CÁLCULO NUMÉRICO
1º Potencias y radicales
1.- Halla el valor de las siguientes expresiones:
3 2 4 2 2 2 4 3 15 3 2 3 5 2 1 3 2 1 2 1 3 8 1 4 2 3 ) 10 4 5 3 5 5 1 2 3 2 4 1 1 1 3 1 ) 2 3 3 4 5 3 5 3 5 3 ) c b a
2.-Simplifica y reduce las siguientes expresiones a potencias:
a)
3
x 1
x b)
3 1 10 2 1 3 2 2 3 3 2 3 2 c) 8 8 6 3 4 8 7 5 4 6 5 4 3 3 2 a a a a a a . a a . a a a a d) y x x3 e) c x b a c b a x 3 1 2 1 6 3 1 1 f) 2 4 3 6 3 2 0 4 2 3 5 2 2 3 2 3 2 3 2 y x x yx x x y x x x y x y y x g) 2
4 2 3 5 4 3
5 b a c b a c b a h) a a a a a a 9 3 8 6 4 : i) 2 3 5 4 3 2 3 2 2 : c b a c b a
j) abc4 a3b3c2 3 a5b5
3.- Efectúa las siguientes sumas y restas y racionaliza en el caso que sea necesario: a) 2 2 2 2 2 ab ab b a a b b a b) 3 3 4 2 2 4 2 6 4 d c b c d d b c a a d b cd a a cd c) 125 , 0 . 9 2 2 2 18 18 , 0 3 , 0 4 3 2 2 2 2 c a c c a c a b b a b a b
d) a2m a2n 4 (m n)2.b2 6 c6(m n)3
4.- Realizar los siguientes ejercicios como radicales a)
4 2 3 3 3 2 3 a b a ab b a b ab b)
6 2 3 4 2 3 2 3 y x xy y x y x c) 2 3 2 -3 2 4
5.- Opera y simplifica a)
500 3
125 4 80 2 20 3
b) 2 2 2 2
) 2 .( ) 2 ( ) 2 .( ) 2
( x y x y x y x y
c)
3 2
3 3 2
1 3 1
3 2
d)
a a
a a
a a
1 1
1 e) 40
125 2 80 20
f)
6
56 4 150 24
g)
3 2 3 3
5 2 3 2
3
h)
3 1
3 1
1
3 1
3 1
1
2º Logaritmos
1.- Aplicando la definición de logaritmo resolver los siguientes ejercicios:
a) log264 = x g) log343 7 = x n) x
3 5 1 625 log
b) log381 = x h) 3 5
125 1
log =x ñ) log2/381/16 = x
c) log101 10201 = x i)
9 3
log27 =x o) log5/3 27/125 = x d) log16 0,5 = x j) log125 1/ 5 = x p) log8 42 = x e) log10 0,00001 = x l)
128 1
log 2 =x q) x
343 1 log 7
f) 5 x
3 1 81
log m) 3 x
16 2
log r) x
32 1 log 2
2.- Hallar la base de los logaritmos en las siguientes igualdades: a) loga 4=2
b) loga 9=2
c) loga 0,125=3 d) loga 125 = 3/2
e) loga 1/3 = -1/2 f) loga 0,001=-3
3.- Halla el resultado de las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos y su definición:
a) log5 625 – log3 243 + log4 256 c) log2 4 + log3 81 – log6 216 + log4 64 b) log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 d) log3 1/9 – log5 0,2 + log6 1/36 – log2 0,5
4.- Considerando que log2 5 = 2,322 y que log2 6 = 2,585, calcule los valores de los siguientes logaritmos sin usar calculadora:
a) log 2 10 ; b) log 2 40 ; c) log 2(5/4) ; d) log 2 30 ; e) log 2 125 ; f) log 2 (36/5)
5.- Utilizando las propiedades, exprese con un solo logaritmo:
a) log 6 + log 8 – log 3 ; b) log 9 + log 28 – ( log 7 – log 9 ) c) 3(1 – log a) ; d) ln (et ) – ln (e/t) ; e) 2log 3 + log 5 ; f) -1+
2 1
log 5
3º Binomio de Newton
Desarrolla 1. a b 7
2. a b 5
3. m 2n 4
4. a 18 5. x 2 5
6. x 2 5
7.
4 4 1 3 1
b a
8. a2b c 6
9. a b 7
10.
5 3 1 3 1
y x
11. 2 3 5
2 2a
12. a2 2x2 7
13.
5 5
2 1 2
1
a a
14.Halla el noveno término del desarrollo de x y 12
15.Halla el quinto término del desarrollo de
15 2 1
a
16.Halla el sexto término del desarrollo de x y 8
17.Halla el término central del desarrollo de x y 8
18.Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del desarrollo de 14
2 1
a
19.Halla el término medio del desarrollo de
6 2 1
b a
20.Halla los dos términos medios del desarrollo de x 0,17
21.Halla el término que ocupa el lugar 505 en el desarrollo de a3b c2 506
22.Hallar el término que contenga la cuarta potencia de a en el desarrollo de 2 a10
23.Hallar el término medio en el desarrollo de 3 3 6
y x
24.Justifica del modo más rápido la igualdad: 16 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4
25.Encuentra una regla que generalice el cálculo anterior y que permita obtener el valor de
n n n
n
CÁLCULO ALGEBRÁICO
1º Polinomios
1º FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM
Conceptos
Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.
Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen mas raíces reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores mas simples.
Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.
Procedimientos
1) Factorizar un polinomio
a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces
Ruffini por
dos que mayor grado
de es Si
grado 2º de ecuaciones las
en como procede se
dos grado de es Si
c) Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....
2) Calcular el MCM
a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior.
b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican
Ejemplo: Factorizar 2x5 – 6x3 + 4x2 ;
Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos 2x2(x3 – 3x + 2) El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación
Ejemplo: x3 – 3x + 2 1 0 -3 2 x3 – 3x + 2 = (x – 1)(x2 +x – 2) Raíz = 1 1 1 -2
1 1 -2 0
x2 +x – 2 = 0; x =
2 3 1 2
9 1 2
) 2 .( 1 . 4 1 1
; de donde x = 1; x = -2 Por lo tanto x2 +x – 2 se factoriza del siguiente modo: x2 +x – 2 = (x –1)(x + 2) La factorización final de 2x5 – 6x3 + 4x2 será:
2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x3 – 3x + 2) = 2x2(x – 1)(x2 +x – 2) = 2x2(x – 1)(x –1)(x + 2) 2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x – 1)2(x + 2)
Ejemplo:
Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 – 4x3; 2x5 – 6x3 + 4x2; x2 + 4x +4. x5 – 4x3 = x3(x – 2)(x + 2)
2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x – 1)2(x + 2) x2 + 4x +4 = (x + 2)2
2º IGUALDADES NOTABLES
a) (a + b)(a – b) = a2 – b2 Ej: (3x3 – 5xy) (3x3 + 5xy) = (9x6 – 25x2y2) b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ej: (5y2 + 3x)2 = 25y4 + 30y2x + 9x2
c) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ej: (6y2 – 2y)2 = 36y4 – 24y3 + 4y2
d) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Ej: (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 e) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Ej: (x2 – 2x)3 = x6 – 6x5 + 12x4 – 8x3
Ejercicios
1.- Aplica las fórmulas de las igualdades notables a las siguientes operaciones: a) (2x – 4)(2x + 4)
b) (3y2 + 2x)(3y2 – 2x) c) (3y + 2x)2
d) (2x3 – 5y)2 e) (5 – 3x)3 f) (2y – 3)3
2.- Factorizar los siguientes trinomios en cuadrados perfectos
1. a2 − 2ab + b2 2. x2 + 4x + 4 3. b2 − 2b + 1 4. m2 − 2mn + n2 5. x2 − 10x + 25 6. a2 − 2a + 1
7. 1/25 + (1/3)x + (25/36)x2 8. 1/9 − (2/3)c + c2
9. (9/4)c2 − 3x + 1 10. 4a2 − 12ab + 9b2
11. a8 − 18a4 + 81 12. x6 − 2x3y3 + y6 13. m6/16− 2m3n2 + 16n4 14. 9c6 − 30c3 + 25 15. 1 − 2(x − y) + (x − y)2 16. 4 − 4(1 − x) + (1 − x)2 17. x2 + 2x(b + c) + (b + c)2
18. (x + y)2 − 2(x + y)(y + z) + (y + z)2 19. (a + b)2 + 2(a + b)(a − c) + (a − c)2
20. (a + b + c)2 + 2(a + b + c)(b + c − a) + (b + c − a)2
3.- Utiliza las fórmulas de las igualdades notables para factorizar los siguientes polinomios, cuando sea posible:
a) (9 – x2) b) (4x2 – 9) c) (x2 – 6x + 9) d) (x2 + 2x + 1) e) (2x2 – 20x +50) f) (x3 + 6x2 + 12x + 8) g) (x3 – 12x2 + 48x – 64) h) (x 4- 5x3 - 2x2 + 24x) i) (x4 – 4x3 – x2 +16x – 12) j) (2x3 – x2 – 2x + 1) k) 4x2 1
l) x2 10x 25
m) x2 10x 25
n) x2 9
o)
4 1 2
x x
p) 9x2 4
q) 25 20x 4x2
r) a2(x – y) + 2ab(y – x) – b2(y – x)
3º Fracciones algebraicas
1.- Opera y simplifica:
a) 2 1 + x 1 : x x 4 b) x 4 -x . ) 2 + (x 2 + x 2
2 c)
2 + x 1 : x 2 . 2 x2
d) . x
1 + x 1 x : 1 + x 1 + x 2
e) . 2x
2 -x 1 + x x 2 + x + x 3 2 2
2.- Haz las operaciones indicadas y simplifica:
a) x y y x . y + x y -x y -x y + x b) y + x 2xy . xy y + x + y 1 x 1 c) x 1 x . 1 + x x 1 -x 1 + x 3.- Simplifica: a) 2 -x 8 + 8x -x 2 : 2/8 + 3/4 4 -2x x + x 3 x -x 3 x -9 x + 6x + 9 2 3 2 3 2 2 2 · b) 4x -x 2x -x + 4 -x 2 -x 4 + 5x -x 5 + 6x + x 2 3 2 2 2 · c) 0x + x -x x : x 2 -x + x 2 x + 2x 1 x x -x 1 x 1 x x 2 3 2 2 2 5 20 2 5 5 2 50 0 14 4 4 · 2 2 3 2 d) 10 + 7x -x 4 -x 1 + x : 2 -x + x 2 + 2x 1 -x 10 -8x -x 2 1 + 2x + x 1 -x 2 3 2 2 2 2 · e) 2x 12 + 12x + x 3 _ 6 -3x + x 3 2x -x 2 4 + 4x + x 2 -x + x : 2 + 3x -x 3 -2x + x . 9 -x 6 -11x + x 6 -x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 f) 1 3 -x 3 + x 3 3 + x x 3 + x _ 3x x -3 3 + x 3 -x + 1 g) x + x 6 + 5x -x : 9x + x 6 + x 9 x _ x + x 6x -x + x 2 2 2 3 2 2 2 3 h) y -xy y -x y x + 1 2 2
2 i)
b -a b + a 1 b -a b + a + 1 j) ) 1 -(a 1 + 2a -a _ a 1 + a : 1 -a 1 + a 1 + a 1 -a 1 -a 1 + a 1 + a 1 -a 2 2 2 2 2 2 2 k) 4 2 1 2 1 : 2 1 1 2 2 x x x x l) y y y x x y y x 1
1 m) n) x x
2º Ecuaciones
1º Ecuaciones bicuadradas y de grado superior
Resuelve las siguientes ecuaciones 1) x2 2x 1 0
2) x2 12x 2 0
3)
6 1 2 3
2 1x 1x x
4) 0
4 1 4 5 2 4 x x
5) x5 3x4 5x3 15x2 4x 12 0
6) (x-1)3-x3=0
7) x5+x4-8x3+14x2-8x=0 8) x3-x2-17x-15=0 9) x4 29x2 100 0
10) 4 2
40 16
9x x
11) 34 2 2252
x x
12) (x2 4)2 0
13) 0
9 28 4 32 2 2 x x
14) 0
72 16 9 2 2 2 x x
15) 3
3 3
2 3
2
2 x x x
x x x
16) 2 3
4 2 4 x x x x 17) 3 2 2 2 2 4
4 2 2
2 4 x x x x
18) 2
5 3 2 4 2 2 2
2 x x x x x x x x
19) 3 3 2 2 2 2 4 4 2 2 2 4 x x x x
20) 2x 1 2x 1 2x 12 2 2x 2
21) x2 4 2 5 x2 4 4 0
22) 2 3 1
1 3 2 3 2 1 1 4 3 2 1 x x x x x
23) 3
1 3 2 2 6 2 2 2 x x x
24) 3 2
4 4 0
x x x
25) 4 3 2
3 3 11 6 0
x x x x
26)
4 3 2
4 3
1 10 24
x x x
x x
27)
3 2
2 6 12
2
x x x
x x
28) x x( 2 5x 13) 77 60
x
29) x6 – 9x3 + 8 = 0 30) 4 11 44 9 3 22 4 3 11 6 2 2
2 x x x x
x 31) 3 4 1 x x
32) x8 x4 240 0
33) 2 1
110
1
x
x
34) 0
5 1 3 4 3 19 1 3 20 x x x
35) x6 19x3 216
36) =(x-2)
2 3) -(x x + 2) -(x 3) -(x 2
37) =0
2 x + x 1) + (x x
38) =(x-2) - 4
2 2) + (x 2) -(x 3 2 + x x 2) -(x 2
2º Ecuaciones irracionales
Procedimiento:
Si la ecuación tiene sólo un término con raíz cuadrada: Ejemplo:
3 1 2 5
9 x x ;
Quitando denominadores 3 9 x 15 2x 1
1) Se deja la raíz sola a un lado del signo =. 3 9 x 2x 16
2) Se elevan los dos términos de la igualdad al cuadrado. 3 9 x 2 2x 16 2
9(9 + x) = 4x2 + 216 + 64x 3) Se termina resolviendo como una ecuación normal. 81 + 9x = 4x2 + 216 + 64x
4x2 + 55x –135 = 0; x =
8
2160 55
55 2
(terminar)
Si la ecuación tiene dos términos con raíz cuadrada: Ejemplo 2x 1 x 4 6
1) Se deja una raíz a cada lado del signo =. 2x 1 6 x 4
2) Se elevan los dos términos al cuadrado. 2x 1 2 6 x 4 2
2x 1 36 (x 4) 12 x 4 3) Se deja la raíz que queda sola un lado de la igualdad.
2x – 1 – 36 – (x + 4) = -12 x 4; x – 41 = -12 x 4
4) Se vuelve a elevar al cuadrado. x 412 12 x 4 2; x2 1681 82x 144(x 4)
5) Se termina resolviendo como una ecuación normal. 2 1681 82 144 576 0
x x
x ;
x2 + 226x + 1105 = 0 (resolver)
Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales
1. x 1 x 6 5
2. 3
3 6
3
x x
x
3. 4 1
1 1
1 1
1 1
1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x
x
x x
x x
x x
4.
4 3 5
5 1 5
5 1
x x
x x
5.
x x
x
2 1 2
1 1
6. 3 3 x 2x 1 1
7. 3x 6 2x 6 9x 4
8. x 4 3 x 1
9.
4 1 4
4
x x x
x
10. 4 16x2 8x3 x4 2
12. 1 x 1 2x 4 7x2
13. 5 2x 5 2
14. 2x 14 x 7 x 5
15. 2
1 3
1 3
x x
16. a2 1 2x 2a a2 1 2x 17.
18.
2 1 2 3 2
1 3 2
9 3 1
3 x x x x
19.
2 5 2
6 6
2
x x
x x
20.
4 3 5
5 1 5
5 1
x x
x x
x x
x
2 1 2
3º Ecuaciones racionales
Procedimiento:
1) Descomponer los polinomios de los denominadores como producto de factores primos (factorizar los denominadores).
1 1 1 2 1 2 x x x x x ; ) 1 )( 1 ( 1 1 2
1 x x x
x x
x
2) Calcular el MCM de los denominadores.
MCM de (x – 1); (x + 1); (x – 1)(x + 1) = (x – 1)(x + 1)
3) Multiplicar los dos lados de la ecuación por el MCM simplificando en cada término.
(x – 1)(x + 1)
1 2 1 x x x x
= (x – 1)(x + 1)
) 1 )( 1 ( 1 x x ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 ) 1 )( 1 )( 2 ( 1 ) 1 )( 1 ( x x x x x x x x x x x x
; simplificando x(x +1) – (x – 2)(x – 1) = 1
4) Operar y proceder como en una ecuación normal hasta obtener el valor o valores de x. operando; x2 + x – x2 + x +2x –2 = 1; 4x = 3; x =
4 3
Ejercicios: Resolver :
1. 1 2
2 1 3 2 1 x x
2. 7 2
4 3 4
4 12
2 x x
x 3. 2 1 3 4 1 7 1 1 2 x x x x x x 4. x x x x x 2 1 2 1 1 1 1 5. 9 9 12 5 8 15 x x 6. 24 6 10 4 2 1 6 3 1 2 2 x x x x x x 7. 1 9 7 4 3 7 3 4 x x x x 8. 3 1 1 3 1 x x x 9. 0 9 28 4 32 2 2 x x 1 x
12. = 0
1 -x 2 1 -x 2 + 1 + x x - 2 2
13. = 0
1 + x 2 1 -x 2 1 + 2x -x 3 + x 2
14. =0
2 + x 5 + x 2 + x 1 + x + 1 + x 2 + x 15. 6 -x -x x 5 + 3x = 2 + x x 3 -x x + 1 2 2 16. 1 -x 1 + x = 1 + x 3 + 1 -x x 2
17. - 2
1 + x 2 + x = 1 + 2x + x x 2 2 18. 4 -x 2 + 7x = 2 + x x + 2 -x 1 + x 2
19. 2
1 1 2 1 1 1 x x x x
20. 1 1
4º Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1) 2log x – log (x –16) = 2
2) log x = 1 + log (22 – x)
3) log (3x – 1) – log (2x + 3) = 1 – log 25 4) log 8 + (x2 – 5x + 7)log 3 = log 24 5) log (5x + 4) – log 2 =
2 1
log (x + 4) 6) (x2 – x – 3)log 4 = 3log
7) (x2 – 4x + 7) log 5 + log 16 = 4 8) lg(22-x)2+x+lg1250=4
9) 2
) 5 lg(
) 11 ( lg 2
lg 2
x x
10) 2lgx =3 + lg(x/10) 11) 3lgx -lg32 =lg(x/2) 12)
2 7 log
125 log log
5 5 5
x x
13) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2 14)
9 32 3
3 2 2
5lg x lg x lg x lg
15) lg 3x 1 lg 2x 3 1 lg5 16) log6 (2x - 3) = log6 12 - log6 3 17) log2 (9x-1 + 7) = 2 + log2 (3x-1 + 1) 18) logx log x
19)
x
log 5
1
+ 1
log 1
2
x
20) 5log(x 3) log32
21) log 3x 5 log x 1
22) log (x - 5)- 1/2 log (3x - 20) = log 2 23) xlog x 10
24) log (x3)- 12/log x = 5 25) xlogx 1=100
26) lg x x2 1 lg x x2 1 0; x 1
27)
2 3 log
logx 1 x 1
28) log12x log12(x 2) 1
29) log x 1 log(x 1) log x 4
30) 2+log2x=log2(x+6)
31) 2
) 2 ( log
log 2
3 3
x x
32) logx 100 – Logx 25 =2
33) 5 2
5 7
7 Log
x Log
34) Log 2 +Log x 4=Log 2 3x 1
35) 2
) 3 (
2
x Log
Log Logx
2.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1) 12.2x 1 2 x
2) 25 x 124.5 x 125
3) 3x 1 1 x
3 3
4) 252x-1= 3 5
1 x
5) 22x+2 = 0,52x-1 6) 23x-1=
3 2 8
1
x
7) 52x-2=
3 125
1
x
8) 162x-1= 3 2 2
1 x
9) x 2
3 x
100 10
10
10) x 1 5 x x 1 2x 5
a a
11) ax ax ax a 12) 2.3x-1+3x=5 13) 2.9x+1-6=4.3x+1
14) 4
3 1 3x x 1
15) 72x+3 –8.7x+1 +1=0
16) 4x+1 +2x+3 –320 =0 17) 52x- 6. 5x+1+125=0 18) 2x-1+2x-2+2x-3+2x-4=960 19) 4e -3x -5e -x+ex =0 20) 5x -97·5x/2 +64 =0 21) 32(x+1) -28·3x +3 =0 22) 52x 1 5x 2 2500
23) e2x 5(ex e) ex 1 0 24) 4x-3.2x+1+8=0
25) 81+x+23x-1=17/16 26) 71+2x-50.7x+7=0 27) 9x-2.3x+2+81=0
3º Inecuaciones
Procedimientos
Grado 1: Se trabaja como en una ecuación normal, salvo que si tenemos un número negativo
multiplicando a la variable y lo pasamos al otro lado de la desigualdad dividiendo (o viceversa), la desigualdad cambia de sentido. Se da como solución a la inecuación el intervalo de la recta real
(-, a) o (a(-, )(-, según corresponda.
Ejemplo:
6 3 5 2 10 4 1 5 3
2 x
x x x
; se calcula el MCM para quitar los denominadores MCM = 12; 4(2x) – 15(1 - x) < 120x + 24 + 2(5x – 3); 8x – 15 + 15x < 120x + 24 +10x – 6 ; 23x – 15 < 130x + 18; - 107x < 33; x >
107 33
; Solución: ,
107 33
Grado 2 o mayor que 2: Se buscan las raíces de la ecuación y se hace una tabla de signos para la ecuación. Se dan como solución los intervalos que correspondan al signo de la inecuación.
Ejemplo: x4 – 2x2 + x > 0, (se nos piden los valores de x tales que al sustituirlos en el polinomio nos den valores mayores de 0 , es decir, valores positivos).
Calculamos las raíces de esta ecuación, para ello sacamos x factor común y al polinomio resultante le hacemos Ruffini por ser un polinomio de grado 3. x(x3 – 2x +1) = x(x – 1)2(x + 2), de donde se deduce que las raíces que hemos obtenido son x = 0; x = 1; x = -2.
Tabla de signos del polinomio: + - + +
-2 0 1
Los signos de la tabla se han obtenido sustituyendo la x por –3, -1, 0,5 y 2 en el polinomio.
Solución: (- , -2) U (0, 1) U (1, )
Inecuaciones racionales: Se procede como en el apartado anterior haciendo una tabla de signos con los valores que anulan el numerador y el denominador.
Ejemplo: 0
2 x
3 -2x
, Haciendo una tabla de signos tenemos:
2x – 3 = 0 x = 3/2 + + Solución = (- , -2) 3/2. )
x + 2 = 0 x = -2 -2 3/2
Ejercicios:
1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
1)
21 6 5 10
7 14
1 5 20
11
3x x x x
2)
16 2 6 4 9 6
3 2
5 x x x x
3)
20 13 11 15 23 10
3 5
3
4 x x x x
4) x2 3x 4 0
8)
2 1 4
1 1
3 1 2
3 x x x 2 x
9) x2 x 1 2x1 x 0
10) x2 1 x2 1 0
11) x x2 x 3 x 1 0
2.- Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:
1. 1 2
2 1 3 2 1 x x 2. 0 6 2 3 2 2 x x x x 3. 0 1 9 2 2 x x x 4. 0 5 4 3 1 2 x x x x x 5. 2 3 2 1 4 4 2 2 x x x x x
6. 7 2
4 3 4
4 12
2 x x
x 7. 2 1 3 4 1 7 1 1 2 x x x x x x 8. x x x x x 2 1 2 1 1 1 1 9. 9 9 12 5 8 15 x x 10. 24 6 10 4 2 1 6 3 1 2 2 x x x x x x 11. 2 2 9 ) 6 2 ( x x x 0 12. 2 2 9 ) 6 3 ( x x x 0 13. 0 ) 3 )( 6 )( 1 ( ) 7 )( 1 ( x x x x x 14. 1 1 1 1 x x x x 15. 0 4 15 8 2 2 x x x 16. 2 1 5 1 2 x x 17. 2 1 5 1 2 x x 0 2 3 x x
18. x 6 x2 1 0
19. 2x 1 3x 5 0
20.
21. 22.
4º Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss
1. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. (1 libra = 0,615 Euros; 1 dólar = 0,896 Euros)
2. La suma de las edades de tres personas es 73 años, en el momento actual. Dentro de diez años, la edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la más joven. Hace doce años, la persona con edad intermedia tenía el doble de años que la más joven. Halla las edades de las tres personas.
3. Una tienda tiene tres tipos de conservas cárnicas A,B y C . Un cliente compra el primer mes 30 unidades de tipo A, 20 de B y 10 de C , teniendo que abonar 840 € Al mes siguiente compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 690€ Sabiendo que el precio medio de los tres productos es 15€ halla el precio de cada una de las unidades
0 2 3 x x 0 1 6 x2 x
0 5 3 1
4. Sea un triángulo de vértices A(1, a), B(5, b) y C(3, c). Se sabe que las ordenadas de sus tres vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otras dos, y que b y c son números naturales consecutivos, siendo c > b.
5. En un instituto, donde se imparten primero y segundo ciclo de enseñanza obligatoria y bachillerato hay en total 20 grupos de alumnos . Si se suman los grupos de bachillerato y de segundo ciclo de enseñanza obligatoria se tiene el triple del número de grupos del primer ciclo. Si hubiera un grupo más del segundo ciclo , su número igualaría al de bachillerato. ¿Cuántos grupos hay de cada uno?
6. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro . Se sabe que en total hay 36 euros. El número de monedas de A excede en dos a la suma de las monedas de las otras cajas . Si traslada una moneda de la caja B a al caja A , esta tendrá el doble de monedas que B averigua cuantas monedas hay en cada caja
7. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. Resolver el problema. Sol, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión
8. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. Resolver el sistema. Sol 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera. 9. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto día se envasaron
60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas: Sol se habrán envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes.
10.- Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. Sol: 200 alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda y 50 en la tercera
11.-Una persona disponía de 60.000 € y los repartió en tres fondos de inversión diferentes (A, B y C), obteniendo así 4.500€ de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirtió el doble que en los fondos B y C juntos; sabemos también que el rendimiento de la inversión realizada en los fondos A, B y C fue del 5%, 10% y 20% respectivamente. Plantear y resolver un sistema para determinar las cantidades invertidas en cada uno de los fondos.
vendieron a su precio original. Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para determinar cuántos discos de cada grupo se vendieron.
14.- Una empresa ha vendido 42000 artículos de papelería, bolígrafos, gomas y rotuladores, al precio de 1.2, 1.5 y 2 € respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a 64000 €. Se sabe, además, que el número de bolígrafos que se ha vendido es el 40% del número total del resto de artículos vendidos.
a) Plantear un sistema para determinar el número de cada tipo de artículos vendidos. b) Resolverlo
15.- Una librería ha vendido 3900 libros de matemáticas, correspondientes a tres editoriales diferentes, A, B, y C. Sabemos que de la editorial B se han vendido el doble de ejemplares que de la
editorial A. Sabemos, también, que la razón entre el número de ejemplares vendidos de las editoriales B y C es igual a 2/3 Plantear un sistema para determinar el número de libros vendidos de cada editorial. Resolverlo
16.-Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3 . El importe total de la edición es de 18750 €. Los costes, en euros, por unidad, son 7, 5 y 6, respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L3 es igual a los dos séptimos de los del tipo L2 y que, si al triple del número de ejemplares de L1 se le suma el número de ejemplares de L3 , se obtiene el doble de ejemplares de L2.
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos libros de cada tipo se han editado.
b) Resuelve dicho sistema
23.- Un autobús urbano transporta en hora punta 90 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 1 €; estudiantes que tienen un 25% de descuento al presentar el carnet; jubilados de la localidad que únicamente pagan el 50% del precio del billete. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 64 €. Calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de jubilados era el mismo que el número del resto de viajeros.
24.- Una empresa tenía, en el año 2001, cierto número de empleados, unos hombres y otros mujeres. En el año 2002 aumentaron en 5 los trabajadores de la empresa y en 6 el número de trabajadoras, quedando así doble número de mujeres que de hombres. En el año 2003 aumentaron en 2 las trabajadoras y se redujo en 4 el número de trabajadores, resultando quedar el triple de mujeres que de hombres. Plantea un sistema para determinar el número de hombres y mujeres que trabajan en dicha empresa en el año 2003. Resuélvelo si es posible.
25.-Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 50.49 €. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 41.47 €. Calcula el precio de una unidad A, otra de B y otra de C.
26.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita
averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado
seno + coseno + tangente + seno +
coseno – tangente –
seno – coseno – tangente +
seno– coseno + tangente– -
GEOMETRÍA
1º Trigonometría
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
hipotenusa
opuesto cateto
sen
hipotenusa
cos catetocontiguo
contiguo cateto
opuesto cateto
tg
Razones inversas
contiguo
cateto
hipotenusa
cos
1
sec
opuesto
hipotenusa 1
cos
cateto sen
ec
opuesto
cateto
contiguo
cateto
tan
1
cot
g
Signo de las razones trigonométricas
Si tomamos la circunferencia de radio 1 y trazamos un triángulo rectángulo
Es decir el seno es la coordenada y el coseno es la coordenada x del punto que determinan sobre la circunferencia.
Con lo cual podemos deducir los signos de las razones trigonométricas en los 4 cuadrantes
Razones trigonométricas de ángulos notables
0º 30º 45º 60º 90º
SENO 0
2 1
2 2
2
3 1
COSENO 1
2 3
2
1 0
TANGENTE 0
3
3 1 3 No existe
Relaciones entre las razones trigonométricas
2 2
C
at
et
o
O
p
u
es
to
Cateto contiguo Hipotenusa
P=(X,Y)
1
X Y
x x
1 cos
y y
sen(180º+ )= -sen cos(180º+ )= -cos tg(180º+ )=tg
Relación entra las razones de ciertos ángulos
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad Ángulo doble
Sen 2a= 2 sena cosa Cos 2a= cos2a – sen2a
a tg
2 tg -1
a tg 2 2a
Ángulo mitad
2 a cos -1 ) 2 a (
Sen
2 a cos 1 ) 2 a ( Cos
a cos 1
a cos -1 ) 2 a ( tg
Transformaciones de sumas en productos y viceversa Productos en sumas
sena cosb =
2 1[ sen(a+b) + sen(a-b) ]
cosa senb = [ sen(a+b) – sen(a+b) ]
cosa cosb = [ cos(a+b) + cos(a-b) ]
sena senb = [ cos(a+b) - cos(a-b) ]
Sumas en productos
senA + cosB =2 sen
2B A
cos
2B A
senA - cosB =2 cos
2B A
sen
2B A
cosA + cosB =2 cos
cos
senA + senB =-2 sen
sen
Teorema del seno Teorema del coseno
a b c 2 2 2
2 1
2 1
2 1
2
B A
2
B A
2
B A
2
B A
sen(180º- )=sen cos(180º- )= -cos tg(180º- )= -tg
sen(360º- )= -sen = sen(- ) cos(360º- )= cos = cos(- ) tg(360º- )= -tg = tg(- )
Suma
Sen (a+b)=sena cosb + cosa senb Cos (a+b)=cosa cosb – sena senb
tgb tga -1
tgb tga b) (a g
t
Diferencia Sen (a-b)=sena cosb - cosa senb Cos (a-b)=cosa cosb + sena senb
tgb tga 1
tgb tga b) (a g
t
sen
cos(180º- ) cos sen(180º- )
cos(180º+ )
cos sen(180º+ )
sen
cos(360º- )
sen(360º- ) sen cos
EJERCICIOS
1. Sabiendo que sen a = 1 /2 y 180º < a < 270º . Calcular el resto de las razones trigonométricas 2. Sabiendo que tan a = 2 y 180º < a < 270 º . Calcular el resto de las razones trigonométricas 3. Sabiendo que sec a = 3 y 270 º < a < 360º. Calcular el resto de las razones trigonométricas 4. Sabiendo que cosec a= - 2 y 90º < a < 180º . Calcular el resto de las razones trigonométricas 5. Calcular las razones trigonométricas de 75º . ( 75º = 30º + 45º )
6. Calcular las razones trigonométricas de 15º . ( 15º = 45º - 30º ) 7. Calcular las razones trigonométricas de 105º
8. Si tan a =3/4 . Hallar tan ( a + 30º ) y tan (45º- a ) 9. Si tg α = – 4/3 y 90° < α < 180°, calcula: a) sen (
2 – α) b) cos (180° – 2 ) c) tg (900° + α) 10. Expresar el sen 3a en función de sen a
11. Si cos a= 1/5. Calcular las razones trigonométricas de ( /2 –2a ) 12. Sabiendo que tan a= 2 calcular el valor de sen 4a
13. Si cotan a = 4/3 y a es un ángulo del tercer cuadrante. Hallar cos 2a , sen (a + 30º ) y tan (a/2) 14. Si a es un ángulo del segundo cuadrante y tan a = - 3/ 4 Calcular las razones trigonométricas del
ángulo ( a/ 2)
15. Sabemos que cos x = 4
3 – y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula:
a) sen x b) cos (π + x) c) cos 2x d) tg 2
x
e) sen (
2 – x) f ) cos (π –2
x
) 16. Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sin utilizar la calculadora sen 41°, cos 41° y tg 41° 17. Si tg (α + β) = 4 y tg α = –2 , halla tg 2β..
18. Demostrar la siguiente igualdad
:
sen ( a+b) . sen ( a-b ) = sen2a – sen2 b 19. Probar que cos( )·cos( ) sen( )·sen( ) cos( )20. Probar que cos( )·cos( ) sen( )·sen( ) cos( )
21. Demostrar la siguiente igualdad: cos ( a+b) . cos ( a-b) = cos2a –sen2 b 22. Calcular cos 3a en función del cosa
23. Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α.
24. Probar que ) cos( )
2 ( )
2 (
cos2 sen2
25. Probar que 1 ( )
)) ( 1 )·( 2 (
) ( 2
x tg x
tg x
tg
x tg
26. Demostrar: - tanb
) b -a ( sen b) a ( sen
b) -(a cos -b) (a cos
27. Demostrar la siguiente igualdad : tan ( 45º + a ) – tan ( 45º - a ) = 2 tan 2a
28. Demostrar la siguiente igualdad: sen ( a+ b) . cos ( a-b) = 1/ 2 ( sen 2a + sen 2b ) 29. Demostrar la siguiente igualdad: a tana
2a cos cosa 1
2a sen sen
30. .Demostrar la siguiente igualdad: tan a + tan b + tan c = tan a . tan b . tan c , sabiendo que a , b , c son los tres ángulos de un triángulo
31. Demostrar la siguiente igualdad: cosb a
cos 2
c cos -) b -a ( cos
Sabiendo que a , b, c son los tres
ángulos de un triángulo.
33. Probar que
) ( ) (
) ( ) ( ) (
) (
tg tg
tg tg
sen sen
34. Probar que
) ( )· ( 1
) ( )· ( 1 ) cos(
) cos(
y tg x tg
y tg x tg y
x y x
35. Probar que ·cos(2 ) (2 ) 1 )
( ) cos(
) ( ) cos(
x sen x x
sen x
x sen x
36. Si a, b, y c son los tres ángulos de un triángulo demostrar : tan ( a+b ) – tan c = 0 37. Demostrar:
a cos sen -a cos 2a tan
a sen
2 2a
38. Demostrar
1 -b contan .
a tan
1 b contan .
a tan )
b -a ( sen
b) a ( sen
39. Demostrar cos2a
a tan -2a tan
a
tan
40. sen2(
2 )– sen 2
(
2 )= sen α · sen β 41. cos2(
2 )– cos 2
(
2 )= sen α · sen β
42. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas: 1. sen 2x = cos x
2. sen2x+2senx=0 3. senx+cos2x=0 4. 2sen2 x – 1 = 0 5. 2sen2 x + 3cos x = 3 6. cos 2x + 5 cos x + 3 = 0 7. cos 2x + sen x = 1 8. cos 2x + cosx = 0 9. 4cos 2x + 3 cos x = 1 10.sen2x+cos2x=
4 1
11.cos2x-3senx+1=0 12.tan x . sec x = 2 13.3 cosx = 2 secx – 5
14.4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0 15.4cos 2x+3cos x =1
16.tg 2x + 2cos x = 0 17.sen 2x = 1
18.cos 2x = sen x 19. 3senx + cos x= 1
20.Senx+ cosx=-1 21.tg2 x – tg x = 0
22. 2 cos (x/2) – cos x = 1 23.2cos(
2
x
)-senx=0
24.cosx-cos( 2
x
)=0
25.4 cos2( 2
x
)-2= 3
26.4 sen ( x/2 ) + 2 cos x = 3 27.2sen x cos2 x – 6sen3 x = 0 28.2 sen 2x. cos x = 3 sen x
29.cos 2x – cos 6x = sen 5x + sen 3x 30.cos 4x + cos 2x = cos x
31. sen 4x – sen 2x = sen x 32.sen 6x – sen2x = sen 2x 33. 4 cos 2x + 3 cos x =1 34.2 cos2x + cos 2x . cos x = 0 35.sen 3x – cos 3x = sen x – cos x
43. Resolver los siguientes triángulos: 1. a= 2,5m
b= 3,5m c= 5 m 2. a= 12m b= 8m A=150º
3. a=7,5m B= 30º C=105º 4. c=3,78m
A=105º B=38º45
5. a=70m b=55m C= 75º 47´ 6. A=60º
B=75º c=
44. En el triángulo ABC los lados miden 24m, 28m y 36 m. Calcular su área.
45. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados miden 13m, 14m y 15m. 46. Uno de los lados de un triángulo mide el doble que el otro y el ángulo comprendido mide 60º.
Hallar los otros dos ángulos
47. Hallar el área del triángulo ABC sabiendo que a=1m, B= 30º y C= 45º
48. Dos individuos A y B observan un globo situado en un plano vertical que pasa entre ellos.
La distancia entre los dos individuos es de 5 kms. .Los ángulos de elevación son respectivamente 35º y 60º. Hallar la altura del globo y la distancia a cada observador.
49. Un túnel AB ha de atravesar una montaña. Para calcular su longitud se toman desde el punto C las siguientes medidas. AC = 1950m BC= 1700m y ACB= 123º. Hallar dicha longitud
50. Sea AB una altura de pie accesible, situada en un terreno horizontal. Desde el punto E, situado a 23,41m de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo se dirige la visual a B que forma un ángulo de 4º 12´ con la horizontal. Calcular la altura AB
51. Desde un punto a ras del suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º. Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 64º. Calcular la altura del edificio.
52. Un pasillo de 10 m de largo y que forma 25º con la horizontal conduce al pie de una gran torre. Calcular la altura de ésta, sabiendo que desde el inicio del pasillo el ángulo de elevación de su punto mas alto es de 82º.
53. Un faro esta sobre un acantilado. Desde un barco tomamos un punto C y la parte superior se ve con un ángulo de elevación de 55º. Situándose en un punto D 40 m más cerca , se constata que dicho ángulo de elevación se transforma en 80º, y que el de la base del faro vale 60º . ¿Cuál es la altura del faro y del acantilado?
54. Una pendiente de 50m de largo y una inclinación de 13º conduce al pie de una colosal estatua. Calcular la altura de esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente , el ángulo de elevación del punto más alto es de 81º.
55. Un hombre observa que el ángulo de elevación de un globo es de 20º 30´, se acerca 400 m y
entonces la elevación es de 56º 15´. ¿Cuánto debe andar el hombre para colocarse debajo del globo? 56. Para calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B se ha medido una base CD de 240 m
situada en el mismo plano que Ay B, también se han medido los ángulos. DAC= 106º, DCB= 39º CDB= 122º y CDA= 41º. Calcular la distancia entre A y B.
57. Desde dos punto B y C de una carretera, separados 270m, se observa un árbol A . Sabiendo que el ángulo BCA = 55º y CBA= 65º, calcula la distancia del árbol al punto más cercano.
58. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140,5m y 100,6 m y el ángulo opuesto al primero es de 40º. Hallar la longitud de una cerca que lo rodee completamente.
59. Dos estaciones A y B están situadas en lados opuestos de una montaña, son vistas desde una tercera estación C. Se conocen las distancias AC= 11,5 km. BC= 9,4 km. y el ángulo ACB= 59º 30´. Hallar la distancia entre A y B
60. .El ángulo de elevación de una peña mide 47º. Después de caminar 1000 m hacia ella,
subiendo una pendiente inclinada 32º respecto de la horizontal, su ángulo de elevación es de 77º. Halla la altura de la peña con respecto al plano horizontal de la primera observación.
61. A un lado de un camino está el asta de una bandera, fija en la parte superior de un muro. Desde un punto al otro lado del camino observamos la parte superior de la bandera con un ángulo de
elevación del 50º, si nos acercamos 4 metros el ángulo pasa a ser de 75º y el de la parte inferior de la bandera 60º. Calcular la altura de la bandera y del muro
62. Una catedral se encuentra sobre una colina. Cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48º; cuando se ve a una distancia de40 metros desde la base de la colina, es de 41º. La colina se eleva a un ángulo de 32º. Calcula la altura de la catedral.
63. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40o y 65o. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora
64. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 46o y BCA = 53o. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
65. Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones
indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está el globo?
66. En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
67. Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación, con los datos de la figura
68. Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y más alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura.
69. Para medir la altura de una montaña AB nos hemos situado en los
puntos C y D distantes entre sí 250 m, y hemos tomado las siguientes medidas: ACB = 60o
BCD = 65o , BDC = 80o Calcula la altura de la montaña
70. Calcular la altura de un repetidor de TV ubicado en la cima de una montaña sabiendo que desde un punto alejado del pie de la montaña la base y el vértice del repetidor se ven bajo unos ángulos de 66º y 70º respectivamente. Si nos alejamos de esa posición en línea recta 12,5 m el vértice ahora lo vemos bajo un ángulo de 67º
71. Calcular la distancia entre dos puntos
2º Los números complejos
Número imaginario.- Se define 1 i Ejemplo: 2i 2 -1; 3i 3 -1; -4i -4 -1 Número complejo.- Un número complejo es un número real + un número imaginario = a + bi
a = parte real del número complejo
b = parte imaginaria del número complejo Ejemplo: 2 + 3i; -4 + 5i; 7 – 6i; 2 - 3i
Representación de un número complejo.- Eje Imaginario
Z1 Z1 = 3 + 3i Z2 = -3 + i
Z2 Z3= -2 - i Eje Real
Z3
Forma cartesiana.- (a, b) Forma binómica.- a + bi
Forma polar.- m ; m = módulo del complejo, = ángulo que forma el complejo con el eje OX m = a2 b2
= Arctang a b
Para calcular el ángulo es necesario representar el número complejo para saber en que cuadrante está.
Forma trigonométrica.- m(cos + isen ) Z = (a, b) = a + bi = m = m(cos + isen )
Operaciones.-
Suma y resta: Se hacen en forma cartesiana o binómica Ejemplo.- (2, -3) + (-5, 7) = (-3, 4)
(2 – 3i) + (-5 + 7i) = -3 + 4i
Producto, división, potencias y raíces: Se hacen en forma polar Producto: m . m´ = (m . m´)
División:
m´ m m´
m
Potencias: (m )n = (mn)n
Raíces: nm = n soluciones =
n k
2 n
Ejemplos.-
1.- Sean Z1 = 1 + 3i , Z2 = 2 3 - 2i , Z3 = 3 + 3i . Calcular 3
1 4 3 2.( )
Z Z Z
Z1 m1 = 1 3 = 2 ; 1 = Arctang 60
1 3
; Z1 = 260
Z2 m2 = 4.3 4 = 4 ; 2 = Arctang 330 3
2 2
; Z2 = 4330
Z3 m3 = 9 9 18 3 2 ; 3 = Arctang 45 3 3
; Z3 = 3 245
3
60 4 45 330
2
) 2 3 .( 4
= 3
60 180 330
2 324 . 4
= 3 60
510
2 1296
= 3
450
648 = 364890 =
Si k = 0 3 30 3
3 0 90 3
3 6 3 6
648 (Cos 30 + i Sen 30 ) = i
2 1 2
3 3 63
Si k = 1 3 150 3
3 360 90
3648 6 3 6 3
(Cos 150 + i Sen 150 ) = i 2 1 2
3 3 63
Si k = 2 3 270 3
3 720 90
3648 6 3 6 3
(Cos 270 + i Sen 270 ) = 6330 i = 633i
2.- Resuelve la ecuación x3 – 8 = 0
x3 = 8 x = 38 = 3 0
8 =
Si k = 0 8 2 2(Cos0 Sen 0 ) 2
0 3
0 0
3
Si k = 1 i
2 1 2
3 2 ) 120 Sen 120
Cos ( 2 2
8 120
3 360 0
3
Si k = 2 i
2 3 2 1 2 ) 240 Sen 240
Cos ( 2 2
8
240 3
720 0
3
EJERCICIOS
1.Expresa los siguientes números complejos en forma polar y represéntalos. a) 3 i
b) 3 i
c) 3 i
d) 3 i
e) 3 f) 2i g) 1-i h) –2-2i i) –2i
j) 3-3 3i
k) -2-2 3i
l) -2
2. Escribe los siguientes números complejos en forma binómica 1º 330º
2º 4 /3 3º 190º
4º 2120º 5º 2150º 6º 3300º 7º 1450º
8º 3330º 9º 5 /2 10º 2 45º
11º 3 /6 12º 2 /4
3. Opera los siguientes ejercicios dando el resultado en forma polar y binómica: 1º 1120º . 360º
2º (445º ): (215º) 3º 110º . 270º .340º 4º (215º):(445º )
5º (2 /6)6
6º ( 2 2 2 2i)10 7º (1+i)5
8º(2-2 3i)6 9º(42 /3):(260º)
4. Resuelve las siguientes ecuaciones en el cuerpo de los números complejos: 1º x3-8=0
2º x3+8=0 3º x5+32=0
4º x5-32=0 5º x4+1=0 6º x4-81 5. Calcula y representa las siguientes raíces:
a) 3
i
b) 3
i
c) 3
8
d) 4 1 i e) 5 32
i
f) 41 i g) 3
1 1
i i
h) 4 8 8 3i
i) 3
3 1
2 2
i i
j) 4
3
1 i
k) 4 2 3 2i
6. Sean los complejos z i
2 6 2
2
y w 1 3i. Se pide (a) Forma polar de z y w (c) Las raíces cuartas de
w z
en forma polar y binómica
(b) Calcular w
z
(d) Representar gráficamente las raíces cuartas.
7.- Calcula: (a) 45 7 7
2i i i
3º Ecuaciones de la recta en el plano. Problemas métricos
Vector: AB B A; Punto medio de un segmento
2
AB A B
Pendiente: Inclinación de la recta, se calcula m = v2/v1 = tan .
La recta: Para calcular la ecuación de una recta necesitamos conocer un punto A(a1, a2) y un vector dirección V (v1, v2), o dos puntos por los que pase la recta, o un punto por donde pasa y la pendiente.
Ecuaciones de la recta:
*Ecuación vectorial: (x, y) = (a1, a2) + (v1, v2) R
*Ecuaciones paramétricas:
2 2
1 1
v a y
v a x
R
*Ecuación continua:
2 2 1
1
v a y v
a x
*Ecuación general: Ax + By + C = 0, en este caso m = -A/B *Ecuación explícita: y = mx + n
*Ecuación punto pendiente: y – a2 = m(x – a1) Distancias:
Entre dos puntos: d(A, B) = AB = 2 2 2 2
1
1 a ) (b a )
(b u
De un punto a un plano: d(A, ) =
2 2
2 1
B A
C Ba Aa
u
Ángulo entre dos rectas: = Arctang
s r
s r
m m
m m
. 1 Posición relativa de dos rectas:
Son coincidentes si
´ ´
´ C
C B
B A A
Son paralelas si
´ ´
´ C
C B
B A
A
Se cortan en un punto si
´
´ B
B A
A
, en este caso se resuelve el sistema para calcular las coordenadas del punto de corte.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad:
*Si nos dicen que r es paralela a s, esto significa que Vr Vs, o lo que es lo mismo que mr = ms *Si nos dicen que r es perpendicular a s, esto significa que Vr Vs, o lo que es lo mismo que
mr = -1/ms Triángulos
Mediatriz.- Recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio
Mediana.- Recta que pasa por el punto medio de un lado y por su vértice opuesto Altura.- Recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto
1º Geometría del plano
1.- Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos A=(3,2) y B=(1,-1).
2.- ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P=(2,1) y Q=(1,-2). ¿Para qué valores del parámetro se obtienen los puntos P y Q y el punto medio de P y Q?.
3.- a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(2,2) y B=(0,4)?. b) Escribe las ecuaciones explícita e implícita de la recta que pasa por los puntos P=(1,4) y Q=(2,3).
4.- Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). 5.- Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿Cuál es la ecuación paramétrica de cada uno?.
6.- Escribe la ecuación explícita de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe también la de la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrante.
7.- Escribe en formas explícita y continua la ecuación de la recta: 2x+3y=6.
8.- Calcula la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P en los casos: a) r: {x=2-3t; y=1+t}; P=(3,1); b) r: (x-1)/2=y/3, P=(0,5); c) r: y=2x-1, P=(1,2); d) r: 2x-3y+2=0, P=(0,0). 9.- Halla la ecuación de s que es perpendicular a r: x+y-1=0 y pasa por el punto A=(2,1). Busca las coordenadas de un punto S perteneciente a la recta s que equidiste de A y de r.
10.- ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,1) y B(3,4)?.
11.- ¿Cuál es el vector de dirección y la pendiente de las siguientes rectas?: a) y=3x-2. b) (x-1)/2=(y+2)/4.
12.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por B(3,1) y es paralela a la que pasa por los puntos A(2,0) y C(2,-1)
13.- Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta x+y-1=0 que pasa por el punto A(2,1). 14.- Halla la ecuación de la perpendicular a la recta x+y-1=0 por su punto de abscisa 3.
15.- Halla la ecuación de la recta perpendicular al vector w(2,1) y que corta a y=x-2 en el punto de ordenada 3.
16.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+3y+1=0 y x-y-2=0, y es perpendicular a la recta (x/5)+(y/3)=1.
17.- Dadas las rectas r: {x=1+λ; y=2λ} y s: (x+1)/3=(y-1)/1. a) Determinar el punto de intersección de ambas y las ecuaciones de las rectas que pasando por dicho punto sean: b) paralela a y=x-3;c) perpendicular a x+y+5=0.
18.- Si te dicen que el punto (3,k) pertenece a la recta y = x+6. ¿Cuánto vale k?.
19.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1) que es paralela a la que pasa por los puntos (2,0) y (1,3).
20.- Dadas las rectas siguientes, decide cuales son paralelas y cuáles no: a) {x=2+t; y=-1+2t}, {x=3+t; y=2t}, {x=t; y=t}; b) x+y+1=0; 2x-y+2=0; c) 3x-y+1=0; 3x-y=0.
21.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes rectas pasan por el punto (1,3)?. a) x-2y+2=0; b) 2x+y-5=0; c) y=2x-3.
22.- ¿Pertenece el punto (0,5) a la recta determinada por el vector (1,3) y el punto (2,3)?.
2º Segmentos. Pto Medio. Ptos de corte. Punto simétrico.
1.- Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta: (x+2)/2=(y-2)/2.
6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de la recta x-2y+2=0 con el eje X y es paralela a la recta que pasa por el punto (2,-1) y por el punto medio del segmento de extremos (0,4) y (2,-2).
7.- Hallar las coordenadas del punto simétrico de P(-1,-1) respecto de la recta x+3y-6=0.
8.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,2) y B(3,4) y el ángulo que forma con el eje X.
10.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralela y perpendicular a la 2x-y+1=0, por el punto P(3,2). Ambas rectas cortan a los ejes OX y OY respectivamente en los puntos A y B. Calcúlese la
mediatriz de AB.
11.- Ecuación de la mediatriz del segmento que determina la recta 2x+y=4 al cortar a los ejes de coordenadas.
12.- Dado el segmento de extremos A(3,10) y B(5,2). Halla un punto P de este segmento de manera que la distancia PA sea tres veces PB.
3º Mediatrices y distancias
1.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A=(3,4) y B=(1,2).
2.- Calcula la distancia del punto P=(1,-1) a cada una de las rectas siguientes: a) x+3y+2=0; b) y=2x-1;
c) (x+1)/2=(y-2)/3; d) {x=1+t; y=2-4t}, e) 4x+3y=2; f) x/2+y/3=1.
3.- Calcula la distancia entre las rectas paralelas: r: 3x+4y-15=0 y s: 3x+4y=40.
4.- Calcula la distancia entre las recta paralelas: a) r: x+y-2=0; s: x+y+1=0; b) r: y=x-3; s: x-y+2=0. 5.- Calcula las longitudes de las tres alturas del triángulo determinado por los puntos A=(1,1), B=(1,3) y C=(3,2).
6.- Un punto P que es equidistante de A=(3,1) y de B=(3,5), dista el triple del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son sus coordenadas
7.- Dados los puntos A(1,-4) y B(-2,3) y la recta r: x-2y-1=0, hallar un punto P que equidiste de A y B y sea incidente con r.
8.- Hallar la distancia entre las rectas r: 12x-5y+2=0 y s: 12x-5y+5=0.
9.- Hallar un punto de la recta r: x+y-2=0 que equidiste de los puntos A(1,3) y B(1,1). 10.- Calcular la distancia del punto P(2,1) a cada una de las rectas siguientes: a) x-y+5=0; b) x/2=(y-2)/1; c) {x=1+2t; y=-2t}; d) x/2+y/3=1.
11.- Un punto P que es equidistante de A(2,1) y B(2,3) dista el doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son sus coordenadas?.
12.- Dada la ecuación x-y+2=0. Hallar la ecuación de una paralela a dicha recta a una distancia de 2 unidades
13.- Hallar la distancia entre las rectas paralelas: a) x+y-3=0; 2x+2y+1=0. b) (x-1)/4=(y+1)/3; {x=4t; y=1+3t}.
14.- Hallar las coordenadas de un punto de la recta x-y-1=0 que diste 1 unidad de la recta 3x-4y+2=0.
15.- Hallar las coordenadas de un punto P equidistante de 3 puntos dados: A(4,4), B(5,3) y C(-1,3). 16.- Hallar las ecuaciones de las rectas que son incidentes con el punto A(2,3) y distan 2 unidades del origen de coordenadas.
