1- CAPITULO III PROGRAMACION LINEAL

(1)

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 3.1. Concepto

 3.2. Programa Lineal

 3.3. Formulación del programa lineal

 3.4. Ejemplos de formulación de P.L

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 La programación lineal es un técnica

matemática de planteamiento de problemas de negocios, que emplea el modelo

especifico denominado programa lineal.

 El uso de este modelo facilita la solución de

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 Modelo matemático que utiliza ecuaciones ,

inecuaciones , de primer grado para

expresar las relaciones entre dos o más variables, y que se encuentran ligadas

directamente al objetivo del problema que expresado se conoce como función objetivo de máximo o de mínimo.

 También el modelo precisa que la variables

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 Un programa lineal se plantea del texto del

problema, y del cual se extraen la función objetivo ya sea de MAXIMIZACIÒN o de

MINIMIZACIÒN, así mismo se establecen las RESTRICCIONES respecto a los recursos o condiciones que nos indiquen en el

problema.

 Por último se indicará que las variables

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 1.- Una empresa produce dos artículos

cuyos precios de venta son 14 y 27 soles respectivamente. La fabricación de ambos pasa por tres procesos con 4000, 3600 y 2900 horas semanales. Para fabricar un artículo A, se requieren 3, 2 y 1 hora en cada proceso. Para el artículo B , se

requieren 6, 4 y 2 horas en cada proceso.

 Se requiere un P.L para MAXIMIZAR el

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ENUNCIADO PROGRAMA LINEAL

RESOLVER

M. GRAFICO

M. ALGEBRAICO

SIMPLEX

EXCEL

SOFTWARE’s

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 Sean :

X = Unidades ha producir del artìculo A Y = Unidades ha producir del artìculo B Px = 14, Py = 27

Nos piden MAXIMIZACIÒN de INGRESOS La fabricaciòn pasa por tres procesos con

sus respectivos tiempos y

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PROCESO 1

PROCESO 2

PROCESO 3 PRECIOS

ARTICULOS A (X)

3 2 1 14

ARIICULOS B (Y) 6 4 2 27

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 De donde se origino el problema:

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I ) F.O :

MAX(I) = 14X + 27Y

II) S.a : 3X + 6Y <= 4000 ( Proceso 1) 2X + 4Y <= 3600 ( Proceso 2) X + 2Y < = 2900 ( Proceso 3)

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 1.-Un herrero con 80 kgs. de acero y 120

kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender,

respectivamente a 20.000 y 15.000

Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de

montaña 2 kgs. de ambos metales.

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◦ Solucion :

◦ Sean :

X = cantidad de bicicletas de paseo ha producir

◦ Y = Cantidad de bicicletas de montaña ha producir

◦ Px = 20000 , Py = 15000

◦ Para el proceso productivo utilizan acero ( 80Kgs) y aluminio (120Kgs)

◦ En una tabla podemos resumir el requerimiento unitario para cada tipo de bicicleta según el

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MATERIALE S

ACERO ALUMINIO PRECIOS

De paseo (X) 1Kg 3Kg 20000

De Montaña (Y)

2Kg 2Kg 15000

RECURSOS DE M.P

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I ) F.O :

MAX(I) = 20000X + 15000Y

II) S.a : X + 2Y <= 80 ( Por el Acero)

3X + 2Y <= 120 (Por el Aluminio)

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 EJERCICIO 2.-

. En un viaje desea

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 Sean :

X = Tns. que transpotarà el camiòn de mercancìa A

Y = Tns que trasnportarà el camiòn de l mercancìa B

Gx = ganancia por TN de A Gy = Ganancia por TN. De B

El camiòn tiene una capacidad màxima de 9 TN Debe transportar por lo menos 4 TN de A

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I ) F.O :

MAX(G) = 30000X +

20000Y

II) S.a : X + Y <= 9 ( Por la capacidad màxima) X >= 4

X – 2 Y =< 0

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 EJERCICIO 3 .-Los 500 alumnos de un

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 Sean:

X = Cant. de Autobuses de 40, pequeños Y = Cant. de Autobuses de 50, grandes MIN (CT), es el objetivo

Px= 5000 Py= 6000

MIN(CT) = 5000X + 6000Y

La capacidad de los de tipo X, 40 La capacidad de los de tipo Y, 50

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 Por lo tanto:

40X + 50Y = 500 (Todos los alumnos iran) Se dispone de 11 conductores:

X + Y <= 11

Se dispone de 10 buses de tipo X X <= 10

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I ) F.O :

MIN(CT) = 5000X + 6000Y

II) S.a : 40X + 50Y = 500 (Todos van)

X + Y <= 11 (Por los conductores) X =< 10 (Tipo pequeño)

Y =< 8 (Tipo grande)

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1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de

acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la

inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la

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 Sean:

X = Dinero invertido en acciones de tipo A Y = Dinero invertido en acciones de tipo B MAX(i); es el objetivo

renx = 0.10 reny = 0.08

MAX(i) = 0.10X + 0.08Y

Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa

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Invertimos un máximo de 130.000 euros en las del tipo A

X =< 130000

Invertimos como mínimo 60000 euros en las de tipo B

Y => 60000

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I ) F.O :

MAX(i) = 0.10X + 0.08Y

II) S.a : X + Y = 210000 (Dinero a invertir)

X =< 130000 (Din. a invert. en acc. Tipo A)

Y => 60000 (Din. a invert. en acc. Tipo B) X – 2Y < 0 (Inv. Tipo A < doble inv. Tipo B)

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2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de

beneficio. En la pastelería se pueden hacer

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 Sean:

X = Número de tartas Vienesa Y = Numero de tartas Real

MAX(I); es el objetivo Benx = 250 Ptas.

Beny = 400 Ptas.

MAX(I) = 250X + 400Y

En una tabla podemos resumir el requerimiento unitario para cada tipo de tarta:

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INGREDIENTE S

BISCOCHO RELLENO BENEFICIO

TARTA VIENESA (x)

1Kg 0.25 Kg 250

TARTA REAL (Y)

1Kg 0.50Kg 400

KG POR CADA INGREDIENTE

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Por problemas de maquinaria no pueden

hacer mas de 125 tartas de cada tipo

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I ) F.O :

MAX(I) = 250X + 400Y

_{II) S.a : X + Y =< 150 Kg (Por el biscocho)}

0.25X + 0.50Y =< 50 Kg (Por el relleno) X + Y <= 125 (Por prob. De maquinaria)

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3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10

autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno

pequeño, 60 euros. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la

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 4.-Una compañía posee dos minas: la mina

A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres

calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada

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 Sean:

X = Días trabajados en mina A Y = Días trabajados en mina B MIN(CT); es el objetivo

Cosx = 2000 euros Cosy = 2000 euros

MIN(CT) = 2000X + 2000Y

Resumimos en una tabla las toneladas de

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CALIDAD ALTA CALIDAD MEDIANA CALIDAD BAJA CALIDAD COSTO DIARIO

MINA A (X) 1 Tm 3 Tm 5 Tm 2000

MINA B (Y) 2 Tm 2 Tm 2 Tm 2000

CANT. MIN. REQUERIDA

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I ) F.O :

MIN(CT) = 2000X + 2000Y

II) S.a : X + 2Y => 80 Tm (Por Hiero alt. calidad) 3X + 2Y => 160 Kg (Por el Hierro med. cal.)

5X + 2Y => 200 (Por el hierro alta calidad)

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5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar

electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o

igual número de mecánicos que de

electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20

mecánicos. El beneficio de la empresa por

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 Sean:

X = Numero de electricistas Y = Numero de mecánicos MAX(I); es el objetivo

Benx = 250 euros Beny = 200 euros

MAX(I) = 250X + 200Y

Es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas

(39)

El número de mecánicos no supera al doble que el de electricistas

2X – Y => 0

Hay disponibles 30 electricistas X =< 30

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I ) F.O :

MAX(I) = 250X + 200Y

II) S.a : X – Y =< 0 (Mecánicos >= electricistas) 2X – Y > 0 (Mecánicos =< doble electric.) X =< 30 (Electricistas)

Y =< 20 (Mecánicos)

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6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.

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 Sean:

X = Numero de plazas T (Turista) Y = Numero de plazas P (Primera) MAX(I); es el objetivo

Ganx = 30 euros Gany = 40 euros

MAX(I) = 30X + 40Y

Hay 5000 plazas, a lo sumo, para los dos tipos: X + Y =< 5000

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Número de plazas tipo T:

X =< 4500

Número de plazas tipo P: Debe ser, como

máximo, la tercera parte de las del tipo T

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I ) F.O :

MAX(I) =30X + 40Y

II) S.a : X + Y =< 5000 (Nro plazas ofertadas) X =< 4500 (Nro de plazas del tipo T) X – 3Y =>0 (Nro de plazas del tipo P)