Ecuaciones diferenciales de primer orden

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

Yoel E. Gutiérrez T.

Lapso 2014-U

1

Ecuación diferencial

Muchas leyes de la naturaleza, en Física, Química, Biología o Astronomía, encuen-tran su expresión mas natural en el lenguaje de las ecuaciones que contiene algunas derivadas de un función incógnita, llamadas ecuaciones diferenciales.

Es fácil comprender lo que se oculta en las aplicaciones de las ecuaciones dife-renciales. Si x=f(t) es una función dada, su derivada se puede interpretar como el ritmo de cambio de x con respecto a t: En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos de variación están relacionadas entre sí por medio de los principios cientí…cos básicos que gobiernan dicho proceso. Al escribir tal conexión en símbolos matemáticos, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial (ED).

Un modelo que es muy común en los libros de ecuaciones diferenciales son el de caída libre de un cuerpo.

Ejemplo 1.1 (Caída libre de un cuerpo) Un objeto de masa m se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de la gravedad.

Suelo Objeto

h

De acuerdo con la segunda ley de Newton, si a es la aceleración de un cuerpo y F es la fuerza total, entonces

ma=F: (1)

(2)

cambio de su posición y su aceleración a = dvdt = ddt22h es el ritmo de cambio de la

velocidad, con esta notación, (1) se convierte en

md 2h

dt2 = mg;

o sea, dado que m6= 0;

d2h

dt2 = g: (2)

La ecuacion (2) es una ecuacion diferencial que contiene la segunda derivada de la variable dependiente h (altura desconocida) con respecto a la variable independiente t. Por fortuna, es fácil resolver esta ecuación. Basta integrar dos veces con respecto a t. Es decir

dh

dt = gt+c1 y

h =h(t) = 1 2gt

2+c

1t+c2:

Las constantes de integración c1 yc2 quedan determinadas si conocemos la altura inicial, h(0); y la velocidad inicial, v(0) = h0(0); del objeto. Así, obtenemos una fórmula para la altura del objeto en el instante t.

Siermpre que un modelo matemático impliquerazón de cambio de una variable con respecto a otra, es probable que aparezca una ecuación diferencial. Pero, en contraste con los dos ejemplos anteriores, no todas las ecuaciones diferenciales son fáciles de resolver y analizar.

La ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de áreas: las ciencias físicas, la economía, la medicina, la psicología, la investigación de operaciones, etc. A continuación enumeraremos otros ejemplos.

1. Consideremos uncircuito eléctricoformado por un resistor, un inductor y un capacitor que son excitados por una fuerza elctromotriz.

L

E R

C

Al aplicar las leyes de Kirchho¤, las cuales analizaremos más adelante, obten-emos la ecuación

Ld 2q dt2 +R

dq dt +

1

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donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia, E(t) es la fuerza electromotriz,q(t)es la carga en el capacitor y t es el tiempo.

2. En Psicología, un modelo del aprendizaje de una tarea implica la ecuación

1

y3=2(1 y)3=2 dy dt =

2p p

n: (4)

En este caso, la variabley representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo t. Las constantes p y n dependen del individuo y de la naturaleza de la tarea.

3. En el estudio de las cuerdas vibrantes y la propagación de ondas encon-tramos la ecuación diferencial

@2u @t2 c

2@2u

@x2 = 0; (5)

dondet representa el tiempo, x la posición a lo largo de la cuerda, cla rapidez de la onda y uel desplazamiento de la cuerda, que es una función del tiempo y de la posición.

Para comenzar nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales necesitamos ciertas terminologías comunes.

De…nición 1.1 Si una ED implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama una variable dependientey la segunda una variable independiente.

En la ecuación (3) q es la variable dependiente ytla variable independiente. Nos referiremos a L; R y C1 como los coe…cientes de la ecuación.

De…nición 1.2 Si una ED sólo contiene derivadas ordinarias de una o más varia-bles dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

De…nición 1.3 Una ED que contiene las derivadas parciales de una o más varia-bles dependientes, respecto de dos o más variavaria-bles independientes, se llamaecuación diferencial en derivadas parciales (EDP).

Las ecuaciones (2), (3) y (4) son ecuaciones EDO y la (5) es una EDP.

(4)

La ecuación (4) es de primer orden y las demás son de segundo orden.

En lo sucesivo nos ocuparemos sólo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede expresarse como

F(x; y;dy dx;

d2y dx2; :::::

dny

dxn) = 0; (6)

o bien, usando la notación con primas para las derivadas

F(x; y; y0; y00; :::::::::; y(n)) = 0: (7)

Si podemos resolver la ecuación (7) por la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden n tomando la siguiente forma

y(n) =f(x; y; y0; y00; :::::::::; y(n 1)):

Las EDO se suelen representar utilizando:

1. La notación de Leibniz: dxdy;dxd2y2;

d3y

dx3; :::

2. La notación prima: y0; y00; y000; :::

3. La notación de Newton por puntos: y; y; y; :::

4. Operadores diferenciales: Dxy; D2xy; Dxny; :::o bienDy; D2y; Dny; :::;cuando queda

entendido con respecto a que variable se está derivando.

Las EDO de primer orden también se pueden escribir de la forma diferencial

M(x; y)dx+N(x; y)dy= 0:

De…nición 1.5 Una EDO de orden n es lineal si se puede escribir de la forma

an(x)

dny

dxn +an 1(x)

dn 1y

dxn 1 +: : :+a1(x) dy

dx+a0(x)y=f(x);

donde cada coe…ciente an; an 1; : : : ; a1; a0 y f sólo depende de x, que es la variable

independiente.

(5)

2

Generalidades sobre las soluciones

De…nición 2.1 Una función y = y(x) es una solución explícita de la EDO (6) en un intervaloI, siempre y cuando las derivadas y0(x); y00(x); :::; y(n)(x) existan en

I, y transforma esa ecuación en una identidad con sentido en I; cuando y =y(x) y sus derivadas se sustituyan en ella.

El intervalo I puede ser un intervalo abierto, (a; b), cerrado, [a; b], in…nito,

(a;1); : : :. Para nuestros …nes, supondremos que una solución y = y(x) es una función de valores reales.

De…nición 2.2 Una solución explícita de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en el intervalo I, se llama solución trivial.

Habitualmente la solución de una ecuación diferencial se da sin restricciones sobre los valores que asume la variable independiente, en este caso asumimos que el intervalo I en el cual la funcióny=y(x)es solución, contiene todos los valores para los cuales las operaciones indicadas producen resultados que tienen sentido en los reales.

De…nición 2.3 Una relaciónG(x; y) = 0 es una solución implícitade una EDO, en un intervalo I, siempre y cuando exista al menos una función y = y(x) que satisfaga la relación y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x; y) = 0

de…ne implícitamente a la función y =y(x).

Como la diferencia entre una solución explícita y una solución implícita debe quedar clara de forma intuitiva, habitualmente hablaremos simplemente de una solu-ción.

El estudio de las ecuaciones diferenciales es semejante al del cálculo integral. a veces, a una solución se le llamaintegralde la ecuación y a su grá…ca,curva integral

o curva solución.

En cálculo, al evaluar una antiderivada empleamos una sola constante c de in-tegración. En forma parecida, al resolver una ecuación diferencial de primer orden, f(x; y; y0) = 0, por lo general obtenemos una solución con una sola constante

ar-bitraria, o parámetro c. Una solución con una constante arbitraria representa un conjunto G(x; y; c) = 0 de soluciones y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de orden n, se busca una familia

n-paramétricas de soluciones G(x; y; c1; c2; : : : ; cn) = 0. Esto quiere decir que

las ecuaciones diferenciales tienen, en general, muchas soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llamasolución particular.

(6)

De…nición 2.4 Si toda solución de una ecuación de orden n, en un intervalo I, se

puede obtener partiendo de una familia n-paramétrica de soluciones

G(x; y; c1; c2; : : : ; cn) = 0 con valores adecuados de los parámetroscj (j = 1;2; : : : ; n),

se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

Esperamos que una EDO siempre tenga solución, y que esta solución contenga una o varias constantes arbitrarias, dependiendo del orden de la EDO. Si embargo, esto no necesariamente es así.

A continuación daremos algunos principios de ciertos hechos básicos que nos permitan identi…car si un EDO tiene o no soluciones reales que satisfagan ciertas condiciones especi…cadas.

3

Problemas de valor inicial

De…nición 3.1 Unproblema de valor inicial(PVI) es un problema que busca de-terminar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especi…cadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

En algún intervalo I que contenga a x0, el problema dny

dxn =f(x; y; y

0; y00; :::::::::; y(n 1)); y(x

0) =y0; y0(x0) = y1; : : : ; y(n 1)(x0) = yn 1; en donde y0; y1; : : : ; yn 1 son constantes reales especi…cadas arbitrariamente, es un PVI de enésimo orden. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primerasn 1derivadas en un solo punto x0 son las condiciones iniciales.

A menudo, la solución de un PVI de ordenn involucra la aplicación de una fami-lia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n constantes, del tal manera que la solución particular que resulte para la ecuación satisfaga a las n condiciones iniciales.

Los PVI de primero y segundo orden, son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para el PVI de primer orden

dy

dx =f(x; y); y(x0) = y0;

se pide una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que contenga a x0, tal que la curva solución pase por el punto (x0; y0).

Para el PVI de segundo orden

d2y

dx2 =f(x; y; y

0); y(x

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se pide una solución de la ecuación diferencial cuya representación grá…ca no sólo pase por el punto (x0; y0), sino que también la pendiente de la recta tangente a la representación grá…ca en ese punto sea y1.

La terminología condiciones iniciales proviene de la mecánica, donde la variable independiente x representa el tiempo y se denota con t. Si t0 es el instante inicial, y(t0) = y0 representa la posición inicial de un objeto y y

0

(t0) = y1 representa su velocidad inicial.

La mayor parte de los PVI que trataremos en esta monografía tendrán soluciones, y las soluciones serán únicas. Sin embargo, en cualquier PVI, ésta no es la realidad. Antes de resolver un PVI es preferible saber, si existe una solución y, cuando exista, si es única. Puesto que trabajaremos con EDO de primer orden, enunciaremos un teorema que de…ne las condiciones su…cientes que garantizan la existencia y unicidad de la solución de un PVI de primer orden.

Teorema 3.1 (Teorema de existencia y unicidad) Sea la región rectangularR=

f(x; y)2R2 :a < x < b ^ c < y < dg del plano xy; que contiene el punto (x0; y0):

Si f(x; y) y @y@f(x; y) son continuas en R, entonces el PVI

dy

dx =f(x; y); y(x0) =y0

tiene una solución única y(x) en un Intervalo abierto I que contiene a x0:

En la siguiente …gura podemos ver la interpretación geométrica de este teorema.

a b

c d

I

X Y

(x,y)

y=y(x)

.

La demostración del teorema de existencia y unicidad es complicada, y hacerlo estaría fuera de lugar de los objetivos propuestos en esta monografía. Este teorema admite generalizaciones en diversar direcciones, con hipótesis más debiles. En los capítulos siguientes, mostraremos casos particulares de este teorema para una EDO lineal de primer orden, y generalizaciones del mismo para EDO lineales de orden superior.

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sea un modelo razonable, ciertamente esperamos que tenga una solución. Además, la solución debe ser única en aquellos casos en que la repetición del experimento bajo condiciones idénticas proporciones los mismos resultados.

4

Ecuaciones con variables separables

En términos generales, es muy difícil resolver ED de primer orden. Incluso la sencilla ecuación

dy

dx =f(x; y)

no puede resolverse, en general, en el sentido de que no existen fórmulas para obtener su solución en todos los casos. Por otra parte, hay ciertos tipos canónicos de ecua-ciones de primer orden para los cuales si se dispone de métodos rutinarios de solu-ciones. Discutiremos brevemente el método de separación de variables, que será de mucha utilidad en el estudio de la EDO lineales. Dado que nuestro propósito con-siste en adquirir facilidad de manejo, dejaremos de lado cuestiones de continuidad, diferenciabilidad, etc.

De…nición 4.1 Las llamadas ecuaciones separables, o ecuaciones con va-riables separadas, son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir en la forma

dy

dx =f(x)g(y);

donde el miembro de la derecha es el producto de dos funciones, cada una dependiente de sólo una de las variables.

En tales circunstancias, podemos separar las variables escribiendo dy

g(y) =f(x)dx;

y resolver entonces la ecuación original por integración:

Z dy

g(y) =

Z

f(x)dx o H(y) = F(x) +c; (8)

en donde H(y) y F(x) son antiderivadas de 1

g(y) y def(x), respectivamente.

No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación sepa-rable, porque si escribimosH(x) +c1 =F(x) +c2, podemos transponerc1 al segundo miembro y reemplazar la diferencia c2 c1 con una sola constante c, como en la ecuación (8).

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En muchos casos, al resolver una EDO de primer orden no podemos despejar la variable dependiente y en forma explícita, y tendremos que conformarnos con hallar una forma implícita de la solución.

La técnica de separación de variables, así como otras técnicas que se analizarán en los siguientes capítulos, conlleva la reescritura de una EDO realizando ciertas operaciones algebraicas en ella. Escribirdxdy =f(x)g(y)como g(1y)dy =f(x)dxequivale a dividir ambos lados entre g(y):En este sentido, debemos tomar en cuenta los ceros deg(y) en la ecuación separable dydx =f(x)g(y)antes de dividir.

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Soluciones que no pueden expresarse en

térmi-nos de funciones elementales.

Ciertas integrales inde…nidas como R ex2

dx no pueden expresarse en términos …nitos utilizando funciones elementales. Al encontrar una integral de este tipo mientras se resuelve una EDO, con frecuencia es útil usar la integración de…nida. Por ejemplo, considere el PVI

dy dx =e

x2

y2; y(2) = 1:

Separando las variables en la EDO e ntegramos la ecuación separada de x = 2 a x=x1 obtenemos

dy y2 =e

x2

dx

Z x=x1

x=2 dy y2 =

Z x=x1

x=2

ex2dx

1

y(x1)

+ 1

y(2) =

Z x=x1

x=2

ex2dx:

Sites la nueva variable de integración y reemplazamosx1porxyy(2)por 1, entonces

1

y(x)+ 1 =

Z x

2

et2dt;

luego, podemos expresar la solución del PVI como

y(x) = 1

Z x

2 et2dt

1 :

6

Modelos matemáticos

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Este proceso de imitación de la realidad mediante el lenguaje de las matemáticas se conoce como modelación matemática.

Las leyes del universo están escritas en el lenguajes de las matemáticas. El álgebra es su…ciente para resolver muchos problemas estáticos, pero los fenómenos naturales más interesantes implican cambios y se describen sólo por medio de ecuaciones que relacionen las cantidades que cambian.

Puesto que la derivada dxdt = f0(t) de la función f es la razón a la cual la

can-tidad x = f(t) está cambiando con respecto a la variable independiente t, es na-tural que las ecuaciones diferenciales se usen con frecuencia para describir el universo cambiante.

El estudio de la ecuaciones diferenciales tiene tres objetivos principales:

1. Describir la ecuación diferencial que describa una situación física especí…ca. 2. Determinar -ya sea de manera exacta o aproximada- la solución apropiada de

esa ecuación.

3. Interpretar la solución que se encuentre.

El proceso crucial de la modelación matemática incluye lo siguiente:

1. Formulación de un problema del mundo real en términos matemáticos; esto es, la construcción de un modelo matemático.

2. Análisis o solución del problema matemático resultante.

3. Interpretación de los resultados matemáticos en el contexto original de la situación del mundo real; por ejemplo, responder la pregunta originalmente planteada.

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Ejercicios 1

1. Compruebe que y= (x+c)3 es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO

dy dx = 3y

2=3:

Determine un intervalo de validez de dicha solución. 2. Compruebe que

xy3(1 senx) = 1

es una solución implícita de la EDO dy

dx =

(xcosx+senx 1)y

3x(1 senx)

en el intervalo 0;2 : 3. Veri…que si

2x2y+y2 = 1

es una solución implícita de la EDO

2xydx+ (x2 y)dy= 0:

Encuentre al menos una solución explícita y proporcione un intervaloI de de…ni-ción para dicha solude…ni-ción.

4. Para cada PVI, determine si el teorema de existencia y unicidad garantiza que tenga solución única.

(a) dydx =x3 y3; y(0) = 6: (b) ydxdy =x; y(1) = 1:

5. Compruebe que y1 = 0 y y2 = (x 2)3 son soluciones del PVI dy

dx = 3y

2=3; y(2) = 0:

¿Qué condiciones del teorema de existencia y unicidad no se cumplen? 6. Considera la ecuación

dy dx =y

(12)

(a) Use el método de separación de variables para mostrar que

y = 2x 3 +c

3=2

es una solución. (b) Muestre que el PVI

dy dx =y

1=3; y(0) = 0 no tiene solución única.

(c) Muestre que las condicones del teorema de existencia y unicidad no se cumplen.

7. Para qué valores de la constante m seráy=emx una solución de la EDO

2y000+y00 5y0 + 2y= 0

8. Aplique el método de separación de variables para resolver cada EDO

(a) dydx = 1y2x2

(b) xdvdx = 1 43vv2

(c) dxdt +x2 =x (d) dydx = yx+13

(e) (x+xy2)dx+ex2

ydy= 0

(f) (ex+e x)dxdy =y2

(g) xlnydydx = x+1y

2

9. Encuentre una solución implícita de cada PVI

(a) dvdx = yx22 11; y(2) = 2

(b) x2dv

dx =y xy; y( 1) = 1

Sol: y= x1e 1 x1

(c) (1 +x4)dy+x(1 + 4y2)dx= 0; y(1) = 0

10. Utilice la integración de…nida para hallar una solución explícita de los siguientes PVI.

(a) dydx =ex2

; y(0) = 0: (b) dydx =ex2

y 2; y(0) = 1:

(13)

7

Ecuaciones lineales

En este capítulo nos ocuparemos de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ED lineal de primer orden es de la forma

a1(x) dy

dx+a0(x)y=f(x) (9) donde a1(x); a0(x) y f(x)son sólo funciones de x, ya1(x)6= 0:

Hay dos situaciones donde la solución de una ED lineal de primer orden es casi inmediata. La primera surge cuando a0(x) = 0; ya que entonces la ecuación (9) se reduce a

a1(x) dy

dx =f(x); y separando variables obtenemos

y=

Z

f(x)

a1(x)

dx+c:

La segunda surge cuando a0(x) y f(x) son constantes. En este caso, la ecuación (9) se reduce a

ady

dx +by=c;

donde a, b y cson constantes, y separando variables obtenemos

Z 1

c bydy=

Z 1

adx:

En general, para resolver la ED lineal (9) la escribimos como dy

dx +P(x)y=Q(x); (10) donde P(x) = a0(x)

a1(x) y Q(x) =

f(x)

a1(x):

Luego, tomando en cuenta que d

dx e

R

P dx

y = eRP dxdy

dx +yP e

R

P dx

= eRP dx dy

dx +P y ;

multiplicamos cada miembro de la ecuación (10) por eRP dx, llamado factor inte-grante,obteniendo

d dx e

R

(14)

Por integración se obtiene ahora

eRP dxy=

Z

QeRP dxdx+c;

luego

y=e RP dx

Z

QeRP dxdx+c

es la solución general de la ED lineal (10).

En esta capítulo enfrentaremos problemas en las que buscamos una solucióny(x)

de un PVI que involucra una ED lineal de primer orden, como el siguiente

a1(x) dy

dx +a0(x)y=f(x); y(x0) =y0; en un intervalo I que contenga a x0:

Para resolver este PVI, seguimos los siguientes pasos:

1. Buscamos la solución general de la ecuación

a1(x) dy

dx +a0(x)y=f(x):

2. Hallamos el valor del parámetro que aparece en la solución general; de modo que se satisfaga la condición inicialy(x0) = y0:

3. Sustituimos el valor del parámetro encontrado, en la solución general, para así obtener una solución particular, que es la solución del PVI.

Para los PVI de primer orden, que involucran una EDO lineal, podemos reformular el teorema de existencia y unicidad en los siguientes términos

Teorema 7.1 (Existencia y unicidad) Si a1(x); a0(x) y f(x) son funciones

con-tinuas en un intervalo I que contiene a x0, y a1(x)6= 0 para cadax en ese intervalo,

entonces el PVI

a1(x) dy

dx+a0(x)y=f(x); y(x0) =y0

tiene una solución única y(x) en I; para cada constante y0:

Ejercicios 2

1. Resuelva cada ED lineal

(15)

(b) y0+ 2xy=x3

(c) x2y0+x(x+ 2)y=ex (d) dpdt + 2tp=p+ 4t 2

(e) cos2xsenxdy+ (ycos3x 1)dx= 0

2. Resuelva cada PVI

(a) xdydx +y=ex; y(1) = 2

(b) (x+ 1)dydx +y = lnx; y(1) = 10

3. Considere las ecuaciones

dy

dx +y= 0; (11)

y

dy dx +y

2 = 0: (12)

(a) Muestre que y = e x es una solución de la ecuación lineal (11) y que

y =x 1 es una solución de la ecuación no linal (12).

(b) Muestre que para cualquier constantec; ce xes una solución de la ecuación

(11), mientras que cx 1 es una solución de la ecuación (12) sólo cuando c= 0 o 1:

(c) Muestre que para cualquier ecuación lineal de la forma dy

dx +p(x)y= 0;

si (x) es una solución, entonces para cualquier constante c, la función c (x) también es una solución.

4. Use integración de…nida para mostrar que la solución del PVI dy

dx + 2xy= 1; y(2) = 1; se puede expresar como

y(x) =e x2 e4+

Z x

2

et2dt :

5. La función error y la función error complementaria se de…nen como

erf(x) = p2

Z x

0

e t2dt y erfc(x) = p2

Z 1

x

(16)

Demuestre que

erf(x) + erfc(x) = 1

y exprese la solución del PVI dy

dx 2xy= 1; y(1) = 1; en términos de erf(x)

6. La función integral seno se de…ne mediante

Si(x) =

Z x

0 sent

t dt;

donde el integrando está de…nido como 1 ent= 0:Exprese la solución del PVI

x3y0+ 2x2y= 10senx; y(1) = 0; en términos de Si(x):

7. Hallar una solución continua del PVI dy

dx +P(x)y=x; y(0) = 1;

dondeP(x) =

(

1; 0 x 2;

3; x >2:

8. Hallar unaa solución continua del PVI dy

dx + 2y=Q(x); y(0) = 0: donde

Q(x) =

(

2; 0 x 3;

2; x >3:

Bosqueje la grá…ca de la solución desdex= 0 hasta x= 2. 9. Hallar una solución continua del PVI

1 +x2 dy

dx + 2xy=Q(x); y(0) = 0: donde

Q(x) =

(

(17)

10. Hallar una solución continua del PVI,

xdy

dx + 4y=Q(x); y(1) = 0: donde

Q(x) =

(

x3 x; 0 x 1; x 3; x >1:

11. La ecuación

dy

dx +p(x)y=q(x)y

n;

que se conoce comoecuación de Bernoulli, es lineal cuando n = 0 o n = 1: Probar que se puede reducir a una ecuación lineal para cualquier valor de n por el cambio de variable z = y1 n, y aplicar este método para resolver las

siguientes ecuaciones

(a) xy0+y=x4y3 (b) xy2y+y3 =xcosx

(c) xdy+ydx =xy2dx

8

Mecánica de Newton

La mecánica de Newton trata del movimiento de los objetos comunes, es decir, de los objetos que son grandes en comparación con un átomo y lentos en comparación con la velocidad de la luz. Los modelos de la mecánica de Newton que estudiaremos se basan en las leyes del movimiento de Newton:

1. Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado mediante la aplicación de una fuerza o una serie de fuerzas cuya resultante no sea nula sobre él.

2. Cuando un cuerpo se somete a una o varias fuerzas externas, la razón de cambio temporal del momento del cuerpo es igual a la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre él.

3. Cuando un cuerpo interactúa con otro, las fuerzas de los dos cuerpos son iguales en magnitud, pero opuestas en dirección.

La segunda ley de Newton nos permite formular las ecuaciones del movimiento de un cuerpo y podemos expresarla mediante la ecuación

mdv

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donde F(t; h; v) representa la fuerza total sobre el objeto en el instante t, m es la masa del objeto, v es la velocidad, h es la posición y dv

dt es la aceleración del objeto

en el instante t.

En esta monografía tratamos situaciones en donde la fuerza F no depende de h: Esto nos permite considerar (13) como una EDO de primer orden

mdv

dt =F(t; v):

Las diversas unidades, para aplicar las leyes de Newton, se resumen en la siguiente tabla junto con valores aproximados para la aceleración gravitacional

Unidad Sistema fps Sistema cgs Sistema mks

Distancia pies (f t) centímetros (cm) metros (m)

Masa slugs gramos(g) kilogramos (Kg)

Tiempo segundos (s) segundos(s) segundos (s)

Velocidad f t=s cm=s m=s

Aceleración f t=s2 cm=s2 m=s2

Fuerza libra (lb) Dina(D) newton (N)

Gravedad 32 pies=s2 980cm=s2 9,8 m=s2

Ejemplo 8.1 Un objeto de masam recibe una velocidad inicial hacia abajov0 y se le

permite caer bajo la in‡uencia de la gravedad. Si la fuerza gravitacional es constante y la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, determinar la ecuación del movimiento del objeto.

Solution 8.1 Será conveniente de…nir v como positiva cuando está dirigida hacia abajo

(19)

fuerzas que actúan sobre el objeto aparecen en la siguiente …gura

-kv: Resistencia del aire

Cuerpo de masa m

mg: Fueza debida a la gravedad

Suelo Dirección positiva

Al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos la EDO lineal de primer orden

mdv

dt =mg kv:

Como la velocidad inicial del objeto es v0; un modelo para la velocidad del cuerpo que

cae se expresa mediante el PVI

mdv

dt =mg kv; v(0) =v0:

Separando variables e integrando obtenemos Z

1

mg kvdv =

Z

1

mdt

1

k lnjmg kvj =

1

mt+c

lnjmg kvj = k

mt kc mg kv = e kce mkt

v = mg

k c1

ke

k mt;

donde c1 = e kc; que es la solución general de la ED lineal. Como v(0) = v0;

entonces

c1 =k mg

k v0 ;

por lo tanto, la solución del PVI es

v = mg

k + v0 mg

k e

k

(20)

Sea h(t) la posición del objeto en cada tiempot;entonces

dh

dt = v dh

dt = mg

k + v0 mg

k e

k mt:

Luego, integrando obtenemos que

h= mg

k t m

k v0 mg

k e

k

mt+c2:

Considerando que h= 0 cuando t = 0; podemos determinar c2, m

k v0 mg

k +c2 = 0 c2 =

m k v0

mg k :

Por lo tanto, la ecuación del movimiento del objeto es

h= mg

k t+ m

k v0 mg

k 1 e

k

mt : (15)

El valor mgk se conoce como la velocidad límite o terminal del cuerpo. Así, en presencia de resistencia del aire, mientras más pesado sea el objeto, más rápido caerá, suponiendo formas y tamaños iguales. Además, al reducir la resistencia del aire (k

más pequeño), el objeto caerá más rápido. Estas observaciones coinciden con nuestra experiencia.

9

Interés compuesto continuo

Si se depositan c Bs. en una banco que paga una tasa anual de interés del r%, compuesto anualmente, entonces trast años el capital acumulado será

P =c 1 + r 100n

nt

:

Si se hace crecer n de modo que el interés se compone con frecuencia cada vez mayor, tendemos al caso límite en que el interés se compone continuamente. Para este caso, observemos que

l{m

n!1 1 +

r

100n

nt

= l{m

n!1 1 +

r 100n 100n r r 100t

=e100r t;

luego

(21)

Describimos esta situación diciendo que la cantidad P crece exponencialmente, o que es un ejemplo de crecimiento exponencial. Para obtener el PVI que modela esta situación, derivamos (16), obteniendo

dP dt =c

r

100e

r

100t= r

100P;

luego el PVI requerido es

dP dt =

r

100P; P(0) =c:

donde t se mide en años.

Ejercicios 3

1. Un objeto de masa 5 kg: se libera desde el reposo a 1000 m. sobre el suelo y se le permite caer bajo la in‡uencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, con una constante de proporcionalidad de 50 N-s/m, determine la velocidad del objeto y la ecuación del movimiento del objeto en cada tiempo t. ¿Cuándo tocará el objeto al suelo?

2. Una paracaidista cuya masa es de 75 kg. se arroja desde un helicóptero que vuela a 4000 m. sobre el suelo y cae hacia la tierra bajo la in‡uencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante. Suponga además que la fuerza debida a la resistencia del aíre es proporcional a la velocidad de la paracaidista, con una constante de proporcionalidad de 15 N-s/m cuando el paracaídista se abre y con constante 105 N-s/m cuando el paracaídas se cierra. Si el paracídas no se abre sino hasta 1 minuto después de que la paracaídista deja el helicóptero, ¿después de cuantos segundos tocará el suelo? (Sol: 241;49seg). 3. Un objeto de masa 500 kg. se libera desde el reposo a 1000 m. sobre el suelo y se le deja caer bajo la in‡uencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debido a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad k=50 N-s/m, determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿Cuándo el objeto tocará al suelo? (Sol: 18;6s).

(22)

5. Suponga que una cuenta de ahorros paga una tasa de interés anual al 5% com-puesto continuamente. Si un cliente abre una cuenta de ahorros con 3000Bs: y no realiza retiros, ¿cuánto dinero tendrá en la cuenta después de 2 años? ¿En qué momento la cuenta tendrá4000 Bs:?

6. Un cliente abrió una cuenta de ahorro con 1000 Bs., y le genera una tasa de interés anual de r% compuesta continuamente. Si después de 8 años, sin haber retirado dinero, la cuenta de ahorro llega a 3000 Bs., ¿cuál era el interés anual que generaba la cuenta?

7. Un cliente abrió una cuenta de ahorro con 1000 Bs. que paga una tasa de interés anual de 5% compuesto continuamente. Suponga que no hay retiros.

(a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años? (b) ¿En qué momento la cuenta tendrá 4000 Bs.?

(c) Si se agregan 1000 Bs. a la cuenta cada 12 meses, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 3 años y medio

Sol: a)1105,17 Bs., b)27,73 años, c)4427,59 Bs.

10

Crecimiento y decaimiento

Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográ…co humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés. En esencia, la idea del modelo matemático es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total P(t), de ese país en cualquier mo-mento t. En otras palabras, mientras más personas hayan en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar

dP

dt =kP; (17)

donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden in‡uir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (17) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

(23)

Ejercicios 4

1. Se sabe que la población de una cierta comunidad aumenta con una razón pro-porcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadru-plicará?

2. En 1980, el Departamento de Recursos Naturales liberó cierta cantidad de ejem-plares de una especie de pez en un lago. En los años 1987 y 2010 la población de estos peces en el lago se estimo, respectivamente, en 3000 y 7000. Suponga que el crecimiento de estos peces es proporcional a la cantidad de peces que existe en cada tiempot y estime la cantidad de peces que el Departamento de Recursos Naturales liberó.

3. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t = 1h, la can-tidad medida de bacterias es 3

2N0. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. (Sol: 2;71h).

4. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? (Sol: 760):

5. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

6. Cuando t= 0, había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad disminuyo el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la cantidad que queda después de 2 horas.

7. Una población de una ciudad aumenta con un coe…ciente de variación que es proporcional al número de sus habitantes en cualquier instante t. Si la población de la ciudad era 30.000 en 1960 y 35.000 en 1970. (a) ¿Cuál era su población en 1980? (b) ¿En qué año la población será (o fue) de 50.000?

(24)

11

Ley de Newton del enfriamiento

La ley del enfriamiento de Newton puede ser establecida en la forma siguiente: La tasa de cambio de la temperatura T(t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entreT y la temperaturaAdel medio ambiente. Esto es,

dT

dt = k(T A);

donde k es una constante positiva. Nótese que si T > A, entonces dTdt <0, de modo que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero, si T < A, entonces dT

dt >0, y por tanto T está aumentando.

Ejercicios 5

1. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5oF. Después de un minuto, el termómetro marca

55oF, y después de 5 marca 30oF. ¿Cuál es la temperatura del recinto interior?.

Suponga que se sigue la ley de Newton del enfriamiento.

2. Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16oC: El detective

Taylor llego a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que habían varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34;5oC: Luego salió a comer.

Al regresar, a la 1:00 PM. halló que la temperatura del cuerpo era de 33;7oC: ¿En que momento ocurrió el asesinato? Suponga que se sigue la ley de Newton del enfriamiento y que la temperatura normal del cuerpo es de 37oC:

3. Una taza de café caliente, inicialmente a 95 C; se enfría hasta 80 C en 5 minutos, al estar en un cuarto con temperatura ambiente de 21 C: Use sólo la Ley del enfriamiento de Newton y determine el momento en que la temperatura del café estará a unos agradables 50 C: (Sol: 15;61min:):

4. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300oF. Después de 3 minutos,

200oF. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 70oF?

Sol: No tienen solución …nita, porque limt !1T(t) = 70

5. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70oF. y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10oF. Pasado 1

2 minuto el termómetro indica 50oF. ¿Cuál es la temperatura cuandot= 1 minuto? ¿Cuánto tiempo se

(25)

6. Un recipiente con agua hirviendo a100oC se retira de una estufa en el instante t = 0 y se deja enfriar en la cocina. Después de 5 minutos, la temperatura del agua ha descendido a 80oC y otros 5 minutos después ha bajado a 65oC.

suponga que se aplica la ley de enfriamiento de Newton y determine la temper-atura (constante) de la cocina.

7. La temperatura de un objeto baja de 80 C a 60 C en 20 minutos, en un recinto con una temperatura ambiente de 20 C. Suponga que el cambio de temperatura en el objeto sigue la ley del enfriamiento de Newton y determine: (a) La temperatura del objeto en cada tiempo t; (b) El tiempo que tarda el objeto en bajar de 60 C a 40 C.

8. Un termómetro que marca 70 F se coloca en un horno precalentado a temper-atura constante. A través de una ventana de vidrio localizada en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro marca 110 F después de 1=2

minuto y 145 F luego de un minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno? 9. En 15 minutos la temperatura de un objeto sube a 20oC., cuando la temperatura

ambiente es de 30o C. En 15 minutos más sube de 20 a 25o C. Suponiendo que se cumple la ley del enfriamiento de Newton, ¿cuál era la temperatura inicial del objeto?

10. Una cerveza fría, inicialmente a 35 F; se calienta hasta 40 F en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura de 70 F:¿Qué tan caliente estará la cerveza si se deja ahí durante 20 minutos? (Sol: 57;38oC)

11. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10 C y se deja respirar en un cuarto con temperatura de 23 C: Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15 C;¿en qué momento llegará la temperatura del vino a los 18 C?

(Sol: 19:5 min:)

12

Mezclas

(26)

tanque.

Razón de entrada

Razón de salida A(t)

En este caso, la rapidez con que cambia A(t) es la tasa neta: dA

dt =

tasa de entrada de la sustancia

tasa de salida

de la sustancia =R1 R2:

Para usar el modelo anterior, debemos determinar las razones con que la sal entra y sale del tanque. En estos problemas con frecuencia se tiene la razón con la que entra al tanque un ‡uido que contiene sal, junto con la concentración de sal en ese ‡uido. Por lo tanto, al multiplicar la razón de ‡ujo (volumen/tiempo) por la concentración (cantidad/volumen) se obtiene la razón de entrada (cantidad/tiempo).

En general, la razón de salida de la sal es más di…cil de determinar. Si nos dan el ‡ujo de salida en el tanque, para determinar la concentración de la sal en ese ‡ujo suponemos que ésta se mantiene uniforme en la mezcla. Entonces, podemos calcular la concentración de sal en la mezcla, dividiendo la cantidad de sal A(t) entre el volumen de la mezcla en el tanque en el instantet. Al multiplicar esta concentración por el ‡ujo de salida se obtiene la razón de salida de la sal.

Ejercicios 6

1. Un tanque tiene 500 gal. de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galon a un ‡ujo de 5 gal/min. el tanque está bien mezclado y sale de él solución a un ‡ujo de 10 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momentot. ¿Cuándo se vacía el tanque?

2. En un gran tanque con 1000lit:de agua pura se comienza a verter una solución salina a una raón constante de 6 lit=min: La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sále a razón de 6 lit=min: Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0,1 kg=lit:, determine el momento en que la concentración de sal en el tanque llegará a 0,05 kg=lit:

(27)

que se habían disuelto 12 Kg. de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 201 Kg/litro, determine la cantidad de sal en el tanque en cada tiempot. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 1

50 Kg/litro? Sol:A(t) = 5 9 2e

2

25t; t= 5:07 min:

4. Un tanque contiene 200 lts. de agua en que se han disuelto 30 gr. de sal y le entran 4 lits=min:de solución con 1 gr. de sal por litro; está bien mezclado, y de él sale líquido con el mismo ‡ujo. Calcule la cantidadA(t)de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momentot. Sol:A(t) = 200 170e 50t

5. Un tanque tiene 500 gal. de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galón a un ‡ujo de 5 gal=min: El tanque está bien mezclado, y sale de él el mismo ‡ujo de solución. Calcule la cantidadA(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momentot. Sol:A(t) = 1000 1000e 100t :

6. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb. de sal disuelta. Le entra salmuera con 12 lb. de sal por galón a un ‡ujo de 6 gal=min: El contenido del tanque está bien mezclado y del él sale un ‡ujo de 4 gal=min: de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. (Sol: 64;38lb:)

7. Una solución salina entra a una razón constante de 4 lit=min:en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 lit. de agua pura. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale con un ‡ujo de 3 lit=min: Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0,2 kg=lit:, determine la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. ¿Cuál será la concentración de sal en el tanque cuando t= 2 min.?

Sol:A(t) = 1

5(100 +t) 2x10

7(100 +t) 3

8. Un tanque contiene 200 l. de agua pura y le entran 4 l=min. de solución con 1 g. de sal por litro; está bien mezclada, y de él sale líquido con el mismo ‡ujo. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momentot.

9. Un tanque tiene 50 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galón a un ‡ujo de 5 gal=min. El tanque está bien mezclado, y salé de él solución a un ‡ujo de 10gal=min: Calcule la cantidadA(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. ¿Cuándo se vacía el tanque?

(28)

al exterior a razón de 8 litros por minuto. (a) Hallar la cantidad de sal en el tanque en cada tiempo t. (b) Si la capacidad del depósito es de 1000 litros, ¿cuál será la concentración en el momento en que rebose dicho depósito? 11. Un tanque contiene 50 litros de agua pura. Al tanque entra salmuera que

contiene k gramos de sal por litro, a razón de 1,5 litros por minuto. Si la concentración es de 50 gramos por litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor dek.

12. Un tanque bien mezclado contiene 100 l. de agua con una concentración de sal de 101 Kg/l. Agua que contiene sal a una concentración de 25 Kg/l. entra a una tasa de 5 L/h. Una válvula abierta permite que el agua salga a 4 l/h. Determine la cantidad y concentración de sal en el tanque en cada tiempo t: Sol :A(t) = 15(100 +t) (100+3x10t9)4; C(t) =

A(t) 100+t

13

Circuitos en serie

Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR), la segunda ley de Kirchho¤ establece que las sumas de las caídas de voltaje a través del inductor (Ldidt) y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, (E(t)), al circuito. on lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corrientei(t),

Ldi

dt +Ri=E(t);

en queLyRson las constantes conocidas como inductancia y resistencia. La corriente i(t) se llama, también, respuesta del sistema.

Consideremos un circuito en serie que contiene un resistor y un capacitor

L

E R

La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(tt), dondeq es la carga del capacitor; por lo tanto, para el circuito RC en serie, la segunda ley de Kirchho¤ establece

Ri+ 1

(29)

E R

C

Pero la corrienteiy la cargaq se relacionan mediantei= dqdt, así, la ecuación anterior se transforma en la ecuación diferencial lineal

Rdq dt +

1

Cq=E(t):

Unidades utilizadas en los circuitos eléctricos

Cantidad Representación literal Unidades

Fuente de voltaje E voltio (V)

resistencia R ohn ( )

Inductancia L henrio (H)

Capacitancia C faradio (F)

Carga q coulomb (C)

Corriente i amperio (A)

Ejercicios 7

1. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V. a un circuito en serie LR con 101 H. de inductancia y 50 de resistencia. Si i(0) = 0; halle la corriente cuando t! 1:

2. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 V a un circuito en serie RC, en que la resistencia es 1000 y la capacitancia es 5:10 6 F. Determine la carga q(t)

del capacitor, si i(0) = 0;4 A. Halle la corrientei(t).

3. Un acumulador de 12 V se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de 1

2 H y una resistencia de 10 :Determinar la corrientei, si la corriente inicial es cero. Sol:i(t) = 65 65e 20t

4. Se aplica una fuerza electromotriz

E(t) =

(

120; 0 t 20 0; t >20

(30)

Sol:i(t) =

8 < :

60 60e 10t ; 0 t 20

60(e2 1)e 10t ; t >20

5. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v. a un circuito en serie LR con 0,1 h. de inductancia y 50 de resistencia. Determina la corriente i(t) , si i(0) = 0. Halle la corriente cuando t! 1.

6. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) =E0sen(wt)a un circuito en serie LR con 0,1 h. de inductancia y 50 de resistencia. Determina la corriente i (t), si i(0) =i0. Halle la corriente cuando t! 1:

7. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v. a un circuito en serie RC, en que la resistencia es 1000 y la capacitancia es 5x10 6 f.. Determina la carga q(t)

del capacitor, si i(0) = 0. Halle la carga cuandot ! 1.

8. Una unidad de voltaje decreciente E = 100e 5t se conecta en serie con una

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