MACROECONOMIA II “MODELO IS-LM()”

MACROECONOMIA II

“MODELO IS-LM(*)”

Las siguientes notas teóricas fueron preparadas por los ayudantes de la cátedra de macroeconomía II del Dr. Fanelli: Matías Cattáneo, Nicolás Chialva, Nicolás Depetris Chauvin, Gervasio Guareschi, María Jaunarena, Juan José Pradelli, Mauricio Roer Kessler, Marcelo Salmún y Carolina Spak. Nicolás Depetris Chauvin las adaptó para su uso en la catedra del Dr. Heymann.

( )

( )

( )

Y r l P M

g r i r Y c

Y d

; ,

=

+ +

= Yd =Y −T

( )

Y;è

Características generales del modelo:

• 3 mercados: bienes, dinero y bonos.

• Determinación de los niveles de tasa de interés “r” y producto-ingreso “Y” (variables reales).

• Análisis de las condiciones de equilibrio en los mercados de bienes (curva IS) y de dinero (LM), con equilibrio en mercado de bonos garantizado por Ley de Walras. Hay interacción entre “lado real” y “monetario”.

• Economía cerrada: Sector público, privado y Banco Central.

(1.)El modelo:

(1.1). Forma estructural:

IS:

LM:

(1.2). Variables y supuestos de comportamiento: Variables endógenas: Y; ; r C; I; l

(se reducen a Y y r al reemplazar las hipótesis de comportamiento en las condiciones de equilibrio)

Variables exógenas: M;P;g;è

Hipótesis de comportamiento (premisas):

Demanda de Consumo: cd =c

( )

Yd,r 0<c'_yd <1 0

' <

r

c

Demanda de Inversión: id =i

( )

r ir' <0 Demanda de Dinero

o Preferencia por la liquidez: ld = l

( )

Y;r l'_y > 0;l_r' < 0 Recaudación tributaria: T = T

( )

Y;è T_y' > 0;T_è' >0 (1.3). Forma reducida (garantizada por el teorema de la función implícita).

) è; ; ; (

) è; ; ; (

g P M r r

g P M Y Y

= =

(2.)Equilibrio estático:

(2.1). Determinar los valores Y₀,r₀que equilibran simultáneamente los mercados de bienes y dinero (es decir, hallar solución simultánea para las ecuaciones IS y LM); y automáticamente el mercado de bonos (por ley de Walras).

(2.2). El gráfico IS-LM es un diagrama de fase:

IS: curva de puntos (Y;r) que equilibran el mercado de bienes.

(

)

(

)

0 ´

1 1 1

0 0

. .

´

< ′ +

′ − ′ − =

′ + + ′ − ′ =

< >

3 2 1

48 47 6

r r

Y

bienes merc eq

r r Y

i c

T c dY

dr

dr i dr c dY T c dY

(2.3). Deducción de las pendientes de las curvas dY

dr .

(1.)“Conceptual”:

IS: considerando una situación de equilibrio en el mercado de bienes, si el nivel de

ingreso Y fuese mayor, el consumo también lo sería, pero menos que

proporcionalmente. Debería existir un nivel de inversión más elevado para que el nuevo punto también sea de equilibrio, lo cual es posible con un nivel de tasa de interés r menor.

Así, 0

. .

< bienes merc eq

dY dr

.

LM: considerando una situación de equilibrio en el mercado de dinero, si el nivel de ingreso Y fuese mayor, la demanda por transacciones sería más elevada. Dada la

oferta real de dinero fija

___    

p M

, debe existir un nivel de demanda especulativa

menor para que el nuevo punto también sea de equilibrio, lo cual es posible sólo con un nivel de tasa de interés r mayor.

Así, 0

. .

> dinero merc eq

dY dr

(2.)“Formal”:

Diferenciando el sistema estructural respecto de las variables endógenas y

despejando dY

dr _{en ambas ecuaciones:}

}

{

0 0

0 0

. .

> ′ ′ − = ′ + ′ =

< >

r Y

dinero merc eq

r Y

l l dY

dr

dr l dY l LM:

(3.)Algunos “casos extremos” de las pendientes C.1) LM horizontal.

Alta sensibilidad de la demanda especulativa de dinero a los cambios en la tasa de interés: cuando r crece (cae) poco, los saldos especulativos caen (suben) mucho. Es característica de la “trampa de liquidez” con baja tasa r, donde existe “indiferencia” entre mantener riqueza en bonos o dinero (pues hay bajo costo de oportunidad del dinero), con sesgo hacia la preferencia por el dinero (pues éste brinda máxima liquidez).

Si una política monetaria de emisión busca reducir aún más la tasa r deprimida, dada tal “indiferencia”, los agentes privados absorberán la emisión como saldo especulativo o transaccional (dirigido a financiar gasto), y no lo aplicarán a la adquisición de bonos (por lo que no aumentarán sus precios y en efecto, no se reducirá la tasa de interés).

C.2) LM vertical.

0

  →  −∞ ⇒ ′   →  ′ ′ −

= si l_r

r l

Y l

LM dY dr

∞   →  ⇒ ′   →  ′ ′ −

= si _r 0

r Y

LM

l l

l dY

Baja sensibilidad de la demanda especulativa de dinero a los cambios en la tasa de

interés. Cuando r sube (cae), los saldos especulativos se mantienen

aproximadamente en el mismo nivel (caen o suben poco).

Es característico de las situaciones con alta tasa r, donde existe preferencia importante por los bonos (hay un alto costo de oportunidad de mantener dinero). Ante una política monetaria de emisión, los agentes privados absorberán la emisión como saldos transaccionales (dirigido a financiar gasto).

C.3) IS vertical.

Baja sensibilidad de la demanda de inversión ante cambios en la tasa de interés. Es el caso keynesiano simple, donde la inversión es exógena, y conduce a la no-interacción entre el mercado de bienes y de dinero.

3.4. “Zonas de excesos de oferta y demanda”.

1. Mercados de bienes:

−∞ →  ⇒ ′ + →  +

′ ′ − ′ −

= ´ 0

´ ) 1 ( 1

r r r

r y

IS

i c c

i T c

Desde un punto A (Y*;r*) de equilibrio en el mercado de bienes, una perturbación que eleve el ingreso a Y1 en el punto B, hace crecer el producto y el consumo (pero

en menor proporción).

Así, se crea un EOB en todo punto “por encima de la IS”. Una perturbación que reduce la tasa de interés hasta r2 en el punto C, mantiene el producto inalterado e

incentiva la inversión y el consumo. Así, crea un EDB en todo punto “por debajo de la IS”.

2. Mercado de dinero:

Desde un punto A (Y*;r*) de equilibrio en el mercado de dinero, una perturbación que eleve el ingreso hasta Y1 en el punto B, hace crecer la demanda transaccional de

dinero dada una oferta real fija. Así, crea un EDD en todo punto “por debajo de la LM”. Una perturbación que eleve la tasa de interés hasta r2, reducirá la demanda

especulativa dada la oferta real fija. Así, se crea un EOD en todo punto “por encima de la LM”.

Como veremos más adelante, las políticas económicas (fiscal y monetarias) alteran las variables exógenas, y así, “crean desequilibrios”, que modifican las variables endógenas, ingreso/producto y la tasa de interés (los valores originales de equilibrio (Yo;ro) ya no lo son, se encuentran ahora en una “zona de excesos” y las fuerzas

dinámicas del sistema comienzan a operar).

El análisis dinámico postula como se mueven (dirección y velocidad) las variables endógenas cuando se encuentran en valores de desequilibrio (cuando existen excesos de oferta o demanda en los mercados).

4. Estática Comparada:

4.1. Determinar los efectos de los cambios de las variables exógenas sobre los valores de equilibrio. Formalmente son las derivadas:

Observar que ya se han establecido los signos y valores aproximados de las derivadas de las funciones representantes de hipótesis de comportamiento respecto de las variables endógenas (son premisas del análisis):

En el análisis de estática comparada, se deducen como conclusiones (implicaciones) derivadas de las variables endógenas respecto de las exógenas.

4.2. Diferenciando el sistema estructural, respecto de todas las variables (endógenas y exógenas):

IS:

dY

=

c

′

_Y

(

1

−

T

_Y

′

)

dY

+

c

_Y

′

(

−

T

′

)

d

+

c

´

_r

dr

+

i

_r

′

dr

+

dg

LM: dP l dY l dr

P M dM

P + (− ) = Y′ + r′

1

2

Reordenando términos y expresando matricialmente:

dP dr dM

dr d

dr dg dr dP dY dM

dY d

dY dg dY

; ; è ; ; ; ; è ;

       

< ′ > ′

> ′ > ′

< ′

< ′ <

< ′

0 ; 0

0 ; 0 0

1 0

0

r Y

Y r

Y r

l l

T T

i c c

























⋅

















−

′

′

−

=













⋅













′

−

′

−

′

+

−

′

−

′

−

dP

dM

dg

d

P

M

P

T

c

dr

dY

l

l

i

c

T

c

Y

r Y

r r Y

Y

θ

2

1

0

0

0

0

1

)

´

(

)

1

(

1

En este modelo, supondremos “precios dados (P = P0) y fijos (dP = 0)”. Así al

determinar las variables ingreso y tasa de interés reales, implícitamente determinamos sus valores nominales; y permitimos “ajustes de cantidades” (no de precios).

El sistema anterior se simplifica:





















⋅

















−

′

′

−

=













⋅













′

−

′

−

′

+

−

′

−

′

−

dM

dg

d

P

T

c

dr

dY

l

l

i

c

T

c

Y

r Y

r r Y

Y

θ

θ

1

0

0

0

1

)

´

(

)

1

(

1

A partir de aquí, encontramos las derivadas de estática comparada.

Los ceros en la matriz que acompaña al vector de diferenciales de variables exógenas, indican que éstas no generan efectos impacto sobre los mercados correspondientes. Así, la política fiscal (impuestos o gasto público) afecta solamente al mercado de bienes en forma directa (y al de dinero en forma inducida, a través de las endógenas); la política monetaria (emisión) afecta sólo el mercado de dinero en forma directa (y al de bienes en forma inducida, a través de las endógenas.

4.3. Política fiscal: modificación del gasto público g.

Elevar el gasto público g (financiado con bonos) aumenta la demanda agregada (genera un EDB) y la oferta de deuda pública (crea un EOBonos) esto induce a aumentos del producto y de los ingresos, impulsando nuevos gastos de consumo sobre el ingreso adicional y así “multiplicando” los efectos expansivos sobre el producto. La mayor oferta de deuda pública compite con la privada, y el aumento de ingresos induce ahorros adicionales en bonos. Si aun persiste el EOBonos, bajaran sus precios y crecerá la tasa de interés. Esto desincentiva la inversión (“reduce el crecimiento multiplicado del ingreso”, “el gasto público desplaza inversión privada”, “efecto crowding-out”) y la demanda especulativa de dinero (cuyos saldos se destinan a financiar las transacciones que se han elevado).

      =             ⋅       ′ − ′ − ′ + − ′ − ′ − ∆ 0 1 ) ´ ( ) 1 ( 1 dg dr dg dY l l i c T c r Y r r Y Y 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1

En el gráfico se observa el efecto impacto de elevar g: a los niveles iniciales de Yo, ro

ahora existe un EDB (la IS se desplaza tal que (Yo;ro) quede en “zona EDB”).

Al final, el producto crecerá (pero en menor medida por el efecto crowding-out) y la tasa también (la explosión inicial de deuda pública elevará la tasa con cierta compensación parcial por el aumento del ahorro y la demanda de bonos).

∆ es el determinante de la matriz jacobiana (J) del sistema.

∆1 y ∆2 son los determinantes de la matriz que resultan de remplazar la columna 1 y 2 respectivamente de la matriz J por el vector de términos independientes.

Ahora analizaremos los signos:

Observando dY/dg (el multiplicador del gasto público), y multiplicando y dividiendo por –l’r :

Vemos que el denominador es

r Y r r Y

Y

l l i c T c

′ ′ ′ + + ′ − ′

− (1 ) ( ´ )

1 donde el segundo término es

el producto de:

• -(c’r+i’r): sensibilidad de la demanda de inversión y de consumo frente a cambios

en la tasa de interés.

• -l’Y/l’r: pendiente de la LM; es el cambio necesario en la tasa de interés para

mantener equilibrado el mercado de dinero cuando varía el ingreso (y así compensar las demandas especulativa y transaccional).

Es decir,

  

 ⋅    



_{− −}

LM dY

dr dr

dc dr

di _{indica cuanto va a caer la inversión y el consumo}

como resultado del aumento de la tasa de interés exigida para trasladar saldos especulativos para financiar gastos (transaccionales), manteniendo equilibrado el mercado de dinero que absorbe el producto (ingreso) adicional creado por la política fiscal más el efecto multiplicador. Es la medida del crowding-out.

El primer término del denominador, es igual al del multiplicador del modelo keynesiano simple; como se le adiciona el efecto crowding-out, el multiplicador del modelo IS-LM, es inferior al del modelo keynesiano simple.

La política fiscal es más efectiva en el IS-LM cuando la LM es horizontal.

Se anula el efecto crowding-out porque, ante una tasa de interés muy baja, los amplios saldos especulativos pueden financiar la compra de los bonos públicos adicionales y los gastos de transacción, sin alterar la tasa de interés y sin resentir la demanda de inversión y de consumo.

(4.4) Política fiscal: Modificación de la tasa impositiva θ.

Elevar la tasa impositiva θ reduce el ingreso disponible para gastos de consumo (creando un exceso de oferta de bienes) y reduce la oferta de deuda pública para financiar el gasto público (produciéndose un exceso de demanda de bonos). Esto induce reducciones del producto y de los ingresos, y nuevamente bajas en el consumo, multiplicando los efectos recesivos sobre el producto. La menor oferta de deuda pública (el gobierno cuenta con más recursos tributarios si el ingreso no cae tanto como para compensar el aumento de

θ) coexiste con una menor demanda debido a la reducción del ahorro como consecuencia de 0

) ´ ( )) 1 ( 1 (

1

0 )

´ ( )) 1 ( 1 (

> ′

′ ′ + + ′ − ′ − =

> ′ −

′ − ⋅ ′ ′ + − ′ ′ − ′ − −

′ − =

r Y r r Y

Y

r r

Y r r r Y Y

r

l l i c T

c dg

dr

l l l i c l T c

l dg

(amortigua la caída multiplicada del producto-ingreso), el consumo y la demanda especulativa de dinero (se reorientan los saldos transaccionales al caer el producto y al disminuir el costo de oportunidad de mantener dinero).

Conceptualmente esperaremos que è d

dy

sea negativa, y que è d

dr

también lo sea.

Suponiendo dg = dr = 0.

En el siguiente gráfico se observa el efecto impacto de elevar θ. A los niveles iniciales de

0 0,r

Y ahora existe un EOB (la IS se desplaza tal que Y₀,r₀ quede en EOB)

r0

r

y0

1 2

3 rf

yf

y1

0 Y

IS

f

IS

0

LM

Al final, el producto caerá (pero menos por el efecto crowding-in) y la tasa también (la retracción inicial de deuda pública hará disminuir la tasa con cierta compensación parcial por reducción del ahorro y la demanda de bonos).

   

 − =   

 

  

     

 

− −

+ − −

−

0 ' ' *

' '

) ' ´ ( ) ' 1 ( '

1 cT

d dr d

dy

l l

i c T

c

r y

r r y

0 ' ' '

0 ' ' '

2 1

< ∆ − = ∆ ∆ =

< ∆ = ∆ ∆ =

y r

l T c

d dr

l T c d

dy

Ver definición de ∆, ∆1, ∆2 y signo de ∆ en 4.3.

} }

} }

0 ' ' '

0 ' ' '

2 1

< −

= ∆

< =

∆

+ +

− +

y r

l T c

l T c

θ θ

y estocorrobora nuestra intuición

(4.5) Política monetaria: modificación de la cantidad nominal de dinero M (y real, dados P fijos)

Elevar la cantidad de dinero M vía emisión, reducción de encajes, operaciones de mercado abierto, pases activos, redescuentos, etc. aumenta la demanda de bonos (crea exceso de demanda de bonos) y la oferta real de dinero (produciéndose un exceso de demanda de dinero). El EDBonos presiona el alza de precios en el mercado de bonos, reduciendo los tipos de interés r. Este efecto inducirá un aumento en la inversión (crea un EDB) y genera efectos expansivos multiplicados sobre el producto, ingreso y consumo. El producto incrementado estimula la demanda de transacciones, y la tasa reducida aumenta las tenencias especulativas hasta absorber el EOD inicial (con algún posible EDD que elevará la tasa).

Conceptualmente expresamos que dM

dY

sea positiva y que dM

dr

sea negativa.

Suponiendo dg = dè = 0, en el gráfico se observa el efecto impacto de elevar M: a los niveles iniciales de Y₀,r₀ ahora existe un EOD. (La LM se desplaza tal que Y₀,r₀ quede en zona de EOD).

r0

r

y0

1

2

3 rf

r1

yf

0 Y

LMf

IS LM0

        − =                 − − + − − − p dM dr dM dy l l i c T c r y r r y ₁ 0 * ' ' ) ' ' ( ) ' 1 ( ' 1

[

]

0 ) ' 1 ( ' 1 1 0 ) ' ' ( 1 2 1 < ∆ − − − = ∆ ∆ = > ∆ + − = ∆ ∆ = y r r T c p dM dr i c p dM dY

Ver definición de ∆, ∆1, ∆2 y signo de ∆ en 4.3.

}

}

[

1 '(1 )

]

0 1 0 ) ' ' ( 1 2 1 < − − − = ∆ > + − = ∆ + + − + 4 4 8 4 4 7 6 48 47 6 ý r r T c p i c p

Lo que corrobora nuestra intuición

Observando dM

dY

(el multiplicador de la política monetaria):

0 ' ) ' ' ( ' )) ' 1 ( ' 1 ( ) ' ' ( 1 > + − − − − + − = y r r r y r r l i c l T c i c p dM dY

La política monetaria es más efectiva en el IS-LM cuando la LM es vertical

0 ' )) ' 1 ( ' 1 ( 0

'_r → ⇒ − − c −T _y l_r →

l y el multiplicador queda .

' 1 1         −    − = y l p dM dY

Como las tasas son muy elevadas, el dinero adicional se emplea para financiar gastos (con efecto directo sobre el producto) o adquirir bonos y bajar la tasa (con efecto indirecto sobre el producto vía inversión).

De y pl dM dY ' 1

= resulta l dy

p dM

y

'

(5) Análisis dinámico.

(5.1)Determinar las funciones que modelan el comportamiento de las variables endógenas a través del tiempo. Determinar la estabilidad dinámica del modelo (partiendo de una posición de equilibrio, ante una perturbación en las variables endógenas, observar si éstas convergen hacia una nueva posición de equilibrio que puede o no ser la misma, impulsadas por las fuerzas de mercado- excesos de oferta y demanda-).

(5.2)Las ecuaciones diferenciales de comportamiento indican cómo evolucionan (temporalmente) las variables endógenas a partir de los excesos de oferta y demanda (desequilibrios) en los mercados. Observar que los niveles de Y,r se determinan simultáneamente tal que equilibren los mercados de bienes y de dinero (en el análisis del equilibrio estático). Pero los cambios de Y,r a través del tiempo se determinan por los excesos de demanda en un mercado particular para cada variable (bienes y dinero respectivamente).

) )

; ( ( ) (

) )

( ) )), ; ( ((

( ) (

2 2

.

1 1

.

p M r Y l k EDD h

dt dr r

Y g r i r Y

T Y c k EDB h dt dy y

− =

= =

− + + −

= =

= θ

Cuando existe EDB, el producto-ingreso crecerá. Cuando existe EDD, la tasa de interés crecerá.

Esto nos permite indicar las trayectorias de ingreso y tasa de interés en el modelo IS-LM en las zonas de desequilibrios (excesos).

r

0 _Y

LM

IS

EDB EDD EOB EOD

EDB EOD

EOB EDD

En los puntos de la IS, en equilibrio, = 0 dt dy

dt

En los puntos de la LM, en equilibrio, = 0 dt dr

Arriba de la LM, con EOD, < 0 dt dr

Por debajo de la LM, con EDD > 0 dt dr

5.3) Como las ecuaciones diferenciales involucran funciones – hipótesis de

comportamiento de forma desconocida, las funciones k1 (EDB) y k2 (EDD) que dependen de las variables Y,r se aproximan linealmente por Taylor. Una función f(x;y) de dos variables se desarrolla:

f(x;y) = f(x0;y0) + fx’.(x-x0) + fy’.(y-y0) +

! 2 1

.[ fxx’’.(x-x0)2 + 2 fxy’’ .(x-x0).(y-y0) + fyy

’’.(y-y0)2 ] + ...

A. Evaluando las funciones k1.(EDB(Y;r)) y k2.(EDD(Y;r)) en el entorno del punto de equilibrio (Y0;r0) donde k1.(EDB) y k2.(EDD) son nulas (sería como tomar x0 e y0

tales que f(x0;y0)=0 ); y

B. Despreciando los términos de grado 2 y superiores (dejando de lado ! 2

1

.[ fxx’’.(x-x0)2

+ 2 fxy’’ .(x-x0).(y-y0) + fyy’’.(y-y0)2 ] + ...) se obtienen las aproximaciones lineales:

) ).( ' .( ) ).( ' .( ) ).( ' ' .( ) ].( 1 ) ' 1 '.( .[ 0 2 0 2 . 0 1 0 1 . r r l k Y Y l k dt dr r r r i c k Y Y T c k dt dY Y r y r r y − + − = = − + + − − − = =

Reacomodando términos y construyendo un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (lineales) no homogéneas.

] ). ' .( ). ' .[( ). ' .( ). ' .( } ). ' ' ( ]. 1 ) ' 1 '.( .{[ ). ' ' .( ]. 1 ) ' 1 '.( .[ 0 2 0 2 2 2 . 0 0 1 1 1 . r l k Y l k r l k Y l k r r i c Y T c k r i c k Y T c k Y r y r y r r y r r y + − = − − + + − − − = + − − − −

El sistema tiene solución Y(t) = Yh + Yc ; r(t) = rh + rc donde las partes homogéneas definen si las variables (Y; r) convergen a los valores (Yc; rc) y el sistema es dinámicamente estable.

0 ). ' .( ). ' .( 0 ). ' ' .( ]. 1 ) ' 1 '.( .[ 2 2 . 1 1 . = − − = + − − − − r l k Y l k r r i c k Y T c k Y r y r r y Expresándolo matricialmente:

Con la solución de ensayo (Laplace):

t t h t t h e A dt dr r e A r e A dt dY Y e A Y 2 2 1 1 . . . . . . 2 2 . 2 1 1 . 1 λ λ λ λ λ λ = = ⇒ = = = ⇒ =

Las partes homogéneas convergen a cero (y así las variables (Y;r) convergen a (Yc;rc) y el sistema es estable) cuando λ1 y λ2 son valores reales negativos o imaginarios con

componente real negativa.

En cualquier caso se deben cumplir las condiciones de estabilidad dinámica:

λ1, λ2>0 ; λ1 + λ2<0

Reemplazando en el sistema homogéneo:

Extrayendo factores comunes y expresando matricialmente:

Para que las soluciones Yh = A1.eλ1t ; rh = A2.eλ2t no sean triviales, el determinante de la

matriz que las acompaña debe ser nulo.

Esa matriz es la “matriz característica” y se expresa como:

Con determinante nulo:

0 . . −k J =

Iλ

Es la “ecuación característica”:

0 . ) ( . ). 1 (

2 _{+ − + =}

J k kJ Tr λ λ

En este caso particular I.λ - k.J es

      − − + − − − − ' . ' . ) ' ' .( ] 1 ) ' 1 '.( .[ 2 2 2 1 1 1 r y r r y l k l k i c k t c k λ λ 0 .

. − kJ =

Iλ es

0 . ) ( . ). 1 ( 0 )} ' ' '.( ' ]. 1 ) ' 1 '.( .{[ . ] 1 ) ' 1 '.( .[ . ' . . . 0 ) ' ' '.( . . ' ]. 1 ) ' 1 '.( .[ . ] 1 ) ' 1 '.( .[ . ' . . . 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 = + − + = + − − − + − − − − = + − − − + − − − − J k kJ Tr i c l l T c k k T c k l k i c l k k l T c k k T c k l k r r y r y y r r r y r y y r λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ donde:

Debido a que ki>0 ; lr’<0 ; y el término entre corchetes es positivo.

Además, 0 ' . )] ' 1 '.( 1 .[ )

(kJ = −k₁ −c −T_y + k₂ l_r < Tr 0 } ' ). ' ' ( ' ]. 1 ) ' 1 '.( .{[ .

.J = k₁ k₂ c −T_y − l_r − c_r +i_r l_y > k

Debido a que el término entre corchetes es positivo: ∆ = J > 0 Por propiedades de las ecuaciones cuadráticas

0 ) ( 0 . . 2 1 2 1 < = + > = kJ J k h λ λ λ λ

se cumplen las

condiciones de estabilidad.

Para determinar la estabilidad del sistema dinámico a través de los signos de las raíces características λ1 y λ2 asociadas a Tr(kJ) y k. hemos supuesto siempre que laJ

propensión marginal a consumir c’.(1-Ty’) era positiva e inferior a la unidad.

' ' )

' ' (

) ' 1

'.( 1

0 )) ' ' ( ).( ' ( ) ' )].( ' 1

'.( 1

[ 0

r y

r r

y

r r y

r y

l l

i c

T c

i c l

l T

c

− < +

− −

⇒ > +

− −

− −

− −

⇒ > ∆

Como veremos más adelante, la condición suficiente de que la pendiente de IS sea inferior a la de LM permite no solo que la primera sea negativa y la segunda positiva (el caso que hemos tratado hasta aquí, gracias a que c’.(1-Ty’)

∈

(0;1) , sino también que ambas sean

positivas con una mayor que la otra (será el caso en que c’.(1-Ty’)>1).

5.4)

- De un punto A, se converge al equilibrio. - Trayectoria “circular”: raíces complejas (focos) - Trayectoria “directa”: raíces reales (nodos) - (-; +): signos de dr/dt ; dY/dt

1. Considerando 0

.

= =

dt dY

Y en Taylor resulta:

Pendiente del la IS

Pendiente de la LM

Condición suficiente para la estabilidad

<

r

0

Y

A

-

+

-+

dr/dt=0

dY/dt=0

LM

IS

EDB EDD EOB EOD

EDB EOD

(

)

0 ). (

. 1

1 ' '

1 '

< +

− − =

− −

43 42 1

48 47 6

k i c

k c

dY dr

r r Yd

⇒Pendiente de la IS donde 0

.

= =

dt dY

Y (equilibrio en el mercado de bienes).

• 1.( ' 1) 0

.

< − =

∂ ∂

d Y

c k Y Y

• 1.( ' ') 0

.

< + =

∂ ∂

r r i

c k r Y

0 Y

Y0 Y

0 r

r0 Y

2. Considerando 0

.

= =

dt dr

r en Taylor resulta:

• }

{

0

). ( ).

.( 0

' '

' 2 '

2

> − =

+ =

− +

r Y

r Y

l l dY

dr

dr l k dy l k

⇒Pendiente de la LM donde 0

.

= =

dt dr

r (equilibrio en el mercado de dinero)

• 2. ' 0

.

> =

∂ ∂

Y

l k Y

r

• ₂.' 0

.

< =

∂ ∂

r

0 Y Y0

r

0 r

r₀ r

5.5)

Hemos visto que suponiendo 0 <c_Y' <1 se garantiza la estabilidad dinámica del sistema pues las raíces tienen componente real negativo (signos)1. Para determinar si la trayectoria de convergencia al nuevo equilibrio es directa o circular deben hallarse los valores de las raíces:

2

. 4 ) . ( )

. ( ë

2 2

, 1

J k J k tr J

k

tr ± −

=

J k J k

tr2( . ) 4 .

< = >

⇒Raíces reales diferentes ⇒Nodo estable ⇒directo ⇒Raíces reales iguales ⇒Nodo estable ⇒directo ⇒Raíces complejas ⇒Foco estable ⇒circular

[

' ' ' ' '

]

2 1 ' ' 2 1 2 ' 2 2 2 ' 2 1 2

) (

) 1 ( 4 ) 1 ( 2 )

1 ( .

4 ) .

(kJ k J k c_Y k l_r k k c_Y l_r k k c_Y l_r c_r i_r l_Y

tr − = − + + − + − − +

Reagrupando términos resulta:

(

)

' ' '

2 1 2 ' 2 '

1 2

) (

4 )

1 ( .

4 ) .

(kJ k J k c_Y k l_r k k c_r i_r l_Y

tr − = − − + +

Las velocidades de ajuste k1 y k2 determinarán si la trayectoria es directa o circular...

5.6)

1 _{La condición}

) 1 ; 0 (

' ∈

Y

) 1

( _Y

Y c T

c = − sea superior a la unidad.

En esta circunstancia, la curva IS toma pendiente positiva:

(

)

₀

) (

1

' '

'

> +

− − =

− +

43 42 1

8 7 6

r r

Y

IS c i

c dY

dr

Cuando crece el producto-ingreso, el consumo aume nta proporcionalmente más y se crea un EDB; eliminable con una suba de tasa r que contraiga la inversión.

Con c_Y' >1, la IS puede tener pendiente positiva mayor o menor que la pendiente positiva de la LM.

A) Cuando la pendiente de la curva IS es mayor a la pendiente de la LM (IS “corta LM por debajo”):

⇒

₍

₎

' ' '

' '

) (

1

r Y

r r

Y

LM IS

l l i

c c

dY dr dY

dr

− > +

− −

>

⇒Nodo inestable: '

r

i es pequeño (se necesitan grandes subas de r para reducir i y equilibrar bienes; altas dr dificultan equilibrar dinero)

B) La pendiente la curva IS es menor a la pendiente de la LM (IS “corta LM por encima”)

r

0 Y

IS

LM

EOB EOD

EDB EDD

EDB EOD

⇒

₍

₎

' ' '

' '

) (

1

r Y

r r

Y

LM IS

l l i

c c

dY dr dY

dr

− < +

− −

<

⇒Nodo o foco estable ⇒c´r+ir' es elevado (se necesitan pequeñas subas de r para reducir

i y c y equilibrar bienes; pequeñas dr no dificultan equilibrar dinero

r

0 Y

LM IS

EOB EOD

EDB EDD EDB

EOD