2 Finitud Local y Variedades en espacios de Banach.
3.2. Espacios Paracompactos
El concepto de paracompacidad es una generalizaci´on de los espacios compactos; en esta secci´on se encuentran los ejemplos b´asicos vistos en un curso de topolog´ıa aplicados a ´este; para esto el libro [10] es de gran utilidad y tambi´en se encuentran las propiedades principales de los espacios paracompactos, para las cuales se utiliza [9, p´ag 288-293].
((Un espacio (X, T) es compacto si todo cubrimiento abierto A de (X, T) tiene un refinamiento abierto finito B que recubre(X, T).))
entonces se dice que un espacio es paracompacto si este refinamiento es abierto localmente finito, de aqu´ı se deduce que todo espacio compacto es paracompacto, formalizando esta idea:
Definicion. 3.2.1. Un espacio (X, T) es paracompacto si todo cubrimiento abiertoAde (X, T) tiene un refinamiento abierto localmente finito B que recubre (X, T).
Ejemplo. 3.2.2.
El espacio Rn, con la topolog´ıa usual es paracompacto.
Sean X = Rn y A un cubrimiento abierto de (X, T). Sea B
0 = ∅ y para cada
entero m, sea Bm la bola abierta de radio m centrada en el origen. Dado m,
tomemos un subconjunto finito de A sea ´este ,
Cm ={Bm+1∩(X−B¯m−1)},
´
esta es una colecci´on finita de conjuntos abiertos, entonces
C =[Cm
es un refinamiento abierto deA, el cual localmente finita ya que el conjunto abier- to Bm interseca solo a finitos de elementos de C, m´as espec´ıficamente a aquellos
que pertenecen a la colecci´on C1∪C2∪. . .∪Cm, y finalmente este recubre todo
(X, T), dado que x, seam el menor entero tal quex∈Bm entonces por definici´on
x∈Cm.
La paracompacidad en distintos espacios topol´ogicos se comporta de manera di- ferente dependiendo de la topolog´ıa dada, ´estos son algunos ejemplos cl´asicos en un curso de topolog´ıa:
Topolog´ıa Usual. Sea X= (−1,1), subespacio deReste intervalo es acotado, aun asi no es paracompacto, dado que si tomamos el cubrimiento
A={−1/n,1/n:n∈Z+}
, no existe un subcubrimiento localmente finito tal que para cualquier vecindad de 0, ´esta interseca un n´umero infinito de A.
Topolog´ıa Discreta. Sea (X, T) cualquier espacio arbitrario yRun cubrimien- to abierto de (X, T), ´este es paracompacto al tomar subcubrimiento los conjuntos unitarios de (X, T).
Topolog´ıa de los Cofinitos.
SeaX =Ry seaT ={A⊂X :Ac es finito}∪{∅}, ´este espacio es compacto, ya
que dado un cubrimiento abiertoU , al tomar U∈U, entoncesUc={x1, . . . , xn}
es finito, adjuntando Use tendr´a a U∪Ux1∪. . .∪Uxn como un subcubrimiento
Topolog´ıa de los Conumerables.
Sea X =R, siendo T = {A ∈ R : Ac es numerable } ∪ {∅}, dado U un cubri-
miento abierto, sea A un abierto de X, entonces Ac = {x
1, . . . , xn, . . .}, pero a
cualquier subcubrimiento localmente finito de xle faltaran elementos numerables que cubrir, por tanto no es paracompacto.
Topolog´ıa del punto excluido.
Sean X =R, p∈X y T ={A⊂ X :A =X o p /∈ A} ∪ {∅}, escogiendo como cubrimiento U ={X, X− {p}}, y sea como subcubrimiento ´este mismo, entonces para todo x ∈ X existe un elemento en U que lo contenga, de donde (X, T) es compacto y por tanto paracompacto.
Topolog´ıa del punto incluido.
Sean X = R, p ∈ X y T = {A ⊂ X : A = ∅ op ∈ A}, escogiendo como cubrimientoU ={X,{p}}, y sea como subcubrimiento ´este mismo, entonces para todox∈Xexiste un elemento enU que lo contenga, de donde (X, T) es compacto y por tanto paracompacto.
Antes de mirar otras topolog´ıas importantes y sus comportamientos en estos espacios, se debe tener en cuenta los siguientes resultados que dan equivalencia entre cubrimientos, ´estos fueron propuestos por [2], de la siguiente forma, sobre espacios paracompactos, ademas se usaran para posteriores resultados como de- mostrar que todo espacio metrizable es paracompacto.
Lema. 3.2.3. Las siguientes tres propiedades de un espacio topol´ogico regular, son equivalentes:
(a) (X, T) es paracompacto.
(b) Cada cubrimiento abierto de (X, T) tiene refinamiento localmente finito. (c) Cada cubrimiento abierto de (X, T) tiene un refinamiento cerrado y local-
Demostraci´on. Suponga que (X, T) es paracompacto entonces, por definici´on cada cubrimiento abierto de (X, T), tiene un refinamiento localmente finito. Ahora sea R un cubrimiento abierto de (X, T),suponiendo que R tiene un re- finamiento localmente finito, se demostrara que existe un refinamientoAcerrado, localmente finito de R. Por el lema 2.0.4, la colecci´on de clausuras de los ele- mentos de V tambi´en es un refinamiento, ´este es cerrado y es localmente finito, entonces la colecci´on que se buscaba es A= ¯ββ∈V.
Finalmente sea R un cubrimiento abierto de (X, T), se busca un refinamiento
V, abierto, localmente finito de R. SeaA un refinamiento localmente finito deR, y sea B un cubrimiento de (X, T) por conjuntos abiertos, cada uno de los cua- les se interseca solo con un numero finito de elementos de A. Ahora sea W un refinamiento cerrado, localmente finito de B. Para cadaA∈A, sea
A0 =X− [
W∈W
A∩W=∅ W
entonces A0 es un conjunto abierto que contiene a A, y sea W∈W, entonces W
interseca A0 si y solo si W interseca a A. Para cada A ∈ A, definamos RA ∈ R tal que A⊂RA. Sea
V ={A0∩RA :A∈A}
, entonces V tiene refinamiento abierto de R, y por tanto cada elemento del cubrimiento abierto, localmente finito W interseca solo un numero finito de V. V
es localmente finito.
♦X
Lema. 3.2.4. Cada cubrimiento, abierto, contable{Vi}∞i=1 de un espacio topol´ogi-
co tiene un refinamiento, localmente finito {Ai}∞i=1 tal que Ai ⊂Vi para cada i
Demostraci´on. Sea Wi =Si
j=1Vi con i = 1,2, . . ., tomemos entonces A1 =W1
y Ai =Wi−Wi−1 , este cumple las condiciones requeridas. ♦X
Antes de ver que todo espacio metrizable es paracompacto, se observa en [2], que la condici´on de((Hausdorff)), no puede ser reemplazada por((regular)); la siguiente equivalencia se satisface si el espacio cumple 2AN , pero en [10], se encontrara un ejemplo de un espacio que cumple 2AN y Hausdorff que no es regular.
Teorema. 3.2.5. Sea (X, T) un espacio topol´ogico regular, entonces (X, T) es paracompacto si y solo si cada cubrimiento abierto de (X, T)tiene un refinamien- to abierto V = S∞
i=1Vi donde cada Vi es una colecci´on de conjuntos, abiertos,
Demostraci´on.
Si (X, T) es paracompacto entonces es regular y cumple por definici´on que cada cubrimiento abierto de (X, T) tiene un refinamiento abierto V = S∞
i=1Vi donde
cada Vi es una colecci´on de conjuntos abiertos localmente finitos de (X, T).
Rec´ıprocamente se debe ver que (X, T) es paracompacto, por el Lema 3.2.3, solo falta ver que cada cubrimiento abierto R tiene un refinamiento localmente finito. Ahora suponiendo que R tiene un refinamiento abiertoV =S∞
i=1Vi, donde
Vi es localmente finito. Sea V la uni´on de los elementos de Vi para i = 1,2, . . .,
por el Lema 3.2.4 existe un refinamiento{Ai}∞i=1 de{Vi}∞i=1 tal que Ai ⊂Vi para
todo i. As´ı W = ∞ [ i=1 V∈Vi (V ∩Ai),
sera un refinamiento localmente finito de R. ♦X
Topolog´ıa de Subespacio
Teorema. 3.2.6. Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es para- compacto.
Demostraci´on. SeaY un subespacio cerrado de un espacio paracompacto (X, T). SeaAun cubrimiento abierto deY. Para cadaA∈A, se elije un conjunto abierto
A0de (X, T) tal queA0∩Y =A. Recubriendo (X, T) por los conjuntos abiertosA0, ademas del conjunto abiertoX−Y. Para este cubrimiento, seaB un refinamiento abierto localmente finito que recubra (X, T). Entonces la colecci´on
C ={β∩Y|β∈B}
es el refinamiento abierto localmente finito de A. ♦X
A continuaci´on se ven otros subespacios los cuales heredan la paracompacidad del espacio ambiente.
Teorema. 3.2.7. Sea (X, T) un espacio topol´ogico paracompacto, entonces: (a) Si (X, T) es regular y F es Fσ4 se verifica que (F, T|F) es paracompacto.
(b) Si todos los abiertos de (X, T) son paracompactos, se verifica que todo sub- conjunto de (X, T) es paracompacto.
Demostraci´on.
(a) Como F es Fσ se tiene que
F = [
n∈N
Fn
donde, para todo n∈N, Fn es cerrado.
Sea U = {Ui : i ∈ I} es un cubrimiento abierto de (F, T|F). De donde
para todo i∈ I, existe Ai abierto en (X, T) tal que Ai∩F =Ui, dado que
(X, T) es paracompacto, para cada n ∈NexisteVn un refinamiento abierto
localmente finito de {Ai :i∈I} ∪ {X−Fn}. Sea Vn0 ={V ∩F :V ∈Vn, V ∩Fn 6=∅}, y as´ı V0 = [ n∈N Vn0
es uni´on numerable de refinamientos abiertos localmente finitos, y por 3.2.5 ya que (F, T|F) es regular, (F, T|F) es paracompacto.
(b) SeaM un subconjunto de (X, T) yU ={Ui :i∈I} un cubrimiento abierto
de (M, T|M), entonces para cada i∈I, existe Ai abierto en (X, T), tal que
Ui =M∩Ai. Sea
A=[
i∈I
Ai,
entonces como uni´on de abiertos es abiertos, se tiene que (A, TA) es para-
compacto, es decir, existe V un refinamiento abierto localmente finito de {Ai :i∈I} en (A, T|A), de donde
V0 ={V∩M :V∈V},
es un refinamiento abierto localmente finito deU, as´ıM sera paracompacto. ♦X
Teorema. 3.2.8. Sea (X, T) un espacio topol´ogico regular y C = {Ci : i ∈ I}
un cubrimiento cerrado localmente finito de (X, T) tal que cada subconjunto Ci
Demostraci´on. Sea U un cubrimiento abierto de (X, T), como para todo i ∈I,
Ci es paracompacto y regular, se tiene que existe Ci refinamiento cerrado local-
mente finito en Ci deUi ={U∩Ci :U∈U}, entonces,
C =[
i∈I
Ci
es un refinamiento cerrado localmente finito deU, por tanto, (X, T) es paracom-
pacto por Lema 3.2.3. ♦
X
Ejemplo. 3.2.9. SeanRcon la topolog´ıa usual yU ={(a−δ, b+δ) :δ >0, a, b ∈
R} un cubrimiento para (X, T), este espacio es regular, escogiendo 1, . . . , n po-
sitivos de la siguiente manera
a < b−i < x < a+i < b
para 1≤i≤ntal queCx
i ={[a, x+i]∪[x−i, b] :a≤x≤b}sera recubrimiento
cerrado localmente finito para x∈X al tomar
C =[Cxi
este sera un refinamiento cerrado de U, as´ıRsera paracompacto.
La topolog´ıa Producto no hereda la paracompacidad
Para ver que el producto de espacios paracompactos no es paracompacto, en muchos de los ejemplos basta ver que siendo este normal su producto no es nor- mal, se usa la gu´ıa del documento [3] y el respectivo an´alisis de [12] de donde se tiene que,((cada espacio m´etrico separable es paracompacto)), ((Cada espacio Paracompacto Hausdorff es normal)) y que ((Si S1 es compacto y S2 es paracom- pacto, entoncesS1×S2 es paracompacto)), un ejemplo de un espacio S el cual es paracompacto pero su producto no lo es.
Ejemplo. 3.2.10. Sea S el espacio de los n´umeros reales no negativos, y con la topolog´ıa generada por la base.
Vx ={[a, b) :a ≤x < b}.
conjunto E es cerrado con respecto a la topolog´ıa natural de los n´umeros reales. ( si z ∈ Ec existe una vecindad a ≤ x < b de B tal que a < z < b, es decir el
intervalo abiertoa < x < b, que no contiene ning´un punto deE, esto significa que
z no es un punto limite de E).
El complemento deE es por lo tanto, la suma de un numero contable de intervalos abiertos disjuntos I1, I2, . . .. Para cada n, el punto extremo izquierdo de In es un
punto de E, si In es un intervalo de la forma en < x < fn entonces E =
P en y
S = P
In+en. Para cada n existe una vecindad en ≤ x < qn que denotaremos
Dn, en la siguiente figura vemos como est´an constituidas estas vecindades
Figura 3.4: Vecindades en el espacio S
Sea γn la colecci´on de todos los intervalos abiertos a < x < b tal que a ≤x <
b ∈ B y sea un subconjunto de en ≤x < fn. Entonces γn cubre qn ≤ x < fn. Es
decir existe, un refinamiento localmente finitoδn deγn que cubre a este, sea n la
colecci´on formada por la intersecci´on de elementos de δn con qn≤x < fn.
Los elementos de n son conjuntos abiertos en la topolog´ıa de S y cada uno de
ellos es subconjunto de A. Por lo tanto si ηn es la colecci´on obtenida por a˜nadir
a n el conjunto abiertoDn, as´ıηn es un cubrimiento abierto localmente finito de
In+en cuyos elementos son subconjuntos de A y η = Pηn es un cubrimiento
localmente finito de A que cubre S.
Ahora se ve que el espacio S×S no es paracompacto.
Los puntos de S × S son pares de n´umeros no negativos (x, y) y la topologia es generada por rect´angulos semiabiertos de la forma a ≤ x < b y c≤ y < d, es suficiente ver que no es normal.
En efecto: Sean
H ={(x, y)∈S×S :x+y= 1,[(x−1)2+y2]1/2 ∈Q}, K ={(x, y)∈S×S :x+y= 1,[(x−1)2+y2]1/2 ∈I}
punto (k, k0)∈K existe una vecindad N tal que
N ={(x, y) :k≤x < k+δ, k0 ≤y < k0+δ}
que se encuentra enV, para cada entero positivon, seaKnel conjunto de todos los
puntos (k, k0) tal que el di´ametro deN es mayor que 1/n. Entonces K =P Kn y
esta es una base numerable del segmentox+y= 1, esto es que existe un elemento
Km que en el intervalo [(s,1−s),(t,(1−t)] dex+y= 1 el cual es su adherencia
es el conjunto K.
Como se observa en la siguiente figura
Figura 3.5: Vecindades en el espacio S×S
cada rect´anguloR acotado por
x+y = 1, x+y = 1 + 1/m, x−y= 2s−1, x−y = 2t−1
pertenece aN. As´ıRes un subconjunto deV pero cada punto deHen el intervalo [(s,1−s),(t,(1−t)] de x+y = 1 son puntos limites de R y as´ı de V. As´ı no se pueden separar estos dos conjuntos por dos abiertos disjuntos dado queH∩K¯ 6=∅
Ahora si veamos que todo espacio metrizable es paracompacto
Teorema. 3.2.11. Todo espacio metrizable es paracompacto
Demostraci´on. Sean (X, T) un espacio metrizable y A un cubrimiento abierto de (X, T), por el lema 2.0.8 existe un cubrimiento abiertoR =S∞
i=1Ri de (X, T)
que refina a A y es localmente finito, por el lema 3.2.4 existe para R, un refina- miento numerablemente y adem´as localmente finitoV =S∞
que cubre (X, T). ♦X
La condici´on de ser Hausdorff no siempre es necesaria ni suficiente para que un espacio sea paracompacto, se muestra un ejemplo de dicha afirmaci´on, tomado de [10, p´ag, 35].
Ejemplo. 3.2.12. Compactificaci´on de un punto en los racionales
Sean (X, T) un espacio topol´ogico no vaci´o y pun punto que no esta en (X, T), se defineX∗ =X∪ {p}, el cual describe una topolog´ıaT∗ sobre X∗, de la siguien- te forma, un conjunto se dice abierto en (X∗, T∗) si y solo si esta en T o es el complemento de un subconjunto cerrado y compacto de (X, T).
Primero se vera que (X∗, T∗) es paracompacto, basta ver que este es compacto. SeaU un cubrimiento arbitrario deX∗ que contiene un conjunto abierto alrededor de p y el complemento de este conjunto abierto es cubierto por un numero finito de conjuntos en U.
Falta ver que (X, T) no es Hausdorff; sea X = Q y sea T la topolog´ıa indu- cida de los reales, razonando por contradicci´on, sea (X, T) Hausdorff entonces para p ∈ I, sean Vp y Vx en Q∗, vecindades de p y x, respectivamente, entonces
Vp ∩Vx = ∅, pero X−Vp es cerrado y acotado, y Vx ⊆ X−Vp, lo cual es una
contradicci´on ya que Vx es de la forma (a, b)∩Q con a, b∈ R y a < b, de donde
(X, T) es un espacio paracompacto pero no Hausdorff.
Paracompacidad y suma de Espacios
Definicion. 3.2.13. Sea{(Xi, Ti)}i∈Iuna familia de espacio topol´ogicos no vac´ıos,
se define
X =XXi =
[
i∈I
Xi× {i},
y para cada i∈I, la inyecci´on
ji :Xi →
X
i∈I
Xi
x7→(xi, i)
Se considera a la familia F = {((Xi, Ti), ji)}i∈I. A la topolog´ıa final en X =
P
i∈IXi, se le llamatopolog´ıa suma y se nota por
P
Al par X i∈I Xi, X i∈I Ti !
se le llama espacio topol´ogico suma de la familia de espacios topol´ogicos {(Xi, Ti)}i∈I y se notara por Pi∈I(Xi, Ti).
Teorema. 3.2.14. Sea{Xi}i∈I una familia de espacios topol´ogicos. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes: (a) P
i∈IXi es paracompacto.
(b) Xi es paracompacto para todo i∈I.
Demostraci´on. . Suponga que P
i∈IXi es paracompacto, dado que cada Xi es cerrado en
P
i∈I y
como la paracompacidad es hereditaria para cerrados, se tiene queXi es paracom-
pacto.
Ahora si cadaXi es paracompacto para todoi∈I, entonces seaU un cubrimiento
abierto de P
i∈IXi. Por hip´otesis para cada i∈ I existeVi, refinamiento abierto
localmente finito en Xi, de Ui ={U∩Xi :i∈I}. As´ı
V =[
i∈I
Vi
es un refinamiento abierto localmente finito de U de donde P
i∈IXi es paracom-
pacto.
Paracompacidad y, Axiomas de Separaci´on y Numerabilidad
Teorema. 3.2.15. Todo espacio de Hausdorff paracompacto (X, T) es normal.
Demostraci´on. Para este prop´osito se vera primero que (X, T) es regular. Sean
aun punto de (X, T) yB un conjunto cerrado de (X, T) que no contenga aa. Por ser Hausdorff se puede elegir para cada b ∈ B una vecindad Ub tal que a /∈ U¯b.
Sean los conjuntos abiertosUb junto con deX−B un cubrimiento de (X, T) , dado
que (X, T) es paracompacto, se puede elegirC un cubrimiento abierto localmente finito que recubra a (X, T), construyamos la subcolecci´onDdeC que consiste de todos los elementos de C que intersecan a B entonces D recubre a B. Adem´as si
D ∈D, entonces ¯D es disjunto con a, y esta contenido en alg´un conjunto Ub, sea
V = [
D∈D
D
entonces V es un conjunto abierto en (X, T) que contienes a B. Dado que D es localmente finita. ¯ V = [ D∈D ¯ D
y as´ı ¯V es disjunto cona, de donde (X, T) es regular, al cambiarapor un conjunto cerrado A y cambiando la condici´on de ser Hausdorff por ser regular en 1.2.45,
se tendr´a que (X, T) es normal. ♦X
Teorema. 3.2.16. Todo espacio regular y de Lindel¨of es paracompacto.
Demostraci´on. Dado un cubrimiento abiertoAde (X, T), por ser Lindel¨of existe una subcolecci´on numerable que recubre (X, T), esta es σ-localmente finita apli- cando los lemas 3.2.3 y 3.2.4, A admite un refinamiento abierto que recubre
(X, T) y es localmente finito. ♦X
Topolog´ıa Indiscreta.
Ejemplo. 3.2.17. Este ejemplo muestra que el contrarrec´ıproco del teorema an- terior no se cumple, en efecto sean (X, T) un espacio topol´ogico y T la topolog´ıa indiscreta, este es paracompacto dado que es compacto ya que al tomar R = X
un cubrimiento en si mismo, su recubrimiento es el mismo (X, T), pero este no es T0, T1 ni T2 dado que solo existe un punto en el espacio, siendo este el mis-
mo (X, T) y tambi´en este cumple 1AN, por tanto cumple los dem´as axiomas de numerabilidad es decir es Lindel¨of.
Teorema de Metrizaci´on de Smirnov
El siguiente resultado es un corolario el teorema 3.1.8, a su vez proporciona condiciones suficientes y necesarias para la metrizaci´on de un espacio.
Definicion. 3.2.18. Un espacio (X, T) eslocalmente metrizablesi todo punto de (X, T) tiene un entorno U que es metrizable con la topolog´ıa del subespacio.
Teorema. 3.2.19 (Teorema de Metrizaci´on de Smirnov). Un espacio (X, T) es metrizable si y solo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente me- trizable.
Demostraci´on. Suponga que (X, T) es metrizable entonces es localmente me- trizable, por el teorema 3.2.11 (X, T) es paracompacto y adem´as todo espacio metrizable es Hausdorff.
Se debe probar que (X, T) tiene una base que es σ-localmente finita, dado que (X, T) es regular por el teorema 3.1.8, (X, T) es metrizable. En efecto, sea para (X, T) un cubrimiento de conjuntos abiertos y metrizables, entonces escojamos
C un refinamiento de este cubrimiento tal que sea abierto, localmente finito y que recubra a (X, T). Cada elemento C deC es metrizable, por tanto existe una distancia dC : C×C → R, la cual induce la topolog´ıa de C, dado que x ∈ C, seaBdC(x, ) el conjunto de todos los puntosy∈Ctal quedC(x, y)< , entonces BdC(x, ) es abierto en (X, T), ya que es abierto en C.
Dadom∈Z+ se defineAm como el cubrimiento de (X, T), formado por todas las
bolas abiertas de radio 1/m, concretamente,
Am ={BdC(x,1/m) :x∈C y C∈C}.
Dado que (X, T) paracompacto, existe Dm un refinamiento abierto localmente
finito deAm que recubre (X, T), si D=SDm,Desσ-localmente finito, falta ver
que D es una base para (X, T).
Sean x ∈ X y U una vecindad de x, se quiere encontrar un elemento D ∈ D
tal quex∈D ⊂U, entonces x pertenece solo a un n´umero finito de elementos de
C, supongamos que son C1,C2, . . . ,Ck, para 1≤i ≤k U ∩Ci es un entorno de
x en el espacioCi, y por tanto, existe un i >0 tal que
BdCi(x, )⊂(U∩Ci)
Dm refine a Am, debe existir un elemento BdC(y,1/m) de Am para alg´un C∈C,
y alg´uny∈C que contenga aD. Como
x∈D ⊂BdC(y,1/m),
el punto x pertenece a C de donde C debe ser uno de los conjuntos C1, . . . ,Ck,
partiendo de que C=Ci y dado que BdC(y,1/m) tiene di´ametro no mas grande
que 2/m < i, se sigue que
x∈D ⊂BdCi(y,1/m)⊂BdCi(x, i)⊂U
que era lo que se quer´ıa demostrar. ♦X
Algunas caracterizaciones mas de los espacios paracompactos , que se relacionan con los axiomas de numerabilidad y separaci´on son,
Teorema. 3.2.20. Sea (X, T) un espacio topol´ogico paracompacto entonces: (a) Si (X, T) es T2, es regular y por tanto es T3.
(b) Si (X, T) es regular, es normal. (c) Si (X, T) es T2, es T4.
Demostraci´on.
(a) Todo espacio T2 es regular, falta ver entonces que el espacio es T0 en efecto:
Sean C un cerrado y x /∈ C, como (X, T) es T2 para todo y ∈ C existe Vy
una vecindad de y tal que x /∈ V¯y. Como (X, T) es paracompacto se tiene
que para y∈C, el cubrimiento abierto
U ={Vy} ∪ {X−C},
tiene un refinamiento abierto localmente finitoR ={Vi :i∈I}. Sea
J ={i∈I :Vi∩C 6=∅} se tiene que
G=[
i∈J
Vi
es un abierto que contiene aC, y ¯
G=[
i∈J
Vi,
(b) Sean C1, C2 cerrados disjuntos de (X, T) deben existir dos abiertos que
contengan a C1 y C2 respectivamente y sean disjuntos, en efecto:
Como (X, T) es regular, para todo y ∈C1, existe Vy una vecindad de y tal
que ¯V ∩C2 =∅. Como (X, T) es paracompacto, se tiene que paray∈C1 el
recubrimiento abierto
U ={V} ∪ {X−C1},
tiene un refinamiento abierto localmente finito R = {Vi : i ∈ I}. Sea J = {i∈I :Vi∩C1 6=∅}. Se tiene que
G=[
i∈J
Vi
es un abierto que contiene aC1, y
¯
G=[
i∈J
¯
Vi,
no interseca a C2. As´ıX−G¯ es un entorno abierto que contiene a C2 y que
no corta a G, entonces (X, T) es normal.
(c) Dado que el espacio esT2, por (a) sera T0 y regular, por (b) sera normal y
adem´as todo espacio T0 esT1 as´ı (X, T) sera T4.
♦X
Como corolario de este teorema se tiene lo siguiente
Teorema. 3.2.21. Sean (X, T) un espacio topol´ogico paracompacto y Hausdorff, yf una aplicaci´on continua, cerrada y sobreyectiva de(X, T)en(X0, T0), entonces (X0, T0) es paracompacto y T2.
Demostraci´on. Como (X, T) es paracompacto y Hausdorff por el teorema 3.2.20 se tiene que (X, T) seraT4, y ademas por (X0, T0) seraT4, es decir normal yT1, y por tanto regular y T2, ahora se vera que este espacio es paracompacto, en efecto, seaU0 un recubrimiento abierto de (X0, T0). Se tiene que
U ={f−1(U0) :U0 ∈U0},
es un recubrimiento abierto de (X, T). Por el lema 2.0.4, existeCun refinamiento cerrado de U formado por las adherencias de estos, el cual es localmente finito, y considerando
Este teorema dice que si dado un cubrimiento para un subespacio D, si existe una subcubrimiento numerable para este, y ademas ¯D = X, entonces un cubri- miento de todo el espacio tambi´en tendr´a un subcubrimiento numerable.
Teorema. 3.2.22. Sean (X, T) un espacio topol´ogico paracompacto, y T2 o para- compacto y regular, y D un subespacio de Lindel¨of tal que D es denso en (X, T) entonces el espacio (X, T) es de Lindel¨of.
Demostraci´on. SeaU un cubrimiento abierto de (X, T), como (X, T) es regular para cada x ∈ X, existe Vx una vecindad de x, tal que ¯V ⊂ U para alg´un
U ∈ U. Por la paracompacidad existe R un refinamiento abierto localmente finito de {Vx :x ∈ X}. Sea D un subespacio de Lindel¨of, entonces existe R0 una
subfamilia numerable de R, que recubre a D. Para cada R0 ∈R0, se elige U∈U
tal que ¯R0 ⊂ U. Sea U0 la subfamilia numerable de U obtenida de esto forma. Entonces X= ¯D⊂ [ R0∈R R0 = [ R0∈R ¯ R0 ⊂ [ U0∈U U0.
As´ı, (X, T) es de Lindel¨of. ♦X
Corolario. 3.2.23. Sean(X, T)un espacio separable, paracompacto y T2 o para-
compacto y regular, entonces (X, T) es de Lindel¨of.
Demostraci´on. Por ser (X, T) separable, existe M denso numerable en (X, T), como todo espacio numerable es de Lindel¨of, aplicando el teorema 3.2.22, se tiene
(X, T) es de Lindel¨of. ♦X
Paracompacidad y espacios localmente compactos
Definicion. 3.2.24. Sea (X, T) un espacio topol´ogico, se dice que (X, T) es un espaciolocalmente compactosi para todox∈X, existeV(x), base de entornos dex en (X, T), tal que para todo Vx ∈V(x), Vx es compacto en (X, T).
La paracompacidad y ser localmente compacto no est´an relacionadas, no todo