CAPÍTULO XVI
S U P E R F I C I E S C Ó N I C A S
§73. REPRESENTACIÓN
1. — Una superficie cónica resulta individualizada si se conocen las proyecciones di y d2 de la curva directriz y Vi y V¡ del vértice
(%333).
Dados estos elementos pueden construirse fácilmente cuantas generatrices se desean. Las trazas de un número suficiente de éstas permiten dibujar las trazas de la superficie, así como sus contornos aparentes.
Para determinar una generatriz cualquiera, la que pasa por el punto A de la directriz, por ejemplo, basta trazar las rectas VÍAS y Vi A!. La traza horizontal Hes (Hi, H¿) de esta generatriz es un punto de la traza horizontal de la superficie cónica.
Y así para otras generatrices.
Para obtener los contornos aparentes se dibujan las generatrices límites, tangentes a las proyecciones de la directriz. Las generatrices que limitan el contomo aparente horizontal no son, en general, las mismas que limitan el contorno aparente vertical.
Para la visibilidad de la curva directriz (y de la traza) notamos, por ejemplo, que el punto A es visible en ambas proyecciones por ser visibles las proyecciones gi y ga de la generatriz que pasa por él. El punto Q, en cambio, es visible en proyección horizontal e invisible en proyección vertical.
El punto siguiente ampliará cuanto concierne a la visibilidad. 2. — Determinemos el contorno aparente de una superficie cónica cuando se conoce la traza horizontal y el vértice.
Sea la circunferencia c= (ci, Cj) la traza horizontal y V^ (Vít Vs) el vértice (fig. 334).
Para obtener una generatriz cualquiera se une el vértice V con un punto cualquiera, A, por ejemplo, de la traza horizontal.
Las tangentes V^Bi y ViCi a la traza cx de la superficie cónica
dan las generatrices que limitan el contorno aparente sobre el plano jtj.. Las líneas de referencia DiD2 y EiE?, tangentes a Ci, permiten de-terminar las generatrices cuyas proyecciones verticales F2D2 y Fs£2
limitan el contorno aparente sobre el plano n-¡.
254 D. DI P1ETRO. —GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
y ViAi, encuentra primero c2, luego V2A2. En consecuencia, visible, no así el arco BJDiC.\e la traza Cj.
es
Fio. 333
3. — La figura 335 da la representación üe tres conos en posicio-nes particulares distintas.
SUPERFICIES CÓNICAS 255
4. — Dada una superficie cónica es fácil determinar una de las proyecciones dé un punto de la superficie cuando se conoce la otra proyección del punto.
Sea (fig. 336) la superficie cónica determinada por su traza hori-zontal y su vértice.
256 D. DI PIETRO. — GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
línea de la superficie. En el caso de la superficie cónica la línea más simple a la cual se recurre es la recta.
Supongamos entonces que sé conoce la proyección horizontal PI del punto de la superficie cónica. Supongamos además que PI es visi^ ble. Hallar la proyección PZ.
FiG. 335
La recta FI?I es, evidentemente, la proyección horizontal de la generatriz a la cual pertenece el punto P. Su proyección vertical es Fa/4a. Una linea de referencia por PI determina P2, invisible por
serlo también V^A^.
La proyección Px ha sido considerada visible. Puede,
natural-mente, ser también invisible. La generatriz correspondiente será
en-SUPERFICIES CÓNICAS 257
toncos FjBj, y F2 será la proyección vertical del punto. Esta
pro-yección PJ es visible por serlo F8B8.
Análogamente, si la proyección dada es Qn y se establece que es visible, se halla en Qt la proyección (invisible) del punto.
Pie. 336
í 74. PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE CÓNICA
1. — Determinemos el plano tangente a una superficie cónica por un punto de la misma. •
CAPÍTULO XVII
S U P E R F I C I E S C I L I N D R I C A S
§76. REPRESENTACIÓN
L
Fio. 351
SUPERFICIES CILINDRICAS 277
Dados estos elementos pueden determinarse fácilmente Cuantas generatrices se desean, trazando desde puntos de la directriz, punto P, por ejemplo, paralelas a la dirección r. Las trazas de un número sufi-ciente de generatrices permiten dibujar las dos trazas de la superficie cilindrica. En la figura se ha dibujado solamente la traza" Horizontal hi. El contorno aparente de la superficie sobré el plano horizontal hállase limitado por las rectas 4i-Bi y C-JD\, tangentes a su traza horizontal o a la proyección horizontal de la directriz.
Sobre el plano vertical las rectas E2F2 y G2H2, tangentes a la traza vertical (no dibujada) de la superficie o a la proyección ver-tical de la directriz, limitan el contorno aparente.
Esas rectas pueden obtenerse trazando las líneas de referencia EiE2 y GtG2, tangentes a la traza hi, y luego por E2 y G2,
para-lelas a r2.
2. — Si es conocida una de las proyecciones, Qi, por ejemplo, de un punto Q de la superficie cilindrica, se encuentra en seguida la otra proyección Q2 dibujando la proyección horizontal gi de la generatriz
que pasa por Q (fig. 351) y determinando luego g2 mediante una paralela a r¡. El punto Q^ (Q1} Q2) es visible sobre ambos planos (*).
3. — Como caso particular se ha representado en la figura 352 'un cilindro recto en dos posiciones distintas.
En la primera el eje del cilindro es perpendicular al plano ho-rizontal.
En la segunda el eje es una frontal. Las bases del cilindro situa-das en planos de canto se proyectan verticalmente según segmentos de recta iguales al diámetro de las bases mismas. Horizontalmente se proyectan según dos elipses de fácil construcción. En efecto, de los in-finitos diámetros de las bases hay dos que, siendo perpendiculares en el espacio, tienen sus respectivas proyecciones horizontales también perpendiculares: son, refiriéndonos a la base superior, los diámetros MN y RQ, uno perpendicular y otro paralelo al plano vertical. Sus proyecciones serán, pues, ejes de la elipse. Tomando entonces MiNj. perpendicular a AiBi, de longitud d, se tiene el eje mayor; luego, mediante líneas de referencia por R2 y Qz se limita el eje menor /?iQi. 4. — La figura 353 da la representación de un cilindro oblicuo de base circular contenida en el plano horizontal.
Son conocidos el centro O de la base y el eje e. El contomo apa-rente sobre el plano horizontal es dado por las tangentes a la base paralelas a la proyección horizontal del eje.
Antes de hallar el contorno aparente sobre el plano vertical
deter-(*) Dada la proyección horizontal Q1 de un punto de la superficie quedan
de-terminados en general dos puntos de la superficie: Q = (Qa, Q2) y Q' = (Q^F Q^).
278 D. DI PIETRO. — GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
minemos la traza vertical de la superficie cilindrica. Basta para esto unir las trazas verticales de un número suficiente de generatrices. ' En la figura se han considerado ocho generatrices, obteniéndose en AJB^CZ DsFüG2Hz la proyección vertical de la traza vertical.
Las rectas por Í2 y 5^ paralelas a e% limitan lateralmente el-
con-torno aparente sobre el plano vertical. Ellas son, además, tangentes a la proyección vertical de la traza vertical.
FIG. 352
§77. PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE CILINDRICA
!• — Por un punto dado de una superficie cilindrica queremc hacer pasar un plano tangente a la superficie.
SUPERFICIES CILINDRICAS 279
El plano tangente resulta determinado por la generatriz que pasa por el punto y por la tangente a una curva de la superficie en el pun-to en que la generatriz de contacpun-to encuentra la curva (11 de § 69). Como curva de la superficie podemos considerar la propia traza.
Sea entonces P el punto de una superficie cilindrica dada por su traza horizontal y una generatriz g (fig. 354).
Fio. 353
