Paracompacidad

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(1)Paracompacidad. Marı́a Angélica Cruz Guerrero. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá, Colombia 2017.

(2) Paracompacidad. Marı́a Angélica Cruz Guerrero Cod:20112167027. Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al titulo de Matemático. Director: Carlos Julio Arrieta. Universidad Distrital Fransisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá, Colombia 2017. ii.

(3) Nota de aceptación. Firma del Director. Firma del Jurado. Bogotá D.C, 2017.

(4) Índice general 0. Presentación del proyecto 0.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 2 3 4. 1. Preliminares 1.1. Metrizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Axiomas de Numerabilidad y Separación . . . . . . . . . . . . . .. 5 5 7. 2. Finitud local. 19. 3. Paracompacidad 3.1. Metrización de Nagata-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Espacios Paracompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 24 31. 4. Particiones de la unidad y Aplicaciones a las variedades. 51. Bibliografı́a. iv. 62.

(5) Índice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.. Separación Separación Separación Separación Separación. por por por por por. la la la la la. propiedad propiedad propiedad propiedad propiedad. T0 T1 T2 de de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ser regular. ser normal.. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.. Colección de intervalos localmente finita Elección del Sn (U ) . . . . . . . . . . . . Elección del Tn (U ) para tres elementos . Elección del En (U ) para tres elementos .. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.. Espacio (X, T ) con los −entornos tal que su Construcción grafica de los cubrimientos . . Ejemplo para R2 . . . . . . . . . . . . . . . Vecindades en el espacio S . . . . . . . . . . Vecindades en el espacio S × S . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 11 12 14 15 16. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 19 21 22 23. es A . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. 25 26 31 38 39. intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.

(6) Presentación del proyecto 0.1.. Objetivos. Objetivo general Describir los espacios paracompactos y algunos de ejemplos. Objetivos especı́ficos Presentar algunas de las caracterı́sticas de los espacios paracompactos y algunas de sus formas de caracterizarlos. Mostrar algunos ejemplos de conjuntos que puedan aplicar a la teorı́a de paracompactos.. 2.

(7) 0.2 Estado del Arte. 0.2.. Estado del Arte En 1994 Jean Dieudonné realizó “Uné géneralisation des espaces compacts” en el cual demostró que los espacios metrizables localmente compactos o separables, son paracompactos; donde se dio introducción a estos espacios y se empezó a ver su importancia.. A. H. Stone (1916 - 2000) establece en 1948 las primeras propiedades para estos espacios como lo es la paracompacidad de los espacios metrizables arbitrarios, y la topologı́a producto para espacios paracompactos.. Jun-iti Nagata (1925 - 2007) en 1950 mostró la paracompacidad como un condición necesaria y suficiente para la metrizabilidad.. Kunugi (1903-1975) mostró que dado un cubrimiento abierto localmente finito de un espacio topológico X, entonces X es paracompacto si y solo si la adherencia de cada elemento de cada cubrimiento es paracompacta.. En 1972 K. B. Marathe en el articulo “ A condition for paracompactness of a manifold” mostró condiciones necesarias y suficientes para que una variedad sea paracompacta como por ejemplo que admita una estructura semi-riemanniana.. 3.

(8) Índice de figuras. 0.3.. Introducción. El ADN, el material genético más importante en la mayorı́a de los organismos, es visto la mayorı́a de las veces como una doble hélice, en la que las parejas de nucleotidos complementarios se unen de manera lineal, y ademas se enrrollan a lo largo de un eje común con cierta torsión la cual se adopta a configuraciones espaciales complejas, cuando la molécula de ADN gira sobre si misma, tal que dicho eje no forma una curva plana sino otra hélice, hablamos de ADN sobreenrollado. Una gran parte de los ADN conocidos se muestran de esta manera sobreenrollada en algún momento del ciclo de su vida. Cada propiedad fı́sica, quı́mica y biológica del ADN (comportamiento hidrodinámico, energético, ...) está influenciado por las deformaciones asociadas al sobreenrollamiento. La comprensión del mecanismo del sobreenrollamiento y las consecuencias de estas caracterı́sticas estructurales para el ADN es un problema matemático bastante complejo, que hace intervenir dos ramas de la matemática: la topologı́a algebraica y la geometrı́a diferencial, ejemplos como este son los que usan este tipo de propiedades trabajadas en este texto, dado que la paracompacidad nos da vista de las propiedades locales de una superficie, como globales para mejorar su estudio. Para la lectura de este texto, necesitamos como pre-requisitos, el manejo básico de la lógica y los conjuntos, espacios vectoriales, topologı́a básica, o una introducción a esta, recomendamos el libro [9], para estos temas, ademas de un buen empleo de la geometrı́a de superficies y diferencial.. 4.

(9) 1 Preliminares. 1.1.. Metrizabilidad. Gran parte de esta monografı́a maneja el termino espacio metrizable, es por eso que este primer capı́tulo se da una pequeña introducción a estos espacios. Las siguientes definiciones y el teorema 1.1.6 son tomados de [9, pág 137-147 ]. Definicion. 1.1.1. Un distancia en un conjunto X es una función d:X ×X →R que satisface la siguientes propiedades para todos x, y, z ∈ X 1. d(x, y) ≥ 0. 2. d(x, y) = 0 si y solo si x = y. 3. d(x, y) = d(y, x). 4. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z). Definicion. 1.1.2. Si d es una distancia en el conjunto (X, T ) entonces la colección de todas las bolas abiertas Bd (x, )1 de radio > 0 para x ∈ X, es una base para una topologı́a sobre , se dice que es la topologı́a métrica inducida por d. Definicion. 1.1.3. Si (X, T ) es un espacio topológico, se dice que (X, T ) es metrizable si existe una distancia d en el conjunto (X, T ) que induce la topologı́a de X.. 1. Desde ahora la notación de Bd (x, ) para una bola abierta de radio , centrada en x y con la distancia d del espacio estará presente en el documento.. 5.

(10) 1 Preliminares. Algunas veces el producto topológico de estos espacios proporciona propiedades importantes, es por eso la siguiente definición. Definicion. 1.1.4. Sea {Aα }α∈J una familia de conjuntos con indice en J y sea S X = α∈J Aα . El producto cartesiano de esta familia con indices en J, denotado por Y Aα α∈J. se define como el conjunto de todas las J-uplas (xα ) de elementos de X tales que xα ∈ Aα para α ∈ J. Si todos los conjuntos Aα son iguales a un conjunto X entonces el producto carteQ siano α∈J Aα es exactamente el conjunto X J de todas las J-uplas de elementos de (X, T ). Dado RJ , la distancia para este espacio que cumple todas las condiciones se define de la siguiente manera. Definicion. 1.1.5. Dado un conjunto de ı́ndices J, y puntos dados x = (xα )α ∈ J e y = (yα )α ∈ J de RJ , se define una distancia ρ̄ sobre RJ por la ecuación ¯ α , yα ) : α ∈ J} ρ̄(x,y) = sup{d(x ¯ y) = mı́n{d(x, y), 1} es la distancia acotada sobre R y ρ̄ se denomina donde d(x, distancia uniforme sobre RJ . Lo siguiente es una caracterı́stica de los espacios métricos que será útil mas adelante. Teorema. 1.1.6. Sea (X, T ) un espacio topológico metrizable y sea A ⊂ X. Existe una sucesión de puntos de A que converge a x, si y solo si x ∈ Ā. Demostración. Suponga que existe una sucesión {xn } en A tal que xn → x donde xn ∈ A, en cada vecindad U de x existen puntos de xn que están en A ası́ x ∈ Ā. Ahora sea x ∈ Ā, debe suceder que existe una sucesión xn tal que xn → x, ası́ sea d la distancia para la topologı́a de X, para cada n ∈ N sea Bd (x, 1/n), entonces existe al menos un punto de intersección entre la bola y A, sea este xn , ahora para toda vecindad de x, se sabe que para todo > 0, U ∩ Bd (x, ) 6= ∅, por la propiedad arquimediana existe N ∈ N tal que 1/N < si n ≥ N , xn converge X en x. ♦. 6.

(11) 1.2 Axiomas de numerabilidad y separación.. 1.2.. Axiomas de numerabilidad y separación.. Para la mayorı́a de aplicaciones de la paracompacidad es necesario los axiomas de numerabilidad y separación, en esta parte ahı́ una mediación entre los conceptos y la notación tomados de los libros [9] y [6] debido a la forma de escritura distinta de estos. Axiomas de numerabilidad Primer axioma de numerabilidad o 1-contable Definicion. 1.2.1. Un espacio topológico (X, T ) se dice que tiene una base local en x si existe una colección Bx de vecindades de x tales que para cada U vecindad de x esta contiene al menos uno de los elementos de Bx , en términos de notación, decimos que Bx ⊆ T es una base local en x si dado U ∈ T con x ∈ U existe β ∈ Bx tal que β ⊆ U . Definicion. 1.2.2. Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que cumple el primer axioma de numerabilidad (1AN) si para todo x ∈ X existe una base local numerable Bx = {Bxn : n ∈ N} 2 de x. Algunas propiedades de estos espacios aparecen en [9, pág.148, 217], respectivamente. Teorema. 1.2.3. Todo espacio métrico es 1-contable Teorema. 1.2.4. Sea (X,T) 1-contable , A ⊆ X y f : X → Y entonces (a) x ∈ Ā si y solo si existe una sucesión en A que converge a x. (b) f es continua si y solo si para toda sucesión convergente xn → x, la sucesión f (xn )converge a f (x).. 2. Esta notación de base numerable se usa en todo el texto, donde X es elemento al cual pertenece la base y n indica que es numerable. 7.

(12) 1 Preliminares. Segundo axioma de numerabilidad o 2-contable En esta sección se tiene la definición de [9, pág. 217] y un teorema posterior de este mismo en la pág. 218. Definicion. 1.2.5. Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que cumple el segundo axioma de numerabilidad (2AN) si tiene una base numerable para su topologı́a, es decir, para cada uno de sus puntos. Nota. 1.2.6. El 2AN implica el primero, en efecto si B una base numerable para toda la topologı́a de X, el subconjunto de B formado por aquellos elementos de la base que contienen al punto x es una base numerable de x Teorema. 1.2.7. Un subespacio de un espacio 1AN es 1AN , y un producto numerable de espacios 1AN es 1AN . Un subespacio de un espacio 2AN es 2AN , y un producto numerable de espacios 2AN es 2AN . El resultado anterior es un corolario de este siguiente resultado, para el cual se utiliza [6, pág. 10], pero también el axioma 2AN es una propiedad topológica, es tomado de este mismo en la pág. 11. Teorema. 1.2.8. Sean (X, T ) un conjunto, (X 0 , T 0 ) un espacio topológico que cumple 2AN y f : X → X 0 una aplicación, entonces (X, f −1 (T 0 )) cumple 2AN . Teorema. 1.2.9. Sean (X, T ) y (X 0 , T 0 ) espacios topológicos y f : X → X 0 una aplicación continua, abierta y sobreyectiva, entonces, si (X, T ) cumple 2AN , (X 0 , T 0 ) también cumple 2AN . Ası́ el segundo axioma de numerabilidad es una propiedad topológica. El siguiente teorema es denominado Teorema de Lindelöf, el cual se remite a [6, pág. 13] Teorema. 1.2.10. Sea (X, T ) un espacio topológico que cumple 2AN , sea A un subconjunto de X y U = {Vi : i ∈ I} ⊂ T tal que [ A⊂ Vi . i∈I. Entonces existe J ⊂ I numerable tal que [ A⊂ Vi . i∈J. Ası́ se deduce que si (X, T ) cumple 2AN , todo cubrimiento abierto admite un subcubrimiento numerable.. 8.

(13) 1.2 Axiomas de numerabilidad y separación. Los espacios de Lindelöf y Separables dan a los espacios topológicos la posibilidad de que sus subcubrimientos no sean finitos, basta que sean numerables, en el libro [6, pag. 15-25] se dan las propiedades y ejemplos importantes de estos dos axiomas, acá se ven algunas de estas.. Espacios de Lindelöf Definicion. 1.2.11. Un espacio topológico (X, T ) es de Lindelöf si todo cubrimiento abierto de X admite un subcubrimiento numerable. También todo espacio 2AN es de Lindelöf pero no se tiene la reciproca. Teorema. 1.2.12. Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia no vaciá de espacios topológicos no vacı́o, entonces si Y (Xi , Ti ), i∈I. es de Lindelöf, se verifica que (Xi , Ti ) es de Lindelöf para todo i ∈ I. Teorema. 1.2.13. Todo subespacio cerrado de un espacio de Lindelöf es Lindelöf. Todo espacio que cumple 2AN es un espacio de Lindelöf de aquı́ y de 1.2.9 se tiene lo siguiente, de donde también, ser Lindelöf es una propiedad topológica. Teorema. 1.2.14. Sean (X, T ) y (X 0 , T 0 ) espacios topológicos y f : X → X 0 una aplicación continua y sobreyectiva, entonces si (X 0 , T 0 ) es de Lindelöf se tiene que (X, T ) es de Lindelöf. Espacios de Separables Definicion. 1.2.15. Sea (X, T ) un espacio topológico decimos que M ⊂ X es un conjunto denso en (X, T ) si M̄ = X. Definicion. 1.2.16. Se dice que un espacio topológico (X, T ) es separable si existe D = {xn ∈ X : n ∈ N } denso en (X, T ). Teorema. 1.2.17. Todo espacio que cumple 2AN es separable. Teorema. 1.2.18. Si (X, T ) es separable y G es abierto, se verifica que (G, T |G ) es separable. Teorema. 1.2.19. Sean (X, T ), (X 0 , T 0 ) espacios topológicos y f : X → X 0 una aplicación sobreyectiva y continua, entonces si (X, T ) es separable se verifica que (X 0 , T 0 ) es separable.. 9.

(14) 1 Preliminares. Los espacios seudometricos aportan propiedades para los espacios topológicos, luego de la definición de estos y una propiedad importante, posteriormente estos se relacionan con la definición de un espacio localmente separable. Definicion. 1.2.20. Sea X un espacio y d : X × X → R una función es una seudometrica cuando d(x, y) ≥ 0, para todo x, y ∈ X, (X, d) se denomina espacio seudometrico. si X es un espacio topológico entonces se dice que este es un espacio topológico seudometrizable. De lo anterior se obtiene que la separabilidad es una propiedad topológica. El teorema siguiente relaciona los conceptos de ser 2AN , ser Lindelöf y separable para los espacios seudometrizables. Teorema. 1.2.21. Sea (X, T ) un espacio topológico seudometrizable, entonces las afirmaciones son equivalentes: (a) (X, T ) cumple 2AN . (b) (X, T ) es de Lindelöf. (c) (X, T ) es separable. Definicion. 1.2.22. Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente separable si para todo x ∈ X, existe una base de entornos de x, V (x) = {Vxi : i ∈ I} tal que para todo i ∈ I, (Vxi .T /Vxi ) es separable. Teniendo en cuenta que un abierto de un espacio separable es separable, la definición anterior es equivalente a la siguiente:. Teorema. 1.2.23. (X, T ) es localmente separable, si para todo x ∈ X existe una vecindad abierta de x, Vx tal que (Vx , T /Vx ) es separable. Esto ultimo, es debido a que la unión numerable de conjuntos abiertos es abierto, para el siguiente teorema y los conceptos anteriores el lector se puede remitir a [6, pag. 27].. 10.

(15) 1.2 Axiomas de numerabilidad y separación. Teorema. 1.2.24. Sea (X, T ) un espacio topológico seudometrizable, conexo 3 y localmente separable, entonces (X, T ) es separable. Axiomas de separación Estos axiomas tienen como caracterı́stica, la propiedad de separar topológicamente puntos o subconjuntos. La definición y algunas propiedades de los tres primeros axiomas son obtenidos de [6, 31-45].. (a) Espacios T0 o de Kolmogoroff Definicion. 1.2.25. Sea (X, T ) un espacio topológico se dice T0 o de Kolmogoroff si y solo si dados x, y ∈ X con x 6= y existe una vecindad U de x que no contiene a y, o existe una vecindad V de y tal que no contiene a x, en otras palabras:. (X, T ) es T0 ⇔ (∀x 6= y ∈ X)(∃U ∈ T )(x ∈ U ∧y ∈ / U )∨(∃V ∈ T )(y ∈ V ∧x ∈ / V). Figura 1.1: Separación por la propiedad T0 3. Sea (X, T ) un espacio topológico:. (a) Se dice que (X, T ) es un espacio topológico conexo si para todo G1 , G2 en la topologı́a, con G1 ∪ G2 = X y si G1 ∩ G2 = ∅, se tiene que G1 = ∅ o G2 = ∅. (b) Se dice que K ⊂ X es una componente conexa de (X, T ) si (K, T |K ) es un espacio topológico conexo, y no existe Y ⊂ X, con (Y, T |Y ) espacio topológico conexo tal que K ⊂ Y y K 6= Y.. 11.

(16) 1 Preliminares. Teorema. 1.2.26. Sea (X, T ) un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) (X, T ) es T0 . (b) Para todo, x, y ∈ X con x 6= y se verifica que {x̄} = 6 {ȳ} 4 . (c) Para todo x ∈ X, {x}b 5 es unión de conjuntos cerrados. Teorema. 1.2.27. Sean (X 0 , T 0 ) un espacio topológico T0 , X un conjunto y f : X → X 0 una aplicación, entonces (X 0 , f −1 (T 0 )) es T0 si y solamente si, f es inyectiva Como corolario se tiene que T0 es hereditario y también se tiene que si f es abierta, T0 es una propiedad topológica.. (b) Espacios T1 Definicion. 1.2.28. Se dice que el espacio espacio topológico (X, T ) es T1 o de Frechet si y solo si dados x, y ∈ X con x 6= y existen vecindades U de x, y V de y tales que y ∈ U , x ∈ V , en otras palabras:. (X, T ) es T1 ⇔ (∀x, y ∈ X)(x 6= y ⇒ (∃U, V ∈ T )(x ∈ U ∧y ∈ / U )∧(y ∈ V ∧x ∈ / V )). Figura 1.2: Separación por la propiedad T1. 4 5. {x̄}, conjunto de adherencias de x {x}d conjuntos de puntos derivados o puntos de acumulación. 12.

(17) 1.2 Axiomas de numerabilidad y separación. Teorema. 1.2.29. En un espacio topológico (X, T ) las siguientes afirmaciones son equivalentes (a) (X, T ) es T1 . (b) Para todo x ∈ X, {x} es cerrado. (c) Para todo x ∈ X, x=. \. V,. V ∈B(x). donde B(x) es el sistema de entornos de x. Teorema. 1.2.30. Sean (X 0 , T 0 ) un espacio topológico T1 , X un conjunto y f : X → X 0 una aplicación, entonces (X 0 , f −1 (T 0 )) es T1 si y solamente si, f es inyectiva Como corolario se tiene que T1 es una propiedad hereditaria y también se tiene que si f es abierta, T1 es una propiedad topológica, otra propiedad de estos espacios que da la facilidad de clasificarlos es la que se ve a continuación: Teorema. 1.2.31. Sean (X, T ) un espacio topológico (no necesariamente T1 ) y S una relación de equivalencia en X, entonces (X/S, T /S), es T1 si, y solamente si, para todo x ∈ X se verifica que [x] = {y ∈ X : xSy} es un cerrado de (X, T ).. (c) Espacios T2 o Hausdorff La caracterización de ser Hausdorff en un espacio topológico es importante pues es fundamental en los espacios paracompactos , en la mayorı́a de textos , por eso veamos algunas de sus propiedades. Definicion. 1.2.32. Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que (X, T ) T2 o de Hausdorff si y solo si dados x, y ∈ X con x 6= y existen vecindades U de x, V de y, tal que x ∈ U , y ∈ V y U ∩ V 6= ∅, en otras palabras:. (X, T ) es T2 ⇔ (∀x, y ∈ X)(x 6= y ⇒ (∃U, V ∈ T )(x ∈ U ∧y ∈ V )∧(U ∩V = ∅)). 13.

(18) 1 Preliminares.. Figura 1.3: Separación por la propiedad T2 Nota. 1.2.33. • (X, T ) es T2 si y solo si para todo x ∈ X, \. V = x,. V ∈B(x). donde B(x) es el sistema de vecindades de x. • (X, T ) es T2 si y solo si M = {(x, x) : x ∈ X} es cerrado en (X, T ) × (X, T ). • Sean (X, T ), (X 0 , T 0 ) espacios topológicos con (X 0 , T 0 ) siendo T2 y f, g aplicaciones continuas de (X, T ) en (X 0 , T 0 ) entonces, {x ∈ X : f (x) = g(x)} es cerrado en (X, T ). • Sea (X, T ) un espacio topológico tal que para todo x ∈ X existe V , cerrado de x, si (V, T |V ) es T2 , entonces (X, T ) es T2 . • Sea {Xi , Ti }i∈I una familia no vacı́a de espacios topológicos no vacı́os, Q entonces i∈I (Xi , Ti ) es T2 , si y solamente si, (Xi , Ti ) es T2 para todo i ∈ I. • Sea (X, T ) un espacio topológico (no necesariamente T2 ), y S una relacion de equivalencia en X, entonces si (X/S, T /S) es T2 se tiene que S es un subconjunto cerrado de (X, T ) × (X, T ). Teorema. 1.2.34. Sean (X 0 , T 0 ) un espacio topológico T2 , X un conjunto y f : X → X 0 una aplicación, entonces (X, f −1 (T 0 )) es T2 si y solamente si, f es inyectiva. Como corolario se tiene que T2 es hereditario y también se tiene que si f es abierta, T2 es una propiedad topológica.. 14.

(19) 1.2 Axiomas de numerabilidad y separación. (d) Espacios regulares Definicion. 1.2.35. Sea (X, T ) un espacio topológico, (X, T ) se dice regular si y solo si dados x ∈ X y D ⊂ X cerrado, tal que x ∈ Dc , donde Dc es el complemento de D, entonces existen abiertos U, V disjuntos conteniendo a x y a D respectivamente, en otras palabras: (X, T ) es regular ⇔ (∀x ∈ X)(∀Dc ∈ T )(x ∈ / D ⇒ (∃U, V ∈ T )(x ∈ U ∧ D ⊆ V ) ∧ (U ∩ V = ∅)). Figura 1.4: Separación por la propiedad de ser regular. Para algunos resultados de los espacios paracompactos, la hipótesis de ser espacio regular esta presente, es por esto que en esta sección se ilustran las propiedades necesarias para la paracompacidad de espacios topológicos. Los espacios regulares separan subconjuntos cerrados de puntos, ademas estos son requisito para los espacios T3 , las propiedades de dichos espacios que se nombran acá y su demostración, se encuentran en [6, pág 51-56]. Teorema. 1.2.36. Un espacio topológico (X, T ) es regular si y solo si, para cada subconjunto U abierto, y para cada x ∈ U , existe un abierto Vx tal que x ∈ Vx ⊂ V̄x ⊂ U Teorema. 1.2.37. Sea (X, T ) un espacio topológico regular y x, y ∈ X, con x 6= y, entonces {x̄} = {ȳ} o {x̄} ∩ {ȳ} = ∅. Para tener una definición tal que Ti−1 ⊂ Ti entonces incluimos los espacios T3 y T4 . Definicion. 1.2.38. Un espacio topológico es T3 si es regular y T0 , entonces además de poder separar puntos de conjuntos cerrados, se pide que los conjuntos unitarios sean cerrados.. 15.

(20) 1 Preliminares. Teorema. 1.2.39. Sean (X 0 , T 0 ) un espacio topológico, X un conjunto y f : X → X 0 una aplicación, entonces: (a) Si (X 0 , T 0 ) es regular, (X, f −1 (T 0 )) es regular. (b) Si (X 0 , T 0 ) es T3 se verifica que (X 0 , f −1 (T 0 )) es T3 si y solamente si, f es inyectiva. Como corolario se tiene que ser regular y T3 es hereditario y aún más se tiene que si f es sobreyectiva, ser regular y T3 son propiedades topológicas, esto primero por 1.2.36. Teorema. 1.2.40. La propiedad de ser T3 es hereditaria. Al igual que los otro axiomas, se tienen las siguientes propiedades para los espacios T3 , pero antes se tiene en cuenta la siguiente definición tomada de [5, pág 405]. Nota. 1.2.41. • Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos, entonces: P ◦ i∈I (Xi , Ti ) es regular si, y solamente si, (Xi , Ti ) es regular para todo i ∈ I. P ◦ i∈I (Xi , Ti ) es T3 si, y solamente si, (Xi , Ti ) es T3 para todo i ∈ I. si la familia de espacios topológicos es no vaciá, la sumatoria se puede intercambiar por una productoria.. (e) Espacios Normales Definicion. 1.2.42. (X, T ) se dice normal si para cada F , D cerrados disjuntos de X existen abiertos disjuntos que contienen a F y D respectivamente.. Figura 1.5: Separación por la propiedad de ser normal.. 16.

(21) 1.2 Axiomas de numerabilidad y separación. Algunos de los resultados que se prueban bajo la hipótesis de que un espacio topológico es normal, son centrales en la topologı́a. Esta parte del capitulo presenta como dado un espacio topológico bajo la hipótesis de algunos de los axiomas anteriores son normales, estos resultados se encuentran en [9, pág 229-231] Teorema. 1.2.43. Todo espacio regular con una base numerable es normal. Teorema. 1.2.44. Todo espacio metrizable es normal. Teorema. 1.2.45. Todo espacio de Hausdorff compacto es normal. La caracterización mas importante de los espacios normales, se debe a Urysohn, la cual nos da una equivalencia para espacios normales, esta versión es la de [6, pág 77]: Lema. 1.2.46 (Lema de Urysohn). Sea (X, T ), un espacio topológico, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: • (X, T ) es normal • Para todo C1 , C2 cerrados no vacı́os con C1 ∩ C2 = ∅, existe una aplicación continua , f de (X, T ) en ([0, 1], Tu |[0,1] ) tal que f (C1 ) = {0}. f (C2 ) = {1}.. • Para todo C1 , C2 cerrados no vacı́os con C1 ∩C2 = ∅, y todo a, b ∈ R con a < b, existe una aplicación continua , f de (X, T ) en ([a, b], Tu |[a,b] ) tal que f (C1 ) = {a} f (C2 ) = {b}. Al igual que los espacios regulares existen espacios normales que no cumple ninguno de los anteriores axiomas, es por eso que también definimos el axioma T4 .. 17.

(22) 1 Preliminares. Espacios T4 . Definicion. 1.2.47. Un espacio topológico se dice que es T4 si es normal y T1 . Algunas caracterizaciones de estos al igual que los anteriores , es que es hereditaria y una propiedad topológica en efecto: Teorema. 1.2.48. Sean (X, T ), (X 0 , T 0 ), espacios topológicos y f : X → X 0 una aplicación continua, cerrada y sobreyectiva, entonces si (X, T ) es T4 , (X 0 , T 0 ) sera T4 . Nota. 1.2.49. Q • Si i∈I (Xi , Ti ) es T4 se tiene que (Xi , Ti ) sera T4 para todo i ∈ I, la reciproca no se tiene debido a que el producto de espacios normales no siempre es normal, se puede ver un ejemplo en [6, pág 82]. • Si (X, T ) es T4 , y C un cerrado no vacı́o entonces, (X/C, T /C) sera T4 .. 18.

(23) 2 Finitud Local y Variedades en espacios de Banach. Es de gran importancia el concepto de finitud local debido a que esto proporciona la diferencia entre los conjuntos compactos de los paracompactos, dado que ya no se considera un conjunto finito que recubra el espacio si no simplemente que en un punto se tenga un numero finito de elementos del subcubrimiento que intersecan el cubrimiento. Definicion. 2.0.1. Sea X un espacio topológico. Una colección A de subconjuntos de X se dice que es localmente finita en X si todo punto de X tiene entorno que intersecan sólo a un numero finito de elementos de A. Ejemplo. 2.0.2. La colección de intervalos A = {(n, n + 2) : n ∈ Z} es localmente finita en el espacio topológico R.. Figura 2.1: Colección de intervalos localmente finita La imagen muestra como dada una vecindad de 2 (en este caso el elemento de la colección que lo contiene), este interseca solamente un numero finito de elementos de la colección que cubre el espacio, ası́ con cada punto de la recta real. Ejemplo. 2.0.3. La colección A = {(−1/n, 1/n) : n ∈ Z+ } es localmente finita para (−1, 1) pero en R no lo es, debido a que no existe entorno de 0 que interseque a un numero finito de los elementos de A.. 19.

(24) 2 Finitud Local y Variedades en espacios de Banach. Lema. 2.0.4. Sea A una colección arbitraria localmente finita de subconjuntos de un espacio tpologico (X, T ). Entonces (a) Cualquier subcolección de A es localmente finita. (b) La colección B = {A}A∈A formada por las clausuras de los elementos de A es localmente finita. [ [ A= (c) A. A∈A. A∈A. Demostración. (a) Sea C una subcolección de A entonces para cada punto x de (X, T ) por definición, existe un entorno U de x tal que intersecan a un numero finito de elementos de A entonces interca a un numero finito de elementos elementos de C dado que C ⊂ A. Ası́, C es localmente finita. (b) Sea x ∈ X y U una vecindad de (X, T ) entonces U interseca un numero finito de subconjuntos de A, notemos que si U interseca a A necesariamente interseca a A por tanto interseca a lo sumo, el mismo numero de conjuntos de B. (c) Sea [. A = Y,. A∈A. siempre se tiene que [. A⊂Y.. A∈A. Para la otra contenencia, usando la hipótesis de finitud local; sea x ∈ Y y U un entorno de x que interseca solo a una cantidad finita de elementos de A, dichos se notaran como A1 , . . . , Ak ,razonando por contradicción, se tendrı́a que U − A1 − . . . − Ak es una vecindad de x pero no interseca a ningún elemento de A, y por lo tanto no interseca a Y , lo cual es una contradicción. Ası́ x pertenece a alguno de los conjuntos A1 , . . . , Ak por lo tanto pertenece S a Ā. X ♦ Definicion. 2.0.5. Una colección B de subconjuntos de X se dice que es numerablemente localmente finita o σ−localmente finita si B puede escribirse como la unión numerable de colecciones localmente finitas B n . (La familia indexada {Aα }α∈J se dice que es una familia indexada localmente finita en X si todo punto x ∈ X tiene un entorno que interseca a los Aα solo para una cantidad finita de valores de α ).. 20.

(25) Definicion. 2.0.6. Sea A una colección de subconjuntos del espacio X. Una colección B de subconjuntos se dice un refinamiento de A (o que refina A) si para cada elemento β ∈ B existe un elemento A ∈ A que contiene a β. Si los elementos de B son conjuntos abiertos, entonces se llama a B un refinamiento abierto, si son conjuntos cerrados lo llamamos refinamiento cerrado. Ejemplo. 2.0.7. Sea X = R y A = {(n, n + 2) : n ∈ Z}, entonces un refinamiento cerrado para A B = {[n + 1, n + 3/2] : n ∈ Z}, y un refinamiento abierto es B = {(n, n + 3/2) : n ∈ Z}. Lema. 2.0.8. Sea X un espacio metrizable. Si A es un cubrimiento abierto de X entonces existe un cubrimiento de X que refina a A, es σ-localmente finito. Demostración. . Se elige un buen orden < para la colección A y se notan los elementos de A por las letras U, V, W, ... Sea n un numero entero positivo fijo, dado un elemento U de A, se define Sn (U ) = {x|B(x, 1/n) ⊂ U }.. Figura 2.2: Elección del Sn (U ). 21.

(26) 2 Finitud Local y Variedades en espacios de Banach. Ahora dado el buen orden < de A para conseguir un conjunto aún más pequeño. Para cada U de A, se define [ Tn (U ) = Sn (U ) − V. V <U. La situación donde A está formado por tres conjuntos U < V < W se muestra en la siguiente figura. Figura 2.3: Elección del Tn (U ) para tres elementos Precisamente, como sugiere la figura, los conjuntos que son disjuntos. De hecho, están separados por una distancia de al menos 1/n. Esto significa que si V y W son elementos distintos de A, entonces d(x, y) ≥ 1/n para todo x ∈ Tn (V ) e y ∈ Tn (W ). Para probar esto, sea V < W , dado que x está en Tn (V ), también x está en Sn (V ) y, por tanto, B(x, 1/n) está contenido en V . Por otro lado, como V < W e y pertenece a Tn (W ), por la definición de Sn (V ) conjunto, y no está en el conjunto V . ˜ Se deduce entonces que y no pertenece al entorno B(x, 1/n) de x. Para ver si los conjuntos Tn (U ) son abiertos o cerrados se debe dilatar ligeramente cada uno de estos conjuntos para obtener conjuntos abiertos En (U ). Concretamente, sea En (U ) el entorno de Tn (U ) de radio 1/3n con x ∈ Tn (U ). En el caso U < V < W , la situación esta representada en la siguiente figura.. 22.

(27) Figura 2.4: Elección del En (U ) para tres elementos Como la figura sugiere, los conjuntos que se construyen son disjuntos. Efectivamente, si V y W son elementos distintos de A, d(x, y) ≥ 1/3n para todo x ∈ En (V ) e y ∈ En (W ). Este hecho se sigue directamente de la desigualdad triangular. Además, para cada V ∈ A, el conjunto En (V ) está contenido en V Sea ahora n = {En (U )|U ∈ A}. lo que sigue es probar n es una colección localmente finita de conjuntos abiertos que refina A. El hecho de que n refine A de deduce de que En (V ) ⊂ V , para cada V ∈ A. Por otro lado, que la colección n sea localmente finita se debe a que, para cualquier punto x ∈ X, la bola abierta de centro x y de radio 1/6n interseca como máximo a un elemento n . Desde luego, la colección n no recubrirá todo X. Sin embargo, la colección [ = n n∈Z+. si cubre todo (X, T ). Sea x un punto de X, dado que la colección A con la cual comenzamos cubre X y debido al buen orden de <, existe un primer elemento U de A que contiene al punto x. Como U es abierto, podemos escoger n tal que B(x, 1/n) ⊂ U .Entonces, por definición, x ∈ Sn (U ). Como U es el primer elemento de A que contiene a x, el punto x pertenece a Tn (U ) y, por tanto, x también está en el elemento En (U ) de n . X ♦. 23.

(28) 3 Paracompacidad 3.1.. Metrización de Nagata-Smirnov. Para empezar veamos el Teorema de metrización de Nagata-Smirnov el cual dice que la regularidad y la existencia de una base numerable localmente finita son condiciones equivalentes a la metrizabilidad, para mas adelante mirar un corolario de este, el Teorema de metrización de Smirnov por lo mismo se dan unas definiciones y unos lemas a continuación. Definicion. 3.1.1. Un subconjunto A de un espacio X se dice que es un Conjunto Gδ 1 en X si es igual a la intersección de una colección numerable de subconjuntos abiertos de X. Ejemplo. 3.1.2. Cada subconjunto abierto de (X, T ) es un conjunto Gδ trivialmente. En un espacio de Hausdorff y 1AN, cada conjunto unipuntual es un conjunto Gδ . En un espacio métrico cada conjunto cerrado en (X, T ) es un conjunto Gδ , en efecto dado A ⊂ X denotemos por U (A, ) el −entorno y se puede comprobar que \ A= U (A, 1/n), n∈Z+. cada conjunto se puede ver como una intersección de un −entorno.. 1. La terminologı́a proviene de alemán, G viene del ((Gebiet)) que significa conjunto abierto y la δ de ((Durchschnitt)) que significa intersección, [9, pág 221]. 24.

(29) 3.1 Metrización de Nagata-Smirnov. Figura 3.1: Espacio (X, T ) con los −entornos tal que su intersección es A Lema. 3.1.3. Sea (X, T ) un espacio regular con una base B que es numerable localmente finita. Entonces (X, T ) es normal y todo subconjunto cerrado de (X, T ) es un conjunto Gδ en (X, T ). Demostración. Por teorema 1.2.43 es necesario que el espacio regular tenga una base numerable para que sea normal, falta ver cual es esta base. Sea W un abierto en (X, T ), dado que la base B para (X, T ) es σ-localmente finita, se puede escribir [ B= Bn donde cada colección B n es localmente finita. Sea Cn la colección formada por los elementos básicos β tales que β ∈ B n y β̄ ⊂ W , tal y como se muestra en la siguiente figura es decir Cn : {β : β ∈ B n ∧ β̄ ⊂ W }. 25.

(30) 3 Paracompacidad. Figura 3.2: Construcción grafica de los cubrimientos Entonces Cn es localmente finita por ser por ser subcolección de B n . Sea [ β. Un = β∈Cn. Entonces Un es un conjunto abierto y por lema 2.0.4 [ β̄. Ūn = β∈Cn. Por lo tanto Ūn ⊂ W de manera que [ [ Ūn ⊂ W Un ⊂ Falta ver la otra contenencia, por la regularidad existe un elemento básico β ∈ B tal que x ∈ β y β̄ ⊂ W . Ahora bien, existe un n tal que β ∈ B n . Entonces β ∈ Cn S por definición, y ası́ x ∈ Un para un x arbitrario en W finalmente W ⊂ Ūn . Ası́ [ [ W = Un = Ūn . Sean C y D conjuntos cerrados y disjuntos en (X, T ), por lo anterior para el conjunto abierto X − D se construye una colección numerable {Un } de conjuntos abiertos tal que [ [ Un = Ūn = X − D. Entonces {Un } recubre C y cada conjunto Ūn es disjunto con D. De manera similar existe un cubrimiento numerable {Vn } de D por conjuntos abiertos cuyas clausuras son disjuntas con C. Dada ya una base numerable con el espacio regular se probara que este es normal. Sean Un0 = Un −. [ i=1. 26. V̄i. y. Vn0 = Vn −. n [ i=1. Ūi.

(31) 3.1 Metrización de Nagata-Smirnov Entonces los conjuntos U0 =. [. Un0. y. n∈Z+. V0 =. [. Vn0. n∈Z+. son abiertos disjuntos que contienen a C y D respectivamente. Finalmente se ve que todo conjunto cerrado C en (X, T ) es una conjunto Gδ en (X, T ). Dado C, sea W = X − C por lo anterior existen conjuntos Un en (X, T ) S tales que W = U¯n . Entonces \ C = (X − Ūn ) de forma que C es igual a la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos de (X, T ). X ♦ Lema. 3.1.4. Sea (X, T ) un espacio normal y sea A un conjunto cerrado Gδ en (X, T ). Entonces existe una función continua f : X → [0, 1] tal que f (x) = 0 para todo x ∈ A y f (x) > 0 para todo x ∈ / A. Demostración. Dado que A es un conjunto cerrado Gδ entonces \ Un A= n∈Z+. donde Un son abiertos que contienen a A. Para cada n elijamos fn : X → [0, 1] tal que fn (x) = 0 para todo x ∈ A y f (x) = 1 para todo x ∈ X − Un . Definamos X f (x) = fn (x)/2n , f (x) converge uniformemente, en efecto, por el criterio de Weierstrass para la P 1 , la cual es mayor o igual a cero y convergencia uniforme de series, sea 2n satisface que X 1 X fn (x) ≤ 2n 2n para todo x ∈ A; por tanto f es continua y se anula en A y es positiva en X − A X ♦. Definicion. 3.1.5. Sean (X, T ) (Y, T 0 ) espacios topológicos y f : X → Y una aplicación continua inyectiva, sea Z el conjunto imagen f (X), considerado como subespacio de Y , si la función f 0 : X → Z ( obtenida al restringir el rango de f ), es un homeomorfismo de X con Z, decimos que f : X → Y es un encaje topológico, o simplemente un encaje de (X, T ) a (Y, T 0 ).. 27.

(32) 3 Paracompacidad Teorema. 3.1.6 (Teorema del Encaje diferenciable). Sea (X, T ) un espacio en el que los conjunto unitarios son cerrados. Sea {fα }α∈J una familia indexada de funciones continuas fα : X → R que satisface la condición de que para cada punto x0 de X y cada entorno U de x0 , existe un indice α tal que fα es positiva en x0 y nula fuera de U . Entonces la función F : X → RJ definida por F (x) = (fα (x))α∈J es un encaje diferenciable de X en RJ . Si fα aplica X en [0, 1] para cada α, entonces F encaja X en [0, 1]J , por una función diferenciable. Como sugerencia, esta demostración se puede encontrar en [9, pág. 248]. Corolario. 3.1.7. Un espacio (X, T ) es completamente regular si y solo si, es homeomorfo a un subespacio de [0, 1]J para alguna J. Teorema. 3.1.8 (Teorema de Metrización de Nagata-Smirnov). Un espacio (X, T ) es metrizable, si y solo si, (X, T ) es regular y tiene una base localmente finita. Demostración. Esta demostración es por pasos Paso 1. Sea (X, T ) es regular con una base numerable localmente finita B, entonces (X, T ) es normal y todo subconjunto cerrado en (X, T ) es un conjunto Gδ en (X, T ). Hay que ver (X, T ) es metrizable encajando (X, T ) en el espacio métrico (RJ , ρ̄)2 , para algún conjunto J. S Sea B = B n donde cada colección B n es localmente finita. Para cada entero positivo n y cada elemento básico β ∈ B se toma una función continua fn,β : X → [0, 1/n] tal que fn,β (x) > 0 para todo x ∈ β y fn,β = 0 para todo x ∈ / β. La colección fn , β separa puntos de conjuntos cerrados en (X, T ), en efecto, dado un punto x0 y un entorno U de x0 , existe un elemento básico β tal que x0 ∈ β ⊂ U . Entonces β ∈ B n para algún n, de manera que fn,β (x0 ) > 0 y fn,β se anula fuera de U . Sea J el subconjunto de Z+ × B formado por todos los pares (n, β) tales que β es un elemento de B n . Se define F : X → [0, 1]J por la ecuación F (x) = (fn,β (x))(n,β)∈J . 2. ¯ α , yα ) : α ∈ J} RJ es el conjunto de todas las J-uplas de elementos de R, y ρ̄(x,y) = sup{d(x ¯ y) = mı́n{d(x, y), 1} donde d(x,. 28.

(33) 3.1 Metrización de Nagata-Smirnov Al Considerar la topologı́a producto en [0, 1]J , la aplicación F es un encaje diferenciable de (X, T ) en [0, 1]J . Dando ahora a [0, 1]J la topologı́a inducida por la distancia uniforme es facil ver que F es un encaje relativo a esta topologı́a. Ası́ con la condición de que fn,β < 1/n. La topologı́a uniforme es más fina que la topologı́a producto 3 . Por lo tanto, relativo a la distancia uniforme, la aplicación F es inyectiva y lleva conjuntos abiertos de (X, T ) sobre conjuntos abiertos del espacio imagen Z = F (X). Ahora para hacer a F es continua,se tiene en cuenta que en el subespacio [0, 1]J de RJ , la distancia uniforme es igual a la distancia ρ̄((xα ), (yα )) = sup{|xα − yα |}, Sea x0 un punto de (X, T ) y un numero > 0 con el fin de encontrar un entorno W de x0 tal que x ∈ W ⇒ ρ̄(F (x), F (x0 )) < . Fijemos n, se toma un entorno Un de x0 que interseque solo a un numero finito de elementos de la colección B n . Esto es que como β recorre todo B n todas salvo un numero finito de las funciones fn,β son idénticamente nulas en Un . Dado que cada función fn,β es continua, se puede ahora elegir un entorno Vn de x0 contenido en Un ≥≥ en el cual cada una de las funciones restantes fn,β para β ∈ B n , varı́a a lo mas /2. Sea dicho entorno Vn de x0 para cada n ∈ Z+ . Entonces dada N de forma que 1/N ≤ /2 y sea W = V1 ∩ . . . ∩ VN . Asegurando que W es el deseado de x0 . Sea x ∈ W ; si n ≤ N , entonces |fn,β (x) − fn,β (x0 )| ≤ /2 ya que si la función no se anula idénticamente entonces varia a los mas /2 sobre W . Si n > N , entonces |fn,β (x) − fn,β (x0 )| ≤ 1/n < /2 ya que fn,β aplica (X, T ) en [0, 1/n]. Por lo tanto ρ̄(F (x), F (x0 ) ≤ /2 < ) 3. Q Sea un punto x = (xα )α∈J ∈ RJ y un elemento Uα de la topologı́a producto que contiene a x. Sean α1 , . . . , αn los indices para los cuales Uα 6= R. Entonces, para cada i, debe suceder que i > 0 de manera que la bola de radio i centrada en xαi en la distancia d¯ este contenida en Uα . ¯ α , zα ) < , Sea = mı́n{1 , . . . , n }, y sea z un punto de RJ tal que ρ̄(x, z) < entonces d(x Q para todo α, por lo que z ∈ Uα , entonces la bola de radio centrada en x es la distancia Q ρ̄ esta contenida en Uα. 29.

(34) 3 Paracompacidad como se deseaba probar. Paso 2. Ahora sea (X, T ) metrizable, entonces (X, T ) es regular, falta ver que tiene una base σ-localmente finita. Se elige una distancia para (X, T ). Dado m, sea Am el cubrimiento formado por todas las bolas abiertas de radio 1/m. Por el lema 2.0.8, existe un cubrimiento abierto B m de (X, T ) que refina a Am y tal que B m es numerable localmente finiS to. Cada elemento de B m tiene diámetro a lo sumo igual a 2/m. Sea B = B m para m ∈ Z+ . Dado que la colección es finita también lo es B, ahora esta es una base, en efecto. Dados x ∈ X y > 0 existe un elemento β de B que contiene a x y que esta contenido en B(x, ). Tomando primero m de forma que 1/m < /2. Entonces como B m recubre (X, T ) se puede encontrar un elemento β de B m que contiene al punto x. Dado que β contiene a x y tiene diámetro a lo sumo 2/m < , X se deduce que B esta contenido en B(x, ). ♦. 30.

(35) 3.2 Espacios Paracompactos. 3.2.. Espacios Paracompactos. El concepto de paracompacidad es una generalización de los espacios compactos; en esta sección se encuentran los ejemplos básicos vistos en un curso de topologı́a aplicados a éste; para esto el libro [10] es de gran utilidad y también se encuentran las propiedades principales de los espacios paracompactos, para las cuales se utiliza [9, pág 288-293]. ((Un espacio (X, T ) es compacto si todo cubrimiento abierto A de (X, T ) tiene un refinamiento abierto finito B que recubre (X, T ).)) entonces se dice que un espacio es paracompacto si este refinamiento es abierto localmente finito, de aquı́ se deduce que todo espacio compacto es paracompacto, formalizando esta idea: Definicion. 3.2.1. Un espacio (X, T ) es paracompacto si todo cubrimiento abierto A de (X, T ) tiene un refinamiento abierto localmente finito B que recubre (X, T ). Ejemplo. 3.2.2. El espacio Rn , con la topologı́a usual es paracompacto.. Figura 3.3: Ejemplo para R2. 31.

(36) 3 Paracompacidad Sean X = Rn y A un cubrimiento abierto de (X, T ). Sea B0 = ∅ y para cada entero m, sea Bm la bola abierta de radio m centrada en el origen. Dado m, tomemos un subconjunto finito de A sea éste , Cm = {Bm+1 ∩ (X − B̄m−1 )}, ésta es una colección finita de conjuntos abiertos, entonces C=. [. Cm. es un refinamiento abierto de A, el cual localmente finita ya que el conjunto abierto Bm interseca solo a finitos de elementos de C, más especı́ficamente a aquellos que pertenecen a la colección C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ Cm , y finalmente este recubre todo (X, T ), dado que x, sea m el menor entero tal que x ∈ Bm entonces por definición x ∈ Cm . La paracompacidad en distintos espacios topológicos se comporta de manera diferente dependiendo de la topologı́a dada, éstos son algunos ejemplos clásicos en un curso de topologı́a:. Topologı́a Usual. Sea X = (−1, 1), subespacio de R este intervalo es acotado, aun asi no es paracompacto, dado que si tomamos el cubrimiento A = {−1/n, 1/n : n ∈ Z+ } , no existe un subcubrimiento localmente finito tal que para cualquier vecindad de 0, ésta interseca un número infinito de A.. Topologı́a Discreta. Sea (X, T ) cualquier espacio arbitrario y R un cubrimiento abierto de (X, T ), éste es paracompacto al tomar subcubrimiento los conjuntos unitarios de (X, T ).. Topologı́a de los Cofinitos. Sea X = R y sea T = {A ⊂ X : Ac es finito }∪{∅}, éste espacio es compacto, ya que dado un cubrimiento abierto U , al tomar U ∈ U , entonces Uc = {x1 , . . . , xn } es finito, adjuntando U se tendrá a U ∪ Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn como un subcubrimiento de R.. 32.

(37) 3.2 Espacios Paracompactos Topologı́a de los Conumerables. Sea X = R, siendo T = {A ∈ R : Ac es numerable } ∪ {∅}, dado U un cubrimiento abierto, sea A un abierto de X, entonces Ac = {x1 , . . . , xn , . . .}, pero a cualquier subcubrimiento localmente finito de x le faltaran elementos numerables que cubrir, por tanto no es paracompacto.. Topologı́a del punto excluido. Sean X = R, p ∈ X y T = {A ⊂ X : A = X o p ∈ / A} ∪ {∅}, escogiendo como cubrimiento U = {X, X − {p}}, y sea como subcubrimiento éste mismo, entonces para todo x ∈ X existe un elemento en U que lo contenga, de donde (X, T ) es compacto y por tanto paracompacto.. Topologı́a del punto incluido. Sean X = R, p ∈ X y T = {A ⊂ X : A = ∅ o p ∈ A}, escogiendo como cubrimiento U = {X, {p}}, y sea como subcubrimiento éste mismo, entonces para todo x ∈ X existe un elemento en U que lo contenga, de donde (X, T ) es compacto y por tanto paracompacto. Antes de mirar otras topologı́as importantes y sus comportamientos en estos espacios, se debe tener en cuenta los siguientes resultados que dan equivalencia entre cubrimientos, éstos fueron propuestos por [2], de la siguiente forma, sobre espacios paracompactos, ademas se usaran para posteriores resultados como demostrar que todo espacio metrizable es paracompacto.. Lema. 3.2.3. Las siguientes tres propiedades de un espacio topológico regular, son equivalentes: (a) (X, T ) es paracompacto. (b) Cada cubrimiento abierto de (X, T ) tiene refinamiento localmente finito. (c) Cada cubrimiento abierto de (X, T ) tiene un refinamiento cerrado y localmente finito.. 33.

(38) 3 Paracompacidad Demostración. Suponga que (X, T ) es paracompacto entonces, por definición cada cubrimiento abierto de (X, T ), tiene un refinamiento localmente finito. Ahora sea R un cubrimiento abierto de (X, T ),suponiendo que R tiene un refinamiento localmente finito, se demostrara que existe un refinamiento A cerrado, localmente finito de R. Por el lema 2.0.4, la colección de clausuras de los elementos de V también es un refinamiento, éste es cerrado y es localmente finito, entonces la colección que se buscaba es A = β̄β∈V . Finalmente sea R un cubrimiento abierto de (X, T ), se busca un refinamiento V , abierto, localmente finito de R. Sea A un refinamiento localmente finito de R, y sea B un cubrimiento de (X, T ) por conjuntos abiertos, cada uno de los cuales se interseca solo con un numero finito de elementos de A. Ahora sea W un refinamiento cerrado, localmente finito de B. Para cada A ∈ A, sea A0 = X −. [. W. W∈W A∩W =∅. entonces A0 es un conjunto abierto que contiene a A, y sea W ∈ W , entonces W interseca A0 si y solo si W interseca a A. Para cada A ∈ A, definamos RA ∈ R tal que A ⊂ RA . Sea V = {A0 ∩ RA : A ∈ A} , entonces V tiene refinamiento abierto de R, y por tanto cada elemento del cubrimiento abierto, localmente finito W interseca solo un numero finito de V . V es localmente finito. X ♦ Lema. 3.2.4. Cada cubrimiento, abierto, contable {Vi }∞ i=1 de un espacio topológi∞ co tiene un refinamiento, localmente finito {Ai }i=1 tal que Ai ⊂ Vi para cada i S Demostración. Sea W i = ij=1 Vi con i = 1, 2, . . ., tomemos entonces A1 = W1 X y Ai = Wi − Wi−1 , este cumple las condiciones requeridas. ♦ Antes de ver que todo espacio metrizable es paracompacto, se observa en [2], que la condición de ((Hausdorff)), no puede ser reemplazada por ((regular)); la siguiente equivalencia se satisface si el espacio cumple 2AN , pero en [10], se encontrara un ejemplo de un espacio que cumple 2AN y Hausdorff que no es regular. Teorema. 3.2.5. Sea (X, T ) un espacio topológico regular, entonces (X, T ) es paracompacto si y solo si cada cubrimiento abierto de (X, T ) tiene un refinamienS to abierto V = ∞ i=1 Vi donde cada Vi es una colección de conjuntos, abiertos, localmente finitos de (X, T ).. 34.

(39) 3.2 Espacios Paracompactos Demostración. Si (X, T ) es paracompacto entonces es regular y cumple por definición que cada S cubrimiento abierto de (X, T ) tiene un refinamiento abierto V = ∞ i=1 Vi donde cada Vi es una colección de conjuntos abiertos localmente finitos de (X, T ). Recı́procamente se debe ver que (X, T ) es paracompacto, por el Lema 3.2.3, solo falta ver que cada cubrimiento abierto R tiene un refinamiento localmente S finito. Ahora suponiendo que R tiene un refinamiento abierto V = ∞ i=1 Vi , donde Vi es localmente finito. Sea V la unión de los elementos de Vi para i = 1, 2, . . ., ∞ por el Lema 3.2.4 existe un refinamiento {Ai }∞ i=1 de {Vi }i=1 tal que Ai ⊂ Vi para todo i. Ası́ ∞ [ W = (V ∩ Ai ), i=1 V ∈Vi. sera un refinamiento localmente finito de R.. X ♦. Topologı́a de Subespacio Teorema. 3.2.6. Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Demostración. Sea Y un subespacio cerrado de un espacio paracompacto (X, T ). Sea A un cubrimiento abierto de Y . Para cada A ∈ A, se elije un conjunto abierto A0 de (X, T ) tal que A0 ∩Y = A. Recubriendo (X, T ) por los conjuntos abiertos A0 , ademas del conjunto abierto X − Y . Para este cubrimiento, sea B un refinamiento abierto localmente finito que recubra (X, T ). Entonces la colección C = {β ∩ Y |β ∈ B} es el refinamiento abierto localmente finito de A.. X ♦. A continuación se ven otros subespacios los cuales heredan la paracompacidad del espacio ambiente. Teorema. 3.2.7. Sea (X, T ) un espacio topológico paracompacto, entonces: (a) Si (X, T ) es regular y F es Fσ 4 se verifica que (F, T |F ) es paracompacto. (b) Si todos los abiertos de (X, T ) son paracompactos, se verifica que todo subconjunto de (X, T ) es paracompacto. 4. Un conjunto se dice Fσ si es unión numerable de elementos cerrados. 35.

(40) 3 Paracompacidad Demostración. (a) Como F es Fσ se tiene que F =. [. Fn. n∈N. donde, para todo n ∈ N, Fn es cerrado. Sea U = {Ui : i ∈ I} es un cubrimiento abierto de (F, T |F ). De donde para todo i ∈ I, existe Ai abierto en (X, T ) tal que Ai ∩ F = Ui , dado que (X, T ) es paracompacto, para cada n ∈ N existe Vn un refinamiento abierto localmente finito de {Ai : i ∈ I} ∪ {X − Fn }. Sea Vn0 = {V ∩ F : V ∈ Vn , V ∩ Fn 6= ∅}, y ası́ V0 =. [. Vn0. n∈N. es unión numerable de refinamientos abiertos localmente finitos, y por 3.2.5 ya que (F, T |F ) es regular, (F, T |F ) es paracompacto. (b) Sea M un subconjunto de (X, T ) y U = {Ui : i ∈ I} un cubrimiento abierto de (M, T |M ), entonces para cada i ∈ I, existe Ai abierto en (X, T ), tal que Ui = M ∩ Ai . Sea [ Ai , A= i∈I. entonces como unión de abiertos es abiertos, se tiene que (A, TA ) es paracompacto, es decir, existe V un refinamiento abierto localmente finito de {Ai : i ∈ I} en (A, T |A ), de donde V 0 = {V ∩ M : V ∈ V }, es un refinamiento abierto localmente finito de U , ası́ M sera paracompacto. X ♦ Teorema. 3.2.8. Sea (X, T ) un espacio topológico regular y C = {Ci : i ∈ I} un cubrimiento cerrado localmente finito de (X, T ) tal que cada subconjunto Ci es paracompacto, entonces (X, T ) es paracompacto.. 36.

(41) 3.2 Espacios Paracompactos Demostración. Sea U un cubrimiento abierto de (X, T ), como para todo i ∈ I, Ci es paracompacto y regular, se tiene que existe Ci refinamiento cerrado localmente finito en Ci de Ui = {U ∩ Ci : U ∈ U }, entonces, [ C= Ci i∈I. es un refinamiento cerrado localmente finito de U , por tanto, (X, T ) es paracompacto por Lema 3.2.3. ♦ X Ejemplo. 3.2.9. Sean R con la topologı́a usual y U = {(a − δ, b + δ) : δ > 0, a, b ∈ R} un cubrimiento para (X, T ), este espacio es regular, escogiendo 1 , . . . , n positivos de la siguiente manera a < b − i < x < a + i < b para 1 ≤ i ≤ n tal que Cxi = {[a, x + i ] ∪ [x − i , b] : a ≤ x ≤ b} sera recubrimiento cerrado localmente finito para x ∈ X al tomar [ C= Cxi este sera un refinamiento cerrado de U , ası́ R sera paracompacto.. La topologı́a Producto no hereda la paracompacidad. Para ver que el producto de espacios paracompactos no es paracompacto, en muchos de los ejemplos basta ver que siendo este normal su producto no es normal, se usa la guı́a del documento [3] y el respectivo análisis de [12] de donde se tiene que,((cada espacio métrico separable es paracompacto)), ((Cada espacio Paracompacto Hausdorff es normal)) y que ((Si S1 es compacto y S2 es paracompacto, entonces S1 × S2 es paracompacto)), un ejemplo de un espacio S el cual es paracompacto pero su producto no lo es.. Ejemplo. 3.2.10. Sea S el espacio de los números reales no negativos, y con la topologı́a generada por la base. Vx = {[a, b) : a ≤ x < b}. Sea A cualquier cubrimiento abierto de S, las vecindades de los puntos forman un refinamiento B. Sea E un conjunto de puntos e de S que satisfacen a < e < b . El. 37.

(42) 3 Paracompacidad conjunto E es cerrado con respecto a la topologı́a natural de los números reales. ( si z ∈ E c existe una vecindad a ≤ x < b de B tal que a < z < b, es decir el intervalo abierto a < x < b, que no contiene ningún punto de E, esto significa que z no es un punto limite de E). El complemento de E es por lo tanto, la suma de un numero contable de intervalos abiertos disjuntos I1 , I2 , . . .. Para cada n, el punto extremo izquierdo de In es un P punto de E, si In es un intervalo de la forma en < x < fn entonces E = en y P S = In + en . Para cada n existe una vecindad en ≤ x < qn que denotaremos Dn , en la siguiente figura vemos como están constituidas estas vecindades. Figura 3.4: Vecindades en el espacio S Sea γn la colección de todos los intervalos abiertos a < x < b tal que a ≤ x < b ∈ B y sea un subconjunto de en ≤ x < fn . Entonces γn cubre qn ≤ x < fn . Es decir existe, un refinamiento localmente finito δn de γn que cubre a este, sea n la colección formada por la intersección de elementos de δn con qn ≤ x < fn . Los elementos de n son conjuntos abiertos en la topologı́a de S y cada uno de ellos es subconjunto de A. Por lo tanto si ηn es la colección obtenida por añadir a n el conjunto abierto Dn , ası́ ηn es un cubrimiento abierto localmente finito de P In + en cuyos elementos son subconjuntos de A y η = ηn es un cubrimiento localmente finito de A que cubre S. Ahora se ve que el espacio S × S no es paracompacto. Los puntos de S × S son pares de números no negativos (x, y) y la topologia es generada por rectángulos semiabiertos de la forma a ≤ x < b y c ≤ y < d, es suficiente ver que no es normal. En efecto: Sean H = {(x, y) ∈ S × S : x + y = 1, [(x − 1)2 + y 2 ]1/2 ∈ Q}, K = {(x, y) ∈ S × S : x + y = 1, [(x − 1)2 + y 2 ]1/2 ∈ I} entonces H ∩ K = ∅, sea V cualquier abierto contenido en K, entonces para cada. 38.

(43) 3.2 Espacios Paracompactos punto (k, k 0 ) ∈ K existe una vecindad N tal que N = {(x, y) : k ≤ x < k + δ, k 0 ≤ y < k 0 + δ} que se encuentra en V , para cada entero positivo n, sea Kn el conjunto de todos los P puntos (k, k 0 ) tal que el diámetro de N es mayor que 1/n. Entonces K = Kn y esta es una base numerable del segmento x + y = 1, esto es que existe un elemento Km que en el intervalo [(s, 1 − s), (t, (1 − t)] de x + y = 1 el cual es su adherencia es el conjunto K. Como se observa en la siguiente figura. Figura 3.5: Vecindades en el espacio S × S cada rectángulo R acotado por x + y = 1, x + y = 1 + 1/m, x − y = 2s − 1, x − y = 2t − 1 pertenece a N . Ası́ R es un subconjunto de V pero cada punto de H en el intervalo [(s, 1 − s), (t, (1 − t)] de x + y = 1 son puntos limites de R y ası́ de V . Ası́ no se pueden separar estos dos conjuntos por dos abiertos disjuntos dado que H ∩ K̄ 6= ∅ Ahora si veamos que todo espacio metrizable es paracompacto Teorema. 3.2.11. Todo espacio metrizable es paracompacto Demostración. Sean (X, T ) un espacio metrizable y A un cubrimiento abierto S de (X, T ), por el lema 2.0.8 existe un cubrimiento abierto R = ∞ i=1 Ri de (X, T ) que refina a A y es localmente finito, por el lema 3.2.4 existe para R, un refinaS miento numerablemente y además localmente finito V = ∞ i=1 Vi tal que Vi ⊂ Ri , para cada i y por el lema 3.2.3 A tiene un refinamiento abierto, localmente finito. 39.

(44) 3 Paracompacidad X ♦. que cubre (X, T ).. La condición de ser Hausdorff no siempre es necesaria ni suficiente para que un espacio sea paracompacto, se muestra un ejemplo de dicha afirmación, tomado de [10, pág, 35].. Ejemplo. 3.2.12. Compactificación de un punto en los racionales Sean (X, T ) un espacio topológico no vació y p un punto que no esta en (X, T ), se define X ∗ = X ∪ {p}, el cual describe una topologı́a T ∗ sobre X ∗ , de la siguiente forma, un conjunto se dice abierto en (X ∗ , T ∗ ) si y solo si esta en T o es el complemento de un subconjunto cerrado y compacto de (X, T ). Primero se vera que (X ∗ , T ∗ ) es paracompacto, basta ver que este es compacto. Sea U un cubrimiento arbitrario de X ∗ que contiene un conjunto abierto alrededor de p y el complemento de este conjunto abierto es cubierto por un numero finito de conjuntos en U . Falta ver que (X, T ) no es Hausdorff; sea X = Q y sea T la topologı́a inducida de los reales, razonando por contradicción, sea (X, T ) Hausdorff entonces para p ∈ I, sean Vp y Vx en Q∗ , vecindades de p y x, respectivamente, entonces Vp ∩ Vx = ∅, pero X − Vp es cerrado y acotado, y Vx ⊆ X − Vp , lo cual es una contradicción ya que Vx es de la forma (a, b) ∩ Q con a, b ∈ R y a < b, de donde (X, T ) es un espacio paracompacto pero no Hausdorff.. Paracompacidad y suma de Espacios Definicion. 3.2.13. Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacio topológicos no vacı́os, se define X [ X= Xi = Xi × {i}, i∈I. y para cada i ∈ I, la inyección ji : Xi →. X. Xi. i∈I. x 7→ (xi , i) Se considera a la familia F = {((Xi , Ti ), ji )}i∈I . A la topologı́a final en X = P P X , se le llama topologı́a suma y se nota por i i∈I i∈I Ti .. 40.

(45) 3.2 Espacios Paracompactos Al par ! X. Xi ,. i∈I. X. Ti. i∈I. se le llama espacio topológico suma de la familia de espacios topológicos P {(Xi , Ti )}i∈I y se notara por i∈I (Xi , Ti ). Teorema. 3.2.14. Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topológicos. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a). P. i∈I. Xi es paracompacto.. (b) Xi es paracompacto para todo i ∈ I. Demostración. . P P Suponga que i∈I Xi es paracompacto, dado que cada Xi es cerrado en i∈I y como la paracompacidad es hereditaria para cerrados, se tiene que Xi es paracompacto. Ahora si cada Xi es paracompacto para todo i ∈ I, entonces sea U un cubrimiento P abierto de i∈I Xi . Por hipótesis para cada i ∈ I existe Vi , refinamiento abierto localmente finito en Xi , de Ui = {U ∩ Xi : i ∈ I}. Ası́ V =. [. Vi. i∈I. es un refinamiento abierto localmente finito de U de donde pacto.. P. i∈I. Xi es paracomX ♦. 41.

(46) 3 Paracompacidad Paracompacidad y, Axiomas de Separación y Numerabilidad Teorema. 3.2.15. Todo espacio de Hausdorff paracompacto (X, T ) es normal. Demostración. Para este propósito se vera primero que (X, T ) es regular. Sean a un punto de (X, T ) y B un conjunto cerrado de (X, T ) que no contenga a a. Por ser Hausdorff se puede elegir para cada b ∈ B una vecindad Ub tal que a ∈ / Ūb . Sean los conjuntos abiertos Ub junto con de X −B un cubrimiento de (X, T ) , dado que (X, T ) es paracompacto, se puede elegir C un cubrimiento abierto localmente finito que recubra a (X, T ), construyamos la subcolección D de C que consiste de todos los elementos de C que intersecan a B entonces D recubre a B. Además si D ∈ D, entonces D̄ es disjunto con a, y esta contenido en algún conjunto Ub , sea [ V = D D∈D. entonces V es un conjunto abierto en (X, T ) que contienes a B. Dado que D es localmente finita. [ V̄ = D̄ D∈D. y ası́ V̄ es disjunto con a, de donde (X, T ) es regular, al cambiar a por un conjunto cerrado A y cambiando la condición de ser Hausdorff por ser regular en 1.2.45, X se tendrá que (X, T ) es normal. ♦ Teorema. 3.2.16. Todo espacio regular y de Lindelöf es paracompacto. Demostración. Dado un cubrimiento abierto A de (X, T ), por ser Lindelöf existe una subcolección numerable que recubre (X, T ), esta es σ-localmente finita aplicando los lemas 3.2.3 y 3.2.4, A admite un refinamiento abierto que recubre X (X, T ) y es localmente finito. ♦. Topologı́a Indiscreta. Ejemplo. 3.2.17. Este ejemplo muestra que el contrarrecı́proco del teorema anterior no se cumple, en efecto sean (X, T ) un espacio topológico y T la topologı́a indiscreta, este es paracompacto dado que es compacto ya que al tomar R = X un cubrimiento en si mismo, su recubrimiento es el mismo (X, T ), pero este no es T0 , T1 ni T2 dado que solo existe un punto en el espacio, siendo este el mismo (X, T ) y también este cumple 1AN , por tanto cumple los demás axiomas de numerabilidad es decir es Lindelöf.. 42.

(47) 3.2 Espacios Paracompactos Teorema de Metrización de Smirnov El siguiente resultado es un corolario el teorema 3.1.8, a su vez proporciona condiciones suficientes y necesarias para la metrización de un espacio. Definicion. 3.2.18. Un espacio (X, T ) es localmente metrizable si todo punto de (X, T ) tiene un entorno U que es metrizable con la topologı́a del subespacio. Teorema. 3.2.19 (Teorema de Metrización de Smirnov). Un espacio (X, T ) es metrizable si y solo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente metrizable. Demostración. Suponga que (X, T ) es metrizable entonces es localmente metrizable, por el teorema 3.2.11 (X, T ) es paracompacto y además todo espacio metrizable es Hausdorff. Se debe probar que (X, T ) tiene una base que es σ-localmente finita, dado que (X, T ) es regular por el teorema 3.1.8, (X, T ) es metrizable. En efecto, sea para (X, T ) un cubrimiento de conjuntos abiertos y metrizables, entonces escojamos C un refinamiento de este cubrimiento tal que sea abierto, localmente finito y que recubra a (X, T ). Cada elemento C de C es metrizable, por tanto existe una distancia dC : C × C → R, la cual induce la topologı́a de C, dado que x ∈ C, sea BdC (x, ) el conjunto de todos los puntos y ∈ C tal que dC (x, y) < , entonces BdC (x, ) es abierto en (X, T ), ya que es abierto en C. Dado m ∈ Z+ se define Am como el cubrimiento de (X, T ), formado por todas las bolas abiertas de radio 1/m, concretamente, Am = {BdC (x, 1/m) : x ∈ C y C ∈ C}. Dado que (X, T ) paracompacto, existe Dm un refinamiento abierto localmente S finito de Am que recubre (X, T ), si D = Dm , D es σ-localmente finito, falta ver que D es una base para (X, T ). Sean x ∈ X y U una vecindad de x, se quiere encontrar un elemento D ∈ D tal que x ∈ D ⊂ U , entonces x pertenece solo a un número finito de elementos de C, supongamos que son C1 , C2 , . . . , Ck , para 1 ≤ i ≤ k U ∩ Ci es un entorno de x en el espacio Ci , y por tanto, existe un i > 0 tal que BdCi (x, ) ⊂ (U ∩ Ci ) Eligiendo m de forma que 2/m < mı́n{1 , . . . , k }, como la colección Dm recubre a (X, T ) debe existir un elemento D ∈ Dm que contenga a x, dado que la colección. 43.

(48) 3 Paracompacidad Dm refine a Am , debe existir un elemento BdC (y, 1/m) de Am para algún C ∈ C, y algún y ∈ C que contenga a D. Como x ∈ D ⊂ BdC (y, 1/m), el punto x pertenece a C de donde C debe ser uno de los conjuntos C1 , . . . , Ck , partiendo de que C = Ci y dado que BdC (y, 1/m) tiene diámetro no mas grande que 2/m < i , se sigue que x ∈ D ⊂ BdCi (y, 1/m) ⊂ BdCi (x, i ) ⊂ U X ♦. que era lo que se querı́a demostrar.. Algunas caracterizaciones mas de los espacios paracompactos , que se relacionan con los axiomas de numerabilidad y separación son, Teorema. 3.2.20. Sea (X, T ) un espacio topológico paracompacto entonces: (a) Si (X, T ) es T2 , es regular y por tanto es T3 . (b) Si (X, T ) es regular, es normal. (c) Si (X, T ) es T2 , es T4 . Demostración. (a) Todo espacio T2 es regular, falta ver entonces que el espacio es T0 en efecto: Sean C un cerrado y x ∈ / C, como (X, T ) es T2 para todo y ∈ C existe Vy una vecindad de y tal que x ∈ / V¯y . Como (X, T ) es paracompacto se tiene que para y ∈ C, el cubrimiento abierto U = {Vy } ∪ {X − C}, tiene un refinamiento abierto localmente finito R = {V i : i ∈ I}. Sea J = {i ∈ I : V i ∩ C 6= ∅} se tiene que G=. [. Vi. i∈J. es un abierto que contiene a C, y Ḡ =. [. i. V ,. i∈J. no contiene a x. Ası́ X − Ḡ es un entorno abierto de x que no interseca a G.. 44.

(49) 3.2 Espacios Paracompactos (b) Sean C1 , C2 cerrados disjuntos de (X, T ) deben existir dos abiertos que contengan a C1 y C2 respectivamente y sean disjuntos, en efecto: Como (X, T ) es regular, para todo y ∈ C1 , existe Vy una vecindad de y tal que V̄ ∩ C2 = ∅. Como (X, T ) es paracompacto, se tiene que para y ∈ C1 el recubrimiento abierto U = {V } ∪ {X − C1 }, tiene un refinamiento abierto localmente finito R = {V i : i ∈ I}. Sea J = {i ∈ I : V i ∩ C1 6= ∅}. Se tiene que [ G= Vi i∈J. es un abierto que contiene a C1 , y Ḡ =. [. V̄ i ,. i∈J. no interseca a C2 . Ası́ X − Ḡ es un entorno abierto que contiene a C2 y que no corta a G, entonces (X, T ) es normal. (c) Dado que el espacio es T2 , por (a) sera T0 y regular, por (b) sera normal y además todo espacio T0 es T1 ası́ (X, T ) sera T4 . X ♦ Como corolario de este teorema se tiene lo siguiente Teorema. 3.2.21. Sean (X, T ) un espacio topológico paracompacto y Hausdorff, y f una aplicación continua, cerrada y sobreyectiva de (X, T ) en (X 0 , T 0 ), entonces (X 0 , T 0 ) es paracompacto y T2 . Demostración. Como (X, T ) es paracompacto y Hausdorff por el teorema 3.2.20 se tiene que (X, T ) sera T4 , y ademas por (X 0 , T 0 ) sera T4 , es decir normal y T1 , y por tanto regular y T2 , ahora se vera que este espacio es paracompacto, en efecto, sea U 0 un recubrimiento abierto de (X 0 , T 0 ). Se tiene que U = {f −1 (U0 ) : U0 ∈ U 0 }, es un recubrimiento abierto de (X, T ). Por el lema 2.0.4, existe C un refinamiento cerrado de U formado por las adherencias de estos, el cual es localmente finito, y considerando C 0 = {f (C) : C ∈ C}, por el lema 3.2.3 este es paracompacto.. X ♦. 45.

(50) 3 Paracompacidad Este teorema dice que si dado un cubrimiento para un subespacio D, si existe una subcubrimiento numerable para este, y ademas D̄ = X, entonces un cubrimiento de todo el espacio también tendrá un subcubrimiento numerable. Teorema. 3.2.22. Sean (X, T ) un espacio topológico paracompacto, y T2 o paracompacto y regular, y D un subespacio de Lindelöf tal que D es denso en (X, T ) entonces el espacio (X, T ) es de Lindelöf. Demostración. Sea U un cubrimiento abierto de (X, T ), como (X, T ) es regular para cada x ∈ X, existe Vx una vecindad de x, tal que V̄ ⊂ U para algún U ∈ U . Por la paracompacidad existe R un refinamiento abierto localmente finito de {Vx : x ∈ X}. Sea D un subespacio de Lindelöf, entonces existe R0 una subfamilia numerable de R, que recubre a D. Para cada R0 ∈ R0 , se elige U ∈ U ¯ 0 ⊂ U. Sea U 0 la subfamilia numerable de U obtenida de esto forma. tal que R Entonces [ [ [ ¯0 ⊂ U0 . R R0 = X = D̄ ⊂ R0 ∈R. R0 ∈R. U0 ∈U. Ası́, (X, T ) es de Lindelöf.. X ♦. Corolario. 3.2.23. Sean (X, T ) un espacio separable, paracompacto y T2 o paracompacto y regular, entonces (X, T ) es de Lindelöf. Demostración. Por ser (X, T ) separable, existe M denso numerable en (X, T ), como todo espacio numerable es de Lindelöf, aplicando el teorema 3.2.22, se tiene X (X, T ) es de Lindelöf. ♦. Paracompacidad y espacios localmente compactos. Definicion. 3.2.24. Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que (X, T ) es un espacio localmente compacto si para todo x ∈ X, existe V (x), base de entornos de x en (X, T ), tal que para todo Vx ∈ V (x), Vx es compacto en (X, T ). La paracompacidad y ser localmente compacto no están relacionadas, no todo paracompacto es localmente compacto y no todo espacio localmente compacto es paracompacto, ésto se ve en el siguiente ejemplo: Ejemplo. 3.2.25. Sean (C, ≤) un conjunto bien ordenado no numerable, y a y b su primer y ultimo elemento de C respectivamente. Consideremos M = {x ∈ C : [a, x) no numerable }, el conjunto M es no vacı́o ya que b ∈ M . Sea Ω, el. 46.

(51) 3.2 Espacios Paracompactos primer elemento de M , escogiendo (M, T ) donde T es la topologı́a que tiene por base B = {[a, x)} ∪ {(x, y) : x < y} ∪ {(x, Ω]}, tal que x, y ∈ [a, Ω]. Este subespacio abierto no es paracompacto, en efecto: Sean U = {[a, x) : x ∈ [a, Ω)} un recubrimiento abierto, y V un refinamiento abierto arbitrario de U . Como para todo x ∈ (a, Ω), V (x) = {(y, x + 1) : y ∈ [a, x)}, constituyen una base del sistema de entornos de x, se tiene que existe una aplicación φ : [a, Ω) → [a, Ω), tal que φ(a) = a, y para todo x ∈ (a, Ω), φ(x) < x y (φ(x), x], esta contenido en algún elemento de V , entonces existe un y0 ∈ [a, Ω) tal que, para todo y ∈ [a, Ω), existe z ≥ y con φ(z) ≤ y0 . Entonces y0 + 1 esta en infinitos elementos no numerables de V , en efecto: Para todo y ≥ y0 + 1, existe zy ≥ y tal que φ(zy ) ≤ y0 . Ası́, y0 + 1 ∈ (φ(zy ), zy ] ⊂ Vy ∈ V por tanto V no es finito y por consiguiente, V no es localmente finito. Pero este espacio es localmente compacto dado que para cada punto x ∈ [a, Ω],se puede escoger un compacto [y, x + 1] para y ∈ [a, x). Ahora el siguiente espacio es paracompacto pero no es localmente compacto. Consideremos el siguiente e ejemplo , (R, T (B)), donde B = {[a, b) : a, b ∈ R y a < b}, este espacio es Lindelöf y dado que este espacio es metrizable, este sera T3 y por 3.2.16 es paracompacto, pero este no sera localmente compacto. En la categorı́a de los espacios localmente compactos y T2 , se tiene la siguiente caracterización. Teorema. 3.2.26. Sea (X, T ) un espacio topológico localmente compacto y T2 , las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) (X, T ) es paracompacto. (b) (X, T ) es la suma de una familia de espacios de Lindelöf.. 47.

(52) 3 Paracompacidad (c) (X, T ) es la suma de una familia de espacios σ−compactos (un espacio es σ−compacto si es unión numerable de compactos) Demostración. Sea (X, T ) es paracompacto y se demostrara que (X, T ) es la suma de espacios σ−compactos, en efecto: Debido a que el espacio es localmente compacto, para cada x ∈ X, existe Vx vecindad cerrada y compacta de x, sea Ux vecindad abierta de x tal que Ux ⊂ Vx . Como (X, T ) es paracompacto, al tomar U = {Ux : x ∈ X} como un cubrimiento abierto de (X, T ) existe V = {Vi : i ∈ I} refinamiento abierto localmente finito de U . Sea S una relación, tal que xSy si y solo si existen i1 . . . in ∈ I tales que x ∈ Vi1 , y ∈ Vin y Vij ∩ Vij+1 6= ∅ (esto es posible dado que (X, T ) es T2 ) para todo j = 1, . . . , n − 1, esta es una relación de equivalencia en (X, T ). Además las clases de equivalencia son abiertos, (por tanto cerrados ya que el complemento es unión de clases de equivalencia las cuales son abiertas) de (X, T ). Ası́, (X, T ) es la suma topológica de los subespacios constituidos por las clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia sera un subespacio σ−compacto. En efecto: Sean x ∈ X y Cx la clase de equivalencia determinada por x. Se vera por inducción que existen una familia numerable de abiertos {Gn }n∈N y una familia numerable de compactos S cerrados {Kn }n∈N tales que Gn ⊂ Cx , Gn ⊂ Kn , Gn+1 = Vi ∩Gn Vi , para todo n∈Ny [ Gi = Vi , x∈Vi. Para n = 1, sea G1 , la unión numerable de todos los elementos de V que contienen a x. Ası́, [ [ G1 = Vi y K 1 = V̄i x∈Vi. x∈Vi. ( K1 es compacto ya que V es locamente finita). Es claro que G1 ⊂ K1 y G1 ⊂ Cx . Para n = 2, S sea G2 = Vi ∩G1 6=∅ Vi , entonces G2 ⊂ Cx . Se toma K2 =. [ Vi ∩G1 6=∅. 48. V̄i ,.