Integrali doppi: esercizi svolti

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt`a mag-giore.

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali doppi sugli insiemi specificati:

a)

Z

Ω(x+y)dx dy, Ω =

(

(x, y)∈R2 _{: 0< y <} √

2

2 , y < x <

q

1−y2

)

h

1 3

i

b)

Z

Ω

³

x2+y2´dx dy, Ω =n(x, y)∈R2: 0≤x≤1, 1≤y≤2o

h

8 3

i

c)

Z

Ωxy dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2_{: 0< x <1, x}2 _{< y <}√_xo

h

1 12

i

d)

Z

Ω

xy

x2_+y2dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2: 1< x2+y2<4, x >0, y >0o

h

3 4

i

e)

Z

Ωxy dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2: x2+y2<1, x2+y2<2x, y >0o

h

5 48

i

f)

Z

Ωxy dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2_{: x}2_{+ 2y}2 _{<1, x >0, y >0}o

h

1 16

i

g)

Z

Ωx(1−y)dx dy, Ω =

(

(x, y)∈R2: 0< y <

√ 2

2 , y < x <

q

1−y2

)

h√

2 6 −161

i

h)

Z

Ωlog (xy)dx dy, Ω =

½

(x, y)∈R2_{: −1< x <−}1

2, 4x < y < 1

x

¾

[5 log 2−3]

*i)

Z

Ωlog

x

y2 dx dy, Ω =

½

(x, y)∈R2 : 1 4x < y

2_{< x, 1< xy <2}

¾

h

1 6log24

i

l)

Z

Ω 1

(x+y)2 dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2 : 1≤x≤2, 3≤y≤4o

[log 25−log 24]

m)

Z

Ω

x

x2_+y2dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2_{: x}2_{< y <2x}2_{, 1< x <2}o

h

2 arctan 4−3 arctan 2 +π

4 −14log 17 +34log 5−12log 2

i

n)

Z

Ω siny2

y dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2 : 0< x < y2, √π < y <√2πo

[−1]

o)

Z

Ωxy dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2_{: x}2_{+ 2y}2 _<1o

[0]

p)

Z

Ω

q

x2_+y2_{dx dy, Ω =}n_{(x, y)∈R}2 _{: x}2_+y2_{−4x <0}o

h

256 9

i

q)

Z

Ω

³

x+y2´dx dy, Ω =n(x, y)∈R2 _{: 1< x}2_+y2 _{<4, x >0, y >0}o

h

7 3+ 1516π

i

r)

Z

Ωx

q

x2_+y2_{dx dy, Ω =}n_{(x, y)∈R}2 _{: x}2_+y2 _{<1, x}2_+y2 _{<2y, x <0}o

h

s)

Z

Ω(x+y)dx dy, Ω =

n

(x, y)∈R2: 2x2+ 3y2 <4, x >0, y >0o

h

4 9

³_√

3 +√2´i

Svolgimento

a) Consideriamo l’integrale

Z

Ω(x+y)dx dy, dove

Ω =

(

(x, y)∈R2_{: 0< y <} √

2

2 , y < x <

q

1−y2

)

.

x y

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 1: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω `ex-semplice. Quindi si ha che

Z

Ω(x+y)dx dy =

Z √2 2

0

"Z √_1−y2

y (x+y)dx #

dy=

=

Z √ 2 2

0

·

1 2x

2_+xy

¸√_1−y2

y

dy=

Z √ 2 2

0

·

1 2

³

1−y2´+y

q

1−y2₋3 2y

2

¸

dy=

=

Z √2 2

0

µ

1 2−2y

2_+yq_1−y2

¶

dy=

·

1 2y−

2 3y

3₋1 3

³

1−y2´

3 2

¸√2 2

0 = 1

3.

b) Consideriamo l’integrale

Z

Ω

³

x2+y2´dx dy, dove

x y

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Fig. 2: L’insieme Ω `e il quadrato.

L’insieme Ω `e sia x-semplice che y-semplice. Si ha che

Z

Ω

³

x2+y2´dx dy=

Z ₁

0

·Z ₂

1

³

x2+y2´ dy

¸

dx=

=

Z ₁

0

·

x2y+1

3y 3

¸₂

1

dx=

Z ₁

0

µ

x2+7

3

¶

dx=

·

1 3x

3₊7 3x

¸₁

0 = 8

3.

c) Consideriamo l’integrale

Z

Ωxy dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2 : 0< x <1, x2< y <√xo.

x y

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

L’insieme Ω `ey-semplice. Quindi si ha che

Z

Ωxy dx dy=

Z ₁

0

"Z √ x

x2 xy dy

#

dx=

=

Z ₁

0 x

·

1 2y

2

¸√ x

x2 dx= 1 2

Z ₁

0

³

x2−x5´dx= 1

2

·

1 3x

3₋1 6x

6

¸₁

0

= 1

12.

d) Consideriamo l’integrale

Z

Ω

xy

x2_+y2dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2 _{: 1< x}2_+y2 _{<4, x >0, y >0}o_.

x y

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.5 1 1.5 2 2.5

Fig. 4: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω `e sia x-semplice che y-semplice. Osserviamo che Ω presenta una sim-metria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(

x=ρcosϑ

y=ρsinϑ, ρ≥0, 0≤ϑ≤2π, |detJΦ(ρ, ϑ)|=ρ.

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

(_{1< ρ <2}

0< ϑ < π

2. Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0_{), dove}

Ω0 =

½

(ρ, ϑ)∈R2 : 1< ρ <2, 0< ϑ < π

2

¾

.

Ne segue che _Z

Ω

xy

x2_+y2dx dy=

Z

essendo Ω0 _{un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑe la funzione integranda}

prodotto di una funzione in ρ e di una diϑsi ottiene

=

µZ ₂

1 ρ dρ

¶ ÃZ π

2

0 cosϑsinϑ dϑ

!

=

·

1 2ρ

2

¸₂

1

·

1 2sin

2_ϑ

¸π

2

0 = 3

4.

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

0.5 1 π/2 2

Fig. 5: L’insieme Ω0 _{(in verde).}

e) Consideriamo l’integrale

Z

Ωxy dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2 _{: x}2_+y2 _{<1, x}2_+y2 _{<2x, y >0}o_.

x y

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(

x=ρcosϑ

y=ρsinϑ, ρ≥0, 0≤ϑ≤2π, |detJΦ(ρ, ϑ)|=ρ.

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

      

0< ρ <1 0< ρ <2 cosϑ

0< ϑ < π₂.

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0_{), dove Ω}0 _{= Ω}0

1∪Ω02, con

Ω0₁=

½

(ρ, ϑ)∈R2: 0< ρ <1, 0< ϑ < π

3

¾

,

Ω0₂ =

½

(ρ, ϑ)∈R2_{: 0< ρ <2 cosϑ,} π

3 ≤ϑ <

π

2

¾

.

θ ρ

−1 −0.5 00 0.5 π/3 π/2 2 2.5

0.5 1 1.5 2 2.5

Fig. 7: L’insieme Ω0 _{= Ω}0

1∪Ω02, con Ω01 (in rosso) e Ω02 (in verde).

Ne segue che _Z

Ωxy dx dy=

Z

Ω0ρ

3_{cosϑsinϑ dρ dϑ=}

=

Z

Ω0 1

ρ3cosϑsinϑ dρ dϑ+

Z

Ω0 2

ρ3cosϑsinϑ dρ dϑ=

essendo sia Ω0

1 che Ω02 ρ-semplici e la funzione integranda prodotto di una funzione inρ e di una di ϑ, si ottiene

=

µZ ₁

0 ρ 3_dρ

¶ ÃZ π

3

0 cosϑsinϑ dϑ

!

+

Z π

2

π

3

cosϑsinϑ

"Z _{2 cosϑ}

0 ρ 3_dρ

#

=

·

1 4ρ

4

¸₁

0

·

1 2sin

2_ϑ

¸π

3

0 +

Z π

2

π

3

cosϑsinϑ

·

1 4ρ

4

¸_{2 cosϑ}

0

dϑ=

= 3

32 + 4

Z π

2

π

3

cos5ϑsinϑ dϑ= 3 32+ 4

·

−1 6cos

6_ϑ

¸π

2

π

3

= 5

48.

f) Consideriamo l’integrale

Z

Ωxy dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2 : x2+ 2y2 <1, x >0, y >0o.

x y

−1 −0.5 0 0.5 1

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 8: L’insieme Ω (in azzurro).

Essendo Ω la parte del I quadrante inclusa nell’ellisse di equazione x2₊ y2 1 2

= 1, passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(_x=ρcosϑ

y= √2

2 ρsinϑ,

ρ≥0, 0≤ϑ≤2π, |detJΦ(ρ, ϑ)|=

√ 2 2 ρ.

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

(_{0< ρ <1}

0< ϑ < π₂.

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0_{), dove}

Ω0 =

½

(ρ, ϑ)∈R2 _{: 0< ρ <1, 0< ϑ <} π 2

¾

.

Ne segue che _Z

Ωxy dx dy=

1 2

Z

Ω0ρ

ρ θ

−0.5 00 0.5 1 1.5 2.0 0.5

1 π/2 2

Fig. 9: L’insieme Ω0 (in verde).

essendo Ω0 _{un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑe la funzione integranda}

prodotto di una funzione in ρ e di una diϑsi ottiene

= 1 2

µZ ₁

0 ρ 3_dρ

¶ ÃZ π

2

0 cosϑsinϑ dϑ

!

= 1 2

·

1 4ρ

4

¸₁

0

·

1 2sin

2_ϑ

¸π

2

0

= 1

16.

g) Consideriamo l’integrale

Z

Ωx(1−y)dx dy, dove

Ω =

(

(x, y)∈R2: 0< y <

√ 2

2 , y < x <

q

1−y2

)

.

x y

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 10: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω `ex-semplice. Quindi si ha che

Z

Ωx(1−y)dx dy =

Z √ 2 2

0

"Z √_1−y2

y x(1−y)dx #

= Z √ 2 2 0 · 1 2x

2_(1−y)

¸√_1−y2

y

dy= 1

2

Z √ 2 2

0 (1−y)

³

1−2y2´dy=

= 1 2 Z √ 2 2 0 ³

1−y−2y2+ 2y3´ dy= 1 2

·

y−1

2y 2₋2

3y 3₊1

2y 4

¸√2 2 0 = √ 2 6 − 1 16.

h) Consideriamo l’integrale

Z

Ωlog (xy)dx dy, dove

Ω =

½

(x, y)∈R2 : −1< x <−1

2, 4x < y < 1 x ¾ . x y

−3 −2 −1 −1/2 0 1

−5 −4 −3 −2 −1 0

Fig. 11: L’insieme Ω `e la parte di piano delimitata dall’iperbolexy= 1 (in blu) e dalle

rettey= 4x (in rosso) ex=−1 (in nero).

L’insieme Ω `ey-semplice. Quindi si ha che

Z

Ωlog (xy)dx dy =

Z ₋1 2

−1

"Z 1

x

4x log (xy)dy #

dx=

integrando per parti

=

Z ₋1 2

−1

à h

ylog (xy)i 1

x

4x− Z 1

x

4x dy !

dx=

Z ₋1 2

−1

µ

−4xlog 4x2− 1

x+ 4x

¶

dx=

integrando per parti

=−4

÷

1 2x

2_{log 4x}2

¸₋1 2

−1 −

Z ₋1 2

−1 x dx

!

+h−log|x|+ 2x2i−

1 2

=−4

µ

−log 2 +3 8

¶

+ log 2−3

2 = 5 log 2−3.

*i) Consideriamo l’integrale

Z

Ωlog

x

y2 dx dy, dove

Ω =

½

(x, y)∈R2 _: 1 4x < y

2 _{< x, 1< xy <2}

¾

.

x y

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fig. 12: L’insieme Ω `e la parte di piano delimitata dalle parabole x = y2 _{(in blu),}

x= 4y2 (in nero) e dalle iperbolixy= 1 (in rosso) e xy= 2 (in fucsia).

L’insieme Ω si pu`o scomporre nell’unione di un numero finito di insiemix-semplici oy-semplici aventi a due a due in comune al pi`u dei segmenti del piano. Tuttavia procedendo in questo modo risulta assai arduo il calcolo dell’integrale. Pertanto conviene procedere come segue.

Osserviamo che Ω `e contenuto nelI quadrante. Pertanto per ogni (x, y)∈Ω si ha

che x, y >0. Quindi

(x, y)∈Ω ⇐⇒

  

1 4 < y

2

x <1,

1< xy <2.

Poich`e anche la funzione integranda f(x, y) = log x

y2 contiene il termine y 2

x,

con-viene operare il seguente cambiamento di variabili:

Ψ :

(_u=xy

v= _yx2,

Evidentemente

(x, y)∈Ω ⇐⇒

(

1< u <2,

1< v <4.

In realt`a a noi interessa il cambiamento di variabili inverso. Posto quindi Φ = Ψ−1, ricavando xe y in funzione diu e v, si ottiene

Φ :

    

x=u3

q v u

y = 3

q u v,

1< u <2, 1< v <4.

Resta da calcolare il determinante della matrice Jacobiana di Φ. Dal Teorema dell’inversione locale si ha che

detJ_Φ(u, v) = detJ_Ψ−1(u, v) =

³

detJ_Ψ(Φ(u, v))´−1.

Si ha che

JΨ(x, y) =

Ã_∂u

∂x(x, y) ∂u∂y(x, y) ∂v

∂x(x, y) ∂v∂y(x, y) !

=

Ã

y x

1

y2 −2_yx3

!

=⇒ detJΨ(x, y) =−3_yx₂.

Quindi

|detJ_Φ(u, v)|= 1 3v.

Si ha che Ω = Φ(Ω0_{), dove Ω}0 ₌n_{(u, v)∈R}2 _{: 1< u <2, 1< v <4}o_.

u v

−1 0 1 2 3

0 1 2 3 4

L’integrale diventa

Z

Ωlog

x

y2dx dy =

Z

Ω0 logv

3v du dv=

essendo Ω0 _{un rettangolo con lati paralleli agli assi u e v e la funzione integranda}

prodotto di una funzione di u per una funzione div, si ottiene

= 1 3

µZ ₂

1 du

¶ µZ ₄

1 logv

v dv

¶

= 1 3

h

ui2

1

·

1 2log

2_v

¸₄

1 = 1

6log 2_4.

l) Consideriamo l’integrale

Z

Ω 1

(x+y)2 dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2: 1≤x≤2, 3≤y≤4o.

x y

−2 −1 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

Fig. 14: L’insieme Ω `e il quadrato.

L’insieme Ω `e sia x-semplice che y-semplice. Si ha che

Z

Ω 1

(x+y)2 dx dy=

Z ₂

1

·Z ₄

3 1 (x+y)2 dy

¸

dx=

Z ₂

1

·

− 1

x+y

¸₄

3

dx=

=

Z ₂

1

µ

1

x+ 3−

1

x+ 4

¶

dx=hlog|x+ 3| −log|x+ 4|i2

1 = log 25−log 24.

m) Consideriamo l’integrale

Z

Ω

x

x2_+y2dx dy, dove

x y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Fig. 15: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω `ey-semplice. Quindi si ha che

Z

Ω

x

x2_+y2dx dy =

Z ₂

1

"Z _2x2

x2

x

x2_+y2 dy

#

dx=

Z ₂

1

"Z _2x2

x2

1

x

1 +¡y_x¢2 dy

#

dx=

=

Z ₂

1

·

arctan

µ

y x

¶¸_2x2

x2

dx=

Z ₂

1 (arctan 2x−arctanx)dx= integrando per parti

=hx(arctan 2x−arctanx)i2 1−

Z ₂

1

µ

2x

1 + 4x2 −

x

1 +x2

¶

dx=

= 2 arctan 4−3 arctan 2 +π 4 −

·

1 4log

³

1 + 4x2´−1 2log

³

1 +x2´¸2

1 =

= 2 arctan 4−3 arctan 2 +π 4 −

1

4log 17 + 3

4log 5− 1 2log 2.

n) Consideriamo l’integrale

Z

Ω siny2

y dx dy, dove

0 π 2π 1

2 3

x y

Fig. 16: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω `ex-semplice. Quindi si ha che

Z

Ω siny2

y dx dy=

Z √

2π √

π

"Z _y2

0

siny2

y dx

#

dy=

Z √

2π √

π "

siny2

y x

#_y2

0

dy=

=

Z √

2π √

π ysiny

2_dy=

·

−1 2cosy

2

¸√_2π √

π

=−1.

o) Consideriamo l’integrale

Z

Ωxy dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2 _{: x}2_{+ 2y}2 _<1o_.

Osserviamo che sia Ω che f(x, y) = xy presentano una simmetria rispetto ad entrambi gli assi. In particolare si ha che

(x, y)∈Ω, y >0 =⇒ (x,−y)∈Ω, f(x,−y) =−f(x, y).

Quindi _Z

Ω∩{(x,y): y≥0}xy dx dy=−

Z

Ω∩{(x,y): y<0}xy dx dy.

Essendo Ω = ³Ω∩n(x, y)∈R2_{: y≥0}o´_∪³_Ω∩n_{(x, y)∈R}2 _{: y <0}o´_{, si ha}

che _Z

x y

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

− −0.5 0 0.5 1

Fig. 17: L’insieme Ω (in azzurro).

p) Consideriamo l’integrale

Z

Ω

q

x2_+y2_{dx dy, dove}

Ω =n(x, y)∈R2 _{: x}2_+y2_{−4x <0}o_.

x y

−1 0 1 2 3 4 5

−2 −1 − 0 1 2

Fig. 18: L’insieme Ω (in azzurro).

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(

x=ρcosϑ

y=ρsinϑ, ρ≥0, −π≤ϑ≤π, |detJΦ(ρ, ϑ)|=ρ.

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

(_{0< ρ <4 cosϑ}

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0_{), dove}

Ω0 =

½

(ρ, ϑ)∈R2: 0< ρ <4 cosϑ, −π

2 < ϑ <

π

2

¾

.

θ ρ

−3 −2 −π/2 −1 0 1 π/2 2 3

−1 0 1 2 3 4

Fig. 19: L’insieme Ω0 _{(in verde).}

Ne segue che

Z

Ω

q

x2_+y2_{dx dy =}

Z

Ω0ρ

2_{dρ dϑ=}

essendo Ω0 ρ-semplice e la funzione integranda prodotto di una funzione inρ e di una di ϑsi ottiene

=

Z π

2

−π

2

ÃZ _{4 cosϑ}

0 ρ 2_dρ

!

dϑ=

Z π

2

−π

2

·

1 3ρ

3

¸_{4 cosϑ}

0

dϑ= 64

3

Z π

2

−π

2

cos3ϑ dϑ=

integrando per parti

= 64 3

à h

sinϑcos2ϑi π

2

−π₂ + 2 Z π

2

−π

2

cosϑsin2ϑ dϑ

!

= 128 3

·

1 3sin

3_ϑ

¸π

2

−π

2

= 256 9 .

q) Consideriamo l’integrale

Z

Ω

³

x+y2´dx dy, dove

x y

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.5 1 1.5 2 2.5

Fig. 20: L’insieme Ω (in azzurro).

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(

x=ρcosϑ

y=ρsinϑ, ρ≥0, 0≤ϑ≤2π, |detJΦ(ρ, ϑ)|=ρ.

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

(

1< ρ <2 0< ϑ < π₂.

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0), dove

Ω0 =

½

(ρ, ϑ)∈R2 _{: 1< ρ <2, 0< ϑ <} π 2

¾

.

Ne segue che

Z

Ω

³

x+y2´dx dy=

Z

Ω0

³

ρ2cosϑ+ρ3sin2ϑ´dρ dϑ=

essendo Ω0 un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑe la funzione integranda somma di prodotti di funzioni diρ e di funzioni diϑ, si ottiene

=

µZ ₂

1 ρ 2_dρ

¶ ÃZ π

2

0 cosϑ dϑ

!

+

µZ ₂

1 ρ 3_dρ

¶ ÃZ π

2

0 sin 2_{ϑ dϑ}

!

=

=

·

1 3ρ

3

¸₂

1

h

sinϑi π

2 0 +

·

1 4ρ

4

¸₂

1

·

1

2(ϑ−sinϑcosϑ)

¸π

2

0 = 7

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

0.5 1 π/2 2

Fig. 21: L’insieme Ω0 (in verde).

r) Consideriamo l’integrale

Z

Ωx

q

x2_+y2_{dx dy, dove}

Ω =n(x, y)∈R2 : x2+y2 <1, x2+y2 <2y, x <0o.

x y

−2 −1 0 1 2

−1 0 1 2

Fig. 22: L’insieme Ω (in azzurro).

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(

x=ρcosϑ

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

      

0< ρ <1 0< ρ <2 sinϑ

π

2 < ϑ < π. Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0_{), dove Ω}0 _{= Ω}0

1∪Ω02, con

Ω0₁=

½

(ρ, ϑ)∈R2 : 0< ρ <1, π

2 < ϑ < 5 6π

¾

,

Ω0₂ =

½

(ρ, ϑ)∈R2 : 0< ρ <2 sinϑ, 5

6π ≤ϑ < π

¾

.

θ ρ

0 π/2 5/6π π

0 1 2

Fig. 23: L’insieme Ω0 _{= Ω}0

1∪Ω02, con Ω01 in rosso e Ω02 in verde.

Ne segue che _Z

Ωx

q

x2_+y2_{dx dy=}

Z

Ω0ρ

3_{cosϑ dρ dϑ=}

=

Z

Ω0 1

ρ3cosϑ dρ dϑ+

Z

Ω0 2

ρ3cosϑ dρ dϑ=

essendo sia Ω0

1 che Ω02 ρ-semplici e la funzione integranda prodotto di una funzione diρ e di una di ϑsi ottiene, si ottiene

=

µZ ₁

0 ρ 3_dρ

¶ ÃZ 5 6π

π

2

cosϑ dϑ

!

+

Z _π

5 6π

cosϑ

"Z _{2 sinϑ}

0 ρ 3_dρ

#

dϑ=

=

·

1 4ρ

4

¸₁

0

h

sinϑi

5 6π

π

2 +

Z _π

5 6π

cosϑ

·

1 4ρ

4

¸_{2 sinϑ}

0

=−1 8 + 4

Z _π

5 6π

cosϑsin4ϑ dϑ=−1 8+ 4

·

1 5sin

5_ϑ

¸_π

5 6π

=

=−1 8 −

1 40 =−

3 20.

s) Consideriamo l’integrale

Z

Ω(x+y)dx dy, dove

Ω =n(x, y)∈R2 : 2x2+ 3y2<4, x >0, y >0o.

x y

−2 −1 0 1 2

−2 −1 0 1 2

Fig. 24: L’insieme Ω (in azzurro).

Essendo Ω la parte del I quadrante inclusa nell’ellisse di equazione x₂2 +y42 3

= 1, passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi

Φ :

(

x=√2ρcosϑ

y= 2₃√3ρsinϑ, ρ≥0, 0≤ϑ≤2π, |detJΦ(ρ, ϑ)|=

2 3

√ 6ρ.

Allora

(x, y)∈Ω ⇐⇒

(

0< ρ <1 0< ϑ < π₂.

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω0), dove

Ω0 =

½

(ρ, ϑ)∈R2 : 0< ρ <1, 0< ϑ < π

2

¾

.

Ne segue che

Z

Ω(x+y)dx dy=

Z

Ω0 2 3

√ 6ρ

µ_√

2ρcosϑ+2 3

√

3ρsinϑ

¶

ρ θ

−0.5 00 0.5 1 1.5 2.0 0.5

1 π/2 2

Fig. 25: L’insieme Ω0 (in verde).

essendo Ω0 _{un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑe la funzione integranda}

somma di prodotti di funzioni diρ e di funzioni diϑ, si ottiene

= 4 3

√ 3

µZ ₁

0 ρ 2_dρ

¶ ÃZ π

2

0 cosϑ dϑ

!

+4 3

√ 2

µZ ₁

0 ρ 2_dρ

¶ ÃZ π

2

0 sinϑ dϑ

!

=

= 4 3

√ 3

·

1 3ρ

3

¸₁

0

h

sinϑi π

2 0 +

4 3

√ 2

·

1 3ρ

3

¸₁

0

h

−cosϑi π

2 0 =

4 9

³_√