Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán:
Intervalo abierto: Es un intervalo acotado en el cual no se consideran a los extremos.
- a x b + x a,b> ó axb
Intervalo cerrado: Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos finitos.
- a x b + x[a,b] óaxb / a<b
Intervalo semi abierto: a)Por laizquierda:
- a x b +
a<xb óx <a;b]
a x +
a,+
INECUACIONES
DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica paradeterminados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo:
La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que severifica paravalores mayoresque 4.
INTERVALOS;
Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
CLASES;
Teorema 1:
a>b y mR am>bm
Teorema 2:
a>b y m>0 am > bm ya/m> b/m Teorema 3:
a>b ym<0 am < bmya/m< b/m
Teorema 4:
a>b y m imparR+ am > bm y ma>mb
Teorema 5: a>b y m0 parR+
am > bmy
ma>mb a ;b R+
Teorema 6:
a>0 a-1>0 a<b a-1>b-1
a<Oa-1<O a y b tienen el mismosigno Teorema 7:
b>0 a2>b a> b ó a< - b
b0 a2b a b ó a- b
Teorema 8:
b>0 a2<b - b <a< b
b0 a2b - ba b
Teorema 9:
b>1 bx > by x > y Teorema 1O:
0<b< 1 bx < by x > y
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS
INECUACIONES
2. INTERVALOS NO ACOTADOS;
Esaquel dondeporlo menosun extremo del intervalo es infinito (es elideal+, -). Ejemplo:
- x a +
x<-;a] óxa
-
x< > óx>a b)Por laderecha:
- a x b +
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:
ax+b>0 ó ax+b<0 ax+b0 o ax+b
(a y bsoncoeficientes, a0)
Resuelva cada inecuación y trace la gráfica de cada solución: 1. -8x 32
2. -6x 36 3. 6– 6x < 0 4. 2x– 5 < 9 5. -4– x 3 6. 7x– 5 < 2x + 10
7. x– (4 + 2x) + 3 < 2x + 2 8. -2(3x– 8) 5(4x– 2) 9. -7 < x– 2 < 4
10. 8 3r + 1 13 11. -4
3 1 2x
2 12. -1
3 2 5x
13. 4x-5>6x-13
14. (3 2)
9 2 ) 4 ( 3
8
x x
15. 3
6 2x
+4x >x+6 16. 42.75x > 7.460
17. 8.04x– 9.72 < 1.72x– 0.25
18. 4
3
x
- x < 2
1
x
-3
2
x
19. Resuelva: -2<5+3m<20
20. 2 1
4 1
9
y y
21. 2x + 3≥
2 1
x– 4 22. 4x-1≥ 4(x-2) + 7 23. 3x– 4 < x + 6
24. 3(x– 4) + 4x < 7x + 2 25. 5x– 4(x + 5) < x– 24 26. 2 5– 3x 11
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma: ax2+bx+c>0 ó ax2+bx+c<0
(a,b,c,soncoeficientes, a0)a,b,c,R
1. MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS: Ejemplo:
a) Resolver lasecuaciones x2-x-6>0 b) Resolver lainecuación: x2-9x+18<0
INECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
c) Resolver la inecuación:x2-x-200 d) Resolver: 3x2-4x+15
2. MÉTODO DE LA DISCRIMINANTE:
Para determinarlos valores“x” que satisfacen una inecuación desegundo grado se halla previamente los ceros de la función y=ax2+bx+c resolviendo la ecuación ax2+b+c=0, luego conociendo la naturaleza de las raíces de esta ecuación se presentan tres casos según el discriminante sea:
b2-4ac =
discriminante PRIMER CASO:
La ecuación ax2+bx+c=0 tiene raíces reales y diferentes, x1<x2,
Entonces la inecuación de la forma ax2+bx+c>0 (a>0) se verifica para todo x en los intervalos<-,x1>v<x2,+)
Pero si la ecuación es de la forma: ax2+bx+c<0 (a>0) se verificará para todo:x<x1,x2>
Ejemplos:
1. Resolver: x2-x-12 >0 2. Resolver: 3x2-x-4<0 SEGUNDO CASO:
Si laecuaciónesde laformaax2+bx+c>0 (a>o), se verificará para todo x diferente de x1
C.S.= R-{X1}
Pero silainecuación es de la forma: ax2+bx+c<0 a>0 no se verificaráparaningún valor real "x"
Ejemplos: 1. 9x2- 12x+4>0 2. x2
-3 2x
+ 9 1
<0
TERCER CASO:
ax2+bx+c>0,a>0, severificaráparatodo valor real de "x" La inecuación: ax2+bx+c<0; a>0
No se verificará para ningún valor real de "x". Ejemplo:
= b2-4ac>0
= b2-4ac=0
=b2-4ac<0
= b2-4ac>0
= b2-4ac=0
1. 6x2–llx + 9 > 0
3. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA RESOLVER INECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
PRIMER CASO:
Cuando P(x)= (xa1)(xa2)…...(xan) >0,0, <0,0
Procedimiento:
1) Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada factor (xa).
2) Secoloca entre estosvalorescríticos los signos(+) y (-)alternadamente de derecha a izquierda, es decir, comenzando de la derecha del mayor valor críticoy siempre conel signo(+)
3) Elloindicará quela expresiónoriginaldel problema será:
>0(positiva) en todos los intervalos abiertos donde elsigno (+) aparezca. <0(negativa) entodos los intervalosabiertos dondeaparezca el signo (-)
4) Si la ecuación corresponde a:0 ó0, entonces los intervalosabiertos determinados en el paso anterior(3°) secierran, pero solamente paraaquellos valores críticos que no hagan ceroal denominador.
Ejemplos:
1. Resolver:P(x)= x4+2x3-13x2+14x+24 > 0 2. Resolver: P(x)= x4-x3-13x2+x+12 < 0 3. Resolver: x3-9x2+26x-24 < 0
4. Resolver: x2- 11x +280
5. Resolver: x5 + 3x4– 5x3– 15x2 + 4x + 12 > 0 6. Resolver: 2x3– 3x2– 11x + 6 < 0
SEGUNDO CASO:
Para factores que se repiten: (xa) (x+a) ó (xa)m
a) Si m es par: Los signos de los intervalos de variación donde figure a no son alternados.
Ejemplos:
1. Resolver: x4-9x2+4x+120 2. Resolver(x-4)6(x-2)(x+3)>0 3. Resolver: (x-3)2(x-l)0
4. Resolver: (x-1)2(x+2)(x+4) > 0
b) Si m es impar: Los signos de los intervalos de variación donde figure a si son alternados.
Ejemplo:
1. Resolver: x5-4x3+2x2+3x-2<0 2. Resolver: (2x+1)(3x-2)3(2x-5) < 0
Forma general: ) ( ) ( x Q x P 0
Dónde: P(x)y Q(x)son monomios o polinomios no nulos concoeficientesreales. PRIMER CASO: Forma general: d cx b ax 0 Ejemplos: 1. Resolver: 2 3 4 x x
>0 2. Resolver: 2 3 4 x x
<0 3. Resolver: x
x 1 SEGUNDO CASO: Forma general: ' ' ' 2 2 c x b x a c bx ax 0 Ejemplos: 1. Resolver: 6 8 2 1 2 2 x x x x
>0 2. Resolver:
16 8 18 9 2 2 x x x x <0 TERCER CASO:
Si la inecuación fraccionaria
) ( ) ( x Q x P 0
es de grado inferior (mayor que 2) tanto P(x) como Q(x) . En este caso hay aplicaciones directasdel 2°caso.
Ejemplos: 1. Resolver: 4 9 6 6 2 4 2 3 2 3 4 x x x x x x x
Resolver las siguientes inecuaciones: 1. -4x2 + 4x + 3 > 0
2. x5 + 8x4 + 12x3– x2– 8x– 12 > 0 3. x2– 5x + 6 > 0
4. x2 + 2x– 8 < 0
5. 0 1 1 x x 6. 1 2 1 2 x x
7. -6 < x-2 < 4 8. (x+3)(x-5) 0 9. (2x-4)(x+2) 0 10. (2x-3)(x-1) 0 11. (3x -4)(2x+2) 0
12. 0 2 3 x x 13. 4 1 3 2 x x 14. 2 1 2 x x 15. 4 2 1 2 x x
16. -4 3
1 2k
2
17. (5 1)
10 1 ) 3 2 ( 2 3 p p
18. (3 2)
9 2 ) 4 ( 3
8
z z
19. 42.75x > 7.460 20. 15.79y < 6.054
21. 1 4 5 x 22. 4 2 3 x 23. 3
1 p p 24. 5 4 3 1 2 x x
25. (x+5)(2x-3) 0 26. (5y-1)(y+4) > 0 27. r2 + 4r > -3
28. z2 + 6z < -8 29. 6p2– 11p + 3 0 30. x3– 9x 0 31. p3– 25p 0
32. (x+6)(x+1)(x-4) 0 33. (2x + 5)(x2– 1) 0 34. (x+4)(x2– 2x -3) < 0 35. x3– 2x2– 3x 0
36. 0 4 2 y y 37. 0 1 3 r r 38. 1 3 6 z z 39. 1 5 2 a a 40. 3 1 5 3 1 k 41. 3 1 2 1 p 42. 2 1 2 7 k k 43. 1 12 1 5 p p
44. 4 0
2
x x
45. 6 0
51.
) 7 )( 5 (
) 2 )( 3 )( 1 ( 2
x x
x x x
52. (4 5)
13 4 ) 2 ( ) 2 4 ( 5
2
x x
x
53.
5 14 2 5 11 4 3 5 6
2 x
x x
54.
1 7
4
x x x
x
55. 43 27
x x
56. x5 + 3x4– 5x3– 15x2 + 4x + 12 > 0 57. 2x3– 3x2– 11x + 6 < 0
SEMANA 15 y
Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma:
F(x, ( ),3 ( ),..., ( )) 0
3
2 x P x n Pn x
P ó F(x, ( ),3 ( ),..., ( )) 0
3
2 x P x n Pn x
P
Donde P2(x), P3(x),….., Pn(x) son monomios o polinomios diferentes de cero.
Para que la solución de la inecuación sea válida debe resolverse antes la condición Pi(x)0, i = 2,3,….,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada. Debe observarse que P(x), quiere decir , (+ P(x)) y si desea la raíz negativa se escribirá expresamente como (- P(x)) y si se desea la raíz negativa se escribirá expresamente como (- P(x)); es decir:
i) P(x) 0, P(x) 0 ii) P(x) = 0 P(x) = 0
Para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades: 1. 0 x y 0 x y
2. 0 < x < y 0 < x < y
3. 0 x < y 0 x < y
4. i) Si n es un entero positivo par.
a) P(x) 0 n P(x)0 P(x) 0 b) n P(x) 0 P(x) = 0
c) n P(x) n Q(x) 0 P(x) Q(x)
ii) Si n es entero positivo impar. a) n P(x) 0 P(x) 0 b) n P(x) 0 P(x) < 0 c) n P(x) n Q(x) P(x) 0
REGLA
Ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.
TEOREMAS 1:
Sí n es un número positivo par, entonces:
y x y
x n
n 0 n xn y 0 x y
TEOREMAS 2:
Sí n es un número positivo impar, entonces:
y x y x n
n ; n x n y x y
0
0
x
x
n ; n x 0x 0
TEOREMAS 3:
Sean a y b números reales, entonces:
2
0
0 b a b
a b
a
0 2
0 b a b
a b
a
TEOREMAS 4:
Sean a y b números reales ,entonces
2
0 0
0 b b a b
a b
a
2
0 0
0 b b a b
a b
a
Halla el conjunto solución de las siguientes radicales:
1. x23 2x
2. x24x3 x27x12 3. x5 2
4. x10 5. x10 6. 4 x6 7
7. x1 2x 6
8.
4
8 4 48
012 13 1
2 3 5
3 3 2
x x x x
x x x
9. 0
6 2 4
5 4 2
3
x x
x
10.
x x x
x 6
1
2
11. 4x
x1
42x12. 6x12x3
13. 3 x33x25x6 x2 14. x1 x2 3 15. x 169x2 17 16. 169x2 x17
17. x7 x5 2x18 18. 2 x5 13x
19. 2x3 x
20. x26x 4 21. x10
22. 1
1
1
x
x
23. x24x 4 24. x21x 2
25. x23x2 2x
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN: Se llama valor absoluto de un número real x al número no negativo denotado por x y definido por:
0 ,
0 , 0
0 ,
six x six six x x
Ejemplo:
7 =7, -7=-(-7)=7, 2 =-(2 2 -2) = 2 - 2
PROPIEDAD BASICAS PARA RESOLVER ECUACIONES E
INECUACIONES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO
Teorema 1:Sean x , a Є R ,entonces:
a y a x a
a
x 0 )
1
x aó x a
a
x
) 2
Corolario
:
a y a x a
a
x 0 )
1
x a ó x a
a
x
) 2
Teorema 2 :dados a y b Є R :
0)
1 a b ab ab
0)
2 a b ab ab
Corolario
0)
1 a b ab ab
0)
2 a b ab ab
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los teoremas del valor absoluto:
1. x 5 2. x 4 3. x 2 4. 9x2 7 5. x5 2x3 6. x23x6 6x
7. 1
3 2
1
x
8. x24 2x4 9. x24 2x4 10. x4 x2 x1 11.
3 2 2
1
x x x
x
12. 0
5
x x
13. 0
6
x x
14. 4x2 3 15. x3 x1 16. x25x6 4x
17. 1
2
1
x
18. x23 x3 19. x24 2x4 20. x5 x1 x2
21. 0
3
x x
22.
4 3 1
2
x x x
x
23. x2x 2 24. x24 2x4
1. UTILIDAD. Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la producción) son de $60,000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cuántos deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?
2. Un constructor debe decidir si renta o compra una máquina excavadora. Si renta la máquina el pago mensual sería de $600 (con base en un año), y el costo diario (gas, aceite y conductor) sería de $60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual sería de $4000, y los costos por operación y mantenimiento serían de $80 por cada día que la máquina sea utilizada. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?
3. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es el 10 % del ingreso recibido de los distribuidores
por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10,000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades?
4. Una empresa tiene costos de producción de $600 por unidad de producto. Los costos fijos son de 2’000.000; si el precio de venta es $8000 por unidad de producto, determinar el número mínimo de unidades que deben venderse para que la empresa registre utilidades.
5. En el problema anterior si el número de unidades es q=1000 y se requieren utilidades de $80000 en este nivel de producción, ¿Cuál debe ser el precio mínimo de venta?
6. El costo de producción de un nuevo libro de texto es de $9000 por unidad. Si los costos fijos son de $7’200.000 y el precio de venta es de $15000 por unidad, determinar el mínimo número de unidades que deben venderse para obtener utilidades.
7. En el problema anterior, para el mismo nivel de producción, determinar el precio de venta para obtener utilidades mínimas de 3’000.000
8. MP Company produce chaquetas, con un costo total de mano de obra de 1.2 N dólares, donde N denota el número de artículos producidos. El costo total de materiales es 0.3 N. Si hay costos fijos de US $6000 para la planta de producción. ¿Cuántas chaquetas debe vender MP Company para obtener utilidades, si el precio de venta por chaqueta es US$3?
9. Una empresa tiene costos fijos de producción de $4’800.000 para cierto producto. El costo unitario de producción es $7000. Si el precio estimado de venta es de $16000, ¿cuántas unidades deben venderse para tener utilidades mínimas de $8’700.000? 10. UTILIDADES. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de
venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600,000, determine el numero mínimo de unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.
11. RENTA vs COMPRA. Una mujer de negocios quiere determinar diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por $400 mensuales (con una base anual). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de $0.10. Si comprase el carro, el gasto fijo anual sería de $3000 más $0.18 por milla. ¿Cuál es el menor número de millas que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra?.
