FRICCION EN SILOS Y VEHICULOS ACELERADOS CON CARGA GRANULAR

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Azcapotzalco

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

“FRICCIÓN EN SILOS Y VEHÍCULOS

ACELERADOS CON CARGA GRANULAR”

T

E

S

I

S

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN TERMOFLUIDOS PRESENTA:

VALERIANO

SALOMÓN

ÁLVAREZ

SALAZAR

.

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Azcapotzalco

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

“FRICCIÓN EN SILOS Y VEHÍCULOS

ACELERADOS CON CARGA GRANULAR”

T

E

S

I

S

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN TERMOFLUIDOS PRESENTA:

VALERIANO

SALOMÓN

ÁLVAREZ

SALAZAR

.

Lee Smolin (1955-?), Físico teórico.

Éste trabajo de investigación se realizó en el

laboratorio de Termofluidos

Margarita Salazar Escobar, que me has

enseñado a no derrotarse nunca a pesar de los

tiempos difíciles, y sabiendo que jamás existirá

una forma de agradecer un a vida de lucha,

sacrificio y esfuerzo constantes, sólo deseo que

entiendas que el logro mío, es el logro tuyo, que

mi esfuerzo es inspirado en ti, y que mi único

ideal eres tú. Si acaso existiera otra vida

Al Dr. Abraham Medina Ovando ,por su confianza, apoyo y asesoría para el desarrollo y culminación de éste trabajo, así como brindarme su

confianza y gran amistad. Con admiración y respeto…

AlDr. Abel López Villa,por su apoyo para la culminación de éste trabajo, así como su gran amistad. Con admiración y respeto…

A la Dra. Guadalupe Juliana Gutiérrez, por todo su apoyo durante mis estudios de maestría y a su gran amistad. Con admiración y respeto…

Al M. en C. José Rubén Aguilar Sánchez por todo su apoyo durante mis primeros estudios de maestría y a su gran amistad. Con admiración y respeto…

Al Ing. Guillermo Cruz V ., por todo su apoyo, en los tramites de control escolar. Con admiración y respeto…

A Fanny B. S. por su confianza, apoyo y gran cariño.

Al IPN–SEPI-ESIME. Unidad Azcapotzalco, por los conocimientos brindados, así como ser mi segundo hogar en todos é stos dos años de estudio para obtener el grado de Maestro en Ciencia s en Termofluidos. Asi como al personal de control escolar

A la SIP (Secretaria de Investigación y Posgrado), dándome la oportunidad de laborar como becario en el p royecto titulado “Imbibición en medios porosos”, con registro ante la SIP 20100980. En el cual el Doctor Abraham es el director de dicho proyecto, gracias por todo su apoyo.

Al CONACYT , (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología), por su apoyo, en el programa de becas. También agradecemos el apoyo a través del proyecto CONACYT-IPN “Laboratorio de experimentación en termofluidos”.

Al COMECYT , (Consejo Mexiquense de Ciencia y Tecnología), por su apoyo, en el programa de becas.

1. Introducción 1

1.1. Antecedentes . . . 3

1.1.1. ¿Partículas o continuidad? . . . 5

1.1.2. Introducción al material granular. . . 6

1.1.3. De…nición de medio granulado . . . 7

1.2. Propiedades de granos individuales . . . 7

1.2.1. Densidad de una partícula . . . 7

1.2.2. Tamaño de una partícula . . . 8

1.2.3. Forma de la partícula . . . 9

1.3. Propiedades de un material granular . . . 10

1.3.1. Cohesión y adhesión . . . 12

1.3.2. Ángulo de reposo . . . 13

1.3.3. Fuerzas y tensiones . . . 15

1.3.4. Esfuerzos en un sólido granular . . . 16

1.3.5. Equilibrio de fuerzas y círculo de Morh . . . 17

1.3.6. Fricción en pared . . . 22

1.3.7. Fenómeno de arqueo . . . 23

1.4. Silos y sus propiedades . . . 24

1.4.1. Tipos de silo . . . 24

1.4.2. Fallas en silos . . . 25

2. Ley de Janssen: teoría clásica de la presión en un silo 27 2.1. Introducción . . . 27

2.2. Ley de Janssen clásica . . . 27

3. Ley de Janssen modi…cada 31 3.1. Deformación y fuerza vertical de la pared del silo . . . 32

3.2. Experimentos de tracción y de deformación en silos circulares con pare-des delgadas elásticas . . . 34

4. Deformación de la super…cie libre de un material granular bajo acel-eración uniforme 38 4.1. Introducción . . . 38

4.2. Modelo teórico . . . 39

4.3. Volumen movilizado y cambio del centro de masa. . . 42 4.4. Experimentos . . . 43

1.1. Tabla de términos cualitativos para describir el tamaño un material

granular. . . 8

1.2. Diferentes formas para medir una partícula . . . 9

1.3. Arreglos de empaquetamiento para esferas del mismo tamaño . . . 11

1.4. Métodos usados para determinar el ángulo de reposo . . . 14

1.5. Diferentes ángulos de reposo que presentan ciertos medios granulares dependiendo de su comportamiento . . . 14

1.6. a) Fuerza aplicada; b)Fuerza resultante, ; Esfuerzos . . . 15

1.7. Esfuerzos de corte (ejemplo). . . 16

1.8. El esfuerzo de corte de un material. . . 17

1.9. Grá…ca que muestra el esfuerzo cortante de un material particular para el modelo lineal de Coulomb. . . 18

1.10. Elemento de material granular dentro de un contenedor que se supone de altura in…nita y fuerzas de fricción actuantes en las paredes . . . . 18

1.11. Fuerzas involucradas en equilibrio sobre una parte tomada de un bulk solid . . . 19

1.12. Circulo de Mohr que describe la relación para  ,¶. . . 20

1.13. Relación entre el Circulo de Mohr, Esfuerzo límite y plano de cedencia de una muestra de sólido granular,[3]. . . 21

1.14. Punto de corte sobre la pared en una super…cie plana de un sólido granular, la grá…ca muestra el esfuerzo cortante vs fuerza de carga . . 22

1.15. Diferentes tipos de atascamientos que se pueden presentar en el ‡ujo de descarga de un medio granulado, a) arco mecánico b) arco cohesivo, (Imágenes tomadas de [4]) . . . 23

1.16. Diferentes geometrías y tamaños de silo.[4] . . . 24

1.17. Ejemplos de fallas estructurales.[4] . . . 25

2.1. Prueba de Janssen puesta a punto para la medición de la tensión vertical.[2] 28 2.2. Modelo para la medición del coe…ciente de fricción entre el material granular y el material de la pared.[2] . . . 29

3.1. Esquema del tubo llenado con un medio granular. Donde las fuerzas actuantes están representadas . . . 32

3.2. Tubos elásticos llenos de agua y con esferas de vidrio, 2a) y 2 b), donde las diferencias son claras entre los dos casos. . . 34

3.3. Grá…ca de los per…les de deformación del tubo, cuando es llenado con agua y con el medio granular, así como las ecuaciones que lo predicen 35 3.4. Grá…ca de la Fuerza de , como función de la altura () del tubo, de

los experimentos y de los parámetros de Janssen. . . 37

4.1. Esquema de la caja acelerada llenada con un material no cohesivo. el per…l inicial es un per…l horizontal, y cuando el sistema está bajo la aceleración ¤_{, la deformación resultante es una pendiente con ángulo. 40}

4.2. Per…les de deformación para diferentes valores de ¤_{.  = 06 (línea}

continua),= 08(¨), = 1(¥),= 15(línea discontinua)  = 2(§). 41 4.3. Esquema de otras condiciones iniciales: (a) Per…l simétrico de la

super-…cie libre (b) Per…l asimétrico de la supersuper-…cie libre . . . 42 4.4. Volúmenes fraccional en función de la aceleración adimensional, . En

esta grá…ca se han considerado los valores de la aceleración de la Fig.4.2. 44 4.5. Cambio de posición del centro de masa deformada en las aceleraciones

dimensiones dadas en la Fig.4.2. . . 44 4.6. Cámara de vídeo alta velocidad, modelo Redlake HG-100K . . . 45 4.7. Esquema de la vista parcial de un montón de semillas de mostaza

con-…nado en la caja con un per…l inicial horizontal (a), montón deformado de mostaza (b). En este caso= 122. La línea blanca indica la posición

del nivel inicial. . . 46 4.8. Grá…ca del movimiento acelerado de la caja que contienen las semillas

a Aceleración de un cuerpo [m/s ]

a* Aceleración adimensional A Sección transversal [m2_]

Asp Área de la superficie de la partícula [m2_] cm Centímetros

Cw Parámetro que define la adhesión entre el material granular y la superficie de la pared

dg Diámetro de grano [m]

dh Altura de un control de volumen del medio granular [m]

dV Diámetro de una esfera que tendrá el mismo volumen de la partícula [m] Dmin Diámetro mínimo del tubo [m]

e Espesor del tubo [m]

F Fuerza [N]

g Aceleración de la gravedad [m/s2] H Altura de llenado [m]

K Parámetro de Janssen

L longitud [m]

m Masa del cuerpo [Kg]

N Fuerza Normal

P Presión [Pa]

r0 Radio interno del tubo [m] rcm Centro de masa

t Tiempo [s]

U Circunferencia del silo

Vfm Fracción del volumen movilizado [m3_] Vm Volumen movilizado [m3_]

VP Volumen de la partícula [m3] VT Volumen total [m3]

w Dimensión de ancho de la caja. [m] x, y ,z Coordenadas cartesianas

xcm Centro de masa, en la dirección x ycm Centro de masa, en la dirección y zcm Centro de masa, en la dirección z

GRIEGAS

α Ángulo arbitrario [º] γ Peso específico

ε Porcentaje del volumen total de espacios, no ocupado por las partículas (Fracción de vacio). η Factor de empaquetamiento

θ Ángulo de inclinación [º]

λ Relación entre la tensión horizontal y la tensión vertical, μ Coeficiente de fricción

μ w Coeficiente de fricción de la pared π Número pi.[3.1416…]

ρ Densidad [Kg/m³] σh Esfuerzo horizontal σv Esfuerzo vertical τ Esfuerzo cortante [Pa] ϕc Ángulo critico [º]

SUPERÍNDICES

Introducción

La física de medios granulados constituye, en términos de su fundamentación, un problema abierto; las ecuaciones de movimiento con sus relaciones constitutivas y condiciones de frontera que aún no se establecen con precisión. Con el …n de construir una teoría completa, algunos modelos experimentales han sido propuestos con anteri-oridad [1, 24], más aún, existen modelos muy limitados que explican la estática o la dinámica de un medio granulado para estos experimentos especí…cos.

La abundancia de los medios granulados se pone en mani…esto en la constitución de los suelos, en la enorme cantidad de arena en las playas y desiertos, en el alma-cenamiento de granos agrícolas, en la gran variedad de polvos que usamos en la vida diaria como medicinas y alimentos secos, etc. Sin embargo, las leyes físicas que gob-iernan estos medios no han sido formuladas con precisión y aún hoy en día aparecen fenómenos que no entendemos ni siquiera de manera aproximada.

Parece ser que en medios granulados los fenómenos físicos son cualitativamente los mismos independientemente de la escala de magnitud de los sistemas (choques entre granos, ‡ujos no-Newtonianos, empaquetamientos, entre otros).

La dinámica de los medios granulados depende críticamente de la microestructura; por ejemplo, la forma de los agregados granulares no sólo se determina por la forma de los granos (las pendientes características cambian para esferas o discos), sino también por el proceso mecánico de distribución de esfuerzos y la geometría del acomodo o empaquetamiento (fracción de volumen ocupado por los granos en un cierto elemento material).

El empaquetamiento de granos de igual tamaño y forma puede generar diferentes arreglos (cristalinos y no cristalinos) con la cual la densidad local media del agregado y la concentración local (que en sistemas tridimensionales varia del 13 al 74 %), cam-bian. Por ello para un mismo tipo de grano, podemos tener diferentes densidades y concentraciones locales.

Aquí empaquetamiento y concentración son sinónimos (son la medida de volumen ocupado por los granos en un elemento de volumen dado). No obstante, el empaque-tamiento puede dar una idea geométrica del acomodo de los granos, p. e., un arreglo cristalino cúbico centrado en las caras (FCC, Face Centered Cubic), tiene una frac-ción de empaquetamiento de = 052. La densidad de bultoen sistemas ideales es = donde es la densidad de un grano. Si = 1(con sus unidades adecuadas

de masa sobre volumen), entonces=

La distribución de esfuerzos depende del empaquetamiento mismo y en las situa-ciones estáticas o dinámicas, ésta distribución lleva a diferentes comportamientos macroscópicos; forma del agregado, propiedades de ‡ujo, entre otros.

En el caso estático los medios granulados soportan esfuerzos cortantes sin defor-mación hasta ciertos valores críticos, ello parece corresponder al comportamiento de los sólidos, por el contrario en el caso dinámico los medios granulados se ‡uidizan, i.e,. Se generan gradientes de velocidad bajo la aplicación de esfuerzos. Ocurren entonces dos casos límite de comportamiento global, uno el de sólido y otro el de ‡uido (No necesariamente Newtoniano). Cuando hay cohesión además de las fuerzas de contacto aparecen fuerzas electroestáticas y así las concentraciones son grandes, deformaciones en los granos, que nuevamente afectan la distribución de esfuerzos y las propiedades macroscópicas. Más aún, si los granos están inmersos en un ‡uido (cuyo ‡ujo menudo es turbulento), se tiene una situación muchísimo más complicada por que las fuerzas hidrodinámicas afectan el movimiento de los granos.

Los intentos por construir ecuaciones dinámicas para los medios granulados se basan principalmente en tres enfoques distintos; la teoría del medio continuo y la teoría cinética. Re…riéndonos al caso de ‡uidos Newtonianos la aplicación de estos dos enfoques permiten deducir ecuaciones formalmente idénticas (ecuaciones de Navier-Stokes).

En un medio granulado condiciones similares a las que se proponen para deducir las ecuaciones de ‡uidos Newtonianos son difíciles de cumplir, lo que lleva a una con-siderable complejidad en la aplicación de cualquiera de los enfoques (teorías cinéticas y del continuo) que hasta ahora no ha sido totalmente superada.

Existen varias aproximaciones que son validas en condiciones de ‡ujo muy re-stringidas que desde el punto de vista fundamental no constituyen una teoría general. Debido al carácter de este traba jo, que se centra en dos puntos en particular estudio de la fricción en un silo, llenado con un medio granular y vehículos acelerados con carga granular dentro, será pertinente, por completéz, revisar brevemente los antecedentes históricos que lleván al estado actual de investigación teórica y experimental en medios granulados.

algunas propiedades del material granular, así como de silos y sus propiedades. En el Capítulo II, se describe la Ley de Janssen: teoría clásica de la presión en un silo, en el Capítulo III, se hace una nuevo planteamiento a la Teoría de Janssen, para modi…car esta última, así como el diseño experimental de la tracción y de deformación en silos circulares con paredes delgadas elásticas, en el Capítulo IV, se plantea el problema de la deformación de la super…cie libre de un material granular bajo aceleración uniforme, así como la pared experimental de este fenómeno. Finalmente, en el Capítulo V se presentan las conclusiones de trabajo de esta tesis.

1.1.

Antecedentes

la fascinación del hombre sobre los medios granulados siempre ha estado presente. Hay referencias en el Corán de la magni…cencia de las dunas en los desiertos árabes. Los primeros estudios cientí…cos sobre medios granulados se remontan al siglo XVIII y son debidos a Coulomb [1], quien estudió el origen de la cedencia de los suelos. La cedencia es un concepto básico en la ingeniería civil y es simplemente la condición de esfuerzos crítico para que, un suelo, a una pendiente dada, ceda debido a su propio peso. La relación que encontró coulomb es la misma que obedece un cuerpo sólido con componente normal , en un plano inclinado justo antes de moverse al vencer la fricción estática, i . e ocurre cedencia cuando [18];

jj ¸tan+= + (1.1)

donde jj es la magnitud del esfuerzo friccional cortante en la dirección tangente al

plano (recordemos que el esfuerzo es la fuerza que actúa sobre un cuerpo por unidad de área ),  es el ángulo de fricción interna ( que en la teoría de coulomb es una cantidad constante para cada material ),es el coe…ciente de fricción estática, y es la cohesión del material. Si= 0, se dice que el material no contiene cohesión o es no

cohesivo. La ecuación se cumple aproximadamente y surge de suponer que una capa de espesor() = , que genera un esfuerzo normal , se desliza uniformemente.

En la actualidad se sabe que la hipótesis del movimiento de una capa uniforme no es correcta por que el movimiento de la zona de cedencia es mucho más complicado. Debido a los márgenes de error aceptados en ingeniería, la relación, aún hoy se mantiene como una buena y simple aproximación y constituye el primer intento por construir ecuaciones para los medios granulados.

altura. Esto es debido a que los granos en contacto transmiten parte de los esfuerzos a las paredes (fenómeno conocido como arqueo), lo constituye una diferencia cualitativa respecto a ‡uidos donde la presión en el fondo es una función de la altura.

Faraday, a principios del XIX encontró que, al agitar una caja con arena (cuya super…cie libre inicialmente es horizontal), cambiaba la pendiente la super…cie hasta un ángulo no nulo respecto a la horizontal. Esto constituye una diferencia cualitativa respecto a los ‡uidos y físicamente signi…ca que el material granular soporta esfuerzos cortantes, sin movimiento, hasta ciertos límites. Más aún, la inclinación pude ocurrir con igual probabilidad sobre cualquiera de las paredes del contenedor originándose con ésto la pregunta de cúal es el mecanismo que induce el rompimiento de simetría.

El concepto de dilatación fue de…nido el siglo pasado por Reynolds como una propiedad que tienen los medios granulados de alternar su volumen de acuerdo con un cambio en el arreglo de sus granos. Por ejemplo, si tenemos una masa de granos en el arreglo más denso posible (ordered closed packing) y aplicamos una deformación cortante en cualquier lugar, el volumen de la masa aumenta, este fenómeno es pura-mente geométrico y surge del reacomodo interno (separación) de los granos. A nivel dinámico, el desarrollo de los esfuerzos que tienden a expandir al material. Debido a la ocurrencia de dilatancia, a pequeños o grandes cortes los medios granulados también se conocen como materiales dilatantes.

A diferencia de Hagen y Coulomb [1], que estudiaron las propiedades de los ma-teriales granulare poco caracterizados, Faraday y Reynolds [6] [7], realizaron sus experimentos con granos esféricos, esto es, caracterizaron una propiedad local del ma-terial (la geometría de los granos). El cambio cualitativo en el tratamiento puso de relieve que los factores geométricos son de primera importancia.

La base de nuestro entendimiento actual de la dinámica granular fue establecida a través de los brillantes trabajados de Bagnold realizados a mediados de este siglo. A él se debe la caracterización de tres diferentes regímenes de movimiento; el régimen friccional (dominado por las fuerzas de fricción entre granos), el régimen de inercia de grano o colisional (donde la dinámica es principalmente dominada por colisiones no importando que hay un ‡uiodo intersticial) y el régimen macroviscoso (donde la viscosidad del ‡uido en el que se encuentra el material granular domina el movimiento de los granos). Bagnold también encontró que las propiedades de los medios granulados en movimiento se alejan de aquellas de los ‡uidos Newtonianos (esto es, el tensor de esfuerzos y el gradiente del campo de velocidades no son proporcionales).

que las relaciones constitutivas son relaciones entre el esfuerzo y la deformación, p.e., para materiales elásticos se cumple la ley de Hook =, donde  es el esfuerzo

elástico, es la deformación elástica y  el módulo de elasticidad.

En medios granulados la parte de investigación básica a seguido a partir de Bagnold dos líneas principales de trabajo. La de las teorías microestructurales y de las teorías de continuo. El programa de trabajo a partir de estas consideraciones es similar al de la teoría cinética donde se consideran cierto tipo de propiedades y de interacciones de los granos. Ecuaciones de movimiento y relaciones constitutivas se han conseguido para ciertos márgenes de concentraciones y de gradientes de esfuerzo. No obstante, algunas de las hipótesis y conclusiones en estos estudios no son satisfactorias [29].

Las teorías del continuo en medios granulados surgen desde Coulomb y dependi-endo de la situación estática, o dinámica, modelan la materia granular como sólido o como ‡uido con propiedades reológicas obtenidas del experimento. Éxitos parciales de estas teorías aparecen en el caso estático y en dos o tres con…guraciones dinámi-cas muy idealizadas (especí…camente en los sistemas de canal inclinado, arcones de almacenamiento i.e., relojes de arena y cilindros concéntricos). Conexiones entre el caso estático (dominado por fricción) y el dinámico (dominado por colisiones ) son el motivo de los estudios más recientes (teorías cinético-friccionales).

La discusión previa ilustra que el interés por los medios granulados se ha dado en distintos grados y con diferentes enfoques. Una constante en todos los estudios es el papel que ha jugado la experimentación, cualitativa y cuantitativa, en la formulación o en la crítica de las teorías.

1.1.1. ¿Partículas o continuidad?

Un material granular se compone de partículas individuales. En principio, es posi-ble describir el comportamiento de un sólido a granel al considerar las interacciones partícula-partícula. Pero, como es fácil de entender, esto sería un proceso difícil, porque el número de partículas en un medio granular es por lo general muy grande. Por ejemp-lo,109partículas de un diámetro de10micras se encuentran en un cm3, cada partícula tiene una forma diferente, y las fuerzas adhesivas entre las partículas difícilmente se puede calcular con exactitud.

no deban ser considerados.

El último procedimiento que se establece, i.e., la aplicación de los métodos de mecánica de medios continuos, es la manera clásica de proceder en la tecnología de sólidos a granel y se pondrá de relieve en la presente tesis. Esto es cierto para la medición de las propiedades de la corriente, cuando por lo general las tensiones y deformaciones en un determinado volumen material granular se investiguen, así como para los procedimientos de cálculo [3].

1.1.2. Introducción al material granular.

El conocimiento que se tiene hoy día de las características y comportamiento de los sólidos y ‡uidos en el ramo ingenieril es de imprescindible importancia para el diseño y fabricación de todos los dispositivos que conocemos para su control, manejo y almacenaje, gracias a tratados y leyes que se han formulado a lo largo de los años de estudio ha llevado al hombre a su entendimiento y predicción del comportamiento bajo ciertas condiciones ambientales y es común que continuamente aparezcan nuevas obras en estas disciplinas con nuevos fundamentos y métodos para su estudio y solu-ción de problemas [4]. Con respecto al estudio de los medios granulares (conocido como bulk solids) no existe mucha información en base de investigaciones, sino que los inge-nieros se guían por experiencias vistas o vividas en diversas aplicaciones y problemas encontrados durante su manejo. Existen diversos problemas industriales que están in-volucrados directamente con el manejo de medios granulares, principalmente las que están involucradas con arenas, polvos, piedras, procesadoras de sal, entre otros. El poco conocimiento en el campo de los medios granulares hace que en este tipo de industrias se presenten problemas durante el procesado del material granular, desde su manejo y almacenaje hasta su disposición para su procesamiento ya sea por bandas transporta-doras, por ‡ujo dentro de tuberías y por descarga desde los muy tradicionales silos. Debido a que los diseñadores de equipo para manejar y almacenar granos o polvos desconocen el comportamiento de los medios granulares (ya que estos medios se com-portan diferente que los sólidos o los ‡uidos) no pueden predecir su comportamiento, un ejemplo claro es cuando un medio granular se atasca cuando está saliendo de al-gún silo o la destrucción del mismo mecanismo con que se está manejando la arena o polvos, de hecho existen estadísticas que en México se pierde el 30 % de granos de maíz durante el manejo de este.

problemas que existen en el manejo de los “bulk solids”, de hecho en algunos países están considerando incluir en los programas de enseñanza de ingeniería el estudio de propiedades, almacenaje, ‡ujo y transporte de partículas o materiales de forma granular.

1.1.3.

De…nición de medio granulado

Los medios granulares son llamados también “bulk solids” o simplemente “bultos” y son aquellos que en condiciones óptimas se pueden comportar como un sólido, liquido y gaseoso [5]. Los medios granulares están formados por partículas no cohesionadas y donde las únicas fuerzas relevantes y necesarias son las inerciales y la gravedad. No in‡uyen, ni deben in‡uir, las cargas electrostáticas, la humedad u otras fuerzas que puedan interferir en la cohesión o la perdida de "independencia"de dichas partículas. Los medios granulares como la arena presentan comportamientos que los diferencian de ‡uidos y los sólidos. En la actualidad no hay un conocimiento concreto para describir el comportamiento de los medios granulares, i.e., no existen investigaciones avanzadas que nos describan teóricamente el comportamiento de éstos y la ingeniería solo se apoya en experiencias anteriores donde se involucra el trabajo con dichos medios. Se pueden considerar como medios granulares a la arena, cereales, granos, piedra, sal, entre otros.

1.2.

Propiedades de granos individuales

Es de suma importancia conocer adecuadamente el comportamiento de los granos que conforman la muestra del medio granular estando estos libres de humedad, es por ello que se describirá lo que se conoce como “bulto de sólidos” o simplemente “Bulto” re…riéndonos, por supuesto, a los medios granulares (“Bulk Solids”). Un sólido granular esencialmente está formado por una gran cantidad de partículas ó granos de diferentes tamaños y forma, posiblemente de diferente composición química, aleatoriamente agru-pados [5]. Por esta descripción podemos comenzar por conocer las propiedades de los granos individuales tratándolos como una partícula.

1.2.1.

Densidad de una partícula

Figura 1.1: Tabla de términos cualitativos para describir el tamaño un material gran-ular.

estos huecos como vacios, lo anterior se explicará con mayor profundidad en el punto siguiente, aunque es claro también que los granos de la arena no son del todo regulares ni mucho menos iguales entre todos estos.

1.2.2. Tamaño de una partícula

Se utilizan varios términos para cuanti…car el tamaño de partículas que constituyen a un material granular, los nombres con que se distinguen los tamaños de partículas varían de una industria a otra. La tabla siguiente, nos muestra algunos términos con los cuales las describen algunas industrias, imponiendo rangos para ayudarnos a de-scribir por tamaño de granos ciertas partículas como lo es material granular, polvo …no y otros, de hecho en la misma tabla se exponen algunos ejemplos de tamaños de granos y en que tipo de productos de material granular son mencionados [5]. Para una comprensión más simple de cómo podemos caracterizar las partículas de un material granular, suponemos que la partícula es esférica y regular. Más adelante veremos que las partículas que forman al material granular se tomarán como un promedio de los tamaños de granos, ya que estas de…nen una forma irregular y diferente tamaño.

Cuando las partículas no son esféricas es necesario de…nir más cuidadosamente sus parámetros usados para describir su tamaño y forma [5] (es más conveniente remarcar como “distribución de tamaño” a las partículas que componen al material granular). Para representar una partícula irregular en forma regular, se utiliza una ecuación que permite describirla de este modo regular, corresponde a una esfera con un diámetro regular de una partícula bajo ciertas condiciones o de otro valor con sus características descriptivas. Por ejemplo, si queremos obtener el “diámetro de volumen”,, puede ser

Figura 1.2: Diferentes formas para medir una partícula

Esto es,

 =

µ

6



¶1 3

= 1241

1

3 (1.2)

donde   es el volumen de la partícula.

Si se tratará de describir el tamaño de una partícula en forma de cubo, se tiene que su volumen di…ere con respecto a lo que describe la fórmula, en general la forma de describir el volumen de una partícula depende principalmente del método de medición, la Fig. 2.1 muestra los diferentes tipos o criterios para el cálculo del volumen de una partícula.

En general, la práctica industrial toma el diámetro equivalente usado, en lo que se describió en el párrafo anterior, que corresponde al diámetro de una esfera que tenga las mismas características que se estimen con la técnica usada para determinar el tamaño de las partículas. Es de vital importancia, para manejar material granular, caracterizar el tamaño, la densidad y la forma de las partículas para poder manejarlos durante su proceso o transporte. En algunas situaciones industriales es muy probable que el material granular comprenda o esté conformada por un gran número de partículas no uniformes en tamaño.

1.2.3.

Forma de la partícula

, que se de…ne como la relación del área de super…cie de la partícula y la esfera que contenga el mismo volumen [2].

 =

(¶       )

(¶      ¶);   ¶ (1.3) Se puede notar que  es menor que la unidad y que;

= (

2

) = (



)

2_{ (1.4)}

donde es el área de la super…cie de la partícula, así el diámetro del volumen es

siempre menor que la super…cie del diámetro ds para una partícula no-esférica. Es claro que para la determinación de la esfericidad se requiere de la medición del volumen y el área de la super…cie de la partícula. Pero tomar estas mediciones no es nada fácil, por lo que se tiende a trabajar con medidas indirectas y promedios de valores de una muestra de un grupo de partículas. Por consiguiente el valor del resultado de  será sólo un promedio, pero esto nos da una pequeña información

acerca del material granular compuesto de una amplia gama de formas de partículas.

1.3.

Propiedades de un material granular

La naturaleza del material granular, descrito en términos apropiados característi-cos, es de esencial consideración para el diseño y selección de equipo para su manejo y almacenaje, como se ha dicho anteriormente existen muchos ejemplos de problemas en la industria atribuidos especí…camente al manejo de los medios granulares o “bul-tos” de los cuales se tiene desconocimiento de las propiedades que presentan. Algunos de estos ejemplos son: las fallas durante la descarga de material mediante tolvas de almacenaje, bloqueo durante la transportación en las líneas y el ‡ujo incontrolable del material durante la descarga son algunos de los problemas que se pueden presen-tar durante su manejo. Para describir adecuadamente lo que es material granular, es importante entender que puede caracterizarse en dos niveles:

Por medio de características descriptivas del material cuando éste esta su forma normal como materia granular, por ejemplo: la forma en que este se compacta, carac-terísticas de ‡ujo, la in‡uencia que tiene sobre este la humedad y carga electrostática. Por medio de características que constituyen las partículas como lo son su tamaño, densidad, dureza, forma y textura de la super…cie.

Figura 1.3: Arreglos de empaquetamiento para esferas del mismo tamaño

Como se menciono en el punto anterior, la forma de las partículas que constituyen un material granular sólido, depende obviamente de la manera en que son producidos. Indistintamente si la forma de las partículas o granos es regular o irregular, cuando son empaquetados juntos con una orientación aleatoria habrá espaciamientos vacíos entre ellos. Así, un bulto es realmente una combinación de partículas y de espacio, el porcentaje del volumen total del espacio no ocupado por las partículas usualmente son referidos como “fracción de vacío”, expresado por:

  ¶ ¶= (  ¶)

(¶   ¶  ¶) (1.5) o como,

=  ¶ 

¶+ ¶  (1.6)

Algunas veces el término “porosidad” es asignado al material granular, signi…-cando lo mismo que “fracción de vacío”. Pero es recomendable que este término se reserve para la descripción de la estructura individual de las partículas. Así podemos de…nir “porosidad de partícula” como la relación del volumen de poros contenidas en la partícula entre el volumen de la partícula [5] (incluyendo poros).

Una cantidad de partículas o de material granular presentara una aparente densi-dad, que usualmente se le denomina “densidad de bulto”, este puede ser de…nido como la masa del material dividida por su volumen total (partículas y vacios).

Tenemos

   =

¶ +¶

¶ + ¶  (1.7)

escribiendo  como la densidad verdadera de las partículas sólidas y a , puede

expresarse la densidad del bulto como:

= (¡)(1¡) + (1.8)

para un material granular seco los espacios vacios están compuestos de aire, entonces la densidad_ es tan pequeña que puede despreciarse comparada con _ entonces la relación entre la densidad del material granular y la densidad de la partícula viene a ser;

 =(1¡) (1.9)

Ciertamente el conocimiento de la densidad del material granular es muy esencial para el diseño de silos de almacenamiento así como de los sistemas de transportación. La determinación de este parámetro a partir de una muestra de material involucra la medición de la masa de la muestra y de su volumen total. Las mediciones son directas y los problemas que conlleva es la de la forma de tomar las mediciones, que son bajo las condiciones que el volumen va a ser medido y ba jo que técnicas de medición, la medición de los vacios del bulto de un material en particular, depende del arreglo de empaquetamiento.

La dilatancia es una propiedad del material granular asociado con el empaque-tamiento, este término lo de…nió Reynolds [6, 7].

1.3.1.

Cohesión y adhesión

pueden ser causadas por la humedad o por cargas electrostáticas, se presenta especial-mente mayor en materiales granulares muy …nos, resultando a presentarse en forma de conglomeraciones, lo que conlleva al material a comportarse de manera errática como son los terrones. Ejemplos de estos es la harina de trigo y la cocoa en polvo [2][11].

El término general de “‡uidez” es utilizado para cuali…car la sensibilidad del ma-terial granular para desplazarse libremente, o cohesivamente como se describió en el párrafo anterior. La cohesión puede ser formalmente de…nida como la resistencia del medio granular al corte con una tensión aplicada igual a cero, se pueden diseñar prue-bas para determinar esta magnitud [11].

1.3.2.

Ángulo de reposo

Otra característica muy importante del material granular es el ángulo de reposo. Cuando se tiene una muestra del material granular en diferentes recipientes o en reposo y se le libera de este, el material granular resbala tomando otra posición o forma, mostrando una super…cie inclinada como se observa en la Fig. 1.4, Éste ángulo que se forma tienen un máximo y depende de la naturaleza del material granular y de la super…cie que la estaba conteniendo al retirarla. Es posible encontrar el ángulo máximo de reposo de un material granular aplicando unas pruebas estandarizadas, obteniendo la limitación natural de la inclinación [11]. Existen varios métodos para determinar el ángulo máximo de reposo de un material granular, claro que hay que tener en cuenta que esto no sólo depende de las características del mismo, puede depender también de la humedad o de la carga electrostática que en esos momentos presente en el material granular. Algunos métodos para determinar este ángulo se muestran en la Fig. 1.4 dónde el más aplicado es el cual se utiliza un disco de un diámetro de 7.6 cm de diámetro referido en la …gura como “montón circular”.

Este procedimiento consiste en un disco o plato central rodeado de un cilindro hueco, se llena este sistema con el bulto a caracterizar a continuación se retira el cilindro resbalando todo el bulto quedando únicamente sobre el disco una parte de la muestra, se mide la altura que tiene y el diámetro de la base, con esto será su…ciente para calcular el ángulo de reposo, se pre…ere este método por ser el mas versátil y por dar una mejor repetitividad.

Figura 1.4: Métodos usados para determinar el ángulo de reposo

Figura 1.6: a) Fuerza aplicada ; b)Fuerza resultante, ; Esfuerzos

1.3.3. Fuerzas y tensiones

El estado de carga en un sólido a granel se describe utilizando los métodos de mecánica continua: No se toman en cuenta las fuerzas en las partículas individuales del medio granular, pero si las fuerzas en las zonas límites de los distintos elementos de volumen. Es decir se toma en cuenta la fuerza, que actúa sobre un área en una dirección arbitraria ver Fig. 1.6, que conduce a:

a) la fuerza normal,: fuerza que actúa perpendicular ("normal") a la zona .

b) la fuerza de corte, : fuerza que actúa en paralelo a la zona

En el estudio de los medios granulares, las tensiones tangenciales siempre surgen debido a efectos de fricción: Si, por ejemplo, un sólido a granel se encuentra en un plano horizontal, ver Fig. 1.7a), y se sujeta sólo bajo la acción de la gravedad que actúa perpendicularmente al plano, ningún esfuerzo cortante actúa entre el plano y el sólido granular. Por lo tanto el sólido granular se mantiene en reposo.

Si el plano se inclina a la horizontal por un ángulo lo su…cientemente grande ,

la mayor parte del sólido agranel se deslizará hacia abajo Fig. 1.7c). En contraste con esto la mayor parte sólida se mantendrá en reposo en una inclinación menor Fig. 1.7b). En ambos casos, un esfuerzo cortante,, es el que actúa entre el material

Figura 1.7: Esfuerzos de corte (ejemplo).

granular se deslizará hacia abajo sólo con un ángulo mayor que un plano con una super…cie lisa. Si un plano con super…cie (idealmente lisa), la mayor parte del sólido a granel se deslizará hacia abajo en cualquier inclinación con un  0±_{, porque no}

habría ningún esfuerzo de corte mayor que lo venza.

1.3.4.

Esfuerzos en un sólido granular

La aplicación de una fuerza externa a un material granular tiende a causar una deformación, si se incrementa la magnitud de esta fuerza aplicada se alcanzará un punto en el cual éste se deformará, como consecuencia que las partículas se deslizan unas con otras relativamente como se muestra en la Fig. 1.8, El valor límite de la resistencia a la tensión de corte, en un punto próximo a deslizarse, a éste límite se le conoce como esfuerzo de corte del material [11].

Si se grá…ca la fuerza compresiva contra el esfuerzo de corte, obteniendo la ecuación que describe esta grá…ca como la ecuación Ec. 1.10, que expresa el modelo lineal de Coulomb para el esfuerzo de corte de un material en particular [1];

 =( +) (1.10)

, comúnmente llamada punto de localización, del material granular involucrado, 

es el coe…ciente de fricción interna ycomo una fuerza de tensión [5]. El valor límite

de para  = 0.( =)es a menudo usado como una de…nición de “cohesión”

Figura 1.8: El esfuerzo de corte de un material.

ordenadas, esta grá…ca se le conoce como “grá…ca del lugar de aplicación de la fuerza” del material granular en cuestión. Ver Fig.1.9.

Entonces para un material no-cohesivo (material de ‡ujo libre),  = 0, por lo

tanto el lugar geométrico de donde se produce la fuerza está dada por la línea recta;

 = (1.11)

Si un sñolido granular fuera a comportarse como un ‡uido newtoniano, las tensiones en la dirección horizontal y vertical (y en todas las demás direcciones) sería de igual magnitud. En realidad, el comportamiento de un sólido granular es muy diferente de la de un ‡uido, por lo que la asunción de las analogías muchas veces es engañosa.

La literatura determina que la fuerza de tensión horizontal es consecuencia de la tensión vertical, observando entonces, la tensión horizontal es menor que la tensión vertical ejercida sobre el sólido granular desde la parte superior. La relación de tensión horizontal a la tensión vertical es llamada relación de tensión lateral  [2] [3].

 = 



 (1.12)

Algunos valores típicos para varían de 0.3 a 0.6 [2], [9].

1.3.5. Equilibrio de fuerzas y círculo de Morh

Figura 1.9: Grá…ca que muestra el esfuerzo cortante de un material particular para el modelo lineal de Coulomb.

Figura 1.11: Fuerzas involucradas en equilibrio sobre una parte tomada de un bulk solid

De la Fig. 1.8, puede tomarse una parte a granel del sólido grnular, Ver Fig. 1.11, en la cual no se ejerce fuerza de tensión en la parte superior del sólido granular, entonces los esfuerzos cortantes serán cero y habrá ausencia de esfuerzos sobre las paredes laterales que se suponen son friccionantes, actuando solamente las fuerzas normales desde el exterior. Re…riéndonos a la parte tomada del sólido granular y analizando por equilibrio de fuerzas en éste elemento del sólido granular y haciendo el uso de un elemento de volumen con el corte de sección triangular del elemento sólido granular como se muestra en la Fig. 1.11, la tensión normal  y el esfuerzo cortante que

actúan sobre un plano inclinado a un ángulo arbitrario  pueden ser calculados, si

se realiza un diagrama de fuerzas se obtienen las siguientes expresiones para esfuerzo cortante y tensión [11, 12]. Después de algunas transformaciones matemáticas (por ejemplo, [14]), que se consideran en la siguiente sección, se deduce que:

 = +

2 +

¡

2 cos(2) (1.13)

 = ¡

2 sin(2) (1.14)

La relación de los valores para y, que son calculados por el par de ecuaciones

anteriores para todos los posibles valores de , gra…cando la relación como ,  se

Figura 1.12: Circulo de Mohr que describe la relación para  ,¶.

Este círculo es llamado el çírculo de Mohr de esfuerzo". Su centro está ubicado en

 == ( +)2 y  = 0. El radio del círculo es  = ( ¡)2. El Circulo

de Mohr representa en el sólido granular las tensiones en cualquier plano de corte a cualquier ángulo de inclinación. Como puede apreciarse en la Fig.1.12, existen dos

puntos de intersección sobre el eje, siendo llamados tensiones principales, de la misma

grá…ca. Se observa que la máxima tensión es en1 y la mínima tensión esta designada por 2. El ángulodel plano de corte de la Fig. 1.12, también puede ser encontrado con el circulo de Mohr, las tensiones que se representan en un plano cualquiera sobre la circunferencia marcada a un ángulodel primer plano de corte es está representado

en una relación de 2sobre el circulo de Mohr como se apresia en la Fig. 1.12, el cual

es medido en dirección opuesta del ángulode los planos de corte.

La forma de representar las tensiones que se generan en un material granular que está contenido en un recipiente cilíndrico hueco donde se supone no existe fricción entre éste y las paredes del contenedor cilíndrico, así como las tensiones horizontal y vertical que son constantes por lo tanto las tensiones que se presentan en cualquier posición del material granular dentro del cilindro representadas por el circulo de Mohr son iguales.

Figura 1.13: Relación entre el Circulo de Mohr, Esfuerzo límite y plano de cedencia de una muestra de sólido granular,[3].

límite donde es obvio que tocan el par de puntos de la abscisa y ordenada como el esfuerzo de corte,, y la tensión normal, , que representan el momento en el cual inicia el ‡ujo. El ángulo generado en la grá…ca del plano de falla mostrado en la …gura anterior, representa al del plano horizontal donde está actuando la tensión vertical a un ángulo 2 en el punto límite donde intercepta al plano de falla, de la Fig. 1.13, donde está la muestra del sólido granular con un ángulo  representa la inclinación con respecto de la horizontal del plano de falla de la muestra del sólido granular y se representa en el circulo de Mohr hacia el lado contrario. La orientación del plano de falla de la muestra del sólido granular se de…ne en el punto donde la línea del circulo de Mohr toca la recta del esfuerzo límite a lo largo del eje.

Figura 1.14: Punto de corte sobre la pared en una super…cie plana de un sólido granular, la grá…ca muestra el esfuerzo cortante vs fuerza de carga

1.3.6.

Fricción en pared

La fricción de pared es la fricción entre un material granular y una super…cie sólida, por ejemplo, la pared de un silo o un contenedor. El ángulo de fricción de la pared es importante para el diseño del ‡ujo en el silo, es decir, el diseño del silo para la tracción en las paredes, así como también para el diseño de otros equipos y tolvas, donde gran parte del material granular ‡uirá a través de una super…cie sólida.

Siguiendo el modelo líneal sugerido para la fricción interna del sólido granular 1.10 puede ser usada para representar la relación entre la fuerza normal, la cual presiona

a las partículas contra la super…cie, y el esfuerzo cortante requerido para causar el

deslizamiento a lo largo de la super…cie de la pared, [5] tenemos:

 =+ (1.15)

donde  es el coe…ciente de fricción de la pared y la constante  es un parámetro

que de…ne la adhesión entre el material granular y la super…cie de la pared, se puede gra…car nuevamente esta ecuación con el nuevo parámetro  y que se muestra en

la Fig. 1.14, la línea representada por ésta ecuación es llamada “lugar geométrico de localización en la pared” y para la mayoría de los sólidos granulares está localizada más abajo que la del “lugar geométrico de localización de la fuerza” para el mismo material [5]. Además, el ángulo de fricción (tan¡1 _

) es generalmente menor que el

Figura 1.15: Diferentes tipos de atascamientos que se pueden presentar en el ‡ujo de descarga de un medio granulado, a) arco mecánico b) arco cohesivo, (Imágenes tomadas de [4])

1.3.7.

Fenómeno de arqueo

Uno de los fenómenos que requieren de mayor consideración en el estudio de un ma-terial granular, es el que se le conoce como “arqueo”. Este fenómeno puede presentarse de dos formas, como un resultado de la compactación durante su almacenamiento en un contenedor o silo y como resultado de la cohesividad que presente como propiedad del material granular, este fenómeno se presenta por lo generalmente en la cavidad que sirve de salida al material granular en el contenedor [5, 8, 11]. En el primero, mejor conocido como “arco mecánico”, es como consecuencia del enclavamiento entre las mismas partículas, es decir se atascan o atoran unas con otras, además de ser de tamaño relativamente grande con respecto de la salida del contenedor. Este problema en la realidad es fácilmente evitado sólo con asegurar que la cavidad de salida del contenedor es por lo menos diez veces mayor que la dimensión de las partículas del medio granular, pero esto no evitará que en algún momento se presente éste fenómeno aún. En el caso del arqueo por cohesividad es más difícil de predecir cuándo ocurrirá, se presenta comúnmente en los materiales granulares compuestos con partículas muy …nas o húmedas o con la combinación de las dos. Ésta es una característica del material granular que se debe o se considera para el diseño de silos o contenedores así como mecanismos de descarga.

Figura 1.16: Diferentes geometrías y tamaños de silo.[4]

1.4.

Silos y sus propiedades

1.4.1. Tipos de silo

Los silos (todo recipiente de completo almacenamiento) y tolvas (parte convergente que conduce a una toma de descarga por gravedad). Son ampliamente utilizados en la industria para almacenar una gran gama de sólidos diferentes. El tamaño de estos silos puede variar de las capacidades de menos de 1 tonelada, a la más grande que contiene hasta 100,000 toneladas. El tamaño del silo tiene una fuerte in‡uencia sobre el número de diferentes consideraciones necesarias: los silos pequeños por lo general no producen problemas estructurales, pero en silos grandes muchos aspectos necesitan una atención cuidadosa. Los diseños utilizados para silos varían mucho, ver Fig. 1.16. Cabe señalar que cada material granular varía mucho en sus propiedades, y un silo que es perfectamente adecuado para almacenar un material, puede ser muy peligroso para otro [4].

Figura 1.17: Ejemplos de fallas estructurales.[4]

las propiedades del material granular, estas varían ampliamente, las presiones también puede variar mucho, tanto en magnitud, la distribución y la estabilidad. Las presiones que se desarrollan en los medios granulados almacenados, pueden tener un impacto importante en la falla estructural de un silo, Hay tres principales causas de estos problemas: errores de diseño, errores de construcción y las cuestiones operativas ver Fig. 1.17. Dentro de la categoría de errores de diseño, algunos de los problemas que a menudo ocurren son: [4]

1.4.2. Fallas en silos

a) Propiedades de los materiales y los patrones de ‡ujo no son considerados. b) Tipo de boquilla de salida, en la descarga de material granular en un silo. c) Grandes cargas simétricas y no simétricas causadas por las inserciones.

d) La falta de consideración adecuada de los requisitos especí…cos para el tipo de estructura, tales como la unión con pernos o de hormigón armado.

Ley de Janssen: teoría clásica de

la presión en un silo

2.1.

Introducción

Una breve reseña histórica del desarrollo de la comprensión de los silos puede parecer extraña en un capítulo que asesora en el diseño de silo y de gestión, pero hay buenas razones para ello. El campo de las presiones del silo está lleno de malentendidos y malas interpretaciones, y muchos de estos continúan y se repiten hoy en día, por lo que una apreciación de los motivos de algunos conceptos erróneos proporciona una base valiosa.

A pesar de que los silos se han utilizado para almacenar medios granulados (granos, por ejemplo) durante miles de años, los primeros estudios cientí…cos de las presiones en los silos se llevaron a cabo sólo en el …nal del siglo XIX, cuando cantidades crecientes de maíz fueron importados desde el extranjero hacia países Europa y, por tanto, de-bía ser almacenado. Varios investigadores realizáron experimentos sencillos y simples desarrollando teorías en este período. Uno de ellos fue Janssen (1895) [2] quien realizó experimentos en un silo cuadrado y desarrolló la teoría que es casi universalmente utilizada como la única referencia …able para describir las presiones que se ajercen en un silo.

2.2.

Ley de Janssen clásica

En 1895, H.A. Janssen, un ingeniero alemán interesado en el diseño estructural de los silos, encontro las leyes que dan a las presiones de un medios granular no cohesivo en las paredes verticales y en la base de un silo cuadrado [2]. Encontró que estas presiones no son las mismas, contrario al caso de un líquido normal (Newtoniano), sabía que el

Figura 2.1: Prueba de Janssen puesta a punto para la medición de la tensión vertical.[2]

esfuerzo en el fondo de un silo relleno con un medio granular, no aumenta linealmente como en el caso de los líquidos, pero llega a ser constante a partir de un cierta altura de llenado es decir, El modelo de Janssen predice que esta presión tiende a un valor constante independiente de la profundidad. Con el …n de investigar la dependencia de la presión sobre la altura de llenado, Janssen utilizó el montaje experimental se muestra en la Fig. 2.1.

El origen de este comportamiento está en la fricción estática entre los granos y las paredes del recipiente. Debido a esta fricción, las paredes del recipiente pueden soportar parte del peso del material granular.

Para la medición del coe…ciente de fricción entre el material granular y la pared del silo, utilizó el modelo que se muestra en la Fig. 2.2. Donde una placa hecha de material de la pared (de madera) fue puesta en posición horizontalmente sobre la super…cie del medio granular, posteriormente esta placa era desplazada para así medir la fuerza entre estos dos materiales. Janssen así derivó una ecuación de fuerzas equilibrio en un segmento diferencial de material granular dentro de un silo. Esta ecuación, permite el cálculo de la tracción de la sección vertical de un silo, la cual se sigue aplicando hoy en día en varios países para el diseño de silos[22], conocida como la “Ecuación de Janssen "

Figura 2.2: Modelo para la medición del coe…ciente de fricción entre el material granular y el material de la pared.[2]

a la aceleración de la gravedad, las fuerzas de presión actuantes sobre ambas caras de la porción y la fuerza de fricción que se ejerce contra la pared del tubo, trabajando con estas ecuaciones tenemos lo siguiente:

La magnitud de la presión ejercida del medio granular (maíz), en las paredes, en este caso, la presión aparentemente alcanza su valor más alto, el cual se puede calcular de la siguiente manera. Sea m¶ax =presión más grande del medio granular sobre la pared,=coe…ciente de fricción entre las paredes del silo y el medio granular,=lado del per…l cuadrado del silo, =altura de un control de volumen del medio granular,  =peso especí…co del medio granular, entonces de la Fig. 2.1b) se obtiene la ecuación [2].

m¶ax 4=2 m¶ax = 

4 (2.1)

Janssen realizó varios experimentos para determinar el valor de , los cuales se

llevaron a cabo, como se muestra en la Fig. 2.2. El máximo valor para la fricción máxima fue_ = 0346, y el valor que encontró para la fuerza mínima fue _ = 0302. Por lo tanto, se puede suponer constante con una precisión signi…cativamente su…ciente para diferentes alturas de llenado. Siempre que la presión horizontal del medio granulado, sea proporcional a la presión vertical, Entonces la presión en un silo cuadrado se puede calcular de la siguiente manera [2]:

Sea =presión total del medio granular en el fondo del silo,  =presión vertical

del medio granular,  =presión horizontal del medio granular, donde:  = ;

 = , de donde:  =circunferencia del silo= 4, =área transverzal del silo

cuadrado=2, =altura de llenado del medio granular dentro del silo, y =base de

logaritmo natural.

(+¡)¡¡ = 0 (2.2)

dividiendo entre , y sabiendo que  =, sustituyendo en la ecuaciòn anterior,

¡ ¡

= 0 (2.3)

Separando variables y resolviendo;

 (1¡  

 )

= (2.4)

¡ln[1¡

 ] =(¡0) (2.5)

con valores iniciales de = 0y  = 0

ln[1¡

 ] =  

  (2.6)

1¡

 =

¡   (2.7)

1¡¡  = 

  (2.8)

si sabemos que  = 4 y  = 2, entonces la Ec. (2.8), nos queda de la siguiente manera:

1¡¡  ₌ 4

 (2.9)

despejando a, tenemos;

 = 

4(1¡

¡  ) (2.10)

Esta última expresión es la ecuación de Janssen para una presión ejercida sobre las paredes verticales del tubo cuadrado que contiene un medio granulado, donde la es

Ley de Janssen modi…cada

Considere un tubo vertical cilíndrico de radio 0, llenado con un material granular seco a una altura , Fig. 3.1, Se toma una sección horizontal del tubo a una altura

 en el material granular. De acuerdo al modelo de Janssen, la fuerza ejercida por unidad área de super…cie de esta sección por encima de el material a continuación es una presión vertical (). Ésta presión no es igual a la presión horizontal () de

el material sobre la pared del tubo a la misma altura, pero las dos presiones están relacionadas linealmente [2, 12, 13]:

() =() (3.1)

Donde , llamado el parámetro de Janssen, es una constante independiente de que

caracteriza la conversión de la tensión vertical en la tensión horizontal en el material granulado.

La presión horizontal que actúa sobre la pared horizontal del tubo causa un es-fuerzo de fricción vertical, entre la pared y el medio granular. Realizando un simple balance de las fuerzas verticales que actúan sobre una super…cie del material granular, obtenemos;

20



 =

2

0¡20  (3.2)

dondela densidad aparente del material granular, se asume que es independiente de , yes la aceleración de la gravedad.

En el modelo original de Janssen [2], la tensión de fricción vertical se supone que es dada por la ley de Coulomb. _, con un coe…ciente de fricción estático . La

solución de la Ec. (3.2) con la condición; (0) = 0es entonces [2, 11, 12]

() =() (3.3)

con

 () =

h

1¡exp³¡



´i

y = 0

2

 (3.4)

Figura 3.1: Esquema del tubo llenado con un medio granular. Donde las fuerzas actu-antes están representadas

La Ec. (3.4), como la presión vertical incrementa linealmente con , como; ()¼

, para¿1 y tiende a limitar el valor de  para À1. La longitudes el tamaño característico de la región donde la presión experimenta esta transición. En las columnas de laboratorio¼01m, de modo que la pared del recipiente soporta la mayor parte del peso de los granos cuando À01 m.

Como se mencionó en la introducción, el modelo modi…cado de dos parámetros suprime la fricción con la pared, en un sector en la parte superior de la columna por lo que para = 0para  y =_para  , donde, el grosor de la rebanada de

fricción, es el segundo parámetro del modelo. La solución de la Ec. (3.2) es entonces:

() =

(

 para    +(¡) para   

(3.5)

3.1.

Deformación y fuerza vertical de la pared del silo

La deformación causada por la presión horizontal()y el esfuerzo cortante

verti-cal, dependen de las propiedades mecánicas de la pared del tubo. Estas deformaciones

se calculan aquí para ver un tubo abierto de paredes delgadas en el marco de la teoría de la elasticidad lineal. Tenemos que¿0 es es espesor de la pared. La presión radial

 produce un estado de tensión uniaxial aproximadamente, en el que el componente

y =()¡0 es la variación del radio del tubo. Por lo tanto,

() = 0

µ

1 + ()

0

¶

 (3.6)

Cuando el tubo es llenado con un líquido, la presión sistemática que se re…ere a la presión del gas en el exterior del tubo es() = [26], que conduce a una variación

lineal del radio de el tubo con la profundidad,

=0

³

1 +0



´

 (3.7)

La siguiente ecuación describe la deformación de un tubo cuando es llenado con un líquido:

 =

Z 

0

2 = 0 3

"µ

1 +0



¶3 ¡1

#

 (3.8)

que es una relación entre el volumen de líquido y su altura.

Cuando el tubo es llenado con un medio granular, el modelo de Janssen 3.2 y (3.3) predice la variación del radio exponencialmente

() =0

·

1 + 0

 ()

¸

=0

µ

1 + 0

 [1¡exp (¡)]

¶

 (3.9)

mientras que el modelo modi…cado de dos parámetros predice

()

0 =

(

1 +0

 para   

1 +0

 +  0

 (¡) para   

(3.10)

6Para valores largos de, el radio tiende a ser un valor constante, 0

µ

1 +  2 0 2

¶

o

·

1 +  2 0 2

µ

1 +



¶¸

(3.11)

en ambos casos. El volumen del tubo deformado puede calcularse fácilmente en cualquiera de los casos. Sus expresiones analíticas son bastante engorrosas y no se reproducen aquí.

El esfuerzo cortante vertical()causa una deformación adicional del tubo, cuando éste es llenado con un medio granular. El máximo esfuerzo vertical que actúa sobre las paredes del tubo a una alturaes

() = 20

Z 

0

() =() (3.12)

con () = 2 0 ½ ¡ ·

1¡exp

µ

¡



¶¸¾

 (3.13)

de acuerdo con el modelo original de Janssen, y

() =

(

0 si   

20(¡) +(¡) si   

Figura 3.2: Tubos elásticos llenos de agua y con esferas de vidrio, 2a) y 2 b), donde las diferencias son claras entre los dos casos.

de acuerdo con el modelo modi…cado.

La función () aumenta cuadráticamente con , como  ¼ 0 2_,

para ¿, y linealmente, como ¼ 2

0, para À, cuando la mayoría del peso del material granular es soportado con el apoyo de la pared del tubo. La tensión vertical máxima debidá al material granular es()(20). En un silo convencional de pie sobre su base, éste esfuerzo máximo es una compresión en la parte inferior de la pared. En los experimentos descritos a continuación, el contenedor es un tubo de látex que no pueden soportar ningún tipo de compresión. El tubo se estira antes de ser llenado con material granular, aplicando una fuerza vertical extensional igual o mayor que la fuerza máxima vertical causada por el material granular. Cuando el tubo es llenado, la fuerza vertical máxima es una tensión igual o mayor que la fuerza vertical máxima es de una tracción igual o mayor que()y situado en la parte superior de la pared.

3.2.

Experimentos de tracción y de deformación en silos

circulares con paredes delgadas elásticas

Figura 3.3: Grá…ca de los per…les de deformación del tubo, cuando es llenado con agua y con el medio granular, así como las ecuaciones que lo predicen

lo largo de su longitud. La explicación de esta diferencia se encuentra en las diferentes maneras en que el material granular distribuye las presiones.

La grá…ca de la Fig. 3.3, muestra un promedio de datos de los tubos deformados extraídos de la Fig. 3.2, y comparada con las predicciones teóricas. En el caso del agua= 10003, cuadrados sólidos en la Fig. 3.3, el acuerdo entre los resultados

teóricos y experimentales es bueno, mostrando que la teoría de la elasticidad lineal da una buena aproximación a la deformación inducida por la presión hidrostática.

En el caso de las esferas de vidrio, algunas propiedades de los materiales granulares deberán determinarse antes (3.11) o (3.10) se puede utilizar. Las esferas están hechas de vidrio de densidad= 2500 kg/m3. La densidad aparente es =, donde el un

factor de empaquetamiento que se haya comprobado se acerca a= 064, para el caso actual de empauetamiento denso de granos esféricos monodispersos vertidos desde la parte superior [16]. En consecuencia, la densidad aparente utilizadá en el cálculo es

= 1600kg/m3. El coe…ciente de fricción entre las esferas de cristal y la pared de látex fue de  = 016§0006. Por último, el valor del parámetro de Janssen, se determina

a partir de la correlación = 11(1¡sin), donde es el ángulo de fricción interno [22]. En nuestra experiencia hemos encontrado que  ¼ 25§2±_{,  = 063§005 y,}

por tanto= 74§02cm.

La Fig. ??, muestra la deformación experimental medida en Fig. 3.2b), símbolo

£, y la compara con las predicciones teóricas dada por la Ec.(3.12) (curva de trazos)

y la Ec.(??) con  = 020 m. (curva continua con símbolos r para    y M para

granular y el punto más bajo de la medición= 09m, lejos de los discos para evitar la in‡uencia, en mediciones de ().

Las fuerzas de tracción debidas a la fricción entre las esferas de vidrio y el tubo se han medido, en tubos llenos hasta un altura máxima de = 015m, El sensor de fuerza tiene una resolución de003N. El sensor se …ja a la parte superior del tubo de látex y es calibrado después de que el tubo se estira, pero antes de que se llenara de granos. El tubo se llena de la parte superior con un caudal constante a través de un silo de forma cónica, y las pruebas se llevarón a cabo con diferentes caudales, lo cual muestran que esta variable no tiene ningún efecto sobre los resultados.

La Fig. 3.4, muestra un grá…co típico de la fuerza de tracción  en función de

la altura  del material granular en el tubo. Como puede verse, ninguna fuerza de

tracción se puede detectar cuando  es menor que cerca de 420 cm, lo que sugiere tomar= 420 cm, en la modi…cación dos parámetros del modelo. Este valor resultó ser el mismo en diferentes experimentos realizados. La curva punteada en la Fig. 3.4, es la predicción de la Ec. (3.13), del modelo original de Janssen, y la curva punteada es la predicción de la Ec.(3.14) del modelo modi…cado con este valor de. De acuerdo

Deformación de la super…cie

libre de un material granular

bajo aceleración uniforme

4.1.

Introducción

En su libro sobre Hidrodinámica Daniel Bernoulli [10] analizó, hace cerca de tres siglos atrás, el problema de la deformación de la super…cie libre del nivel inicial horizon-tal de agua en reposo dentro de un recipiente cilíndrico cuando se acelera de manera uniforme a lo largo de la dirección horizontal. Él encontró que el per…l horizontal, cambia a un plano inclinado, cuya pendiente es una función de la aceleración de la gravedad, , y la aceleración impuesta a la embarcación durante una traducción de cuerpo rígido, Hoy en día, la comprensión de este problema es muy importante para el diseño de estructuras de seguridad de vehículos que transporten carga líquida y así analizar su estabilidad en la conducción cuando son sometidos a episodios de ruptura repentina o maniobras de cambio de carril [25].

Un conjunto de problemas similares a los anteriormente aludidos se producen en los vehículos que transporten materiales granulares cohesivos secos, pero algunas difer-encias importantes aparecen debido al papel desempeñado por la fricción.

El modelado de este problema puede ser realizado a través de la formulación de un equilibrio de la ecuación de la fuerza que utiliza la ley de Coulomb [1], la cual da una relación entre la fuerza tangencial () y las fuerzas normales(), en una unidad de volumen de en la super…cie libre de un material no cohesivo en contacto deslizante. Esta ecuación establece que la condición de equilibrio (la pendiente) se mantiene si

 · (4.1)