ݌ඥ݌…‘•

ଷ

_{Ʌ ൌ ͸݌ඥ݌ …‘• ߠ ൅ ʹݍ}

     _{o  bien}      

_{݌ඥ݌ሺͶ…‘•}

ଷ

_{Ʌ െ ͵ …‘• Ʌሻ ൌ “Ǥ}  

 

Teniendo  en  cuenta  la  identidad  …‘• ͵Ʌ ൌ Ͷ…‘•

ଷ

_{Ʌ െ ͵ …‘• Ʌ  la  expresión  anterior  se  reduce  a}    

݌ඥ݌ …‘• ͵ߠ ൌ “

,  es  decir  

…‘• ͵Ʌ ൌ ݍ ݌ඥ݌

Τ

.  Como  p  y  q  son  positivos  y  además  hemos  asumido  

que  q

2

 _൑p

3

 _{,  el  miembro  derecho  de  esta  ecuación  es  menor  o  igual  que  1,  así  que  existe  un}  

ángulo    tal  que  …‘•

ൌ ݍ ݌ඥ݌

Τ

,  a  saber    

ൌ ƒ”… …‘•

ݍ

݌ඥ݌

Ǥ  

Luego  …‘•

ൌ …‘• ͵Ʌ  implica  que  

 

͵Ʌ ൌ ƒ”… …‘•

ݍ

݌ඥ݌

൅ ʹ݉Ɏ ൌ

൅ ʹ݉Ɏ  

 

donde  m  es  un  entero  cualquiera.  Por  tanto    

 

ݔ ൌ ʹඥ݌ …‘• Ʌ ൌ ʹඥ݌ …‘•

൅ ʹ݉ߨ

_͵

൫݉ א

ℤ

൯Ǥ  

 

Soluciones  a  la  columna  de  problemas    

Eduardo  Arnoldo  Aguilar  Cañas,  4°  año  Ingeniería  Industrial  UCA    

[email protected]  

 

Problema  9:  

 

 Restemos  las  filas  de  la  siguiente  forma:  a  la  última  fila  le  restamos  la  penúltima  de  abajo  

hacia  arriba,  osea  a  la  fila  con  los  

ቀ݉ ൅ ݌

_݅

ቁ ݌ܽݎܽͲ ൑ ݅ ൑ ݌ െ ͳ

   la  restaré  de  la  fila  con  los  

ቀ݉ െ ͳ ൅ ݌

݅

ቁ ݌ܽݎܽͲ ൑ ݌ ൑ ݅

,  y  como  que  se  cumple  que  

ቀ

݊

݇ቁ െ ቀ

݊ െ ͳ

݇

ቁ ൌ ቀ݊ െ ͳ

݇ െ ͳ

ቁ

,  si  aplico  

eso  a  las  p  filas  el  determinate  se  me  va  convertir  en:    

 

ተ

ተ

ͳ

ቀ

݊

_ͳቁ

ቀ

݊

_݌ቁ

Ͳ

ڭ

ቀ

݊

Ͳቁ

ڰ

ቀ

_{݌ െ ͳቁ}

݊

ڭ

Ͳ ቀ݊ െ ͳ ൅ ݌

Ͳ

ቁ ൬

݊ െ ͳ ൅ ݌

݌ െ ͳ ൰

ተ

ተ

ൌ

ተ

ተ

ͳ ቀ

݊

_ͳቁ

ቀ

݊

_݌ቁ

Ͳ

ڭ

ͳ

ڰ

ቀ

݊

݌ െ ͳቁ

ڭ

Ͳ

ͳ

൬

݊ െ ͳ ൅ ݌

_{݌ െ ͳ ൰}

ተ

ተ

 

Si  expandimos  ese  determinate  por  cofactores,  el  único  que  sería  no  nulo  es  el  que  tiene  al  1,  

pues  los  demás  como  tienen  una  columna  de  ceros  tendrían  determinante  cero.  

 

Entonces  conseguimos  que  mi  determinate  es  equivalente  al  determinante  de  :  

ተ

ተ

ͳ

ቀ

݊

_ͳቁ

ቀ

_{݌ െ ͳቁ}

݊

ͳ

ڭ

ቀ݊ ൅ ͳ

ͳ

_ڰ

ቁ

ቀ

݊

݌ െ ͳቁ

ڭ

ͳ ቀ݊ െ ͳ ൅ ݌

ͳ

ቁ ൬

݊ െ ͳ ൅ ݌

݌ െ ͳ ൰

ተ

ተ

 

Este  determinante  es  tiene  una  forma  similar  al  determinante  inicial,  así  que  podemos  volver  

a  aplicar  la  operación  que  le  hicimos  al  primer  determinante,  si  hacemos  esto  

p

 veces  al  final  

obtendremos  un  determinate  de  la  forma  

ቮ

ͳ

ቀ

݊

ͳቁ

ͳ ቀ݊ ൅ ͳ

ͳ

ቁ

ቮ ൌ ݊ ൅ ͳ െ ݊ ൌ ͳ

.  

 

 

Problema  10:  

 

Es  notorio  que  

׬ ൬

௉೙ሺ௫ሻ

൫௫ೖ_ିଵ൯೙శభ

൰ ݀ݔ ൌ

௉೙షభሺ௫ሻ

൫௫ೖ_ିଵ൯೙

,  así  que  si  derivo  la  expresión  de  la  derecha  resulta  

que:  

ܲ

_௡

ሺݔሻ

ሺݔ

௞

_{െ ͳሻ}

௡ାଵ

ൌ ൫ݔ

௞

െ ͳ൯

ି௡

ܲ

ᇱ ௡ିଵ

ሺݔሻ െ ݊൫ݔ

௞

െ ͳ൯

ି௡ିଵ

݇ݔ

௞ିଵ

_ܲ

௡ିଵ

ሺݔሻ

 

 

Así  que  

ܲ

_௡

ሺݔሻ ൌ ൫ݔ

௞

_{െ ͳ൯ܲ}

ᇱ

௡ିଵ

െ ݊݇ݔ

௞ିଵ

ܲ

௡ିଵ

ሺݔሻ

,  y  así  

ܲ

௡

ሺͳሻ ൌ െ݊݇ܲ

௡ିଵ

ሺͳሻ

 

Así  que  esto  se  reduce  a  encontrar  

ܲ

_௡ିଵ

ሺͳሻ

,  y  podemos  volver  a  aplicar  el  procedimiento  

anterior  y  claramente  la  recurrencia  va  resultar  en  

ܲ

௡

ሺͳሻ ൌ ሺെͳሻ

௡

݊Ǩ ݇

௡

.  

Columna de problemas (3)

La siguiente es una selecci´on de problemas propuestos por el editor.

11. Hallar todas las funcionesf : Z→Ztales que para cualesquiera enterosm,nse cumple que

a) f(mn) =f(m)f(n).

b) f(f(m)₋f(n)) =f(m+n)(m₋n)2_.

12. Sean xey reales positivos tales que (1 +x)(1 +y) = 2. Mostrar que xy+ 1

xy ≥6.

13. Dado el tri´anguloABC, seanD yE puntos sobreAByAC respectivamente, tal queDEyBC

son paralelas. SeanP un punto dentro del tri´angulo ADE,Gla intersecci´on deP B con DE, y H es la intersecci´on deP C conDE. Probar queApertenece al eje radical de los circunc´ırculos

deP DH yP EG.

14. Dado a >0, calcular la integral

� _dx

x4_+ax2_{+ 1}, x >0.

15. Demostrar que para todo 0_≤r <1 se cumple la siguiente identidad:

1 + 2(rcosθ+r2cos 2θ+_{· · ·}+rncosnθ+_{· · ·}) = 1−r

2

1₋2rcosθ+r2.