Derivadas y representación gráfica

ACTIVIDADES INICIALES

11.I. Escribe las siguientes expresiones como exponenciales de la base indicada.

a)x3_{, base 2 b)}

_x

_{, base 10 c) sen x, base e d) 2}x_{, base e}

a)x3_{, base 2; x}3 ₂log2x323 log2x c) sen x, base e; sen x elogesenx eln (senx)

b)

x

, base 10;

x

10log10x

10

1 2log10x

d) 2x_{, base e; 2}x _eloge2 x

ex loge2 ex ln 2

11.II. Toma logaritmos en las siguientes expresiones y aplica las propiedades de los mismos.

a)f(x) x4 _{b) f(x) e}x _{c) f(x) x}x _{d) f(x) (sen x)}x3

a)f(x) x4_{; ln f(x) 4 ln x c) f(x) x}x_{; ln f(x) xln x}

b)f(x) ex_{; lnf(x) xln e x d)f(x) (sen x)}x3_{; ln f(x) (x 3) ln (sen x)}

EJERCICIOS PROPUESTOS

11.1. Comprueba, utilizando la derivada de la función inversa, que la derivada de la función f(x)

x

es la que ya conoces.

(

x

)

2

x. Entonces,

(

2

x

)(

x

)

1, por lo que

(

x

)

2

1

x

.

11.2. Calcula la derivada en x 11 de la inversa de la función f(x) x3 _{x 1.}

Si g es la inversa de f, hay que calcular g(11).

g

(

f(x)

)

x, así que g(x3 _{x 1) x, por lo que g(x}3 _{x 1) (3x}2 _{1) 1, es decir, g(x}3 _{x 1)}

3x2

1

1

.

Como x3 _{x 1 11 solo si x 2, tenemos que g(11)}

322

1

1

₁1₃.

11.3*. Halla la derivada de la inversa de la función f(x) x

x

5en el punto x 3.

Si g es la inversa de f, hay que calcular g(3).

g

(

f(x)

)

x, así que g

(

x

x 5

)

x, por lo que g

(

x

x

5

)

1

2

x

1

5

1, es decir,

g

(

x

x

5

)

. Hay que encontrar xpara que x

x

5 3, o sea, x 5 x2

6x 9, de donde x 1 y x 4. Al comprobar las soluciones vemos que 1 no lo es y 4 sí, con lo

que g(3) 2

3.

11.4. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y

5

x

en el punto de abscisa 32, previa deducción de la derivada de dicha función.

Como

(

5x

)

5

x, tenemos que 5

(

5x

)

4

(

5x

)

1, es decir,

(

5x

)

5

1

5 x4

. Si x 32, la derivada de y

5x

en

x 32 es

5

5

1

324

₈1₀, por lo que la ecuación de la recta pedida será y2

8 1

0

(x 32) ⇒y

8

x

0

8₅. 1

1 1

2 1

1

2

1

4

5

1

1

2

x

1

5

11.5. Obtén las derivadas de las funciones siguientes.

a)f(x)

3

x

2

x

b) f(x)

4

x

3

3

x2

x 1 c) f(x) 3

5

x

4x

3_x2_2x

a)f(x) 1

3x

1

31₂ 1

2x

1

21

3

1 3 x2

1 x

c) f(x) 3

5

5

1 x4

3₄

4 1 x

2x 2

b)f(x) 1

4x

1

41₃ 2

3x

2

31₁

4

1 4 x3

3 1 x

1

11.6. ¿Existe algún punto en la gráfica de y

5x

en el que la tangente sea paralela a la recta 3x y 0?

Como la pendiente de la recta dada es 3, y la derivada de y

5x

es y

5

1

5 x4

, nos piden ver si hay algún valor

de xpara el que

5

1

5 x4

3, ecuación que obviamente tiene solución, dada por la ecuación

x

1

4 15

5_{, es decir,}

x

41 1

55

, por lo que los puntos pedidos son los de abscisas

41

1

55

y ordenada

5

41

1 55

=

41 1 5

11.7. Halla las derivadas de las siguientes funciones.

a)f(x) —

4 x2

x

— b)f(x) —

5 x x3

—

a)f(x)

4

x2

x

_x 7

4 _f(x) 7

4x

1 4 1 4

4 7 x11

4x 2

7 4 x3

b)f(x)

5

x

x3

x

2₅

f(x)

5

2 5 x3

11.8. Dada la función f(x)

35

x 3

: a) Calcula f(1).

b) Obtén f1_{(x) y su derivada (f}1_)(x). c) Calcula (f1₎

₍

_f(1)

₎

_{y compáralo con f(1).} ¿Obtienes el resultado esperado?

a)f(x) 1

3(5x 3)

2 3₅

3

3(5x

5

3)2

, por lo que f(1)

1 5

2

.

b)y3_{5x3 ⇒x} y

3

5 3

, así que f1_(x) x

3

5 3

(f1_)(x) 3

5

x2

.

c) f(1)

38

2, de donde (f1₎

₍

_f(1)

₎

_(f1₎₍₂₎ 1

5 2

, es decir, (f1₎₍₂₎

f

1

(1)

f

(

f

1

1₍₂₎

₎

, como debía ser.

11.9. Obtén la derivada de estas funciones.

a)f(x) e3x3

5x1 _c)f(x)

b)f(x) ex_(x2_{7x 3) d)f(x)}

x

ex

a)f(x) e3x2

5x1_(6x5)

b)f(x) ex_(x2_{7x3) e}x_{(2x7) e}x_(x2_5x10)

c) f(x) e

x3

(3x3 _{1) 2x}3

2

x(3x2_ex3

3x2_{) (e}x3

x3₎

2

ex3

x3

—

11.10. Halla los máximos y mínimos, si los hubiera, de la función f(x) ex2

6x_.

Al ser derivable en todo su dominio la función en cuestión, los posibles máximos o mínimos relativos se encontra-rán en puntos con tangente horizontal.

Analicemos, entonces, f(x) ⇒f(x) (2x 6)ex2

6x_{. Así pues, f(x) 0 solo si x3.}

Si x3, f(x) 0, por lo que fes creciente, y si x 3, f(x) 0, es decir, fdecreciente, con lo que el punto

P

(

3, f(3)

)

(3, e9_{) es un mínimo relativo.}

11.11. Deriva:

a)f(x) 72x _{b) f(x) 2}x _{c) f(x) 3}x3

x _{d) f(x) 5}2x2

e) f(x) 9x1 f) f(x) 8x4

a)f(x) 2 ln 7 72x _{c) f(x) ln 3(3x}2₁₎₃x3

x _e)f(x)

2 ln

9 x

9x1

b)f(x) 2 ln

2 x

2x d)f(x) 4 ln 5x 52x2

f) f(x) 4 ln 8x3₈x4

11.12. Halla las siguientes derivadas.

a)f(x) ln (x3_{2x 1) c)f(x) log} 2(3x

2_{1) e)f(x)}

ln

x b)f(x) ex_{ln x d)f(x) ln}

₍

x2_e

x

)

f) f(x) 5xlog2x

a)f(x)

x3 3 x2 2 x 2 1

d)f(x)

x2 1 e

x

2

x2

1

e

x

(2x e

x₎ 2 2 (x x 2 e e x x₎

b) f(x) ex_{lnx e}x 1

x e

x

_{ln x} 1

x

e)f(x) ₂

1 lnx

1_x 2x

1 lnx

c) f(x) ln

1 2

_3x2

6

x

1

f) f(x) 5log2x 5x

1

x ln 1

2

5_lnln ₂x _ln5₂

ln 5

2

(ln x 1)

11.13. Determina los máximos y mínimos de la función f(x) ln (x2 _4). f(x)

x2

2

x

4

, por lo que el único posible máximo o mínimo es el punto donde f(x) 0, es decir, x0.

Para determinar de qué tipo de punto se trata, observamos que si x 0, f(x) 0, es decir, fes decreciente, y si

x0, f(x) 0, f es creciente, por lo que el punto P(0, ln 4) es un mínimo relativo.

11.14. Calcula mediante derivación logarítmica las derivadas de:

a)f(x) xx

c)f(x)

(

x

)

e

x

e)f(x) x2x1 b)f(x) xln x _{d)f(x) x}x2

f) f(x) xx

a) ln f(x) ln (xx_{) xln x} f

f ( ( x x ) )

ln x1; así que f(x) (ln x1) f(x) (ln x1)xx

b) ln f(x) ln (xln x_{) (ln x)}2_{. Entonces,} f

f ( ( x x ) )

2 l_xnx, de donde f(x) 2 l

x

nx

xln x_{2 ln xx}ln x1

c) f(x)

(

x

)

ex

x

e

2

x

, lnf(x) ln

x

e 2 x

e 2 x

ln x ⇒f f ( ( x x ) )

e₂x ln x

2

e x

x

⇒f(x)

(

x

)

ex _e 2

x

ln x 1 x

d) ln f(x) x2_{ln x ⇒}f

f ( ( x x ) )

2xln x x ⇒f(x) xx2

x(2 ln x 1) xx2

1_{(2 ln x 1)}

e) ln f(x) (2x 1)ln x⇒f

f ( ( x x ) )

2 ln x 2x

x

1

⇒f(x) x2x1

_{2 ln x} 2x

x

1

f) ln f(x)

x

ln x⇒f

f ( ( x x ) ) 2

1 x

ln x

x x

⇒f(x) xx

11.15. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) senx en el origen.

f(x) cos x, f(0) 1, así que la recta pedida es y0 1 (x0), es decir, yx.

11.16. Obtén la derivada de las siguientes funciones.

a)f(x) sen (x2_e2x_{) c)f(x) tg}2_x

b)f(x)

cos

x d)f(x) xsen (3x 2)

a)f(x) cos (x2_e2x_{)(2x 2e}2x_{) c) f(x) 2 tg x}

co 1

s 2_x

2 co

s s e

3

n

x x

b)f(x) 2

s

c e

o n

s

x

x

d)f(x) sen (3x2) 3xcos (3x2)

11.17. ¿En qué puntos la recta tangente a la función f(x) tg 2x está menos inclinada que la bisectriz del pri-mer cuadrante?

Nos piden encontrar los puntos en los que f(x) 1. Como f(x)

cos 2

2_2x, y cos

2_{2x1 siempre, f(x)2 sea}

cual fuese x, por lo que no hay ningún punto con la condición requerida.

11.18. Encuentra los puntos con abscisa en [0, 2] para los que la tangente a la curva f(x) sen x cos xes horizontal.

Al ser f(x) cos x sen x, debemos hallar los valores de x en [0, 2] para los que f(x) 0, es decir,

cos x sen x, o sea, tg x1, siendo esos valores x

4, x 5

4, dando lugar entonces a los puntos A

4,

2

y B

5

4,

2

.

11.19. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

a)f(x) arcsen (ex_{) c)f(x)}

arcco

s

x b)f(x) arctg (1 x2

) d)f(x) ln (sen x arcsenx)

a)f(x)

1

e

x

e

2

x c) f(x) ₂

_ar

1

ccos

x

1

1

x

2

b)f(x)

1(1

2x

x2₎2

d)f(x)

senx

1

arcsenx

cos x

1 1

x

2

11.20. Halla los puntos en que la recta tangente a la función arco tangente es horizontal.

Como f(x)

1

1

x2

, no existe ningún valor de xque anule f(x), así que no hay ningún punto en la función arco

tangente en el que la tangente sea horizontal.

1

11.21. Deriva y simplifica todo lo que puedas la función: f(x) arctg (x) arctg

—1

x—

f(x)

1

1

x2

_x

1

2

₁1 _x2 _x2

x

2

1

_x12 0

El resultado era el esperado, pues arctg xy arctg 1

x son arcos complementarios, es decir, f(x) 2, por lo que

f(x) 0.

11.22. Calcula la derivada del arco cotangente.

Recuerda que ctg x —

tg 1

x

—

.

Como arccotg xarctg 1

x, tenemos que arccotg xarctg x 2, por lo que la derivada de y arccotg xes

y

1

1

x2

.

11.23. Determina los máximos y mínimos relativos de la función f(x) 3x4 _6x2_.

f(x) 12x3_{12x, así que f(x) 0 solo si 12x(x}2_{1) 0, es decir, x0, x 1, x 1.}

Aplicando el test de la derivada segunda, tenemos que f(x) 36x2 _{12, por lo que f(0) 0, f(1) 0 y}

f(1) 0, así que fpresenta en (0, 0) un máximo relativo, y en (1, 3) y (1, 3), mínimos relativos.

11.24. Estudia la curvatura y determina la abscisa de los puntos de inflexión de f(x) sabiendo que: f(x) (x 1)(x 3)2_{(x 7)}

Los únicos posibles puntos de inflexión vienen dados por los de abscisa xcon f(x) 0, así que en este caso

x 1, x3, x7.

Estudiando el signo de f(x) en los intervalos determinados por estos valores, tenemos que:

Si x 1 ⇒f(x) 0, 1 x 3, f(x) 0, así que el punto de abscisa 1 es de inflexión, pues al pasar por

él ha cambiado la posición de la curva respecto de la tangente.

Si 3 x 7 ⇒f(x) 0, de donde el punto de abscisa 3 no es punto de inflexión, pues tanto a la izquierda como

a la derecha de él es f(x) 0, es decir, festá por debajo de la tangente.

Finalmente, si x 7, f(x) 0, con lo que en x 7 la curva cambia de posición respecto de la tangente y

P

(

7, f(7)

)

es punto de inflexión.

En cuanto a la curvatura, fes cóncava hacia arriba en (, 1) (7, ) y cóncava hacia abajo en (1, 7).

11.25. Halla la ecuación de la recta tangente a y —

x2 x

1

—en su punto de inflexión de abscisa positiva.

Si f(x)

x2

x

1

, f(x) x

2

(

x2

1

1) 2

2

x2

₍₁1_xx2 2

)2

y f(x)

2₍₁x3_x62₎

x

3

Así que el punto de inflexión de abscisa positiva tiene por abscisa la solución positiva de la ecuación 2x3

6x0,

es decir, x

3

, y de ordenada,

4 3

, siendo f

(

3

)

42

2

1₈, por lo que la ecuación de la recta pedida es

y

4 3

1₈

(

x

3

)

⇒y

8

x

3

₈3

.

2x(1 x2_{) 4x(1 x}2₎

_{(1 x}2₎3

2x(1 x2

)2

(1 x2

)2x2(1 x2

)

_{(1 x}2₎4

1

1

1

x

11.26. ¿Tiene algún punto de inflexión la gráfica de f(x) x2 _{cos x 1?}

Al ser f(x) 2xsen x, es f(x) 2 cos x, con lo que f(x) nunca se hace cero, y f(x) no tiene ningún punto

de inflexión.

11.27. Haz el estudio completo de las siguientes funciones polinómicas y dibuja sus gráficas.

a)f(x) x2_{5x 6 c) f(x) x}2₉ b)f(x) x2_{x 3 d)f(x) x}2₁

a)f(x) x2_{5x6. Cortes con los ejes: eje Y: (0, 6); eje X: (3, 0) y (2, 0)}

Puntos con tangente horizontal: f(x) 2x5 0, x 5

2

b)f(x) x2_x3

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 3); eje X: no existe, pues la ecuación x2 _{x3 0 carece de raíces reales.}

Puntos con tangente horizontal: f(x) 2x1 0, x 1

2

c) f(x) x2

9

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 9); eje X: (3, 0) y (3, 0)

Puntos con tangente horizontal: f(x) 2x0, x0

d)f(x) x2₁

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 1); eje X: (1, 0) y (1, 0)

Puntos con tangente horizontal: f(x) 2x0, x0

O Y

X

1 1

O Y

X

1 1

O Y

X

2 2

O Y

X

11.28. Realiza un estudio completo de las siguientes funciones y dibuja sus gráficas.

a)f(x) x3_{3x c)f(x) (x 1)(x 2)(x 4)} b)f(x) 3x5_5x3 _{d)f(x) x}3_3x2_9x

a)f(x) x

(

x

3

)(

x

3

)

– Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: (0, 0),

(

3

, 0

)

y

(

3, 0

)

– lim

x→f(x) , limx→f(x)

– Puntos con tangente horizontal: f(x) 3x2_{3 0 si x1, x 1}

– Curvatura y puntos de inflexión.

f(x) 6x. Así que el único posible punto de inflexión tiene por abscisa x 0. Por otra parte, f(1) 0 y

f(1) 0, con lo que P(1, 2) es un mínimo relativo y Q(1, 2) es un máximo relativo. Como entre un

máximo y un mínimo relativo hay algún punto de inflexión, el posible punto de inflexión (x0) es

efectiva-mente punto de inflexión.

b)f(x) 3x5_5x3

– Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: x3_(3x2_{5) 0, x0, x}

5₃, x

5

3

– lim

x→f(x) , limx→f(x)

– Puntos con tangente horizontal: f(x) 15x4_15x2_{si x0, x 1, x 1}

– Curvatura y puntos de inflexión: f(x) 60x3_30x30x(2x2_{1). Se anula si x0, x}

2 2

, x

2 2

.

Como f(0) 0, f(1) 0 y f(1) 0, el test de la 2.a_{derivada nos dice que de los puntos con tangente}

horizontal, los de abscisa 1 y 1 son mínimo y máximo relativo, respectivamente, pero no nos da ninguna

infor-mación sobre el punto de abscisa 0.

Analizando, entonces f(x) 15x2_(x2_{1), vemos que si 1 x 0, f(x) 0 y si 0 x 1, f(x) 0, de}

donde deducimos que el punto de abscisa 0 no es ni máximo ni mínimo relativo, ya que en el intervalo

(1, 1) la función es decreciente. Por tanto, se trata de un punto de inflexión de tangente horizontal.

c) f(x) (x1)(x2)(x4) x3

3x2

6x8

– Cortes con los ejes: eje Y: (0, 8); eje X: (1, 0), (2, 0) y (4, 0)

– lim

x→f(x) , limx→f(x)

– Puntos con tangente horizontal:

f(x) 3x2_{6x6 3(x}2_{2x2) 0 si x1}

3

, x1

3

– Curvatura y puntos de inflexión: f(x) 6x6 0 si x1

d)f(x) x3_3x2_9x

– Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: x(x2_{3x9) 0, x0, x} 3

2

3

5

, x 3

2

3

5

– lim

x→f(x) , limx→f(x)

– Puntos con tangente horizontal: f(x) 3x2_{6x9 3(x 3)(x 1) se anula si}

x3, x 1.

– Curvatura y puntos de inflexión: f(x) 6x6, si x1

O Y

X

1 1

O Y

X

1 1

O Y

X

4 2

O Y

X

13.29. Esboza la gráfica de las siguientes funciones.

a)f(x) x3_6x2_36x5

b)f(x) 9x4 _17x3_46x2 _35x4 c)f(x) 3x4_10x3_6x2_12x5

a) Cortes con los ejes:

eje Y: (0, 0);

eje X: No es fácil obtener las soluciones de la ecuación f(x) 0, sin embargo se observa

que f(0) 5 0 mientras que f (1) 38 0. Como se trata de una función

conti-nua, la conclusión es que al menos hay un punto de corte con el eje Xsituado en el

intervalo (1, 0).

– lim

x→f(x) , limx→f(x)

– Puntos con tangente horizontal: f(x) 3x2 _{12x36. No tiene raíces reales, así que esta curva no}

pre-senta ningún punto con tangente horizontal.

– Curvatura y puntos de inflexión.

f(x) 6x12 6(x2) se anula si x2.

Si x 2, f(x) 0, por lo que f(x) es cóncava hacia abajo, y si x 2, fes cóncava hacia arriba. En x 2

hay, por tanto, un punto de inflexión.

b) No merece la pena ver si la ecuación f(x) 0 tiene raíces enteras, pues al observar con

faci-lidad que f(1) 0, f(0) 0 y f(1) 0, y tratarse de una función continua, hay cortes con

el eje horizontal al menos en los intervalos (1, 0) y (0, 1). Por otra parte, lim

x→f(x) y lim

x→f(x) , por lo que hay otros dos cortes con el eje horizontal, uno a la izquierda de

1 y otro a la derecha de 1, con lo que la gráfica de fsería algo así:

c) No es cómodo obtener los ceros de la función, es decir, los cortes con el eje horizontal, ni

siquiera los ceros de la derivada, f(x) 12x3

30x2

12x 12. Así que vamos a

obte-ner f(x), que, al ser un polinomio de 2.o_{grado, es más fácil de manejar.}

f(x) 36x2 _{60x12 12(3x}2_{5x1), y como 3x}2_{5x1 0 si x} 5

6

13

1,4 y 0,25, f(x) 36(x1,4)(x0,25), por lo que la gráfica de f(x) es

aproximada-mente como se muestra en la figura de la derecha.

Conocida la gráfica de f(x) y con el dato de f(0) 12, podemos esbozar la forma de f,

que sería algo como lo mostrado en la figura derecha.

Obsérvese que en x0,25, punto en el que anula f(x), f(x) presenta un mínimo, pero con

ordenada positiva.

f(1) 0 y f(1) 0, por lo que el punto de corte de fcon el eje horizontal está entre

1 y 0.

Finalmente, con la gráfica de fy el dato de que f(0) 5, podemos esbozar la gráfica de

f, haciendo notar que presenta un mínimo entre 1 y 0 (punto donde se anula f), pero

como f(1) 12 y f(0) 5, la ordenada de ese punto es positiva, por lo que la forma de

la gráfica de fserá algo así:

O Y

X

20 1

O Y

X

20 2

O Y

X

2 1

O Y

X

2 1

O Y

X

11.30*. Escribe una función polinómica de tercer grado, f(x) ax3 _bx2 _{cx d, con b 0, que no tenga ni} máximos ni mínimos relativos.

Para que f(x) ax3 _bx2 _{cx d no tenga ni máximos ni mínimos relativos, es suficiente que la derivada}

nunca se haga cero, es decir, que f(x) 3ax2_{2bxc0 para todo x. Para ello basta con que el}

discrimi-nante de la ecuación de 2.o_{grado 3ax}2_{2bxc0 verifique 4b}2 _{12ac 0, situación que se presenta, por}

ejemplo, con b1, c1, a 1.

Así pues, f(x) x3_x2_{xdno tiene ni máximos ni mínimos relativos.}

11.31. Escribe una función polinómica de tercer grado que tenga un máximo y un mínimo.

Una función como la de la figura, es decir, f(x) x(x1)(x1), presenta un

máximo y un mínimo relativo.

11.32. ¿Es posible encontrar una función polinómica de tercer grado que no tenga ningún punto de inflexión?

La condición necesaria y suficiente para que y f(x) presente un punto de inflexión con abscisa pes que

f(p) 0 a la izquierda de py f(p) 0 a la derecha de po viceversa.

Si f(x) ax3_bx2_{cxd, entonces f(x) 3ax}2_{2bxc, f(x) 6ax2bcon a0, por lo que la}

ecua-ción de 1.er

grado 6ax 2b0 siempre tiene solución y el signo del binomio 6ax 2bcambia cuando pasa

por la solución de dicha ecuación.

Así pues, todas las curvas de 3.er_{grado presentan un único punto de inflexión, de abscisa p} 2

6

b a

_3ab.

11.33. Realiza un estudio completo de las siguientes funciones y dibuja sus gráficas.

a)f(x) —x

x 4 2

2 1

x2

— c)* f(x) —

x2 9

x x2

2

—

b)f(x) —

4x2 x

3 1

— d) f(x) —

x x 2

1 1

—

a)f(x) x

x

4 2

2 1

x2

– f(x) f(x), por lo que fes simétrica respecto del eje vertical.

– Dom fR{1, 1}

– lim

x→1f(x) , lim_x→1f(x) así que x1 es una asíntota vertical. Además, lim_x→1f(x) .

– No estudiamos el comportamiento de fpara valores negativos de xpor la

observación hecha al comienzo. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

– Si x0, f(x) 0 y f(x) 0 si x2_(x2_{2) 0, x0,}

2

,

2

– f(x) 2x

5

(

x2

4

x3

1

)2

4x

2x(x4_(x2

2x

1

2

)

2

2)

0 solo si x0

– Si x 0, f(x) 0, y si x0, f(x) 0, por lo que fpresenta un mínimo

relativo en x0. Así pues, la gráfica de yf(x) para x0 es así:

(x2 _1)(4x3 _{4x) 2x(x}4 _2x2₎

_(x2 ₁₎2

O Y

X

1

1

O Y

X

1

b)f(x) 4x2

x

3

1

Al no anularse nunca el denominador, se trata de una función continua en Ry que corta a los ejes solamente

en el origen. Por otra parte, tiene una asíntota oblicua que, al ser

4x2

x

3

1

1₄x 1

4 4x2

x

1

, es la recta

y 1

4x. Puesto que f(x) f(x), se trata de una función impar y solo corta a la asíntota oblicua en x0.

Para obtener los posibles máximos y mínimos relativos, derivamos la función.

f(x) 4

(4

x x

4 2

3 1

x

)

2

x₍2₄(4_x2

x2

1 3 )2

)

0 siempre,

por lo que la gráfica de fno presenta ningún máximo ni mínimo relativo y

tiene un único punto con tangente horizontal en x0.

Como, por otra parte, f(x) 1

4x , para valores altos de x,

f(x) 1

4x, así que la gráfica será así:

c) f(x)

x2

9

x x2

2

x2_{x2 0 si x1 y x 2}

Así que f(x) , y al ser lím

x→1 f(x) , lím_x→1 f(x) ,

lim

x→2f(x) , limx→2f(x) y lim_x→f(x) 9, la gráfica de fpresenta

asínto-tas verticales en x1, x 2, y asíntota horizontal en y9.

Solo corta a los ejes en x0.

Su derivada es f(x) , que cambia de signo en x0 y en

x4, puntos en los que la función presenta, respectivamente, un máximo

y un mínimo relativos.

Con esta información se puede representar la función tal y como aparece a la derecha.

d)f(x)

x x

2

1 1

Se trata de una función continua en R, pues x2_{1 0 siempre que presenta}

una asíntota horizontal en y0.

Si x0, f(x) 1, y f(x) 0 solo si x1.

f(x) 1

(

x2

2

x1

)2

x2

0 si x1

2

, x1

2

Para estos valores la derivada cambia de signo y representa, por tanto, las posiciones de un máximo y de un mínimos relativos, respectivamente.

Como solo corta a la asíntota horizontal (eje de las abscisas) en x1, su

grá-fica es:

x2 _{1 2x(x 1)}

_(x2

1)2

9x(x 4)

_(x2 _{x 2)}2

9x2

_{(x 1)(x 2)}

x

_4(4x2 ₁₎

(4x2 _1)3x2 _x3_8x

_(4x2 ₁₎2

O Y

X

1

1

O Y

X

2 2

O Y

X

1

11.34*. Representa una función racional que cumpla las siguientes condiciones.

• Las rectas y 2, x 4, x 2 son sus únicas asíntotas.

• Su derivada no se anula nunca y es negativa en todos los puntos en que está definida. a) ¿Cuántas veces se anula una función con estas propiedades?

b) ¿Puede la derivada segunda no anularse nunca?

Se trata de un cociente de polinomios de igual grado en el numerador y en el

denominador, anulándose este en x 2, x4. Por otra parte, al ser la

fun-ción siempre decreciente, debe ocurrir que lim

x→2f(x) y lim_x→4f(x) ,

por lo que entre 2 y 4 debe anularse alguna vez y haber algún punto de

infle-xión, con lo que es seguro que su derivada segunda se anulará alguna vez. La

función se anula dos veces, pues f nunca se hace cero.

Una posible gráfica sería la de la derecha.

11.35. Realiza el estudio completo de las siguientes funciones y dibuja sus gráficas.

a)f(x) ex1 _{b) f(x) ln (x 1) c) f(x) sen x cos x d) f(x) e}x2

a)f(x) ex1

D R, es siempre continua, no corta al eje X, corta al eje Yen el punto

0, 1

e

.

lim

x→e

x1 _{0, luego y 0 es asíntota horizontal por la izquierda. Cuando}

x→, el límite es también infinito y no tiene asíntota ni horizontal ni oblicua.

Como f(x) ex1_{0 y f(x) e}x1_{0 x D, la función no tiene}

máxi-mos ni mínimáxi-mos relativos ni puntos de inflexión. Es monótona creciente y cóncava hacia arriba.

A la derecha se ha representado f. En realidad se trata de la gráfica de la

función exponencial yex_{, desplazada una unidad hacia la derecha.}

b)f(x) ln (x1)

Igual que en el apartado anterior, la podemos dibujar a partir de y ln x

des-plazándola, en este caso, una unidad a la izquierda.

Dominio D (1, ), continua en todo el dominio y cortes con los ejes

en (0, 0).

Como lim

x→1

(

ln (x 1)

)

, tiene asíntota vertical en x 1, por la

dere-cha, la función es monótona creciente y cóncava para abajo.

c) f(x) sen xcos x

Esta función es continua en R, f(x) f(x 2), por lo que bastará

dibu-jarla en [0, 2), si x 0, f(x) 1 y f(x) 0 si sen x cos x, o sea,

tg x 1, por lo que en x 3

4y x 7

4cortará al eje X.

Con f(x) cos xsen x0 solo si tg x1, los únicos puntos con

tan-gente horizontal en [0, 2] son los de abscisas x

4, x 5

4.

Finalmente, al ser f(x) sen xcos x, es f

4

0 y f

5

4

0, con

lo que tenemos en esos puntos un máximo y un mínimo relativo,

respecti-vamente, habiendo puntos de inflexión cuando f(x) 0, es decir, x 3

4,

x 7

4. Con toda esta infomación, la gráfica de fqueda como se ve a la

derecha.

O Y

X

1 1

O Y

X

1 1

O Y

X

1 1

O Y

X

1

d)f(x) ex2

. Esta función es continua y positiva en R. Es par: f(x) f(x).

Como lim

x→f(x) 0. Así pues, presenta una asíntota horizontal que es y0.

f(x) 2xex2

solo se anula si x 0, siendo f(x) 0 si x0 y f(x) 0

si x 0, con lo que en P(0, 1) presenta un máximo relativo que es también

absoluto, pues f(0) f(x) sea cual fuere el número x.

Finalmente, f(x) 2ex2

4x2_ex2

ex2

(2 4x2_{) se anula en}

x

2 2

, posiciones en las que la función presenta puntos de inflexión.

La gráfica se muestra a la derecha.

11.36. Haz el estudio de las siguientes funciones y dibújalas.

a)f(x) ln (x2_{1) b) f(x) x senx c) f(x) —} e x2 x

— d) f(x) tg (2x)

a) f(x) ln (x2_{1). Como fes par, bastará dibujar en (0, ) y, en este conjunto,}

festá definida solo si x1.

Si x→1, f(x) →, siendo entonces x1 una asíntota vertical.

No hay asíntota horizontal, pues si x→, f(x) →.

Cuando x2_{1 1, es decir, x}

2

, habrá un corte con el eje horizontal.

f(x)

x2

2

x

1

no se anula en ningún punto del dominio de fy

f(x) 2(x

2

(x

2

1) 1

)2

4x2

_(x22

1 2 )

x

2 2

es siempre negativa, así que la curva

es siempre cóncava hacia abajo, y su gráfica es la de la derecha:

b)f(x) xsen x. Su dominio es R, es continua y corta a los ejes solo en el

origen, pues xsen x0 únicamente cuando x0.

f(x) 1 cos xse anula en x kcon kimpar, pero f(x) 0 siempre.

Así que fes creciente en Ry con tangente horizontal en los puntos de

abs-cisa kcon kimpar. Por otra parte, f(x) sen xse anula en los puntos de

abscisa k para cualquier entero k, cambiando el signo de f en esos

pun-tos, que serán, entonces, puntos de inflexión:

c) f(x)

e x2

x

. fes continua en Ry corta a los ejes solo en el origen.

– Si x→, f(x) →0, y si x→ , f(x) →. Así pues, hay una asíntota

horizontal (por la derecha) en y0.

– f(x) 2xe

e

x

2x

x2_ex 2x_ex

x2

0 solo si x0, x2 (mínimo y máximo

relativos, respectivamente)

– f(x) 24

e x

x x2

, que se anula para x 2

2

(puntos de inflexión).

d)f(x) tg (2x). Es la gráfica de la tangente de xcomprimida un factor 2.

Es periódica de período T 1

2y tiene asíntotas verticales

x 1

4

1

2k k Z.

O Y

X

1

1

O Y

X

1 1

O Y

X

1

π

O Y

X

1 1

O Y

X

1

EJERCICIOS

Función recíproca

11.37. Deriva las siguientes funciones.

a)* f(x)

x

2 b) f(x)

53

x 1

c) f(x) —1

x—

3 x

—

6 x4 x 1

— d) f(x)

4 —x2 x 2 1 —

a)f(x)

x

2, la función inversa es g(x) x2_{2 y g(x) 2x. Entonces:}

g[f(x)] x ⇒g[f(x)]f(x) 1 ⇒f(x)

g[f

1 (x)]

; g[f(x)] 2f(x) 2

x

2⇒f(x)

2

x

1

2

b)f(x)

5

3x 1

,la función inversa es g(x) x

5

3 1

y g(x) 5 3x

4_{. Por tanto:}

g[f(x)] x ⇒g[f(x)]f(x) 1 ⇒f(x)

g[f

1 (x)]

; g[f(x)] 5 3

(

f(x)

)

4 5

5

(3x

3

1)

4

⇒f(x)

5

5(3

x

3 1)4

En general, se obtiene que para f(x)

nx

, su inversa es g(x) xn_{y g(x) nx}n1_{, con lo que}

g[f(x)] x ⇒g[f(x)]f(x) 1 ⇒f(x)

g[f

1 (x)]

; g[f(x)] n

(

f(x)

)

n1_n

n

xn1

⇒f(x)

n

n

1

xn1

y con este resultado y la regla de la cadena, se puede derivar cualquier raíz.

c) f(x) 1

x

3 x

6 x4 x 1

; f(x) x

1 2 3

1 3 x2

x 1 2 3

1 3 x2

x 1 2 3

1 3 x2

d)f(x)

4

x2 x 2 1

; f(x) 1 4

x2

x 2 1

3 4

11.38. Halla la derivada de la inversa de la función f(x) x2

x

en el punto x2.

Llamemos g a la inversa de f, entonces: g

(

x2

x

)

xy g

(

x2

x

)

2x

2

1

x

1. Si x2

x

2, x 1.

Así pues, g(2)

2 1

2

1, de donde g(2)

2 5.

11.39. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y

3x

2en el punto de abscisa 10, deduciendo previa-mente la derivada de dicha función.

(

3

x

2

)

3

x 2. Así que, derivando, obtenemos 3

(

3

x

2

)

2

(

3

x

2

)

1, por lo que

(

3

x

2

)

3

(

3x

1

2

)

2, con lo que el punto de esa curva de abscisa 10 tiene por ordenada 2 y la pendiente de la

tan-gente en dicho punto es

3

3 1

82

₁1₂, por lo que la recta pedida tiene por ecuación y 2

1 1

2

(x 10) ⇒

⇒y

1

x

2

7₆.

x

2(x2 ₁₎

4

x6_(x2

1)

x

2

4

x2 x 2

1

3

(x2 ₁₎2

(x2 _{1)2x x}2_2x

_(x2

1)2

x4

3

3(x4 ₁₎

6

x4 ₁

6(x4 _{1) 4x}4

6

6(x4

1)5

6

(x4

1)2

6 x4 1

x

6

6(x

4

4

x

3

1)

5

3

x4 ₁

11.40. Dada la función f(x)

4x2 ₈

a) Calcula, si es posible, f(3) y f(2). b) ¿Dónde está definida f(x)? ¿Y f(x)? c) Halla los extremos relativos de f.

f(x) 1 4(x

2₈₎

3 4

2x

2

4(x2

x

8)

3

en los puntos en que estén definidas tanto fcomo f.

a)f(3)

2

3

4

1

3₂, f(2) no está definida, pues (22₈₎3 _0.

b)D(f) {xR/ x2_{8 0}}

₍

_{, 2}

2

]

[

2

2,

)

D(f)

c) El único posible extremo relativo de f tendrá por abscisa x0, pero como 0 no está en el dominio de f, no

exis-ten extremos relativos para f. Hay que hacer notar que en x 2

2

la función alcanza su valor mínimo

abso-luto, que es 0, aunque no sean puntos de tangente horizontal.

11.41. De dos funciones f(x) y g(x) sabemos que: • g(x) 0 para todo x, y (f g)(x) x. • f(x) —1

x— x 0. a) Si g(0) 1, calcula g(0). b) Calcula g(x) en función de g(x).

Nos dicen que (fg)(x) x, de lo que sigue que f

(

g(x)

)

g(x) 1, o sea, f

(

g(0)

)

g(0) 1.

a) Como g(0) 1 y f(x) 1

x, f(1) g(0) 1 ⇒1 g(0) 1, así que g(0) 1.

b) Al ser f

(

g(x)

)

g(x) 1, g(x)

f

(

g

1 (x)

)

, y como f

(

g(x)

)

g

1

(x), tenemos que g(x) g(x).

Potencias

11.42. Deriva las siguientes funciones.

a)f(x)

—

x2 x

1

—

—

2 3—

b)f(x)

3

2x 1

—1

x—

3

c)f(x) x—

1

3—_(x2

1)

—2

5—

3

(x 1

)2

a)f(x) 2

3

x2

x

1

1 3 _x2

(

x2

1

1) 2

2

x2

b)f(x) 1

3(2x 1)

2 3

2 3x2

3

3(2x

2

1)

2

3x2

c) f(x) 1

3x

2_{3 2}

5(x

2₁₎

7 5

2x 2

3(x 1)

1₃

3

1

3

x2

5

5(x

4

2

x

1)

7 ₃

3_x

2

1

2(1 x2₎

3(x2 ₁₎

3

x(x2

1)2

2(1 x2₎

3(x2 ₁₎2

3

x2

x

11.43. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) —

3 x2

6

4

—en el punto x 2.

El punto en cuestión es (2, 3), y la pendiente de la tangente viene dada por el valor de la derivada de f(x) en x2.

f(x) 2(x2₄₎

4 3 2x

3 (x 2 4 x

4)4

; m f(2) 1 2

La tangente será, entonces, y3 1

2(x 2) ⇒y 2

x

4.

11.44. Si f(x) —

1 1 x

—, calcula la derivada de:

a) La inversa de f b)

(

f(x)

)

—2

3—

c) f

(

f(x)

)

d)

—

(

f( 1 x

—

)

)

2

a) Obtengamos f1_(x).

y

1

1

x

; 1 x 1 y; x

1

y 1

1

y y

, así que f1_(x) 1

x x

1_x 1, (f1_)(x)

x

1

2

b)y

(

f(x)

)

2 3

; y 2

3

(

f(x)

)

1 3

f(x) 2

3 (1

1

x)2

₃2₍

3 1 1 x) x

2

c) yf

(

f(x)

)

; y f

(

f(x)

)

f(x) Como f(x)

(1

1

x)2

, f

(

f(x)

)

(

1

1

f(x)

)

2

(₍x_x1₂)₎22, por lo que la derivada pedida es

[

f

(

f(x)

)]

(

( x x 1 2 ) ) 2 2

₍₁( 1_x)₎2 _(x

1 2)2

.

d)y

(

f( 1

x

)

)

2; y

1

(

f 2 ( f x ( ) x

)

) 4

f(x)

₍

_f2₍f_x)(

₎

x3

)

2(1 x)

Funciones exponenciales y logarítmicas

11.45. Deriva las siguientes funciones.

a)f(x) ex _e)f(x)

e

5x1 _{i) f(x) —}l e n x x —

b)f(x) ex2

5x2 _{f) f(x) ln (x}2_{4x 1) j) f(x) ln}2 _{(6x 4)} c)f(x) 22x3

x2

4 _{g)f(x) ln (2}x_3x) d)f(x) (2x2_4x)5x _{h)f(x) log}

5 (x 4_x2₎

a)f(x) ex _{f) f(x)}

x2 2x 4 x 4 1

b)f(x) ex2 5x2

(2x 5) g)f(x) ln

2 2 x 2x 3 x 3

c) f(x) ln 2(6x2

2x)22x3 x2

4

h)f(x) ln

1 5

4_xx4 3 x 2 2 x ₍₁ 2_x)2

₍₁ 1_x)3

1

x_x2₁