LOS NÚMEROS RACIONALES - FRACCIONES

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(1)

2018

2do año

Escuela

Normal

J.P.Pringles

NÚMEROS RACIONALES:

(2)

LOS NÚMEROS RACIONALES - FRACCIONES

Un poco de historia...

Las fracciones aparecen al principio de los tiempos, ya que surge la necesidad de partir y repartir objetos, frutas, campos, rebaños, etc.

Civilizaciones muy antiguas como la egipcia, la china y la babilónica usaban las fracciones de modo habitual.

Los egipcios, empleaban fracciones unitarias, es decir, aquellas que tienen como numerador el 1 y como denominador números enteros positivos.

Los chinos utilizaban, sobre todo, fracciones decimales, es decir, con denominador 10. Los babilonios empleaban como denominador el 60.

Pitágoras las relacionó con la música...

Más tarde, Vitruvio y Leonardo Da Vinci establecieron cánones del cuerpo humano ligados a los números racionales.

Significados de las Fracciones

Frecuentemente en la vida diaria usamos expresiones como ½ Kg de pan, ¾ Kg de cebolla, el pollo pesó 2,3 Kg, el gasista solicitó un caño de 1 ½ pulgadas, el pantalón costó $34,50, en la verdulería se gastó $5, etc.

En todos estos casos hemos empleado números racionales para expresar cantidades. De estos usos derivan los distintos significados de las fracciones en particular y de los números racionales en general.

Como parte de un objeto

Como has visto en los ejemplos las fracciones están compuestas por dos números: 𝑎

𝑏 donde “a” es el numerador y “b” es el denominador (con b ≠ 0)

El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad y el numerador, se refiere a la cantidad de esas partes que deben tomarse

Ejemplo: Lucas tiene que hacer un trabajo de Ciencias Naturales de 10 hojas; si ha escrito 7 hojas a) ¿Qué fracción del trabajo ha realizado?

b) ¿Qué parte del trabajo le falta por realizar?

Como operador

Una fracción actúa como operador sobre una cantidad, si ésta se multiplica por el numerador y el resultado se divide por el denominador.

Ejemplo: Los 2

15 de los alumnos de 2do año practican fútbol. Si hay 30 alumnos. ¿Cuántos practican

ese deporte?

Hay que calcular los 2

15 de 30

2

15

. 30 =

2 .30

(3)

Como relación entre dos cantidades

Muchas veces las fracciones se utilizan para mostrar la relación entre dos cantidades.

Ejemplo: Agustina quiere pintar las paredes de su habitación. Para lograr el color que le gusta mezcló dos potes rojos con cinco amarillos, ¿Cuál es la fracción que representa la relación entre potes rojos y amarillos y qué indica?

Como razón

La razón entre dos números enteros a y b dados en un cierto orden es el cociente indicado entre ellos. Así la razón entre a y b es

b a

Ejemplo: Se necesita conocer la densidad de una población de pinos, sabiendo que hay 360 pinos en 3 hectáreas.

Para conocer la densidad de población, se calcula la razón entre 360 y 3.

3 360

=

Como porcentaje

Los porcentajes son otra forma frecuente de expresar una fracción, indicada como un cociente donde el denominador es cien. Ejemplo: El 30% significa que de un total de 100, se toman 30

30 %

100 30

Ejemplo: En una fiesta escolar asistieron 100 personas. De este total 20 estuvieron paradas o sea, el 20%. ¿Cuántas estuvieron sentadas y cómo escribirías ese porcentaje?

Como probabilidad

Al arrojar un dado ¿Qué posibles resultados puedes obtener? ………... ¿Cuántos son los resultados posibles? ………

Si apuestas que al lanzarlo el resultado será un número par ¿qué números deberían salir? …………... ¿Cuántos son, entonces los casos favorables? ……….

¿Cuál será la probabilidad de que el resultado sea par? Si aplicas la Regla de Laplace podrás calcularla...

 

posibles casos

de Número

favorables casos

de Número par

(4)
(5)

3. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas teniendo en cuenta los distintos significados de las fracciones:

a) ¿Qué fracción del año son 3 trimestres?

b) Laura tardó 55 minutos en hacer compras en el supermercado: si estuvieron 10 minutos en la cola de la carnicería: ¿qué fracción del tiempo total representa dicho tiempo?

c) Una torta se dividió en 20 porciones de las cuales se consumieron 16, ¿qué fracción representa la parte que no se consumió?

d) Escribir la fracción irreducible del entero que representa la parte pintada en cada caso:

e) De una bolsa que contiene 75 caramelos, Marcos reparte 2/5 partes: ¿cuántos quedan en la bolsa? f) De un local con 854 asientos se ocuparon las 3/7 partes: ¿cuántas personas asistieron?

g) Jorge tiene una caja con 24 bombones que reparte entre sus primos de esta manera: Melina recibe la 3era parte, Ezequiel la cuarta parte, Agostina la 8va parte, Santiago la 6ta parte y Valeria la 12va parte¸¿Cuántos bombones recibe c/u? ¿Sobra alguno? Escriban los que sobran con una fracción- h) Al arrojar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?

i) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el as al arrojar un dado?

j) ¿Cuál es la razón entre el número de especies vegetales en peligro de extinción (500) y el número total (9000) de especies vegetales que existen en nuestro país?

k) Calculen cuántos son: Los 5

8 de los 40 alumnos de un curso de segundo año.

Los 4

7 de una deuda de $ 14000.

l) l1) Escriba los siguientes porcentajes como una fracción irreducible

75% 50% 20% 25% 5% 10% 1% l2)Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en a) completa los siguientes ítems:

 para calcular el 50% de una cantidad, se divide la cantidad dada por ……….

 para calcular el 25% de una cantidad, se divide la cantidad dada por ……….

 para calcular el 20% de una cantidad, se divide la cantidad dada por ……….

 para calcular el 10% de una cantidad, se divide la cantidad dada por ……….

 para calcular el 5% de una cantidad, se divide la cantidad dada por ……….

 para calcular el 1% de una cantidad, se divide la cantidad dada por ……….

m) En una bolsa hay 30 caramelos de menta y 20 de fruta:¿cuál es la probabilidad de sacar un caramelo de fruta al introducir la mano en la bolsa?

n) En una fiesta se sirvieron 200 platos de comida, de los cuales 100 fueron de pizzetas. n1) Expresa

de 4 formas distintas la cantidad de platos que sirvieron de pizzetas. n2) De la cantidad de pizzetas

(6)

o) En una empresa 30 de cada 70 personas tienen menos de 35 años, mientras que 20 de cada 50 tienen más de 50 años. Si la empresa tiene 700 empleados: ¿cuántos hay en cada tramo de edad? p) Por demorarme al pagar una boleta de gas de un departamento de $ 720 me recargaron un 20 %,

¿cuánto pagué finalmente?

q) ¿Cuánto deberás abonar por un par de zapatillas cuyo precio de lista es de $ 2440 si te hacen un descuento del 20 % al pagar de contado?

r) Guillermo tenía $500 y se gastó el 40% ¿cuánto dinero le quedó aún?

4. Esta tira mide

7 1

de cierta unidad. Dibuja la tira completa. Si necesitas puedes usar la regla o cortar una tira igual a la del dibujo

5. ¿Qué parte de la unidad se pintó en cada uno de estos rectángulos?

6. ¿Es cierto que ambas partes sombreadas del siguiente dibujo representan la cuarta parte del total? Justifica tu respuesta

7. Completa

(7)

c) Con

3 10

se pueden formar …….. enteros y me sobran ….. d) Se necesitan ………. cuartos para formar tres enteros e) Los novenos que necesito para formar

3 1

, son ……… f) Se necesitan …….. octavos para formar

2 1

8. Responde

a) ¿Entre qué números enteros se encuentra la fracción

5 2

, en la recta numérica? b) ¿Entre qué números enteros se encuentra la fracción

5 2

 , en la recta numérica? c) ¿Entre qué números enteros se encuentra la fracción

3 5

, en la recta numérica? d) ¿Entre qué números enteros se encuentra la fracción

4 17

 , en la recta numérica?

9. Cada una de las siguientes figuras representa los

3 2

de cierta unidad. ¿Cuál es la unidad? Dibújala.

a) b)

10. Completa el siguiente cuadro según corresponda:

Número Racional

Relación con el entero (>,<,=)

Fracción

Reducible/Irreducible

Simplificación

12 18 4 24 75 100

−20 25

−15 7 38 19

(8)

12. Escribir el número racional que representan los puntos: P, Q y R

13. Ubicar el 0 y el 1 en cada una de las siguientes rectas numéricas

a)

b)

14. Completa:

15. Completa los espacios en blanco para obtener fracciones equivalentes:

𝟓

𝟑

=

12

=

30

=

60

9

=

27

15

=

20

=

63

16. Halla los números enteros entre lo que se encuentran las fracciones dadas:

<

2

3

< < −

7

5

< < 1

3 4

<

17.¿Qué condición debe cumplir una fracción para poder representarse como un número mixto?. Y, ¿para que represente un número entero?

Fracción Número mixto

13 9

34 7

−125 46

−77 9 29

15

(9)

18.Resuelve:

a) Diego tarda un cuarto de hora en hacer una tarea y Analía 4/15 de hora en hacer la misma actividad. ¿Quién tarda menos?

b) ¿Qué fracción es mayor: la que representa la cantidad de vocales en la palabra “mayor” o la que representa la cantidad de consonantes en la palabra “amanecer”?

c) Emiliano hace las 2/5 partes de su tarea, y luego hace las 3/7 partes. ¿Qué parte de su tarea le queda por hacer?

d) Santiago y Lucio fueron al campo. Luego de recorrer 3/5 partes del camino, se detuvieron para descansar y luego avanzaron 1/5 más; en ese momento Lucio advirtió que se le había caído el celular, por lo tanto, retrocedieron 2/5. ¿En qué parte del camino se encuentran ahora?

e) Laura tenía ¾ partes de una resma de papel para hacer unas copias, Pedro le pidió 1/3 de la misma y Federico tenía una resma completa; ¿de cuánto papel disponen?

f) Sebastián recorre una carrera en cuatro etapas, en la primera recorre 1/6 del total, en la segunda etapa recorre 1/5, en la tercera etapa recorre 1/3 del total. ¿Qué parte del recorrido tiene que ser la cuarta etapa?

g) Nos dicen que el reparto de una torta fue el siguiente: 1/5 para Pedro, 3/7 para Pablo, 3/8 para Juan y 1 /10 para Mateo. ¿Es posible este reparto?

h) Jorge le había pedido prestado dinero a un amigo y se lo devolvió de la siguiente manera: el primer mes le devolvió 1/5 del dinero prestado, el segundo mes 3/10, el tercer mes 1/3 y el cuarto mes 1/6. ¿Saldó Jorge su deuda?

19. Calcula:

𝑎) 2 17−

1 17+

8

17=

c)

3

4

− (

4

7

+

1 8

) −

31

56

=

b)

9

10

+

2

15

1

20

+ 3=

𝑑) − {+ [(−

2 9+

1 3) −

2 3− (−

3

4)]} − 4 =

20. Halla el valor de x:

𝑎) 3 − 𝑥 +2 5=

7 3

𝑏)7 5+

1

2= 𝑥 + 3

𝑐) 𝑥 − 1 = 2𝑥 +9 5

𝑑) 8 5𝑥 −

3 5=

3 5𝑥 −

1 3

21. Resuelve:

a) Pedro toma dos terceras partes de una bolsa de caramelos y los come con sus cuatro amigos. ¿Qué fracción de la bolsa come cada uno?

b) Mariela tiene cuatro hijos y decide repartirles, en partes iguales, la media pizza que tiene. ¿Qué fracción de la pizza le toca a cada uno?

(10)

d) De una bodega que contenía 1000 litros de vino se sacó primero, ¾ del total y, después, 1/5 del total, ¿cuántos litros quedan?

e) Si para un asado se calcula que cada persona come ½ kg de carne: ¿cuántos kg de carne habrá que comprar para 17 personas? Si se compran 12 3

4 kg, ¿para cuántas personas alcanzará?

22. Calcula:

𝑎)4 7· (

−35 26 ) · (

−3

10) = 𝑐) (

−1

2 +

7 5) · (

−5 3)=

𝑏)13 15: (−

52

5) =

𝑑) (−

25

9

) : 5 =

23. Completa:

𝑎)

12

121

·

11

60

=

𝑏) (−

2

5

) ·

· (−

15

8

) = 1

𝑐) 0:

23

45

=

𝑑) (−33 15) :

22 25=

𝑒) ∶ (−15 4) = −

8 45

𝑓)

5

3

∶ =

25 21

24. Separa en términos y resuelve:

𝑎) −

1

5

+

2

3

· (−2 +

5

2

) − 3 =

𝑏) (5 −1 4) : (−

1 8) +

1 2− (

7

3+ 2) =

𝑐) (−

2

3

+

4

3

:

6

4

) · (−

4

3

) +

1

2

=

𝑑)5 − 7 2 3 10 −9 5=

𝑒)

1 −

2 5

1 +

2

3

1

3

· (−

1

2

+

1

4

) + 4 =

𝑓)1 − 2 5 2 3

−1 3· (−

1

2) + 4 =

25.Resuelve las siguientes ecuaciones:

𝑎) 5𝑥

6 −

1

4 = 2. (1 − 𝑥

3) + 𝑥 𝑑) 2𝑥 −

𝑥 − 2

4 =

(11)

𝑏) 1

3. (6 + 2𝑥) = 1

4· (3𝑥 + 12)

𝑐) 3𝑥 − 2

5 −

2𝑥 − 1

3 =

5𝑥 − 7 15

𝑒) (25 81𝑥 −

5 9) : (−

5

9) = 𝑥 + 1 3

𝑓) 5 − 𝑥

3 =

𝑥 + 3 5

26. Resuelve el siguiente ejercicio de dos formas distintas y elabora una conclusión:

(

2

3

)

2

: (

2

3

)

4

=

(

2

3

)

2

: (

2

3

)

4

=

Generalizando:

27. Completa los cuadritos con el número que corresponda:

(−

4

9

)

2

=

(−

2

5

)

−2

=

(

3

4

) =

16

9

(

17

23

) = 1

( )

−5

= −243

81

64

=

√−

1

16

4

=

√−

1

27

= −

1

3

625

10000

=

1

2

28. Resuelve aplicando la propiedad que corresponda en cada caso:

𝑎) (−

3

2

+

1

3

)

−2

=

𝑏) (

1

3

)

5

: (

1

3

)

7

(12)

𝑐) (

1

2

)

2

+ (

1

2

)

8

· (

1

2

)

−6

=

𝑑)√−1 +

7

8

3

=

𝑒)√√

1

1000000

3

=

𝑓) {[(

6

7

)

5

]

0

}

3

=

𝑔)√

2

3

· √

18

12

=

ℎ)√

9

4

·

25

100

·

36

49

=

𝑖)√

1

2

3

: √−4

3

=

29. Separa en términos y resuelve:

𝑎) √

1

3

· √

1

12

+ (

4

3

)

2

+ (

3

5

: 2 −

2

5

)

−1

=

𝑏) (

1

2

+

1

5

)

−1

:

5

14

+ √2 −

7

16

− (

2

7

)

−2

=

𝑐)

5 −

1 2

2

+

√(1 −

1

4

) · (

1 3

)

−1 32 2

+

3 22

− √

3

2

· √

3

2

=

𝑑) [

2 5

:

8 25

+

1 6

5 +

2

3

− (

7

2

)

−1

+

5

3

:

14

9

]

−1

− (

1

2

)

−2

=

𝑒) (

1 −

1 3 2 3

1 2

)

2

− √

1

2

3

· √

1

4

3

− (

1

2

− 1 +

1

3

)

−2

=

𝑓)

(

2 3

)

−2

· (

2

3

)

3

· √

4

9

(

1

2

)

−2

· 3

−3

− (

5

2

· √

(13)

𝑔)

1 +

1 2 2

5

− 1

− √

3

2

·

9

4

3

− (−

1

2

+ 1)

5

: (1 −

1

2

)

6

+ (

1

2

+

3

4

)

−1

=

ℎ) [

2

−2

·

8 3

(1 +

1

3

)

2

− (

1

2

)

3

]

−3

=

30. Resuelve las siguientes ecuaciones:

𝑎) √5 2+ 𝑥 3

: (−1 +1 2) = (

1 2)

−2 =

𝑏) (2𝑥 −1 2) 2 = 3 4+ 3 2

𝑐) (𝑥 +3 2) 3 −59 27= 8 3− 2 9 𝑑)√11 36𝑥 +

5 12=

3 4

𝑒)√7𝑥2 1 3= −

2 3

𝑓) (2 3−

1 2)

2

− (−1 2)

2

= √11 27𝑥 −

2 9

𝑔) −2 3· (𝑥

2+1 2)

2

= −3 8

ℎ) (1 −3 5𝑥)

2 −15

2 = ( 1 5− 1)

−1

𝑖) √1 2𝑥 −

2 3 3

+ 1 =1 2

𝑗)7 5. (−7𝑥

2+ 2)2 =5 7

31. Plantea y resuelve la ecuación correspondiente a cada problema:

a) El triple de la edad de Marcos, más ¾ de la misma menos dos décadas forman un siglo, ¿Cuál es la edad de Marcos?

b) Si al doble del cubo de un número le restamos 1/2, obtenemos el cuadrado de 5/2, ¿cuál es el número?

c) Un hombre decidió repartir entre 3 parientes parte del dinero que tenía de la siguiente manera: 1/3 a uno de sus parientes, ¼ a otro y 1/6 a otro. Hecha esta distribución le quedaron todavía $ 54 000, ¿Cuánto dinero tenía antes del reparto?

(14)

. ¿Qué parte de las remeras vendió en el tercer negocio? . ¿Qué parte de las remeras vendió en el cuarto negocio? . ¿En qué negocio vendió menos remeras?

e)El propietario de un terreno ha decidido venderlo en parcelas para obtener una mejor rentabilidad. Vendió primero 3/7 del mismo, luego la mitad de lo restante y aún le quedaron 244 m2 sin vender. Calcula la superficie del terreno.

f) La edad de Martín más sus dos quintas partes es igual a la edad que tendrá dentro de 6 años. ¿Cuántos años tiene Martín?

g)Ayer, las dos novenas partes de alumnos de 2º A fue a la escuela caminando, la tercera parte fue en colectivo, la cuarta parte en bicicleta; de los que quedan las seis séptimas partes fue en auto y faltó un alumno. ¿Cuántos alumnos hay en 2º A?

h) Hay una pileta de natación vacía; entre las 8 y las 9 de la mañana se llena hasta su cuarta parte, a la hora siguiente se agrega una tercera parte más, a la hora siguiente se agrega la mitad de lo que le faltaba, y todavía faltan agregar 50 000 litros para que la pileta esté llena. ¿Cuántos litros de agua tiene la pileta cuando está llena?

i)Cuatro campesinos se dividen la tarea de arado de un campo, que debe concluirse en 25 jornadas de trabajo. Si el primero trabajó durante la mitad de los días de lo que trabajó el segundo, el tercero la mitad del tiempo del primero y, el cuarto, tantos días como el primero y el tercero juntos, ¿Cuántos días de labor se deben abonar a cada uno?

j)Una herencia de $ 90 000 se repartirá entre tres hermanos: María, Daniel y Jorge de la siguiente manera: María recibirá ¾ de lo que obtenga Daniel, mientras que Jorge obtendrá la mitad de lo que obtenga Daniel. ¿Cuánto recibirá cada uno?

k) ¿Cuál es la distancia que separa la ciudad A de la ciudad B, si se sabe que el primer día un automovilista cubrió 1/5 de esa distancia, el segundo día 1/3 de lo que quedaba por recorrer, restando aún cubrir 350 km?

32.

Reforzamos

?

Resolver, separando previamente en términos y aplicando propiedades. Simplificar todo lo posible

1 1 9 4 2 6 3 7

5) 1 2

2 4 2 15 5 10 10 3

     

          

     

2 9 8 2 1

2 18 2 2 18 7 5

7) 1

3 5 5 5 21 3 2

             

           

(15)

2

3 4 1 2 1

3

2 2 8 2 3 3 3 9

9)

3 3 27 3 5 10 25 4

 

    

        

    

         

 

 

4

1 3 2 2

3 3

3 3 7 1 2 3

10) . 1 : . 1

2 2 8 2 5 5

 

 

       

       

2 3 2 2

1 3 3 3 4 7

11) 2 . .

4 2 5 5 5 5

 

       

     

       

0

1 2 7 9 3

11 3 3 3 5 9 5

12) 1 . : :

25 2 4 4 3 2 7

      

       

         

        

 

Resolver las ecuaciones siguientes:

Resolver los siguientes problemas, planteando la ecuación y verificando la respuesta

a) Si al doble de la edad de Juan se sumara la mitad de la edad de Elena, que tiene 20 años, se

obtendría 32. ¿Cuál es la edad de Juan?

b) Si al triple de la edad de Mariela se le suma el doble de la edad de Fabio, que tiene 33 años,

se obtiene 156. ¿Cuál es la edad de Mariela?

c) El triple de los caballos que posee un granjero, aumentado en 15 ejemplares, iguala a 1/5 de

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