Ejercicios Resueltos Ecuaciones No Lineales

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(1)

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia

Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS DE DE DE ECUACIDE ECUACIECUACIECUACIOOOONES NO LINEALESNES NO LINEALESNES NO LINEALESNES NO LINEALES

Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios:

Ejercicios:Ejercicios: Ejercicios:

1) Sea la ecuación !), donde g satisface | (!)| ) * ) 1 +, , -., /0.

a) Probar que también se cumple | !8) 9 !:)| ; *|89 :| +8, : , -., /0. b) Demostrar que si se cumple la condición en !a), la ecuación !), tiene a

lo mas, una solución en el intervalo -8, :0. Sol:

Se tiene que !) !=>?/@AB. CA =DEF? GHI?), y que la función g!x) satisface la condición de | (!)| ) * ) 1 +, , -., /0.

a) Del problema de punto fijo !) se desprende que: 8 !8) : !:) Si se restan queda: |89 :| | !8) 9 !:)|

Ocuparemos el T.V.M. !Teorema de Valor Medio), el cual está dado por:

(!) O!PQ)RO!PS)

PQRPS |89 :||

(!)| | !8) 9 !:)|

Se sabe por el enunciado que | (!)| ) *, por lo que podemos relacionar la resta entre 2 problemas de punto fijo con el T.V.M., entonces se tendría que:

| !8) 9 !:)| | (!)||89 :| ) *|8 9 :|

Por lo tanto | !8) 9 !:)| ) *|8 9 :| +8, : , -., /0. Queda probado.

b) Se desea demostrar que !) tiene 1 sola solución en -8, :0.

Suponiendo que existen en g!x) 2 puntos fijos !o soluciones), entonces: !8) 8

!:) :

Al ser restados queda:

| !8) 9 !:)| |89 :| , ahora aplicamos TVM !|89 :|| (!)| | !8) 9 !:)|).

|89 :|| (!)| |89 :| , y por el enunciado principal !| (!)| ) *), se tiene que:

|89 :| | (!)||89 :| ) *|89 :| |89 :| ) *|89 :|

(2)

2) La ecuación 2Z[ 24][61: 9 16 [ 1 0 tiene dos raíces cerca de 0.1

(0.1213203436; 0.1231056256), encuéntrelas mediante el método de Newton-Raphson.

Sol:

El método de N-R, es el método iterativo que requiere de la función, su derivada y un punto de inicio, la formula está dada por:

de8 d 9ff(Pg)h(Pg) ; n0, 1,2,…. Entonces:

G() 2Z[ 24][ 61:9 16 [ 1

Gj() 8][ 72:[ 122 9 16

Con m 0.1

Al reemplazar los datos, se obtiene:

de8 d 92d

Z[ 24

d][ 61d:9 16d[ 1

8d][ 72d:[ 122d9 16

Entonces las iteraciones son: ₁ 0.1111328125

₂ 0.11664780053787 ₃ 0.11936143263559 ₄ 0.12064808476922 ₅ 0.12117604663885 ₆ 0.12131031004941 ₇ 0.12132028783201

₈ 0.12132034355771 Aproximación a la raíz buscada (0.1213203436)

Ahora buscaremos la otra raíz, tomando como punto de inicio m 0.13

₁ 0.12616290927433 ₂ 0.1242900624559 ₃ 0.12344358909839 ₄ 0.12315206375549 ₅ 0.123106774549 ₆ 0.12310562635671

(3)

3) Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el reciproco de un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa ye8 y!2 9 z { y), | 0,1 … Calcular 8

8} usando el algoritmo. Sol:

El algoritmo de N-R, esta dado por ye8 y9 f!P~) fh!P

~) El reciproco de un número S, es: 8

 z 8

P G!) z 9 8 P 0 Gj!) 1

:

Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de N-R

ye8 y

9

R

Q €~ Q €~S

ye8 y

9

!{P~R8) P~

{

P~S 8

y

9 !z {

y:

9

y

)

2

y

9 z {

y:

y

{ !2 9 z {

y

)

Entonces: ye8y{ !2 9 z { y)

Para calcular 1/17, por el algoritmo encontrado, se considera S17, por lo tanto, la ecuación quedaría:

ye8y{ !2 9 17 { y)

Se sabe que 1/17 está entre 0 y 0.1.

Por lo que consideraremos como punto de inicio m 0.05 Las iteraciones queda igual a:

₁ 0.0575 ₂ 0.05879375

₃ 0.058823514335938 ₄ 0.058823529411764 El error absoluto de ₃ es:

‚ƒ!₃) |₄ 9 ₃| |0.05882352941176490.058823514335938|1.5075826*10R… ‚ƒ !₃) 1.5075826*10R…< ℰ10R}

Después de 4 iteraciones se llego a ₄ 0.058823529411764 que es una aproximación de 8

8} con un ‚ƒ < ℰ 10 R….

(4)

4) Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función G!) 2P98

] Sol:

Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene:

G!) 2P91 3

Gj!) 2Pln 2 !Derivada implícita)

Entonces: de8 d9 : €gRQ

ˆ :€g‰Š :

‹ŒŒŒŒŽ

O!Pg)

(!d) 1 9!2Pgln 2 { 2Pgln 2 9 2P9 13 { 2P!ln 2):

2:Pg!ln 2):

1 9

]{:8€

Según la propiedad | (!)| ) * ; 1

Entonces: ‘1 9]{:8€‘ ; 1

-91 ; 1 9]{:8€; 1 ………

6 > 2RP>0 /*Ln

ln 6 > 9 { ln 2 > ln 0/*-1

9‰Š ’‰Š : ; ; ln 0 , [9‰Š ’‰Š :, ∞]

(5)

5) Encuentre el punto positivo donde la función G!) ”•Š PPS alcanza su valor mínimo calculando los ceros de Gj!) con el método de Newton-Raphson. Calcule dicho valor mínimo.

Sol:

Se necesita saber la función a la cual se le aplicará el método de N-R, su derivada y el punto de inicio del algoritmo !dentro de un intervalo, para disminuir la cantidad de iteraciones).

Entonces: G!) ”•Š PPS G(!) 8

PS!–—˜ P)S9 : ”•Š P

Pˆ Función buscada para aplicar el algoritmo G((!) ’ ”•Š P

Pš 9 Z Pˆ!–—˜ P)S[

: ˜›Š P

PS!–—˜ P)ˆ Derivada de la función a analizar Ahora sustituimos los datos en la formula de N-R, la cual en nuestro casi es así:

de8 d 9Gjj!) G(!)

de8 d 9

œ 1

d:(cos d):9

2 tan d

d] 

œ6 tan d dZ 9

4

d]!cos d):[

2 sin d

d:!cos d)]

El intervalo !para obtener el punto de inicio del algoritmo) lo podemos obtener por medio de un barrido entre 0 y 2 !aplicando el TVI), de sugerencia ž [0.9; 1]. Al tener el intervalo, elegimos algún punto que esté en su interior, como m 0.9.

Las iteraciones son: ₁ 0.94775114536635 ₂ = 0.94774713352959 ₃ = 0.94774713351695 ₄ = 0.94774713351695 El error absoluto de ₃ es:

‚ƒ(₃) = |₄ 9 ₃| = |0.94774713351695 9 0.94774713351695| ‡ 0

‚ƒ (₃) ‡ 0

Después de 4 iteraciones se llego a ₄ = 0.94774713351695 que es una aproximación a la raíz de G((), con un ‚

ƒ (₃) ‡ 0. Esta aproximación es el punto mínimo de la

función G() = ”•Š PPS .

G((₄ = 0.94774713351695) = -1.7250028381586*10R8] ‡ 0

(6)

6) Determinar algoritmos de punto fijo para obtener una solución aproximada de la ecuación !1 [ )ŸAE!) 1.

Sol:

Ordenamos la ecuación G!) ŸAE!) [ ŸAE!) 9 1 0

Ahora le sumamos : en ambos lados de la ecuación, quedando:

ŸAE!) [ ŸAE!) 9 1 [ : :

Despejando una de las x, para formar el algoritmo de punto fijo !de8 !d))

de8  ŸAE!d) [ dŸAE!d) 9 1 [ d: Algoritmo de punto fijo

Evaluamos la función en algunos puntos, para obtener un intervalo que contenga la raíz que buscamos.

Por lo que nos queda un intervalo !después del “barrido”), ž -2.85; 2.90.

Elegimos un punto de inicio, m 2.875

Las iteraciones del algoritmo son:

₁ 2.8786243631782 ₁₁ 2.8809861083846

₂ 2.8800553193257 ₁₂ 2.8809862372817

₃ 2.8806194966361 ₁₃ 2.8809862880556

₄ 2.8808418107431 ₁₄ 2.8809863080559

₅ 2.8809293947499 ₁₅ 2.8809863159342

₆ 2.8809638968662 ₁₆ 2.8809863190376

₇ 2.880977487889 ₁₇ 2.88098632026

₈ 2.8809828415741 ₁₈ 2.8809863207415

₉ 2.8809849504512 ₁₉ 2.8809863209312

₁₀ 2.88098578116 ₂₀ 2.8809863210059

El error absoluto de ₁₉ es:

‚ƒ! ₁₉) |₂₀ 9 ₁₉| |2.8809863210059 9 2.8809863209312|7.47*10R88

‚ƒ ! ₁₉) 7.47*10R88< ℰ10R8m

Después de 20 iteraciones se llego a ₂₀ 2.8809863210059 que es una aproximación

a la raíz de G!) ŸAE!) [ ŸAE!) 9 1, con un ‚ƒ ! ₁₉) < ℰ10R8m

(7)

7) Obtener un algoritmo de punto fijo para calcular log8/]5 . Sol:

La ecuación es logQ

ˆ5, que es igual a ! 8

])P 5,entonces G!) ! 8

])P9 5.

Trabajamos un poco la ecuación, para pasarla a un problema de punto fijo.

!13)P 5 /{  €

1 = 3 { √5€ /[x

3√5€ [ 9 1 Problema de punto fijo

de8 3 √5€g [ d9 1 !d) Algoritmo de punto fijo

Para aplicar el algoritmo, necesitamos un punto de inicio, este punto se obtiene de un intervalo, el cual responde al TVI. Este intervalo es ž [91.5; 91.4] !entre más pequeño mejor), y el punto de inicio será m 91.45.

Las iteraciones quedan:

₁ -1.4612807817018 ₆ = -1.464969925092 ₂ = -1.4640531867328 ₇ = -1.4649726215252 ₃ = -1.4647435586268 ₈ = -1.4649732958476 ₄ = -1.4649160238965 ₉ = -1.4649734644823 ₅ = -1.4649591426499 ₁₀ = -1.4649735066545 El error absoluto de ₉ es:

‚ƒ(₉) = |₁₀ 9 ₉| = | 9 1.4649735066545 9 91.4649734644823|=4.21722*10R… ‚ƒ (₉) = 4.21722*10R…< ℰ=10R}

Después de 10 iteraciones se llego a ₁₀ = -1.4649735066545 que es una aproximación a la raíz de la función, con un ‚ƒ (₉) < ℰ=10R}

f (₁₀ = -1.4649735066545)=-7.72512*10R… ‡ 0 f (₁₀)‡ 0 (La raíz exacta es 9‰Š § ‰Š ])

¨ = 9ln 5ln 3 = 90.14649735207179 { 108

₁₀ = -0.14649735066545*10©ª8 Dígitos Significativos

Dígitos SignificativosDígitos Significativos Dígitos Significativos

‚ƒ(₁₀) ) 0.5 { 10©R«

| 90.14649735207179 { 108+ 0.14649735066545 { 108 ) 0.5 { 108R« 0.0000000140634

0.5 ) 108R« /{ @?

(8)

8) La ecuación 2][ 4:9 95 =0 tiene una raíz cercana a x1. Obtener tres

algoritmos iterativos de la forma !), siendo !) un radical, tales que

converjan a la raíz, comenzando con m 1.Encontrar la solución indicando cual es el algoritmo que más rápidamente converge.

Sol:

La función es G!) 2] [ 4:9 950

Tres problemas de punto fijo podrían ser:

a) despejando :

√:Pe§R:Pˆ

:

()

b) despejando ]

­

§e:PRZPS

:

ˆ

()

c) Aplicamos N-R (es un tipo de problema de punto fijo)

9(2(]6[ 4: [ 8 9: 9 2 92) = () 5) Las iteraciones para (a), son:

₁ = 1.1180339887499 ₂ = 1.0536819972868

….

₃₀ = 1.0781625824823

Las iteraciones para (b), son:

₁ = 1.1447142425533

₂ = 1.0079279312584

₃ = 1.1385995170201

₄ = 1.015033461394

₅ = 1.1330072625887

…Converge muy lentamente

Las iteraciones para (c), son:

₁ = 1.08333333333333

₂ = 1.0781830462682

₃ = 1.0781625876515

₄ = 1.0781625873293

(9)

9) Resolver  š 656112√P 6P usando un algoritmo de punto fijo. Sol:

Para poder usar un algoritmo de punto fijo, necesitamos pasar la ecuación a algo más trabajable, entonces:

 656112√P š

6P /{ ln !)

ln 656112√PZ ln 6P

4 { ln 656112 { ln 6

G!) √PZ { ln 656112 9 { ln 6 0

Ahora hacemos un barrido para ver en que intervalo esta la raíz de la función f!x). G!0) 0 x0 es raíz de la función

G!3) 0.424531300494 G!3.4) 0.08238673361 G!3.5) 90.006647672497

G!4) 90.469994484382

El intervalo donde se encuentra la raíz de f!x) es ž -3.4; 3.50, y el punto de inicio será m 3.45.

El problema de punto fijo con que se trabajara será: de8 !d)  PZg{‰Š ’§’88:‰Š ’

₁ 3.4712265304214 ₇ 3.4922489459813 ₂ 3.4818887200483 ₈ 3.4924162987635 ₃ 3.4872320897908 ₉ 3.4924999781619

₄ 3.4899068488881 ₁₀ 3.4925418186131 ₅ 3.4912449976811 ₁₁ 3.4925627390267 ₆ 3.4919142644745 ₁₂ 3.4925731992805 El error absoluto de ₁₁ es:

‚ƒ!₁₁) |₁₂ 9 ₁₁| |3.4925731992805 9 3.4925627390267|1.04602538*10R§

‚ƒ !₁₁) 1.04602538*10R§< ℰ10RZ

Después de 12 iteraciones se llego a ₁₂ 3.4925731992805 que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ‚ƒ !₁₁) < ℰ10RZ

f !₁₂ 3.4925731992805)9.3711503*10R’ ‡ 0 f !

(10)

10) Resolver  . 9 √. [ usando un algoritmo de punto fijo. Sol:

Al ordenar la ecuación !igualándola a 0), queda expresado de la siguiente forma:

G!)  . 9 √. [ 9 0 !la idea es obtener la raíz de f!x))

Para poder obtener esa raíz, tomaremos la ecuación inicial, como nuestro problema de punto fijo. El algoritmo de punto fijo queda:

de8 ­. 9  . [ d

Y el punto de inicio será: m √. Las iteraciones quedan:

8 ­. 9  . [ √. !Cantidad de a: 3)

: ±. 9 ². [ ­. 9  . [ √. !Cantidad de a: 5)

]

³ ´´ ´´ ´´ ´´ ´µ

. 9 ¶. [ ±. 9 ². [ ­. 9  . [ √. !Cantidad de a: 7)

……

d

³ ´´ ´´ ´´ ´´ ´µ

. 9 ³ ´´ ´´ ´´ ´´ ´µ

. [ · … . ³ ´´ ´´ ´´ ´´ ´µ

. 9 ¶. [ ±. 9 ². [ ­. 9  . [ √. !Cantidad de a:

-2n[10)

El error absoluto de d es: ‚ƒ!d) |d 9 dR8| 0

Después de n iteraciones se llego a que d es la raíz de de la función G!)  . 9 √. [ 9 , con un ‚ƒ !d) 0

G !d) 0

(11)

11) Cuando a>1 y 0<b<1/2 la ecuación ¸€/¹8R89¸€ºR89 !. 9 1)/ 0 tiene una raíz positiva. Demostrarlo y calcularla, con cuatro cifras decimales exactas, para a5 y b1/4.

Sol:

La ecuación al multiplicarla por !AP/º 9 1)! AP9 1) queda:

!AP9 1) 9 .!AP/º 9 1) [ !1 9 .)/!AP/º9 1)! AP9 1)0

AP9 1 9 .AP/º[ . [ !1 9 .)/!AP!ºe8)/º9 AP9 AP/º[ 1)0

Al evaluar en la ecuación a5 y b1/4, se tiene:

AP9 1 9 5AP/§[ 5 [ !1 9 5)8 Z!A

P’/§9 AP9 AP/§[ 1)0

AP9 5AP/§[ 4 9 AP’/§[ AP[ AP/§9 1 0

G!) 2AP9 4AP/§9 AP’/§[ 3 0

Al hace un “barrido” con números positivos, se puede obtener el intervalo en donde se encuentra la raíz, este intervalo es ž -2.8; 2.90.

Ocuparemos el método de N-R, para encontrar la raíz positiva de la función.

de8 d 9 G!) Gj!)

Entonces el algoritmo es:

de8 d 9

!2AP9 4AP/§9 AP’/§[ 3)

!96A’P/§5 94A5 [ 2AP/§ P)

Tomando como punto de inicio m 2.85

₁ 2.8310014382654

₂ 2.8304821786777

₃ 2.8304817995381

El error absoluto de ₂ es:

‚ƒ!₂) |₃ 9 ₂| |2.8304817995381 9 2.8304821786777|0.00000037914

‚ƒ !₂) 3.7914*10R}< ℰ10R’

0.00000037914) 0.5 { 10©R« ; » 1 !₃ 0.28304817995381*10©ª8)

log!0.00000075828) ) 1 9 ¬ ¬ 7

Después de 3 iteraciones se llego a ₃ 2.8304817995381 que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ‚ƒ !₂ ) < ℰ10R’, y con 7 cifras significativas.

(12)

12) Resolver la ecuación A√PSR8

2√ [ 1.24 , usando un algoritmo de punto fijo, partiendo con m 1.5 , operar con cinco decimales.

Sol:

Al ordenar la ecuación queda: √:91 ln!2√ [ 1.24) /*!): :9 1 ln:!2√ [ 1.24)

G!) :9 1 9 ln:!2√ [ 1.24) 0

De esta función se desprende el problema de punto fijo.

¼­1 [ ln:!2√ [ 1.24) El algoritmo de punto fijo queda:

de8 ¼­1 [ ln:!2 d[ 1.24) Las iteraciones son:

m 1.5

₁ 1.6444754042634 ₆ = 1.6737725207851

₂ = 1.6689994668324 ₇ = 1.6737752773212

₃ = 1.6730014911783 ₈ = 1.6737757237213

₄ = 1.6736503933287 ₉ = 1.6737757960124

₅ = 1.6737554991543 ₁₀ = 1.6737758077194

El error absoluto de ₉ es:

‚ƒ(₉) = |₁₀ 9 ₉| = |1.6737758077194 9 1.6737757960124|=1.1707*10R…

‚ƒ (₉) = 1.1707*10R…< ℰ=10R}

Después de 10 iteraciones se llego a ₁₀ = 1.6737758077194 que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ‚ƒ (₉ ) < ℰ=10R}

(13)

13) ¿En qué valor de tiene la curva ¿ ARPln un punto de inflexión? Sol:

Para calcular el punto de inflexión de una curva se necesita la segunda derivada de esta, entonces:

¿ ARPln ¿( ARP

9 ARPln ¿(( ARPln 92ARP

9A

RP

:

La idea es obtener la raíz de ¿(( , ya que esta es el punto de inflexión de la función ¿ .

Entonces la segunda derivada se iguala a cero y se aplica algún método iterativo. ¿(( = ARPln 9:¸Á€

P 9 ¸Á€

PS = 0 /*:

¿(( G() :ln 92 91 0

El intervalo donde se encuentra la raíz es ž -2.5;2.60, el cual fue obtenido por medio del T.V.I.

Usando un algoritmo de punto fijo:

de8 = ²2ln dd [1

Con el punto de inicio m 2.55 Las iteraciones son:

₁ = 2.5527326631178

₂ = 2.5524161803831

₃ = 2.5524527187453

₄ = 2.5524484988056

₅ = 2.5524489861603

₆ = 2.5524489298762

El error absoluto de ₅ es:

‚ƒ(₅) = |₆ 9 ₅| = |2.5524489298762 9 2.5524489861603|=5.62841*10R…

‚ƒ (₅) = 5.62841*10R…< ℰ=10R}

Después de 6 iteraciones se llego a ₆ = 2.5524489298762 que es una aproximación al punto de inflexión de la curva ¿ = ARPln , con un ‚ƒ (₅ ) < ℰ=10R}

(14)

14) Considere la siguiente ecuación relativa a un conector de energía solar:

Â

ÆS!8eǸd!º)Rm.§ÈÉÇ(º)): Ã{ÄS˜Å– !•)

En donde f=0.7, d=9 es el diámetro del colector, h=220 es la altura del colector,

c=1350 es el factor de concentración geométrica y “a” es el ángulo del borde del campo de espejos planos que se enfocan sobre un colector central. Determine el ángulo a con 5 dígitos significativos, compruebe sus resultados.

Sol:

Reemplazamos los datos que nos dan en la ecuación.

1350 = 2 { 0.7 { 220

:sec !a)

9:!1 [ ŸAE!.) 9 0.5Â?Ÿ!.))

Ahora se trata de dejar de la forma f!a)=0.

109350!1[ ŸAE!.) 9 0.5Â?Ÿ!.))=67760*sec!a) /*cos!a)

109350*cos!a)*!1[ ŸAE!.) 9 0.5Â?Ÿ!.))=67760

G!.) = 109350 { cos!.) { !1 [ ŸAE!.) 9 0.5 { cos!.)) 9 67760 = 0

Para encontrar el ángulo, ocuparemos un algoritmo de punto fijo:

cos!.) = 67760/!109350 { !1 [ ŸAE!.) 9 0.5 { cos!.)))

.de8 = cosR8! 67760

109350 { !1 [ ŸAE!.d) 9 0.5 { cos!.d))

)

Comenzaremos nuestro algoritmo con un ángulo recto !.m = 90).

Entonces las iteraciones son:

.8 =71.950964874342 .§ =69.386635284094

.: =69.815338240963 .’ =69.384737245012

.] =69.459342007103 .} =69.384404544184

.Z =69.397465802888 .… =69.384346224002

El error absoluto de .} es:

‚ƒ!.}) = |.…9 .} | = |69.384346224002 9 69.384404544184|=3.32700828*10RZ

Como .} es una aproximación de .…, por lo que .} = 0.69384404544184 { 10©ª:

Para obtener la cantidad de dígitos significativos se tiene que:

‚ƒ!.}) )0.5*10©R«3.32700828*10RZ )0.5*10:R«

Log !3.32700828*10RZ/0.5) ) 2 9 ¬ ¬ ‡ 5

Después de 7 iteraciones se llego a .} =69.384404544184 que es una aproximación al del borde del campo de espejos planos, con un ‚ƒ !.} ) < ℰ=10R] y con 5 dígitos significativos.

(15)

15) Encontrar el valor de H ­7 [  7 [ √7 [ · usando un método de punto fijo.

Sol:

Consideremos primero el problema de punto fijo

de8

 7 [ d

‹ŒŒŽ

O(Pg)

!n0, 1,2,…)y el

punto de inicio del método iterativo como m √7 Usando el algoritmo de punto fijo, las iteraciones son: 8=3.1057609874336

: =3.1789559587125

]=3.1904476110278

Z=3.1922480497336

§=3.1925300389713

’=3.1925742025787

}=3.1925811191854

…=3.1925822024163

½=3.1925823720643

8m=3.1925823986334

El error absoluto de ½ es:

‚ƒ(½) = |₁₀ 9 ₉| = |3.1925823986334 9 3.1925823720643| = 2.65691 { 10R…

‚ƒ (½) = 2.65691 { 10R…; Ë = 10R}

(16)

16) Encontrar las Raíces de P(x) = 1+ 3x +5x²+6x³

Sol:

Para encontrar las raíces del polinomio debemos primero ver en que intervalo se encuentran. El intervalo se puede encontrar por medio de un “anillo”, dado por la siguiente fórmula:

|a₀|/(|a₀|[am) ≤|x|≤ (|an

Al aplicarla resulta:

1/(1+6) ≤ |x| ≤ (6+6)/6

Entonces el intervalo que contiene a la raíces del polinomio es

I = [-2; 1/7] U [1/7; 2] = I₁ U I₂

Ahora hacemos un “barrido” en los 2 sub intervalos.

-Sub intervalo

P (-2) = 33

P (-1.2) = 5.768 P (-0.6) = 0.296 P (-0.4) = 0.216 P (-1/7) 0.6559767

Según el análisis, hay una raíz real y está ubicada en

I= [-0.6;-0.4]. Ya que P (-0.6)*P (

Según la derivada P’(x) =3+10x+18x²

P’(x)>0, ∀ x ∊ I. La función es creciente en el

Ahora aplicamos el método de Horner Considerado el punto inicial de

P(x) = 1+ 3x +5x²+6x³ mediante el método de Horner.

Para encontrar las raíces del polinomio debemos primero ver en que intervalo se encuentran. El intervalo se puede encontrar por medio de un “anillo”, dado por la

≤|x|≤ (|an|+am)/|an|

1/7≤ |x| ≤ 2 0.142 ≤ |x| ≤ 2 Entonces el intervalo que contiene a la raíces del polinomio es

₁ U I₂

Ahora hacemos un “barrido” en los 2 sub intervalos.

-Sub intervalo

P (1/7) 1.548105 P (0.4) =3.384 P (0.6) =5.896 P (1.2) =22.168 P (2) =75

Grafico del polinomio P(x) = 1+ 3x+5x²+6x³. Se puede ver que la raíz del polinomio es pero la idea del ejercicio es calcular esa raíz por medio de un método iterativo.

Según el análisis, hay una raíz real y está ubicada en el intervalo

0.6)*P (-0.4) <0

derivada P’(x) =3+10x+18x²

. La función es creciente en el intervalo I. En el intervalo existe una raíz

Ahora aplicamos el método de Horner

Considerado el punto inicial de iteración como x₀=-0.45

mediante el método de Horner.

Para encontrar las raíces del polinomio debemos primero ver en que intervalo se encuentran. El intervalo se puede encontrar por medio de un “anillo”, dado por la

1.548105 P (0.4) =3.384 0.6) =5.896 P (1.2) =22.168

P(x) = 1+ 3x+5x²+6x³. Se puede ver que la raíz del polinomio es -0.5, pero la idea del ejercicio es calcular esa raíz por medio de un método iterativo.

(17)

--Primera iteración:

6 5 3 1

m -2.7 -1.035 -0.88425

6 2.3 1.965 0.11575R

m -2.7 0.18 6 -0.4 2.145S

8 90.45 9 !m.88§}§)!:.8Z§) 90.5039627039627

8 = 90.5039627039627

--Segunda iteración:

6 5 3 1

x8 -3.02377622378 -0.995943077901 -1.00996994536

6 1.97622377622 2.0040569221 -0.009969945356=R

x8 -3.02377622378 0.527927364013

6 -1.04755244756 2.5319842861=S

x: = 90.5039627039627 9 !Rm.mm½½’½½Z§]§’

!:.§]8½…Z:…’8 = 90.500025102371

x: = 90.50002510237065

--Tercera iteración:

6 5 3 1

x: -3.00015061422 -0.999974893849 -1.00006275845

6 1.99984938578 2.00002510615 -0.000062758447=R

x: -3.000015061422 0.500175724154

6 -1.00030122844 2.5002008303=S

x] = 90.50002510237065 9

!Rm.mmmm’:}§…Z§

!:.§mm:mm…]m] = 90.5000000010083

x] = 90.5000000010083

--Cuarta iteración:

6 5 3 1

x] -3.00000000605 -0.999999998992 -1.00000000252

6 1.99999999395 2.00000000101 -0.000000002521=R

x] -3.00000000605 0.500000007058

(18)

xZ = 90.50002510237065 9

!R0.000000002521)

!:.§mmmmmmm…m}) = 90.5

xZ = 90.5

x₄ = α ‡ 90.5

El error absoluto de x] es:

EÒ!x] = |x₄ 9 x₃| = | 90.5 9 90.5000000010083|=1.0083*10R½

EÒ (x] = 1.0083*10R½< ℰ=10R…

Después de 4 iteraciones se llego a x₄ = α ‡ 90.5 que es una aproximación a la primera raíz de P(x con un EÒ < Ë = 10R….

P (α ‡ 90.5 = 0 α = -0.5 es la raíz del polinomio

Figure

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Referencias

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