ON DEL EXAMEN DE LA ASIGNATURA L ´

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SOLUCI ´

ON DEL EXAMEN DE LA ASIGNATURA

L ´

OGICA

[Grado en Filosof´ıa, 2.

o

curso, turno de tarde; 17 de junio de 2014]

- L ´

OGICA PROPOSICIONAL:

EJERCICIO 1. Formaliza en el lenguaje de la l´ogica proposicional el siguiente texto que est´a dado en lenguaje natural:

“Juan no est´a seguro de que estas setas sean comestibles. S´olo si est´a seguro de que son co-mestibles, las va a cocinar Juan. Si no va a cocinarlas, entonces Juan no deber´ıa haberlas recogido. Por lo tanto, Juan no deber´ıa haber recogido estas setas.”

- En primer lugar indicamos qu´e letra latina min´uscula asignamos como etiqueta a cada proposici´on:

·s: Juan est´a seguro de que estas setas son comestibles.

·c: Juan cocina estas setas.

·r: Juan no debe recoger estas setas.

- Ahora anotamos la forma l´ogica del texto presentado (que es un razonamiento deductivo) empleando las anteriores letras proposicionales:

{¬s, c→s,¬c→r} `r.

EJERCICIO 2. Sea A una proposici´on contradictoria y D una proposici´on tautol´ogica, indica si la f´ormula (A∨(B∧C))∧D↔(B∧C) es contradictoria, contingente o tautol´ogica y justifica tu respuesta.

[NOTA: recuerda que “≡” es un signo metal´ogico que lo usamos para indicar equivalencia entre f´ormulas.]

- Dado queAes una proposici´on contradictoria, entonces para cualquier proposici´onEse tiene que (A∨E)≡

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EJERCICIO 3. Mediante el c´alculo de ´arboles sem´anticos de la l´ogica proposicional determina si se puede sostener o no lo que se indica en cada apartado (al terminar el mencionado ´arbol debes justificar la respuesta que hayas dado):

I) {p∨q→r,¬s∧ ¬¬q, r→ ¬(¬s∧q)} es un conjunto de f´ormulas satisfacible.

p∨q→r

1. f´orm. inic.

¬s∧ ¬¬q

2. f´orm. inic.

r→ ¬(¬s∧q)

3. f´orm. inic.

¬s

4. [α,2]

¬¬q

5. [α,2]

q

6. [σ,5]

¬r

7. [β,3]

¬(p∨q) 8. [β,1]

¬p

9. [α,8]

¬q

10. [α,8]

N

6,10

r

11. [β,1]

N

7,11

¬(¬s∧q) 12. [β,3]

¬¬s

13. [β,12]

s

14. [σ,13]

N 4,14

¬q

15. [β,12]

N

6,15

II) ((m→ ¬(¬n∨ ¬p))∧(¬n∨ ¬p))→ ¬m es una f´ormula tautol´ogica.

¬(((m→ ¬(¬n∨ ¬p))∧(¬n∨ ¬p))→ ¬m)

1. f´orm. inic.

(m→ ¬(¬n∨ ¬p))∧(¬n∨ ¬p)

2. [α,1]

¬¬m

3. [α,1]

m

4. [σ,3]

m→ ¬(¬n∨ ¬p)

5. [α,2]

¬n∨ ¬p

6. [α,2]

¬m

7. [β,5]

N

4,7

¬(¬n∨ ¬p) 8. [β,5]

¬¬n

9. [α,8]

¬¬p

10. [α,8]

n

11. [σ,9]

p

12. [σ,10]

¬n

13. [β,6]

N

11,13

¬p

14. [β,6]

N

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EJERCICIO 4. Usando ´unicamente reglas b´asicas del c´alculo deductivo natural de la l´ogica proposicional realiza la siguiente deducci´on:{p↔q∨r, q→s, r→t,¬t→ ¬s} `p→t∨u.

1 p↔q∨r Premisa

2 q→s Premisa

3 r→t Premisa

4 ¬t→ ¬s Premisa

5 p H.A.

6 p→q∨r E1 (1)

7 q∨r E→ (6,5)

8 q H.A.

9 s E→ (2,8)

10 ¬t H.A.

11 ¬s E→ (4,10)

12 s∧ ¬s I∧ (9,11)

13 ¬¬t I¬ (10-12)

14 t E¬ (13)

15 t∨u I1 (14)

16 r H.A.

17 t E→ (3,16)

18 t∨u I1

∨ (17)

19 t∨u E∨ (7,8-15,16-18)

20 p→t∨u I→ (5-19)

- L ´

OGICA DE PRIMER ORDEN:

EJERCICIO 5. Formalizar los enunciados que se indican a continuaci´on usando la constantes “a” (Ayala) y los siguientes predicados: “C(x)” (x es un cuento), “P(x, y)” (xes un personaje de la historia y), “R(x)” (xes un rat´on), “L(x)” (x es colorado).

I) Algunos ratones son personajes de cuentos.

∃x∃y(R(x)∧C(y)∧P(x, y))

∃x(R(x)∧ ∃y(C(y)∧P(x, y)))

II) Ayala es un rat´on colorado.

R(a)∧L(a)

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I) ∀x∀y(Q(x)∧R(x, y) → Q(y)).VERDADERA. Como las variables xe y est´an cuantificadas univer-salmente, la implicaci´on Q(x)∧R(x, y)→ Q(y) debe ser verdadera para cualesquiera valores de xy de y. Si el antecedente es falso, toda la implicaci´on es verdadera. Por tanto, analicemos los casos en que el antecedente es verdadero y veamos qu´e pasa con el consecuente. En primer lugar,Q(x) s´olo es verdadera cuandoxtoma el valor 1, dado queQse interpreta como{1}. Entonces, siendoxigual a 1,

R(x, y) s´olo es verdadera cuando y vale tambi´en 1, ya que el ´unico par en la interpretaci´on de Rcon el primer elemento igual a 1 es (1,1). De modo que el antecedenteQ(x)∧R(x, y) s´olo es verdadero cuando tantoxcomoy valen 1. En ese caso, el consecuenteQ(y) es igualmente verdadero, pues siendo

y igual a 1, est´a en la interpretaci´on de Q. De modo que en el ´unico caso en que el antecedente es verdadero tambi´en lo es el consecuente, por lo que la implicaci´onQ(x)∧R(x, y)→Q(y) es verdadera para cualesquiera valores dexy dey, por lo que∀x∀y(Q(x)∧R(x, y)→Q(y)) es verdadera.

II) ¬Q(f(a)).FALSA. En primer lugar, ase interpreta como 2, y la imagen de 2 en la funci´on f, f(2), es 1, dado que (2,1) pertenece a la interpretaci´on de f. Entonces Q(f(a)) es verdadero, dado que interpret´andosef(a) como 1, est´a dentro de la interpretaci´on deQque es{1}. Por tanto, su negaci´on

¬Q(f(a)) es falsa.

III) ∀x P(f(x)).VERDADERA. Basta observar que la interpretaci´on deP esD. Entonces, cualquiera que sea el valor dex,f(x) se interpretar´a como un elemento deD, por lo queP(f(x)) ser´a verdadera para cualquier valor dex, siendo por tanto verdadera∀x P(f(x)).

IV) ∃x∃y(x6=y∧R(x, y)).FALSA. Para que la f´ormula fuera verdadera tendr´ıan que existir dos elementos en el dominio, denotados porxey, que fueran distintos y que estuvieran relacionados por R, son las dos condiciones exigidas por x6=y∧R(x, y). Pero si vamos a la interpretaci´on de R, vemos que s´olo relaciona a cada elemento consigo mismo, por lo que no se cumplex6=y∧R(x, y) para ning´un valor dexey. Por tanto,∃x∃y(x6=y∧R(x, y)) es falsa.

EJERCICIO 7. Mediante el c´alculo de tableros sem´anticos prueba o refuta lo que se indica en cada uno de los apartados siguientes (al terminar el tablero debes explicar en lenguaje natural por qu´e dicho tablero nos ha permitido dar una prueba o una refutaci´on, seg´un corresponda):

I) La f´ormula ∃x(¬P x∧Qx)→ ∃y(Qy → ¬P y∧Ry) es universalmente v´alida.Para comprobarlo, hacemos el tablero de la negaci´on.

¬(∃x(¬P x∧Qx)→ ∃y(Qy→ ¬P y∧Ry)) 1.

∃x(¬P x∧Qx)

2. α,1

¬∃y(Qy→ ¬P y∧Ry)

3. α,1

¬P a∧Qa

4. δ,2

¬P a

5. α,4

Qa

6. α,4

¬(Qa→ ¬P a∧Ra)

7. γ,3

Qa

8. α,7

¬(¬P a∧Ra)

9. α,7

¬¬P a

10. β,9

N

5,10

¬Ra

11. β,9

(5)

II) ∀x∀y(P x∧Qy→Rxy), ∃x(P x∧Qx)|=∃xRxx.

Lo comprobamos haciendo el tablero de las premisas con la negaci´on de la conclusi´on.

∀x∀y(P x∧Qy→Rxy)

1. Premisa

∃x(P x∧Qx)

2. Premisa

¬∃xRxx

3. Negac. concl.

P a∧Qa

4. δ,2

¬Raa

5. γ,3

∀y(P a∧Qy→Ray)

6. γ,1

P a∧Qa→Raa

7. γ,6

¬(P a∧Qa)

8. β,7

N

4,8

Raa

9. β,7

N

5,9

Dado que el tablero es cerrado, se verifica la relaci´on de consecuencia l´ogica propuesta.

EJERCICIO 8. Demostrar usando reglas b´asicas y derivadas del c´alculo deductivo natural:

∀x(P x→ ¬Qx), ∀x(Rx→Qx), ∃xRx` ¬∀xP x.

1 ∀x(P x→ ¬Qx) Premisa

2 ∀x(Rx→Qx) Premisa

3 ∃xRx Premisa

4 Ra H.A.

5 Ra→Qa E∀2

6 Qa E→4,5

7 P a→ ¬Qa E∀1

8 ¬¬Qa D.N. 6

9 ¬P a M.T. 7,8

10 ∃x¬P x I∃9

11 ∃x¬P x E∃3, 4–10

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