Ana Irene Ram´ırez-Galarza Jos´e Seade Kuri

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Introducción a la geometría avanzada / A.I.

Ramírez Galarza, J. Seade Kuri.

Article Source: OAI

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2 authors, including:

Jose Seade

Universidad Nacional Autónoma de México

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(2)

INTRODUCCI

O

N A LA GEOMETR

´I

A

AVANZADA

(3)

´Indice general

1. Geometr´ıa Euclidiana 5

1.1. Simetr´ıas . . . 6

1.2. Transformaciones r´ıgidas . . . 22

1.3. Invariantes bajo transformaciones r´ıgidas . . . 36

1.4. Cilindros y toros . . . 47

1.5. Subgrupos finitos deE(2) y E(3) . . . 57

1.6. Frisos y mosaicos . . . 71

2. Geometr´ıa Af´ın 89 2.1. La recta al infinito . . . 91

2.2. Transformaciones afines y sus invariantes . . . 99

3. Geometr´ıa Proyectiva 107 3.1. El plano proyectivo real . . . 108

3.2. El Principio de Dualidad . . . 116

3.3. La forma de P2_{( ) . . . 122}

3.4. Cartas coordenadas paraP2_{( )} (y para P1₍ )) . . . 129

3.5. El grupo proyectivo . . . 133

3.6. Invariancia de la raz´on cruzada . . . 143

3.7. El espacio de las c´onicas . . . 149

3.8. Propiedades proyectivas de las c´onicas . . . 152

3.9. Polos y polares . . . 158

3.10. Geometr´ıa El´ıptica . . . 166

(4)

4. Geometr´ıa Hiperb´olica 173

4.1. Los modelos del plano hiperb´olico . . . 174 4.2. Transformaciones

del Plano Hiperbólico . . . 182 4.3. La red de Steiner . . . 191 4.4. La métrica hiperbólica . . . 196 4.5. Primeros resultados

en Geometr´ıa Hiperb´olica . . . 205 4.6. Superficies con

estructura hiperb´olica . . . 213 4.7. Mosaicos . . . 223

5. Ap´endices 229

5.1. Funciones diferenciables. . . 229 5.2. Relaciones de equivalencia . . . 231 5.3. El grupo sim´etrico

en cuatro s´ımbolos: S4 . . . 232 5.4. Postulados euclidianos . . . 236 5.5. Topolog´ıa . . . 237 5.6. Algunos resultados

sobre la circunferencia . . . 239

(5)

Introducci´

on

Al escribir este libro hemos tenido el propósito de compartir con el lector el placer que proporciona la Geometr´ıa, as´ı como mostrar cuál es su importancia dentro de las matemáticas y los muy variados caminos que puede recorrer quien se adentra en este campo.

También queremos hacer una propuesta concreta para introducir al estu-diante en los conceptos surgidos en el periodo transcurrido del apogeo de la escuela griega a la fecha. Consideramos, como lo hace Elmer Rees en [Re], que lo más indicado es trabajar con modelos que admiten coordenadas, pues ello propicia el uso de resultados algebraicos y anal´ıticos y muestra además la forma en que se relacionan las tres áreas.

Este libro está dirigido a estudiantes del segundo año de la carrera de matemáticas y su contenido esencial puede cubrirse en un curso semestral.

Presuponemos que el lector está familiarizado con algunos hechos de la Geometr´ıa Euclidiana plana (sobre todo los relativos al triángulo y la circunfe-rencia), y también con los elementos de la Geometr´ıa Anal´ıtica (intersección de rectas y planos, las ecuaciones y las principales propiedades de cónicas y cuá-dricas) y del álgebra Lineal (hasta los conceptos de valor y vector caracter´ıstico de una transformación lineal del plano o del espacio cartesiano).

Asimismo, supondremos el conocimiento de los conceptos y resultados del Cálculo Diferencial e Integral para funciones de en , y esperamos que el estudiante esté siguiendo al menos el primer curso de Cálculo de Varias Variables. A lo largo del texto mencionamos la bibliograf´ıa relacionada con cada tema particular.

Con ese bagaje es posible presentar de manera formal, usando el método anal´ıtico en modelos que admiten coordenadas, las geometr´ıas que “siguen” de la euclidiana: la Geometr´ıa Af´ın, la Geometr´ıa Proyectiva, la Geometr´ıa El´ıptica y la Geometr´ıa Hiperbólica. En este último caso haremos uso de coor-denadas complejas, pero lo haremos de forma tal que quede claro cuáles

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tos de los números complejos están involucrados en el problema concreto. La presentación de esas geometr´ıas permite comprender el papel fundamen-tal desempeñado en cada una por el grupo de transformaciones permitidas y muestra de manera concreta cómo se conjugan el álgebra, el Análisis y la Geo-metr´ıa, para obtener una mejor comprensión de un resultado o la resolución de un problema.

El paso de estas geometr´ıas planas a sus extensiones tridimensionales on -dimensionales, es sencillo en algunos casos y los incluiremos. Para los incisos y ejercicios cuyo nivel est´e por encima del promedio, daremos siempre una referencia como apoyo.

La mejor medida del grado de comprensión de los conceptos y resultados será la proporción de ejercicios resueltos; hay que intentarlos todos.

Para las preguntas que no encuentren respuesta en este libro, incluimos bibliograf´ıa existente en las librer´ıas o que puede consultarse en las bibliotecas de nuestras universidades.

Los comentarios y observaciones pueden dirigirse a

Ana Irene Ram´ırez Galarza Jos´e Seade Kuri

(7)

DEDICATORIA

A los integrantes de una generaci´on fundamental para la Geometr´ıa en M´exico:

Francisco Gonz´alez Acu˜na,

Santiago L´opez de Medrano S´anchez, Sev´ın Recillas Pishmish,

Alberto Verjovsky Sol´a.

Agradecimientos

A los compañeros que, en diversas formas, cooperaron a mejorar este libro: Ricardo Berlanga Zubiaga, León Kushner Schnur, Laura Ortiz Bobadilla, Oscar Palmas Velasco, Ernesto Rosales González, Alberto Verjovsky Solá.

Al Comité Editorial de Aportaciones Matemáticas de la Sociedad Matemá-tica Mexicana por hacerse cargo del arbitraje de esta obra.

A los alumnos cuya lectura cuidadosa de las versiones preliminares permitió eliminar varias erratas: Juan José Alba Fernández, Rolando Gómez, Ernesto Mayorga, David Mireles.

A Juan Pablo Romero por su excelente labor en los dibujos. A Guilmer González Fernández por su diseño tipográfico.

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GLOSARIO DE SIMBOLOG´IA

n´umeros naturales

n´umeros enteros

n´umeros racionales n´umeros reales

n´umeros complejos

n _{espacio cartesiano} _n_-dimensional

Sn _n_{-esfera: vectores de norma 1 en} n+1

Sn grupo sim´etrico enn s´ımbolos

Roθ rotaci´on por un ´anguloθ en 2 en torno al origen

Reφ reflexi´on en la recta por el origen de pendientetanφ en 2

E(n) grupo de transformaciones r´ıgidas en n

GL(n, ) grupo lineal de orden n

SL(n, ) grupo lineal especial de ordenn O(n, ) grupo ortogonal en n

SO(n, ) grupo de rotaciones en torno al origen en n

A2 _{plano af´ın}

A(2) grupo af´ın

Pn_{( )} _{espacio proyectivo}_n_{-dimensional sobre}

P1₍

) espacio proyectivo 1-dimensional sobre

Dn _{vectores de norma menor que 1 en} n

∇F(P0) gradiente de F enP0

P GL(n, ) proyectivizado del grupo lineal de ordenn P SL(2, ) grupo de transformaciones de M¨obius

∆ modelo del disco para la Geometr´ıa Hiperb´olica

H+ modelo del semiplano superior para la Geometr´ıa Hiperb´olica

GC subgrupo de P GL(3, ) que fija una c´onica

G+_∆ subgrupo de P SL(2, ) que fija ∆

G+_H+ P SL(2, ), subgrupo de P SL(2, ) que fija H

+

G∆ isometr´ıas de ∆

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Geometr´ıa Euclidiana

La rama de las Matem´aticas que llamamos Geometr´ıa nace formalmente en Grecia hacia el a˜no 300 a.C., aunque, para nuestra cultura occidental, sus or´ıgenes se remontan a Mesopotamia y Egipto, alrededor del 3000 a.C.

El tratado clásico de Euclides, Elementos [Eu], reviste una importancia capital para toda la ciencia, pues no sólo recopila y ordena los conocimientos geométricos y f´ısicos generados hasta ese momento, sino que propone un modo de validar los conocimientos teóricos que los vuelve imperecederos; a eso se debe que siga editándose.

El texto tuvo pequeñas fallas que llevó mucho tiempo enmendar (véase [H]), pero sorprende constatar que la mayor´ıa de ellas fueron causa de inquietud pa-ra Euclides, quien en cada ocasión manejó el problema con todo el cuidado que le permitió la cultura de su tiempo, donde todav´ıa no surg´ıan conceptos fundamentales como el de número real, el de l´ımite y el de grupo de trans-formaciones, que hoy podemos utilizar merced al lenguaje algebraico de que disponemos.

No entraremos a la discusión de los postulados euclidianos, pues el trata-miento anal´ıtico de la Geometr´ıa asigna coordenadas a los puntos, ecuaciones a los lugares geométricos y concibe como funciones a las transformaciones per-mitidas. Eso significa que nos basaremos en las propiedades del sistema de los números reales que se estudian en el primer curso de Cálculo (véase [Cou]), y con ellos es posible demostrar que el plano cartesiano cumple con los postulados euclidianos.

Según varios autores (véase [Ki]), Euclides se mostraba insatisfecho con el método de superposición utilizado en sus demostraciones de congruencia de triángulos, pero el método anal´ıtico clarifica dicho método hasta volverlo la esencia misma de la Geometr´ıa Euclidiana: el estudio de invariantes bajo transformaciones r´ıgidas.

Este cap´ıtulo est´a dedicado al estudio del grupo de transformaciones r´ıgidas en 2 _{y en} 3_{, y a dar un panorama de los resultados que este enfoque permite} obtener. Las referencias son [Cox 1,2,5], [Eu], [Ev], [H], [Mar], [Ra] y [Re].

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1.1. Simetr´ıas

El concepto de simetr´ıa es fundamental en Geometr´ıa y en la naturaleza misma: el cuerpo humano es exteriormente simétrico con respecto a un plano, y esa simetr´ıa determinó la construcción de objetos que también lo son, como los jarrones con dos asas o los pares de calzado; la simetr´ıa de un disco respecto a su centro da lugar a múltiples aplicaciones; y un cilindro circular infinito es simétrico no sólo respecto a muchos planos y muchos puntos, sino también respecto a muchas rectas, en particular su eje; en este inciso mostraremos cómo justificar estas últimas afirmaciones a partir de la ecuación del cilindro.

Para precisar qué entendemos por cada tipo de simetr´ıa, empezaremos por recordar cómo determinamos algunas distancias en el espacio tridimensional. Las fórmulas las recordamos un poco más adelante.

PSfrag replacements

Q(x2, y2, z2) _P P

P(x1, y1, z1) L

Π

H

H _Q

Q

(a) (b) (c)

Figura 1.1:Distancias: de un punto P a otroQ; de un puntoP a una recta_L; de un puntoP a un plano Π.

Definici´on. Ladistancia de un puntoPa otro puntoQ es la longitud del segmento de recta entre los puntos.

Definici´on. La distancia de un punto Pa una rectaL es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta.

(11)

Definici´on. La distancia de un puntoP a un planoΠ es la longitud del segmento perpendicular del punto al plano.

Tambi´en en este caso ocurre que el pieH de la perpendicular deP al plano Π, es el punto del plano que minimiza la longitud de los posibles segmentos de

P a un puntoQdel plano Π, puesP H es cateto de cualquiera de los tri´angulos rect´angulosP HQ(vea la Figura 1.1(c)).

Los distintos tipos de simetr´ıa que puede tener un objeto son:

Definición. Un objeto _F es simétrico respecto a un punto O si para cada puntoP en_F, tambiénP0 _{pertenece a}_F_{, donde}_O _{es el punto medio del}

segmentoP P0 _{(vea la Figura 1.2). El punto} _O _{es un} _{centro de simetr´ıa}_.

PSfrag replacements

sen X

P P

P

P0 P0

P0

π/2

π

1

−1

O O

O

(a)

(b) (c)

X

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La gráfica de la función seno es simétrica respecto al origen (Figura 1.2(a)); un cono de revolución es simétrico respecto a su vértice (Figura 1.2(b)); un cubo es simétrico respecto a su centro (Figura 1.2(c)). La comprobación anal´ıtica de las dos primeras afirmaciones es muy sencilla, como veremos.

Definición. Un objeto_F essimétrico respecto a una recta_L, si para cada punto P en _F, también P0 _{pertenece a} _F_{, donde} _L _corta

perpendicular-mente al segmentoP P0 _{en su punto medio (vea la Figura 1.3). La recta} _L _es

un eje de simetr´ıa.

La gráfica de la función coseno es simétrica respecto al ejeY (Figura 1.3(a)), pero no respecto al eje X; un pentágono regular es simétrico respecto a cual-quier recta que pase por un vértice y el punto medio del lado opuesto (Figura 1.3(b)); un cubo es simétrico respecto a cada una de las rectas que unen los centros de caras opuestas, y a las que unen puntos medios de aristas opuestas, pero no respepcto a rectas que unen vértices opuestos (Figura 1.3(c)). Al final del inciso verificaremos estas afirmaciones muy fácilmente.

PSfrag replacements

cosX

P0 P0

P0

P P

P

X

(a)

(b) (c)

(13)

Definición. Un objetoF es simétrico respecto a un planoΠ si para cada punto P en _F, también P0 _{pertenece a} _F_{, donde Π es el plano}

perpen-dicular aP P0 _{por el punto medio. El plano Π es un} _{plano de simetr´ıa}_.

El cuerpo humano es simétrico, exteriormente, respecto al plano que pasa por la columna vertebral y la punta de la nariz; un cubo es simétrico respecto a un plano que contenga diagonales paralelas de caras opuestas, y también respecto a un plano paralelo a dos caras opuestas y que pase por el centro; un cilindro circular infinito es simétrico respecto a cualquier plano perpendicular a su eje, y también respecto a cualquier plano que pase por su eje. Verificaremos las dos últimas afirmaciones al final del inciso.

PSfrag replacements

P

P P0

P0

(b) (c)

(a)

Figura 1.4:Figuras sim´etricas respecto a un plano.

(14)

Esto es útil porque, salvo los casos en que el sistema coordenado está dado de antemano, podremos tomar el sistema de forma que el plano, la recta o el punto respecto al cual nos interesa examinar la simetr´ıa, sea uno de esos elementos coordenados. Y, además, la inclusión canónica de 2 _en 3 _nos permite utilizar esos criterios en el caso del plano. La Figura 1.5 ilustra las definiciones siguientes.

PSfrag replacements

X

Y Z

O

P(x, y, z)

PY Z PZ

PXZ

PX

PO

PXY

PY

Figura 1.5:Los sim´etricos de un punto respecto a los planos y ejes coordenados, y al origen.

El punto sim´etrico de P(x, y, z)respecto al origen de coordenadas

O, es el punto PO(−x,−y,−z), pues P, PO y O son colineales, −P = PO y

||OP_||=_||OPO||.

El punto sim´etrico del punto P(x, y, z) respecto al ejeX es el punto

PX(x,−y,−z), pues el vectorP −PX = (0,2y,2z) es perpendicular a (1,0,0)

(15)

Análogamente se demuestra que el simétrico del punto P(x, y, z) res-pecto al eje Y es el punto PY(−x, y,−z), y que el simétrico del punto

P(x, y, z) respecto al ejeZ es el punto PZ(−x,−y, z).

Y también es fácil demostrar quelos simétricos respecto a los diversos planos coordenados de un puntoP(x, y, z) son:

PXY(x, y,−z) es sim´etrico deP(x, y, z) respecto al plano XY;

PY Z(−x, y, z) es sim´etrico de P(x, y, z) respecto al plano Y Z;

PZX(x,−y, z) es sim´etrico de P(x, y, z) respecto al plano ZX.

Con todo lo anterior, el lector no tendr´a problema en demostrar la obser-vaci´on siguiente:

Si una figura es sim´etrica respecto a los tres planos coordenados, tambi´en lo es respecto a los ejes coordenados y al origen.

Vayamos ahora a las f´ormulas y el ´algebra necesarias para determinar las simetr´ıas que hemos mencionado.

Para cualesquiera dos vectores de 3 _{definimos su} _{producto escalar}_, (x1, y1, z1)·(x2, y2, z2) =x1x2+y1y2+z1z2 = Σ3i=1xiyi.

y mediante ´el obtenemos la norma de un vector (x, y, z)_∈ 3_:

||(x, y, z)||=q(x, y, z)·(x, y, z) = qx2₊_y2₊_z2_,

que puede interpretarse como la longitud de la diagonal del paralelep´ıpedo determinado por (0,0,0), (x, y, z) y las proyecciones de (x, y, z) en cada uno de los planos coordenados y cada uno de los ejes coordenados (haga un dibujo). La norma permite definir la distancia entre dos puntos P(x1, y1, z1) y

Q(x2, y2, z2) como:

d(P, Q) =||P −Q||=q(x1−x2)2+ (y1−y2)2 + (z1−z2)2,

y entonces el ´angulo entre dos vectores u¯ = (u1, u2, u3) y ¯v = (v1, v2, v3) puede definirse as´ı:

6 _(¯_u,_v_¯_{) =}6 _cos u¯·¯v

||u¯|| ||¯v||

!

(16)

pues ladesigualdad de Schwarz asegura (vea el Ejercicio 7)

|u¯_·¯v_{| ≤ ||}u¯_{|| ||}¯v_||.

Observación 1. A lo largo de todo el libro, identificamos a 2 _{con la imagen} de la inclusión canónica de 2 _en 3 _{dada por (}_{x, y}₎ _7→ ₍_{x, y,}_{0). Desde} luego, no es la única forma de ver a 2 _{como subespacio vectorial de} 3_{, pero} s´ı es la más usada.

Adem´as del producto escalar de dos vectores ¯u,v¯∈ 3_{, contamos tambi´en} con suproducto vectorial:

¯

u_×v¯= (u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1) =

bı b kb u1 u2 u3

v1 v2 v3

dondebı,by bk son los vectores de la base can´onicade 3_{: (1}_,₀_,₀₎_,₍₀_,₁_,_{0) y} (0,0,1), respectivamente.

Con la norma del producto vectorial podemos calcular el´area de un pa-ralelogramo, pues si θ=6 _(¯_u,_¯_v₎_, _{es f´acil demostrar que}

||u¯_×v¯_|| =_||u¯_{|| ||}v¯_{|| |}sen θ_|.

Y, finalmente, eltriple producto escalarde tres vectores ¯u,¯v,w¯, [¯u,¯v,w¯], sirve para calcular elvolumen orientado del paralelep´ıpedodeterminado por ¯0, ¯u, ¯v, ¯w, ¯u+ ¯v, ¯u+ ¯w, ¯v+ ¯w y ¯u+ ¯v+ ¯w(vea la Figura 1.6).

PSfrag replacements

φ

u

v

w v×w

(17)

[¯u, v,¯ w¯] = ¯u_·v¯_×w¯=_||u¯_{|| ||}v¯_×w¯_||cosφ,

donde φ = 6 _(¯_u,_v_¯_×_w_¯_{), y como ¯}_v_×_w_¯ _{es perpendicular a ¯}_v _{y ¯}_w, _{el n´}_umero

||u¯_||cosφ es la altura orientada de _P(¯u,¯v,w¯) respecto a la base formada por el paralelogramo determinado por ¯v y ¯w (vea la Figura 1.6), cuya ´area es precisamente_||v¯_×w¯_||.

Ahora es f´acil dar una f´ormula para la distancia de un punto Q(a, b, c)

a una rectaL ⊂ 3 _{que pasa por} _P

0 en la direcci´on de un vector unitario ub:

d(Q,_L) =_||(Q₋P0)×ub||=||Q−P0|| |sen θ| (1.1) pues como_||ub_||= 1, la norma de (Q₋P0)×ub se reduce a ||Q−P0|||sen θ|que es precisamente la altura del paralelogramo mostrado en la Figura 1.7, y que est´a contenido en el plano definido por _L y Q, donde θ=6 _(¯_{u, Q}₋_P₀_{) .}

Si la recta y el punto se ubican en 2_{, la f´ormula de la} _{distancia del}

puntoQ(x0, y0)a la recta L ⊂ 2 de ecuaci´onAx+By+C = 0 es

d(Q,_L) = |Ax√0+By0+C|

A2₊_B2 . (1.2)

PSfrag replacements

X

Y Z

Q

P0 uˆ

Q−P0

L

Figura 1.7:Cómo calcular la distancia de un punto a una recta en 3_. El lector deberá justificar esta fórmula en términos del producto escalar, y con el mismo razonamiento demostrará que la fórmula de la distancia de un punto Q(x0, y0, z0) a un plano Π de ecuación Ax+By+Cz+D = 0 es:

d(Q,Π) = |Ax0√+By0+Cz0+D|

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Como tenemos ya una manera de medir distancias entre puntos, ángulos entre rectas, áreas y volúmenes, estamos listos para abordar el estudio anal´ıtico de la Geometr´ıa Euclidiana en el plano y en el espacio.

Para empezar, comprobaremos todas las simetr´ıas prometidas en los ejem-plos, eligiendo en cada caso un sistema coordenado conveniente, para aplicar los criterios que acabamos de recordar. No hay una receta general pa-ra determinar cómo hacer esa elección; en este caso, como en muchos otros, el verdadero maestro es la práctica. Lo que s´ı es general es la necesidad de definir, mediante ecuaciones o desigualdades, la figura a tratar.

1.La gr´afica del seno es sim´etrica respecto al origen.

En este caso, el sistema coordenado ya está preestablecido, pues la gráfica de una función y =f(x) hace referencia a las coordenadas (x, y) de un plano coordenado.

La gr´afica del seno consta de los puntos (x,sen x), y como senx =₋sen (₋x),

podemos escribir−sen x= sen (−x). Entonces, un puntoP(x,sen x) pertene-ce a la gráfica de la función seno si y sólo si el puntoP0₍₋_x,₋_sen _x_{) también}

pertenece a la gr´afica (vea la Figura 1.8). PSfrag replacements

P

O P0

−x

x

1

−1 senx

Figura 1.8:La gráfica de la función seno es simétrica respecto al origen.

Esta propiedad de la funci´on seno recuerda la propiedad de las funciones

y=xn_,_donde_n _{es impar, y por eso se dice que la funci´on seno es una funci´on}

impar.

2.La gráfica de la función coseno es simétrica respecto al eje Y.

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lector a trazar la gráfica y recordar la identidad trigonométrica que implica que P(x,cosx) pertenece a la gráfica si y sólo si P0₍₋_x,_cos(₋_x_{)) también}

pertenece a la gr´afica.

3. Una circunferencia es sim´etrica respecto a su centro y a cualquiera de sus di´ametros.

En este caso conviene tomar un sistema coordenado cuyo origen sea el centro de la circunferencia y cuyo eje X coincida con el di´ametro respecto al cual queremos mostrar la simetr´ıa. Entonces, la ecuaci´on de la circunferencia es

x2+y2 =r2

y como x2 _{= (}₋_x₎2 _y _y2 _{= (}₋_y₎2_{, es claro que} _P₍_{x, y}_{) satisface la ecuación} de la circunferencia si y sólo si P0₍₋_x,₋_y_{) también la satisface, es decir, la}

circunferencia es sim´etrica respecto a su centro.

Por la misma raz´on, PX(x,−y) pertenece a la circunferencia si y s´olo si

P(x, y) lo hace, lo cual demuestra la simetr´ıa de la circunferencia respecto a cualquiera de sus di´ametros (vea la Figura 1.9).

PSfrag replacements

X Y

P(x, y)

PX(x,−y)

P0(₋x,₋y)

PY(−x, y)

Figura 1.9:Las simetr´ıas de la circunferencia.

4. Un pentágono regular es simétrico respecto a las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Un pent´agono es regular si todos sus lados son congruentes y todos sus ´angulos interiores son congruentes.

En primer lugar, podemos tomar un sistema coordenado de suerte que si

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l´ıneas que nos interesan (vea la Figura 1.10).

Los lados BC y ED forman ´angulos π ₋α y α, respectivamente, con la parte positiva del ejeX, por la igualdad de los ´angulos interiores enCy en D. Por tanto, si la pendiente deDE esm, la de BC es−m, y como pasan por los puntos C y D, respectivamente, las ecuaciones de los lados BC yDE son:

BC : y=₋mx₋md, DE : y=mx₋md

PSfrag replacements

X Y

A

B

C(−d,0) D(d,0)

E

α π−α

Figura 1.10:Simetr´ıas del pent´agono.

Con esas ecuaciones es inmediato comprobar que los puntos del lado CB

tienen sus simétricos respecto al ejeY en el ladoDE, lo cual dejamos al lector. Y también corresponde al lector demostrar que los simétricos de los puntos en el ladoBAse encuentran en el lado EA.

5.Un cilindro circular es simétrico respecto a su eje, a cualquier plano que pase por su eje, a cualquier recta y plano que corten perpendicularmente al eje y también es simétrico respecto a cualquier punto en el eje.

Un cilindro circular puede pensarse como la superficie de revoluci´on gene-rada por una recta que rota en torno a una paralela fija, el eje de revoluci´on.

Esta vez ubicamos al cilindro de forma que su eje sea el ejeZ, que el plano por el eje Z respecto al cual queremos probar la simetr´ıa sea el plano Y Z, y que el plano ortogonal al eje del cilindro, y respecto al cual queremos examinar la simetr´ıa, sea el planoXY, y el pretendido centro de simetr´ıa ser´a el origen.

Con todas estas especificaciones, la ecuaci´on del cilindro es

x2₊_y2 ₌_r2_,

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respecto al origen, a cada uno de los ejes coordenados y a cada uno de los planos coordenados, en particular respecto al ejeZ, al planoY Z y al plano XY.

PSfrag replacements

X Y

Z

P PZ PY Z

PO PXY

Figura 1.11:Simetr´ıas de un cilindro de revoluci´on.

Tal vez en un principio el lector no creyera que hubiera otros ejes de simetr´ıa distintos del eje de revolución, pero la sencillez del criterio para demostrar la simetr´ıa de una figura respecto a un eje coordenado, nos permitió descubrir que el cilindro tiene infinitos ejes de simetr´ıa: cada una de las rectas que cortan perpendicularmente al eje de revolución.

ésa es una de las ventajas del estudio de la Geometr´ıa utilizando álgebra: permite descubrir hechos geométricos que uno no se hab´ıa planteado.

6. Un cono de revolución (recuérdese que las generatrices son rectas com-pletas) es simétrico respecto a su vértice, su eje, cada recta perpendicular al eje por el vértice, el plano perpendicular al eje por el vértice y cada plano que contiene al eje. Esta vez encargamos el dibujo correspondiente al lector.

También en este caso conviene tomar como eje de revolución al eje Z, el vértice como el origen, el plano perpendicular al eje respecto al cual interesa analizar la simetr´ıa como el planoXY, y el plano por el eje de revolución como el plano Y Z.

El lector deberá hacer el dibujo, establecer la ecuación del cono, y compro-bar que, al resultar simétrico respecto a todos los elementos coordenados, se cumplen todas las afirmaciones del enunciado.

(22)

las rectas por los centros de caras opuestas y a las rectas por los puntos medios de aristas opuestas (obtenidas como intersecci´on de caras distintas), y al punto en que se cortan todos los planos y ejes de simetr´ıa.

Consideremos un cubo cuyas aristas midan 2a, y ubiqu´emoslo de forma que el origen sea el punto en que se cortan los planos equidistantes de caras opuestas (vea la Figura 1.12), y elijamos como planos coordenados sean precisamente esos planos equidistantes.

PSfrag replacements

C(−a, a, a)

T(₋a, a,₋a)

S(a, a,₋a)

B(a, a, a)

R

(a,−a,−a)

A

(a,−a, a)

D

(−a,−a, a)

U

(−a,−a,−a)

X

Y Z

Figura 1.12:Simetr´ıas del cubo.

Las ecuaciones de los planos a que pertenecen las caras sonx=ayx=₋a;

y=a y y=₋a;z =a y z =₋a, y si los v´ertices de la tapa sonA, B, C y D

y los de la base sonR, S, T y U, las caras quedan definidas as´ı:

ABCD ={(x, y, z)|z =a, |x| ≤a, |y| ≤a};

RST U ={(x, y, z)|z=−a, |x| ≤a, |y| ≤a};

BST C =_{(x, y, z)_|y=a, _|x_{| ≤}a, _|z_{| ≤}a_};

ARU D ={(x, y, z)|y=−a, |x| ≤a, |z| ≤a};

ARSB =_{(x, y, z)_|x=a, _|y_{| ≤}a, _|z_{| ≤}a_};

(23)

Las coordenadas de un punto P en la cara ABCD, son (x, y, a), donde |x_{| ≤}a y _|y_{| ≤}a, as´ı que su sim´etrico respecto al plano XY esPXY(x, y,−a),

que pertenece a la caraRST U.

An´alogamente se comprueba la simetr´ıa respecto a los planosY ZyZX, que son los equidistantes de las caras delantera y posterior, y derecha e izquierda, respectivamente.

Entonces, de acuerdo a la observación que siguió a la lista de los criterios de simetr´ıas respecto a los elementos coordenados, hemos demostrado también las simetr´ıas respecto a los ejes coordenados y al origen, que en este caso son, respectivamente, las rectas que unen los centros de caras opuestas y el punto en que se cortan esas tres rectas (y los tres planos equidistantes), y que se llamacentro del cubo por ser un centro de simetr´ıa.

Para demostrar que el cubo es simétrico respecto a los planos determinados por diagonales paralelas de caras paralelas, bastará caracterizar los puntos pertenecientes a las caras que están en ambos lados de uno de esos planos de manera adecuada; entonces el comportamiento de los parámetros facilitará la comprobación de la simetr´ıa.

Tomemos como ejemplo el plano ART C (v´ease la Figura 1.12), que clara-mente tiene a (1,1,0) como vector normal y, por pasar por el origen, satisface la ecuaci´onx+y = 0.

La figura indica que la cara ARU Des sim´etrica de la caraARSB respecto al planoART C.

Los puntos del plano ARU D son de la forma P = A+sub +tvb, donde ub

es un vector unitario en la direcci´on de A ₋D = (2a,0,0) y vb es un vector unitario en la direcci´on de A−R= (0,0,2a), es decir,

(x, y, z) = (a,₋a, a) +s(1,0,0) +t(0,0,1) = (a+s,₋a, a+t);

los puntos quedan confinados a la caraARU D cuando −2a≤s ≤0 y −2a≤

t_≤0.

Un argumento similar muestra que los puntos P0 _{en la cara} _ARSB _{son de}

la forma

(x, y, z) = (a,−a, a) +σ(0,1,0) +τ(0,0,1) = (a,−a+σ, a+τ),

donde 0≤σ≤2a y −2a≤τ ≤0.

Cuando s=−σ yt =τ,el segmentoP P0_{es perpendicular al plano}_{ART C,}

(24)

deP0 _{a ese mismo plano son, respectivamente, y seg´}_{un la f´ormula (1.3),}

|a₋s₋a_|

√

2 =

|s_|

√ 2;

|a₋a+s_|

√

2 =

|s_|

√ 2, lo cual demuestra la simetr´ıa que nos interesaba.

Para el resto de los planos que contienen diagonales paralelas de caras opuestas, el c´alculo es similar.

En la Sección 5 analizaremos las simetr´ıas de cada uno de los sólidos pla-tónicos, el cubo en particular, desde el punto de vista de las transformaciones r´ıgidas. Ese método, mucho más poderoso que el usado aqu´ı, permite hacer un análisis más completo en forma sencilla.

EJERCICIOS

1. D´e ejemplos de figuras con un n´umero infinito de: centros de simetr´ıa; ejes de simetr´ıa; planos de simetr´ıa.

2. Demuestre que si una figura en el plano cartesiano es sim´etrica respecto a ambos ejes, necesariamente tiene un centro de simetr´ıa.

3. Dibuje una curvaCen el plano y fije un puntoO /∈ C. Complete el dibujo de suerte que la figura resultante sea sim´etrica respecto a O. Repita el ejercicio fijando una rectaL.

4. Analice las simetr´ıas de todas las cónicas, incluidos los casos singulares (esto es, cuando el plano de corte pasa por el vértice del cono). Analice también las simetr´ıas de las cuádricas.

5. ¿Qué caracter´ıstica tiene la ecuación canónica de una cuádrica que es simétrica respecto a un plano coordenado? ¿Y para que sea simétrica respecto a un eje coordenado? ¿Y respecto al origen?

6. Demuestre que si una figura en el espacio cartesiano es sim´etrica respecto a cada uno de los planos coordenados, tambi´en lo es respecto a los ejes coordenados y el origen.

7. ¿Cuántos ejes de simetr´ıa tiene un triángulo isósceles? ¿Y uno equilátero?

8. Determine en un dibujo las proyecciones deP(x, y, z) en cada eje y plano coordenados, y dibuje el paralelep´ıpedo que determinan.

(25)

10. Justifique la F´ormula (1.2) para calcular la distancia de un punto a una recta en 2_{, y la F´}_{ormula (1.3) para obtener la distancia de un punto a}

un plano en 3_.

11. Demuestre que el producto vectorial de dos vectores ¯u,v,¯ es un vector ortogonal a ambos.

12. Demuestre que tres vectores son coplanares si y s´olo si su triple producto escalar se anula.

13. Demuestre las identidades siguientes

(¯u_×¯v)_×w¯ = (¯u_·w¯)¯v₋(¯v_·w¯)¯u,

(¯u_×¯v)_×w¯ + (¯v_×w¯)_×u¯+ ( ¯w_×u¯)_×¯v= ¯0.

que implica la no asociatividad del producto vectorial.

14. D´e una f´ormula (y justif´ıquela) para encontrar la distancia entre dos rectas que se cruzan en el espacio (dos rectas se cruzansi no se cortan ni son paralelas).

15. Demuestre que la gráfica de la función seno no es simétrica respecto a ninguno de los ejes coordenados.

16. Complete la demostraci´on de las simetr´ıas de un cono de revoluci´on y haga un dibujo donde las exhiba todas.

17. Demuestre que en 2 _{se cumplen los axiomas euclidianos:}

I. (Es posible) trazar una recta por cualesquiera dos puntos.

II. (Es posible) prolongar indefinidamente una recta finita a una recta. III. (Es posible) trazar una circunferencia dados un centro y un radio. IV. Todos los ´angulos rectos son iguales entre s´ı.

V. Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, ángulos interiores que suman menos de dos ángulos rectos, al prolongar inde-finidamente las dos rectas, éstas se cortan del lado en que los ángulos interiores suman menos de dos ángulos rectos.

18. Demuestre que el cubo es sim´etrico respecto a cada una de las rectas que unen puntos medios de caras opuestas.

19. Note que en cada v´ertice del cubo concurren tres aristas; use eso pa-ra convencerse de que las diagonales mayores del cubo no son ejes de simetr´ıa.

20. Demuestre que las diagonales de un rectángulo no cuadrado no son ejes de simetr´ıa. ¿Hay alguna(s) rectas que sea(n) eje(s) de simetr´ıa del rec-tángulo? ¿Hay algún centro de simetr´ıa?

21. ¿Cuántos planos de simetr´ıa tiene el cubo? ¿Y cuántos ejes de simetr´ıa? ¿Y cuántos centros? Justifique su respuesta.

(26)

1.2. Transformaciones r´ıgidas

Dijimos al principio de este cap´ıtulo que el concepto matemático que per-mite validar la superposición utilizada por Euclides para comprobar la con-gruencia de dos triángulos, es el concepto de grupo de transformaciones.

El concepto de grupo, poderoso y fundamental para muchas ramas de las matemáticas, fue comprendido y utilizado por primera vez por Evariste Galois hacia 1830 para decidir sobre la solubilidad por radicales de ecuaciones de grado arbitrario, y en 1872 Félix Klein dió una plática, conocida como el Programa de Erlangen (Erlangen es una ciudad bávara, sede de la universidad a la que se incorporaba Klein), donde planteaba tomar el concepto de grupo como eje del estudio de la Geometr´ıa [Ke]:

Geometr´ıa es el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones.

Por ejemplo, la simetr´ıa de una figura respecto a un plano puede expresarse diciendo que la figura permanece invariante bajo una reflexi´on en ese plano. Otras figuras permanecen invariantes cuando las rotamos en torno a un punto, como una circunferencia que gira en torno a su centro, o cuando las trasladamos una distancia fija, como un cilindro infinito.

El lector juzgar´a por s´ı mismo, a lo largo de este libro, sobre el alcance de la propuesta de Klein y del desarrollo posterior debido a Sophus Lie. A quien desee conocer la historia de la evoluci´on del concepto de simetr´ıa hasta llegar a la propuesta de Klein y los trabajos de Lie, le recomendamos el muy ameno libro de Yaglom, [Y].

Las transformaciones permitidas por Euclides son las que preservan la dis-tancia euclidiana, y por ellas empezaremos. Veremos primero el grupo corres-pondiente a 2 _{y luego el de} 3_.

Definición. Una transformación r´ıgida del plano en el plano es una función suprayectiva1 _T _: 2 _→ 2 _{que respeta las distancias entre puntos, es} decir,

d(P, Q) =d(T(P), T(Q)).

A las transformaciones r´ıgidas tambi´en se les conoce comoisometr´ıaspor respetar las medidas.

(27)

Los mejores ejemplos de transformaciones r´ıgidas en el plano son traslacio-nes, rotaciones y reflexiotraslacio-nes, que se definen a partir de la situaci´on intuitiva.

Definición. Unatraslación en el plano por un vector fijo¯a∈ 2 _es la transformación Ta¯ : 2 → 2 que desplaza cada punto una distancia igual a_||¯a_||, en la dirección y con el sentido de ¯a (vea la Figura 1.13):

Ta¯(P) =P + ¯a.

Note que no fue necesario utilizar las coordenadas de P ni las de ¯a, por lo que la forma de definir traslación en 3 _{será la misma. Note también la} diferencia en la notación para P y ¯a; se debe a la diferencia en los papeles de uno y otro, pues ¯a es un vector fijo que desplaza a cada P ∈ 2_.

PSfrag replacements

X Y

P P + ¯a

Q

Q+ ¯a

¯

a

Figura 1.13:Traslaci´on en 2 por un vector fijo ¯a.

Una traslaci´on es una transformaci´on r´ıgida, pues

d(T¯a(P), T¯a(Q)) =||P + ¯a−(Q+ ¯a)||=||P −Q||=d(P, Q).

¿Qu´e podemos decir del conjunto de traslaciones?

Para empezar, la composici´on de dos traslaciones,T¯_b◦T¯a, es otra traslaci´on,

a saber,T_¯_a_+¯_b, como es inmediato comprobar si aplicamos la composici´on a un punto P arbitrario:

(T¯_b ◦T¯a) (P) =T¯_b(T¯a(P)) = T¯_b(P + ¯a) =P + ¯a+ ¯b=T_¯_a_+¯_b(P)

Y como la traslación por el vector ¯0 deja a cada punto en su lugar (es decir,T¯₀es latransformación identidad), al componerT¯0 con cualquier otra traslación

T¯a por cualquiera de los lados, obtenemos nuevamenteT¯a:

(28)

Por respetar distancias, cualquier transformaci´on r´ıgida es inyectiva, es decir, lleva puntos distintos en puntos distintos.

Eso asegura la existencia de (T¯a)−1, pero intuitivamente es claro que para

“regresar¸cada punto a su lugar despu´es de desplazarlos por ¯a, basta desplazar-los por −¯a. En consecuencia,

(Ta¯)−1 =T−a¯.

Y como la composici´on de funciones cualesquiera esasociativa, tenemos

T¯c◦(T¯_b◦T¯a) = (T¯c◦T¯_b)◦T¯a.

Todas esas propiedades significan que

Las traslaciones del plano en el plano forman un grupo bajo la composici´on.

Antes de sacar en limpio la definici´on de grupo, que ser´a fundamental a lo largo de todo el libro, nos interesa resaltar el hecho siguiente.

Observación 2. Cada vector de 2 _{determina una traslación y, además,}

La suma de vectores determina la traslaci´on asociada a la composici´on de las traslaciones definidas por esos vectores.

Ahora bien, 2 _{es un objeto geom´etrico, donde sabemos medir y, en} con-secuencia, precisar los conceptos de cercan´ıa mediante vecindades de radio . En cambio, de las traslaciones hemos demostrado que son un grupo. ´esa es una caracter´ıstica muy importante de 2 _{(y de cualquier} n_{), tener tanto una}

estructurageom´etrica como una algebraica. Veremos, a lo largo del libro, que lo mismo les ocurre a otros objetos geom´etricos que conocemos bien.

Demos ahora la definici´on de grupo.

Definición. Un grupo es un conjunto G en el que está definida una operación, es decir, una función?:G×G→Gcon las propiedades siguientes

1a. Cerradura: El resultado de operar dos elementos deGes un elemento de

G; en s´ımbolos:

(29)

Note que la propiedad de cerradura es consecuencia de que el contrado-minio de la funci´on?seaG, pero el hecho es tan importante que conviene resaltarlo.

2a. Asociatividad:Para cualesquiera tres elementos deG, da lo mismo operar los dos primeros y al resultado operarlo con el tercero, que operar el primero con el resultado de operar los dos ´ultimos. Esto es,

(g ? h)? k=g ?(h ? k).

3a. Existencia de neutro: Existe un elemento e ∈G tal que al operarlo con cualquier otro no afecta a este ´ultimo. En s´ımbolos,

e ? g =g ? e=g.

4a. Existencia de inverso de cada elemento dado: Para cada g ∈ G, existe otro elemento de G, g−1_{, tal que al operarlo con} _g _{da como resultado el} elemento neutro e. En s´ımbolos,

g−1? g =g ? g−1 =e.

Cuando a estas cuatro propiedades se a˜nade la conmutatividad:

g1? g2 =g2? g1,

el grupo se llamagrupo conmutativo o abeliano, esto ´ultimo en honor de Niels Henrik Abel (1802-29).

Varios de los sistemas numéricos familiares para el lector, como los números enteros, los racionales y los reales, son grupos: los números enteros forman un grupo, abeliano inclusive, con la operación de suma; los números racionales (y los reales) son un grupo para la operación de suma, y si omitimos el cero (en ambos casos), el resto de los números forman también un grupo conmutativo bajo la operación producto.

(30)

Definici´on. Un isomorfismo de gruposes una correspondencia biun´ı-voca entre dos grupos, φ :G _→G0_{, donde si} _? _{es la operaci´on en} _G

1 y · es la operaci´on enG0_{, se cumple}

φ(g1)·φ(g2) =φ(g1? g2).

Otro ejemplo de grupo, indispensable en Geometr´ıa, es el de las matrices cuadradas de n×n con entradas reales y con determinante distinto de cero,

GL(n, ), cuando la operación considerada es la multiplicación matricial. De-jaremos como ejercicio comprobar esta afirmación tanto para las matrices de 2×2 como para las matrices de 3×3, que son las que usaremos. Salvo el caso

n= 1, estos grupos no son conmutativos, como es muy fácil comprobar. En el plano cartesiano, las definiciones de una rotación en torno al origen, y de una reflexión respecto a una recta por el origen, puden darse en términos de matrices de 2_×2 con entradas reales, pues la rotación de un punto P del plano en torno al origen por un ángulo θ, puede reducirse a la rotación de los vectores de una base de 2_{. Y lo análogo puede decirse de una reflexión} respecto a una recta por el origen. Veamos por qué.

Si rotamos el tri´angulo rect´angulo correspondiente aP =x(1,0) +y(0,1), obtenemos (vea la Figura 1.14)

Roθ(P) =x Roθ(1,0) +y Roθ(0,1).

PSfrag replacements

X Y

P(x, y)

y(0,1)

x(1,0)

θ Roθ(P)

(cosθ,senθ)

(₋senθ,cosθ)

(31)

Pero la rotaci´on de (1,0) por un ´angulo θ en torno al origen, lo transforma en (cosθ,sen θ), y a (0,1) lo lleva en (₋sen θ,cosθ). En consecuencia,

Roθ(x, y) =x(cosθ,sen θ)+y(−sen θ,cosθ) = (xcosθ−y sen θ, x sen θ+ycosθ),

lo cual justifica la afirmaci´on siguiente.

Afirmación. La rotación por el ángulo θ en torno al origen en 2_, es la funciónRoθ : 2 → 2 cuyo efecto sobre un punto P(x, y) es

Roθ(x, y) =

_cos_θ ₋_sen _θ

sen θ cosθ

x y

=

_x_cos_θ₋_y _sen _θ

x sen θ+ycosθ

.

Una rotación en torno al origen es una transformación r´ıgida, pues los triángulos rectángulos de la Figura 1.14 son congruentes y, en consecuencia, para cualquier P _∈ R2_, _||_Ro

θ(P)|| = ||P||. Entonces, tomando en cuenta la

linealidad de la transformaci´on inducida por una matriz:

d(Roθ(P), Roθ(Q)) = ||Roθ(P)−Roθ(Q)||=||Roθ(P−Q)||=||P−Q||=d(P, Q).

Note que la matriz de una rotaci´on tiene la forma

_a ₋_b

b a

, dondea2₊_b2 _{= 1}_. _(1.4)

Con esta observación es muy sencillo comprobar que, como lo sugiere la intuición, al aplicarle a un punto P(x, y) primero la rotación por el ángulo θ

y después la rotación por el ángulo φ, el efecto es el mismo que si rotamos

P(x, y) por el ´angulo θ+φ.

Utilizaremos la sustituci´on a = cosθ, b= sen θ, c= cosφ,d= sen φ:

_c

−d d c

a ₋b b a

=

_ca

−db ₋cb₋ad

da+cb −db+ca

,

y las identidades trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de dos ángulos, implican que ca−db = cos(θ+φ) y da+cb = sen (θ+φ), lo cual asegura que la composición de dos rotaciones Roφ◦Roθ está definida por la

matriz correspondiente a la rotaci´on por el ´anguloθ+φ.

(32)

correspondencia, adem´as,respeta las operaciones, es decir, la composici´on de rotaciones se traduce en el producto de matrices.

Tomando en cuenta esa correspondencia, es f´acil demostrar que

Teorema.Las rotaciones en torno al origen forman un grupo conmutativo.

Demostraci´on. Comprobaremos cada una de las condiciones:

Cerradura: La composici´on de dos rotaciones es otra rotaci´on, como aca-bamos de comprobar.

Asociatividad:La composición de rotaciones es asociativa, pues eso es cierto para funciones cualesquiera. Pero además, en este caso, también es consecuen-cia de que el producto de matrices es asoconsecuen-ciativo, como lo comprobará el lector en el Ejercicio 1.

Existencia de neutro:La rotaci´on por el ´angulo 0 corresponde a la matriz

₁ ₀

0 1

,

que es el neutro para el producto de matrices.

Cada rotación tiene una rotación inversa: Al componer la rotación por el ángulo −θ con la rotación por el ángulo θ, resulta la rotación por el ángulo 0, que es el neutro para la composición de rotaciones, pues si a = cosθ y

b= sen θ,

_a _b

−b a

a ₋b b a

=

_a2₊_b2 ₋_ab₊_ab

−ba+ab b2₊_a2

=

_{1 0}

0 1

,

Conmutatividad: La composici´on de dos rotaciones puede efectuarse en cualquier orden sin afectar el resultado. La comprobaci´on de esta propiedad queda a cargo del lector.2

(33)

En la Figura 1.15, hemos vuelto a asociar al puntoP el triángulo rectángulo correspondiente a P = x(1,0) +y(0,1), y hemos reflejado todo ese triángulo en la recta_Lφ (piénsela como un espejo), que forma un ángulo φ con la parte

positiva del ejeX,que denotaremos con X+_.

El tri´angulo reflejado es nuevamente rect´angulo, y el vector correspondiente aReφ(P) puede formarse as´ı:

Reφ(P) =x Reφ(1,0) +y Reφ(0,1).

Como la recta forma el ´angulo φ con X+_{, el reflejado de (1}_,_{0) en la} rec-ta _Lφ forma el ´angulo 2φ con X+ y, en consecuencia, sus coordenadas son

(cos 2φ,sen 2φ).

El reflejado de (0,1) no forma un ángulo de π/2 con (cos 2φ,sen 2φ), sino un ángulo de ₋π/2, porque una reflexión invierte el sentido de los ángulos. Entonces, el reflejado de (0,1) es (sen 2φ,₋cos 2φ), y ya podemos construir la matriz que da la reflexión.

PSfrag replacements

X Y

P0

P y(0,1)

x(1,0)

φ

2φ

Lφ

(cos 2φ, sen 2φ)

(sen 2φ, ₋cos 2φ)

Figura 1.15:Reflexi´on respecto a una recta por el origen.

Afirmaci´on. La reflexi´on en el plano respecto a la recta _Lφ que

pasa por el origen y forma un ´angulo φ con la parte positiva del eje X, es la transformaci´on Reφ : 2 → 2 cuyo efecto sobre un punto P(x, y) es

Reφ(x, y) =

_{cos 2}_φ _{sen 2}_φ

sen 2φ −cos 2φ x y

=

_x_{cos 2}_φ₊_y _{sen 2}_φ

xsen 2φ−ycos 2φ

.

(34)

Esta vez la matriz tiene la forma

_a _b

b ₋a

, donde a2+b2 = 1. (1.5) Observe que la matriz de una rotaci´on tiene determinante 1, mientras que el determinante de la matriz de una reflexi´on es−1.

Lo anterior implica que la composici´on de dos reflexiones no puede ser una reflexi´on, pues las matrices correspondientes se multiplican y el determinante de la matriz producto es el producto de los determinantes: 1.

Por tanto, no podemos pensar en demostrar que las reflexiones forman un grupo, pues no tenemos propiedad de cerradura, ni el neutro de la multiplica-ci´on de matrices puede ser una reflexi´on pues tiene determinante 1.

Pero s´ı es cierto que la inversa de una reflexión es una reflexión, ella misma, como lo sugiere la intuición: siP0 _{es el reflejado de un punto}_P _{respecto a una}

recta, y luego reflejamosP0_{respecto a esa misma recta, obtenemos nuevamente}

P. Invitamos al lector a demostrarlo formalmente multiplicando por s´ı misma la matriz de una reflexi´on.

Ahora bien, si escribimos la matriz de una rotación en la forma (1.4), y la de una reflexión en la forma (1.5), podremos demostrar fácilmente que el producto es una reflexión, aunque la recta en que se refleja depende del orden de la multiplicación (véase el Ejercicio 5).

Eso sugiere que

Teorema.El conjunto de rotaciones en 2 en torno a (0,0) y reflexiones respecto a una recta por (0,0), forman un grupo bajo la composici´on.

El lector queda encargado de hacer la demostración, sólo deberá recordar que el inverso de un producto de matrices (o de la composición de transforma-ciones) es el producto de los inversostomados en el orden inverso.

Este grupo se llama elgrupo ortogonal de orden 2,O(2, ), porque las matrices asociadas tienen como vectores columna los elementos de una base ortonormal: derecha, para las rotaciones, izquierda para las reflexiones.

Para las matrices cuyos vectores columna constituyen una base ortonormal de 2 _{(o de} n_{), es inmediato verificar que su inversa} _M−1_{, es igual a su}

traspuestaMt_{, la matriz que tiene como columnas los renglones de la original}

(respetando el orden), y se les llamamatrices ortogonales.

(35)

y se le denota por SO(2, )

Antes de entrar a las transformaciones r´ıgidas de 3_{, recordemos que, como} en 2_{tenemos una forma de medir la distancia entre ¯}_a_{y ¯}_b_{, el isomorfismo entre} el grupo aditivo 2 _{y el grupo (bajo la composición) de las traslaciones nos} permite hablar de traslaciones cercanas, o de la vecindad de radio de una traslaciónTa¯: está formada por todas las traslacionesT¯_b tales que||¯a−¯b||< . Algo semejante ocurre con el grupo de las rotaciones en torno al origen: podemos identificar la rotación por el ánguloθcon el punto de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen,

S1 ={(x, y)∈ 2_|_x2₊_y2 _{= 1}_}_,

que determina el radio que forma el ánguloθcon la parte positiva del ejeX. De los puntos de la circunferencia podemos decir qué tan cercanos están, porque sabemos medir distancias enS1_{. Entonces, en este grupo también tenemos una} estructura geométrica. Más aún, S1 _{puede verse como el grupo multiplicativo} de los números complejos de norma 1, y la correspondencia con SO(2, ) es un isomorfismo.

El primero en estudiar este tipo de grupos fue Sophus Lie (1842-99), con-tempor´aneo y amigo de Klein, y en su honor se les llama grupos de Lie. Volveremos a ellos m´as tarde, y en el caso de las rotaciones mostraremos la conveniencia de utilizar coordenadas complejas.

Para las transformaciones r´ıgidas del espacio euclidiano tridimensional en s´ı mismo, el espacio en que vivimos, tambi´en podemos dar como ejemplos traslaciones, rotaciones y reflexiones.

Las primeras se definen exactamente como en el caso del plano, pues la

traslaci´on en 3 _{por el vector fijo} _¯_a_∈ 3_{, est´a dada por}

T¯a: 3 → 3 tal que T¯a(P) =P + ¯a.

Como la demostración de que las traslaciones en 2 _{constituyen un grupo} no utilizó el hecho de que ¯a y P fueran elementos de 2_{, ya sabemos que las} traslaciones en 3 _{forman un grupo conmutativo. Y otro tanto ocurre con el} hecho de que estas traslaciones sean también transformaciones r´ıgidas.

M´as a´un, todo el tratamiento de traslaciones puede generalizarse a n_,

y entonces cualquier elemento ¯a ∈ n _{puede verse como una transformaci´on}

(36)

Para definir una rotaci´on y una reflexi´on en 3_{, plantearemos extender las} definiciones correspondientes en 2_.

Recordemos que la base can´onica de 3 _{est´a formada por los vectores}

b

e1 = (1,0,0), eb2= (0,1,0), yeb3 = (0,0,1), todos con norma 1, ortogonales dos a dos, y que forman una base derecha.

Como ocurrió para una rotación en 2_{, pediremos que esa base derecha} se transforme en otra base derecha; piense el lector en tres varillas soldadas por uno de sus extremos de forma que permanezcan perpendiculares 2 a 2, y que pueden moverse con la única restricción de que ese extremo común permanezca fijo; entonces es posible definir una rotación en 3 _{mediante una} matriz ortogonal de 3_×3 con determinante 1.

Definición. Una rotación en torno al origen en 3 es una función

Ro: 3 _→ 3 _{cuyo efecto sobre un punto} _P₍_{x, y, z}_{) es}

Ro(x, y, z) =

  

u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 w3

      x y z   =   

xu1+yv1+zw1

xu2+yv2+zw2

xu3+yv3+zw3

  ,

donde ub = (u1, u2, u3), vb = (v1, v2, v3), wb = (w1, w2, w3) forman una base ortonormal derecha.

Es claro que bajo una rotaci´on en torno a ¯0 en 3_{, cualquier esfera con ese} centro va en s´ı misma, en particular la esfera de radio 1,

S2 ₌_{₍_{x, y, z}₎_∈ 3_|_x2₊_y2₊_z2 _{= 1}_}_.

Nuestra experiencia al jugar con una pelota nos muestra que si queremos hacer girar una pelota entre las manos, debemos poner una mano frente a la otra. Eso corresponde al hecho algebraico de que una rotaci´on en torno al origen en 3 _{deja fija punto a punto alguna recta por el origen, el} _{eje de la}

rotaci´on.

Eso se debe a que el polinomio caracter´ıstico es de tercer grado y debe tener una ra´ız real; con ese valor caracter´ıstico (o valor propio o eigen-valor) determinamos un subespacio invariante de la rotación. En consecuencia, cual-quier rotación en 3 _{en torno al origen se reduce a una rotación en el plano} perpendicular al eje de la rotación (véase [Ra]).

(37)

Definición. Una reflexión en 3 _{es una función} _Re _: 3 _→ 3 _cuyo efecto sobre un punto P(x, y, z) es

Re(x, y, z) =

  

u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 w3

      x y z   =   

xu1+yv1+zw1

xu2+yv2+zw2

xu3+yv3+zw3

  ,

donde ub = (u1, u2, u3), vb = (v1, v2, v3), wb = (w1, w2, w3) forman una base ortonormal izquierda.

Ejemplos de matrices de reflexi´on en 3 _son

  

−1 0 0

0 a ₋b

0 b a

  ,   

1 0 0 0 a b

0 b ₋a

   y   

−1 0 0

0 ₋1 0 0 0 ₋1

  .

La primera deja invariante al eje X aunque intercambia los semiejes (en el plano YZ se tiene una rotación), y la segunda fija puntualmente el ejeX y efectúa una reflexión en el plano Y Z. La tercera corresponde a un caso muy interesante, la aplicaciónant´ıpoda , que deja invariantes todas las rectas por el origen, aunque cada punto se transforma en su simétrico respecto al origen. Las esferas con centro en el origen se aplican en s´ı mismas bajo una refle-xión, y si nos preguntamos por los subespacios invariantes bajo una reflerefle-xión, nuevamente tenemos una recta por el origen invariante bajo una reflexión, pues el polinomio caracter´ıstico tiene grado 3, aunque esta vez los puntos pueden no quedar fijos, sino intercambiarse con los de la semirrecta complementaria.

La demostración de que las rotaciones y reflexiones en 3 _son transfor-maciones r´ıgidas se basa nuevamente en el hecho de que son transfortransfor-maciones lineales, y como en el caso del plano no utilizamos coordenadas, la demostra-ción es válida en este caso.

Nuevamente ocurre que rotaciones y reflexiones de 3_{constituyen un grupo} bajo la composición (la composición corresponde a la multiplicación de las matrices). Esta vez el grupo se denota O(3, ) y se llama grupo ortogonal de orden 3.

(38)

el tratamiento que hemos hecho puede parecer restrictivo; las consideraciones siguientes mostrar´an que no es as´ı.

Proposición.Cualquier transformación r´ıgida es composición de una tras-lación con una transformación ortogonal.

Demostración. Denotamos por T una transformación r´ıgida de 3_. SiT(¯0) = ¯a, la composición deT−¯a con T, U =T−a¯◦T fija a ¯0.

Ahora bastar´a demostrar que cualquier transformaci´onU r´ıgida y que fija a ¯0, es ortogonal. Los detalles queda a cargo del lector.

Un camino posible es comprobar, sucesivamente, lo siguiente:

i)U respeta normas, es decir,||a¯||=||U(¯a)||.

ii)U respeta el producto escalar. Para ello bastar´a desarrollar los dos miem-bros de la igualdad, garantizada porque U es r´ıgida,

||¯a−¯b||2 ₌_||_U_(¯_a₎₋_U_(¯_b₎_||2_, y tomar en cuenta i).

iii)U es lineal; para ello, compruebe que_||U(λ¯a)₋λU(¯a)_||2 _{= 0, y tambi´en} que _||U(¯a+ ¯b)₋U(¯a)₋U(¯b)_||2 _{= 0}_. _{Como ¯0 es el ´}_{unico vector caracterizado} por su norma, eso asegura queU“saca escalares 2 se distribuye sobre la suma. Entonces, la matriz correspondiente a U en una base ortonormal, es orto-gonal.2

Es sencillo convencerse de que cualquier transformación r´ıgida en el plano está determinada por 3 puntos no colineales y sus imágenes, y de que cual-quier transformación r´ıgida en el espacio está determinada por 4 puntos no coplanares y sus imágenes (y as´ı sucesivamente).

Tomando en cuenta eso, uno puede demostrar que cualquier transformación r´ıgida en el plano es producto de a lo más 3 reflexiones (véanse los ejercicios 7 y 8 siguientes).

El grupo de las transformaciones r´ıgidas del plano en el plano es elgrupo euclidiano de orden 2, E(2), y el correspondiente a 3 _{es el}_grupo

eucli-diano de orden 3, E(3).

(39)

invariantes bajo transformaciones r´ıgidas, y adem´as presentaremos un concepto fundamental en Geometr´ıa Diferencial: la curvatura.

EJERCICIOS

1. ¿Es _{− {}0_}grupo respecto al producto?

2. Demuestre que GL(2, ), el conjunto de las matrices de 2_×2 con en-tradas reales y determinante distinto de cero, forman un grupo bajo la multiplicaci´on llamadogrupo general lineal de orden 2. ¿Es conmu-tativo?

3. Demuestre que el producto de matrices del tipo (1.4) es conmutativo. 4. Demuestre que una reflexi´on en el plano respecto a una recta por el

origen, es una transformaci´on r´ıgida.

5. Demuestre que la transformación inversa de una reflexión en el plano respecto a_Lφ, es la misma reflexión.

6. Determine la recta de reflexión para la composición de una rotación y una reflexión, y verifique que la recta depende del orden de la composición. 7. Demuestre que, en el plano, toda rotación en torno al origen es

compo-sici´on de dos reflexiones en rectas que pasan por el origen.

8. Demuestre que, en el plano, cualquier traslación es composición de dos reflexiones en rectas paralelas y perpendiculares a la dirección de la tras-lación.

9. Demuestre que las afirmaciones de los dos ejercicios anteriores pueden generalizarse as´ı: “La composición de dos reflexiones en rectas arbitrarias es una rotación, salvo el caso en que las rectas sean paralelas, donde se obtiene una traslación, 2 _{entonces tiene sentido afirmar que una traslaci´}_on es l´ımite de rotaciones. ¿Puede justificar esto último?

10. Demuestre que, en el plano, una transformaci´on r´ıgida queda determina-da cuando se conocen las im´agenesA0

,B0

,C0

de tres puntos no colineales

A,B,C.

11. Demuestre que cualquier transformación r´ıgida en el plano es composi-ción de a lo más 3 reflexiones. Para ello, tome 3 puntosA,B yC y sus imágenes, A0

, B0

yC0

, y compruebe que eso ocurre en cada uno de los casos siguientes, que agotan todos los posibles:

i)A=A0

, B=B0

yC =C0

; ii)A=A0_,_B₌_B0 _y_C

6

=C0_;

iii)A=A0_, _B

6

=B0_y_C

6

=C0_;

iv)A6=A0

,B 6=B0

yC 6=C0

(40)

12. Para 3_{establezca la afirmaci´}_{on an´}_{aloga a la hecha en el Ejercicio 6, y}

demu´estrela.

13. Para 3, establezca la afirmación análoga a la hecha en el Ejercicio 7, y demuéstrela.

14. Para 3_{, establezca la afirmaci´}_{on an´}_{aloga a la hecha en el Ejercicio 10,}

y demu´estrela.

15. A cada matriz M de 3_×3 con entradas reales, as´ociele un elemento de

9 _{escribiendo los renglones uno a continuaci´}_{on del otro, y}

rec´ıproca-mente. En 9_{defina una distancia mediante el producto escalar, y ´}_usela

para definir una distancia entre las matrices de 3×3. Demuestre que si restringe la distancia entre matrices a los elementos de O(3, ), para cualquier M ∈ SO(3, ) existe > 0 tal que si d(M, M0

) < , M0

no puede ser reflexi´on.

16. Demuestre que hay un isomorfismo entre el campo de los n´umeros complejosx+iy y el conjunto de las matrices con entradas reales de la

forma

x ₋y

y x

,

provisto de la suma y el producto usuales para matrices. Demuestre tam-bién que esas matrices son composición de una rotación con una homo-tecia Hρ: 27→ 2 que lleva (x, y) en (ρx, ρy) con ρ=||(x, y)||.

1.3. Invariantes bajo transformaciones

r´ıgidas

Analizaremos ahora cu´ales propiedades de los objetos geom´etricos se con-servan (es decir, son invariantes) bajo transformaciones r´ıgidas.

Los tipos de triángulos: equiláteros, isósceles y escalenos, son desde luego caracterizaciones invariantes bajo transformaciones r´ıgidas, pues se definen en términos de distancias: si un triángulo ABC tiene todos sus lados iguales (en longitud), lo mismo es cierto para el triángulo A0_B0_C0_{obtenido al aplicarle al}

primero una transformación r´ıgida; más aún, las medidas de los lados se con-servan y eso obliga a los ángulos a tener también las mismas medidas (¿puede dar una justificación?). Lo análogo ocurre en los otros dos tipos de triángulo.

(41)

rectas que se cortan en ese mismo ángulo (considere el triángulo formado por un punto en cada recta y el punto de intersección). Por todo ello, bajo una transformación r´ıgida, un cuadrado se transforma en otro cuadrado, etc.

También el tipo de cónica es invariante bajo una transformación r´ıgida; por ejemplo, una elipse es el lugar geométrico de los puntosP del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F1 y F2, es una constante (que solemos denotar por 2a). Entonces, si las imágenes de los focos bajo una transformación r´ıgidaT son F0

1 y F20, el punto P0=T(P) cumple la condici´on definitoria de elipse respecto a F0

1 y F20. Y, desde luego, los semiejes medir´an lo mismo que en la elipse original.

El mismo razonamiento se aplica en los otros dos tipos de c´onica.

Para las superficies cuádricas, empecemos por precisar qué entendemos por una superficie cuádrica y cómo las hemos clasificado.

Unasuperficie cuádricaes el lugar geométrico de los puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuación de segundo grado en 3 variables:

Ax2₊_By2₊_Cz2_{+ 2}_Dxy_{+ 2}_Exz_{+ 2}_{F yz}₊_Gx₊_Hy₊_Iz₊_J _{= 0}_, y los distintos tipos de superficies cu´adricas, 15 en total (algunas degeneradas), se obtienen al variar los coeficientes.

La clasificaci´on de los distintos tipos se realiza, primero, con base en la

matriz de la forma cuadr´atica, que es la matriz sim´etrica

  

A D E D B F E F C

  .

El lector recordará que una matriz como ésta es siempre diagonalizable, y las entradas de esa diagonal, los valores caracter´ısticos de la transformación correspondiente a la matriz, indican cuánto se alargan (o encogen) los vectores caracter´ısticos, y si conservan su sentido o lo invierten (vea [B-ML] o [Ra]).

El rango de una matriz es la dimensión de su imagen, que en este caso coincide con el número de su valores caracter´ısticos no cero, y su signaturaes la diferencia entre el número de sus valores propios positivos menos el número de los valores propios negativos. El rango y la signatura son invariantes bajo transformaciones ortogonales porque el polinomio caracter´ıstico lo es.

(42)

1o. El grado de un polinomio es invariante bajo transformaciones r´ıgidas, pues lo es tanto bajo una traslación como bajo una transformación orto-gonal. En consecuencia, un polinomio cuadrático se transforma en otro polinomio cuadrático, es decir, toda superficie cuádrica se transforma en otra superficie cuádrica.

2o. Las únicas formas canónicas de las superficies cuádricas son las siguientes, porque agotan todos los casos posibles (damos un ejemplo de cada tipo, y, salvo 1), 3), 7) y 13), los ilustramos en la Figura 1.16):

- Rango 3:

1) el conjunto vac´ıo, correspondiente a la ecuación x2₊_y2₊_z2₌₋_1; 2) un elipsoide, correspondiente a la ecuación x2 _{+ 2}_y2_{+ 3}_z2 _{= 1;} 3) un punto, dado por la ecuación x2_{+ 2}_y2_{+ 3}_z2 _{= 0;}

4) un hiperboloide de 2 hojas, dado por la ecuación x2₋₂_y2₋₃_z2 _{= 1;} 5) un hiperboloide de 1 hoja, cuya ecuación t´ıpica es x2_{+ 2}_y2₋₃_z2 _{= 1;} 6) un cono, cuya ecuación t´ıpica es x2+ 2y2−3z2 = 0.

- Rango 2:

*) el conjunto vac´ıo, dado por x2₊_y2 ₌₋_1; 7) una recta, dada por la ecuaci´onx2_{+ 2}_y2_{= 0;}

8) dos planos que se cortan, cuya ecuación es x2₋₂_y2 _{= 0;} 9) un cilindro el´ıptico, cuya ecuación t´ıpica es x2_{+ 2}_y2 _{= 1;} 10) un cilindro hiperbólico, dado por la ecuación x2₋₂_y2 _{= 1;} 11) un paraboloide hiperbólico, de ecuación x2₋₂_y2₌_z_; 12) un paraboloide el´ıptico, con ecuación x2_{+ 2}_y2 ₌_z_; - Rango 1: