Unidad 5b: Teoremas de conservación

(1)

Cátedra: Física I

Unidad 5b: Teoremas de conservación

GUÍA DE PROBLEMAS Momento angular

23)- ¿Qué ángulo forma la velocidad lineal de una partícula con su momento angular? es perpendicular a y a

L r p= × ⇒  L r p

24)- Supongamos que una partícula se mueve en línea recta, pero su velocidad aumenta con el tiempo. Si tomamos su momento el momento angular respecto de un punto P que no se encuentra sobre la trayectoria.

a) ¿Es constante la dirección del momento angular de la partícula respecto al punto P? b) Es constante el módulo del momento angular respecto al punto P?

)

Si es constante, perpendicular al plano formado por r y v. )

sen

No, no es constante puesto que el modulo de v no lo es

a

L r p r mv

b

L m r v θ m r v⊥ = × = ×

= =

    

 _{ } _{ }

25)- Sea un sistema aislado de dos masas que interactúan entre si, de forma tal que →

f

₁

=

−

→

f

₂ formando un par de fuerzas.

a) ¿Qué le sucede al sistema conforme transcurre el tiempo? b) ¿Se conserva el impulso angular?

a) Rota

b) No, no se conserva puesto que hay un torque distinto de cero.

26)- Una partícula se mueve sobre una línea recta a velocidad constante. Si tomamos un punto cualquiera que no se encuentre sobre la trayectoria ¿Barrerá la línea que une este punto a la partícula áreas iguales en tiempos iguales?

El area de los distintos triangulos que se forman al transcurrir en ∆t de tiempo es

1 _sen 1 1

2 2 2

A

A rv t A r v t r v

t

θ ∆

∆ = ∆ ⇒ ∆ = × ∆ ⇒ = ×

∆



 _{ } _{ }

(2)

Como no existen momentos externos el momento angular se conserva

L r p mr v cte  = × =  × = Por lo tanto

1 2

A _{r v C}

t

∆ ₌ _{× =}

∆



 

Donde C es una constante. Esto significa que el área barrida por unidad de tiempo es constante por lo tanto barrera aéreas iguales en tiempos iguales.

27)- Un observador se encuentra a 125 m al Sur de una carretera que va de Este a Oeste, y un automóvil de 1340 kg de masa se mueve hacia el Este por ella.

a) ¿Qué módulo y dirección tiene el momento angular del automóvil, respecto al observador, en el instante en que se encuentra justo al Norte del mismo con una velocidad de 36.4 m/s?

b) ¿Qué momento angular posee el automóvil después de recorrer 325 m por la carretera, desde el momento anterior, y manteniendo la velocidad constante?

Rta: a)

6 .

10 ×

10

6

kg

m

2

s

−1, con una dirección vertical a la superficie de la Tierra sentido hacia abajo b) Idem que en a)

(

)

(

)

(

)

2

(

6

)

2

)

0,125,0 36.4,0,0

ˆ

ˆ ˆ

0 125 0 0,0,6097000 0,0,6.1x10 36.4 0 0

a

r m

m

v _s

i j k

kgm kgm

L mr v m

s s = = − = × = = = −    _{ }

con una dirección vertical a la superficie de la Tierra sentido hacia arriba

(

)

(

)

(

6

)

2

)

325,125,0 36.4,0,0

ˆ

ˆ ˆ

325 125 0 0,0,6.1x10 36.4 0 0

a

r m

m

v _s

i j k

kgm L mr v m

s = = − = × = = −    _{ }

28)- ¿Qué momento angular posee una partícula de 4.1 kg de masa en el instante en que su posición

respecto al origen de coordenadas es →

r

=

(

−

3 .

5 m

)

→

i

+

(

1 .

4 m

)

→

j

y su velocidad es

→ → →

−

+

−

=

m

s

i

m

s

j

v

(

2 .

0 /

)

(

6 .

3 /

)

Rta:

(

0 ,

100 kg

m

2

s

−1

)

(

)

2

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

3.5 1.4 0 0 0 101.885 2 6.3 0

i j k

kgm

L r p r mv m i j k

s

= × = × = − = + +

− −

(3)

29)- Sea un sistema de partículas formado por tres partículas, cuyos momentos angulares individuales, respecto a un origen común son respectivamente: →

L

1

=

(

2 .

4 kg

m

2

s

−1

)

→

i

→ − →

−

=

kg

m

s

k

L

2

(

6 .

1

2 1

)

y

→ − →

− →

+

−

=

kg

m

s

i

kg

m

s

j

L

3

(

4 .

8

2 1

)

(

1 .

6

2 1

)

Rta:

(

−

2 .

4 ,

1 .

6 ,

−

6 .

1 )

kg

m

2

s

−1´

Por lo visto acá pide el momento angular total.

(

)

2

1 2 3 2.4 1.6ˆ ˆ 6.1ˆ kgm

L L L L i j k

s

= + + = − + −

   

Trabajo y Energía

30) Demuestre que el impulso lineal p y la energía cinética K de una masa m están relacionados por

K = p2_{/ 2 m}

( )

2 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

p

K mv m v mv

m m m

= = = =

31) Una pelota de 500 g se mueve a lo largo del eje de las x con una velocidad de 20 m/s. Golpea un bate e invierte su dirección de modo que su velocidad a lo largo del eje x es ahora de 30 m/s. Calcular la variación de la energía cinética.

Resp. ΔK = 125 [J]

(

2 2

)

1 ₁₂₅

2

f i f i

K K K m v v J

∆ = − = − =

33)Un cuerpo de masa m = 20 kg es desplazado a una distancia de 50 m por la fuerza de 60 N aplicada en la dirección del desplazamiento. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,2, calcular el trabajo realizado por la fuerza resultante.

m = 20 kg 60 N

R = 1040 J

20.8 1040

r

R

R F F F mg N

W Rx J

µ

= − = − =

= =

34) Un satélite se mueve en órbita elíptica alrededor de la Tierra. La fuerza gravitatoria de la Tierra sobre el satélite se dirige hacia el centro de la Tierra

a) ¿Cambia durante la trayectoria la energía cinética del satélite? Razone la respuesta b) ¿Qué ocurre si la órbita es circular?

Si cambia, puesto que la velocidad cambia en orbitas elípticas. No así en orbitas circulares.

(4)

R = 20 J 20

W Fx= = J

36)¿Cuál es el trabajo que realiza una mujer de 50 kg al trepar una escalera de 4 m de altura?. Para levantar a un niño de 5.0 kg una altura de 40 cm, ¿cuál es el trabajo que deberá realizarse?

R = 1960 J y 19,6 J

) 1960

) 19.6

a W mgx J

b W mgx J

= =

37) Un niño empuja una caja de juguetes a lo largo de 4.0 m sobre el piso aplicando una fuerza de 6 N dirigida hacia abajo y a un ángulo de 37° respecto a la horizontal. ¿Cuánto trabajo realiza el niño? ¿Podría esperarse mayor o menor cantidad de trabajo si el niño jala hacia arriba con el mismo ángulo respecto a la horizontal a lo largo de un desplazamiento igual?

R =19,17 J

cos 19.17

W Fx= θ = J

Si lo jala con el mismo ángulo el trabajo es el mismo que el anterior

38) Calcular el trabajo realizado por una fuerza constante de 20 N, para elevar un cuerpo de masa m, a una altura de 5 m, en los dos casos siguientes.

a) Subiéndolo con una cuerda en la vertical 20 N b) Subiéndolo por medio de un plano inclinado

20 N

5m 5m

30º

R = W = 100 J )

5 5

sen

5 ₂₀₀

sen )

100

a W Fx

m _x m

x m

W F J

b

W Fx J

θ

=

= ⇒ =

= =

Aplicaciones del principio de conservación de la energía

(5)

Explicar porque el sentido de las fuerzas que actúan sobre la partícula en los puntos A y B son los mostrados en la figura.

En A 0 tiene la direccion de las x negativas

En A 0 tiene la direccion de las x positivas

dV

F i

dx

dV _F

dx

dV _F

dx

= −

⇒







40)- Tal como en el caso anterior, el grafico muestra la forma de

V

(

r

)

para una partícula en movimiento unidimensional, donde además E indica la energía mecánica total.

a) Determinar la velocidad de la partícula en los puntos

r

₀

,

r

₁

,

r

₂

,

r

₃

y

r

₄ b) ¿Qué representa la región comprendida entre

r

₁

y

r

₂

(6)

0 4

)

La energia cinetica es lo que le fala a la potencial para llegar a la energia total. En el grafico es la linea roja en y . A partir de esta energia cinetica se podria calcular v.

En

c c

a

E E V E E V

r r

r

= + ⇒ = −

1 3

2

1 3

y 0 0

En la energia cinetica deberia ser negativa lo cual es imposible. La zona entre y es la zona prohibida para cualquier cuerpo que este sometido a ese potencial y tenga una energi

c

r E v

r r r

= ⇒ =

a total E como muestra la figura. b)

Region prohibida. c)

Estable. Si tenemos una particula en ese punto y la desplazamos una pequeña distancia de esa posicion, la particula sufrira una fuerza que la llevaria hacia la posicion de equilibrio nuevamente.

41) a) ¿Puede ser la energía mecánica total

E

<

0

? (Razone su respuesta) b) ¿Puede ser la energía cinética

T

<

0

? (Razone su respuesta) a) Si puede ser negativa, un ejemplo de esto es la energía de los satélites.

b) No, no puede ser negativa puesto que el cuadrado de la velocidad es siempre mayor o igual que cero.

42)-Aplicando el teorema de conservación de la energía al caso de un satélite que orbita alrededor de la Tierra a una distancia

r

de su centro, tenemos que

R

M

mv

r

M

mv

₋

γ

T

₌

2

₋

γ

T

0 2

2

1

2

1

donde

M

_Tes la masa de la Tierra y R el radio de la misma. a) Determinar la expresión del módulo de la velocidad del satélite

b) Cuál es el valor máximo de

r

a que puede operar el satélite (movimiento ligado) c) Demostrar que la condición

R

M

v

2 γ

T

(7)

Cátedra: Física I 2 2 0 2 0 2 0 2 0 a)

la ecuacion de la energia debe decir:

1 1 2 2 1 1 2 ) ) 2 debe ser 2

1 1 ₀ ₀

2 2

T T

T

T T T

mM mM

mv mv

r R

v v M

R r b c M v R

mM M mM

E mv m E

R R R

γ γ γ γ γ γ γ − = − ⇒   = − _ − _   <

= − < − = ⇒ <

El principio de conservación de la energía para fuerzas no conservativas

44)- Sea un bloque de masa m, tal como muestra la figura. Donde F es una fuerza conservativa,

F

_d una fuerza no conservativa (fricción) y

n

la reacción de vínculo entre el bloque y la superficie.

Suponemos que el bloque se desplaza horizontalmente hacia la derecha desde una posición

P

₀a una posición final P. Si →

f

=

→

F

+

→

n

+

F

→_d es la fuerza total actuando sobre el bloque, entonces el trabajo a lo largo de la trayectoria entre P y

P

₀, será

=

∫

→

•

→

P P

ds

f

W

0 .

Demostrar que la variación de la energía mecánica total está dada por el trabajo de la fuerza no

conservativa

=

∫

→

•

→

P P d

ds

F

W

0 *

0 0 0 0

0

P P P P

d p d c

P P P P

P

c p m d

P

W f ds F ds F ds E F ds E

E E E F ds

→ → → → → → = • = • + • = −∆ + • = ∆ ⇒ ∆ + ∆ = ∆ = •

∫

   

(8)

Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre tales puntos. Desde este punto de vista la fuerza de rozamiento no es conservativa.

46)- La energía mecánica se conserva cuando todas las fuerzas que realizan trabajo son conservativas. Imaginemos que ninguna fuerza realiza trabajo. ¿Se conserva la energía mecánica?