Soluciones de Puntos, Rectas y Planos en el Espacio en PAU CyL
1.- a) Determinar la posición relativa de la recta 1
2 0
y x r
z x
y el plano x y 0. (1,5 puntos) (PAU junio 2011) b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a r. (1 punto)
Solución
a) Recta y plano son paralelos r . Nota: Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de r y se observa que es incompatible, es decir r y no tienen puntos comunes.
b) ' x y z 1 0 . Nota: Un vector normal al plano ', n, es el producto vectorial (1 , 1 , 1)
r
n v y el puntoA(0 , 1 , 0) por ser un punto de r.
2.-a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , 1 , 0) , está contenida en el plano x y 0 y corta a la recta s x y z. (1,5 puntos) (PAU junio 2011)
Solución
a)
0 x
r y
z
. Nota: Otro punto de r es el punto de corte de s con , que se obtiene resolviendo el
sistema formado por las ecuaciones de s y , es el O(0, 0, 0). Entonces (0, 0, 0)
(1 , 1 , 0) r
O r
r
v OA
.
3.- Sean la recta 1 0 x y r
m y z
y el plano x (m1)ym z m 1. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano según los valores de m. (2,5 puntos) (PAU septiembre 2011)
Solución Caso 1º: m
0 , 1 r y se cortan en un punto Caso 2º: m 0 r incluida en el plano (r) Nota: Se resuelve el sistema r . Caso 3º: m 1 r paralela al plano (r )
4.- b) Calcular el plano que contiene a las rectas 1 0 1 y
r
x z
y
3
2
1 0
x y
s z
. (1,5 puntos) (PAU septiembre 2011) Solución
b) 2x y 2z 1 0 . Nota: (1 , 1 , 0) ( 1 , 0 , 1) r
A r
r v
y
(0, 3 , 2) ( 1 , 0 , 1) s
B s
s v
r s , porque As.
Entonces
(1 , 1 , 0) 1 1
(1 , 2 , 2) 1 2 2 0
1 0 1
( 1 , 0 , 1) r
A x y z
BA v
5.- Se consideran la recta 0 4 x y a z r
a y z
con a, y el plano x y z 2 0.
a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a . (1 punto) (PAU junio 2010G) Solución
a) a 1 o a2 . Nota: Poniendo la condición de incompatibilidad para el sistema formado por las ecuaciones de r y . También puede resolverse planteando vr n vrn 0.
6.- Dados el punto P(1 , 1 , 1), la recta 6 3 4
y
r x z , y el plano 6x6z120, se pide: a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano . (1,5 puntos) (PAU junio 2010G)
Solución
a) P(3 , 1 , 1) . Nota: Se halla la recta
1 1 1 x
s y
z
que pasa por P y es perpendicular a , luego el punto M(2 , 1 , 0) de intersección de s y , y finalmente el punto simétrico P(3 , 1 , 1) poniendo la condición de que M es el punto medio del segmento PP.
7.- b) Probar que el punto P(1 , 1 , 2) pertenece al plano 12x3y4z 7, y calcular la recta
perpendicular a que pasa por P. (1 punto) (PAU septiembre 2010G) Solución
b) (1 , 1 , 2)P , porque sus coordenadas verifican la ecuación del plano 12 1 3 1 4 2 7 .
1 12 1 3 2 4 x
r y
z
. Nota:
1 12 (1 , 1 , 2)
(1 , 1 , 2)
1 3 (12 , 3, 4)
2 4 r
x
P r
P r
r r r y
v r
z
8.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 , 1 , 1)y corta perpendicularmente a la recta
2 1
2 2
x y
r z. (2,5 puntos) (PAU septiembre 2010G)
Solución
2 1 2 1 2 x
s y
z
. Nota:
Se halla el plano que pasa por y es perpendicular a 2 2 3 0. Luego el punto de intersección de con 4 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 y la recta que pasa por con vector de dirección r colineal con
P r x y z
Q r Q
P v PQ
( 2 / 3 , 4 / 3 , 4 / 3).
9.- Se consideran las rectas r y s dadas por las ecuaciones: 1
2 2
x y z r
x y z
,
2 1
3 2
x y z
s
a
(PAU junio 2010E)
a) Hallar el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares. (1,5 puntos)
b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0. (1 punto) Solución
a) a 2 . Nota: Se halla vr (0 , 1 , 1), como
0 (0, 1 , 1) (3, 2, ) 0 2
r s r s
v v v v a a .
b)
2 1 x
t y
z
. Nota: con 0 es (2 , 1 , 0) (2 , 1 , 0) (0 , 1 , 1)
t r
B t
B s z B t
v v
10.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1 , 0 , 1) , es perpendicular al plano
2 1 0
x y z
y es paralelo a la recta 0
2 0
z r
x y
. (2,5 puntos) (PAU septiembre 2010E) Solución
2x 4y 3z 5 0
. Nota: n y vr son paralelos al plano pedido ; además para P x y z( , , ) los vectores AP n, y vr son coplanarios.
Por tanto
(1 , 0 , 1) 1 0 1
(1 , 1 , 2) 1 1 2 0 2 4 3 5 0
2 1 0
(2 , 1 , 0) r
A x y z
n x y z
v
.
11.- a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A( 2 , 1 , 6) respecto de la recta
1 3 1
1 2 2
x y z
r . (2 puntos) (PAU septiembre 2010E) Solución
a) A(2 , 9 , 4) . Nota: Se halla el plano x 2y2z120 que pasa por P y es perpendicular a r, luego el punto M(0 , 5 , 1) de intersección de r y , y finalmente el punto simétrico A(2 , 9 ,4), poniendo la condición de que M es el punto medio del segmento AA.
12.- Sea r la recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3, 1 , 2) , y sea s la recta de ecuaciones
2 1
2 0
x z
s y
. Se pide: (PAU junio 2009)
a) Estudiar su posición relativa. (1,5 puntos)
Solución
a) Las rectas y son paralelas r s . Nota: Se comprueba que vr vs (2 , 0 , 1) y que As .
b) No hay punto de intersección . Nota: El sistema formado por las ecuaciones de r y s es incompatible. c) x 2y2z 3 0 . Nota:C(1 , 2 , 0)s y P x( , y z, ) se cumple AP AB AC, ,
coplanarios.
13.- Se consideran la recta 1 2
3 2
x y
r z , y el punto P(1 , 8 , 2) . (PAU septiembre 2009) a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r. (1 punto)
b) Hállese el plano que es paralelo a r, pasa por B(5, 1 , 0) y por el simétrico de P respecto de r. (2 puntos) Solución
a) (4, 4 ,1)A . Nota: Se obtiene A r A(1 3 , 2 2 , ) y se pone la condición AP v r 0. b) x 2y7z 7 0 . Nota: Se halla el punto simétrico P(7 , 0 , 0); tomando G x( , y , )z ,
la ecuación de se obtiene al poner la condición BG BP, y vr son vectores coplanarios en . 14.- Sea 0un número real, y las rectas de ecuaciones:
2
x z
r y
,
1 4 2 3 2 x
s y
z
(PAU septiembre 2009)
Para el valor para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene. (1 punto) Solución
3x 7y z 0
. Nota: Poniendo la condición de que vr y vsson colineales se halla 1; además O(0 , 0, 0)r y B(1 , 0 , 3)s; tomando P x( , y , )z , la ecuación de se obtiene al poner la condición OP OB, y vr son vectores coplanarios en OP OB v, , r0.
15.- Se considera el plano x a y2a z4 y la recta 2 2
2 3
x y z
r
x y z
(PAU junio 2008)
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos. (1 punto)
b) Paraa2, hallar la recta que pasa porP(1 , 0, 1) , es paralela al planoy se apoya en la recta r.(2 puntos) Solución
a) a1 . Nota: Se obtienen vr ( 5 , 3 , 1) y n (1 , a, 2 )a ; como r vrn 0.
b) 1 1
30 13 1
x y z
s
16.- Dada la recta r 2x y 2, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el
punto (1 ,1). (1 punto) (PAU junio 2008)
Solución 7 , 4
5 5
P
. Nota: Se halla la recta s x 2y 3 perpendicular a r que pasa por (1 ,1)y se calcula el punto P resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de r y de s. (geometría en el plano).
17.- Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas 1 0 y r
z
,
0 2 x s
z
a) Estudiar la posición relativa de r y s . (1 punto) (PAU septiembre 2008) b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s . (1,5 puntos)
Solución
a) y se cruzan en el espacio r s . Nota: Se comprueba que no son paralelas, ni coincidentes, ni secantes.
b)
0 1 ; x
t y
z
. Nota: Sea t la recta.Se hallan A(0 , 1 , 0)r , B(0 , 0 , 1)s y el vector
(0 , 0 , 1)
t r s
v v v k ; P x( , y , )z t, la recta t se halla como intersección del plano
1 AP v, r ,vt 0
con el plano 2 BP v, s ,vt0 1 2
1 0 0 y t
x
.
18.- Sea el plano x y 2z 5 0 y la recta r x y z. Se pide:
b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a . (1 punto) (PAU junio 2007) c) Hallar el punto simétrico de P( 1 , 3 , 3) respecto a . (1 punto)
Solución
b) x y 0 . Nota: O(0 , 0, 0) r O ; P x( , y , )z OP v, r ,n 0.
c) P(2 , 6 ,3) . Nota: Se halla la recta
1 3 3 2 x
s y
z
que pasa por P y es perpendicular a ,
luego el punto 1 , 9 , 0
2 2
M
de intersección de s y , y finalmente el punto simétrico (2 , 6 , 3)
P poniendo la condición de que M es el punto medio del segmento PP.
19.- Dadas las rectas 0
2 7
x y z r
x y
y
2 5 x s
y
, hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas. (1 punto) (PAU junio 2007)
Solución
(5 , 1 , 6)R r y (2 ,S 5, 6)s . Se hallan R(72 , , 7 ) r , S(2 ,5, )s , (2 , 1 , 1)
r
20.- Determinar el punto simétrico de P(4 , 0 , 3) respecto del plano de ecuación x y. (1 punto) (PAU septiembre 2007) Solución
(0 , 4 , 3)
P . Nota: Se halla la recta
4
3 x
r y
z
que pasa por P y es perpendicular a x y, luego el punto M(2 , 2 , 3)de intersección de r y , y finalmente el punto simétrico P(0 , 4 , 3), poniendo la condición de que M es el punto medio del segmento PP.
21.- Sean r y s las rectas dadas por:
2 2
,
2 3 2 3
x y m x y
r s
z y x z
. (PAU junio 2006)
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. (1,5 puntos)
b) Para m 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. (1,5 puntos) Solución
a) m1 . Nota: Se parametrizan r y s, se obtienen A m( / 2 , 0 , 3)r, vr (1 , 2 , 4),
B(3 , 1 , 0)s, vs ( 2 , 2 , 1); como AB v, r y vs son coplanarios AP v, r , vs 0 m1. b) 10x7y6z230 . Nota: P x( , y , )z BP v, r , vs0 .
22.- a) Hállese el valor de a para el que la recta 2 1
2 5 2
x y z
r
x y z
y el plano a x y z 1 0 son
paralelos. (1 punto) (PAU septiembre 2006)
b) Para a2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a . (1 punto) Solución
a) a2 . Nota: Se obtienen vr (1 , 3 , 1) y n ( ,a 1 , 1); como r vrn 0.
b) 4x y 7z 4 0 . Nota: A(1, 0, 0) r A ; P x y z( , , )AP v, r,n0. 23.- Hállense las ecuaciones de la recta r que pasa por P(2 , 1 , 1) , está contenida en el plano
2 3 1
x y z
, y es perpendicular a la recta 2 3 4
x z
s
y z
. (1 punto) (PAU septiembre 2006) Solución
2 1 5
1 3 x
r y
z
. Nota:
(2 , 1 , 1) 2
(2 , 1 , 1)
(1 , 2 , 3) 1 5
(1 , 5 , 3)
1 3
(2 , 1 , 0) r s
r
P r x
P r
r n r r r y
v v n
z
v r
24.- a) Determínese el punto simétrico de A( 3, 1, 7) respecto de la recta
2 1 2
3
1
x y z
r . (2 puntos)
(PAU junio 2005) Solución
a) A ( 3 , 3 , 3) . Nota: Se halla el plano x 2y2z150 que pasa por P y es
perpendicular a r, luego el punto M( 3 , 1 , 5) de intersección de r y , y finalmente el punto simétrico A ( 3 , 3 , 3) poniendo la condición de que M es el punto medio del segmento AA.
25.- Dados el punto A(3, 5, 1) y la recta
4 1 2
2
1
x y z
r , hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano de ecuación 3x2yz50. (1 punto)
(PAU junio 2005) Solución
( 1 , 3 , 5) B . Nota: Se halla B(1 2 , 2 , 1 4 ) r ; AB(22 , 7 , 4 ) y (3 , 2 , 1)
n . Si AB AB n 0 1 B( 1 , 3 , 5) .
26.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas
0 3 3
0 1 6 3
z y x
az ay x
r y
1 3 1 x
s y
z a
son perpendiculares. (1,5 puntos) (PAU septiembre 2005)
b) Para a 1, calcúlese la recta que pasa por (1 , 1 , 1) y se apoya en r y s. (1,5 puntos) Solución
a) a 3 . Nota: Se hallan vr (9 , 6a a9 , 3a) y vs ( 1 , 1 , )a .
0 3
r s r s
r s v v v v a .
b)
1 3 1 3 1 2 x
t y
z
. Nota: Sea (1 , 1 , 1)T t. Si a1 ( 1 , 2 , 0) (9 , 3 , 4) r
A r
r v
y
( 1 , 3 , 1) ( 1 , 1 , 1) s
B s
s v
;
( , , ) P x y z t
, la recta t se halla como intersección del plano 1TP TA v, , r 0 con el plano
2 TP TB v, , s 0
1 2
1 3
3 3 0
1 3 ;
2 0
1 2 x
x y z
t t y
x y
z
27.- Calcúlese el simétrico de P(1 , 1 , 1) respecto del plano x yz 0. (1 punto) (PAU septiembre 2005) Solución
( 1 , 1 , 1)
P . Nota: Se halla la recta
1 1 1 x
r y
z
que pasa por P y es perpendicular a , luego el punto M(0 , 0 , 0) de intersección de r y , y finalmente el punto simétrico P ( 1 , 1 , 1)
poniendo la condición de que M es el punto medio del segmento PP.
28.- Sea la recta
0 3 2
0 1 z x
y x
r . (PAU junio 2004)
a) Escríbase la recta en forma paramétrica. (0,5 puntos)
b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ. (2,5 puntos)
Solución
a) 1
3 2 x
r y
z
. Nota: 1 0 1 1 ;
2 3 0 3 2
3 2 x
x y y x
r r r y
x z z x
z
.
b) (1 )
3 2 x
s y
z
. Nota: P( , 1 , 3 2 ) r
Corta a en (0 , 0 , )
( , 1 , 3 2 )
s
OZ S c
s s OZ
v PS c
0 ( , 1 , 3 2 ) (0 , 0 , 1) 0 3 2 0 3 2
s OZ PS k c c c
(0 , 0 , 3 2 )
( , 1 , 0) s
S s
s
v s
3(1 2 ) ;
x
s y
z
.
29.- Determínese si el plano 2x3y40 corta o no al segmento de extremos A(2 , 1 ,3) y B(3, 2 , 1).
(1 punto) (PAU junio 2004)
Solución
El plano no corta al segmento AB . Nota: (2 , 1 , 3)
(1 , 1 , 2)
A AB
AB
v AB
2
1 ; 0 1
3 2 x
AB y
z
¿Un punto del segmento es del plano? 2 (2 ) 3(1 ) 4 0 3 , no cumple 0 1 5
.
30.- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x yz y es perpendicular al plano
xyz10. (1 punto) (PAU junio 2004)
Solución
x y 0 . Nota: vr (1 , 1 , 1) ; n (1 , 1 , 1) ; O(0 , 0, 0) r O
0 0 0
( , , ) , , 0 1 1 1 0 2 2 0
1 1 1
r
x y z
P x y z OP v n x y
.
31.- Sea m un número real y sean r y la recta y el plano dados respectivamente por
2 2
, 3 2 2
2 0
x my z m
r x z m
x y z
. (PAU septiembre 2004)
a) Estúdiese la posición relativa de r y en función del valor de m. (1,5 puntos)
b) Para el valor m1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y y es perpendicular a la recta t x y z. (1,5 puntos)
Solución
a)Nota: Discutiendo el sistema formado por las ecuaciones de r y , se obtienen los siguientes casos: Caso 1: m2 Sistema compatible determinadoLa recta y el plano se cortan en un punto r . Caso 2: m2 Sistema compatible indeterminadoLa recta está contenida en el plano r . b) x y z 0 . Nota: Se halla para m1 el punto de corte de r y P(1 , 0 , 1) .
(1 , 0 , 1)
(1 , 1 , 1) r
P n v
x y z 0.
32.- Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2 , 2 , 1) , B(4, 0, 2) y es
perpendicular al plano x 5y2z6 = 0. (1 punto) (PAU septiembre 2004) Solución
11x y 8z 28 0
. Nota: P x y z( , , ) son coplanarios en los vectores AP , AB y n .
En efecto,
(2 , 2 , 1) (2 , 2 , 1)
(4 , 0 , 2) (2 , 2 , 3) , , n 0
(1 , 5 , 2) (1 , 5 , 2)
A A
B AB AP AB
n n
2 2 1
2 2 3 0 11 8 28 0
1 5 2
x y z
x y z
