Modelado de las irregularidades del motor de inducción . Aplicaciones en la estimación de posición y el diagnóstico de fallas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

FACULTAD DE INGENIERÍA

Departamento de Electrotecnia

MODELADO DE LAS IRREGULARIDADES

DEL MOTOR DE INDUCCIÓN:

APLICACIONES EN LA ESTIMACIÓN DE POSICIÓN

Y EL DIAGNÓSTICO DE FALLAS

Guillermo Rubén Bossio

Tesis presentada para obtener el grado de

DOCTOR EN INGENIERÍA

Directora: Dra. María Inés Valla

Codirector: Dr. Guillermo Oscar García

Subdirector: Dr. Jorge Alberto Solsona

RESUMEN

En esta tesis se estudian estrategias para la estimación de posición y el diagnóstico de

fallas en motores de inducción utilizados en accionamientos de velocidad variable. La

estimación de posición permite eliminar los sensores mecánicos en el control del motor,

reduciendo los costos y aumentando la confiabilidad y robustez del accionamiento. El

diagnóstico de fallas en línea permite la detección de fallas incipientes, reduciendo de esta

manera tanto los costos de reparación como los asociados a la parada no programada del

proceso o línea de producción.

Las estrategias estudiadas y propuestas en esta tesis se basan en los efectos que

producen las irregularidades, inherentes al motor o producidas por las fallas, cuando éste es

excitado mediante una señal exploradora, inyectada por el inversor del accionamiento. Para el

análisis de estas estrategias se propone un modelo de circuitos múltiplemente acoplados y un

nuevo método para el cálculo de las inductancias. Este método permite incluir el efecto de

distintas no homogeneidades, radiales y axiales, tanto de los bobinados como del entrehierro.

Las propuestas realizadas en esta tesis son validadas experimentalmente mediante prototipos

ABSTRACT

Strategies for the position estimation and fault diagnosis in induction motor drives are

studied in this thesis. The estimation of position allows eliminating the mechanical sensors in

the motor control, reducing then costs and improving reliability and robustness as well.

On-line fault diagnosis allows the detection of insipient faults, reducing in consequence the repair

costs and the process or production line stop-time.

The strategies proposed and studied in this thesis are based on the effects of saliencies,

as for the ones inherent to the motor and the produced by faults, when the motor is excited

with a drive-injected signal. For the analysis of these strategies, a multiple-coupled circuit

model and a new method for inductance calculation are proposed. This method allows

including the effects of radial and axial non-uniformities of both windings and air-gap. The

proposals included in this thesis are experimentally validated using a laboratory experimental

AGRADECIMIENTOS

El trabajo realizado en esta tesis fue posible gracias a las becas y subsidios otorgados

por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), la Agencia

Nacional de Promoción Científica y Tecnológica (ANPCYT), la Universidad Nacional de La

Plata (UNLP), la Secretaría de Ciencia y Técnica de la Universidad Nacional de Río Cuarto

(UNRC) y la Escuela de Posgraduación de la UNRC.

Por otra parte agradezco el constante e incondicional apoyo y orientación que me

prestaron mis directores Dra. María Inés Valla, Dr. Guillermo García y Dr. Jorge Solsona.

También quiero agradecer a Cristian De Angelo y a los demás compañeros del Grupo de

CONTENIDOS

RESUMEN I

ABSTRACT III

AGRADECIMIENTOS V

LISTA DE SÍMBOLOS XI

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN 1

1.1 Descripción del problema 1

1.2 Antecedentes del tema 3

1.2.1 Modelado del motor de inducción 3

1.2.2 Estimación de posición 5

1.2.3 Diagnóstico de fallas 7

1.3 Contribuciones de esta tesis 8

1.4 Organización de la tesis 9

2CAPÍTULO 2: MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN 13

2.1 Introducción 13

2.2 Modelo del motor de inducción 15

2.3.1 Distribución de fuerza magneto motriz en el entrehierro 22

2.3.2 Deducción de las ecuaciones a partir del flujo en el entrehierro 25

2.3.3 Deducción de las ecuaciones a partir de la energía en el entrehierro 27

2.4 Cálculo de las inductancias 29

2.4.1 Modelado del cruzamiento de barras 31

2.4.2 Modelado de las ranuras del estator y del rotor 33

2.4.3 Modelado de la excentricidad del entrehierro 35

2.4.4 Bobinados en paralelo 49

2.5 Validación experimental 51

2.5.1 Medición de inductancias 51

2.5.2 Excentricidad estática 55

2.5.3 Excentricidad dinámica 59

2.6 Conclusiones 63

3CAPÍTULO 3: ESTIMACIÓN DE POSICIÓN 65

3.1 Introducción 65

3.2 Descripción de la estrategia de estimación de posición 70

3.2.1 Implementación de la estrategia utilizando un solo sensor de tensión 73

3.3 Análisis de la estrategia de estimación de posición 75

3.3.1 Número de barras 79

3.3.2 Cruzamiento de barras 83

3.3.3 Apertura de las ranuras del rotor 86

3.3.4 Número de espiras de los bobinados del estator 91

3.3.5 Bobinados en paralelo 93

3.4 Simulación de la estrategia de estimación de posición 96

3.5 Resultados experimentales 97

3.5.1 Cruzamiento de barras 99

3.5.2 Apertura de las ranuras del rotor 101

3.5.3 Número de espiras de los bobinados del estator 102

3.5.4 Bobinados en paralelo 104

4CAPÍTULO 4: MODELADO Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS 109

4.1 Introducción 109

4.2 Rotura de las barras 111

4.2.1 Modelado de la rotura de las barras 112

4.2.2 Efecto de la rotura de las barras sobre las señales de diagnóstico 114

4.3 Rotura de los anillos de cortocircuito 119

4.3.1 Modelado de la rotura de los anillos 119

4.3.2 Efecto de la rotura de los anillos sobre las señales de diagnóstico 121

4.4 Fallas en el estator 125

4.4.1 Modelado de fallas en el estator 125

4.4.2 Efecto de las fallas en el estator sobre las señales de diagnóstico 128

4.5 Excentricidad del entrehierro 131

4.5.1 Excentricidad estática 131

4.5.2 Excentricidad dinámica 133

4.5.3 Excentricidad combinada 135

4.5.4 Excentricidad con bobinados en paralelo 140

4.6 Resultados experimentales 148

4.6.1 Rotura de las barras 148

4.6.2 Fallas en el estator 150

4.6.3 Excentricidad dinámica 152

4.6.4 Excentricidad dinámica con bobinados en paralelo 153

4.7 Discusión y conclusiones 155

5CAPÍTULO 5: DISCUSIÓN, CONCLUSIONES Y PROPUESTAS PARA TRABAJOS FUTUROS 159

5.1 Discusión y conclusiones 159

5.1.1 Modelado del motor de inducción 159

5.1.2 Estimación de posición 160

5.1.3 Diagnóstico de fallas 161

5.2.2 Aplicaciones del modelo 164

5.2.3 Estimación de posición 164

5.2.4 Diagnóstico de fallas 165

6BIBLIOGRAFÍA 167

APÉNDICE A: INDUCTANCIA MUTUA ENTRE BOBINADOS 179

APÉNDICE B: CANCELACIÓN DE LOS TÉRMINOS DE FEM 183

APÉNDICE C: PROTOTIPO EXPERIMENTAL 187

C.1. Medición de inductancia 187

C.2. Prototipo de laboratorio 188

C.3. Estatores y rotores 190

C.3.1. Rotor A 191

C.3.2. Rotor B 191

C.3.3. Rotor C 192

C.3.4. Estator A 192

C.3.5. Estator B 192

C.3.6. Estator C 193

C.4. Rotura de las barras 193

C.5. Fallas en el estator 194

C.6. Excentricidad en el entrehierro 195

C.6.1. Excentricidad estática 195

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolo Definición

I Vector Corriente

L Matriz de inductancias

P Vector de estimación de posición

R Matriz de resistencias

V Vector tensión

λ Vector de flujos

B Densidad de campo magnético

b0 Apertura de las ranuras

e Valor de excentricidad

F Fuerza magnetomotriz

g Longitud del entrehierro

H Intensidad de campo magnético

J Densidad de Corriente.

Jrl Momento de inercia combinado del rotor y la carga

L Inductancia. Largo axial del rotor

L´ Inductancia por unidad de longitud

m Número de circuitos del estator

n Número de barras. Distribución espacial de los bobinados

N Función de bobinados

Ns Número de espiras de los bobinados

p Señal de estimación de posición

p.r.e. Paso de la ranura del estator

p.r.r. Paso de las ranuras del rotor

r Radio medio del rotor

R Resistencia

S Superficie

t Tiempo

t0 Ancho del diente

e

T Par eléctrico

l

T Par de carga

u_σ Tensión de secuencia cero

Ud Tensión de la malla de Corriente Continua

W Energía

co

W Coenergía

z Posición axial

δ Variación de amplitud del entrehierro

φ Posición angular en el estator

0

µ Permeabilidad del aire

λ Flujo

n

θ Ángulo del vector de estimación de posición

r

θ Posición angular del rotor

τ Paso de las ranuras

Subíndices Definición

α, β Alineado y en cuadratura a un referencial estacionario

b Barra

e Señal exploradora. Anillo de cortocircuito

ed Excentricidad dinámica

ee Excentricidad estática

f Componente fundamental. Falla

l Línea

r Rotor

s Estator

Supraíndices Definición

^ Estimado

* Referencia

ef Valor eficaz

r Rotor

CAPÍTULO 1

:

INTRODUCCIÓN

1.1 Descripción del problema

El uso de modernos controladores digitales con gran capacidad de cálculo, en el

control de Motores de Inducción (MI), permite incluir nuevas funciones para reducir los

costos y mejorar las prestaciones del accionamiento. Entre estas funciones podemos destacar

la estimación de posición o velocidad y el diagnóstico de fallas.

La estimación de posición o velocidad permite eliminar los sensores mecánicos

normalmente usados en el control de los MI. Esto tiene como principales ventajas un menor

costo del accionamiento y una mayor confiabilidad y robustez. Por estos motivos, los

accionamientos sin sensor de posición o velocidad son utilizados en la industria, pero

solamente en aplicaciones donde no es necesaria la operación sostenida del motor a muy bajas

velocidades o a velocidad cero [45].

El pobre desempeño dinámico de los accionamientos sin sensores mecánicos de

posición o velocidad a muy bajas velocidades, o inclusive a velocidad cero, se debe

fundamentalmente, a que la mayoría de las estrategias de estimación se basan en la

información obtenida a partir de la tensión de velocidad de la máquina (fuerza electromotriz,

FEM). La atenuación o pérdida de señal, cuando la máquina trabaja a muy baja velocidad o

velocidad cero, respectivamente, imposibilita el uso de estas estrategias en este rango de

operación [47].

afectan los parámetros de la máquina, en función de la posición del rotor. Las irregularidades

pueden ser inherentes al MI utilizado, debidas a las características constructivas del mismo, o

realizadas de ex profeso con la intención de generar o evidenciar una señal de corriente o

tensión que permita la estimación de la posición.

En todas las propuestas basadas en las irregularidades del MI, es importante analizar el

efecto de cada una de las irregularidades pues todas afectan, en mayor o menor medida, a

estas estrategias de estimación y en muchos casos es necesario desacoplar sus efectos para

mantener la exactitud deseada [48].

Las irregularidades que afectan los parámetros del MI con la posición del rotor pueden

ser clasificadas en tres grandes grupos. En primer lugar, la distribución espacial discreta de

bobinados y barras produce variaciones de las inductancias mutuas entre el estator y el rotor.

Como fue demostrado en [49], el efecto de la variación espacial de la resistencia de las barras

superficiales del rotor permite obtener una señal que depende de la posición del rotor. En

segundo lugar, están las variaciones de la reluctancia, o del entrehierro, debidas a las ranuras

del rotor, ranuras del estator y excentricidad estática o dinámica. En tercer lugar, se tienen los

efectos debidos a las propiedades del material utilizado y a las características de la

laminación, tales como saturación magnética, histéresis y corrientes parásitas.

Para obtener la información de la posición del rotor a partir de las irregularidades han

sido propuestos diferentes métodos. Éstos, en la mayoría de los casos, consisten en aplicar una

determinada excitación de exploración, además de la excitación fundamental que genera el

par motor, la que permite obtener una señal de corriente, o tensión, conteniendo la

información de la posición del rotor. En algunos casos, esta señal de exploración es una

corriente o tensión trifásica balanceada, de alta frecuencia, que se inyecta sobre la excitación

fundamental de la máquina [48][49]. En otros casos, son pulsos de tensión discretos,

generados por el inversor que alimenta al MI, mientras se cancela la excitación fundamental

[46][73].

Para analizar las citadas estrategias de estimación de posición y velocidad es útil

disponer de un modelo adecuado del MI. Este modelo debe incluir los efectos de las

irregularidades, tanto de aquellas que son utilizadas para obtener la información sobre la

posición del rotor como de las que perturban dicha señal. La obtención de un modelo como el

citado, también es importante como herramienta de diseño de los MI que pretenden ser

utilizados en accionamientos con estimadores de velocidad o posición basados en las

El diagnóstico de fallas incipientes puede permitir la parada programada del MI para

su reparación. De esta manera, es posible evitar mayores costos de reparación y los costos

asociados a una parada no programada del proceso o línea de producción.

Entre las fallas más comunes se pueden citar: fallas en el estator tales como apertura o

cortocircuito de bobinados, fallas en el rotor tales como rotura de barras o anillos de

cortocircuito y excentricidad del entrehierro. Estas fallas producen anomalías en las corrientes

de estator, el torque, la temperatura de funcionamiento y el sonido emitido por el motor.

Existen muchas propuestas para el diagnóstico en línea de estas fallas a partir del

espectro de las corrientes de la máquina. En accionamientos con MI, la capacidad de cálculo

existente en el accionamiento podría ser utilizada para implementar estas estrategias de

diagnóstico con muy bajo costo aumentando de esta manera sus prestaciones. Sin embargo,

las variaciones de velocidad y de carga, como así también las diferentes frecuencias

inyectadas por el inversor, perturban las señales de detección dificultando la aplicación de las

estrategias anteriormente mencionadas [94]. Por estos motivos, el diagnóstico de fallas en

accionamientos eléctricos con MI a lazo cerrado es un área muy activa de investigación

([91][92][93][94][104]).

La inyección de señales mediante el inversor que alimenta al motor, al igual que en las

estrategias de estimación de posición, permite desacoplar las señales de diagnóstico de la

excitación fundamental. Estas estrategias pueden ser una alternativa interesante para el

diagnóstico de fallas en accionamientos de velocidad variable.

Para estudiar, evaluar y proponer estrategias, tanto de estimación de posición como de

diagnóstico de fallas, es necesario contar con modelos que tengan la capacidad de representar

las no uniformidades del motor, tanto las inherentes a las características constructivas del

mismo como las producidas por las diferentes fallas.

1.2 Antecedentes del tema

A continuación, se describen diferentes propuestas referidas al modelado del motor de

inducción, la estimación de posición a bajas velocidades y el diagnóstico de fallas en

accionamientos de velocidad variable con motores de inducción.

1.2.1 Modelado del motor de inducción

diferentes asimetrías o irregularidades del motor. Para estudiar y evaluar estrategias de

estimación de posición, son necesarios modelos que permitan incluir los efectos de distintas

consideraciones de diseño tales como conexión y distribución de bobinados, número y

cruzamiento de las barras del rotor, y apertura de las ranuras. Para el estudio de estrategias de

diagnóstico de fallas es necesario que el modelo permita incluir las condiciones asimétricas

generadas por fallas en el estator, rotura de barras o anillos en cortocircuito y excentricidad

del entrehierro. Sin embargo, la precisión del modelo y el esfuerzo de cálculo requerido

plantean una solución de compromiso entre dos criterios opuestos.

El modelo convencional del MI en un marco de referencia arbitrario d-q requiere muy

poca capacidad de cálculo pero todos los armónicos de la distribución espacial de bobinados y

barras se desprecian al igual que las variaciones del entrehierro [1]. En este modelo los

efectos de la discretización de los bobinados, ranuras del estator y rotor y el cruzamiento de

barras pueden incluirse solamente como coeficientes que afectan la amplitud de las

componentes fundamentales [19]. En algunas propuestas se realiza una extensión del modelo

d-q para el análisis de la máquina en condiciones asimétricas tales como fallas en el estator

[95] o excentricidad del entrehierro [36], sin embargo estos modelos no permiten analizar

como interactúan dichas asimetrías con los componentes armónicos de la distribución espacial

de barras y bobinados.

Por otra parte, los modelos obtenidos mediante elementos finitos ([37]-[42]) están

basados en restricciones mínimas pero requieren un significativo esfuerzo de cálculo,

especialmente cuando existen asimetrías en el motor. Mediante estos modelos es posible

analizar tanto la discretización de bobinados y barras [37], como las variaciones del

entrehierro debidas a las ranuras y la excentricidad [38][39]. También existen extensiones de

estos modelos que permiten analizar el efecto del cruzamiento de las barras [40]-[42]. Otra

característica importante de estos modelos es que permiten incluir en el análisis las

características magnéticas de la laminación utilizada.

Entre el modelo en d-q y los modelos basados en elementos finitos existen otras

propuestas que permiten evaluar a la máquina incluyendo los efectos de distintas

irregularidades o en condiciones asimétricas, con un esfuerzo de cálculo considerablemente

menor que el necesario mediante elementos finitos [32]. Entre estos últimos modelos se

pueden citar los basados en circuitos múltiplemente acoplados ([2]-[18]), circuitos magnéticos

equivalentes ([44], [76] y [91]) o combinaciones de ellos [43].

En [2] se presenta un modelo de MI basado en circuitos mutuamente acoplados y un

Approach” (WFA). Mediante este modelo, todos los armónicos de la distribución de los

bobinados son tenidos en cuenta, sin ninguna restricción respecto a la simetría de los

bobinados del estator y las barras del rotor. Por este motivo, este modelo tiene aplicación en el

análisis de máquinas asimétricas o en condiciones de falla [4][7][8][10]. En [14] se propone

un nuevo método para el cálculo de las inductancias, similar al WFA, pero que permite

modelar la excentricidad en el entrehierro y ha sido utilizado en el análisis de la excentricidad

dinámica de una máquina síncrona. A este método se lo conoce como “Modified Winding

Function Approach” (MWFA) y se ha aplicado en el análisis de excentricidad estática,

dinámica o combinada en MI [15][16][17].

Estos modelos de circuitos múltiplemente acoplados, aunque permiten evaluar

distintos tipos de irregularidades, están realizados asumiendo uniformidad a lo largo del eje

axial del motor. Estos es, sin cruzamiento de los bobinados y barras y con entrehierro

uniforme a lo largo del eje axial. El efecto del cruzamiento de las barras es de interés en el

análisis de estrategias de estimación de posición debido a que puede enmascarar el efecto de

otras irregularidades tales como la distribución de las barras y las ranuras del rotor. Por otro

lado, la excentricidad del entrehierro puede presentarse como no-uniforme a lo largo del eje

axial. Por ejemplo, cuando ésta se produce por el daño en uno de los rodamientos del motor o

una tapa desalineada, puede existir una excentricidad elevada en un extremo mientras que en

el otro ser despreciable. Por estos motivos surgió la necesidad de trabajar sobre estos modelos

de circuitos múltiplemente acoplados para incluir los efectos de la no-uniformidad axial de los

bobinados y el entrehierro.

1.2.2 Estimación de posición

En los últimos años se han propuesto numerosas estrategias para la estimación de

posición y velocidad en máquinas eléctricas, utilizando la corriente, tensión y/o frecuencia

medidas a los bornes del motor [78]. Incluso algunas de estas estrategias han sido

implementadas en productos comerciales que están siendo usados en la industria, en

aplicaciones en donde no es necesaria la operación continua a velocidades inferiores al 10%

de la velocidad nominal del motor o velocidad cero [47]. Entre estas estrategias podemos citar

los métodos basados en observadores, estocásticos o determinísticos, que estiman la posición

o la velocidad a partir de las ecuaciones dinámicas de la máquina [79][80]. Estos

observadores pueden ser de orden completo o reducido, con o sin realimentación del error de

estimación son pequeñas y se ven afectadas tanto por el ruido de medición como por la

desviación de los parámetros del motor. Incluso teóricamente, utilizando estas estrategias, no

es posible obtener información de la posición del rotor a velocidad cero.

Además de las propuestas mencionadas anteriormente, se han desarrollado estrategias

que basan la estimación en los efectos que producen las irregularidades de la máquina

(ranuras, barras, excentricidades, no homogeneidades magnéticas), sobre las tensiones y

corrientes de estator. Estas estrategias poseen la importante característica de proveer una

referencia relativa de la posición del rotor de la máquina (el propio rotor funciona como

“encoder”). Algunas de estas estrategias realizan las estimaciones a partir de los efectos

producidos por la excitación fundamental y otras a partir de los efectos producidos por la

inyección de una señal exploradora.

Entre los métodos que utilizan los efectos producidos por las irregularidades sobre la

excitación fundamental, podemos citar a aquellos que realizan el seguimiento de las

irregularidades utilizando FFT o Filtros Adaptivos [63][64], a partir de la variación de las

tensiones de fase [65]-[68], mediante observadores no lineales [62], y los que calculan la

posición a partir del rizado de corriente producido por la conmutación del inversor [70]-[72].

Estos métodos poseen como desventaja la pérdida de señal cuando se cancela la excitación

fundamental.

Los métodos basados en la inyección de señales de exploración permiten desacoplar la

señal de estimación de la excitación fundamental. De esta manera, es posible obtener una

señal de corriente o tensión conteniendo la información de la posición del rotor incluso

cuando la excitación fundamental es muy baja o nula. En algunos casos, la señal de excitación

es una corriente o tensión de alta frecuencia, que se inyecta sobre la excitación fundamental

de la máquina [49]-[52][57][58][60]. En otros casos son pulsos de tensión discretos,

generados por el inversor que alimenta al MI, mientras se cancela la excitación fundamental

[46][73]-[75].

La inyección de una señal de alta frecuencia, consiste en aplicar una señal de tensión o

corriente, a una frecuencia mucho mayor que la excitación fundamental de la máquina (0.5-1

kHz). Esta señal puede tomar varias formas, pero las más comunes son la excitación trifásica

balanceada [48][49][52]-[59] y la excitación de amplitud modulada [50][51][60]. La

excitación trifásica balanceada genera un vector de excitación que gira a la frecuencia de la

señal inyectada. La excitación de amplitud modulada genera un vector de excitación que es

de excitación induce corrientes o tensiones que contienen información relativa a la posición

de las irregularidades en la máquina.

En el segundo grupo se encuentran las técnicas que aplican una señal de prueba

discreta a la máquina. Esta señal de prueba discreta se genera cancelando la excitación

fundamental durante un período de tiempo y conmutando las llaves del inversor en una

secuencia preestablecida de pulsos. Esta secuencia permite la estimación de la posición de las

irregularidades a partir de la tensión de secuencia cero [46] o de la derivada de las corrientes

del estator [73]-[75].

1.2.3 Diagnóstico de fallas

Existen muchas propuestas para el diagnóstico de fallas en máquinas eléctricas

[85][86]. Algunas de ellas requieren sensores y cableado adicional para medir, por ejemplo,

flujo axial [87] o vibraciones [88]. Otros métodos de diagnóstico utilizan la información

contenida en las corrientes [89] o en las tensiones [90] del motor. Sin embargo, la mayoría de

estos métodos están desarrollados para motores conectados a la red con frecuencia de

excitación constante.

El uso de motores de inducción en accionamientos de velocidad variable permite

desarrollar nuevas propuestas para el diagnóstico de fallas. Esto se debe a que los

accionamientos ya cuentan, para el control del motor, con sensores de corriente y/o tensión y

procesadores digitales lo que permitiría añadir las funciones de diagnóstico a muy bajo costo.

Por tales motivos, el diagnóstico de fallas en el rotor, en accionamientos eléctricos con MI a

lazo cerrado, es un área muy activa de investigación ([91]-[94]).

En [52] se propone aplicar las estrategias de estimación de posición, utilizadas en

accionamientos a lazo cerrado con MI, para el análisis y diagnóstico de fallas. Estas

estrategias obtienen la información de la posición del rotor a partir de las irregularidades de la

máquina. Las fallas en el rotor afectan, directamente, los parámetros del MI tales como

inductancias y resistencias, generando irregularidades que dependen de la posición del rotor.

Por este motivo pueden aplicarse las técnicas de estimación tanto para la obtención de la

posición del rotor como para la detección y diagnóstico de fallas. En [92] y [93] se propone la

inyección de una señal trifásica, balanceada de alta frecuencia, utilizada anteriormente en

estrategias de estimación de posición, para la detección y diagnóstico de barras rotas. Una

propuesta similar se presenta en [104] para la detección y diagnóstico de fallas en el estator.

de pulsos generada por el inversor. En [106] se aplica una estrategia similar para la detección

de excentricidad en el entrehierro.

1.3 Contribuciones de esta tesis

Las principales contribuciones de esta tesis están dadas en el modelado de máquinas

eléctricas, la evaluación de estrategias de estimación de posición basadas en las

irregularidades, y el diagnóstico de fallas en motores de inducción utilizados en

accionamientos de velocidad variable.

Para el análisis de las estrategias de estimación de posición y el diagnóstico de fallas

surgió la necesidad de contar con un modelo matemático del motor que ayudase a interpretar

los efectos de las diferentes irregularidades y la interacción entre ellas. Por este motivo, se

desarrollaron las ecuaciones para el cálculo de las inductancias que forman un modelo basado

en circuitos múltiplemente acoplados. Las ecuaciones desarrolladas permiten considerar la

no-uniformidad axial de los bobinados y del entrehierro. De esta forma es posible analizar,

simultáneamente, el efecto producido por el cruzamiento de las barras y las variaciones del

entrehierro no-uniformes a lo largo del eje axial, tales como ranuras del rotor y del estator y

excentricidad estática, dinámica o combinada. Las ecuaciones para el cálculo de las

inductancias fueron obtenidas de dos maneras, la primera a partir de consideraciones de flujo

enlazado [22] y la segunda mediante consideraciones de energía [34].

Se obtuvieron resultados experimentales, mediante un prototipo construido

especialmente para tal fin, que validan el método de cálculo al nivel de inductancias. En

propuestas anteriores, la validación del cálculo de inductancias solamente se realizó por

comparación con métodos de elementos finitos o analizando las corrientes obtenidas mediante

simulación del modelo de circuitos múltiplemente acoplados. Los principales resultados de

esta propuesta fueron publicados en [22]. Las ecuaciones propuestas para el cálculo de las

inductancias son aplicables a otros tipos de máquinas eléctricas tales como generadores

síncronos, motores de imanes permanentes y máquinas de reluctancia conmutada. Los aportes

realizados en el modelado de máquinas eléctricas no solo brindan herramientas para la

evaluación de estrategias de estimación de posición y diagnóstico de fallas, como

originalmente estaba propuesto, sino que también pueden ser utilizadas en el diseño de

máquinas eléctricas.

El modelo desarrollado del motor de inducción se utilizó como herramienta para el

permitiendo evaluar sus ventajas, desventajas y limitaciones [83]. Se establecieron pautas para

el diseño de los MI a ser utilizados en accionamientos con estrategias de estimación basadas

en las irregularidades. Mediante el modelo se analizó el efecto del número de barras del rotor

sobre las señales de estimación, se cuantificó la variación de la amplitud de las señales de

estimación en función del cruzamiento de las barras y la apertura de las ranuras del rotor [84].

Utilizando el mismo modelo, se analizó el efecto de diferentes configuraciones de los

circuitos del estator, evaluando el efecto de las conexiones serie o paralelo y el número de

espiras de los bobinados. También es posible utilizar el modelo de simulación para analizar el

desempeño dinámico de distintas estrategias de estimación y evaluar distintas señales

exploradoras [82]. Se obtuvieron resultados experimentales que validan el estudio realizado.

Por último, se propuso la aplicación de la señal exploradora, utilizada previamente en

la estrategia de estimación de posición, para el diagnóstico de fallas en motores de inducción

accionados mediante inversores [96]. Se incluyeron en el modelo del motor los efectos

producidos por las fallas para analizar el efecto de éstas sobre las tensiones de secuencia cero,

cuando se inyecta la señal exploradora. De esta manera se evaluó el desempeño de la

estrategia frente a fallas tales como: barras y anillos de cortocircuito rotos [97][98],

cortocircuitos en los bobinados del estator y excentricidad del entrehierro [99]. En el análisis

de la excentricidad del entrehierro se estudió el efecto de las conexiones serie y paralelo de

bobinados sobre las señales de diagnóstico [100]. Del análisis realizado se comprobó que

todas las fallas producen efectos significativos sobre las tensiones de secuencia cero,

posibilitando su detección y diagnóstico. Para cada una de las fallas se obtuvieron resultados

experimentales que validan la propuesta desarrollada.

1.4 Organización de la tesis

La tesis está organizada de la siguiente manera: en el Capítulo 1 se describe el

problema abordado. Luego se detallan los antecedentes en los temas de estudio. Por último se

describen las contribuciones de la tesis referidas al modelado de máquinas eléctricas, la

estimación de posición basada en las irregularidades y el diagnóstico de fallas.

En el Capítulo 2 se presenta un modelo del motor de inducción basado en circuitos

múltiplemente acoplados, que permite considerar la naturaleza discreta de los bobinados del

estator y la jaula de ardilla del rotor. Luego se desarrollan las ecuaciones para el cálculo de las

inductancias del motor, producido por del cruzamiento de las barras, las ranuras del estator y

del rotor y la excentricidad estática, dinámica y combinada del entrehierro. Se presentan

también las modificaciones realizadas al modelo para considerar la conexión en paralelo de

los bobinados del estator. Finalmente, se presenta la validación experimental de dicho

modelo, al nivel de inductancias, para el motor con y sin cruzamiento y en presencia de

excentricidad estática y dinámica no-uniforme a lo largo del eje axial.

En el Capítulo 3 se describe una estrategia de estimación de posición basada en las

irregularidades del motor. Las señales de estimación de posición de dicha estrategia se

obtienen mediante la inyección de una señal exploradora aplicada por el inversor. Luego,

utilizando el modelo desarrollado en el Capítulo 2, se analizan los efectos de distintas pautas

de diseño del motor sobre el desempeño de la estrategia. Las pautas de diseño analizadas son,

el número de barras del rotor, el cruzamiento de las barras, la apertura de las ranuras del rotor

y las conexiones de los bobinados del estator. Luego se describen los resultados de simulación

obtenidos mediante el modelo. Se presentan resultados experimentales con motores de

distinto cruzamiento, diferente apertura de barras y diferente conexión de bobinados, los que

validan el análisis realizado mediante el modelo.

En el Capítulo 4 se propone la inyección de señales, utilizada en la estrategia de

estimación de posición analizada en el Capítulo 3, para la detección y el diagnóstico de fallas

tales como: barras y anillos de cortocircuito rotos, bobinados del estator en cortocircuito y

excentricidad del entrehierro. Para evaluar el efecto de la rotura de barras y anillos de

cortocircuito, sobre la estrategia de diagnóstico, se incluyen en el modelo del motor las

modificaciones que producen estas fallas sobre el circuito equivalente de la jaula de ardilla. El

cortocircuito de los bobinados del estator se incluye en el modelo modificando las ecuaciones

de los circuitos múltiplemente acoplados. Luego, se estudia el desempeño de la estrategia para

el diagnóstico de excentricidad estática, dinámica y combinada del entrehierro cuando el

motor posee bobinados conectados en serie o en paralelo. Finalmente, con el objetivo de

validar la propuesta teórica realizada, se presentan resultados experimentales para cada una de

las fallas estudiadas.

En el Capítulo 5 se presentan las conclusiones y discusiones generales referidas al

modelado, estimación de posición y diagnóstico de fallas en el motor de inducción. Luego se

realizan propuestas para trabajos futuros como continuación del presente trabajo de tesis.

En el Apéndice A se obtiene una ecuación general para el cálculo de las inductancias

mutuas entre bobinados. En el Apéndice B se demuestra la cancelación de los efectos de la

2. En el Apéndice C se describen los prototipos de laboratorio implementados para validar las

2

CAPÍTULO 2

:

MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

2.1 Introducción

En el modelo convencional d-q del motor de inducción (MI) [1] se considera que los

bobinados del estator están distribuidos senoidalmente y la jaula de ardilla puede modelarse

como un conjunto trifásico de bobinados senoidalmente distribuidos. Esto implica que los

armónicos de la distribución de los bobinados se desprecian en el análisis del motor. Un

modelo basado en la geometría del MI, sin restricciones en su simetría, es más conveniente

para el análisis y simulación en condiciones asimétricas o de falla.

En [2] se presenta un modelo del MI de circuitos múltiplemente acoplados y un

método para el cálculo de las inductancias conocido como Aproximación de Funciones de

Bobinados ("Winding Function Approach", WFA). Este modelo se utilizó en el análisis del

MI con bobinados concentrados para aplicaciones en accionamientos de velocidad variable.

Una detallada descripción del procedimiento necesario para implementarlo y resultados de

simulación se presentaron en [4]. Por medio de este modelo, todos los armónicos de la

distribución espacial de los bobinados son tenidos en cuenta, sin restricción sobre la simetría

de los bobinados del estator y las barras del rotor. Por tal motivo, este modelo se ha utilizado

para analizar máquinas asimétricas o en condiciones de falla. La WFA también se ha usado en

el análisis de un motor de reluctancia polifásico [5]. La obtención del modelo convencional

d-q partiendo del modelo de circuitos múltiplemente acoplados se presenta en [6].

En [4], [7]-[11], la WFA se utiliza para analizar fallas en el MI tales como

anillos rotos en el rotor. El análisis del efecto de la excentricidad estática y dinámica usando

este modelo se presentó en [12] y [13]. Sin embargo, los autores de estos trabajos calculan las

inductancias usando las ecuaciones presentadas en [4] las cuales no tienen en cuenta los

efectos de la variación del entrehierro. Como resultado de este análisis, la inductancia mutua

entre las fases del estator y los lazos del rotor (Lsr) son diferentes de las inductancias mutuas

entre los lazos del rotor y las fases del estator (Lrs), siendo difícil encontrar una interpretación

física para esta asimetría. En [14] se propone una modificación al método para el cálculo de

las inductancias, considerando la excentricidad del entrehierro, para el análisis de la

excentricidad dinámica en la máquina síncrona. Este método fue llamado "Modified Winding

Function Approach" (MWFA), y se ha aplicado en [15]-[17] al análisis de excentricidad

estática, dinámica y combinada en el MI.

En los trabajos mencionados anteriormente, el análisis de la máquina se realiza

suponiendo uniformidad a lo largo del eje axial del motor. Esto es, sin cruzamiento y con

entrehierro uniforme a lo largo del eje axial. En [18], se analiza el efecto del cruzamiento de

las barras, en los valores de las inductancias, usando las ecuaciones desarrolladas para la

máquina con uniformidad axial. Esta extensión, sin embargo no permite tener en cuenta el

efecto producido por la no uniformidad radial y axial del entrehierro. En [21] se analiza el

efecto de la excentricidad estática incluyendo el efecto de las ranuras del rotor y del estator en

la función de permeancia, obtenida mediante simulación usando elementos finitos. Las

ecuaciones obtenidas en dicho trabajo permiten considerar tanto los efectos de la no

uniformidad radial y axial del entrehierro como la de los bobinados. Sin embargo, los autores

no consideran el efecto de las no uniformidades del entrehierro en la distribución de la fuerza

magnetomotriz.

En este Capítulo, luego de presentar las ecuaciones del modelo de circuitos

múltiplemente acoplados, se desarrollan las ecuaciones para el cálculo de las inductancias de

la máquina considerando no uniformidad radial y axial de los bobinados y del entrehierro.

Estas ecuaciones son obtenidas usando consideraciones del flujo enlazado por los bobinados y

también usando consideraciones de energía. Dichas ecuaciones se aplican al análisis del

efecto de la excentricidad estática, dinámica y combinada en el entrehierro, considerando el

cruzamiento de las barras y las ranuras del rotor y el estator. Luego, se describe el cálculo de

las inductancias para el modelo de circuitos múltiplemente acoplados cuando el motor posee

bobinados en paralelo. Finalmente, se presentan resultados experimentales que validan, al

2.2 Modelo del motor de inducción

Con el objetivo de analizar y simular las estrategias de estimación de posición y

diagnóstico de fallas en MI se propone utilizar un modelo basado en circuitos múltiplemente

acoplados [2]. Por medio de este modelo, todos los armónicos de la distribución espacial de

los bobinados y las barras son tenidos en cuenta, sin restricción sobre su simetría. Para el

modelado del MI se realizan las siguientes consideraciones:

• los efectos de la saturación pueden despreciarse,

• la permeabilidad del hierro es infinita comparada con la del aire,

• las barras del rotor están aisladas del núcleo,

• el entrehierro puede ser no uniforme en la dirección radial y axial,

• las barras o bobinados pueden tener cruzamiento a lo largo del eje axial,

• los efectos de las corrientes parásitas pueden despreciarse.

Para el modelado del MI se consideran m circuitos en el estator y n barras en el rotor.

La jaula del rotor se modela como n mallas idénticas e igualmente espaciadas constituidas por

dos barras consecutivas y dos segmentos de los anillos que unen dichas barras, más una malla

formada por uno de los anillos ubicado en el extremo del rotor (Fig. 2-1). Cada una de las

barras está representada en la Fig. 2-1 por su resistencia, R_b, y su inductancia de dispersión,

b

L . De la misma manera, los anillos están representados por la resistencia R_e, y la

inductancia de dispersión L_e, correspondiente a cada segmento que une dos barras

consecutivas.

Cada malla del rotor se encuentra acoplada magnéticamente con las demás y con los

circuitos del estator. Los m circuitos del estator, formados por una o más bobinas, se

encuentran acoplados magnéticamente entre si y con las mallas del rotor. Estos circuitos

pueden ser conectados en serie o paralelo para formar las fases del estator, permitiendo de

3 r

i

i

i

i

i

i

i

i

i

v

i

v

i

v

i

v

Fig. 2-1. Circuito equivalente del estator y del rotor jaula de ardilla.

Las ecuaciones de tensión de los circuitos del estator y del rotor pueden escribirse en

forma matricial como,

s s s s

d dt

= + λ

V R I , (2.1)

r r r r

d dt

= + λ

V R I , (2.2)

donde,

1 2 ... T

s s s

s =v v vm

V , (2.3)

[

]

r = n e

V , (2.4)

1 2 ... T

s s s

s =i i im

I , (2.5)

1 2

T

r r r

r =i i in ie

y los flujos enlazados por el estator y el rotor vienen dados por,

s = ss s+ sr r

λ L I L I , (2.7)

r = rs s+ rr r

λ L I L I , _(2.8)

donde L_ss es una matriz de m*m con las inductancias propias y mutuas del estator, L_rr es una matriz de (n+1)* (n+1)con las inductancias propias y mutuas del rotor, L_sr es una matriz de m*(n+1) compuesta por las inductancias mutuas entre los circuitos del estator y los lazos

del rotor, L_rs es una matriz de (n+1)*m compuesta por las inductancias mutuas entre los lazos del rotor y las fases del estator y se cumple que L_sr =LT_rs. El método para calcular estas inductancias se presenta en la sección 2.3.

La matriz L_ss está compuesta por,

11 12 1

21 22 2

1 2

m m

m m mm

s s s

s s s

ss

s s s

L L L

L L L

L L L

      =_{ }      

L , (2.9)

donde ii

s

L es la inductancia propia del i_ésimo circuito del estator compuesta por la inductancia de magnetización más la de dispersión y

ij ji

s s

L =L es la inductancia mutua entre

el i_ésimo y el j_ésimo circuito del estator.

La matriz L_rr de dimensión (n+1)* (n+1)está compuesta por,

( )

( )

( )

( )

1 1 2 1 3 1 1 1

2 1 2 2 3 2 1 2

1 1 1 2 1 3 1 1

1 2 3 1

2 2 2 2 n n n n

n n n n n n

n n n n n n

mr b e r r b r r r r r r b e

r r b mr b e r r b r r r r e

rr

r r r r r r mr b e r r b e

r r b r r r r r r b mr b e e

e

L L L L L L L L L L

L L L L L L L L L L

L L L L L L L L L

L L L L L L L L L L

L L − − − − − − − − + + − − − − + + − − = + + − − − − + + − − − L

e Le Le Le nLe

                     _{− − −}      (2.10) donde i mr

L es la inductancia de magnetización del i_ésimo lazo del rotor y

i j j i

r r r r

L =L es la

dispersión de la barra y L_ees la inductancia de dispersión del segmento del anillo que une dos barras consecutivas.

Las matrices L_sr y L_rsestán compuestas por,

1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 2 2

1 2

n n

m m m n m

s r s r s r s e

s r s r s r s e

T

sr rs

s r s r s r s e

L L L L

L L L L

L L L L

      = =_{ }      

L L , (2.11)

donde

i j

s r

L es la inductancia mutua entre el i_ésimo circuito del estator y el j_ésimo lazo del

rotor y

i

s e

L es la inductancia mutua entre el i_ésimo circuito del estator y el lazo correspondiente al anillo de cortocircuito. En el caso de que los anillos de cortocircuito estén

completos y asumiendo que no existe flujo axial sobre los extremos del rotor, las inductancias

mutuas entre los circuitos del estator y el lazo correspondiente al anillo,

i

s e

L , son todas iguales a cero.

La matriz de resistencias del estator, Rs, es una matriz diagonal de m*m y viene dada

por, 1 2 0 0 0 0 0 0 m s s s s R R R       =_{ }      

R , (2.12)

donde

i

s

R es la resistencia del i_ésimo circuito del estator.

La matriz de resistencias del rotor, Rr, de dimensión (n+1)* (n+1),viene dada por,

(

)

(

)

(

)

(

)

2 0 0

2 0 0

0 0 0 2

0 0 2

b e b b e

b b e b e

r

b e b e

b b b e e

e e e e e e

R R R R R

R R R R R

R R R R

R R R R R

R R R R R nR

+ − − −    _{− + − −}        =_{ }  _{+ − −}    − − + −    _{− − − − −}     

dos barras consecutivas.

Cuando los anillos de cortocircuito están completos, debido a la simetría del rotor, la

corriente por el anillo de cortocircuito es nula y la ecuación correspondiente a este lazo puede

eliminarse del modelo. Para demostrar esto se puede aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff

para el anillo externo del circuito mostrado en la Fig. 2-1,

1

0 r

n

j r

e e j

j

di

L R i

dt =    + =    

∑

y para el anillo interno,

1 0 r n j r e

e e e e e j

j

di di

n L n R i L R i

dt ₌ dt

 

 

+ − + =

 

 

∑

Reemplazando (2.14) en (2.15) se obtiene,

0 e

e e e

di

n L n R i

dt + = , (2.16)

donde se puede ver que, para la condición inicial nula, la corriente por el lazo del anillo es

igual a cero. De esta manera, en condiciones de simetría, solo existen n ecuaciones asociadas

a los lazos del rotor.

Las ecuaciones que describen la dinámica mecánica son,

(

)

= − , _(2.17)

r d

dt θ

= ω, (2.18)

donde θ_res la posición del rotor , ω es la velocidad angular y Jrl es la inercia del rotor y la

carga. T_l es el par de carga. El par electromagnético, T_e, puede obtenerse a partir de la coenergía magnética,

( _s,_rconstantes)

co e

r I I W T =_∂ _

∂θ

  . (2.19)

Despreciando los efectos de la saturación, la coenergía magnética puede expresarse

como la energía almacenada en los circuitos magnéticos y viene dada por,

1 1 1 1

.

2 2 2 2

T T T T

co s ss s s sr r r rs s r rr r

En caso de uniformidad del entrehierro, solamente las inductancias mutuas entre el

estator y el rotor son función de la posición del rotor por lo que la ecuación del par queda de

la siguiente manera,

1 1

2 2

T sr T rs T sr

e s r r s s r

r r r

T = ∂ + ∂ = ∂

∂θ ∂θ ∂θ

L L L

I I I I I I . _(2.21)

El preciso conocimiento de las inductancias, que forman el modelo de circuitos

múltiplemente acoplados, es esencial para el correcto análisis y simulación de los MI. En las

secciones 2.3.2 y 2.3.3 de desarrollan las ecuaciones para el cálculo de las inductancias que

permiten considerar los efectos de las no uniformidades del entrehierro y el cruzamiento de

barras y bobinados.

2.2.1 Modelo para tensiones de línea

El modelo de circuitos múltiplemente acoplados, presentado en la sección anterior,

requiere las tensiones de fase del estator como entradas. Generalmente se conocen las

tensiones de línea, como es el caso de los motores alimentados mediante un inversor. Por tal

motivo, es necesario modificar las ecuaciones de manera tal que las entradas del sistema sean

las tensiones de línea. Esta modificación se realizó según se propone en [4].

Suponiendo un motor trifásico con los bobinados de cada fase conectados en serie las

ecuaciones del sistema tienen la forma,

0 0

0 0

0 0

sa

a

sb

s b s

c

sc

d dt R

d R

dt R

d dt

 

 

   

   

=_{ } +_{ }

   

 

 

 

 

V I

λ

λ

λ

, (2.22)

saa sab sac sar

s sba sbb sbc s sbr r

sca scb scc scr

L L L

L L L

L L L

   

   

=_{ } +_{ }

   

   

L

λ I L I

L

Si solamente se conocen las tensiones de línea que alimentan el motor, se puede

realizar la resta entre cada fila y la siguiente,

0 0 0 sa sb a b sb sc

sl l b c s

a c sc sa d d dt dt R R d d R R dt dt R R d d dt dt −   −   −         =_ − _ +_ − _ −       ₋      V I λ λ λ λ λ λ

, (2.24)

0

0

0

a b

sl l

sl l b c s

a c R R d R R dt R R − − −     =_ − _ + −    λ

V I , (2.25)

donde

sa sb sl l sb sc sc sa − −     =_ − _  −    λ λ λ λ λ λ λ

, (2.26)

saa sba sab sbb sac sbc sar sbr sl l sba sca sbb scb sbc scc s sbr scr r

sca saa scb sab scc sac scr sar

L L L L L L

L L L L L L

L L L L L L

− − − − −         =_ − − − _ +_ − _  − − −   −      L L

λ I L L I

L L

. (2.27)

Debido a la resta entre cada fila de (2.23), el sistema de ecuaciones formado por (2.8)

y (2.27) es redundante. Por tal motivo, para obtener las corrientes de estator y rotor en función

de los flujos es necesario agregar una condición adicional al sistema. Como las fases del

estator están conectadas en estrella, la suma de las corrientes del estator es igual a cero

(i_sa+i_sb+i_sc =0), entonces es posible reemplazar la última fila de (2.27) por esta condición

resultando en,

0 1 1 1

sa sb saa sba sab sbb sac sbc sar sbr

sb sc sba sca sbb scb sbc scc s sbr scr r

L L L L L L

L L L L L L

− − − − −        ₋  _{= − − −}  ₊ ₋                    L L

I L L I

0

λ λ

λ λ . (2.28)

De esta manera, las ecuaciones (2.2), (2.8), (2.17), (2.18), (2.19), (2.20), (2.25) y

(2.28) forman el modelo de simulación cuando se conocen las tensiones de línea que

2.3 Ecuaciones para el cálculo de las inductancias

En esta sección se deducen las ecuaciones para el cálculo de las inductancias de

magnetización que componen el modelo de circuitos múltiplemente acoplados. Para esto, en

primer lugar se obtiene la distribución de la fuerza magneto motriz en el entrehierro en

función de la distribución geométrica de los bobinados. Luego, utilizando la expresión

obtenida para la distribución de la fuerza magneto motriz, se deducen las ecuaciones para el

cálculo de las inductancias mediante dos enfoques diferentes. En el primero, las ecuaciones se

obtienen a partir del flujo en el entrehierro enlazado por las bobinas, en el segundo a partir de

la energía del campo magnético en el entrehierro.

2.3.1 Distribución de fuerza magneto motriz en el entrehierro

En la Fig. 2-2 se presenta un esquema del MI con el objetivo de ayudar a la obtención

de las ecuaciones que permitan el cálculo de las inductancias de la máquina. Para hacer este

esquema más claro, no se muestran ni los bobinados del estator ni los anillos del rotor. No

existen, para el análisis, restricciones sobre el cruzamiento y la distribución de barras y de

bobinados. Además, no se suponen restricciones sobre la excentricidad del entrehierro. Por tal

motivo, la máquina puede presentar excentricidad dinámica o estática no uniforme a lo largo

del eje axial.

r

z a

b

c d

Fig. 2-2. Esquema del motor de inducción.

axial en una magnitud z. Los puntos a y b están ubicados en φ0 y z0 (ambos iguales a cero), los

puntos c y d están ubicados en φ y z. Los puntos a y d están ubicados en la superficie interna

del estator mientras que los puntos b y c están ubicados en la superficie externa del rotor. θr es

el ángulo del rotor con respecto a un punto fijo en el estator.

Aplicando la Ley de Amper sobre la trayectoria cerrada abcda, mostrada en la Fig.

2-2, se obtiene la siguiente relación,

(

)

abcda S

z d d

φ θ =

∫

∫

donde H es la intensidad de campo magnético, J es la densidad de corriente y S es una

superficie cuyo borde es la trayectoria abcda. Si todos los conductores encerrados por la

trayectoria conducen la misma corriente i, (2.29) resulta en,

(

)

(

)

abcda

z d n z i

φ θ = φ θ

∫

La función n

(

)

bobinado encerradas por la trayectoria abcda. Con el objetivo de hacer más clara la redacción,

en el texto de la tesis esta función será llamada simplemente “Distribución de Bobinados”.

Esta distribución, a diferencia de propuestas previas, permite considerar la geometría de los

bobinados a lo largo del eje axial.

En términos de Fuerza Magnetomotriz (FMM), (2.30) puede escribirse de la siguiente

manera,

(

)

(

)

ab r bc cd r da r

F θ +F +F φ z θ +F =n φ z θ i (2.31)

Considerando permeabilidad infinita del hierro del estator y del rotor, la caída de

FMM a través del hierro es despreciable, entonces F_bc =0, 0F_da = y (2.31) puede rescribirse como,

(

)

(

)

ab r cd r r

F θ +F φ z θ =n φ z θ i. (2.32)

(

)

(

)

2 2 2

0 0 0 0 0 0

0, 0, ( , , ) , ,

.

( , , ) ( , , ) ( , , )

L L L

ab r cd r r

r r r

F F z n z i

dz d dz d dz d

g z g z g z

π π π

θ φ θ φ θ

φ + φ = φ

φ θ φ θ φ θ

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

La ley de Gauss para campos magnéticos se aplica con el objetivo de obtener una

expresión para F_ab

(

)

0

S

d =

∫

donde B es la densidad de flujo magnético y S es una superficie cerrada arbitraria.

Considerando a S como una superficie cerrada cilíndrica de radio r, ubicada entre las

superficies del rotor y del estator, la ecuación (2.34) resulta en,

(

)

2 0 0 0

, , 0

L

r r H z dz d

π

µ φ θ φ =

∫ ∫

Escribiendo,

(

)

(

)

(

)

φ θ , (2.36)

entonces,

(

)

(

)

r dz d

g z

π _{φ θ}

µ φ =

φ θ

∫ ∫

Por lo tanto el segundo término en (2.33) es nulo y (2.33) se reduce a,

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

0 0 0 0

0, 0, , ,

, , , ,

L L

ab r r

r r

F n z i

dz d dz d

g z g z

π _θ π _{φ θ}

φ = φ

φ θ φ θ

∫ ∫

∫ ∫

Entonces,

(

)

(

)

(

)

(

)

2

1 1

0 0

0, 0, 2 , , , , , , ,

L

ab r r r r

F L g z n z g z i dz d

π

− −

θ π φ θ =

∫ ∫

donde

(

)

(

)

g z g z dz d

L

π

− −

φ θ = φ θ φ