PROBLEMAS DE EXAMEN RESUELTOS

(1)

1

PROBLEMAS DE EXAMEN RESUELTOS

CURSOS 2006-2007, 2007-2008 y 2008-2009

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA

E.T.S. Agrónomos UCLM (Albacete)

Equipo docente: Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera

2008 / 2009 2007 / 2008

2006 / 2007 Problemas de exámenes ECTS del curso

CINEM

CINEMÁÁTICATICA Problema 07.01… pag. 02 Problema 08.01… pag. 04 Problema 09.01… pag. 06 Problema 08.02… pag. 10

DIN

DINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA Problema 07.02… pag. 08 Problema 09.02… pag. 17 Problema 08.03… pag. 14

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO Problema 07.03… pag. 22 Problema 08.04… pag. 25 Problema 09.03… pag. 28

EST

ESTÁÁTICATICA Problema 07.04… pag. 31 Problema 08.05… pag. 32 Problema 09.04… pag. 35 Problema 07.05… pag. 38

Problema 08.06… pag. 49

S

SÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDO Problema 07.06… pag. 41 Problema 09.05… pag. 57 Problema 08.07… pag. 51

Problema 08.08… pag. 69 Problema 09.06… pag. 74

FLUIDOS

FLUIDOS Problema 07.09… pag. 63

Problema 08.09… pag. 71 Problema 09.07… pag. 77 Problema 07.10… pag. 65

Problema 07.11… pag. 80 Problema 08.10… pag. 84

TERMODIN

(2)

2 CINEM

CINEMÁÁTICATICA P07.01. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007

Un avión vuela horizontalmente a una altura h sobre el suelo, con velocidad constante v₀. En cierto instante deja caer un paquete, y en ese mismo momento un tirador situado exactamente debajo del avión realiza un disparo con el ángulo y velocidad apropiados para impactar en el avión en el mismo momento en que el paquete toque el suelo. Se supone que el rozamiento es despreciable. Usando los datos numéricos que aparecen abajo, se pide:

a) b) c)

Determinar a qué distancia de la posición del tirador caerá el paquete.

La altura del paquete sobre el suelo un segundo antes de estrellarse contra él.

Calcular con qué ángulo debe disparar el tirador, y cuál ha de ser la velocidad inicial de la bala para que haga blanco en el avión.

(3)

3 CINEM

CINEMÁÁTICATICA P07.01.EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIÓN)

X Y v_B θ h Avión Bala Paquete d

Posición del avión como función del tiempo x=v0t

h y =

Posición del paquete como función del tiempo

t v

x= ₀ 2

2 1

t g h y= −

Ecuación de la trayectoria del paquete (eliminando el tiempo)

2 2 0

2v x g h y= −

g h v d x_y 2 0 ) 0 ( 2 = = = Abscisa del punto de choque

del paquete con el suelo (y= 0)

2 2 2_cos 2 tan x v g x y B θ θ − = 2 2 1 sin t gt v

y_B = _B θ −

t v

x_B = _Bcosθ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 1 1 sin _s s

B h gt

t v θ s B t d v cosθ = Trayectoria de la bala

s s s B B t d t g h t v v / 2 1 1 cos sin tan 2_⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = θ θ θ θ cos s B t d v = º 3 . 26 = θ

(

1

)

0 −

=v t_s x

(

)

2

1 2

1

− −

=h g t_s y

Tiempo que emplea el paquete en caer al suelo:

0

v d t_s =

Posición del paquete 1 s antes de tocar el suelo (t =t_s-1):

m 3 . 2020 = m 1 . 94 = 4950 . 0 = m/s 2 . 223 = (son desconocidos θ, v₀)

Movimiento vertical de la bala Movimiento horizontal de la bala

(4)

4 CINEM

CINEMÁÁTICATICA P08.01. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008

Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por

una distancia de 40 m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia

arriba con velocidades de 120 y 180 m/s. Calcular la distancia entre los dos

objetos cuando el más rápido se encuentra a la máxima altura que puede

alcanzar. Si todos los datos se conocen con una precisión del 1%, calcular el

error absoluto en el resultado obtenido.

Para facilitar los cálculos, tome

g

= 10 m/s

2

_{. Se supone ausencia de}

rozamiento.

Objeto A: v0A

(

_A

)

B v

v₀ > ₀

Tiempo invertido por B en alcanzar la altura máxima: cuando llega a la altura máxima su velocidad es nula Objeto B:

g v

t B

B = 0

0

0B -gtB =

v

Tomamos la posición inicial del objeto A como origen de coordenadas.

Posición de ambos objetos en cualquier instante

( ) (

A

)

A t y

rr = 0,

( ) (

B B

)

B t x y

rr = ,

( )

2

0

2 1

t g t

v t

y_A = _A −

( )

2

0

2 1

t g t

v t

y_B = _B −

A B X

Y

( )

t rr_BA

( )

t

(5)

5

A B X

Y

( )

t rr_BA

( )

t

rr_A rrB

( )

t B x

( )

_B

( )

_A

( ) (

_B _B _A

)

BA t r t r t x y y

rr = r − r = , −

( )

(

)

(

)

2 2

0 0

2 2

2 _y _y _x _v _v _t

x t

rr_BA = + _B + _B − _A = + _B + _B − _A

Distancia AB en cualquier instante

Cuando t = t_B

( )

2

0 ₂ 1 B B A B

A t v t gt

y = −

( )

(

)

2 2

0 0 2 B A B B B

BA t x v v t

rr = + + −

( )

2

0 2 1 B B B B

B t v t gt

y = −

Cálculo de errores Variable auxiliar u = x_B2 +

(

v₀_B −v₀_A

)

2t_B2

B B A A B B B B t t u v v u v v u x x u u ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ ₀ 0 0 0 B B B B x x x x

u _∆ ₌ _∆

∂ ∂

2 B

(

B A

)

B B

B v t v v v v u 0 2 0 0 0 0

2 − ∆

= ∆ ∂

∂

(

B A

)

B A A A v t v v v v u 0 2 0 0 0 0

2 − ∆

= ∆ ∂ ∂

₍

₎

B B A B B B t t v v t t

u _∆ ₌ ₋ _∆

∂ ∂

2 ₀ ₀ 2

( )

t u

rr_BA _B =

( )

u

u u t

r_BA _B ∆

∂ ∂ =

∆ r u

u ∆ = 2 1 g v t B

B = 0 g

g v v g t B B

B = ∆ + ∆

∆ 0₂

0 1

( ) (

_B = 1080±80

)

m

BA t

rr

Porcentaje error: 1 ∆

v0A (m/s) = 120 1,2

v0B (m/s) = 180 1,8

xB (m) = 40 0,4

g (m/s2) = ₁₀ _0,1

tB (s) = 18 0,36

∆

rAB (m) = 1081 76

7,0%

CINEM

(6)

6

P09.01. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 _CINEM_CINEM_Á_Á_TICA_TICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(m) X (m)

Y

j rr₀ = r

La velocidad de una partícula que se mueve en el plano XY está dada en función del tiempo por la relación

donde v está en m/s y t en s. La posición para t = 0 es

a) Determine la ecuación de la trayectoria de la partícula y dibuje su gráfica en el intervalo de tiempo entre

t= 0 y t = 1 s.

j t i

vr =2r+24 2 r

b) Calcule el vector de posición y la aceleración para t = 1 s.

c) Calcule los módulos de las componentes de la aceleración cuando

t = 0.75.

(

t

)

j i

t

rr =2 r+ 1+8 3 r

( )

t i y

( )

t j x

rr = r+ r

( )

_t ₂_t_y

( )

_t ₁ ₈_t3

x = = +

( )

_t ₁

( )

₂_t 3

y = +

3

1 x

y = +

Ecuación trayectoria

a) Cálculo de vector de posición y trayectoria

(

i t j

)

dt C C

dt v

rr =

∫

r + r =

∫

2r+24 2 r + r

C j t i t

rr =2 r+8 3 r+ r

t (s) X (m) Y (m) 0,00 0,00 1,00 0,10 0,20 1,01 0,20 0,40 1,06 0,30 0,60 1,22 0,40 0,80 1,51 0,50 1,00 2,00 0,60 1,20 2,73 0,70 1,40 3,74 0,80 1,60 5,10 0,90 1,80 6,83 1,00 2,00 9,00

0

=

t

1

=

t

25 . 0

=

t

50 . 0

=

t

75 . 0

=

t

j r t =0 → r₀ = r

Condición inicial:

(

t

)

j i

t

rr = 2 r+ 1+8 3 r

(7)

7 P09.01. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 (CONTINUACIÓN) _CINEM_CINEM_Á_Á_TICA_TICA

b) Calcule vector de posición y aceleración para t = 1 s.

(

i t j

)

dt

d r r

24

2 + 2

=

dt v d

ar = r av = 48t rj

3

1 x

y = +

Ecuación trayectoria Aceleración

(

t

)

j i

t

rr =2 r+ 1+8 3 r

( )

1 2i 9 j (m)

rr = r+ r

Posición

( )

1 48 j (m/s2)

av = r

Para t = 1 s Para t = 1 s

c) Calcule los módulos de las componentes de la aceleración cuando t = 0.75.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(m) X (m)

Y _t ₌₁

( )

i j

rr 1 =2r+9 r

dt dv a_t =

j t i

vr=2r+24 2 r

( )

₂ 2 2 ₂₄

2 t

v= + = 4+576t4 =2 1+144t4

Tangencial ₄

3

144 1

76 5

t t

+ =

Para t = 0.75 s at =35.61m/s2

j t

av = 48 r a = 48⋅0.75=36m/s2

Normal an = a2 −at2

2 2

2 ₃₅_.₆₁ ₅_.₂₈_m/s

36 − =

=

n a

75 . 0

=

(8)

8 Un bloque de masa m₁ está sujeto a una cuerda de longitud L₁ fija por un extremo. Este bloque está situado sobre una superficie plana horizontal muy bien pulida, en la que el rozamiento puede considerarse despreciable, y se mueve describiendo una trayectoria circular en torno al punto de sujeción. Un segundo bloque m₂ se une al primero mediante una cuerda de longitud

L₂, y se mueve también en trayectoria circular concéntrica con la primera (véase esquema). Dibujar el diagrama fuerzas para cada masa y determinar la tensión en cada una de las cuerdas si el tiempo que los bloques tardan en describir una órbita completa (periodo) es T.

DIN

DINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA P07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007

L₁

L₂

(9)

9 DIN

DINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA P07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONT)

g m₁r

1

L

g m₂r

2 Nr 2 Fr 1 1 2

1 F maN Fr − r = r

2 N ar 2 1 2 2 2 2 2 2 L L v m a m F _N + = = 1 Fr 1 N ar 1 Nr 2 Fr 2 2 2 m aN Fr = r

1 2 1 1 1 2 1 L v m a m F

F − = _N =

2 1 L

L +

1

L

( 1 2) ( 1 2) 2 2 L L T L L

v =ω + = π +

1 1 1 2 L T L v =ω = π

a m Fr = r

∑

a m Fr = r

∑

[

]

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 4 4 L L T L L m L T L m

F π π

( )

[

1 1 2 1 2

]

2 2 1 4 L L m L m T

F = π + +

( 1 2) 2 2 2 2 4 L L m T

F = π +

2 1 2 2 2 2 2 2 L L v m a m F _N + = = 1 2 1 1 1 2 1 L v m a m F

F − = _N =

(10)

10 DIN

DINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA P08.02. EXAMEN A1. CURSO 2007/2008

Tenemos un cajón de peso W situado sobre suelo horizontal. Pretendemos mover el cajón tirando de una cuerda enganchada en su parte anterior, que forma un ángulo θ con la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre cajón y suelo son µ_E y

µ_D respectivamente.

a) Determinar la fuerza mínima que debe aplicarse al tirar de la cuerda de manera que el cajón empiece a moverse. Dibuje el diagrama de sólido libre para el cajón a punto de moverse.

b) Si se tira de la cuerda con una fuerza 10% mayor que la calculada en el apartado anterior, determinar la aceleración del cajón, así como el trabajo realizado por esta fuerza y el trabajo disipado por la fuerza de rozamiento cuando se haya desplazado una distancia L. Dibuje el diagrama de sólido libre.

c) Repita los apartados a) y b) suponiendo que el cajón no se encuentra situado sobre suelo horizontal, sino que queremos moverlo hacia arriba en un plano inclinado β sobre la horizontal. El ángulo θ es en este caso el ángulo que la cuerda forma con la superficie del plano inclinado..

β θ Exprese los resultados numéricos en unidades S.I. Tome g = 9.8 m/s2_.

θ

(11)

11 DIN

Haremos todos los cálculos necesarios siguiendo el enunciado del apartado c), cuando el cajón está situado sobre un plano inclinado β, y luego particularizaremos para el caso β = 0º, lo que nos dará el resultado para el caso de suelo horizontal.

β

θ _X

Y F

W

θ

cos F

θ

sin F

β

cos

W

β

sin

W Cuando el cajón está a punto de moverse, la fuerza de

rozamiento estática alcanza su máximo valor F_RE_máx

N

RE

F

N F_RE ≤ µ_E

La fuerza de rozamiento estática es

N F_RE_máx = µ_E

Aplicamos la 2ª ley de Newton cuando está a punto de moverse

θ

β sin

cos F

W

N = −

En el eje Y

Véase que la normal N depende de la fuerza aplicada F. Dicha fuerza F es la que debemos determinar en el momento en que el cajón está a punto de moverse.

Cajón a punto de moverse

Por la relación existente entre la fuerza de rozamiento estática máxima y la normal tenemos que

(

β θ

)

µ cos sin

máx W F

F_RE = _E −

máx sin

cos W F_RE

F θ = β + F cosθ =W sinβ +µ_EW cosβ −µ_EF sinθ

máx RE F

En el eje X

Fuerza mínima a aplicar para que empiece a moverse

(

cosθ µ_Esinθ

)

W

(

sinβ µ_E cosβ

)

F + = +

θ µ

θ

β µ

β

sin cos

cos sin

E E W

F

(12)

12 DIN

β

θ _X

Y F'

W

θ

cos ' F

θ

sin ' F

β

cos

W

β

sin

W

' N

RD

F

Llamamos F’ a la fuerza que tira del cajón cuando se mueve a lo largo del plano inclinado. En este caso, las fuerzas que actúan sobre él son las mismas que hemos indicado antes, con la diferencia de que la fuerza de rozamiento ahora es el rozamiento dinámico F_RD en lugar del estático, y que la normal tendrá un nuevo valor N’.

' N F_RD =µ_D

Si se tira del cajón con una fuerza 10% mayor que la calculada en el apartado anterior, F’ es:

θ µ

θ

β µ

β

sin cos

cos sin

1 . 1 '

E E W

F

+ + ⋅

=

La fuerza neta en sentido ascendente (eje X) es:

β

θ sin

cos

' F W

F

F_X = − _RD −

(

β θ

)

µ_D Wcos −F'sin

=

(

β θ

)

β

µ

θ cos 'sin sin

cos

' W F W

F

F_X = − _D − −

(

cosθ µ sinθ

)

(

sinβ µ cosβ

)

' _D _D

X F W

F = + − +

Cajón en movimiento

W F g g W

F

a X X

X = =

/

La aceleración a_X que dicha fuerza produce a lo largo del plano inclinado (eje X) es:

(

θ µ θ

) (

β µ β

)

θ µ

θ

β µ

β

cos sin

sin cos

cos sin

1 .

1 _D _D

E E

X g g

a + − +

(13)

13

P08.02. EXAMEN A1. CURSO 2007/2008 (CONT) DINDINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA Cuando el cajón se ha movido una distancia

L a lo largo del plano inclinado, el trabajo disipado por la fuerza de rozamiento es:

(

W F

)

L

L N L

F_RD _D _D

dis = = µ ' =µ cosβ − 'sinθ

Τ cot sin cos cot 1 . 1 E D

dis W L _θ _µ

β β θ µ + − ⋅ = Τ L W E E D dis cot cos sin cos 1 . 1 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⋅ = Τ µ θ β µ β β µ

El trabajo hecho por la fuerza F’

a lo largo de ese recorrido es: µ θ

β µ β θ tan 1 cos sin 1 . 1 cos ' ' E E

F F L W L ₊

+ ⋅

= =

Τ

Fuerza mínima a aplicar para que empiece a moverse Resultados cuando el cajón se mueve

en un plano horizontal: entonces β = 0

θ µ θ µ θ µ θ µ sin cos sin cos 0 cos 0 sin E E E E _W W F + = + + = θ µ θ µ sin cos 1 . 1 ' E E W F + ⋅ = Trabajo disipado

(

)

W

F

F_X = ' cosθ +µ_Dsinθ −µ_D

W F g g W F

a X X

X = =

/ dis DW L _θ _µ_E

θ µ + ⋅ = Τ cot cot 1 . 1

Aceleración en un plano horizontal

Trabajo realizado por F’

(

cos sin

) (

sin0 cos0

)

sin cos 0 cos 0 sin 1 .

1 _D _D

E E

X g g

a θ µ θ µ

θ µ θ µ ₊ ₋ ₊ + + = θ µ µ tan 1 1 . 1 ' E E

F = ⋅W L ₊

Τ

(

D

)

D

E E

X g g

a θ µ θ µ

θ µ

θ

µ ₊ ₋

+

= cos sin

sin cos

(14)

14 Un carrito de masa 12 kg se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo circular de radio 2 m.

A) Calcule la altura h mínima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el rizo entero sin desplomarse, y determine qué velocidad llevará en el punto más bajo B y en el más alto A(3 puntos).

B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mínima necesaria para no desplomarse, calcule la reacción normal del rail en el punto Ppara el ángulo θ = 30º indicado en la figura (2 puntos).

Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2_{. Se supone ausencia de rozamiento.}

P08.03. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 DINDINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA

B A

R

B A

R

P θ

h

g (m/s2) = ₁₀ vAmin (m/s) = 4,47

m (kg) = ₁₂ _v_B_min_{(m/s) =} _10,00

R (m) = ₂ hmin (m) = 5,00

θ (º) = ₃₀ NPmin (N) = 48,23

(15)

15 DIN

DINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA P08.03. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 (CONT)

B A

R h

Tomamos como referencia de energías potenciales el plano donde se encuentra el punto B.

2

2 1

B

mv

mgh =

( )

R

mg mv

mv_B _A 2

2 1 2

1 ₂ ₂

+ =

Conservación de la energía

Entre la posición inicial y B

Entre A y B

B A

R mg

A N

CA F

2 2 1

B v gh=

gR v

v_B _A 2

2 1 2

1 ₂ ₌ ₂ ₊

En este momento no son conocidos ni h, ni v_A ni v_B

DSL del carrito en el punto A

A A

CA _R mg N

mv

F = = +

2

Esta ecuación indica que a menor velocidad, menor debe ser la reacción normal del rail. Y puesto que el valor mínimo posible de la reacción normal es cero, hacer N_A= 0 nos da la condición de velocidad mínima necesaria.

mg R

mv

F A

CA = =

2 min

min vA = gR

2

min vAmin = gR

gR v

v_B2_min = _A2_min +4 vBmin = 5gR

2 min min

2 1

B v g

h =

2 5 min

R

(16)

16 DIN

DINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA P08.03. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 (CONT)

B A

R P

θ θ mgcosθ

θ

sin

mg

mg P

N

θ cos R

(

1−cosθ

)

R

P P

CP mg N

R mv

F = = cos

θ

+

2

(

1 cosθ

)

2 1 2

1 ₂ ₂

− +

= mv mgR

mv_P _A

Estudio en el punto P

Fuerza centrípeta en P

Conservación energía entre A y P

(

1 cosθ

)

2

2 2

− +

= mg

R mv R

mv_P _A

Multiplicando ambos

miembros por 2/R = FCP

(

)

P

A _mg _mg _N

R mv

+ =

−

+2 1 cosθ cosθ

2

(

1 cosθ

)

cosθ

2

mg mg

R mv

N A

P = + − −

(

2 3cosθ

)

2

− +

= mg

R mv

N A

P

(

2 3cosθ

)

2 min

min = +mg −

R mv

N A

P

Según el enunciado, debe calcularse N_P para v_A = v_A_min

(

2 3cosθ

)

3

(

1 cosθ

)

min = mg +mg − = mg −

N_P gR

v_A_min =

(17)

17

Una partícula de masa m = 50 g resbala partiendo del reposo a lo largo de un tramo de pista circular AB sin rozamiento cuyo radio es R₁= 40 cm. El ángulo que indica su posición inicial es θ₀= 45º (véase figura). Cuando llega al punto B se encuentra sobre un tramo horizontal cuya longitud es L = 50 cm y donde el coeficiente de rozamiento dinámico es µ= 0.08 (tramo BCde la figura). Finalmente entra en otro tramo de pista circularCD sin rozamiento y de radio R₂= 30 cm Calcule a partir de argumentos de trabajo y energía, y explicando siempre los pasos intermedios que sea oportuno realizar, los valores de las siguientes magnitudes:

1 R

2 R A

B C

D

m

0

θ

1

R _R₂

a) Cuál es el valor del ángulo β cuando la partícula se detiene en el tramo CD (punto Ede la figura).

β

b) Determine si la partícula llega o no al punto B después de alcanzar el punto E. En caso afirmativo, calcule la velocidad que lleva en ese momento.

E c) En caso de que la respuesta del apartado anterior sea

que la partícula efectivamente alcanza el punto B en su viaje de regreso, calcule en qué posición a la derecha de B se detendrá finalmente.

P09.02. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 DINDINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA

Apartado a) Tramo AB

1 R A

B

m

0

θ

( 0)

11−sinθ

R

No hay rozamiento, por lo tanto cuando la partícula resbala en este tramo hacia abajo la energía potencial inicial (medida respecto al nivel del tramo horizontal BC) se convierte en energía cinética.

(

₀

)

1 1−sinθ

= m g R

U K =−∆

∆ KB −Kinicial = −

(

UB −Uinicial

)

0 ₀

inicial

B U

(18)

18

1 R

2 R A

B C

D

m

0

θ

1

R _R₂ β

E

Tramo BC Existe una fuerza de rozamiento dada por F_R = µ N = µ m g

R F

g m

N

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía

K W_exteriores = ∆

∑

desplazamiento

Apartado a)

P09.02. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 (CONT) DINDINÁÁMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGÍÍAA

Ni el peso ni la normal contribuyen al trabajo de las fuerzas exteriores W_exteriores, porque ambos son perpendiculares al desplazamiento. Sólo contribuye el trabajo de la fuerza de rozamiento, que es negativo por su sentido opuesto al desplazamiento.

R exteriores W

W = = −F_R ⋅L = −µ m g L =∆K = KC −KB

(

₀

)

11−sinθ =m g R

K_B

L g m K

K_C = _B −µ

(

)

m g L

R g m

K_C = ₁ 1−sinθ₀ −µ

Tramo CD La partícula llega hasta el punto E, lo cual supone que se eleva una altura R₂

(

1−sinβ

)

La energía cinética en C se va convirtiendo en energía potencial a medida que sube.

U K =−∆

∆ K_E − K_C = −

(

U_E −U_C

)

UE = KC

0 0 ₌ _m _g _R₁

(

₁₋_sin_θ₀

)

₋_µ _m _g _L

(

1 sinβ

)

2 −

= m g R

U_E

2 sin

1

R g m

U_E

=

− β

(

)

2 0 1 1 sin 1

sin

R

L

R θ µ

(19)

19

DIN

Apartado a)

(

)

2 0 1 1 sin 1

sin

R

L

R θ µ

β = − − − β = 48º

Valores numéricos

Unidades SI

m (g) = 50,0 0,05

R1(cm) = 40,0 0,40 R2 (cm) = 30,0 0,30 L (cm) = 50,0 0,50

θ0 (º) = 45,0 0,7854

µ= 0,08 0,08

g = 9,80

KB = 0,0574

WR = 0,0196

KC = 0,0378

sin β = 0,7428

β (º) = 48,0 0,8373

La energía cinética en B es igual a la energía potencial inicial (K_B = 0.0574 J). Véase que el trabajo de rozamiento a lo largo del tramo

BC consume W_R = 0.0196 J: esta es la pérdida de energía que sufrirá la partícula cada vez que atraviese este tramo. Por lo tanto, la energía cinética en C la primera vez que la partícula llega allí es

K_C = 0.0574-0.0196 = 0.0378 J.

Lo que ocurre una vez que la partícula llega a C: su energía cinética se va convirtiendo en energía potencial, hasta que su energía cinética se reduce a cero en el punto E. A partir de ahí la partícula retrocede hasta llegar de nuevo a C, reconvirtiendo en energía cinética la energía potencial, y desde C en adelante, hace el camino

(20)

20

DIN

Apartado b) Para saber si la partícula vuelve a alcanzar el punto B, hay que calcular la energía cinética que tendrá la segunda vez que pase por el mismo, aplicando de nuevo el teorema del trabajo y la energía e iguales consideraciones que en el apartado anterior.

R exteriores W

W = = −F_R ⋅L = −µ m g L ' ' '

C

B K

K

K = −

∆ =

(Si al hacer dicho cálculo el valor resultase negativo, esto indicaría que no se alcanza el punto B)

(

)

m g L

R g

m ₁ 1−sinθ₀ −µ =

C

C K

K' =

donde

(

)

m g L

R g

m ₁ 1−sinθ₀ −2µ

=

L g m K

K_B' = _C' −µ

Conclusión: La partícula alcanza de nuevo el punto B en su viaje de vuelta J

0182 . 0 ' ₌ ₊ B K

Sustituyendo numéricamente resulta

Velocidad que lleva la segunda vez que pasa por B:

1 R

2 R A

B C

D

m

0

θ

1

R _R₂ β

E R

F

g m

N

desplazamiento

(

₀

)

11−sinθ =m g R

K_B

(

)

m g L

R g m

K_B' = ₁1−sinθ₀ −2µ m

K

v B

B

'

' ₌ 2 ₌ ₀_.₈₅_m/s 2

' '

2 1

B

B mv

(21)

21

DIN

Apartado c) Una vez la partícula sobrepasa B, en su movimiento ascendente por la pista de radio

R₁ sin rozamiento no se disipa energía, por lo que cuando regrese una tercera vez al punto B , ahora dirigiéndose hacia el punto C, su energía cinética seguirá siendo

J 0182 . 0 '

'' ₌ ₌ ₊

B

B K

K

Véase que este valor numérico es menor que el de la energía disipada por rozamiento en un trayecto completo BC (W_R = 0.0196 J), lo que nos indica que la partícula se detendrá antes de llegar a C.

Para calcular en qué punto se detiene, aplicamos de nuevo el teorema del trabajo y la energía, siendo

xla posición a la derecha del punto B en que la partícula queda en reposo.

' ''

B final

final

R m g x K K K K

W = −µ = 0 − = 0 −

1 R

2 R A

B C

D

m

0

θ

1

R _R₂ β

E

g m

R

F N

desplazamiento

(

₀

)

11−sinθ =mg R

K_B

(

)

mg L

R g m

K_B' = ₁1−sinθ₀ −2µ

x

Se detiene aquí '

g m K

x B

µ

(22)

22

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO P07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007

0

L

A

M

M (a) (b) (c) Se dispone de un muelle de longitud natural L₀ = 20 cm -figura (a)-. Cuando una masa M = 400 g se cuelga del muelle, su longitud se incrementa en L = 50 cm –figura (b)-. Finalmente, la masa colgante se hace oscilar después de haber estirado el muelle una longitud A = 20 cm –figura (c)-. Conteste las siguientes preguntas:

¿Cuál es la constante del muelle? Calcular el periodo de la oscilación.

Calcular la posición de la masa 6.98 s después de comenzar las oscilaciones.

Calcular el periodo de oscilación si se hubiese colgado la misma masa M de dos muelles idénticos a éste colocados paralelamente entre si.

a) b) c)

d)

0.5 p 0.5 p

1.0 p

(23)

23

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO P07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONT)

Ley de Hooke: _F ₌ _k _L

L Mg k =

Mg F

a)

= 0.40 6.125 N/m

8 . 9 25 .

0 ⋅ ₌

=

2a _{ley de Newton:}

k M

T =2π 1.27 s

125 . 6

25 . 0

2 =

= π c) y = Acos

(

ωt +δ

)

A=0.10m

M k

=

ω 4.95rad/s

25 . 0

125 .

6 ₌

=

(

t

)

y 0.1cos 4.95 b)

= Elegimos t= 0 cuando y = A

(

4.95 6.98

)

0.01 m cos

1 .

0 ⋅ = −

=

y y= −A

lo cual implica δ = 0

d) 2a _{ley de Newton:} _F + _F +_Mg = _Ma

2 1

(Los muelles son idénticos)

Ley de Hooke: _F _k _y

1 = − F2 = −k y

Mg y

k dt

y d

M ₂ = −2 +

2

g y M

k dt

y

d ₌ ₋ 2 ₊

(24)

24

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO P07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONT)

M

1

F F₂

Ecuación de la oscilación con dos muelles:

y d_dt2y + 2_Mk y = g

2

a m

Escribamos la ecuación como

La solución de esta ecuación es

g y dt

y

d ₊ ₂ ₌

2 2

ω

donde 2

M k

=

ω

(

ω +δ

)

+

= g A t

k M

y cos

2

El periodo es

2 2 2

'

k M

T π

ω

π ₌

= 0.90 s

125 . 6 2

25 . 0

2 =

⋅

= π

La pareja de muelles idénticos en paralelo se comporta como un único muelle de constante 2 k.

(25)

25

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO P08.04. EXAMEN A2. CURSO 2007/2008

En el laboratorio de física se dispone de los siguientes equipos: 1º) Un péndulo simple consistente en una lenteja, que puede tratarse como masa puntual, sujeta del techo por un hilo inextensible de longitud L. 2º) Un bloque de masa M que puede desplazarse oscilando horizontalmente sobre un carril sin rozamiento, que está unido a un resorte ideal de constante k.

El péndulo se separa un ángulo θ₀ de la vertical, y el bloque sujeto por el muelle se separa una distancia x₀ de su posición de equilibrio. Ambos se liberan en el mismo instante iniciando las respectivas oscilaciones.

a) ¿Cuál debe ser la masa de la lenteja del péndulo para que la energía total de los dos osciladores sea la misma?.

b) Suponiendo que la masa del péndulo es la que verifica la solución correcta del apartado anterior, calcular (en m/s) la velocidad de la lenteja y del bloque cuando ambos pasan por su posición de equilibrio.

c) ¿Cuál es la tensión del hilo del péndulo cuando pasa por la posición de equilibrio?

Valores numéricos

g (m·s-2) = 9,8

L (m) = 2,25

θ0 (º) = 5

M (kg) = 0,125

k (N/m) = 20

(26)

26

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO P08.04. EXAMEN A2. CURSO 2007/2008 (CONT)

2 0 2 0

θ

L g

x k

m =

Ecuación del movimiento del bloque Ecuación del movimiento del péndulo

t x

t

x( ) = ₀ cos

ω

M k

=

2

ω

θ

(t) =

θ

₀ cos

ω

t

L g

=

2

ω

t x

t

x_&( ) = −

ω

₀sin

ω

θ

&(t) = −

ω

θ

0 sin

ω

t

t L

t L t

v( ) =

θ

&( ) = −

ω

θ

₀sin

ω

Vel. angular Velocidad

Velocidad

La velocidad es máxima al pasar por la posición de

equilibrio, cual sucede por primera vez cuando t =T /4 ⇒

ω

t =

π

/2 ⇒ sin

ω

t =1

0

x

x_&_máx =

ω

vmáx =

ω

L

θ

0

Velocidad máxima Velocidad máxima

Energía total: tomando el nivel cero de energía potencial en el punto de equilibrio, la energía total coincide con la energía cinética correspondiente a la velocidad máxima.

2 0 2 2

2 1 2

1

x M

E_total = _&_máx =

ω

2

0 2 2 2

2 1 2

1

_ω

_θ

L m

v m

E_total = _máx =

2 0

2 1 E_total = k x

⇒

M k

=

2

ω

L g

=

2

ω 2

0

2 1

E_total = m g L

θ

(27)

27

MOVIMIENTO ARM

(b) Cálculo de las velocidades al pasar por la posición de equilibrio (hecho en el análisis anterior)

t x

t

x_&( )= −

ω

₀ sin

ω

v(t) = L

θ

&(t) = −

ω

L

θ

₀sin

ω

t

Bloque Péndulo

Velocidad Velocidad

0

x

x_&_máx =

ω

vmáx =

ω

L

θ

0

Velocidad máxima Velocidad máxima

M k

=

2

ω

L g

=

2

ω

M k x

x_&_máx = ₀ vmáx =

θ

0 g L

(b) Bloque

2 0 2 0

θ L g

x k m =

(a)

(b) Péndulo

(

2

)

0

1+

θ

= m g T

(c)

M k x x_&_máx = ₀

0 g L

v_máx =

θ

0,298

0,632

0,410

2,94 (kg)

(m/s)

(N)

DSL

L

(c) Tensión del hilo del péndulo cuando pasa por la posición de equilibrio

máx

vr Tr

g

mr

C

Fr

L v

m _máx 2

=

C

F mg

T − =

L L

m

ω

2 2

θ

₀2

=

(

2

)

0

1+

θ

(28)

28

MOVIMIENTO ARM

MOVIMIENTO ARMÓÓNICONICO P09.03. EXAMEN A2. CURSO 2008/2009

Dos péndulos simples de la misma longitud

L

que cuelgan de un eje horizontal se

separan de la vertical los ángulos

θ

₁₀

y

θ

₂₀

en sentidos contrarios según se muestra en

la figura, y después se liberan al mismo tiempo de modo que pueden oscilar

libremente. Tómese la aceleración de la gravedad

g

= 9.80 m/s

2

_.

a) Determinar el periodo de los péndulos y escribir la ecuación

θ

=

θ

(

t

) para cada uno.

b) Calcular la velocidad angular de cada péndulo cuando pasa por la vertical.

c) Si la masa del péndulo 1 es

m

, calcular la tensión del hilo cuando el péndulo pasa

por la vertical.

10

θ

20

θ

20

θ

10

θ

1

2 2 ₁

Datos numéricos

g 50

8º

10º

mm 559

A L= θ₁₀ = θ₂₀ = m=

g 40

8º

10º

mm 993

B L= θ₁₀ = θ₂₀ = m=

g 50

10º

12º

mm 1551

C L= θ₁₀ = θ₂₀ = m=

g 40

10º

12º

mm 2234

D L= θ₁₀ = θ₂₀ = m=

Ángulos

negativos Ángulos

positivos Ángulos

negativos Ángulos

(29)

29

MOVIMIENTO ARM

g L T =2π

T L

g π

ω = = 2

a) Ambos péndulos tienen pequeña amplitud (< 15º), por lo que puede considerarse con buena aproximación que su movimiento es armónico simple.

( )

10

(

1

)

1 θ cos ω δ

θ t = t+

A B C D

T (s) = 1,50 2,00 2,50 3,00

ω (rad/s) = 4,19 3,14 2,51 2,09

θ10 (º) = 10 10 12 12

θ10 (rad) = 0,1745 0,1745 0,2094 0,2094

θ20 (º) = 8 8 10 10

θ20 (rad) = 0,1396 0,1396 0,1745 0,1745

( )

t ₁₀cos t

1 θ ω

θ =

( )

10

1 0

0 → θ =θ

=

t θ₁₀ =θ₁₀cosδ₁ → cosδ₁ =1 → δ₁ =0

( )

t ₂₀cos t

2 θ ω

θ = −

( )

20

(

2

)

2 θ cos ω δ

θ t = t+ θ2

( )

t =θ20cos

(

ωt+π

)

( )

20

2 0

0 → θ =−θ

=

t −θ₂₀ =θ₂₀cosδ₂ → cosδ₂ = −1 → δ₂ =π rad

Cuando pasa por la vertical t = T/4 b) Velocidad angular

(

)

_θ

₍

₎

_θ _ω π _θ _ω

θ

10 10

1 1

4 2 sin 4

/ 4

/

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

=

= T

T T

dt T

d _&

(

)

_θ

₍

₎

_θ _ω π _θ _ω

θ

20 20

2 2

4 2 sin 4

/ 4

/

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

= T

T T

dt T

d _&

( )

_{( )}

_t _t

dt t d

sin

10 1

1 _θ _θ _ω _ω

θ ₌ _& ₌ ₋

( )

t ₁₀ cos t

1 θ ω

θ =

( )

_{( )}

_t _t

dt t d

sin

20 2

2 _θ _θ _ω _ω

θ

= = &

( )

t ₂₀cos t

2 θ ω

θ = −

A B C D

-0,7308 -0,5483 -0,5265 -0,4387

0,5846 0,4386 0,4387 0,3656

(

)

θ ω

θ&₁ T /4 = − ₁₀

(

)

θ ω

(30)

30

MOVIMIENTO ARM

c) Tensión del hilo

L

m

F

mg

L v₁ =θ&₁⋅

C

F

L v m mg F F_C

2 1

= −

=

(

g v L

)

m

F = + ₁2⋅

A B C D

-0,4085 -0,5445 -0,8165 -0,98

0,4947 0,4038 0,5417 0,4778

) N (

F

) m/s (

1

(31)

31

EST

ESTÁÁTICATICA P07.04. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007

Una varilla rígida de longitud L = 1.80 m y masa M = 6 kg está unida a una articulación (punto O de la figura). La varilla se mantiene inclinada mediante un cable de acero unido a la pared. Los ángulos entre el cable, la varilla y la pared son θ₁ = 60º y θ₂ = 50º respectivamente. Un contrapeso m = 4 kg cuelga del extremo opuesto de la varilla.

a) Dibuje el diagrama de sólido libre para la varilla (2 p). b) Calcular la tensión en el cable y las componentes

rectangulares de la reacción en el punto O (2 p). M

1

θ

2

θ

m L

O

2 90−θ

2

θ

2

θ

1

θ

O

Mg mg

T

x

R

y

R X

Y

DSL

β

2 1

180 θ θ

β = − −

β 180−β

β

−

180 1 180−θ

L

(

180

)

sin

(

180

)

sin

(

180

)

0

sin

2 − − − + − 1 =

− =

∑

τ_O Mg L β mgL β TL θ

g m M T

2 sin

sin

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

=

θ β

(

90

)

0

cos − ₂ =

− =

∑

F_x R_x T θ R_x M m g

2 sin

sin sin

1

2 _⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

=

θ θ β

(

90

)

0

sin − ₂ − − =

+ =

∑

F_y R_y T θ Mg mg

(

M m

)

g M m g

R_y

2 sin

cos sin

1

2 _⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

− +

=

θ θ β

N 2 . 50

N; 0 . 57

N; 4 .

74 = =

= R_x R_y

(32)

32

Un tambor de radio r que une simétricamente dos cilindros de radio R lleva arrollado un hilo del cual se tira horizontalmente según se muestra en las figuras. El conjunto de tambor y cilindros está colocado sobre una plataforma plana y apoyado sobre un escalón de altura h. El peso del conjunto es W, y se supone que el hilo arrollado sobre el tambor no se desliza cuando se somete a tensión. Se pide:

a) Calcule el ángulo que forma con la horizontal la fuerza que el escalón hace sobre el sólido. Determine el valor de la reacción normal de la plataforma sobre el sólido cuando la tensión del hilo es T newton.

b)

c) Calcule qué tensión mínima hay que aplicar al hilo para que el sólido remonte el escalón. EST

ESTÁÁTICATICA P08.05. EXAMEN A3. CURSO 2007/2008

R

r

h

A B C D/E

r (m) = 0,15 0,05 0,08 0,05

R (m) = 0,30 0,10 0,10 0,12

h (m) = 0,05 0,01 0,04 0,04

W (kp) = 0,200 0,200 0,200 0,200

(33)

33

EST

ESTÁÁTICATICA P08.05. EXAMEN A3. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIÓN)

a) Calcule el ángulo que forma con la horizontal la fuerza que el escalón hace sobre el sólido. Se trata de un sistema plano de fuerzas concurrentes que proceden de tres direcciones distintas (la vertical, la horizontal y la dirección de la fuerza que el escalón aplica sobre el sólido). Por tanto, habrá equilibrio estático cuando las tres direcciones sean concurrentes: el punto común es la parte superior del tambor, y a partir de ahí determinaremos la dirección de la fuerza F aplicada por el escalón sobre el sólido.

R

r

h

T

θ

y

F

x

F

W

N

R

r

h

θ

β

R

h

R

−

r

L

h R

r+ −

=

θ

tan

R h R−

=

β

cos

Punto de concurrencia

β

sin

R

L = ₌ _R ₁₋_cos2 β ₌ _R ₁₋

(

_R₋_h

)

2 _/_R2 ₌ _R2 ₋

(

_R2 ₊_h2 ₋₂_R_⋅_h

)

= ₂_R⋅_h−_h2

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− ⋅

− +

= −

2 1

2 tan

h h R

h R r

θ

2

2 tan

h h R

h R r

− ⋅

− + =

(34)

34

EST

R

r

h

T

θ

y

F

x

F

W

N

Determine el valor de la reacción normal de la plataforma sobre el sólido cuando la tensión del hilo es T newton.

b)

0 =

+

−

T

F

_X

0 =

−

+

N

W

F

_Y

T

F

_X

=

N

W

F

_Y

=

−

θ

tan

X

Y

F

=

T

N

W

−

=

tan

θ

⋅

N

=

W

−

tan

θ

⋅

T

Calcule qué tensión mínima hay que aplicar al hilo para que el sólido remonte el escalón. c)

a) b)

c)

A B C D/E F

r (m) = 0,15 0,05 0,08 0,05 0,05

R (m) = 0,30 0,10 0,10 0,12 0,15

h (m) = 0,05 0,01 0,04 0,04 0,06

W (kp) = 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200

T (kp) = 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050

W (N) = 1,960 1,960 1,960 1,960 1,960

T (N) = 0,490 0,490 0,490 0,490 0,490

θ (rad) = 1,1778 1,2690 1,0517 0,9682 0,8622

θ (º) = 67,5 72,7 60,3 55,5 49,4

N (N) = 0,778 0,386 1,103 1,248 1,388

N (kp) = 0,079 0,039 0,113 0,127 0,142

Tmin (N) = 0,813 0,610 1,120 1,349 1,680

Tmin (kp) = 0,083 0,062 0,114 0,138 0,171

El sólido remonta cuando el módulo de la normal es nulo (en ese momento la componente vertical de la fuerza F

equilibra al peso)

θ

tan

min

W

(35)

35

EST

ESTÁÁTICATICA P09.04. EXAMEN A3. CURSO 2008/2009

Una pesa W = 0.50 kp está colgada de una anilla A sujeta por un muelle AB y un cable AC. El muelle sin tensión tiene una longitud natural l₀ = 32 cm, mientras que cuando sujeta la anilla en la situación mostrada en la figura 1.a su longitud es l = 36 cm. El cable AC es inextensible y su longitud es d = 40 cm. La anilla se encuentra situada una altura h = 20 cm por debajo de la línea horizontal BC. Se pide:

a) Determinar la tensión del cable AC y la constante elástica del muelle (en N/m).

b) Si la misma pesa W se cuelga de la anilla según muestra la figura 1.b, habiendo reemplazado el cable AC por un muelle idéntico al AB de tal manera que la anilla está ahora a una distancia

h’ = 25 cm por debajo de los puntos de fijación de ambos muelles ¿cuál será ahora la longitud de cada muelle y qué ángulo forman entre sí?

W

C

h

[image:35.595.406.677.286.480.2]

l d

Figura 1.a

h′

Figura 1.b

(36)

36

EST

h

C

l d

(

l l₀

)

k

F = ⋅ −

W

F T

1

θ θ₂

X

Y l

h

=

2

sinθ

d h

=

1

sinθ

Apartado a)

conocidos , ₂

1 θ → θ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −

d h

1 1 sin

θ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −

l h

1 2 sin

θ Datos h ,d ,l ,l₀ ,W

0 sin

sin ₁+ ⋅ ₂ − = ⋅

=

∑

F_Y T θ F θ W

0 cos

cos ₁+ ⋅ ₂ = ⋅

− =

∑

F_X T θ F θ −T⋅cosθ₁⋅sinθ₁+F⋅sinθ₁⋅cosθ₂ =0

1 2

1 1

1 sin cos sin cos

cosθ ⋅ θ + ⋅ θ ⋅ θ = ⋅ θ

⋅ F W

T

(

sinθ1⋅cosθ2+cosθ1⋅sinθ2

)

= ⋅cosθ1

⋅ W

F

(

1 2

)

cos 1

sin θ +θ = ⋅ θ

⋅ W

F

Una vez obtenido el valor de F, la constante elástica

del muelle se determina de

(

)

(

1 2

)

1 0 sin

cos

θ θ

θ

+ ⋅

− =

l l

W k

(

1 2

)

1

sin cos

θ θ

θ

+ ⋅

=W F Unidades sistema internacional

A B C D A B C D

h (cm) = 20 20 20 20 0,20 0,20 0,20 0,20

d (cm) = 40 40 40 40 0,40 0,40 0,40 0,40

l (cm) = 36 36 36 36 0,36 0,36 0,36 0,36

l0 (cm) = 32 32 32 32 0,32 0,32 0,32 0,32

W (kp) = 0,50 0,40 0,30 0,20 4,90 3,92 2,94 1,96 θ1 (rad) = 0,5236 0,5236 0,5236 0,5236

θ1 (º) = 30,00 30,00 30,00 30,00 θ2 (rad) = 0,5890 0,5890 0,5890 0,5890

θ2 (º) = 33,75 33,75 33,75 33,75

F (N) = 4,73 3,79 2,84 1,89

k (N/m) = 118,3 94,6 71,0 47,3

T (N) = 4,54 3,63 2,73 1,82

W l l d

h , , , ₀ ,

(

1 2

)

2

sin cos

θ θ

θ

+ ⋅

(37)

37 P09.04. EXAMEN A3. CURSO 2008/2009 (CONTINUACIÓN) _EST_EST_Á_Á_TICA_TICA

Apartado b) Datos _h′_,_k _,_l₀ _,_W Se pide l′ ,φ

Ahora la fuerza en cada muelle es la misma, dada la simetría del problema. Sea F’ dicha fuerza.

h′

W

Suma de fuerzas en el eje vertical

l′

φ

l′

F′

F′ 2F ⋅′cos

(

φ /2

)

−W =0

2 / -90 φ

(

l l₀

)

k F′= ⋅ ′−

Geometría del problema

(

)

l h ′ ′ = 2 / -90 sin φ

Ecuación del muelle

(

)

l h ′ ′ = 2 /

cos φ (*)

Sustituyendo las ecuaciones (*) y (**) en la suma de fuerzas en el eje vertical

(

)

(**)

0

2 ₀ − =

′ ′ ⋅ − ′ ⋅ W l h l l k h k W l l l ′ ⋅ = ′ − ′ 2 0 _l h k W l

l ⋅ ′

′ ⋅ = − ′ 2

0 1 ₂_k _h l0

W

l ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ⋅ − ⋅′ 0 2 2 l W h k h k l ⋅ − ′ ⋅ ′ ⋅ = ′

A B C D Unidades sistema internacional

h' (m) = 25 25 25 25 A B C D

h' (m) = 0,25 0,25 0,25 0,25 l0 (m) = 0,32 0,32 0,32 0,32

k (N/m) = 118,3 94,6 71,0 47,3 W (N) = 4,90 3,92 2,94 1,96

l' (m) = 0,35 0,35 0,35 0,35

cos(φ/2) = 0,7165 0,7165 0,7165 0,7165

φ (rad) = 1,5440 1,5440 1,5440 1,5440

φ (º) = 88 88 88 88

W l k h′ , ,₀ ,

h’ (cm) =

(38)

38 S

SÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDO P07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007

El mecanismo dibujado en la figura se compone de dos barras rígidas, cada una de ellas de la misma longitud L = 25 cm. La barra AB gira en torno a la rótula A con velocidad angular ω_AB = 0,50 rad/s. La barra BCse une a la barra AB y puede girar en torno al extremo B, mientras que el extremo C desliza sobre el suelo. En el instante representado en el dibujo, los ángulos son θ₁ = 60º y θ₂ = 50º . Se pide:

a) La velocidad del punto B, v_B, y el ángulo formado por v_B con la horizontal. 2 p 4 p

b) La velocidad angular de la barra BC, ω_BC, y la velocidad del extremo C, v_C.

A

C

AB

ω

L

θ₁

(39)

39 S

SÓÓLIDO RIGIDOLIDO RIGIDO P07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIÓN)

a) Cálculo de la velocidad v_B y del ángulo formado por v_B con la horizontal.

Definición producto escalar:

A

AB

ω

L

θ₁ B

A B AB A

B v r

vr = r +ωr × r _/

( )

(

cos 1 sin 1

)

0 ω k L i θ j θ vr_B = + _AB − r × r + r Varilla AB

A B

rr _/

(

1 1

)

/ L i cosθ jsinθ

rr_B _A = r + r j r

ir

kr

0 =

A

vr

( )

k

AB AB

r r ₌_ω ₋

ω

(

sinθ1 cosθ1

)

ω L i j

vr_B = _AB r − r

( )

−kr ×ir=−rj

( )

−kr ×rj =ir

Véase que

B

vr

δ

ir

1

1 cos

sinθ j θ

i r

r ₋

(

irsinθ₁− rjcosθ₁

)

⋅ir = irsinθ₁− rjcosθ₁ ir cosδ

(

)

i j

i

i j

i

r r

r

r r

r

cos sin

cos

1 1

θ θ

δ

−

⋅ −

=

1

sin