UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADEMICO SUBPROGRAMA DISEÑO ACADÉMICO AREA DE MATEMÁTICA

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

VICERRECTORADO ACADEMICO

SUBPROGRAMA DISEÑO ACADÉMICO

AREA DE MATEMÁTICA

PLAN DE CURSO

-I. Identificación

Nombre

Análisis I

Código 762

U.C: 5

Carrera

Matemática

Código 126

Semestre

V

Prelaciones: Cálculo Vectorial(758)

Requisito:

Ninguno

Autor:

Luis Rivas

Colaborador: José Gascón

Asesoría en

Diseño Académico: Wendy Guzmán

Nivel Central

(2)

II. FUNDAMENTACIÓN

El Análisis Matemático ocupa un lugar central y prominente en el conjunto de las disciplinas

matemáticas. Sus raíces son ya visibles en la antigua Grecia con la aparición de los irracionales en las

doctrinas pitagóricas y el método de exhaución para aproximar el área de un círculo.

La eclosión de ideas revolucionarias y modernas que en la búsqueda de soluciones a viejos y

nuevos problemas, así como el esfuerzo en la fundamentación rigurosa de las ideas y métodos

matemáticos que en los siglos XVIII y XIX transformaron el álgebra, la geometría y la aritmética, tuvo

en el análisis uno de sus epicentros más activos. La definición precisa del concepto de número

irracional y con él la precisión rigurosa de conceptos nodales del Cálculo, tales como el límite,

continuidad e integración, dejaron atrás dos mil años de indefiniciones en el quehacer matemático.

La importancia de un cabal y satisfactorio conocimiento de los principios del análisis para un

matemático moderno, radica no sólo en el cuerpo doctrinal en sí, dotado de una belleza y riqueza

extraordinarias, sino también en la metodología de trabajo y la forma de razonar del analista. Con

respecto a lo primero, digamos que el análisis conduce de manera natural, ya sea por medio de

generalizaciones o aplicaciones, a muy diversos campos como Teoría de la medida, análisis funcional,

ecuaciones diferenciales y varios otros. Con respecto al segundo aspecto, lo que distingue al analista es

el rigor y la claridad en el razonamiento. En este sentido, se aspira que el estudio del análisis estimule

en el sujeto el desarrollo de estas cualidades deseables e imprescindibles en todo matemático que se

precie de tal.

(3)

conceptos y los reconsidera desde una perspectiva teórica superior y por otra parte, es punto de partida

para el estudio de campos más avanzados.

El carácter del curso es teórico-práctico, con predominio del aspecto teórico, en el sentido siguiente:

cuando estudiamos la integral de Riemann, por ejemplo, no enfatizamos en los aspectos prácticos de

los métodos de integración y cálculo de áreas, pues se considera que estas técnicas ya el estudiante las

practicó suficientemente en los cursos previos de Cálculo. En su lugar, nos interesa que el participante

logre una comprensión profunda de la teoría de integración según Riemann, que comprenda y analice

como esta teoría se fundamenta en las propiedades de los números reales, que comprenda y demuestre

los principales teoremas vinculados a ella, que sepa distinguir funciones integrables según Riemann y

compare esta integral con otras. Como tratamos de hacer ver, este será el enfoque predominante en

todos los temas tratados, el cual como ya hemos dicho, es la esencia de la metodología de trabajo

predominante en análisis matemático. A todo lo largo del curso se destacarán los aspectos teórico-

conceptuales por encima de lo algorítmico-computacional. Se busca más bien el análisis y la

comprensión conceptual de las ideas. Esto requiere del participante un estudio y análisis concienzudo

de cada noción, definición y teorema; la comprensión de las demostraciones y condiciones de validez

de los mismos; valorar la importancia de aquellos conceptos esenciales para la teoría y, por supuesto,

ejercitarse tanto en la resolución de problemas como en la construcción de discursos y demostraciones

que reflejen su dominio del tema.

Más concretamente, este curso puede ser concebido como una introducción al análisis real en una

variable. En líneas generales contiene un estudio de convergencia, límites y continuidad de funciones

de variable real, basada en una comprensión rigurosa del sistema de los números reales. El diseño del

curso parte de la convicción inicial de que no es posible una comprensión adecuada de estas ideas sin

un conocimiento a fondo del sistema de los números reales y sus subconjuntos más importantes, como

son los naturales, los racionales y los intervalos continuos. Inicialmente se analizan los procesos de

carácter numerable, los cuales son conceptual y psicológicamente anteriores a los procesos continuos.

Los números reales son introducidos de manera directa, en forma axiomática, analizando la estructura

de cuerpo y las propiedades de orden; haciendo un énfasis muy especial al axioma del supremo.

(4)

numéricas.

En la

UNIDAD DOS se estudia la estructura topológica de los números reales y se introducen los

espacios métricos, como un modo de ir generalizando y ampliando los conceptos. Se estudian las

nociones de compacidad y conexidad. Estos conceptos son igualmente estudiados en plano y espacios

euclideos.

En la

UNIDAD TRES se aborda el corazón del curso con el estudio de límites y continuidad sobre

conjuntos compactos y conexos. Aparece aquí el importante concepto de continuidad uniforme.

La UNIDAD CUATRO aborda la teoría de integración y las sucesiones y series de funciones, con los

importantes problemas de la convergencia uniforme. Estos conceptos se aplican luego al estudio de las

series de potencias y series de Taylor.

Con respecto al material instruccional, seguiremos básicamente el esquema planteado en el excelente

libro:

Introducción al análisis matemático de una variable

, de Bartle-Sherbert, editorial Limusa-

Wiley. No obstante el tema no se agota aquí, por lo cual recomendaremos como textos de consulta y

apoyo algunos otros buenos y excelente libros que incluiremos al final. Igualmente importante para

guiar su estudio es el plan de curso, que le permitirá al participante organizar su aprendizaje y tener una

especie de carta de navegación hacia el logro de los objetivos de aprendizaje. Así mismo, se pondrá a

su disposición una guía instruccional que le ayudará a interactuar más eficazmente con el texto base y

los libros de consulta.

Unas palabras acerca de la evaluación del curso. De lo anteriormente dicho acerca del carácter del

curso se desprende de manera natural que la evaluación formativa es fundamental para el logro de los

objetivos. Captar el espíritu y la metodología de trabajo en análisis requiere la formación de actitudes y

valores relacionados con el rigor en el pensar y razonar, la corrección en el discurso matemático, el

cual ha de procurarse sea impecable, muy razonado y ¿por qué no?, elegante y limpio. La evaluación

sumativa procurará ver estos rasgos en la ejecución del participante. Ella se expresará en pruebas tipo

desarrollo y trabajos escritos sobre temas y/o problemas de cierto interés teórico.

(5)

III. PLAN DE EVALUACION

ASIGNATURA: Análisis I

COD: 762 CRÉDITOS: - LAPSO: 2009-1 Semestre V CARRERA: MATEMÁTICA

Responsables: Luis Rivas-José Gascón

Horario de atención: Teléfono: 02125552315—02812651713. Correo electrónico: [email protected]

[email protected]

MOMENTO MODALIDAD CONTENIDO Primera tarea Teórico- Práct. Obj.: 1 Primera Parcial Desarrollo Objs.: 2,3 Segunda Parcial Desarrollo Objs.: 4, 6

Segunda tarea Teórico-Práct. Objs.: 5, 7 Tercera Parcial Desarrollo Objs: 8,9,10

Integral Desarrollo Objs:2,3,4,6,8, _{9 y10}

M U O OBJETIVOS

1 1

1

Aplicar los conceptos básicos de la teoría intuitiva de conjuntos, operaciones sobre conjuntos y familias indexadas, relaciones, funciones y las nociones de cardinales numerables y no numerables.

2

Aplicar las propiedades fundamentales del sistema de los números naturales, racionales, reales y en particular la propiedad del supremo.

3

Analizar los principios básicos de sucesiones de números reales, convergencia y divergencia, sucesiones acotadas y monótonas, sub-sucesiones y sucesiones de Cauchy.

4 Analizar las propiedades topológicas básicas de la recta real y del espacio euclideo Rn

(6)

M U O OBJETIVOS

1 1

6

Aplicar los conceptos de límite, continuidad y continuidad uniforme de funciones sobre espacios métricos conexos y compactos en la obtención de importantes teoremas sobre funciones continuas en R.

7 Aplicar los conceptos asociados a las discontinuidades, oscilaciones, continuidad de la inversa, homeomorfismos,

funciones de Lipschitz y teoremas de aproximación de Weierstrass y Berstein

8 Analizar la definición, propiedades, existencia de la integral de Riemann y su relación con el concepto de derivación.

9

Analizar los conceptos de convergencia y convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones y su relación con la continuidad, derivación e integración.

10 Aplicar los conceptos de serie de potencias, radio de convergencia, series de Taylor y McLaurin en la aproximación

de funciones y en la resolución de diversos problemas

Objetivo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Peso 1 3 1 2 2 3 2 3 2 1

Peso máximo: 20 puntos.

Criterio de dominio académico: Acumulado≥ 15 puntos.

TAREAS: Los objetivos 1, 5 y 7 serán evaluados mediante trabajos que anexamos al final del plan de curso con su correspondiente instructivo.

Peso

acumulado Calificación 1 a 3 1 4 a 6 2 7 a 9 3 10 a 12 4 13 a 14 5 15 a 16 6

17 7

18 8

19 9

(7)

IV: DISEÑO DE LA INSTRUICCIÓN DEL CURSO

Objetivo Contenido

1. Aplicar los conceptos básicos de la teoría intuitiva de conjuntos, operaciones sobre conjuntos y familias indexadas, relaciones, funciones y las

nociones de cardinales

numerables y no numerables

Presentación:

Los temas aquí tratados constituyen una introducción a la teoría de conjuntos y cardinales de Georg Cantor. Se pretende que usted alcance una comprensión suficiente de los conceptos asociados a cardinales de conjuntos de números reales, tanto finitos como infinitos. Como producto final, deberá usted alcanzar un dominio suficiente del infinito matemático, de conjuntos infinitos numerables y no numerables, y los graves problemas asociados al continuo.

Los conceptos y teoremas fundamentales a tratar son, entre otros, el cardinal numerable, el cardinal del continuo, el Teorema de Schroeder-Berstein, el Método Diagonal de Cantor y el Teorema de Cantor.

Como requisitos previos deberá refrescar sus conocimientos de teoría intuitiva de conjuntos, relaciones de orden y de equivalencia y funciones.

Contenidos:

1.- Conjuntos: Álgebra de conjuntos, conjunto potencia, pares ordenados y producto cartesiano. Leyes de De Morgan, familias indexadas de conjuntos y operaciones generalizadas.

2.- Repaso de relaciones de equivalencia; particiones de conjuntos y clases de equivalencia.

3.- Funciones: Inyectiva, sobreyectiva y biyectivas. Composición y función inversa. Funciones numéricas y funciones de conjuntos. Función característica y funciones máximo y mínimo.

4.- Cardinales de conjuntos: Conjuntos finitos e infinitos. Equivalencia entre conjuntos: la noción de cardinal. Conjuntos numerables y no numerables. Método diagonal de Cantor. Teorema de Schroeder-Berstein. Conjunto de Cantor. Teorema de Cantor.

(8)

2. Aplicar las propiedades fundamentales del sistema de los números naturales, racionales y reales, en particular la propiedad del supremo.

Presentación:

El conocimiento de las principales ideas del análisis matemático se basa en una comprensión adecuada de los sistemas numéricos naturales, racionales y, muy especialmente, los reales. Por lo cual, este objetivo es clave en la estructura del curso y deberás prestarle toda la atención posible. Se espera que usted alcance un dominio y comprensión adecuados de cada sistema numérico. En los naturales, los principios de inducción y del buen orden. En los racionales, su estructura de cuerpo ordenado, denso, no completo. En los reales, además de las propiedades aritméticas y de orden, la completitud como característica fundamental. Es básica la comprensión del concepto de Supremo, sus propiedades y consecuencias. Procure establecer cuales son las propiedades distintivas de los números irracionales. Demuestre las principales desigualdades. Es muy importante comprender las expresiones de números reales en base decimal, binaria y ternaria, por lo menos, así como el conocimiento de sucesiones de intervalos encajados.

Contenidos

1.- Los números naturales: Principio de inducción y Principio del buen orden. 2.- Los números racionales.

3.- Los números reales. Axiomas de cuerpo y axiomas de orden. 4.- Desigualdades y valor absoluto.

5.- Conjuntos acotados. Supremos e ínfimos. Propiedades. 6.- Axioma del supremo. Consecuencias.

7.- Propiedad arquimediana de los números reales y otras consecuencias del axioma del supremo. Densidad de los racionales.

8.-Intervalos y decimales. Expansión decimal y binaria de un número real. 9.- Desigualdades notables: de Cauchy, del triángulo, de Bernoulli, Holder y Minkowski.

(9)

3. Analizar los principios básicos de sucesiones de

números reales,

convergencia y divergencia,

sucesiones acotadas y

monótonas, subsucesiones y sucesiones de Cauchy.

Presentación:

En este objetivo se analizan los conceptos asociados con sucesiones de números reales. El problema central es el de convergencia. Se aspira que usted sea capaz de determinar si una sucesión dada es convergente o divergente, y determinar su límite, cuando ello sea posible. Especialmente importante son las llamadas Sucesiones de Cauchy. Dos teoremas básicos a considerar son el Teorema de Bolzano-Weierstrass y el Teorema de Intervalos Encajados. En relación con las sucesiones de Cauchy se plantea desde otra perspectiva el tema de completitud de los reales.

Contenidos:

1.- Sucesiones, límites de sucesiones, teoremas sobre límites de sucesiones. Sucesiones definidas recursivamente.

2.- Sucesiones acotadas y sucesiones monótonas.

3.- Subsucesiones, límite superior e inferior de una sucesión; teorema de Bolzano-Weierstrass. 4.- Sucesiones de Cauchy. Completitud de R.

5.- Teorema de intervalos encajados. 6.- Sucesiones divergentes.

7.- Algunas sucesiones especiales: el número e, la constante de Euler, etc.

4. Analizar las propiedades topológicas básicas de la recta real y del espacio euclideo Rn

Presentacion:

Este objetivo trata de las propiedades topológicas básicas de la recta real y el espacio real n-dimensional. Se aspira que al término del mismo, usted alcance un dominio apropiado de los conceptos de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados, conjuntamente con las propiedades y teoremas más importantes relacionados con este tema. Nuevamente se estudia el conjunto de Cantor, como ejemplo de conjunto cerrado. Se comienza haciendo un estudio en la recta y luego se generalizan los resultados al espacio de n-dimensiones. De gran importancia es el teorema que caracteriza la estructura de los conjuntos abiertos en R así como también el Teorema de Bolzano-Weierstrass para conjuntos acotados infinitos. Finalmente se analizan los teoremas de recubrimiento de Heine-Borel y de encaje de Cantor.

Contenidos:

1.- Distancia y métricas en R y Rn: Métricas usuales, discretas y otras.

(10)

conjuntos abiertos.

3.- Estructura de los conjuntos abiertos en R.

4.- Puntos de acumulación y puntos límites, puntos adherentes. Derivado y clausura de un conjunto. Conjunto cerrado. Propiedades de los conjuntos cerrados. Propiedades de la clausura. Relación entre abiertos y cerrados. El conjunto de Cantor como ejemplo de conjunto cerrado.

5.- Teoremas de Bolzano-Weierstrass, de encaje de Cantor y de recubrimiento de Heine-Borel.

5. Aplicar las propiedades

de los espacios métricos conexos, completos y compactos en R y en Rn.

Presentacion:

En este objetivo se generalizan muchos de los conceptos vistos en el objetivo anterior a espacios más generales y se introducen nuevos conceptos topológicos de gran importancia. En primer lugar se define el concepto de Espacio Métrico y se dan ejemplos variados. Los conjuntos abiertos y cerrados se ven desde este nuevo enfoque. Conceptos fundamentales que se introducen son: Espacios Métricos Completos, Conexos y Compactos. Especialmente los espacios compactos son muy relevantes en relación con la continuidad. Los teoremas más relevantes son: Teorema de Intervalos encajados (generalizado), Teorema de Punto Fijo para Contracciones, Teoremas que proporcionan diferentes caracterizaciones de la compacidad, por ejemplo, con la propiedad de Heine-Borel, con la propiedad de intersección finita y compacidad secuencial.

Contenidos:

1.- Espacios métricos. Propiedades de una métrica. Métrica euclidea, métrica discreta. Otras métricas. Distancia entre un punto y un conjunto, distancias entre conjuntos.

2.- Espacios métricos completos. Definición y propiedades. Aplicación a R y Rn. Sucesiones de Cauchy. Generalización del teorema de intervalos anidados. Contracciones y teorema de punto fijo.

3.-.Conjuntos conexos. Conexos en R y Rn. Caracterización de los conjuntos conexos en R. Propiedades de

los conjuntos conexos.

4.- Compacidad. Compactos en R y Rn. Conjuntos acotados y totalmente acotados. Definición de compacidad

(11)

6. Aplicar los conceptos de

límite, continuidad y continuidad uniforme de funciones sobre espacios

métricos conexos y

compactos en la

obtención de

importantes teoremas

sobre funciones

continuas en R.

Presentacion:

En este objetivo se analizan los conceptos de límites y continuidad de funciones. Esto, a cierto nivel, ya ha sido visto por usted en cursos anteriores. La novedad aquí será el enfoque y la generalización a espacios métricos, el estudio de la continuidad sobre conjuntos abiertos y cerrados, la noción de continuidad global, así como también la introducción del importantísimo concepto de Continuidad Uniforme. Cuando el dominio de una función continua es un conjunto compacto o conexo, hay consecuencias que son de enorme importancia, las cuales serán analizadas. Algunos de los teoremas importantes son: Teorema de acotabilidad, del máximo-mínimo, del valor intermedio, de continuidad uniforme.

Contenidos:

1.- Límites de funciones en R. Distintos enfoques del concepto: Por entornos, vecindades, el esquema ε−δ,

imágenes inversas de bolas abiertas.

2.- Teoremas usuales sobre límites: Unicidad del límite, álgebra de límites, composición, teorema del sándwich, teorema de preservación del signo.

3.- Limites laterales, infinitos y al infinito. 4.- Límites de funciones monótonas y acotadas. Continuidad de funciones:

1.- Definición de continuidad por enfoques diversos: Por límites, entornos, vecindades, esquema ε−δ, etc.

2.- Teoremas de continuidad: Álgebra y composición de funciones continuas.

3.- Funciones continuas sobre intervalos: Tres teoremas claves: Teorema de acotabilidad, del máximo y del valor intermedio de Bolzano.

Límites y continuidad en espacios métricos:

1.- Reformulación de los anteriores conceptos en términos de distancia y métricas arbitrarias.

2.- Caracterización de la continuidad mediante: Sucesiones, bolas abiertas, imágenes inversas de abiertos. Continuidad global.

3.- Continuidad y conexidad. Resultados principales y su aplicación a R. 4.- Continuidad y compacidad. Resultados principales y su aplicación a R. Continuidad uniforme:

(12)

7. Aplicar los conceptos

asociados a las

discontinuidades, oscilaciones, continuidad de la inversa, homeomorfismos, funciones de

Lipschitz y teoremas de

aproximación de Weierstrass y Berstein

Presentacion:

En este objetivo se analizan varios conceptos asociados a la continuidad. En primer lugar se estudian las discontinuidades de una función. Los asuntos relacionados con la continuidad de funciones monótonas e inversas. Algunas funciones extrañas, como las de Dirichlet, así como la naturaleza del conjunto de discontinuidades de una función de variable real. El concepto de Homeomorfismo es brevemente analizado, así como también las oscilaciones, las funciones de Lipschitz y su relación con la continuidad. El objetivo concluye con un análisis de los polinomios de Berstein y los teoremas de aproximación de Weierstrass y de Berstein.

Contenidos:

1.- Tipos de discontinuidades de una función. 2.- Funciones monótonas, inversas y continuidad

3. Estudio del conjunto de discontinuidades de una función. 4.- Homeomorfismos.

5.- Oscilaciones de una función y continuidad. 6.-Funciones de Lipschitz y continuidad uniforme. 7.- Teoremas de aproximación de Weierstrass y Berstein.

8. Analizar la definición, propiedades, existencia de la integral de Riemann y su relación con el concepto de derivación

Presentacion:

En esta parte del curso se aborda el estudio de la Integral de Riemann. Al respecto, usted tiene ya experiencias y conocimientos adquiridos en los cursos de cálculo. Ahora de lo que se trata es de dar fundamento y rigor teóricos a todas esas técnicas ya vistas. La Integral de Riemann se construye sobre la base del sistema de los números reales y funciones reales, especialmente las propiedades del supremo e ínfimo. Se analizan propiedades de esta integral y se estudian condiciones de integrabilidad de funciones. Especialmente importante son los conjuntos de medida nula-el Conjunto de Cantor es uno de ellos- y el criterio de Lebesgue sobre integrabilidad de funciones continuas casi en todas partes. Se demuestran el Teorema Fundamental del Cálculo y los teoremas importantes sobre integración. Finalmente se da un esbozo de la definición de una integral como limite de sumas asociadas a una familia de particiones y se demuestra la equivalencia con la Integral de Riemann.

(13)

1.- Particiones de un intervalo, refinamiento de una partición, sumas superiores e inferiores. 2.- Integral superior, integral inferior e integral de Riemann.

3.- Funciones integrables y criterio de integrabilidad de Riemann. 4.- Integrabilidad de funciones monótonas, continuas.

5.- Conjuntos de medida cero e integrabilidad de funciones continuas casi en todas partes. Criterio de Lebesgue.

6.- Propiedades de la integral de Riemann.

7.- Teorema Fundamental del Cálculo, Teorema del Valor Medio para integrales, Teorema de Darboux 8.- La integral como límite de sumas.

9. Analizar los conceptos de convergencia y convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones y su relación con la continuidad, derivación e integración.

Presentación:

En este objetivo se analizan los conceptos relacionados con sucesiones y series de funciones. Usted tiene ya experiencias y conocimientos previos en sucesiones y series de números. Es conveniente su puesta al día. El problema clave vuelve a ser el de convergencia. Dos tipos de convergencia se analizan: la convergencia uniforme y la convergencia puntual. Se dan criterios de convergencia y se analizan las consecuencias que se derivan de la convergencia uniforme para la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad.

Contenidos:

1.- Convergencia puntual y convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones.

2.- Criterios varios para la convergencia uniforme de series de funciones: Criterios de Cauchy; M-test de Weierstrass; Teorema de Dini.

3.- Convergencia uniforme y continuidad.

(14)

10. Aplicar los conceptos de serie de potencias, radio de convergencia, series de Taylor y McLaurin en la aproximación de funciones y en la resolución de diversos problemas

Presentacion:

En este objetivo se estudia un tipo especial de series de funciones, a saber: Las series de potencias. Se estudia el asunto de la convergencia. Al respecto veremos que toda serie tiene asociado un intervalo y un radio de convergencia. El teorema de Cauchy-Hadamard proporciona la clave. La convergencia uniforme de una serie de potencia nuevamente es la clave para la derivación e integración término a término a fin de obtener nuevos desarrollos. La validez de las formulas obtenidas es asunto que requiere dilucidarse. Un caso muy especial lo constituyen las series de Taylor y de McLaurin. Ello conduce a un método para representar funciones por series de potencias. Como aplicación final se estudian desarrollos en serie de funciones trascendentes y trigonométricas, se derivan algunos desarrollos interesantes y se estudia la serie binómica.

Contenidos:

1.- Series de Potencias. Intervalo y radio de convergencia. Lema de Abel. Propiedades de la función suma. Derivación e integración de una serie de potencia.

2.- Series de Taylor y McLaurin. Residuos. Convergencia y representación de funciones por medio de series. Unicidad del desarrollo.

(15)

V. ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Y DE EVALUACION

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE

EVALUACIÓN

básicos de la teoría intuitiva de conjuntos,

operaciones sobre

conjuntos y familias

indexadas, relaciones,

funciones y las nociones de cardinales numerables y no numerables.

1. Lea el objetivo de aprendizaje número uno para que tenga una idea del

material a tratar.

2. Previo a los nuevos temas que se introducirán, deberás hacer un repaso de los conceptos relativos a conjuntos y operaciones entre ellos, especialmente uniones, intersecciones, complementos y

diferencia, familias indexadas de conjuntos, operaciones

generalizadas, conjunto potencia, conjunto vacío y conjunto universal; sub-conjuntos e igualdad de conjuntos. Leyes de De Morgan. Sea muy cuidadoso en el uso correcto y preciso de la notación y simbología utilizada. Ejercítese ampliamente en el uso de ellas, demostrando todas las fórmulas e identidades planteadas en los ejercicios. Para estos temas remítase a la lectura uno.

3. Igualmente repase los conceptos vistos en Álgebra I acerca de

relaciones de equivalencia, muy especialmente, clases de equivalencia, particiones y conjunto cociente. Aquí recomendamos la revisión del texto de Álgebra I en las partes respectivas.

4.- Repase los conceptos de funciones, inyectivas, sobreyectivas y biyectivas; función inversa y composición de funciones. Estudie funciones de conjuntos, especialmente la función característica. Ejercítese demostrando propiedades de esta función. Remítase a la lectura uno de su selección de lecturas. También recomendamos revisar el excelente texto Methods Of Real Analysis de Richard Goldberg, capítulo uno.

5.- A continuación estudie el concepto de cardinal de un conjunto, tanto en el caso finito como en el infinito. Procure alcanzar una comprensión absoluta del concepto de equivalencia contable o

Evaluación Formativa: La realización de los ejemplos, ejercicios y problemas del libro constituye la base para su auto-evaluación. En el libro de Bartle hay recomendaciones para una buena cantidad de problemas, también puede obtener orientacion con su asesor en relación a sus respuestas o dificultades en los problemas.

Evaluación Sumativa: El objetivo será evaluado mediante un trabajo teórico-practico, cuya fecha de entrega coincide con la

primera parcial. Revise las

(16)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

equipotencia entre conjuntos. ¿Cuándo dos conjuntos son equipotentes? ¿Qué significa afirmar que un conjunto tiene cardinal infinito? ¿Todos los cardinales infinitos son iguales? Analice el Teorema de Schröeder- Berstein. Estudie los conceptos de conjuntos numerables y no numerables, así como también, las operaciones generalizadas de uniones de conjuntos numerables. Estudie ejemplos de conjuntos numerables y no numerables: los racionales, los irracionales y los intervalos, los números trascendentes. Estudie el método diagonal de Cantor, así como también el conjunto de Cantor y el teorema de Cantor. Reflexione acerca de los problemas del continuo. ¿Qué es la hipótesis del continuo?

Para el estudio de estos temas le recomendamos:

1. Lectura uno: Preliminares, Capitulo uno del Texto Introducción al Análisis Matemático de una Variable de Bartle-Shebert.

2. Lectura dos: Capitulo dos del mismo texto.Solo la Sección 2.7. Conjuntos Infinitos.

3. Lectura tres: “La captación del Infinito.” Recopilación del texto:

Historia de las Matemáticas, de Richard Mankiewics.

Lectura cuatro: El Sistema de Números de las Matemáticas. Prestando especial atención a la sección cuatro, “El análisis matemático del infinito”. Recopilación del texto: ¿Qué son las matemáticas? de R. Courant y H. Robbins.

2. Aplicar las propiedades

fundamentales del sistema de los números naturales, racionales, reales y en

Lea el objetivo de aprendizaje numero dos para que tenga una idea de lo que se quiere alcanzar.

1.- En primer lugar estudie el conjunto de los números naturales, sus propiedades básicas entre ellas los principios de inducción y del buen

(17)

auto-OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

particular la propiedad del

supremo. orden. 2.- A continuación estudie las propiedades algebraicas y las propiedades

de orden de los números reales. Establecidas axiomáticamente, estas propiedades se resumen diciendo que R es un cuerpo ordenado. Debe establecer las nociones de intervalos, valor absoluto y las desigualdades del triángulo, Bernoulli, de Cauchy- Schwarz, de Minkowski. Igualmente, analice las nociones de proximidad, entorno o vecindad de números reales.

3.- En lo que sigue se estudiará la propiedad clave y distintiva de los números reales: El llamado Axioma de Completitud o del Supremo. Para llegar a comprenderlo deberá conocer previamente la idea de conjuntos acotados. Preste atención a las propiedades del supremo- la unicidad entre otras- y a sus consecuencias: Propiedad arquimediana, entre otras muchas. Convénzase que los racionales no tienen esta propiedad, reflexione sobre este hecho y extraiga las consecuencias necesarias. Es sumamente importante que alcance una comprensión lo más completa posible de estas nociones que son fundamentales. Le instamos a resolver los ejercicios propuestos y a discutir e intercambiar juicios con sus compañeros y asesor.

4.- Como consecuencia de las anteriores ideas se estudiará un teorema de intervalos anidados de números reales, así como también las expresiones decimales y binarias de los números racionales, su densidad, aproximación de números reales por medio de decimales.

5.- Finalmente le invitamos a que haga un resumen de todas las propiedades y caracterizaciones de los sistemas numéricos estudiados, que incluya las nociones de numerabilidad y cardinalidad.

Lecturas recomendadas:

evaluación. En el libro de Bartle hay recomendaciones para una buena cantidad de problemas, también puede obtener interacción con su asesor y el profesor encargado de la asignatura en relación a sus respuestas o dificultades en los problemas

Evaluación Sumativa: El objetivo será evaluado en la primera prueba parcial y en la prueba integral programadas para el lapso.

(18)

1. Lectura numero uno: Sección 1.3

2. Lectura numero dos: Los Números Reales. Capitulo dos del texto

de Bartle-Schebert.

3. Lectura numero cuatro: El Sistema de Números de las

Matemáticas. Del mencionado texto de Courant-Robbins Igualmente recomendamos como lecturas complementarias:

1. Del texto de Spivack: Distintas clases de números.

2. El capitulo uno del texto Análisis Matemático de T.M.Apostol, secciones 1.1 a la 1.20.

3. . Analizar los

principios básicos de sucesiones de números reales, convergencia y divergencia,

sucesiones acotadas y monótonas,

subsucesiones y

sucesiones de Cauchy.

Lea la presentación del objetivo para que tenga una idea inicial de lo que se quiere lograr.

1.- Con el material visto hasta ahora, usted está en condiciones de abordar un estudio riguroso de las sucesiones de números reales. Al respecto, deberá precisar el concepto de lo que es una sucesión y el problema de su convergencia. Estudie estos conceptos y analice las demostraciones de los teoremas sobre límites de sucesiones y sucesiones definidas recursivamente.

2.- A continuación estudie los conceptos de sucesiones acotadas, sucesiones monótonas y subsucesiones. Relacione estos conceptos con la convergencia o divergencia de las sucesiones. Analice y demuestre el importante teorema de Bolzano-Weierstrass.

3.- Un aspecto importante lo constituyen los conceptos de límites superior e inferior de una sucesión. Estos conceptos destacan su importancia para sucesiones cuya convergencia es desconocida.

4.- Un tipo de sucesiones especialmente importantes son las llamadas sucesiones de Cauchy. Este tipo de sucesiones tiene implicaciones muy útiles y variadas. Sugerimos un análisis concienzudo de su naturaleza y

Evaluación Formativa: La realización de los ejemplos, ejercicios y problemas del libro constituye la base para su auto-evaluación. En el libro de Bartle hay recomendaciones para una buena cantidad de problemas, también puede obtener interacción con su asesor y el profesor encargado de la asignatura en relación a sus respuestas o dificultades en los problemas

(19)

comportamiento. En relación con ella, se planteará nuevamente el problema de la completitud de los números reales. Medite bien acerca de la convergencia de ellas tanto en los racionales como en los reales. Analice la relación con el axioma del supremo. Como aplicación demuestre el teorema de intervalos encajados, usando sucesiones de Cauchy.

1. Lectura numero cinco: Capitulo III, del texto Introducción al Análisis Matemático de una Variable, de Bartle-Shebert.

2. Capitulo dos, secciones 2.9 y 2.10 del texto Methods Of Real Analysis de Richard Goldberg. Esta lectura es obligatoria.

.

4. Analizar las

propiedades

topológicas básicas de la recta real y del espacio euclideo Rn como espacios métricos.

Lea con detenimiento la formulación del objetivo para que tenga una idea de lo que se pretende alcanzar.

1.- En primer lugar se presentan los conceptos de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Estos conceptos se analizarán tanto en R, como en Rn. Algunos de los conceptos y definiciones claves son: punto interior y bolas abiertas, vecindades abiertas, conjuntos abiertos; puntos de acumulación y puntos límites, puntos aislados y conjuntos cerrados. Conjunto derivado e interior de un conjunto, adherencia de un conjunto. Preste mucha atención a las propiedades y distintas caracterizaciones de conjuntos abiertos y cerrados y las relaciones entre ellos. Un teorema sumamente importante trata de la estructura de los conjuntos abiertos en R. Estudie el conjunto K de Cantor y determine si es abierto o cerrado. El conjunto de Cantor es un objeto matemático bastante extraño, pero con propiedades muy interesantes, diversas y sorprendentes, que por si mismas representan un

(20)

excelente ejemplo y contra-ejemplo en diversas situaciones; por lo cual le recomendamos que lo estudie muy bien

2.- Estudie estos conceptos primeramente en la recta real y luego generalice tanto al espacio como al mismo R, incluso con otras distancias, en particular R con la métrica discreta.

3.- Finalmente, llamamos su atención a tres importantes teoremas que, con las herramientas aprendidas se pueden abordar: Teorema de Bolzano- Weierstrass, Teorema de intersección de Cantor y Teorema de Recubrimiento de Heine-Borel. Analice concienzudamente el significado, las demostraciones y las aplicaciones de estos teoremas.

4.- Recomendamos que haga un resumen con los principales resultados, los teoremas destacados y su importancia. Procure analizar su demostración y formulación en distintos contextos. Por supuesto, ejercítese abundantemente en el razonamiento y el discurso propio. Discuta e intercambie opinión con compañeros y asesores. Estos temas serán nuevamente destacados en el siguiente objetivo, generalizándolos a espacios abstractos.

1. Lectura seis: La topología de R, correspondiente al capitulo 10 del

texto de Bartle-Shebert. Solamente la sección 10.1 con sus respectivos ejercicios.

2. Lectura siete: Elementos de Topología en Conjuntos de Puntos, correspondiente al capitulo 3 del texto de Análisis Matemático de Apostol. Solamente hasta la sección 3.11, con sus respectivos ejercicios.

Evaluación Sumativa: El objetivo será evaluado en la

segunda prueba parcial de

desarrollo y en la prueba integral. .

(21)

5. Aplicar las

propiedades de los

espacios métricos

conexos, completos y compactos en R y Rn.

Lea la formulación y presentación del objetivo para que tenga una idea de lo que se quiere.

1.- En primer lugar, estudie el concepto de espacio métrico. Particularmente importantes son la métrica del valor absoluto en R, la métrica euclidea en Rn y la métrica discreta, la norma uniforme, entre otras. Demuestre si una función dada es o no una métrica. Analice los conceptos de vecindad, conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos.

2.- Estudie el concepto de Espacio Métrico Completo. Este estudio es en cierto modo una generalización de algunos conceptos vistos en el objetivo tres donde implícitamente se demostró que los números reales IR es un espacio completo. Analice las sucesiones de Cauchy en espacios métricos generales. Como aplicación, establezca la completitud de R con la métrica usual y la incompletitud de Q.

3.- Generalice el teorema de intervalos anidados. Estudie el concepto de contracciones y el teorema de punto fijo de Banach.

4.- Seguidamente, abordaremos el concepto de compacidad, el cual tiene gran trascendencia en análisis avanzado, en topología y está estrechamente vinculado a la continuidad. Se definirá en función de cubrimientos abiertos, por lo cual iniciaremos estudiando esta noción y algunos teoremas vinculados a ella. Posteriormente deberá analizar algunos importantes teoremas que caracterizan el concepto de compacidad tales como el Teorema de Heine-Borel y la idea de compacidad secuencial, así como también la propiedad de intersección finita.

5.- A continuación enfoque su atención en el concepto de conexidad. Analice la definición de conjunto conexo y la caracterización de los conjuntos conexos en R.

(22)

6.- Analice el conjunto de Cantor desde el punto de vista de la conexidad y la compacidad.

1. Lectura seis: Sección 10.4

2. Lectura siete: Secciones 3.14, 3.15 y 3.16.

3. Lectura ocho: Capitulo seis del texto de Goldberg.

Nota: Todo lo relativo a límites y continuidad en espacios métricos, contenido en las anteriores lecturas, será considerado en los dos próximos objetivos.

6. Aplicar los conceptos de límite, continuidad y continuidad uniforme de funciones sobre espacios

métricos conexos y

compactos en la obtención de importantes teoremas sobre funciones continuas en IR.

Lea la presentación del objetivo para que tenga una idea de lo que se quiere lograr.

1.- Como producto de sus estudios en cursos anteriores usted tiene un conocimiento básico de los conceptos de límite y continuidad de funciones reales de variable real. Estos conceptos serán traducidos al nuevo lenguaje y al nuevo contexto en el que venimos trabajando. En primer lugar, se reformulan estos conceptos en términos de entornos, vecindades y puntos de acumulación y se dan nuevas caracterizaciones. Preste atención a la nueva terminología y asimile la notación y enfoques diversos. Especialmente, estudie con detenimiento el criterio de límite de una función por medio de sucesiones. Estudie las demostraciones de los teoremas de límites y las ampliaciones del concepto: limites laterales y limites infinitos. Todo lo anterior deberá hacerlo en R.

2.- A continuación estudie el concepto de continuidad puntual en R. Se mantiene el mismo enfoque que en el caso de límites. Preste mucha atención al estudio de funciones continuas definidas sobre

segunda prueba parcial de

(23)

intervalos de números reales: Tres importantísimos teoremas se presentan aquí: Teorema de acotabilidad, Teorema del máximo-mínimo y teorema del valor intermedio de Bolzano. Estudie sus demostraciones y aplicaciones. Estos teoremas tienen una formulación general en espacios métricos. Preste suma atención a este hecho.

3.- El siguiente concepto tiene una importancia enorme especialmente en relación con sucesiones y series de funciones. Se trata de la Continuidad Uniforme. Contrástela con el concepto de continuidad simple hasta ahora visto por usted.

4.- El siguiente paso es la generalización de lo hasta aquí estudiado al contexto de espacios métricos generales. Un nuevo enfoque de la continuidad, de suma importancia, es tratado a continuación: la noción de continuidad global, que caracteriza la continuidad en término de pre-imágenes de conjuntos abierto y cerrados.

5.- A continuación deberás estudiar continuidad de funciones definidas en espacios métricos conexos y compactos. Desde esta perspectiva, muchos resultados que ya se han obtenido en R aparecen como casos particulares.

6.- Haga un resumen de las principales ideas discutidas y resuelva los ejercicios planteados en cada lectura.

1.-Lectura nueve: Capitulo cuatro del texto de Bartle-Shebert 2.- Lectura diez: Capitulo cinco del mismo texto.

(24)

4.- El capitulo cuatro del texto Análisis Matemático de Apostol.

asociados a las

discontinuidades,

oscilaciones, continuidad

de la inversa,

homeomorfismos,

funciones de Lipschitz y teoremas de aproximación de Weierstrass y Berstein.

Lea la formulación y presentación del objetivo para que tenga una idea de lo que se quiere lograr.

1.- En primer lugar, analice el tipo de discontinuidades de una función. Estas pueden ser de dos tipos: De primera y segunda especie. Estudie los problemas de discontinuidades de funciones tipo Dirichlet. Le sugerimos revisar el texto Principios de Análisis Matemático de Walter Rudin en las secciones 4.25 a la 4.31.

2.- Analice los conceptos de oscilaciones de una función y su relación con la continuidad.

3.- A continuación, revise el concepto de función monótona y analice la naturaleza de las discontinuidades de este tipo de función. Igualmente, la continuidad de funciones inversas.

.

4.- Para conocer y ampliar más acerca de la naturaleza topológica del conjunto de discontinuidades de una función de R en R, deberá estudiar la sección 5.6 del texto de Goldberg. Todos los resultados de esta sección son importantes, especialmente el teorema 5.6E.

5.- Estudie el concepto de Homeomorfismo. A continuación estudie los conceptos de Función de Lipschitz y destaque la relación de este concepto con la continuidad uniforme.

6.- Finalmente se estudiaran dos importantes teoremas de aproximación: De Berstein y de Weierstrass. Asociados con esto aparecen los polinomios de Berstein.

1.- Lectura diez: Capitulo cinco del texto de Bartle, sección 5.5. Preste especial atención a los teoremas 5.5.4 y 5.5.5.

(25)

2.- Lectura ocho: Capitulo seis del texto de Goldberg, secciones 6.7 y 6.9 inciso ii.

Igualmente recomendamos leer:

3.- Del texto de Goldberg, el capitulo 5, sección 5.6.

4.- Del texto de Rudin, el capitulo 4, secciones 4.25 a la 4.31. Analice con detenimiento los ejemplos planteados en la sección 4.27.

5- Del texto de Apostol, del capitulo cuatro, las secciones 4.22 y 4.23. En la sección de ejercicios correspondiente a este capitulo, le instamos a trabajar los ejercicios 4.16 y 4.17

8. Analizar la definición, propiedades, existencia de la integral de Riemann y su relación con el concepto de derivación

Lea la formulación del objetivo y su presentación, para que se forme una idea de lo que se quiere lograr.

(26)

teoría. Esmérese en lograr un dominio absoluto de este material, ya que lo que sigue depende de esto.

2.- A continuación, deberá estudiar las propiedades de la integral y el Teorema fundamental del cálculo, así como también el Teorema del valor medio para integrales. Deténgase lo suficiente en el significado y la demostración del teorema fundamental y sus aplicaciones.

3.- Continuamos con un enfoque ligeramente diferente para definir la integral: Las sumas de Riemann y la integral como un límite de tales sumas. Analícelo y compárelo con el anterior enfoque. Saque sus propias conclusiones. Preste atención al Teorema de Darboux.

4.- Finalmente estudiamos los teoremas de integración por partes y sustitución y hacemos una modesta generalización del concepto e introducimos las integrales impropias.

1.- Lectura once: Capitulo siete del texto de Bartle-Shebert.

Igualmente sugerimos la sección 7.26 del capitulo siete del texto de Apostol. Analice los ejercicios 7.26, 7.28, 7.29, 7.31 y 7.32.

9. Analizar los conceptos

de convergencia y

convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones y su relación

con la continuidad,

derivación e integración.

Lea la presentación del objetivo para que se forme una idea de lo que se quiere lograr.

1.- Antes de adentrarse en los temas sucesiones y series de funciones, conviene repasar las sucesiones y series de números reales. Particularmente, las series de números reales formaron parte de los contenidos del curso de Calculo Integral. Revise lo relativo a convergencia y criterios de convergencia de series.

2.- En primer lugar deberá estudiar el concepto de Sucesiones de Funciones. Dos conceptos destacan aquí, a los cuales deberá prestar suma atención: Convergencia Puntual y Convergencia Uniforme. Algunas de las interrogantes que surgen son las siguientes: ¿Cuáles de las propiedades

(27)

de las funciones de la sucesión se transfieren a la función límite? Es decir, si las funciones de la sucesión {fn} son continuas, la función límite, ¿Es

continua? Interrogantes parecidas se plantean en relación a la integrabilidad y diferenciabilidad. Las respuestas a estas preguntas deberán quedar muy claras para usted. Es importante estudiar los criterios de convergencia uniforme de Cauchy y de Dini. Preste atención a los procesos de intercambio de limites en la sucesión y en la función limite: En algunos casos se justifican y en otros no. Como aplicación le sugerimos ver el ejemplo de una curva que llena todo el espacio que aparece en el texto de Apostol, sección 9.7

3.- A continuación, estudie el concepto de Series de Funciones. Se plantea una discusión similar al de sucesiones. Analice los criterios de convergencia uniforme contenidos en los teoremas de Weierstrass- conocido como el Test – M de Weierstrass-, el teorema de Dini para series de funciones y el criterio de Cauchy.

4.- Un criterio útil cuando no es posible aplicar el test-M es el Criterio de Dirichlet. (Vea la sección 9.11, teorema 9.15 de texto de Apostol)

5.- Importantísimo es el estudio de series de funciones que pueden ser integradas y diferenciadas término a término, pues ello permite obtener nuevas formulas a partir de series conocidas

6.- Finalmente y como aplicación de lo anterior, le sugerimos el análisis de la construcción de una función continua que no es diferenciable en ningún punto. Tal tema lo encontrará en la sección 9.7 del Goldberg y en el capitulo 23 del Spivack.

.Lecturas recomendadas:

1.- Lectura doce: Texto de Bartle, capitulo ocho, secciones 8.1 y 8.2. Además, la sección 9.4, del capitulo 9.

2.- Lectura trece: Texto de Apostol, capitulo 9, sin las secciones 9.8, 9.12

dificultades en los problemas

tercera prueba parcial tipo

(28)

y 9.13.

10. Aplicar los conceptos de serie de potencias, radio de convergencia,

series de Taylor y

McLaurin en la

aproximación de

funciones y en la

resolución de diversos problemas

Lea el contenido y la presentación del objetivo para que tenga una idea inicial de lo que se quiere lograr.

1.- El material correspondiente a este objetivo contiene el estudio de un tipo muy especial de series de funciones, a saber, las series de potencias. Un ejemplo destacadísimo de las mismas son las Series de Taylor. Su importancia radica esencialmente en la posibilidad que tienen algunas funciones - trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas, entre otras- de poder ser representadas por una serie polinómica, cuyo manejo algebraico resulta mucho más fácil. En virtud de lo anterior sugerimos repasar los temas relativos a Polinomios de Taylor vistos en el objetivo 5 del curso matemáticas II, código 177; además, repasar lo estudiado acerca de series de funciones en el objetivo 9 de este curso

2.- Inicialmente centre su atención en el concepto de serie de potencia. Dos cuestiones básicas surgen: Primero, para una serie dada, hallar las propiedades de la función suma. Segundo, dada una función f decidir si posee un desarrollo en serie de potencias. ¿Este desarrollo es único? Toda serie tiene asociado un radio y un intervalo de convergencia; al respecto es importante que adquiera algún método para determinarlo. El Teorema de Cauchy-Hadamard lo proporciona.. Estudie estos asuntos tratando de determinar el intervalo de convergencia y procure hacer un análisis acerca del problema de la convergencia de la serie en dicho intervalo. Interróguese acerca del tipo de convergencia que se produce al interior del intervalo. Por lo tanto, extraiga sus conclusiones acerca de la posibilidad de diferenciar e integrar término a término una serie de potencia. Use esta

Evaluación Formativa: La realización de los ejemplos, ejercicios y problemas del libro constituye la base para su auto evaluación. En el libro de Bartle hay recomendaciones para una buena cantidad de problemas, también puede obtener interacción con su asesor y el profesor encargado de la asignatura en relación a sus respuestas o dificultades en los problemas

tercera prueba parcial tipo

(29)

posibilidad para obtener nuevas fórmulas, pero teniendo cuidado de precisar la validez de ellas en función de su convergencia y de la conformidad con la función a la cual se pretende representar.

3.- Un tipo muy especial y destacadísimo de series de potencias lo constituyen las Series de Taylor y de MacLaurin. En relación a ellas estudie sus propiedades, su convergencia, la formula con residuo y la cuestión de la representación de una función mediante una Serie de Taylor. ¿Toda función es desarrollable en Serie de Taylor? ¿Este desarrollo es único? ¿Es convergente la Serie de Taylor? ¿Representa en verdad la serie a la función? ¿Qué ocurre en los extremos del intervalo? Al respecto analice el Teorema del Límite de Abel.

4.- Algunos criterios de convergencia de series de potencias y series de Taylor son los siguientes: Teorema de Berstein, Teorema de Abel y Teorema de Tauber. Pueden verse estos teoremas en el texto de Apostol secciones 9.20, 9.22 y 9.23.

5.- Finalizamos con algunas aplicaciones. Primera: Obtener los desarrollos en serie de las funciones trigonométricas, sus inversas, exponenciales y ln(1+x). Usar estos desarrollos para realizar cálculos aproximados y para demostrar algunas propiedades y fórmulas importantes. Segundo: Obtener el desarrollo de la serie binómica. Tercero: Aplicaciones a la determinación de extremos relativos, funciones convexas y método de Newton. para estimar soluciones de ecuaciones. Al respecto, leer la sección 6.4 del texto de Bartle. Además la sección 9.21 del texto de Apostol.

(30)

2.- Lectura trece: Capitulo nueve del texto de Apostol, sección 9.18 en adelante.

Para una apropiada ejercitación practica de estos conceptos, recomendamos dos muy buenas lecturas acerca de este temas:

1.- Texto: Cálculo I de Larson-Hostetler-Edwards, Octava edición, secciones 9.8, 9.9 y 9.10.

(31)

VI. TAREA ANÁLISIS I

Objetivos a evaluar:

1

Aplicar los conceptos básicos de la teoría intuitiva de conjuntos, operaciones sobre conjuntos y familias indexadas, relaciones, funciones y las nociones de cardinales numerables y no numerables.

5 Aplicar las propiedades de los espacios métricos conexos, completos y compactos en R y Rn

7 Aplicar los conceptos asociados a las discontinuidades, oscilaciones, continuidad de la inversa, homeomorfismos, funciones de

Lipschitz y teoremas de aproximación de Weierstrass y Berstein

Introducción:

Uno de los objetivos planteados por los profesores que diseñaron el curso de Análisis I es que el estudiante profundice en ideas y conceptos del Análisis Matemático. Por eso hemos considerado evaluar parte del contenido por medio de asignaciones o tareas. La misma pretende evaluar los conceptos y resultados más teóricos, pero reconocemos, que todo el curso está lleno de ideas que el estudiante debe tratar de analizar. A continuación, damos las orientaciones generales y enunciados de los problemas y/o actividades que le proponemos al estudiante UNA.

Orientaciones generales:

1.- Momento de Entrega:

• La tarea uno, contentiva del objetivo número uno, será entregada al momento de presentar la primera parcial.

• _{La segunda tarea, contentiva de los objetivos cinco y siete, será entregada al momento de presentar la segunda parcial.}

• _{Estas tareas, de ser necesario y a juicio del asesor, le serán devueltas al estudiante con las observaciones pertinentes, para su}

corrección y entrega definitiva en la prueba integral.

• _{La primera entrega es obligatoria. El no hacerlo ocasiona de una vez la pérdida del objetivo.}

2.- Aspectos formales y de contenido:

• Debe identificar bien la portada con datos personales, datos académicos y de ubicación.

• _{El trabajo puede ser manuscrito o usando algún procesador. No obstante, procure una redacción clara, limpia, coherente y muy bien}

(32)

• _{El trabajo es absolutamente individual. Tenga claro, que nunca dos personas razonan ni escriben exactamente igual. Del mismo modo, las}

personas suelen coincidir en la verdad y diferenciarse en el error.

• _{Criterio de Correccion: Para cada objetivo se asignan diez problemas de carácter teorico-practico. Para considerar aprobado el objetivo,}

usted deberá resolver correctamente al menos ocho problemas.

α α

<

2

α

.

(33)

Obligatoria:

Apostol, T. (1997). Análisis Matemático. Barcelona: Reverté

Bartle, R., Sherbert, D. (2005). Introducción al Análisis Matemático de una Variable.

México: Limusa -Wiley.

Gascón, J., Rivas, L. (comp. 2008). Análisis I: Selección de Lecturas. Caracas: UNA.

Goldberg, R. (1964). Methods of Real Analysis. Massachusets:Blaisdell Publishing

Company.

Complementaria:

Kaplan, W (1980). Calculo Avanzado. México: Compañía Editorial Continental, S.A.,

México

Larson, R., Hoestler, R., Edwards, B.(2006). Cálculo I. México: McGraw-Hill

Lipschitz, S (1970). Topología General. Mexico: McGraw-Hill

Richard Courant- Herbert Robbins (2002). ¿Qué son las matemáticas? Fondo de Cultura Económica.

Richard Mankiewics (2000). Historia de las matemáticas. Editorial Paidos.

Rudin, W. (1966). Principios de Análisis Matemático. Madrid: Ediciones del Castillo

S.A.