RADICALES
Entre los números reales se encuentran los radicales, que se pueden expresar como raíz de un índice
n
≥
2
de un número real.Raíz enésima de un número real.
Si
a
∈
R
yn
∈
Ν
, conn
≥
2
, diremos que la raíz enésima de a es un número real r y lo notaremos así:r
a
n
=
, si
r
n=
a
.a
r
r
a
nn
=
⇔
=
Se llama: “a” radicando.
“r” raíz enésima.
“n” índice del radical. “ ” símbolo del radical.
Las raíces de índice dos se llaman raíces cuadradas, y no se escribe el índice.
Las de índice 3 se llaman raíces cúbicas, las de índice 4 se llaman raíces cuartas, etc....
Ejemplos:
2
8
3
=
, 3
−
27
=
−
3
, n0
=
0
La raíz cuadrada de 16 es 4 y también –4, porque 42 = 16 y ( –4)2 = 16. Si queremos referirnos a la raíz positiva (4) lo notaremos
16
=
4
, y para referirnos a la raíz negativa (–4) lo notaremos−
16
=
−
4
. Si queremos referirnos a las dos raíces lo notaremos±
16
=
±
4
.Esto no sólo sucede con las raíces cuadradas, sino con todas las de índice par; por tanto 4
81
=
3
,
3
81
4
=
−
−
,±
481
=
±
3
.
Observamos que:
• Todos los números positivos tienen dos raíces de índice par, que son opuestas.
• Los números negativos no tienen raíz de índice par.
• Todos los números tienen una sola raíz de índice impar (que será positiva si el número es positivo y negativa si el número es negativo).
Consecuencias de la definición:
• Siempre que
≥
∈
par
n
y
a
impar
n
y
R
a
0
se cumple que:a
a
n n
=
, por ser
a
n=
a
n• Siempre que
a
<
0
y
n
par
se cumple que: na
n=
−
a
Ejemplos: 4
2
4=
2
3( )
−
2
3=
−
2
4
( )
−
2
4=
2
y
no
−
2
•
( )
na
n=
a
, ya que n
a
=
r
⇔
r
n=
a
Otra forma de expresar n
a
usando las potencias es la siguiente: n na
a
1=
Esta notación encaja totalmente con las propiedades de las potencias, ya que:
a
a
a
a
nnn
n
=
=
=
1 1⋅ 1Potencias de exponente racional
Se definen las
potencias de exponente racional
de la forma siguiente: (>
0
n
m
si
) n m n ma
a
=
n m n m n ma
a
a
−=
1
=
1
Lo cual encaja con: m
n n m n n m
a
a
a
=
=
⋅Ejemplos: a)
2
22
1
=
; b)( )
3 3( )
2 3 29
3
3
=
−
=
−
; c)2
1
4
1
4
1
25
,
0
2 1 5 ,0
=
=
=
;d)
( )
( )
3( )
2 33 2 3 2
9
1
3
1
3
1
3
=
−
=
−
=
−
−; f)
( )
( )
3( )
4 33 4 3 4
16
1
2
1
2
1
2
=
−
=
−
=
−
−Propiedades de las potencias de exponente racional
Se cumplen las mismas propiedades que para las potencias de exponente entero:
1. q
p n m q p n m
a
a
a
+=
⋅
Ejemplo: 21 10 5 ) 10 1 ( 5 3 10 1 5 3
5
5
5
5
5
⋅
−=
+−=
=
2. q
p n m q p n m q p n m q p n m
a
a
a
a
a
a
a
− −=
⋅
=
=
:
Ejemplo: 3 5 3 5 ( )3 25
2
2
2
:
2
2
2
− − − −− −− −
=
=
=
3. q
p n m q p n m
a
a
⋅=
Ejemplo:( ) 2
2 4 4 2 1 4 2 1
2
7
2
7
2
7
2
7
− − − ⋅ −
=
=
=
4.
( )
nm n m n m
b
a
b
a
⋅
=
⋅
Ejemplo:8 3 8 3 8 3 8 3 8 3
3
1
6
2
3
2
2
1
3
2
2
1
− − − − −
=
=
⋅
=
⋅
5.
( )
nm n m n m
b
a
b
a
:
=
:
Ejemplo:8 3 8 3 8 3 8 3
4
3
3
2
:
2
1
3
2
:
2
1
− − − −Ejercicio resuelto: Utiliza las propiedades de las potencias para expresar el resultado como producto de
potencias que tengan como base números primos:
( )
(
)
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
− −
− − −
−
−
− −
−
− −
−
−
− − −
18 2 2 1 2 2
1 6 4 6 2
3 2 2 1 3 1 2 1 1 2
6 6 2 1 3 4 3 2
3 2
3 1 1 2
2 3 1 2 3 3 2 2
0 3 2 3
2 3
2 3 3
2
5
5
3
5
5
2
5
5
3
5
5
2
1
5
5
3
5
5
2
5
5
5
9
5
50
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
− − − − 9 1 2 1 1 1 3 2 3 15
5
3
5
5
2
1819 1 3 1
5
3
2
−⋅
−⋅
−Radicales equivalentes
Dos radicales son equivalentes si determinan el mismo número real.
También podemos decir que: “Dos radicales son equivalentes si expresados en forma de potencia sus
exponentes son fracciones equivalentes”
Ejemplo:
2
,
42
2,
62
3,...
,son equivalentes, ya que2
2
2
6...
3 4 2 2 1
=
=
=
; y se expresa así:...
2
2
2
=
4 2=
6 3=
En general: si
a
∈
ℜ
y
a
>
0
, yp
∈
N
. npp m n m
a
a
⋅⋅
=
, que expresado con radicales:p n mp
n m
a
a
=
⋅ ⋅←
Propiedad fundamental La propiedad fundamental:• Leída de izquierda a derecha Ampliación de radicales
•
Leída de derecha a izquierda Simplificación de radicalesSimplificación de radicales
La propiedad fundamental permite obtener radicales equivalentes de índice más pequeño. Antes de operar, o durante el proceso de la operación hay que simplificar los radicales siempre que sea posible.
n m
p n mp
a
a
=
⋅ ⋅
Reducción de radicales a índice común
Usando la ampliación de radicales podemos reducir varios radicales a índice común. Veamos cómo se hace con un ejemplo:
Vamos a reducir a índice común los radicales 4
a
, y 6b
: El índice común es el m.c.m. de todos los índices: m.c.m.(4,6)=1212 12 3
3 4 1 4
a
a
a
a
=
=
=
, 12 12 22 6 1 6
b
b
b
b
=
=
=
,Obtenemos así dos raíces de igual índice “12”.
Una vez reducidas las raíces a índice común, podemos compararlas y operar con ellas como se indica a continuación.
Comparación de radicales
Entre dos radicales del mismo índice será mayor el de mayor radicando.
Operaciones con radicales
1.
Multiplicación y división: Para multiplicar o dividir radicales hay reducirlos a índice común y luego
multiplicar o dividir los radicandos.
n n n
b
a
b
a
⋅
=
⋅
n n nb
a
b
a
=
Demostración:
( )
n n ns y r do sustituyen n
n n
n n
n
n n
b
a
b
a
b
a
s
r
s
r
s
r
b
a
b
s
s
b
a
r
r
a
⋅
=
⋅
⇒
⋅
=
⋅
⇒
⋅
=
⋅
=
⋅
⇒
=
⇔
=
=
⇔
=
Y n
n n
s y r
do Sustituyen n
enésima raíz la
de Definición n
n n
b
a
b
a
b
a
s
r
s
r
s
r
b
a
⇒
=
⇒
=
=
=
Ejemplos: 3
−
8
⋅
3−
27
=
3216
=
6
10
100
25
4
⋅
=
=
4 44 4
5
8
10
16
10
16
=
=
2.
Potencias: Para calcular una potencia de un radical, se eleva el radicando a dicho exponente
y se deja el mismo índice.( )
n p n pa
a
=
Demostración:
a
r
r
a
nn
=
⇔
=
. Luego:
( ) ( )
r do sustituyen n p p
de Definición n p p n
do sustituyen p
a
r
r
r
a
=
=
⇔
=
⇔
( )
n p n pEjemplos:
( )
4 62 4 3
2
2
=
( )
7( )
204
7
3
5=
−
3
−
( )
3 5 3 512
12
=
3.
Raíz: Para calcular la raíz de otra raíz, se multiplican los índices y se deja el mismo radicando.
n m m n
a
a
=
⋅Demostración:
( )
m mn sustituyendors do sustituyen n
m
ésima n m raíz
de definición n m n m n
m m
n n
a
r
a
s
s
s
r
a
r
s
s
r
a
r
r
a
⇒
=
⇒
=
⇔
=
=
=
⇒
=
⇔
=
=
⇔
=
⋅ ⋅⋅
⋅ m n
a
=
m⋅na
Porque: nm nm mn
m n m
n m n
a
a
a
a
a
a
=
⋅=
⋅=
⋅
=
=
1 1 1 1 1 1
Ejemplos: 3 5
4
=
154
3 3 910
10
=
4.
Suma y resta: Mas adelante veremos en que casos la suma o resta de dos radicales se puede
expresar con un solo radical. De momento nos limitaremos a resaltar que n
a
+
nb
≠
na
+
b
Ejemplo:
64
+
36
≠
64
+
36
, ya que:64
+
36
=
8
+
6
=
14
y64
+
36
=
100
=
10
)
10
14
(
≠
Extracción de factores de un radical
Siempre que tengamos n
a
m con m > n, se puede sacar del radical parte de la potencia de am de la siguiente forma:Sea c el cociente entero que resulta al dividir m entre n, y r el resto de dicha división.
Como se verifica que
m
=
n
⋅
c
+
r
, tendremos que na
m=
na
n⋅c+r=
na
n⋅c⋅
a
r=
n( )
a
n c⋅
a
r=
( )
n r( )
n n c n r c n r n n ca
a
a
a
a
a
⋅
=
⋅
=
⋅
=
.En resumen que n
a
m=
a
c⋅
na
rEjercicio: Extraer factores del siguiente radical: 3
2160
3
3 0
3 4 3 3
10
6
5
3
2
3
2
5
3
2
Introducción de factores en un radical
Dado un radical con factores fuera de él, se pueden introducir dichos factores en el radical de la siguiente
forma:
a
⋅
nb
=
na
n⋅
nb
=
na
n⋅
b
.Si lo que tenemos es un cociente: n n n n
n n
a
b
a
b
a
b
=
=
Luego:
a
⋅
nb
=
na
n⋅
b
nn n
a
b
a
b
=
En definitiva, si tenemos un número que está multiplicando o dividiendo a un radical, podemos meter este
número dentro del radical elevándolo al índice de la raíz. Si el número estaba fuera multiplicando
entra multiplicando y si estaba dividiendo entra dividiendo.
Ejemplos:
7
⋅
32
=
32
⋅
7
32
3⋅
45
2=
45
2⋅
2
12
3
5
3
5
3
5
3
3
3
5
4 1 46 4 5 5
3 2
=
⋅
=
⋅
=
−Forma típica de un radical
Hay muchas formas de expresar un radical: Ejemplo: 4
64
=
42
6=
82
12=
...
...
=
2
3=
2
2
Entre todas ellas hay una (en el ejemplo:
2
2
) que es la que está más simplificada y con todos los factores posibles extraídos. Se trata de su forma típica, que es única para cada radical.Cuando un radical está expresado de la forma
a
⋅
nb
con:1. La n
b
simplificada al máximo 2. Todos los factores posibles extraídosSe dice en este caso que el radical está expresado en su forma típica. El número “a” se denomina coeficiente y n
b
parte radical.Radicales semejantes
Dos radicales diremos que son semejantes, si sus respectivas formas típicas tienen la misma parte radical. Por ejemplo
n
b
a
⋅
yc
⋅
nb
32
7
⋅
y5
⋅
32
;11
y2
⋅
11
; 421
4
3
⋅
y
−
5
⋅
421
Operaciones con radicales en forma típica
a
⋅
nb
±
c
⋅
md
=
n md
c
b
a
⋅
±
⋅
(se deja indicado el resultado, si no son semejantes)Ejemplos:
a)
3
⋅
421
+
5
⋅
421
−
421
=
7
⋅
421
b)
−
4
⋅
354
+
9
⋅
316
−
33
=
−
4
⋅
33
3⋅
2
+
9
⋅
32
4−
33
=
−
4
⋅
3
⋅
32
+
9
⋅
2
⋅
32
−
33
=
6
32
−
33
Multiplicación:
( )
n( )
nb
a
k
b
a
k
⋅
⋅
=
.
⋅
( ) ( )
m n( )
(
m n)
b
h
a
k
b
a
h
k
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
Ejemplos: a) 3 3 3
6
2
1
3
4
3
2
3
2
=
−
−
⋅
b) 6
(
4)
6 4 12 2 12 3 12108
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
1
⋅
−
=
⋅
=
⋅
=
−
Potencia:
( )
n p p n pb
a
b
a
⋅
=
⋅
Ejemplo:
(
−
2
5
)
3=
−
2
3⋅
5
3=
−
8
⋅
5
5
=
−
40
5
División por un número real
: nn
b
k
a
k
b
a
⋅
=
⋅
Ejemplo: 4
4
2
2
1
6
2
3
=
Raíz:
m n m mnb
a
b
a
⋅
=
⋅
⋅Ejemplo: 3
6
3
=
36
⋅
63
=
66
2⋅
63
=
648
Prioridad de operaciones:
Como son números reales, se mantiene la misma que para ellos.
Ejercicio: Realiza la operación siguiente, expresando el resultado en forma típica:
radicales partes
de es coeficient separamos
radicales los todos
de típica
forma
−
=
−
⋅
−
=
−
−
⋅
−
6
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
6
32
)
2
2
3
2
(
2
2
8
2 2
paréntesis en semejantes
tnos reduciendo
y operando
cuadrado al binomio el
ndo
desarrolla
−
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
−
=
−
−
⋅
−
=
2
3
2
2
4
2
2
3
2
2
9
4
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
=
−
−
+
=
−
⋅
+
−
=
−
−
⋅
−
=
2
3
2
9
38
2
6
16
2
3
2
2
6
8
2
18
76
2
2
2
3
2
2
3
8
9
76
2
2
1
2
2
semejantes tnos reduciendo
y ndo simplifica
=
2
9
26
3
8
Racionalización de denominadores
Racionalizar un denominador en una expresión
B
A
, es encontrar una razón equivalente a ella que no
tenga raíces en el denominador.
Se pueden presentar varios casos; veamos como se racionalizan algunos de ellos.
Caso I:
c
k
a
⋅
. En este caso se racionaliza multiplicando numerador y denominador porc
.Ejemplo:
15
5
2
5
3
5
2
5
5
3
5
2
5
3
2
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
Caso II
:n p
c
k
a
⋅
(con p<n; si fuese p>n se extraerían factores del radical). En este caso se racionalizamultiplicando numerador y denominador por n
c
n−p .Ejemplo:
21
6
4
42
6
8
6
7
6
8
6
7
6
8
6
6
7
6
8
6
6
7
6
8
6
7
8
5 3 5 3 5 35 5 5 3 5 2 3
5 3 5 3
5 2 5 3 5 2
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
Caso III
:d
h
c
k
a
⋅
±
⋅
En este caso se racionaliza multiplicando numerador y denominador por elconjugado del denominador. Sabiendo que el conjugado de un binomio se obtiene cambiando de signo su segundo término y dejando el primero tal y como está.
Ejemplo:
(
)
(
) (
)
( ) ( )
(
)
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
2 22
3
7
2
2
3
7
2
5
2
3
7
2
2
3
7
2
2
3
7
2
5
2
3
7
2
5
(
) (
)
2
2
3
7
2
10
2
3
7
2
5
2
9
7
4
2
3
7
2
5
=
⋅
⋅
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
Este resultado se puede expresar también de la siguiente forma:
