SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE FRATURAMENTO HIDRÁULICO UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS COM ALTA RAZÃO DE ASPECTO Cleto Pedro

12º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA

Guayaquil, 10 a 13 de Novembro de 2015

SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE FRATURAMENTO HIDRÁULICO

UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS COM ALTA RAZÃO DE ASPECTO

Pedro Cleto*1_{, Osvaldo Manzoli}*2_{, Michael Andrade Maedo}*3_{, Leonardo Guimarães}+4

*_{Universidade Estadual Paulista - UNESP - Bauru/SP - Av. Eng. Luiz Edmundo Coube, 14-01, CEP: 17033-360}

+_{Universidade Federal de Pernambuco - UFPE - Recife/PE - Av. Prof. Moraes Rego, 1235, CEP: 50670-901}

1_{e-mail: [email protected]}

2_{e-mail: [email protected]}

3_{e-mail: [email protected]}

4_{e-mail: [email protected]}

RESUMO

A extração e produção de gás de folhelho ganhou espaço na indústria petrolífera nos últimos anos, mas a permeabilidade do folhelho é baixa, dificultando a extração do gás. O fraturamento hidráulico é uma técnica capaz de aumentar a permeabilidade do folhelho por meio de fraturas geradas da injeção de fluidos a altas pressões no poço. Este trabalho apresenta uma ferramenta numérica que permite estudar a formação e propagação de fraturas geradas hidraulicamente. A fratura é modelada por meio da técnica de fragmentação de malha (TFM), a qual insere elementos finitos sólidos de elevada razão de aspecto (elementos de interface) entre os elementos da malha original. O comportamento não linear dos elementos de interface é descrito por um modelo de dano que representa o processo de degradação do material até a formação da fratura. O comportamento do fluido é descrito pela Lei de Darcy. Foram realizadas simulações para verificar a influência da permeabilidade da rocha e a para a determinação da pressão de ruptura. Os resultados mostraram que para altas permeabilidades não ocorre fratura em função da perda de líquido para o meio. A pressão de ruptura obtida apresentou concordância com a expressão analítica. A TFM mostrou-se capaz de reproduzir adequadamente o fenômeno de fraturamento.

INTRODUÇÃO

O processo de fraturamento hidráulico ganhou destaque nos últimos anos, sobretudo por sua aplicação em reservatórios de gás de folhelho nos Estados Unidos. O processo consiste em injetar continuamente um fluido específico em um poço de modo que, ao longo do tempo, a pressão interna do poço alcance um valor suficientemente alto para fraturar a rocha que o circunda. Muitos trabalhos vêm sendo publicados com o intuito de reproduzir o fenômeno de fraturamento hidráulico e proporcionar melhor compreensão do mesmo.

Shimizu et al. (2011) avaliaram a influência da viscosidade do fluido de fraturamento realizando diversas simulações. Utilizando o Método dos Elementos Distintos, os autores obtiveram padrões de fissuras muito próximos daqueles obtidos experimentalmente. Além disso, verificaram que quando um fluido possui uma baixa viscosidade, ele penetra imediatamente na fratura, mas quando é utilizado um fluido de alta viscosidade, o mesmo penetra lentamente no meio e apenas após o crescimento da fratura.

Manzoli et al. (2014) realizaram simulações utilizando o Método dos Elementos Finitos aliado à Técnica de Fragmentação da Malha, a qual consiste em inserir elementos finitos com alta razão de aspecto entre elementos da malha original, para representar a formação e propagação de fissuras em materiais estruturais. Os resultados obtidos pelos autores mostraram-se similares a resultados experimentais, indicando assim que a técnica representa adequadamente o processo de fissuração.

O objetivo deste trabalho consiste em utilizar a técnica de fragmentação da malha aliada a um modelo de acoplamento hidromecânico para reproduzir o fenômeno de fraturamento hidráulico em rochas de baixa permeabilidade.

ELEMENTO FINITO SÓLIDO COM ALTA RAZÃO DE ASPECTO

Considere um elemento triangular linear com base b definida pela distância entre os nós 2 e 3 e altura h definida pela distância entre o nó 1 e sua projeção na base, assim como mostra a Fig. 1.

Fig. 1: Elemento finito sólido de interface.

Considere também que x₁, x₂ e x₃ (Fig. 1) são as coordenadas cartesianas dos nós 1, 2 e 3, respectivamente, e 0£ £a 1é um fator multiplicador.

A pressão no elemento de interface pode ser dada por:

{

}

ˆ T

P=N P P P (1)

onde N é a matriz das funções de forma e P₁, P₂ e P₃ são pressões nos nós 1, 2 e 3, respectivamente. A área do elemento é dada por:

2

bh

A= (2)

Realizando adequadamente o desenvolvimento matemático, determina-se que o gradiente de pressão no elemento é dado por:

(

)

1 1

ˆ

T

P P P P

h b

ì ü

ï ï

Ñ =í - ý

ï ï

î þ (3)

Sendo assim, o fluxo no elemento de interface é dado por:

3 2

ˆ

0

ˆ _{0 0}

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0 0

0

k

P P

k k k

P P P

P b h k k m m m é ù ê ú ê ú é ù ì_ï - ü_ï ì_ï ü_ï ê ú ê ú = - Ñ = -_{ê ú}Ñ = - _{ê ú}Ñ = - í ý- í ý ï ï ï ï î þ î þ ë û ê ú ê ú ë û k q (4)

onde kˆ é a permeabilidade intrínseca do material do elemento de interface e compõe k , que é o tensor deˆ

segunda ordem de permeabilidade intrínseca, e mé a viscosidade dinâmica do fluido.

Note que há duas parcelas que definem o fluxo: a primeira depende da base b e a segunda da altura h. Quando a altura h® 0, o fluxo no elemento de interface permanece limitado, pois P ® 0, significando que a pressão

no nó 1 e em sua projeção na base (1’)tendem ao mesmo valor. Isso impede que o fluxo no elemento assuma valores absurdamente elevados com a diminuição de h, mantendo assim uma coerência física adequada ao problema.

EQUAÇÕES GOVERNANTES DO PROBLEMA

Considerando-se o Princípio das Tensões Efetivas de Terzaghi, a tensão total é dada por:

P

= +

σ σ I (5)

onde σ é o tensor de tensões efetivas de Terzaghi, P é a poropressão e I é o tensor unitário de segunda ordem. O tensor σ, por sua vez, é escrito em termos de uma relação constitutiva dada por

å

( )

( )

=

å

σ ε (6)

onde ε é o tensor de deformações. Para os elementos regulares da malha, a relação constitutiva apresenta comportamento linear e para os elementos de interface, seu comportamento é não linear, isto é, a relação constitutiva é regida pelo modelo de dano à tração adotado neste trabalho. Para os elementos de interface, ε pode ser escrito em termos da base b e da altura h e pode ser encontrado em [2].

Para o problema hidráulico, considera-se que a equação de balanço de massa para a fase líquida é dada por:

0

( )

( ) 0

S

f t

f r _r

¶ _{+Ñ× + =}

¶ q (7)

O primeiro termo da Eq. (7) é chamado de termo de armazenamento, onde t é o tempo, f é a porosidade do

meio rochoso, S é o grau de saturação da rocha (neste trabalhou considerou-se a rocha completamente saturada por um único fluido, portanto, S=1) e r é a densidade do fluido, o qual é função da pressão. Assim, adotou-se uma variação exponencial da densidade, dada por:

0

( ) 0

P P eb

r ₌r - ₍₈₎

onde r₀, o qual também aparece no segundo termo da Eq. (10), é a densidade de referência do fluido para uma

determinada pressão de referência P₀ e b é o fator de compressibilidade isotérmica do fluido.

O segundo termo da Eq. (7) se refere ao transporte de fluido, onde q é o vetor de fluxo, dado pela Lei de Darcy. Esta lei permite descrever o fluxo laminar de um fluido newtoniano em um meio poroso, sendo dada por:

P

m = - Ñk

q (9)

onde k é o tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca do meio poroso e mé a viscosidade dinâmica

do fluido.

O terceiro termo da Eq. (7), f, corresponde ao termo de fonte ou sumidouro de massa de líquido.

MODELO DE DANO CONTÍNUO

O modelo de dano adotado para expressar a degradação sofrida pelo material é expresso de acordo com a seguinte equação:

( ) ( )

å

-σ ε C ε (10)

Critério de Dano à Tração

O critério de dano é baseado na componente do tensor de tensões que é normal à base b do elemento de interface (denotada por s_nn) e, portanto, capaz de descrever o processo de fratura em modo I. Assim, o critério de dano é escrito como:

(

)

q= s - £ (11)

onde q é uma variável interna do tipo tensão. Detalhes para o modelo de dano utilizado neste trabalho podem ser encontrados em [2].

ACOPLAMENTO HIDROMECÂNICO

Neste trabalho utilizou-se o método de acoplamento explícito ([3], [4] e [5]). Neste caso considera-se uma interação fraca entre o modelo mecânico e o modelo hidráulico, pois mudanças no campo de pressão provocam deformações no maciço rochoso, mas variações no estado de tensão não afetam a pressão nos poros da rocha. Em reservatórios de gás, o acoplamento explícito pode ser usado sem problemas significantes, pois a compressibilidade do gás ultrapassa a compressibilidade da rocha ([4] e [5]).

Modelo de Placas Paralelas

O modelo de placas paralelas ([6]) foi utilizado para relacionar a permeabilidade da fratura com sua respectiva abertura. Para tal, considera-se que as paredes da fratura podem ser representadas por duas placas paralelas de superfície plana, separadas por uma determinada distância (abertura). Assim, a permeabilidade da fratura, denotada por k , pode ser escrita em termos da abertura w ([7] e [8]) de acordo com a seguinte relação:_f

2

12

f

w

k = (12)

Devido ao fato do modelo de dano adotado se aplicar somente aos elementos de interface, apenas esses elementos estão susceptíveis à lei de placas paralelas. Assim, adotou-se a seguinte aproximação para a abertura:

nn

w»e h (13)

onde e_nn é a componente do tensor de deformações que é normal à base b do elemento de interface. Portanto,

quandoenn> Þ0 kˆ=kf.

TÉCNICA DE FRAGMENTAÇÃO DA MALHA

Primeiramente considera-se a região de interesse para análise do comportamento não linear do material. Assim, a técnica de fragmentação da malha consiste em reduzir o tamanho dos elementos finitos da malha original de modo a deixar um pequeno espaço entre elementos adjacentes. Em cada espaço acomoda-se um par de elementos de interface, os quais possuem elevada razão de aspecto, assim como mostrado na Fig. 2. As fraturas geradas ocorrem somente nos locais onde estão os elementos de interface e, consequentemente, contornando os elementos regulares.

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Todas as simulações apresentadas neste trabalho foram realizadas com elementos finitos triangulares lineares

e considerou-se m= ´1 10 MPa s-9 , b =4.5 10 MPa´ -4 -1, P₀ =0.1MPa, ₀ 1002.6kg₃ m

r = e

3 7m 1 10

s

Q= ´ - . Para

o “Caso 1”adotou-se a geometria e condições de contorno mostradas na Fig.3a e para o “Caso 2” adotou-se a geometria e condições de contorno mostradas na Fig. 3b. Note que Pc, Pc₁, Pc₂ e Pc₃ são poropressões.

Fig. 3: Condições de contorno mecânicas e hidráulicas para o (a) Caso 1 e (b) Caso 2.

A malha de elementos finitos utilizada está apresentada na Fig. 4. Os materiais de cores rosa e cinza são regiões não fragmentados e representam a rocha e o poço, respectivamente. A faixa central de cor azul também representa a rocha, porém foi fragmentada e possui elementos de interface.

Fig. 4: Malha utilizada. (a) A faixa em azul representa a região fragmentada e o quadrado em vermelho destaca as proximidades do poço. (b) O material cinza representa o poço e o quadrado em vermelho destaca um exemplo

de local em que há elementos de interface. (c) Os elementos de interface estão representados em ciano.

Caso 1: Variação de Permeabilidade

mecânicas e hidráulicas dos elementos regulares e dos elementos de interface utilizados para representarem a rocha.

Tabela 1: Propriedades dos elementos regulares

Propriedades

mecânicas Propriedades hidráulicas

Módulo

de Young 32GPa

Permeabilidade intrínseca

16 2 17 2 18 2 19 2

1 1 10 m / 2 1 10 m / 3 1 10 m / 4 1 10 m

k = ´ - k = ´ - k = ´ - k = ´

-Coeficiente

de Poisson 0.2 Porosidade f =0.1

Tabela 2: Propriedades dos elementos de interface

Propriedades

mecânicas Propriedades hidráulicas

Módulo

de Young 32GPa

Permeabilidade intrínseca

16 2 17 2 18 2 19 2

1 1 10 m / 2 1 10 m / 3 1 10 m / 4 1 10 m

k = ´ - k = ´ - k = ´ - k = ´

-Coeficiente

de Poisson 0.0 Porosidade f =0.1

Resistência

à tração 2.8MPa

Energia

de fratura 98N/m

A Fig. 5a apresenta a curva de pressão no poço em função do tempo de injeção de fluido para as quatro situações consideradas. Note que quanto maior a permeabilidade do meio, maior o tempo necessário para que ocorra a fratura. Além disso, é possível perceber que quando a permeabilidade é relativamente alta, não ocorre fratura. Isso acontece porque uma quantidade considerável de líquido penetra na rocha, evitando que a pressão no poço aumente a ponto de fraturá-la. A Fig. 6 apresenta a distribuição da pressão na rocha considerando a

situação de 16 2

1 1 10 m

k = ´ - . Note que para este caso não há fratura, pois a permeabilidade é relativamente alta.

Para permeabilidades baixas, a pressão no poço alcança um determinado limite e então decai bruscamente. Este comportamento é característico de quando ocorre a fratura, pois aumenta-se rapidamente a região na qual o líquido pode penetrar e, consequentemente, a pressão no poço diminui. A Fig. 7 apresenta a distribuição da

pressão na rocha considerando a situação de 18 2

3 1 10 m

k = ´ - . Note que a pressão na borda do poço aumenta com

o tempo, mas após o surgimento da fratura, esta pressão decai. Note também que a fratura propaga-se horizontalmente. Esta característica é condizente com a teoria proposta por [9], a qual determina que a propagação da fratura ocorre na direção perpendicular à menor tensão principal.

Fig. 6: Distribuição da pressão considerando 16 2

1 1 10 m

Fig. 7: Distribuição de pressão considerando 18 2 3 1 10 m

k = ´ - (deformação ampliada 400 vezes).

Caso 2: Pressão de Ruptura

Com o objetivo de verificar a pressão de ruptura foram simuladas 3 situações com diferentes poro-pressões, as

quais foram Pc₁=0, Pc₂ =5.0MPa e Pc₃ =10.0MPa. A geometria e condições de contorno estão

apresentadas na Fig. 3b, a malha está apresentada na Fig. 4 e as propriedades dos elementos regulares e de interface estão descritas nas Tabelas 1 e 2, respectivamente, sendo que, para a permeabilidade intrínseca, foi

adotada apenas a situação de 19 2

4 1 10 m k = ´ - .

A pressão de ruptura possui expressão analítica e pode ser encontrada em [10]. As curvas de pressão no poço por tempo de injeção de fluido são apresentadas na Fig. 5b. Nota-se que Pb₁, Pb₂ e Pb₃ correspondem às pressões de ruptura obtidas analiticamente para as três situações simuladas.

A Tabela 3 apresenta os valores de pressão de ruptura determinados analiticamente e os determinados a partir das simulações efetuadas. As pressões de ruptura numéricas correspondem ao maior valor numérico de pressão de cada curva. Nota-se uma boa concordância entre os valores analíticos e numéricos para a pressão de ruptura, tendo em vista que o maior erro percentual foi de 2.6%.

Fig. 5: Curvas de pressão no poço ao longo do tempo de injeção de fluido. (a) Caso 1: comparação entre permeabilidades distintas. (b) Caso 2: comparação entre pressões de ruptura analíticas e numéricas considerando

Tabela 3: Pressões de ruptura para os três casos considerados

Pressão de ruptura

Poropressão (MPa) Analítica (MPa) Numérica (MPa) Erro (%)

1 0.0

Pc = Pb1 =27.8 28.2 1.4

2 5.0

Pc = Pb₂ =22.8 23.4 2.6

3 10.0

Pc = Pb3 =17.8 18.1 1.7

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A técnica de fragmentação da malha utilizando elementos finitos com alta razão de aspecto mostrou-se adequada à predição de fraturas geradas hidraulicamente. Assim como predito teoricamente, a propagação da fratura ocorre na direção perpendicular à menor tensão principal.

Foi possível verificar que para rochas com altas permeabilidades, a perda de fluidos também é alta e isso impede a formação da fratura, pois não se consegue atingir a pressão mínima para a ruptura da rocha.

Para os casos em que ocorre fratura é possível determinar a pressão de ruptura. O modelo e a técnica propostos neste trabalho conseguiram capturar satisfatoriamente a pressão de ruptura, mostrando-se, portanto, em acordo com resultados analíticos.

UNIDADES E NOMENCLATURA

b Base do elemento de interface (m)

h Altura do elemento de interface (m)

1

x , x₂, x₃ Coordenadas cartesianas dos nós do elemento de interface (m)

a Fator multiplicador [0,1] (adimensional)

ˆ

P Pressão no elemento de interface (Pa)

N Matriz das funções de forma (adimensional)

{ }

· Transposto de

{ }

{ }

1

P, P₂, P₃ Pressão nos nós do elemento de interface (Pa)

A Área do elemento de interface (m²)

Ñ Operador diferencial vetorial 1

m æ ö ç ÷ ç ÷ è ø

1'

P Pressão na projeção do nó 1 na base do elemento de interface (Pa)

q Vetor de fluxo no elemento de interface m

s æ ö ç ÷ ç ÷ è ø

ˆ

k Tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca do elemento de interface (m²)

m Viscosidade dinâmica do fluido (Pa s)

k Razão entre permeabilidade intrínseca e viscosidade dinâmica

2 m Pa s

æ ö

ç ÷

ç ÷

è ø

k , k₁, k₂,

3

k , k₄ Permeabilidade intrínseca (m²)

f

k Permeabilidade da fratura (m²)

w Abertura da fratura (m)

nn

e Componente do tensor de deformações normal à base b do elemento de interface (adimensional)

σ Tensor de segunda ordem de tensões efetivas de Terzaghi (Pa)

d Variável de dano escalar (adimensional)

C Tensor constitutivo elástico de quarta ordem (Pa)

ε Tensor de deformações elásticas de segunda ordem (adimensional)

q Critério de dano à tração (Pa)

nn

q Variável interna do tipo tensão (Pa)

σ Tensor de segunda ordem de tensões totais (Pa)

I Tensor unitário de segunda ordem (adimensional)

P Poropressão (Pa)

( )

å

t Tempo s

f Porosidade (%)

S Grau de saturação da rocha (%)

r Densidade do fluido kg₃

m æ ö ç ÷ ç ÷ è ø 0

r Densidade de referência do fluido

3 kg m æ ö ç ÷ ç ÷ è ø

q Vetor de fluxo de fluido m

s æ ö ç ÷ ç ÷ è ø

f Fonte ou sumidouro de massa de líquido kg₂

m s

æ ö

ç ÷

ç ÷

è ø

b Fator de compressibilidade isotérmica do fluido (_{Pa )}-1

0

P Pressão de referência do fluido (Pa)

k Tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca do meio poroso (m²)

Q Vazão de entrada de fluido

3 m s æ ö ç ÷ ç ÷ è ø

Pc, Pc₁,

2

Pc , Pc₃ Poropressão aplicada como condição de contorno (Pa)

1

Pb, Pb₂,

3

Pb Pressão de ruptura analítica (Pa)

REFERÊNCIAS

[1] Shimizu, H., Murata, S., and Ishida, T. (2011). The distinct element analysis for hydraulic fracturing in hard rock considering fluid viscosity and particle size distribution. International Journal of Rock

Mechanics and Mining Sciences, 48(5), 712-727.

[2] Manzoli, O., Maedo, M., Rodrigues, E., and Bittencourt, T. (2014). Modeling of multiple cracks in reinforced concrete members using solid finite elements with high aspect ratio. Computational Modelling

of Concrete Structures, page 383.

[3] Settari, A., and Walters, D. A. (2001). Advances in coupled geomechanical and reservoir modeling with applications to reservoir compaction. Spe Journal, 6(03), 334-342.

[4] Naveira, V. P. (2008). Incorporação dos Efeitos Geomecânicos de Compactação e Subsidência na

Simulação de Reservatórios de Petróleo.Master’s thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

[5] Yaquetto, N. P. R. (2011). Avaliação de esquemas de acoplamento na simulação de reservatórios de

petróleo. Master's thesis, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

[6] Snow, D. T. (1965). A parallel plate model of fractured permeable media. PhD thesis, University of California.

[7] Witherspoon, P., Wang, J., Iwai, K., and Gale, J. (1980). Validity of cubic law for fluid flow in a deformable rock fracture. Water resources research, 16(6):1016 1024.

[8] Marin, I. S. P. (2011). Aperfeiçoamento do Método de Elementos Analíticos para Simulação de

Escoamento em Rochas Porosas Fraturadas. PhD thesis, Escola de Engenharia de São Carlos.

[9] Hubbert, M. K., and Willis, D. G. (1957). Mechanics of hydraulic fracturing. Petroleum Transactions

AIME, 210:153-168.