Una trayectoria real del juego la escalera vinculada a hipótesis que potencian el aprendizaje de las funciones desde poblaciones diversas

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(1)UNA TRAYECTORIA REAL DEL JUEGO LA ESCALERA VINCULADA A HIPÓTESIS QUE POTENCIAN EL APRENDIZAJE DE LAS FUNCIONES DESDE POBLACIONES DIVERSAS. Natalia Andrea Palomá Barrera. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá D. C., Colombia Julio de 2018.

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(3) UNA TRAYECTORIA REAL DEL JUEGO LA ESCALERA VINCULADA A HIPÓTESIS QUE POTENCIAN EL APRENDIZAJE DE LAS FUNCIONES DESDE POBLACIONES DIVERSAS. Natalia Andrea Palomá Barrera. Trabajo de investigación presentado como requisito para optar al título de: Magíster en Educación con énfasis en Educación Matemática. Directora Olga Lucía León Corredor Doctora en Educación con énfasis en Educación Matemática. Línea de investigación didáctica del lenguaje y las matemáticas Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas - GIIPLyM. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá D. C., Colombia Julio de 2018.

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(5) Dedicatoria. A 17, 19 y 20..

(6) Todo idealismo es exagerado, necesita serlo. Y debe ser cálido su idioma, como si desbordara la personalidad sobre lo impersonal; el pensamiento sin calor es muerto, frío, carece de estilo, no tiene firma. Jamás fueron tibios los genios, los santos y los héroes. Para crear una partícula de Verdad, de Virtud o de Belleza, se requiere un esfuerzo original y violento contra alguna rutina o prejuicio; como para dar una lección de dignidad hay que desgoznar algún servilismo. Todo ideal es, instintivamente, extremoso; debe serlo a sabiendas, si es menester, pues pronto se rebaja al refractarse en la mediocridad de los más. Frente a los hipócritas que mienten con viles objetivos, la exageración de los idealistas es, apenas, una verdad apasionada. La pasión es su atributo necesario, aun cuando parezca desviar de la verdad; lleva a la hipérbole, al error mismo; a la mentira nunca. Ningún ideal es falso para quien lo profesa: lo cree verdadero y coopera a su advenimiento, con fe, con desinterés. El sabio busca la Verdad por buscarla y goza arrancando a la naturaleza secretos para él inútiles o peligrosos. Y el artista busca también la suya, porque la Belleza es una verdad animada por la imaginación, más que por la experiencia. Y el moralista la persigue en el Bien, que es una recta lealtad de la conducta para consigo mismo y para con los demás. Tener un ideal es servir a su propia Verdad. Siempre. José Ingenieros El hombre mediocre.

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(9) Agradecimientos Este trabajo es posible gracias a la valiosa y dedicada asesoría de la profesora Olga Lucía León, quien me ha ayudado hasta en los momentos más infortunados. Agradezco a mi familia, a mi abuelita Gloria por su entereza y nobleza, y a mi abuelito Juan por la ayuda que me brindó a lo largo de estos años, cuya partida dejó un vacío indescriptible en mi vida. A María, Brandon y Juan Carlos por ser mi motivación. Y a mi tía Alicia, quien me acogió en su casa durante el segundo año de esta maestría. No puedo dejar de agradecer a las personas que participaron en el juego La Escalera y que dispusieron de su tiempo para esta investigación, ni a quienes integraron el laboratorio de exploración, en especial, al profesor John Páez, que articuló este trabajo a su proyecto de doctorado y me facilitó material valioso para el análisis de resultados. … Este trabajo se lleva a cabo en el marco del proyecto ACACIA (Apoya, Cultiva, Adapta,. Comunica,. Innova. y. Acoge). desarrollado. por. la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, la Universidad Pedagógica Nacional, la Corporación Universitaria Iberoamericana y otras 11 universidades de América Latina y Europa, con la financiación de la Unión Europea..

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(11) Resumen Se identifica una Trayectoria Real de Aprendizaje (TRA) del juego de La Escalera, complementada con hipótesis que potencian el aprendizaje de las funciones matemáticas. La investigación refleja un interés por fomentar procesos de aprendizaje de las matemáticas en poblaciones diversas, a partir de experiencias con personas sordas y ciegas. Asimismo se tienen en cuenta aspectos del desarrollo emocional, gestual y corporal de las personas al momento de participar en el juego, y se analiza la importancia de estos aspectos para el aprendizaje de las matemáticas. Palabras clave: trayectorias de aprendizaje, juego La Escalera, funciones matemáticas, matemáticas con todos..

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(13) Tabla de contenido Agradecimientos ............................................................................................................... 7 Resumen .............................................................................................................................. 8 Introducción ........................................................................................................................ 9 Objetivo general .............................................................................................................. 11 Trayectorias de Aprendizaje ....................................................................................... 12 Trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) y real (TRA) del juego de la escalera……………..……………………………………………………..14 Fundamentación de Niveles de trayectoria del juego la escalera……………………………………………………………………16 1.2.2. El juego como dispositivo didáctico ……………………………… 17 1.2.3. El juego de la escalera ...….………………..……………………….. 22 1.2.4. Relaciones y funciones matemáticas..……………......………...…25 1.2.5. Cuerpo y emociones ………………......……………………………...37 2. Diseño metodológico …...……………………………………………......…...…39 3. Resultados y análisis de resultados ..……………………………..…………...44 4. Referencias bibliográficas ……………………………………………......…….100 5. Anexos ……….......……………………………………………………………..….112.

(14) Introducción El 2 de noviembre de 2017 el periódico El País de España publicó un artículo titulado: “El 80% de lo que se aprende en la asignatura de matemáticas no sirve para nada”1. En el artículo, el profesor inglés Conrad Wolfram afirma: “tener a los niños en las aulas calculando a mano ecuaciones de segundo grado ya no tiene sentido; hay que enseñarles a interpretar los datos y a sacar utilidad de las matemáticas”. Puede que algunas personas que hacen parte del campo de la educación matemática, ya sea como profesores, investigadores, profesores de profesores de matemáticas, estudiantes que quieren ejercer como profesores de matemáticas, e incluso matemáticos, se encuentren, después de leer este titular, ante una situación que conocen de cerca y que no les sorprende. No es nuevo considerar que algunos de los procesos que se llevan a cabo en las aulas, en las clases de matemáticas, no son los más adecuados ni los más fructíferos desde hace varios años, por lo menos en Colombia. Esto no cambia mucho en la universidad. Según Gerardo Rodríguez, director académico de la Universidad Nacional de Colombia en 2013, en las facultades de Ciencias e Ingeniería de la sede de Bogotá es donde se pierde la mayor cantidad de asignaturas, entre ellas Matemáticas básicas, con casi un 50% de estudiantes que la inscriben y la pierden; Cálculo diferencial, con un 39,45% de pérdida; Cálculo integral, con un 38,82%; Álgebra lineal, con un 33,33%; y Probabilidad y estadística fundamental con un 25% de pérdida. Rodríguez afirma que “la mayor concentración de pérdida de la calidad de estudiantes se registra en los cuatro primeros semestres y de estos el más crítico es el primero, razón por la cual se hace necesario reforzar la formación en ciencias desde el colegio”2.. 1. Torres, A. (2017). “El 80% de lo que se aprende en la asignatura de matemáticas no sirve para. nada”. Periódico El País – Sección Economía. Disponible en: https://elpais.com/economia/2017/10/30/actualidad/1509378342_617037.html 2. Rodríguez, G. (2014). Pérdida de asignaturas Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá,. periodo 2013 – I. Dirección Académica Sede Bogotá. Disponible en: https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=cGFzYXJhbGF1bmFjaW9uYWwuY29tfGRvY3V tZW50b3MtaWNmZXMtdW5hbHxneDozY2RkMjFlYmEyNWU5YzAx&embedded=true.

(15) Lo anterior no solo obliga a preguntarse por la profundidad de las experiencias para aprender matemáticas que se están gestando en las aulas, sino también a reflexionar sobre cómo se está teniendo en cuenta la diversidad de las personas que aprenden, de sus capacidades y habilidades, de sus formas de pensar y de expresar sus pensamientos; sobre cómo se están desarrollando experiencias de aprendizaje en Colombia, y si se están teniendo en cuenta factores como las características físicas, cognitivas, emocionales, afectivas y neurológicas de las personas. En este trabajo se aborda una experiencia de investigación que propicia una intervención didáctica, que ofrece alternativas para la reflexión sobre el aprendizaje, no solo en el sistema educativo institucionalizado, sino que permite pensar cómo generar experiencias de aprendizaje de las matemáticas más significativas, sensibles y duraderas para las personas, en diferentes contextos. Se busca investigar las formas en las que las personas aprenden matemáticas por medio de un juego, y mostrar un ejemplo de cómo los profesores investigadores pueden construir y desarrollar experiencias de aprendizaje a partir de tres componentes: a.) El enfoque de trayectorias de aprendizaje propuesto por los profesores estadounidenses Clements y Sarama. b.) Una intervención didáctica que muestra principios de potencial de desarrollo humano, corporal y emocional de las personas, desde una perspectiva que considera la diversidad, e inicialmente la atención a poblaciones sordas y ciegas. c.) La exploración de las ideas y principios que giran alrededor de las funciones matemáticas, cuyo aprendizaje se puede fomentar por medio de las trayectorias de aprendizaje y del juego de La Escalera.}.

(16) Objetivo general Identificar una trayectoria de aprendizaje del juego La Escalera con hipótesis que potencien el aprendizaje de funciones matemáticas, que tenga en cuenta elementos de la corporalidad y emocionalidad de los jugadores y fomente la participación de poblaciones diversas en el aprendizaje de las matemáticas, a partir de la experiencia con poblaciones sordas y ciegas..

(17) 1. Las trayectorias de aprendizaje El aprendizaje se gesta recorriendo caminos que surgen a través del tiempo. Hay quienes conocen esos caminos y entienden que se puede llegar a la misma meta por diferentes vías. En este sentido, las trayectorias de aprendizaje son caminos diseñados por el profesor investigador, en los que establece niveles y plantea hipótesis de cómo las personas aprenden y cuáles son las actividades particulares. que. les. permiten. recorrer. dichos. caminos. hasta. alcanzar. determinadas metas. Los niveles y las hipótesis son elaborados por el profesor con base en investigaciones y en el estudio de los ámbitos a los que pertenecen las metas. El enfoque de trayectorias de aprendizaje ha sido promovida por Douglas Clements y Julie Sarama (2015), quienes describen las trayectorias a partir de los tres componentes descritos en la tabla 1. En Colombia, el Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas, liderado por la profesora Olga Lucía León, ha adelantado diferentes investigaciones a partir del enfoque de trayectorias de aprendizaje, como las de Guilombo (2015), Jiménez (2015), Sicuamia (2015), Rodríguez (2016), Porras (2017) y Suárez (2017). Metas matemáticas. Progresión del desarrollo. Tareas instructivas. ‘Las metas son las grandes ideas de las matemáticas, agrupaciones de conceptos y habilidades que son matemáticamente centrales y coherentes, consistentes con el pensamiento de los niños y generadoras de aprendizaje hacia el futuro’.. ‘Se compone de niveles de pensamiento, cada uno más sofisticado que el anterior, que conducen a la consecución de las metas matemáticas. Esto significa que la progresión del desarrollo describe una ruta típica que los niños siguen durante el desarrollo del entendimiento y las habilidades necesarias alrededor del tema matemático’.. ‘Esta parte de la trayectoria de aprendizaje está compuesta por un conjunto de tareas instructivas, cada uno en correspondencia con uno de los niveles de pensamiento de la progresión de desarrollo’.. Es una ‘ruta de desarrollo a lo largo de la cual los niños progresan para alcanzar las metas’.. Tabla 1. Componentes de las trayectorias de aprendizaje. Fuente: (Clements & Sarama, 2015 p.11- 12)..

(18) A partir de estos componentes se estructuran trayectorias con las cuales se busca propiciar experiencias de aprendizaje significativas. La identificación de estas trayectorias conlleva una responsabilidad, pues constantemente se está pensando en lo que las personas pueden ganar con intervenciones didácticas hechas a conciencia, y en cómo se van alcanzando las metas matemáticas a través de dichas experiencias significativas. Según Clements y Sarama (2015), las trayectorias permiten a las personas pensar matemáticamente y emocionarse con ideas propias y con las de otros. Las trayectorias, como experiencias significativas, posibilitan una educación matemática de alta calidad. En particular, los autores señalan: ‘Las matemáticas de alta calidad a lo largo de la primera infancia no involucran la imposición de la aritmética elemental para los niños más pequeños. En cambio, una buena educación permite a los niños experimentar las matemáticas mientras juegan y exploran su propio mundo’. p.10.. Así, se considera que con una educación matemática a partir de trayectorias de aprendizaje, que promueva experiencias enriquecedoras para las personas y la construcción de ambientes de aprendizaje apropiados, tal vez no se presentarían porcentajes. tan altos. de pérdida. de la asignatura. de. matemáticas y no se leerían con tanta frecuencia titulares como “El 80 % de lo que se aprende en el aula de matemáticas no sirve para nada”. ‘Cuando los profesores comprenden estos procesos de desarrollo, y elaboran secuencias de actividades basadas en tales procesos, construyen ambientes de aprendizaje de las matemáticas que son particularmente apropiados y efectivos en términos de desarrollo’. p.10.. Las trayectorias no solo permiten investigar sobre el aprendizaje de las matemáticas, sino también hacer un seguimiento a cómo surgen exploraciones extraordinarias, a cómo se fomentan procesos en los que la imaginación emerge y deja visualizar elementos que reflejan cómo piensan las personas. Mediante las trayectorias se inventan caminos para resolver situaciones, se exploran lecturas y soluciones alternativas de problemas e ideas matemáticas, que en ocasiones pueden ir en contravía a las lógicas clásicas con las que se concibe el aprendizaje..

(19) Estos elementos a partir de los cuales se piensan las trayectorias permiten seguir construyendo sobre un espectro en el que es posible dar importancia a la riqueza de los aspectos visuales y comprender las matemáticas a través del cuerpo y de todos los canales que éste activa. 1.1 Trayectoria Hipotética de Aprendizaje (THA) y Real (TRA) del Juego La Escalera Esta investigación toma como referencia las trayectorias de aprendizaje, para identificar las rutas que trazan los participantes de un juego con estructura matemática llamado La Escalera. Durante la identificación de la trayectoria del juego se tejen procesos en los cuales se le da al cuerpo la posibilidad de emerger, junto con hipótesis sobre las emociones de los jugadores e hipótesis que nutren y promueven experiencias para el aprendizaje de las funciones matemáticas. La identificación de una trayectoria de aprendizaje del juego La Escalera propicia un ambiente en el que afloran ideas matemáticas y se reconoce el juego como un dispositivo con potencial para lograr que las personas desarrollen habilidades matemáticas a partir del acto de jugar. Para esta trayectoria de aprendizaje se han identificado tres niveles: Principiante, Intermedio y Experto. Al igual que en las trayectorias propuestas por Clements y Sarama, cada nivel es más sofisticado y complejo que el anterior. En la primera parte de los resultados se muestra la THA, que consta de: - Fundamentación de niveles: corresponde a los elementos teóricos, de investigación y de exploración que soportan la THA del juego de La Escalera. Las trayectorias de aprendizaje están basadas en la investigación que se hace en el campo de la educación matemática, no son ocurrencias si no que están debidamente fundamentadas. Al respecto, Clements y Sarama (2015) señalan: ‘Como profesores, es nuestra responsabilidad brindar el conocimiento y el placer intelectual de las matemáticas a todos los niños, especialmente, a aquellos que aún no han tenido experiencias educativas de alta calidad. Los buenos maestros pueden afrontar este desafío utilizando ‘herramientas’ basadas en investigación’. p.10..

(20) - Descripción del nivel: se muestra y describe la acción más relevante del jugador en el nivel y las características de éste en relación con el juego en dicho nivel. - Hipótesis de nivel: se enuncia, a modo de hipótesis, lo que podría hacer el jugador en el nivel. Dichas hipótesis están fundamentadas en fuentes bibliográficas y exploraciones primarias de laboratorio en comunidades de práctica. - Progresión del desarrollo: en esta parte de la trayectoria se muestra cómo avanza el jugador a lo largo del nivel, teniendo en cuenta los componentes del juego enunciados en Calderón, León y Orjuela (2010, p. 3): afectivo, actitudinal, estratégico, motriz e instrumental. Para estudiar la progresión del desarrollo de la trayectoria de aprendizaje del juego se han añadido los componentes corporal y verbal. Así, en la THA estos componentes se han agrupado de la siguiente forma: •. Afectivo - Actitudinal.. •. Estratégico - Instrumental.. •. Motriz - Corporal - Verbal.. - Intervención heurística del profesor: son elementos sugeridos al profesor que permiten el buen desarrollo del juego. - Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las funciones: son enunciados, descripciones o citas sobre el aprendizaje de las funciones, basados en la fundamentación de niveles establecida previamente. Después, en el proceso de análisis de resultados, aparece la TRA, como una construcción y un análisis de datos del investigador que muestra cómo se desarrolla la THA cuando un jugador la recorre. Particularmente, en la TRA se desglosan los tres niveles propuestos y se contrastan las experiencias de los jugadores. Es decir, en la trayectoria real se toman los mismos elementos de la hipotética pero contrapuestos con las evidencias de los jugadores. En cada sección de la TRA hay un apartado final de análisis y complementación de hipótesis de la trayectoria de aprendizaje..

(21) 1. 2. Fundamentación de niveles de la trayectoria del juego La Escalera Dos y dos no son cuatro cuando las unidades matemáticas son seres humanos. Arthur Koestler El cero y el infinito. 1.2.1 El juego Desde edades tempranas las personas tienen acercamientos al juego que les permiten conocer el mundo que los rodea. A través de los juegos se puede llegar a sentir placer y a interactuar de forma asertiva con otras personas, y se ponen en juego habilidades, conocimientos y el desarrollo de estrategias profundas. Según Huizinga (1954), ‘cuando examinamos hasta el fondo, en la medida de lo posible, el contenido de nuestras acciones, puede ocurrírsenos la idea de que todo el hacer del hombre no es más que un jugar’. p.7.. Las matemáticas no están alejadas de estas experiencias de juego. En 1928 John von Neumann desarrolló una teoría de juegos que en los últimos años se ha convertido en una rama importante de las matemáticas. Actualmente se considera que los juegos son, en primera instancia, una herramienta que genera motivación en las aulas de clase y que permite desarrollar habilidades tanto matemáticas como para la vida personal. Un ejemplo cercano de esos juegos es el ajedrez, un juego de estrategia que ha existido por más de cinco siglos. Garri Kaspárov, campeón del mundo entre 1985 y el 2000, afirma: ‘el ajedrez desarrolla habilidades y procesos del ámbito cognitivo tales como: atención, razonamiento lógico, inteligencia, análisis, síntesis y creatividad. El ajedrez organiza el pensamiento y facilita la expresión numérica y verbal’ (Blanco, 2004, p.144).. Por su parte, José Manuel Vega, presidente de la Asociación de Go de Andalucía en 2016, afirma que este juego milenario fomenta aún más habilidades que el ajedrez, entre ellas la intuición, el sentido de anticipación y el cálculo. John Nash, matemático estadounidense que recibió el premio Nobel de Economía en 1994, se refería al Go como un juego perfecto por los algoritmos y estrategias que surgen al intentar ganar. Asimismo Calderón y León (2016).

(22) señalan otros juegos con estructura matemática como Triqui Tridimensional, Tricubo, Mosaico Plano, Torres de Hanói, Induxor, Trinominós y Circuito Cerrado. En esta línea, uno de los antecedentes de esta investigación es el proyecto desarrollado por SIIDLyM3 en el 2013 en torno al juego Circuito Cerrado como dispositivo didáctico para el aprendizaje de los números enteros. Este juego ha sido implementado en algunas instituciones educativas, y en varias ocasiones ha ocurrido que los estudiantes identifican, por un lado, las intenciones del juego y, por otro, las oportunidades de aprender matemáticas. En una oportunidad se incluyó en una evaluación bimestral de matemáticas un punto que consistía en completar el nivel Experto del juego Circuito Cerrado, lo cual les pareció extraño a algunos estudiantes. ‘Para muchos de los que ven la matemática desde fuera, esta, mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además de ello pueda ser otras cosas (De Guzmán, 1984, p.3).. Es por eso que el juego es el eje central de esta investigación, con el ánimo de fomentar una cultura del juego en la que las personas no solo se involucren y participen sino que también se pregunten qué experiencias significativas de juego han tenido en sus vidas y qué elementos de la educación se fortalecen al jugar. 1.2.2 El juego como dispositivo didáctico Para afrontar las situaciones en las que el juego no se potencia y no trasciende a otras experiencias se requiere un ambiente en el que las personas que juegan puedan desarrollar habilidades relacionadas con las matemáticas. Para esto no basta con la acción de jugar ni con llevar los artefactos de juego. 3. Proyecto titulado: El desarrollo de procesos del lenguaje y las matemáticas con incorporación. tecnológica y llevado a cabo en 2013 por el Semillero de Investigación Interdisciplinaria en Didáctica del Lenguaje y las Matemáticas – SIIDLyM de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas..

(23) al aula, sino que se debe propiciar el juego desde un punto de vista didáctico. En este sentido, Romero et al (2013) afirman: ‘El juego desde una perspectiva de dispositivo didáctico se articula desde dos dimensiones: la cultural, en tanto actividad común a los grupos humanos y la formativa en tanto ambiente de desarrollo de habilidades y aprendizaje’. p. 173.. La figura el juego se entiende entonces dentro de un marco amplio que lo ubica en ambientes desarrollados por medio de diseños didácticos. Así, para la identificación de la THA se establecen los niveles de la progresión del desarrollo en relación con elementos que no solo indagan por el juego, los movimientos que realiza el jugador y los resultados, sino también por un conjunto de componentes que engloban al juego de manera integral. Estos componentes y momentos se detallan a continuación: Momentos del juego Componentes. Afectivo. Actitudinal. Manipulación de los objetos del juego.. Momento de conocimiento de las reglas.. Momento de Jugar.. Auto reconocimiento y valoración de “lo otro” y del “otro”.. Transformación de las reglas en deseos.. Desarrollo de un “yo” ficticio.. Uso voluntario y libre de los objetos del juego.. Aceptación libre de reglas.. Sorpresa, admiración creatividad.. y. Participación autocontrol.. y. Respeto por los jugadores.. Disposición a la creatividad. Reconocimiento del contexto de juego.. Delimitación espacial y temporal de los contextos.. Tensión y alegría.. Admiración jugadores. Partir de lo fácil a lo difícil. Supongamos problema.. resuelto. intencional por. los. buenos. Uso de relaciones entre reglas. el. Identificación, selección y jerarquización de las jugadas.. Estratégico. Apreciación profunda de los objetos, sus atributos y sus relaciones.. Motriz. Subordinación de las acciones a las objetos.. Subordinación de las acciones a las reglas.. Subordinación de las acciones a las reglas y a los objetos.. Uso de objetos y sistemas de representación de objetos aritméticos.. Adecuación de las condiciones de las reglas.. Optimización de los objetos según las intenciones de las jugadas.. Instrumental. Identificación de los tipos de reglas y de los roles de los jugadores. Tabla 2. Componentes y momentos del juego. Fuente: Calderón, León y Orjuela (2010, p.3).. Las hipótesis de los tres niveles del juego de La Escalera se fundamentan en estos elementos, los cuales se complementan con el siguiente esquema del juego como dispositivo didáctico:.

(24) El juego como dispositivo didáctico. Es. Una propuesta intencionada y estructurada con fines educativos para ser implementada en una relación de enseñanza y aprendizaje.. Hay dos tipos de condiciones para su diseño Microestructurales. Macroestructurales. Se consideran. Se consideran Elementos relacionados con la misma naturaleza del juego y su vínculo pedagógico y curricular.. Una fundamentación general del juego proveniente de dos perspectivas teóricas.. Cultural - Antropológica. Huizinga (1933/1990). Fröbel (1912). Psicológica. Relaciones entre las posibilidades de acción del juego y su papel en la estructura de la interacción natural entre estudiante – saber - profesor.. Desde una perspectiva didáctica. Se analizan los requerimientos didácticos de un diseño (Calderón y León, 2001). Desde dimensiones:. Piaget (1986). Landeira (sf). Bruner (1984). Esquema 1. El juego como dispositivo didáctico.. Epistemológicas. Cognitivas. Comunicativas. Sociales - Culturales. Vygostky (1989). Gutton (1982). Elaboración propia a partir de lo establecido en Calderón, D., & León, O. (2016).. Callois (1986) Öfele (1999).

(25) A partir de estos elementos planteados por Calderón y León (2016), se toma como punto de partida la teoría del aprendizaje de corte social constructivista (Vygotski, 1973; Bruner, 1997/1999; Ausubel, 1978; Echeverry, 1996), en la que se identifican dos elementos: a) El lenguaje como factor de desarrollo psicosocial y como potencial semiótico, noético e interactivo que faculta al ser humano para su participación en la vida social. b) La mediación semiótica como un factor que opera en todo proceso de aprendizaje y en toda relación social. p. 11. En el esquema 1 se mencionan los aspectos macroestructurales del juego como dispositivo didáctico, entre los cuales se destacan el ejercicio, el símbolo y la regla en el juego, y algunos aspectos microestructurales como las dimensiones epistemológicas, cognitivas, comunicativas y socioculturales del aula. Mediante este esquema se construyen interpretaciones que permiten complementar las hipótesis propuestas en la THA. Bajo estas condiciones macro y microestructurales se establece, por ejemplo, que la generación de hipótesis sobre la experiencia de los jugadores es, en general, un proceso de observación de las relaciones entre los pensamientos de los jugadores y las interacciones que el juego de La Escalera propicia. Así, para comprender algunos aspectos de las matemáticas a través de situaciones de juego es necesario elaborar diseños cuyo objetivo principal sea formar jugadores expertos que en algún momento puedan sustraerse de las particularidades del juego. Para esto se tomaron aportes, sobre todo, de Huizinga (1954), Piaget (2007), De Guzmán (1984) y León, Rocha y Vergel (2006), autores que ofrecen grandes ideas de cómo propiciar ambientes para que los jugadores entiendan el juego y luego puedan salirse de él para verlo desde diferentes perspectivas. Una de esas perspectivas es la que plantea Piaget (2015), quien establece cuatro categorías que constituyen la transición entre el juego simbólico y las actividades continuación:. no. lúdicas. o. adaptaciones. “serias”,. como. se. muestra. a.

(26) Juego de Ejercicios. Juego Simbólico. ‘La forma primitiva del juego, la única que está representada en el nivel sensorio-motor, pero que se conserva parcialmente con posterioridad es el “juego de ejercicios”, que no conlleva ningún simbolismo ni ninguna técnica específicamente lúdica, sino que consiste en repetir, por gusto, actividades adquiridas en otra situación con un fin de adaptación’. p.62.. ‘Es el juego que transforma lo real mediante la asimilación más o menos pura a las necesidades del yo, mientras que la imitación es acomodación más o menos pura a los modelos exteriores, y la inteligencia es equilibrio entre asimilación y la acomodación’. p.62.. Juego de Reglas. Juego de Construcción. ‘Son instituciones sociales, en el sentido de su permanencia a lo largo de las transmisiones de una generación a la siguiente y de sus caracteres independientes de la voluntad de los individuos que lo aceptan. Algunos de esos juegos se transmiten con la participación del adulto, pero otros son específicamente infantiles’. p.104.. ‘Finalmente, a partir del juego simbólico, se desarrollan juegos de construcción, impregnados todavía al comienzo de simbolismo lúdico, pero que tienden después a constituir verdaderas adaptaciones (construcciones mecánicas, etc.) o soluciones de problemas y creaciones inteligentes’. p.62.. ‘En los juegos de reglas, los niños reciben las reglas hechas por parte de los mayores y las consideran como “sagradas”, intocables y de origen trascendente. Por el contrario, los mayores ven en la regla un producto del acuerdo entre coetáneos, y admiten que se pueda modificar, con tal de que haya consenso regulado democráticamente’. p.109.. Tabla 3. El contexto piagetiano del juego. Fuente: (Piaget, 2015).. Bajo estas categorías un jugador experto en el juego de La Escalera podría pasar por procesos del contexto piagetiano, y no solo desarrollar juegos de ejercicios y pruebas sino también obtener respuestas a preguntas que van más allá del juego. Los elementos mencionados en este apartado son una invitación a que el jugador se tome en serio el juego y a que el profesor lo considere un dispositivo estructurador de sujetos, de desarrollo humano y de aprendizaje. La pretensión del juego no es que el jugador al finalizar recite qué es una función o memorice alguna indicación del profesor, sino, por el contrario, que se lleve consigo un conjunto de prácticas y experiencias que después le permitan describir de manera más formal ciertos aspectos de las matemáticas escolares..

(27) 1.2.3 El juego La Escalera La Escalera o Salto de la Rana es un juego de carácter individual que consiste en intercambiar la posición de dos grupos de fichas puestas sobre un “tablero” o escalera (Merchán, 1994). En la ilustración 1 se observa la disposición de las fichas en el juego: cuatro piezas de un color a cada lado. En los laboratorios desarrollados para esta investigación se experimentó con juegos de hasta cinco fichas a cada lado de Escalera.. Ilustración 1. Disposición del juego La Escalera. Fuente: (Romero et al., 2013, p.487). Romero et al (2013) describen así el objetivo del juego de La Escalera o Salto de la Rana: ‘En la escalera hay dos grupos de fichas, uno a la izquierda y otro a la derecha, el objetivo del juego es intercambiar las posiciones de los grupos de fichas en forma simultánea para lograr que un grupo de fichas ocupe el lugar del otro’. p. 491.. Asimismo resaltan las reglas de juego: -. Las fichas pueden pasar a una casilla o posición vacía que se encuentre inmediatamente contigua a su posición.. -. Las fichas pueden saltar a una casilla vacía que tenga delante o saltar por encima de otra ficha propia o de diferente color, si la casilla siguiente está vacía.. -. La ficha movida no puede retroceder a la posición anterior. p. 492.. Además de este proyecto de investigación realizado por Romero et al en 2013, en Colombia, hay por lo menos tres investigaciones más asociadas a este juego. Por un lado está el trabajo realizado por un grupo de profesores de matemáticas de la Escuela Pedagógica Experimental4 que presenta soluciones al juego de La. Segura, D., Malagón, J., (2003). El modelaje matemático en estudiantes de educación básica (6°, 7º 8º y 9º grados): la validación de los modelos y los procesos de matematización de la experiencia. Estudio a partir de dos familias de problemas. Investigación e Innovación educativa y Pedagógica (IDEP) Bogotá, Colombia. 4.

(28) Escalera o Salto de la Rana. Los maestros implementaron el juego con estudiantes de 12 a 15 años de los grados séptimo, octavo y noveno, quienes desarrollaron soluciones a partir de más de 23 representaciones entre aritméticas, geométricas y algebraicas. En dicha investigación los maestros resaltan algunos procesos suscitados por el juego, como la resolución de problemas, la construcción de patrones, la modelación, la formalización y la generalización matemáticas. También hay un trabajo de investigación sobre la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de las operaciones de suma y resta asociada al juego La Escalera5 desarrollada por una estudiante de Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas en el 2016. En ella se destacan aspectos como el proceso de construcción de diferentes prototipos del juego con el fin de que sea accesible para diferentes poblaciones, y su relación con las tareas instructivas de la trayectoria de las operaciones propuesta por Clements y Sarama en el 2015. En paralelo a la presente investigación se adelanta otro trabajo de maestría6 en el que se destaca el surgimiento de patrones aritméticos, corporales y lingüísticos por parte de personas sordas tras la participación en el juego de La Escalera. A continuación se muestra una tabla con segmentos de algunos talleres elaborados por Romero et al (2013) a partir del juego de La Escalera, los cuales buscan propiciar conexiones entre la experiencia del juego y elementos de las matemáticas. La intención didáctica de dichos talleres no es la de fragmentar desarrollos del juego, sino la de entenderlo a partir de los caminos que un jugador puede recorrer gracias a él durante la experiencia.. Rodríguez, M. (2016). Trayectoria hipotética de aprendizaje: aprendizaje de las operaciones suma y resta en aulas inclusivas con incorporación tecnológica. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. 5. Rodríguez, G. (2018). El juego La Escalera como dispositivo para la formulación de patrones aritméticos. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. 6.

(29) Taller 1. Experiencias,. Taller 2. Formulación de. cantidades y. relaciones cuantitativas,. comparar clasificar.. cualitativas y espaciales.. Taller 3. Operaciones.. Taller 4. Problemas.. Relaciones Cuantitativas: realizar Identificación. de. preguntas del tipo: ¿Cuántos. propiedades:. movimientos. manipular el material,. cambiar la posición de. identificar texturas,. tamaños, olores. se. utilizan. para dos. fichas (1 azul y 1 café)? Hacer. y. uso de tablas en las que se. colores.. pregunte por movimientos en diferentes intentos del juego.. Comparación. Relaciones Cualitativas: solicitar. Clasificación:. llenar. categorizar el material sus. características,. por. realizar. tablas. el. menor. Plantear. preguntas. número de movimientos. que giran en torno a. en el juego. Preguntará. cómo generalizar los. qué pasa con el juego si. procesos. se tienen más fichas y. desarrollados en los. cuántos. diferentes talleres.. movimientos. y. según. Pedir. serían en. los cada. caso.. haciendo. preguntas a sus compañeros sobre el juego y hacer preguntas de. ejemplo, en tablas.. cómo. pueden. exponer. relaciones encontradas.. Tabla 4. Algunos aspectos de la estructura matemática del juego La Escalera a partir de talleres. Adaptación a partir de la Fuente: (Romero et., 2013, p. 488 – 498).. Las descripciones del juego, las reglas y las investigaciones sobre él permiten analizar las hipótesis de la trayectoria de aprendizaje en contraste con la trayectoria. real.. En. el. análisis. de. los. resultados. se. incluyen. algunas. consideraciones hechas a partir de las investigaciones mencionadas. En el marco de las trayectorias de aprendizaje aparece una sección exclusiva a las tareas instructivas, para este caso, el juego en sí mismo hace parte de la gran tarea de cada uno de los niveles, por eso, en los resultados no aparece una sección particular de tareas. No obstante, con el juego se pueden propiciar talleres como los descritos en la tabla anterior, es decir, aún hay más elementos del juego que se pueden vincular a una trayectoria más amplia que contemple no solo a La Escalera sino también que incorpore proyectos de aula, talleres y actividades más sofisticadas que utilicen ahora no solamente el juego La Escalera sino todo un sistema de juegos, que se consolide de manera más amplia en jornadas de seguimiento continuo a los jugadores..

(30) 1.2.4 Relaciones y funciones matemáticas ¿En qué lugar encontrar matemáticas? ¿Dónde existen? En la página impresa, qué duda cabe, y antes de la imprenta, en tabletas y en papiros. He aquí un libro de matemáticas; tómelo con sus manos: tendrá en ellas un registro palpable de las matemáticas en tanto esfuerzo intelectual. Pero tienen que existir primero en las mentes de las personas, pues un estante de libros no crea matemáticas. Lynn Stenn La enseñanza agradable de las matemáticas. A lo largo de la historia, se ha dado una evolución de las nociones e ideas innatas de relación. La relación se constituye como uno de los principios básicos de toda conceptualización el cual, al ser aplicado a dos o más elementos de uno o varios conjuntos, capta o genera cierto vínculo, nexo o correspondencia entre ellos, produciendo una proposición acerca de ellos (León, 2005). El ejercicio de caracterizar una relación matemática pasa por el reconocimiento de dos elementos: 1. el nivel de generalidad que se le asigna a este término. 2. la importancia que se le asigna a la formulación de una relación en la elaboración de conocimiento. (León, 2005). Así, la relación puede ser vista como un enunciado que vincula objetos matemáticos y que permite el posterior establecimiento de estructuras en determinado universo y con dominios aritméticos, geométricos o algebraicos. Esto da paso al establecimiento inicial del concepto de función. La noción matemática de función se compone de un macro concepto que a su vez se nutre de aportes de diferentes comunidades y corrientes de las matemáticas. Las funciones son objetos matemáticos que dan razón de patrones que pueden ser modelados y operados mentalmente. Asimismo, de manera intuitiva, se puede definir el concepto de ”función” como una asociación entre dos. elementos. respectivamente.. de. dos. conjuntos. distintos,. llamados. dominio. y. rango.

(31) Spivak (1967) señala particularmente, que una función es una regla la cual asigna a cada número real otro número real. Sin embargo, la definición formal desde las matemáticas es bastante distinta. ¿Cómo se puede definir a partir de las operaciones básicas entre conjuntos? Y más aún, ¿cuál de esas definiciones es comprensible a través del juego de La escalera? Partiendo de la definición ”usual” de una función, es decir, un subconjunto del producto cartesiano, no se establece en un primer instante una relación clara entre el juego La Escalera y esta idea, ya que el juego no tiene dos conjuntos, sino uno solo que es a la vez rango y dominio, lo cual puede producir confusiones en el aprendizaje. ¿Se podrían usar entonces las definiciones encontradas en los textos de cálculo diferencial? En principio, parece útil. Sin embargo, el conjunto de los números reales es un conjunto ”especial”, en el sentido de tener comportamientos algo patológicos (números irracionales). Por esto, es posible pensar las funciones no solo desde la definición de Spivak (1967) sino considerar por ejemplo: •. funciones como permutaciones, este tipo de funciones son muy especiales, y sobre todo, muy útiles en muchas áreas de las matemáticas, como la geometría o la teoría de grupos. Son particularmente útiles en el caso del juego de La Escalera, ya que también son una función del conjunto en él mismo, y el conjunto en particular debe ser finito. ¿Cómo aproximarlas entonces? Una de las vías más interesante parece ser la de ‘jugar’ con permutaciones geométricas, por ejemplo, como las de las rotaciones de un cuadrado, que son funciones del conjunto de vértices en él mismo, ya que el juego de La Escalera es, fundamentalmente, jugar con diferentes posiciones de objetos. ¿Qué objetos matemáticos presentan este comportamiento? Las figuras geométricas, las raíces de funciones algebraicas, las raíces de la unidad.. •. las funciones como metáforas de los números, por ejemplo, Lakoff (2000) señala que las funciones trigonométricas son aquellas en las que los ángulos se conceptualizan metafóricamente como números..

(32) •. funciones desde la continuidad, Lakoff (2000) describe la noción de continuidad para una función como:. The original notion of continuity for a function was conceptualized in terms of a continuous process of motion—one without intermediate ending points. The very idea of an algorithmic process of calculation involves a starting point, a process that may or may not be iterative, and a well-defined completion. p.37.. Asimismo, se exploran rutas propuestas por Mac Lane (1986) que permiten vislumbrar entradas a las funciones, que constituyen una estructura que las vincula desde diferentes perspectivas y que las determinan como un elemento dinámico dentro de las matemáticas. - Fórmula: una función es una fórmula aplicada a una letra 𝑥. Cuando 𝑥 es reemplazada por un número, la fórmula produce un número, es decir, el valor de la función para el valor dado. - Regla: la variable 𝑦 es una función de la variable 𝑥 cuando hay una regla dada para la cual cada valor de 𝑥 produce un correspondiente valor de 𝑦. - Gráfica: una función es una curva en el plano (𝑥, 𝑦) tal que cada línea vertical 𝑥 = 𝑎 encuentra la curva en a lo más un punto con coordenadas (𝑎, 𝑏). Cuando esto pasa, el número 𝑏 es el valor de la función en el argumento 𝑎. Esta descripción enfatiza el aspecto geométrico de las funciones e implica la noción de una curva y la dependencia de la aritmética con la geometría. - Dependencia: la variable cuantitativa 𝑦 es una función de la variable cuantitativa 𝑥, sí y solo sí, una determinación del valor de 𝑥 también fija el valor 𝑦, así que 𝑦 depende de 𝑥. - Tabla de valores: una función está determinada por una tabla de valores, en los cuales, para cada entrada de la primera cantidad 𝑥 corresponde un valor numérico en la segunda cantidad 𝑦. Esta es una definición inspirada por las tablas de funciones trigonométricas y logarítmicas. - Sintaxis: una función 𝑓 que va del conjunto 𝑋 al conjunto 𝑌, es un símbolo 𝑓, tal que siempre que el término 𝑥 representa un elemento de 𝑋, entonces cada.

(33) elemento de símbolos 𝑓 de 𝑥 representa un elemento de 𝑌, es decir, el valor de 𝑓 en el argumento 𝑥. Esta forma describe el uso de símbolos para las funciones. A partir de estos elementos de Mac Lane (1986) se muestran algunos ejemplos de cómo con talleres del juego La Escalera se pueden llevar a algunas de las entradas propuestas. En tabla se visualizan las posibles vías que un jugador al iniciar el nivel experto puede recorrer cuando se empiezan a desarrollar preguntas alrededor del juego, indagando inicialmente por el número de movimientos realizados por el jugador. El juego La Escalera visto como Tabla de Valores. Regla. Dependencia. Según el número de movimientos: Dos: 111. El valor de la variable 𝑦 (número de movimientos) depende de la variable independiente 𝑥 (número de fichas).. Tres: 12221 Cuatro: 1233321 Cinco : 123444321. Sintaxis. Fórmula. Fichas de color café y roja, a cada lado. Gráfica. 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟏. - Con dos fichas ficha: roja, café, roja. - Con tres fichas: roja, café, café, roja, roja, café, café, roja. - Con cuatro fichas: roja, café, café, roja, roja, roja, café, café, café, roja, roja, roja, café, café, roja. - Con cinco fichas: roja, café, café, roja, roja, roja, café, café, café, café, roja, roja, roja, roja, café, café, café, café, roja, roja, roja, café, café, roja.. Tabla 5. El juego La Escalera.. Cada una de estas rutas tienen un valor significativo dentro del contexto de juego, ya que permiten que el jugador lleve a cabo procesos de comprensión de.

(34) la situación problema de juego y pueda plantear soluciones específicas para resolverla desde diferentes vías. No obstante, en el marco de la THA del juego, se considera que se deben tener en cuenta otros procesos que surgen al momento que el jugador se enfrenta y que no necesariamente se encuentran en algunas de las entradas propuestas por Mac Lane (1986). Es decir, al primer contacto de un jugador con el juego La Escalera se pueden propiciar algunos procesos iniciales, que, si se fortalecen desde los primeros niveles de la THA, pueden permitir un espectro que posteriormente brinda una entrada más formal a las funciones. Esto implica una consideración sobre las nociones de funciones no precisamente ajustadas a la rigidez o la formalidad de las matemáticas. Hay una intención aquí de que el profesor investigador pueda reconstruir ideas usuales en torno a los principios sobre las funciones matemáticas y la gran responsabilidad que hay detrás del proceso de enseñanza y aprendizaje de estas. En este sentido, se considera que las funciones matemáticas son necesarias porque permiten el establecimiento de relaciones entre grupos o conjuntos de elementos, estas relaciones expresan dependencias entre una variable con respecto a otra, es decir, se tiene una respuesta a procesos de variación. No obstante, puede que en el aula se lleven a cabo procesos que no permitan a las personas conocer de forma consciente la importancia de las funciones, por ejemplo, para asignaturas como el cálculo. Al respecto, Stenn (1990) señala, ‘Los encabezados de los periódicos destacan alarmantes informes de analfabetismo funcional, falta de capacidad para manejar números y otros síntomas de deterioro educativo. Las escuelas del mañana pueden experimentar un renacimiento si empezamos a trabajar ahora el terreno para lograr una educación eficaz en matemáticas, ciencias y todas las asignaturas’. p.1.. A partir de estas consideraciones iniciales, la THA del juego del juego La Escalera, empieza a identificarse a partir de tres niveles en, el jugador del juego La Escalera sigue una trayectoria para solucionar el juego que consta básicamente de tres niveles específicos, en el primer nivel el jugador analiza su.

(35) entorno e identifica posibles cambios en este. En el segundo nivel se identifican los posibles movimientos y se analizan para determinar cual lleva a la solución del juego. Y en el tercer nivel el jugador es capaz de plantear los movimientos a seguir para solucionar el juego. A continuación, se profundiza más sobre estos tres niveles y lo que conlleva cada uno. Nivel 1. Jugador Principiante. Identificador de cambios Para este primer nivel, se proponen aspectos en torno a las matemáticas del cambio. Es decir, qué elementos de cambio capta un jugador que se enfrenta por primera vez al juego o que se ubica en el nivel de principiante. Al respecto, Stenn (1990) menciona: ‘Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen’. p.193.. Si es así, un jugador de La Escalera se enfrenta ante un juego que tiene posibilidades de exploración en cuanto al cambio. No es lo mismo para el desarrollo del juego tener una ficha a cada lado de la escalera o dos o tres o mil fichas. Los procesos que se realizan en subniveles por ejemplo de tres fichas a cada lado no son recurrentes y por tanto el jugador entra en un proceso en el que requiere ser consciente de los cambios que se trazan a través del juego. En este sentido, Stenn (1990, p.193) aporta las siguientes tres premisas en cuanto el cambio, que se han tomado para distinguir jugadores - Representar los cambios en una forma comprensible. - Entender los tipos fundamentales de cambio. - Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran. El ser humano es un ser que se adapta a los cambios, y para adaptarse a ellos tiene primero que conocer que cambios ocurren en su entorno, por esta razón cada variación es importante y es tenida en cuenta, como lo menciona Stenn (1990), ‘cambios de toda índole influyen en nuestras vidas’. p. 193..

(36) Un cambio genera una relación entre dos o más elementos, esto quiere decir que una variación genera otra variación, para determinar la relación del cambio de variables se utilizan diferentes áreas y métodos matemáticos, según Stenn (1990, p.194): ‘El enfoque tradicional de las matemáticas del cambio se puede resumir en un solo término: cálculo diferencial e integral. En el cálculo, el sistema cambiante se representa por una ecuación particular (técnicamente, una ecuación diferencial) que describe la relación entre las razones de cambio de las diferentes variables’. p. 194.. Stenn (1990, p.194) asegura que: ‘El cálculo es un componente esencial de las matemáticas del cambio’. p. 194.. Para representar y analizar estos cambios se recurre a las matemáticas en formas básicas o complejas dependiendo de la naturaleza del problema, esto quiere decir que las matemáticas juegan un papel fundamental en este proceso. Por ejemplo, en los colegios se dicta una variedad de materias relacionadas con matemáticas, enseñando a los estudiantes a tener ideas para resolver problemas, además de prepararlos para carreras universitarias como Ingenierías. Como lo plantea Stenn (1990): ‘Preparar a los estudiantes para el estudio del cálculo ha sido la meta central de las matemáticas escolares; plantear y resolver las ecuaciones del cálculo es el fluido vital de las matemáticas tradicionales enfocadas a la ingeniería’. p. 194.. Para concluir este nivel, se pueden realizar procesos de medición que identifiquen los cambios realizados en el entorno, así se tiene un patrón de referencia y se puede comparar con los cambios percibidos por el jugador para un posterior análisis..

(37) Nivel 2. Jugador Intermedio. Buscador de patrones En este momento el jugador ya ha detectado e identificado cambios, ahora debe predecir futuros cambios, analizando los posibles movimientos y cuáles de estos movimientos llevan a la solución, se debe pensar en una jugada posterior al movimiento que se va a realizar y si se puede o no avanzar de forma correcta o determinar cuál sería el mejor camino a seguir. El jugador comienza a identificar patrones en el juego, jugadas que se repiten una y otra vez o simplemente movimientos sencillos que llevan a perder el juego. Asimismo, los patrones se van instaurando en el cuerpo a través de los sentidos, a través de un ritmo musical, una apreciación visual o táctil, e incluso por medio del olfato. Una vez obtenidos los patrones del juego, el jugador tendrá más posibilidades de reproducir en las fichas movimientos correctos. Por ejemplo, Romero et al (2013, p.495) muestran el siguiente proceso de formulación de patrón para solucionar el juego cuando se tienen 2, 4, 6 y 8 fichas en el tablero. ‘Para una ficha de cada tipo una grande y una pequeña, una forma de representar la melodía sería: grande, pequeña, grande. Para dos fichas de cada tipo, dos grandes y dos pequeñas: grande, pequeña, pequeña, grande, grande, pequeña, pequeña, grande. Para tres fichas de cada tipo, tres grandes y tres pequeñas: grande, pequeña, pequeña, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, pequeña, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, grande. Para cuatro fichas de cada tipo, cuatro grandes y cuatro pequeñas: grande, pequeña, pequeña, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, pequeña, pequeña, grande, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, pequeña, pequeña grande, grande, grande, pequeña, pequeña, grande’. p.468. Muchos de los problemas que se solucionan a diario presentan movimientos periódicos y similitudes que llevan a un patrón en específico, puede que no sea muy relevante, pero depende de cada quien hallar ese patrón y utilizarlo para llegar a la solución del problema, el hallar este patrón no solamente acerca más a la solución del problema sino que brinda una solución que permite agilizar los.

(38) tiempos de respuesta por parte de los jugadores hacia el problema. Por lo tanto, como propone Stenn (1990) ‘… debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que a primera vista parezcan no tenerlos’. p.8.. También se pueden presentar patrones de simetría, es decir, sucede una misma acción de dos sitios distintos, como es en el caso del juego planteado, lo que pasa a un lado de la escalera se replica al otro lado, generando movimientos repetitivos que provocan un patrón que el jugador deberá percibir para entender la trayectoria que toma la solución del problema. Uno de los elementos que gesta el jugador a través de la trayectoria del juego, es hacer emerger los patrones escondidos del mismo. Pasos que le van a permitir después definir y comprender la definición formal de función. De cierta manera, estos patrones se relacionan con las matemáticas, generando una serie de números que se repiten una y otra vez, a esta matemática Stenn (1990) la denomina como ‘el lenguaje y ciencia de los patrones’ en el siguiente contexto: ‘Durante la trayectoria el jugador: resuelve problemas, encuentra y comprende obstrucciones, establece conjeturas, capta la esencia del juego. ‘La matemática como el lenguaje y ciencia de los patrones’. p.1.. Todo lo que hace el jugador en el juego es informal, pero este conocimiento informal puede convertirse más adelante en un conocimiento formal que permite establecer rutas a seguir para determinar soluciones a distintos problemas, Stenn (1990) ‘es posible desarrollar el pensamiento matemático, desde la exploración informal a temprana edad hasta el estudio formal en escuela y universidades’. p.2. En la solución de un problema, puede que existan más de un patrón a seguir, depende de cada individuo inclinarse por un patrón u otro, y esta decisión se debe con la familiarización que tenga el jugador con el patrón, que tan fácil le resulta identificar este patrón y ponerlo en práctica. Por ejemplo, a muchas personas se les facilita encontrar patrones mediante un ritmo, creando una. secuencia. musical. que. les. permita. recordar. movimientos. para.

(39) posteriormente tomar decisiones con pasos a seguir. Estos patrones dependen del problema, y el entorno de este. Actualmente, la tecnología cumple un papel muy importante en la sociedad, el problema es que tendemos a volvernos dependientes de esta tecnología, limitando nosotros mismos nuestras ideas, pensamientos y creatividad, grandes matemáticos de la historia realizaban cosas increíbles sin ayuda de la tecnología, porque siempre estaban un paso adelante, no se centraban únicamente en lo que veían sino de lo que su intelecto y creatividad les enseñaba. Al respecto, Stenn (1990) señala: ‘Gracias a las gráficas de computadora, gran parte de la investigación de patrones realizada por matemáticos se encuentra dirigida ahora por lo que uno puede ver realmente con los ojos, en tanto que los gigantes matemáticos del siglo XIX, como Gauss y Poincaré, tuvieron que depender más de lo que veían con los ojos de la mente. “Veo” siempre ha tenido dos significados distintos: percibir con la vista y entender con la mente. Durante siglos la mente ha dominado a la vista en la jerarquía de la práctica matemática; hoy se está restableciendo el equilibrio conforme los matemáticos encuentran nuevas formas de ver patrones, tanto con la vista como con la mente’. p.8.. Las matemáticas ayudan a establecer patrones para llegar a la solución de un problema, algunos patrones generan una mayor eficacia para encontrar la solución, depende del individuo escoger la más adecuada para él. Stenn (1990) plantea lo siguiente: ‘A fin de elaborar planes de estudio de matemáticas eficaces para el futuro, debe atenderse a los patrones en las matemáticas de hoy para proyectar, lo mejor que podamos, qué es en realidad fundamental y qué no lo es’. p.8.. A medida que pasa el tiempo en el juego, el jugador adquiere experiencia con patrones, y depende de él encontrar la solución; en ocasiones hallar la solución significa encontrar un patrón y plantear pasos a seguir, muchas de estas situaciones se presentan en aulas de clase. Stenn (1990) hace una referencia a estas experiencias tempranas con patrones tales como:.

(40) ‘El volumen, la semejanza, el tamaño y la aleatoriedad preparan a los estudiantes tanto para las investigaciones científicas como para las matemáticas más formales y con mayor precisión lógica. Así, cuando en el salón de clases se realice una demostración rigurosa años más tarde, el estudiante que se haya beneficiado de las experiencias matemáticas informales adquiridas mucho tiempo atrás podrán decir con sincero placer: “ahora veo por qué eso es cierto”. p. 12.. Nivel 3. Jugador Experto. Estructurador En este nivel el jugador empieza a desarrollar pensamiento algorítmico, en este proceso no es la premura por hacer emerger los algoritmos por sí solos, sino que el jugador y el profesor pueden ampliar la situación y preguntarse de dónde salen o por qué son así y no de otra forma. Empieza un proceso en el que el jugador puede hablar sobre el juego, sin el juego. Un desafío de estudiar experiencias que lleven en un futuro al aprendizaje formal de las funciones, en este nivel el jugador son: - Aplicar estas técnicas al mundo exterior, y - Controlar un universo cambiante para nuestro mejor provecho’. (Stenn, 1990, p. 193. Es decir, en este punto el jugador continúa con un proceso en el que se acerca a las funciones desde varias entradas e hilos conductores. Stenn (1990) señala que la tradición escolar acierta en que la aritmética, la medición, el álgebra y ciertas nociones de geometría representan los fundamentos de las matemáticas. Pero hay mucho más, hay ideas profundas que alimentan el crecimiento de las ramas de las matemáticas y que se pueden considerar como: Estructuras matemáticas específicas: Números Formas Algoritmos Funciones Razones Datos O atributos: Lineal Aleatorio Periódico Máximo Simétrico Aproximado Continuo Uniforme O acciones: Representar Construir un modelo Controlar Experimentar Demostrar Clasificar Descubrir Visualizar.

(41) Aplicar Calcular O abstracciones: Símbolos Equivalencia Infinito Cambio Optimización Semejanza Lógica Recursión O actitudes: Preguntarse Belleza Querer decir Realidad O comportamientos: Movimiento Estabilidad Caos Convergencia Resonancia Bifurcación Iteración Oscilación O dicotomías: Discreto vs. Continuo Estocástico vs. Determinista Finito vs. Infinito Exacto vs. Aproximado Algorítmico vs. Existencial Tabla 6. Ideas profundas que alimentan el crecimiento de las ramas de la matemática. (Stenn, 1990, p.9 – 10).. Identificar la trayectoria alrededor de estos puntos consiste en generar hipótesis sobre las matemáticas y que se encuentre con varias de las perspectivas e ideas señaladas en la tabla. Es necesario establecer conexiones entre:. conteo,. simetría, representación visual, algoritmos y propiciar una variedad de experiencias en cuanto a las funciones matemáticas, no solo es una fórmula o una tabla, es una variedad de experiencias matemáticas.

(42) 1.2.5 Cuerpo y emociones Se lleva a cabo un proceso de observación de las relaciones entre lo que exige el juego y otros elementos en los que se determina qué tan pertinente es el habla, la postura del cuerpo, los gestos y los sonidos al capturar patrones. Al desarrollar un laboratorio se empiezan a establecer hipótesis entre movimientos del cuerpo y la generación de patrones, hasta llegar a relaciones del tipo nivel de matematización - cuerpo - pensamiento. Con esta búsqueda se intenta continuar con propuestas de trabajo que parten de premisas en las que el cuerpo guarda memoria sobre sus movimientos y cuáles de esas acciones que se observan en la investigación conllevan a aspectos cognitivos y de aprendizaje. A partir de esto, se consideran todos los canales posibles para el aprendizaje, en el que el cuerpo a través de su movimiento refleja aspectos de su relación con el cerebro. En este sentido, se empiezan a determinar cuáles son las terminales corporales que conectan con canales cerebrales, es decir, cuando se mueven las manos o se producen sonidos qué canales se mueven o se activan de forma cerebral y cómo se asocian los canales entre sí. Sobre esto Armstrong & Wilcox (2007) muestran algunas evidencias sicológicas y lingüísticas sobre las conexiones entre los gestos y el habla relacionadas con la pregunta sobre el origen de la gramática a partir de algunas consideraciones sobre estructuras icónicas en lenguajes por medio de gestos, denominadas ’construcciones clasificadoras’ y teniendo en cuenta aspectos sobre el desarrollo del cerebro a partir de procesos gestuales y del habla, junto con procesos del desarrollo gramatical, en relación con la evolución histórica de lenguajes gestuales. Esto permite observar que los movimientos del cuerpo no son gratuitos y que las relaciones y conexiones entre cerebro, gesto y cognición son base teórica, no solo para el conocimiento del cuerpo humano, sino para el estudio de aspectos sobre el aprendizaje, de personas con situación de discalculia, sordas, ciegas y en general con condiciones diversas. “La inteligencia verbal o reflexiva reposa sobre una inteligencia práctica o sensorio motriz, que se apoya a su vez sobre los hábitos y asociaciones adquiridos para combinarlos de nuevo..

(43) Estos suponen, por otra parte, el sistema de los reflejos, cuya conexión con la estructura anatómica y morfológica del organismo es evidente. Por consiguiente, existe una cierta continuidad entre la inteligencia y los procesos puramente biológicos de morfogénesis y de adaptación al medio” (Piaget, 2007, p. 13). Se toman elementos de gestualidad y cognición, explora orígenes gestuales del lenguaje y su relación con la cognición corporal, el cuerpo y el aprendizaje y los efectos de dichos gestos. Asimismo, al explorar estas relaciones en el juego La Escalera se estudia el valor cognitivo para el juego y la dimensión de este como elemento que permite la aprehensión de aspectos de las matemáticas por medio del cuerpo, que genera la formulación de los patrones y cuyo primer patrón que permite es el corporal. Se realiza un análisis del juego La Escalera desde la dimensión del desarrollo. de. patrones. que. consolidan. relaciones. matemáticas. y. que. posteriormente tendrán una incidencia la trayectoria de aprendizaje, cuyo gran proceso es la variación y en el que la formulación de patrones va generando una entrada a elementos del dominio numérico. La exploración de estos elementos permite concluir que al abrir canales de comunicación se generan vías de acceso a todas las poblaciones en una comunidad que tiene en cuenta la diversidad y a elementos cognitivos, matemático, instruccionales y gestuales como elementos de desarrollo de una trayectoria de aprendizaje..

(44) 2. Diseño metodológico El gran referente teórico que se tiene en cuenta para el diseño en el trabajo de grado es la Investigación de Diseño y los experimentos de enseñanza, con los que se busca integrar situaciones en las que los investigadores participan en la creación de experimentos y en la observación de sus variables, duración y componentes del aprendizaje, en este caso de las matemáticas. Los experimentos de enseñanza se llevan a cabo con el fin de generar o ratificar hipótesis durante el experimento o en cada uno de los sucesos de enseñanza, siendo necesario algunas veces, abandonar o reformular hipótesis según los resultados que los datos recogidos arrojan. Por consiguiente, “el objetivo último es elaborar un modelo del aprendizaje y/o desarrollo de los alumnos, en relación con un contenido específico, entendiendo este aprendizaje como resultado de la manera de operar y las situaciones puestas en juego por el investigador-docente” (Molina et al., 2011, p.5). A partir de este último objetivo de los experimentos de enseñanza se establecen las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA). Apartir de esto, se realiza un estudio con jugadores llevando a cabo el juego La Escalera con diferentes tecnologías, luego se establecen procesos e hipótesis iniciales sobre los elementos encontrados en la exploración, para así identificar THA a partir del estudio con poblaciones. Finalmente, se confrontan y reformulan las hipótesis por medio de las tecnologías de análisis en función de la TRA. Fuentes de información - Revisión bibliográfica: autores que aportan elementos teóricos para el desarrollo y sustento del trabajo de grado. - Personas en condición de discapacidad auditiva: jóvenes o adultos que tengan la condición de ser sordos o alguna disminución auditiva. - Personas en condición de discapacidad visual: jóvenes o adultos que tenga la condición de ser ciegos o baja visión. - Estudiantes de bachillerato de colegios de Bogotá: con los cuales se pueda llevar a cabo el juego de La Escalera - Amigos o familiares cercanos: personas que quieran llevar a cabo el juego de La Escalera..