L ´ogica de predicados

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L ´ogica de

predicados

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4.1. Introducci ´on

Hemos utilizado f´ormulas de la l´ogica proposicional siempre que se trata de representar proposiciones en espa˜nol; esto es, enunciados que son falsos o verdaderos. Analicemos los siguientes enunciados:

• Todo pl´atano es amarillo.

• Algunas especies de p´ajaros migran. • Todos los vaqueros usan sombrero.

• Ning´un perro ma´ulla.

• Baja California Sur es el ´unico estado de la Rep´ublica Mexicana con mar en tres de sus cuatro bordes.

Se puede observar que todos y cada uno de los enunciados anteriores es una proposi-ci´on, pues tienen un valor de falso o verdadero. Sin embargo, difieren de las estudiadas anteriormente pues no reconocemos en los enunciados palabras correspondientes a conec-tivos l´ogicos, por lo que la ´unica manera que tenemos, por el momento, de formalizarlos, es simplemente con una sola variable proposicional asignada a todo el enunciado.

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4.1. Introducci´on 163

enunciados como los anteriores, que contienen referencias a colectividades de objetos. Consid´erese por ejemplo el siguiente razonamiento:

Algunas personas van al teatro. Todos los que van al teatro se divierten. De manera que algunas personas se divierten.

La intuici´on dice que el argumento es correcto. Sin embargo la representaci´on corres-pondiente en l´ogica proposicional es:

p, q _{6 r ¡Incorrecto!

Esta situaci´on nos permite concluir ´unicamente que el argumento en l´ogica proposicional es incorrecto en el sentido de que la conclusi´on no es consecuencia l´ogica de las premisas. Sin embargo, a partir de este hecho no es posible concluir que el argumento en lenguaje natural sea incorrecto, pues podr´ıa ser que lo sea con base en ciertos principios l´ogicos m´as fuertes. Tal posibilidad requiere el desarrollo de un lenguaje de especificaci´on formal m´as poderoso, as´ı como una l´ogica adecuada al mismo, llamada l´ogica de predicados.

4.1.1.

Predicados

Consideremos los siguientes enunciados:

• Cualquier empleado tiene un jefe. • Algunos programas usan ciclos.

• Hay una lista que est´a ordenada.

Como acabamos de argumentar, para representar a cada uno de estos enunciados la ´unica forma de hacerlo, con las herramientas que tenemos hasta el momento, es mediante f´ormulas proposicionales at´omicas; es decir, mediante una simple variable proposicional para cada uno de ellos. De los dos ejemplos anteriores vemos que esta representaci´on no es adecuada, ya que no es capaz de reflejar la estructura interna del enunciado, algo de lo que no debemos sustraernos. Buscamos una herramienta l´ogica que tome en cuenta, de alguna manera, a esa estructura interna. Por ejemplo, el enunciado algunos programas usan ciclostrata acerca de programas, ciclos y la acci´on de usar. Estas componentes de la estructura interna de un enunciado se clasifican comoindividuos(u objetos) y propiedades (o relaciones) atribuibles a los individuos; a estas ´ultimas las llamamospredicados. Tanto los individuos como los predicados se definen en un contexto particular dependiendo del problema que queramos representar. Este contexto se conoce como universo de discurso, el cual es una colecci´on de todas las personas, ideas, cosas, estructuras de datos, etc´etera, necesarios para analizar una f´ormula o argumento l´ogico.

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las acciones que los individuos llevan a cabo; por ejemplo,ser colegas; ser padre de; ser canario; ser la suma de; usar; visitar; ir; jugar; etc´etera.

✧ _{El universo de discurso son personas:}

• Isabel y Mar´ıa son colegas.

• Pedro es el padre de Juan .

✧ _{El universo de discurso son los animales:}

• Piol´ın es un canario.

• Claudio es un gallo.

✧ _{El universo son n´umeros:}

La suma de 2 y 3 es 5 .

El producto de 10 y -2 es negativo.

✧ _{El universo consta de lenguajes de programaci´on, algoritmos y programas:}

• Haskell es un lenguaje funcional con el que se puede escribir el algoritmo

quicksort en una l´ınea.

• Este programa en Java usa clases .

✧ _{El universo puede constar de diversas clases de individuos, como en el caso en que}

los siguientes enunciados se usen en un mismo contexto:

• La infanta Christina visita museos .

• El teatro al que la condesa Karla Michelle fue ayer tiene asientos c´omodos.

• Su majestad Martha Elena III y el perro imperial Bu juegan en el jard´ın de palacio.

En el caso de estos enunciados, el universo tiene al menos personas, animales y lugares.

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4.1. Introducci´on 165

En l´ogica de predicados utilizamos la notaci´onP_pt1, t2, . . . , tnqpara describir que la propiedad o relaci´onP se da entre los individuost1, t2, . . . , tn. Expresemos algunos de los ejemplos que dimos arriba con esta nueva notaci´on:

• Colegas_pIsabel, Mar´ıa_q, conP _“sercolegas,t1 “Isabel yt2=Mar´ıa. • P adre_pPedro,Juan_q, conP _“padrede,t1 “Pedro yt2 “Juan. • Canario_pPiol´ın_q, conP _“sercanarioyt1 “Piol´ın.

• Suma_p2_,3_,5_{q, con P “ suma, t1 “} 2 _{yt2 “} 3_{son los sumandos yt3 “} 5_{es el}

resultado.

Podemos ver en estos ejemplos que cada predicado P recibe un n´umero distinto de argu-mentos de entradat1, . . . , tn–escribimos el nombre de los predicados con may´usculas para distinguirlos de las funciones–. Al n´umero de argumentos de un predicado le llamamos

´ındiceoaridaddel predicado. Tambi´en vemos que el orden, en muchos de ellos, es impor-tante. Por ejemplo, el predicado P adre tiene un significado muy distinto si cambiamos el orden de los argumentos, lo mismo que el predicadoSuma. Una vez que se ha definido un predicado con un determinado ´ındice, queda prohibido cambiarle el ´ındice posteriormente. Por ejemplo, en el primer predicado, Colegas, el ´ındice es 2, lo cual impide formar ex-presiones comoColegas_pJuan, Lupe, Rosa_q, aun cuando esto tenga sentido desde nuestra intuici´on. Si se desea utilizar un n´umero de argumentos distinto al definido inicialmente por el ´ındice, es necesario definir otro predicado; por ejemploColegas1_pJuan, Lupe, Rosa_q. Los predicados de ´ındice uno, es decir de un solo argumento, reciben el nombre espec´ıfico depropiedadesmientras que los de un ´ındice mayor a uno sonrelaciones

4.1.2.

Variables y cuantificadores

Hasta ahora el uso de predicados en lugar de variables proposicionales podr´ıa parecer simplemente otra manera de escribir enunciados. Por ejemplo, la proposici´on

Anastasia recita poes´ıa n´ordica

se representa con predicados como Recita_pAnastasia, poes´ıa n´ordica_q, lo cual parece ser simplemente una manera distinta de escribir el mismo enunciado en espa˜nol. La principal diferencia es que el predicado puede cambiar de argumentos, como en

Recita_pLicantro,odas en s´anscrito_q.

M´as a´un, podemos sustituir individuos por variables, como enRecita_px, y_q. De esta manera podemos definir predicados de manera m´as formal, como los que siguen:

• F_px, y_qsignifica quexes padre dey.

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Es importante remarcar que los nombres de las variables no importan siempre y cuando se usen de forma consistente. Sin embargo, obs´ervese que las expresiones anteriores no corresponden a proposiciones, puesto que los valores dex e y est´an indeterminados, por lo que resulta imposible verificar si el predicadoRecitase cumple. Las variables juegan el papel de representantes de valores concretos, como un estudiante, un n´umero o un progra-ma particular. Obs´ervese entonces que un mismo predicado puede representar un n´umero potencialmente infinito de proposiciones, una por cada individuo que pueda tomar el lugar de cada una de las variables del predicado.

Consideremos ahora los siguientes enunciados: • Hay ungato rayado.

• Algunaspersonas van al teatro.

• Todoslos programas en Java usan clases. • Todoslos estudiantes trabajan duro. • Algunosestudiantes se duermen en clase. • Ocho de cada diezgatos lo prefieren. • Nadiees m´as tonto que yo.

• Al menos seisestudiantes est´an despiertos. • Hay una infinidadde n´umeros primos. • Hay m´ascomputadoras PC que Mac.

Todos estos enunciados tienen en com´un el hecho de que no involucran a ning´un in-dividuo en particular. Aun cuando tenemos predicados a nuestra disposici´on, necesitamos un mecanismo para formalizar las partes de los enunciados que se refieren a una cantidad, comotodos, algunos, hay, nadie, cualquiera, . . . . A estas cantidades las llamamos cuanti-ficadores.

Por ejemplo, para el enunciadoTodos los estudiantes son m´as j´ovenes que alg´un pro-fesor, entendiendo que el universo de discurso son las personas de la Facultad de Ciencias, ser´ıa inoperante escribir todos los posibles predicados para estudiante, profesor y ser m´as joven,E_pKarla_q, E_pHugo_q, . . . , P_pElisa_q, P_pFavio_q, J_pKarla,Favio_q,. . . . M´as a´un, en algu-nos casos esto resulta imposible, como con la frasehay una infinidad de n´umeros primos.

Este problema se soluciona al emplear operadores de cuantificaci´on sobre individuos indeterminados,_@(se leepara todo) y_D(se leeexiste), los cuales siempre van seguidos de una variable que representa a los individuos de la colectividad que se est´a especificando. Por ejemplo, para decirtodos hablan espa˜nolescribimos_@xE_px_q, dondeE_px_qsignifica quex

habla espa˜nol. Similarmente, siC_px_qsignifica que xes cuervo, entonces, para especificar quehay un cuervo, escribimos_DxC_px_q. M´as a´un, usando cuantificadores en combinaci´on con la l´ogica proposicional, podemos representar enunciados m´as complejos, como por ejemplotodos los estudiantes son m´as j´ovenes que alg´un profesor, cuya especificaci´on es como sigue:

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4.2. Sintaxis de la l´ogica de predicados 167

donde queda claro que P_px_q significax es profesor; E_px_qsignifica que x es estudiantey J_px, y_qsignifica quex es m´as joven que y.

A continuaci´on vamos a definir el lenguaje formal de la l´ogica de predicados que inclu-ye todos los elementos discutidos hasta ahora, para despu´es volver al tema de especificaci´on formal.

4.2. Sintaxis de la l ´ogica de predicados

En esta secci´on definimos formalmente lo que se conoce como un lenguaje de la l´ogica de predicados de primer orden, el cual, a diferencia del caso proposicional, var´ıa dependien-do del universo de discurso particular, y de las relaciones y propiedades de los individuos que se deseen especificar.

4.2.1.

T ´erminos

Lost´erminosson la categor´ıa sint´actica que representa individuos del universo de dis-curso.

Definici´on 4.1. Un t´erminoes una constante, una variable o bien un s´ımbolo de funci´on aplicado a otros t´erminos.

Los t´erminos se generan mediante la siguiente gram´atica. En los casos en que aparezca una coma (“,”), ´esta es parte de la sintaxis. El metas´ımbolo “. . .” significa “m´as de los anteriores” y no forma parte de los s´ımbolos terminales de la gram´atica.

term ::_{“ var (4.1)}

term ::_{“ const (4.2)}

term ::_{“ funcplista-de-termq (4.3)}

var ::_{“ x (4.4)}

var ::_{“ y (4.5)}

var ::_{“ z (4.6)}

var ::_{“ . . . (4.7)}

const ::_{“ a (4.8)}

const ::_{“ b (4.9)}

const ::_{“ c (4.10)}

const ::_{“ . . . (4.11)}

func ::_{“ f (4.12)}

func ::_{“ g (4.13)}

func ::_{“ h (4.14)}

func ::_{“ . . . (4.15)}

lista-de-term ::_{“ term (4.16)}

lista-de-term ::_{“ term,lista-de-term (4.17)}

Cada s´ımbolo de la categor´ıa func tiene asociado un n´umero fijo de argumentos (el ´ındice o aridad del s´ımbolo). A veces escribimosfpnq

para indicar que el s´ımbolof tiene ´ındicen.

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Ejemplo 4.1. Supongamos que el universo consta de los pa´ıses del mundo. • Las variablesxeydenotan a pa´ıses cualesquiera.

• La constanteadenota a Alemania y la constanteba Brasil.

• El s´ımbolo funcional f de ´ındice1 _{denota a la operaci´on que recibe un pa´ıs y}

de-vuelve su ciudad capital. Es decir,f_px_qes la capital dex. Esto es posible dado que cada pa´ıs tiene una ´unica capital, de manera que dicha asociaci´on es funcional. En particularf_pa_qdenota a Berl´ın yf_pb_qa Brasilia.

Ejemplo 4.2. Si el universo consta de n´umeros naturales, entonces:

• La constanteadenota al individuo0_{y la constantebal individuo}1_.

• Los t´erminos funcionalesfp2_q

px, y_qygp2_q

px, y_qdenotan a los individuosx_`yyx_˚y respectivamente.

• En tal caso, los individuos2_y4_{se representan mediantefpb, bqygpfpb, bq, fpb, bqq}

respectivamente.

4.2.2.

F ´ormulas

Una vez definidos los t´erminos podemos construir las f´ormulas del lenguaje, las cua-les representan las relaciones entre individuos, as´ı como a los enunciados generacua-les del lenguaje. Empecemos con las f´ormulas m´as simples, las at´omicas.

Definici´on 4.2. Una f´ormula at´omica es una expresi´on de la forma P_pt1, . . . , tnq, donde P es un s´ımbolo de predicado de ´ındicenyt1, . . . , tnson t´erminos.

Ejemplo 4.3. Definimos los s´ımbolos de predicadoPp2_q , Rp3_q

, Qp1_q

, los s´ımbolos de funci´onfp1_q y gp2_q

y las constantesa, byc. Las siguientes son f´ormulas at´omicas: • P_pb, f_py_qq

• Q_pg_pf_pa_q, c_qq • R_pz, f_pg_pa, c_qq, b_q

Ahora que tenemos f´ormulas at´omicas podemos combinarlas con los conectivos propo-sicionales para obtener f´ormulas m´as complejas.

Ejemplo 4.4. En el universo de discurso de los n´umeros naturales, sia_{`</sub>b<sub>“</sub>c<sub>`}bentoncesa_“c. Definimos las constantesa, b, cy los siguientes s´ımbolos de funci´on:

f_px, y_q para representarx_`y, igual_px, y_q para representarx_“y

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4.2. Sintaxis de la l´ogica de predicados 169

Ejemplo 4.5. En la expresi´onBomb´on es un gato que ara˜natenemos lo siguiente:

a) El universo de discurso son los animales (los mam´ıferos, los felinos, cualquier con-junto, raza o familia que incluya a los gatos).

b) Los predicados que definimos son: G_px_q xes un gato

A_px_q xara˜na

SiendoBomb´onuno de los individuos concretos del universo de discurso, estar´a repre-sentado por una constante, su propio nombre. La expresi´on l´ogica queda como sigue:

G_pBomb_on´ _{q ^ApBombon}´ _q

Otros ejemplos son:

P erro_px_{q Ñ}T ienecola_px_q

M adre_px, y_{q ^}M adre_px, z_{q Ñ} Hermanos_py, z_q

Calif_px_{q Ñ}x_ě0_^xď10

Obs´ervese que en el ´ultimo ejemplo los predicados_ě,_ďse usan de manera infija como es usual en matem´aticas. ¿Cual es el universo de discurso en cada caso?

De los ejemplos anteriores se observa que las f´ormulas con predicados se generan de la misma manera que las f´ormulas de la l´ogica proposicional, s´olo que las f´ormulas at´omicas han cambiado de simples variables proposicionales a predicados que involucran t´erminos. Veamos la gram´atica formal, en la que usamos el metas´ımbolo “_|” para separar alternativas de sustituci´on para un mismo s´ımbolo no terminal de manera abreviada, y el metas´ımbolo “. . .” para denotar “m´as como los anteriores”.

E ::_{“ predplista-de-termq (4.18)}

E ::_{“ E (4.19)}

E ::_{“ E ÑE (4.20)}

E ::_{“ E_E (4.21)}

E ::_{“ E^E (4.22)}

E ::_{“ E ØE (4.23)}

E ::_{“ pEq (4.24)}

pred ::_{“ P |Q|R| . . . (4.25)}

lista-de-term ::_{“ term (4.26)}

lista-de-term ::_{“ term,lista-de-term (4.27)}

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4.2.3.

F ´ormulas cuantificadas

Finalmente definimos las f´ormulas que involucran cuantificadores, las cuales propor-cionan una gran expresividad al lenguaje.

Definici´on 4.3. SeaEuna f´ormula. La expresi´on_@xEes lacuantificaci´on universaldeEcon respec-to axy representa al enunciadopara todo x se cumple E. An´alogamente, la expresi´on DxEes lacuantificaci´on existencialdeEcon respecto axy representa al enunciado

existe un x que cumple E. En ambos casos la f´ormulaEse conoce como elalcance de la cuantificaci´ony la variable que figura inmediatamente despu´es del cuantificador se conoce comovariable del cuantificador.

Veamos algunos ejemplos de especificaci´on.

Ejemplo 4.6. Supongamos que el universo de discurso es el universo astron´omico. Sea S_px_q el predicadoser sol y P_px_q el predicado ser planeta. Vamos a traducir algunos enunciados sencillos que involucran cuantificadores.

• Todo es un sol: _@xS_px_q

• Todo es un planeta: _@yP_py_q

• Existe un planeta y un sol: _Dx_Dy_pP_px_{q ^}S_py_qq • Cualquiera es sol o planeta: _@z_pP_pz_{q _}S_pz_qq

En la secci´on 4.3 discutiremos el proceso de especificaci´on m´as ampliamente. A conti-nuaci´on ejemplificamos el concepto dealcance.

Veamos un ejemplo de los alcances de cuantificaciones.

Ejemplo 4.7. Encerraremos en un cuadro los alcances, marcando la variable de las cuantificaciones correspondientes.

@

x

´

`

x

_ą

i

_^

i

_ą

j

˘

_{Ñ D}

i

_D

j

`

x

_ą

i

_^

x

_ą

j

˘

¯

x

i, j

El recuadro de guiones marca el alcance de la cuantificaci´on_@xmientras que el recua-dro de l´ınea s´olida marca el alcance de las cuantificaciones_Diy_Dj.

Agregamos a la gram´atica que acabamos de dar para la l´ogica de predicados las reglas que describen la cuantificaci´on universal y existencial como f´ormulas l´ogicas:

E ::_{“ @var E (4.28)}

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4.2. Sintaxis de la l´ogica de predicados 171

Con esto nuestra gram´atica para f´ormulas de la l´ogica de predicados queda completa.

4.2.4.

Variables libres y ligadas

Consideremos el enunciadotodos son blancos; si deseamos especificarlo formalmente, primero debemos definir un predicadoB_px_qcuyo significado esx es blanco, para despu´es cuantificar universalmente, obteniendo la f´ormula _@xB_px_q. Ahora bien, consideremos la f´ormula _@yB_py_q, ¿qu´e enunciado en espa˜nol se especifica ahora? F´acilmente nos damos cuenta que su significado es nuevamentetodos son blancos; es decir, el nombre particular de la variable utilizada, en este casoxoy, es irrelevante para entender el significado de la f´ormula. Por esta raz´on a la variable de un cuantificador se le conoce tambi´en como varia-ble artificial o monigote1_{, porque ´unicamente marca el lugar o la posici´on. En contraste,} consideremos las f´ormulas B_px_qy B_py_q, y supongamos que el universo son los n´umeros naturales, siendoB el predicado ser par. Con esta informaci´on no es posible entender el significado2_{de estas f´ormulas, pues hace falta saber el valor de sus variables. Por ejemplo,} sixes3_{entoncesBpxqsignifica3 es par, mientras que siyvale}8_{entoncesBpyqsignifica}

8 es par, de donde claramenteB_px_q y B_py_q no significan lo mismo, pues su significado depende del valor particular de sus variables. La pregunta inmediata es: ¿cu´ando es rele-vante el valor particular de una variable para conocer el significado y valor de verdad de una f´ormula? Para responderla introducimos los conceptos devariable libreyligada. Definici´on 4.4. Se dice que una presencia espec´ıficade una variable xen una f´ormula Aest´a libre

si no es la variable artificial de un cuantificador ni figura dentro del alcance de una cuantificaci´on cuya variable artificial tambi´en esx.

En la siguiente tabla presentamos algunas f´ormulas y la lista de variables libres de cada una de ellas.

Cuantificaci´on Variables libres

@x`<sub>p</sub>x<sub>ą</sub>i<sub>^</sub>i<sub>ą</sub>j<sub>q Ñ p</sub>x<sub>ą</sub>j<sub>q</sub>˘ i, j Dx`x_ąi_^i_ąj_q i, j @i_@j`<sub>p</sub>x<sub>ą</sub>i<sub>^</sub>i<sub>ą</sub>j<sub>q Ñ p</sub>x<sub>ą</sub>j<sub>q</sub>˘ x @i`_px_ąi_^i_ąj_{q Ñ p}x_ąj_q˘ x, j Di_Dj`x<sub>ą</sub>i<sub>^</sub>i<sub>ą</sub>j<sub>q</sub> x Dj`x_ąi_^i_ąj_q i, x

Las variables que no figuran libres en una f´ormula se denominanligadasoacotadas. Vea-mos una definici´on m´as detallada.

1_{En ingl´esdummy}

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Definici´on 4.5. Decimos que una presenciaespec´ıficade una variablexen una f´ormulaAesligada

oacotadasixes una variable artificial deAo cae dentro del alcance de un cuantifi-cador con la misma variable artificialx.

Los enunciados en espa˜nol se formalizan mediante f´ormulas que no tienen variables libres, a las cuales llamamos tambi´en enunciados, sentencias o f´ormulas cerradas.

Definici´on 4.6. Unenunciadoes una f´ormulaAque no contiene presencias libres de variables.

Ejemplo 4.8. En la expresi´on

p1_q

ią0_{_ @}p

2_q i p0_ďp

3_q iÑx_¨p

4_q i“0_q

tenemos cuatro presencias dei. La primera presencia dei, anotada con_p1_{q, es una presencia}

libre, pues no se encuentra dentro de ninguna cuantificaci´on. El valor que contribuya a la expresi´on depender´a del estado en el que se la eval´ue. La segunda presencia es la variable artificial de un cuantificador, por lo que es ligada. Las otras dos presencias deitambi´en son ligadas, el valor de la cuantificaci´on no depende del valor particular que tengai. Finalmente, la presencia dexes una presencialibrey su contribuci´on a la expresi´on depender´a tambi´en del estado en el que se eval´ue la expresi´on.

Ejemplo 4.9. En la expresi´on

pp 1_q k _`

p2_q

j_{q ą}0_{^ D}

p3_q j _p0_ď

p4_q j_ď5_^p

5_q k_ă

p6_q j_q

las presencias (1) y (5) dekson presencias libres, pues en el primer caso lak se encuentra fuera de la cuantificaci´on, y aunque en el segundo caso se encuentra dentro de una cuanti-ficaci´on, la variable artificial esj, nok.

La presencia (2) dej es distinta a las presencias (3), (4) y (6), pues mientras la primera se encuentra fuera de una cuantificaci´on y es, por lo tanto, presencia libre, las otras tres se encuentran dentro de una cuantificaci´on donde la variable artificial es ella misma, por lo que son presencias acotadas.

El valor de esta f´ormula depender´a del estado en el que se eval´uen los valores libres de j yk.

Puede suceder que el usar una misma variable (jen el ejemplo anterior) para dos pape-les distintos –el papel de presencia libre en (2) y de presencia ligada en (4) y (6)– lleve al lector a confusi´on. En estos casos es recomendable cambiar el nombre a todas las presen-ciasligadasde la variable en cuesti´on que participan directamente en la cuantificaci´on para eliminar confusiones. De hacer esto, la expresi´on que dimos arriba quedar´ıa como sigue:

pp 1_q k _`

p2_q

j_{q ą}0_{^ D}p

3_q i _p0_ďp

4_q

i_ď5_^p

5_q k_ă

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4.2. Sintaxis de la l´ogica de predicados 173

El concepto de variables libres o ligadas es similar al que presentan los lenguajes de pro-gramaci´on con estructura de bloques. En ellos tenemos la posibilidad deanidarpedazos de c´odigo de la siguiente manera:

1 var i :i n t e g e r;

2 procedure p (var x : i n t e g e r) ;

3 var i : i n t e g e r;

4 begin

5 _{i : = x * x ;} 6 _{x : = 2 * i ;}

7 end

La presencia de i en la l´ınea 1 es libre, ya que no se encuentra dentro de un bloque. La presencia de x en 2 es ligada y hace el papel de una declaraci´on, pues le da nombre a una variable artificial. Las presencias de xen 5 y 6, as´ı como las presencias deidentro del procedimiento son acotadas (l´ıneas 5 y 6), ya que estos identificadores s´olo tienen significado dentro del procedimiento. Si cambi´aramos los identificadores dexayen todas las presencias acotadas, y de i a k tambi´en en las presencias acotadas, el procedimiento obtenido ser´ıa comno sigue y hace exactamente lo mismo que el original.

1 var i :i n t e g e r;

2 procedure p (var y : i n t e g e r) ;

3 var i : i n t e g e r;

4 begin

5 _{k : = y * y ;} 6 _{y : = 2 * k ;}

7 end

Para terminar esta secci´on deseamos hacer hincapi´e en lo siguiente:

• Al trabajar con predicados es muy importante que el universo de discurso est´e bien definido y sea claro.

• Los t´erminos y las f´ormulas son categor´ıas ajenas; es decir, ning´un t´ermino es f´ormu-la y ninguna f´ormuf´ormu-la es t´ermino.

• Los t´erminos denotan exclusivamente individuos u objetos.

• Las f´ormulas at´omicas (predicados) denotan ´unicamente proposiciones o propieda-des acerca de los t´erminos.

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Ejercicios

4.2.1.- Seanfp2_q ygp3_q

s´ımbolos de funci´on yd una constante. ¿Cu´ales de las siguientes expresiones son t´erminos? Justifica tu respuesta.

a) g_pd, d_q

b) f_px, g_py, z_q, d_q

c) g_px, f_py, z_q, d_q

d) f_pd, x_q

e) g_pd, g_px, y, f_pz, d_qq, f_pf_pd, x_q, w_qq

f) g_pg_py, y, f_pd, d_qq, f_pw, g_pd, x, y_qqq 4.2.2.- Sea a una constante,fp1_q

un s´ımbolo de funci´on, yPp2_q , Qp2_q

yRp1_q

s´ımbolos de predicado, ¿cu´ales de las siguientes expresiones son f´ormulas? Justifica tu respuesta.

a) P_pa, x_q

b) Q_pa, f_pa_qq

c) f_pa_q

d) Q_pQ_pa, x_q, x_q

e) R_pQ_px, x_qq

f) P_pf_py_q, a_q

g) R_pf_pw_qq

h) Q_p R_px_q, w_q

i) P_px, y_{q Ñ D}zQ_pz, y_q

j) _@f Q_pf_py_q, y_q

k) R_pf_pz_{qq _} Q_pa, f_pw_qq

l) _@x_DyQ_px, y_{q ^}R_pw_q 4.2.3.- Seancydconstantes,fp1_q

, gp2_q yhp3_q

s´ımbolos de funci´on, yPp3_q yRp2_q

s´ımbolos de predicado, ¿cu´ales de las siguientes expresiones son f´ormulas? Justifica tu res-puesta.

a) Q_pc, d, c_q

b) _@xP_pf_pd_q, h_pg_pc, x_q, d, y_qq

c) _@xP_pf_pd_q, h_pR_py, y_q, d_qq

d) _DwP_pg_ph_px, f_pd_q, x_q, g_pw, w_qq, h_px, x, x_q, c_q

e) _Du_pQ_pz, z, z_{q Ñ} R_py, y_qq

f) _@x_@y_pg_px, y_{q Ñ} P_px, y, x_qq

4.2.4.- Para cada una de las siguientes f´ormulas, clasifica las presencias de variables en libres o ligadas. Adem´as da el alcance de cada cuantificador.

a) R_px, y_{q ^}L_py_q

b) _@xR_px, f_py, z_{qq ^}L_py_q

c) _Dx_DyR_px, y_{q ^}C_px, y_q

d) _DyC_px, y_{q _ D}zR_px, z_q

e) _DyC_pa, y_{q _}L_pa_q

f) D_pf_px, y_{qq _ @}zC_pz, r_py_qq

g) _@x`L_px_{q Ñ} R_pf_px, a_q, x_{q ^}C_pf_px, a_q, a_q˘

h) R_pf_px, y_q, z_{q ^ D}yR_pf_py, x_q, z_{q Ñ @}wI_px, y_q

i) _@x_pC_px, z_{q ^}R_pf_py, x_q, f_px, y_{qqq Ñ}C_py, z_q

j) _Dy`I_pf_px, y_q, f_py, x_{qq ^}D_pr_px_qq˘

k) _Dy`

C_px, f_py, z_{qq ^}D_py_{q ^ @}xI_pz, r_py_qq˘

Borrador

4.3. Especificaci´on formal 175

4.2.5.- Para cada una de las siguientes f´ormulas, clasifica las presencias de variables en libres o ligadas. Adem´as da el alcance de cada cuantificador.

a) _@x_Dz`

Q_pz, y_{q ^ D}yR_px, f_px_qq˘

b) P_px, a, y_{q _ D}y_pP_px, y, a_{q ^}R_pa, z_qq

c) W_pf_px, a_q, g_py_{qq ^ @}x_DyS_pf_px, a_q, g_pz_qq

d) R_pf_px, x_q, w, g_px_{qq ^ @}x_DyT_px, y, g_pz_qq

e) _@wT_pw, x, g_py_{qq Ñ D}zR_px, f_pw, y_qq

4.2.6.- Construye para cada inciso una f´ormulaAque cumpla las condiciones dadas.

a) Aes un enunciado que es una cuantificaci´on de una implicaci´on donde el con-secuente es una f´ormula existencial.

b) Aes un enunciado y es una cuantificaci´on existencial de una conjunci´on.

c) Aes una f´ormula que incluye cuantificadores pero tiene al menos tres presen-cias libres de exactamente dos variables.

d) Aes un enunciado y una disyunci´on de un enunciado at´omico con una f´ormula existencial cuyo alcance es un predicado ternario.

e) Aes una f´ormula que no es un enunciado y tiene dos cuantificadores universales con variables distintas, un cuantificador existencial, y adem´as se convierte en un enunciado al cuantificarla universalmente.

4.3. Especificaci ´on formal

El proceso de especificaci´on o traducci´on del espa˜nol a la l´ogica formal no siempre es sencillo. Algunas frases del espa˜nol no se pueden traducir de una manera completamente fiel a la l´ogica de predicados, como veremos en algunos ejemplos. Sin embargo, el pro-ceso es de gran importancia pues es la base de muchos m´etodos de especificaci´on formal utilizados en inteligencia artificial o ingenier´ıa de software (como ejemplo tenemos el len-guaje de especificaci´on Z). A continuaci´on presentamos algunos consejos, observaciones y ejemplos que pretenden facilitar la especificaci´on del espa˜nol en t´erminos de la l´ogica.

• ´Unicamente podemos especificar afirmaciones o proposiciones; no es posible tradu-cir preguntas, exclamaciones, ´ordenes, invitaciones, etc´etera.

Borrador

• La conjunci´on “y” se traduce como_^. La palabra “pero” tambi´en, aunque el sentido original del espa˜nol se pierde. Por ejemplo te doy dulces pero haces la tarea s´olo puede traducirse enTe doy dulces y haces la tarea, lo cual es diferente en el lenguaje espa˜nol donde esta clase de ejemplos se˜nalan una especie de condici´on que no puede capturarse de manera general en la l´ogica.

• La disyunci´on es inclusiva:comeremos pollo o vegetales incluye el caso en que se coman ambos.

• Con la implicaci´on hay que ser cautelosos, sobre todo en el caso de frases de la forma A s´olo si B lo cual es equivalente con Si no B entonces no A, que a su vez es equivalente conSi A entonces B. Es un error com´un intentar traducir dicha frase inicial medianteB _ÑA.

• Si en espa˜nol aparecen frases comopara todos, para cualquier, todos, cualquiera, los, las, debe usarse el cuantificador universal_@.

• Si en espa˜nol hay frases comopara alg´un, existe un, alguno, alguna, algunos, algu-nas, uno, una, alguien, generalmente se usa el cuantificador existencial_D.

Importante:En ciertas ocasiones, frases en espa˜nol que involucran las palabras al-guienoalgo, deben especificarse con un cuantificador universal y no uno existencial. Por ejemplo, el enunciadosi hay alguien demasiado alto entonces se pegar´a con el marco de la puertase puede reescribir en espa˜nol comocualquiera demasiado alto chocar´a con el marco de la puerta, lo cual nos lleva a_@x_pA_px_{q Ñ} C_px_qq. El lector debe convencerse de que no es posible traducir esta oraci´on usando un cuantificador existencial.

• Pronombres como ´el, ella, eso no se refieren a un individuo particular sino que se usan como referencia a algo o alguien mencionado previamente, por lo que obtienen significado del contexto particular. Cuando un pronombre aparezca en un enunciado debe uno averiguar primero a qui´en o a qu´e se refiere. Por ejemplo, en el enunciado

Martha es amiga de Lupita pero ella no es amiga de Karla debe traducirse como

Martha es amiga de Lupita y Lupita no es amiga de Karla. Similarmente, cuando necesitamos de variables y cuantificadores, como enhay un perro con manchas y ´el ladra en las ma˜nanas es un error tratar de traducir por separado hay un perro con manchas y ´el ladra en las ma˜nanas puesto que lo que existe est´a ligado con lo que ladra por la conjunci´on, de manera que debe utilizarse una variable que modele esta conexi´on.

Borrador

4.3. Especificaci´on formal 177

• Los esquemas_@x_pA _Ñ B_q y_Dx_pA_^B_qson de gran utilidad y bastante comunes. Menos comunes, aunque tambi´en adecuados, son los esquemas_@x_pA_^B_q,_@x_pA_{_}B_q y_Dx_pA_{_}B_q.

• El esquema_Dx_pA_ÑB_q, si bien es una f´ormula sint´acticamente correcta, es extrema-damente raro que provenga de una especificaci´on en espa˜nol.

• El hecho de que se usen dos o m´as variables distintas no implica que ´estas representen a elementos distintos del universo, de manera que para especificar dos individuos distintos no es suficiente contar simplemente con variables distintas. Las f´ormulas DxP_px_qy_Dx_Dy_pP_px_{q ^}P_py_qqresultan l´ogicamente equivalentes por lo que expresan lo mismo; a saber, que algo cumple P. Si estamos hablando de elementos distintos del universo, se debe agregar expl´ıcitamente que x e y tienen la propiedad de ser distintas, es decirx_‰y.

4.3.1.

Juicios aristot ´elicos

Una gran parte de las especificaciones en lenguaje natural pueden formalizarse median-te instancias de alguno de los cuatro juicios aristot´elicos b´asicos, los cuales se refieren a dos relaciones y expresan las posibilidades de que ´estas se cumplan o no en ciertos individuos.

Ejemplo 4.10.Tomemos como universo de discurso al reino animal. Vamos a construir los llamados

juicios aristot´elicos fundamentalesa partir de las propiedadesser pericoyser feo. Primero definimos los predicados necesarios:

P_px_q xes perico F_px_q xes feo

(a) Juicio universal afirmativo:Todos los pericos son feos, @x_pP_px_{q Ñ}F_px_qq.

(b) Juicio existencial afirmativo:Algunos pericos son feos, Dx_pP_px_{q ^}F_px_qq.

(c) Juicio existencial negativo:Algunos pericos no son feos, Dx_pP_px_{q ^} F_px_qq.

(d) Juicio universal negativo: Ning´un perico es feo, lo cual es equivalente a decir que cualquier perico no es feo o bien todos los pericos no son feos; de manera que las dos siguientes especificaciones son correctas:

Dx_pP_px_{q ^}F_px_qq, _@x_pP_px_{q Ñ} F_px_qq.

Borrador

una cuantificaci´on universal examinamos todo el universo de discurso para comprobar que todo aquel que cumple P_px, . . ._q tambi´en cumple Q_px, . . ._q. Si el individuo que estamos examinando no cumpleP_px, . . ._qno nos interesa qu´e pasa conQ_px, . . ._q, por lo que quere-mos que la cuantificaci´on sea verdadera fij´andonos ´unicamente en aquellos individuos que cumplenP_px, . . ._q. Si us´aramos el esquema P_px, . . ._{q ^}Q_px, . . ._q, la cuantificaci´on ser´ıa falsa si en el universo de discurso hubiese individuos que no cumplen conP_px, . . ._q.

En el caso de la cuantificaci´on existencial deseamos encontrar, en el universo de dis-curso al menos a un individuo que cumpla conP_px, . . ._qyQ_px, . . ._q. Si usamos la f´ormu-la P_px, . . ._{q Ñ} Q_px, . . ._q, al examinar al primer individuo que no cumpla con P_px, . . ._q dar´ıamos por buena la cuantificaci´on, pues en el caso de que el antecedente sea falso, la condicional es verdadera; no seguir´ıamos revisando el universo de discurso para ver si encontramos a un individuo que cumpla conP_px, . . ._q; la cuantificaci´on se evaluar´ıa a ver-dadero aun cuando no existiese ning´un individuo como el que queremos. Con la conjunci´on garantizamos que tiene que existir al menos un individuo que cumpla con ambos predica-dos.

En el siguiente ejemplo nos servimos de juicios aristot´elicos para obtener especifica-ciones m´as complejas.

Ejemplo 4.11. Tenemos los siguientes predicados en el universo de discurso de los habitantes de la Ciudad de M´exico:

I_px_q xes inteligente.

E_px_q xes estudiante de la Facultad de Ciencias.

M_px_q axle gusta la m´usica.

Especificar con cuantificaciones los siguientes enunciados:

• Todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias son inteligentes. @x_pE_px_{q Ñ} I_px_qq

• A algunos estudiantes inteligentes les gusta la m´usica. Dx_pE_px_{q ^}I_px_{q ^}M_px_qq

• Todo aquel a quien le gusta la m´usica es un estudiante que no es inteligente. @x_pM_px_{q Ñ}E_px_{q ^} I_px_qq

Ejemplo 4.12. En este ejemplo observamos el significado de las distintas combinaciones de dos cuantificaciones. SeaQ_px, y_qel predicadox quiere a y.

• Todos quieren a alguien: _@x_DyQ_px, y_q

• Alguien quiere a todos: _Dx_@yQ_px, y_q

Borrador

4.3. Especificaci´on formal 179

• Alguno no es querido por nadie: _Dx_@y Q_py, x_q

• Alguien no quiere a nadie: _Dx_@y Q_px, y_q

• Todos no quieren a alguien: _@x_Dy Q_px, y_q

• Nadie quiere a todos: _Dx_@yQ_px, y_q

• Nadie quiere a nadie: _@x_@y Q_px, y_q

4.3.2.

Negaciones

Con frecuencia necesitaremos traducir la negaci´on de una cuantificaci´on, lo cual ejem-plificamos a continuaci´on.

Ejemplo 4.13. La negaci´on de una cuantificaci´on puede obtenerse simplemente anteponiendo el operador de negaci´on, por ejemplo:

• No todos son leonesse traduce como _@xL_px_q. • No existen leonesse traduce como _DxL_px_q.

Sin embargo, estas traducciones no proporcionan informaci´on suficiente y pueden me-jorarse usando equivalencias intuitivas del espa˜nol:

• No todos son leoneses lo mismo queexiste algo que no es le´on, cuya traducci´on es Dx L_px_q.

• No existen leoneses lo mismo quecualquiera no es le´on, cuya traducci´on es @x L_px_q.

Por supuesto que en los dos casos ambas traducciones deben ser equivalentes en la l´ogica pues lo son en espa˜nol. Analizaremos esto con m´as detalle en la subsecci´on 4.4.4.

Veamos un ejemplo m´as elaborado.

Ejemplo 4.14. Traducir el enunciadono todos los planetas tienen una luna. Definimos los predi-cadosP_px_q, L_px_q, T_px, y_qparaser planeta, ser lunayx tiene a yrespectivamente.

• Lo m´as simple es especificar primero la cuantificaci´on universal y anteponer la ne-gaci´on, obteniendo

@x`

P_px_{q Ñ D}y_pL_py_{q ^}T_px, y_qq˘

.

• Otra opci´on es transformar la frase a una equivalente en espa˜nol que permita una estructura l´ogica que nos d´e m´as informaci´on. En este caso el enunciado original es equivalente aexiste un planeta que no tiene lunas, cuya especificaci´on es

Dx`

P_px_{q ^ D}y_pL_py_{q ^}T_px, y_qq˘

Borrador

• Es posible refinar a´un m´as la traducci´on si observamos que la fraseno existe una luna tal que x la tengase puede reescribir comopara toda luna, x no la tiene, obteniendo as´ı la especificaci´on m´as refinada posible,

Dx`P_px_{q ^ @}y_pL_py_{q Ñ} T_px, y_qq˘.

4.3.3.

Contando objetos

Como ya mencionamos al principio de esta secci´on, el hecho de usar variables diferen-tes no implica que se refieran necesariamente a individuos distintos, de manera que para representar cantidades particulares se requiere especificar expl´ıcitamente que ciertos indi-viduos no son iguales. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4.15. En las siguientes especificaciones se utiliza el predicado binario de igualdad_“de manera infija. Adem´as, las f´ormulas del esquema _pt _“s_qse escriben comot_‰ s, como es usual en matem´aticas.

• Hay al menos una luna, esto resulta equivalente ahay una luna: DxL_px_q.

• Hay m´as de una luna; es decir,existen al menos dos lunas: Dx_Dy_pL_px_{q ^}L_py_{q ^}x_‰y_q.

Obs´ervese que se hace expl´ıcito el hecho de que las lunas denotadas porx ey son diferentes.

• Hay al menos tres lunas. De manera similar al enunciado anterior, usamos tres varia-bles y hacemos expl´ıcito el hecho de que denotan a tres individuos diferentes:

Dx_Dy_Dz_pL_px_{q ^}L_py_{q ^}L_pz_{q ^}x_‰y_^x_‰z_^y _‰z_q.

En general es posible definir el enunciadohay al menosnobjetosde manera an´aloga. Sin embargo es imposible especificar que existe una infinidad de objetos. ¿Por qu´e? • Existe un ´unico sol. Lo usual aqu´ı es especificar que hay un sol y que cualesquiera

dos soles en realidad son iguales: Dx`

S_px_{q ^ @}y_@z_pS_py_{q ^}S_pz_{q Ñ}y_“z_q˘

.

Este esquema es de gran utilidad en matem´aticas y suele abreviarse como_D!_xPpxq

para cualquier predicadoP.

• Hay a lo m´as un sol, lo cual es equivalente acualesquiera dos soles son el mismo. @x_@y_pS_px_{q ^}S_py_{q Ñ}x_“y_q.

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4.3. Especificaci´on formal 181

4.3.4.

Micromundos

En inteligencia artificial un micromundo es un modelo artificialmente simple de una si-tuaci´on real; por ejemplo, si se desea programar un robot para que mueva objetos de manera inteligente, basta modelar los movimientos deseados sin tomar en cuenta sus dimensiones reales ni la cantidad total de objetos en juego, para lo cual basta considerar una idealizaci´on del mundo real con pocos objetos. A continuaci´on especificamos algunas descripciones pa-ra dos micromundos similares a los utilizados en inteligencia artificial.

El micromundo de cubos

En este micromundo hay cubos de color amarillo, azul o rojo. Un cubo puede estar sobre otro o en el piso. Definimos los predicados S_px, y_q representando que el cubo x est´a sobre el cuboy;A_px_q, Az_px_qyR_px_qque representan que un cubo puede ser de color amarillo, azul o rojo respectivamente;L_px_qsignifica que el cuboxest´a libre, es decir que ning´un cubo est´a sobre el cubo x; y la constante p representa al piso. Veamos algunas especificaciones.

• Ning´un cubo amarillo est´a libre: @x_pA_px_{q Ñ} L_px_qq

• Hay un cubo azul libre y un cubo rojo libre: Dx_Dy`Az_px_{q ^}L_px_{q ^}R_py_{q ^ p}y_q˘. • Cualquier cubo amarillo tiene un cubo sobre ´el:

@x´A_px_{q Ñ D}y`

S_py, x_{q ^}x_‰y˘¯

.

• No todos los cubos azules est´an libres: Dx_pAz_px_{q ^} L_px_qq.

• Hay un cubo azul sobre el piso con un cubo amarillo sobre ´el y un cubo rojo sobre el amarillo:

Dx_Dy_Dw´Az_px_{q ^}A_py_{q ^}R_pw_{q ^}S_px, p_{q ^}S_py, x_{q ^}S_pw, y_q¯.

Un mundo de tri ´angulos, c´ırculos y cuadrados

Borrador

ejemplo, N_px, y_q significax est´a al norte de y. Finalmente, tenemos Co_px, y_q y R_px, y_q para indicar quexest´a en la misma columna o rengl´on quey, respectivamente. Hagamos algunas descripciones para este micromundo.

• Hay c´ırculos medianos y cuadrados grandes: Dx`

C_px_{q ^}M_px_q˘

^ Dy`

S_py_{q ^}G_py_q˘

.

• No hay cuadrados peque˜nos: @x`S_px_{q Ñ} P_px_q˘.

• Hay un tri´angulo al sur de todos los c´ırculos:

Dx´T_px_{q ^ @}y`C_py_{q Ñ} Su_px, y_q˘¯. • No hay dos tri´angulos en el mismo rengl´on:

Dy_Dx`

T_px_{q ^}T_py_{q ^}R_px, y_q˘

.

• Hay un c´ırculo tal que todos los c´ırculos al oeste de ´el son grandes:

Dx´C_px_{q ^ @}y`

C_py_{q ^}O_py, x_{q Ñ}G_py_q˘¯

.

Con esto terminamos esta secci´on y a continuaci´on nos ocupamos brevemente de al-gunos aspectos sem´anticos de la l´ogica de predicados. Regresaremos a los micromundos despu´es de revisar algunos conceptos relacionados.

Ejercicios

4.3.1.- Para los siguientes predicados prop´on un universo de discurso adecuado:

(a) A_px_q xtiene los p´etalos amarillos (b) menor_px,M´INIMOq xes menor que el m´ınimo (c) P_px, y_q xes padre dey

(d) R_px_q xruge

(e) mayor_px,0_{q xes mayor que 0}

4.3.2.- Considera los siguientes enunciados donde se usan predicados. Determina cu´ales son los predicados necesarios y escribe cada uno de los enunciados en c´alculo de predicados. El universo de discurso es el conjunto de todas las personas.

(a) Los enemigos de mis enemigos son mis amigos. (b) Los amigos van y vienen; los enemigos se acumulan.

(c) Juan aprecia a Mar´ıa y Mar´ıa aprecia a Lupita; entonces Juan aprecia a Lupita. (d) Juan es familiar de Rosa; Rosa es familiar de Guillermo; entonces Juan es

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4.3. Especificaci´on formal 183

4.3.3.- Considera los siguientes enunciados donde se usan predicados. Determina cu´ales son los predicados necesarios y escribe cada uno de los enunciados en c´alculo de predicados. El universo de discurso es el conjunto de todos los animales.

(a) Los leones comen carne cruda. (b) S´olo los leones rugen.

(c) El piquete de abejas duele mucho. (d) La boa constrictora no es venenosa. (e) La v´ıbora de cascabel es venenosa.

(f) No hay mam´ıferos venenosos.

4.3.4.- Considera los siguientes enunciados donde se usan predicados. Determina cu´ales son los predicados necesarios y escribe el argumento l´ogico us´andolos. El universo de discurso son los animales de la selva.

(a) Los leones son feroces.

(b) Los elefantes asustan a los leones. (c) Los ratones asustan a los elefantes.

(d) De esto, los ratones asustan a animales feroces.

4.3.5.- Considera los siguientes enunciados donde se usan predicados. Determina cu´ales son los predicados necesarios y escribe el argumento l´ogico us´andolos. El universo de discurso son las computadoras asignadas a Ciencias de la computaci´on.

(a) La computadoraxha sido invadida (hackeada) desde la computadoray. (b) La computadoraxfunciona con el sistema operativo Linux.

(c) La computadoraxfunciona con el sistema operativo Windows.

(d) El servidor del taller de Lenguajes de programaci´on, que funciona con Linux, no fuehackeado.

(e) El servidor del taller de Ingenier´ıa de software, que funciona con Windows, s´ı fuehackeado.

(f) Si una computadora tiene el sistema Linux no puede serhackeada.

4.3.6.- Traduce los siguientes enunciados a cuantificaciones universales y (o) existenciales, donde el universo de discurso son los d´ıas de la semana, suponiendo los predicados y constantes que siguen:

• S_px_q el d´ıaxest´a soleado • L la constante ”Lunes”

• N_px_q el d´ıaxest´a nublado • M la constante “Martes”

(a) Todos los d´ıas est´an soleados. (b) Algunos d´ıas no est´an nublados.

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(d) Algunos d´ıas est´an soleados y nublados.

(e) Ning´un d´ıa es al mismo tiempo soleado y nublado. (f) Siempre est´a soleado s´olo si est´a nublado.

(g) Ning´un d´ıa es soleado.

(h) El lunes estuvo soleado, por lo que todos los d´ıas estar´an soleados. (i) Se nubl´o el lunes y el martes.

(j) Si alg´un d´ıa est´a nublado, entonces todos los d´ıas estar´an soleados.

4.3.7.- Escribe las f´ormulas con cuantificadores de los siguientes enunciados, suponiendo que el universo de discurso son las personas, usando la siguiente asignaci´on para los predicados:

• J_px_q xes juez • A_px_q xes abogado

• M_px_q xes mujer • Q_px_q xes qu´ımico

• R_px, y_q xrespeta ay

(a) Hay algunas abogados mujeres que son qu´ımicos. (b) Ninguna mujer es abogado y qu´ımico.

(c) Algunos abogados s´olo respetan jueces. (d) Los jueces respetan s´olo a los jueces.

(e) Todas las abogados mujeres respetan a alg´un juez.

(f) Algunas mujeres no respetan a ning´un abogado.

4.3.8.- SeaT_px, y_qel predicadoxpuede tomarle el pelo ay, donde el dominio consiste de todos los seres humanos. Usa cuantificadores para expresar cada uno de los siguientes enunciados:

(a) Todo mundo puede tomarle el pelo a Juan. (b) Mar´ıa puede tomarle el pelo a cualquiera. (c) Cualquiera puede tomarle el pelo a alguien. (d) Nadie puede tomarle el pelo a cualquiera.

(e) Siempre hay alguien que le puede tomar el pelo a cualquiera.

(f) Hay exactamente una persona a quien cualquiera puede tomarle el pelo.

(g) Hay alguien que puede tomarle el pelo a exactamente una persona distinta de s´ı mismo.

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4.3. Especificaci´on formal 185

(a) Luisa le pregunt´o al Profesor Miguel una pregunta.

(b) Cada estudiante le hizo una pregunta al Profesor Garc´ıa.

(c) Todo profesor ha hecho una pregunta al Profesor L´opez o bien el Profesor P´erez les ha hecho una pregunta.

(d) Alg´un estudiante no le ha hecho preguntas a ning´un profesor.

(e) Hay un profesor a quien ning´un estudiante le ha hecho nunca ninguna pregunta. (f) Un estudiante le ha hecho preguntas a todos los profesores.

(g) Hay un profesor que le ha hecho preguntas a cada uno de los profesores. (h) Hay un estudiante al que ning´un profesor le ha hecho preguntas.

4.3.10.- Hacer las siguientes traducciones, definiendo previamente el universo de discurso y los predicados necesarios.

(a) Los perros muerden a los carteros.

(b) Existe un perro que muerde a los carteros.

(c) Existe un cartero que es mordido por todos los perros. (d) Hay un perro que no muerde carteros.

(e) Hay un cartero que no es mordido por perros. (f) Hay un perro que es cartero y se muerde a s´ı mismo.

4.3.11.- Traduce las siguientes oraciones a f´ormulas, donde el universo de discurso son las novelas, usando los siguientes predicados:

• S_px_q x es una novela de esp´ıas • M_px_q x es una novela de misterio

• L_px_q x es larga • M_px, y_q x es mejor que y

(a) Todas las novelas de esp´ıas son largas.

(b) No todas las novelas de misterio son una novela de esp´ıas. (c) S´olo las novelas de misterio son largas.

(d) Algunas novelas de esp´ıas son de misterio.

(e) Las novelas de esp´ıas son mejores que las de misterio. (f) S´olo las novelas de esp´ıas son mejores que las de misterio.

4.3.12.- Traduce los siguientes argumentos a la l´ogica de predicados. Especifica el universo de discurso y explica el significado de cada predicado usado.

(a) A algunos pacientes les caen bien todos los doctores. A ning´un paciente le cae bien una enfermera. Por lo tanto ning´un doctor es enfermera.

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4.3.13.- Expresa las siguientes especificaciones de un sistema de c´omputo usando l´ogica

de predicados. Declara previamente los predicados que vas a utilizar.

(a) Si hay menos de30_{megabytes libres en el disco duro, se env´ıa un mensaje de}

advertencia a todos los usuarios.

(b) Ning´un directorio puede abrirse ni ning´un archivo puede cerrarse si se han de-tectado errores en el sistema.

(c) El sistema de archivos no puede respaldarse si hay alg´un usuario con sesi´on activa.

(d) Pueden recibirse archivos de v´ıdeo cuando hay al menos8 _{megabytes de}

me-moria disponible y la velocidad de conexi´on es al menos de 56 _{kilobits por}

segundo.

4.4. Sem´antica informal

En esta secci´on nos dedicaremos a dar ciertas ideas acerca de la sem´antica de la l´ogica de predicados. Lo haremos de manera informal e intuitiva, dado que la sem´antica formal requiere de mecanismos matem´aticos m´as avanzados que caen fuera del alcance de este libro.

4.4.1.

Dominios de interpretaci ´on

Antes de determinar cu´ando una f´ormula de la l´ogica de predicados es verdadera debe-mos formalizar el concepto de universo de discurso; eso se hace mediante un dominio de interpretaci´on, el cual es un conjunto no vac´ıo en el que se definen matem´aticamente los significados de los s´ımbolos de constante, predicado y funci´on usados en las especificacio-nes formales, de manera que un s´ımbolo de constante ser´a un individuo, y los predicados y funciones ser´an operadores entre elementos del universo, que devuelven otro elemento del universo en el caso de una funci´on, o bien un valor booleano en el caso de un predicado. Veamos algunos ejemplos.

Tabla 4.1. Distintos universos y dominios

Con: Se representa a Operadores Comentarios:

Z Los enteros _`

´ ˆ mod

div neg?_,|

Los operadores para los n´umeros natura-les siguen siendo v´alidos y agregamos la operaci´on de resta, el operador de deci-si´onser negativoy el operador de divisi-bilidad.

Borrador

4.4. Sem´antica informal 187

Tabla 4.1. Distintos universos y dominios Contin ´ua de la p ´agina anterior

Con: Se representa a Operadores Comentarios:

N Los n´umeros

naturales

0_,1

` ˆ mod

div ą,_ă, par?_,

primo?

Los n´umeros naturales tienen definidas la suma y el producto. Tambi´en tienen residuo entero (mod) y cociente entero (div). Como interpretaci´on de constantes tenemos la identidad 1 _{y elemento nulo} 0_{, as´ı como los operadores de decisi´on}

para orden, par y primo que correspon-den a predicados.

Q N´umeros racionales ˜, num den simp etc.

Aqu´ı ya es posible usar la divisi´on; tene-mos adem´as operadores que devuelven el numerador o denominador de un racio-nal y el operador de simplificaci´on que elimina factores comunes.

R Los n´umeros

reales ? t u r s rac? π e

Agregamos las operaciones de ra´ız cua-drada (v´alida s´olo para reales positivos), mayor entero menor o igual, menor ente-ro mayor o igual, el predicado ser racio-nal y las constantesπye

B Los booleanos

t1,0_u

^,_{_} Ñ,_Ø

Bes el tipo booleano, que recibe su nom-bre del matem´atico ingl´es George Boole (1815-1864) que cre´o las bases algebrai-cas para la l´ogica. Los operadores son los mismos definidos en el cap´ıtulo dos.

MB Micromundo de

cubos piso azul? verde? libre? sobre? arriba? mover etc.

El universo es heterog´eneo pues tiene al piso. Aqu´ı se tienen predicados para los colores; si se desea tener una funci´on que devuelva el color de un objeto es necesa-rio a˜nadir los colores al dominio y tam-bi´en predicados para decidir si un indivi-duo es color o cubo.

Borrador

Tabla 4.1. Distintos universos y dominios Contin ´ua de la p ´agina anterior

Con: Se representa a Operadores Comentarios:

H Los seres vivos que pertenecen al

reino Fungi

comestible? venenoso? =-familia?

mismo?

etc.

Si se desean operaciones que devuel-van lugar de origen o dimensiones, por ejemplo, el dominio debe volverse hete-rog´eneo para incluir lugares y n´umeros.

F C _{La Facultad de} Ciencias

inscribir estudiar calificar

estudiante? profesor? reprueba?

etc.

Un dominio donde hay personas, salo-nes, clases, n´umeros de cuenta, libros, apuntes, etc..

MF Micromundo de

figuras

cuadrado? c´ırculo? tri´angulo? peque˜no? al-norte?

etc.

En este dominio s´olo hay figuras pero no es completamente homog´eneo pues las figuras son de tres clases diferentes, por lo que necesitamos de los predicados pa-ra cuadpa-rado, c´ırculo y tri´angulo. Sin em-bargo, y a diferencia de otros mundos he-terog´eneos, el dominio est´a claramente partido en tres clases distintas de objetos.

MiBiblio Una biblioteca elegir prestar ordenar

est´a?

etc.

El dominio es heterog´eneo y debe conte-ner libros, libreros, personas, etc.

4.4.2.

Noci ´on informal de verdad

Si el dominio de interpretaci´on (universo de discurso) que est´e en uso es finito, enton-ces, en teor´ıa, podemos asignar el valor de falso o verdadero a cada predicado analizando todas las posibles combinaciones de individuos en dicho universo de discurso. Por ejem-plo, si tenemos el predicado_ą(mayor que) y nuestro universo de discurso consiste de los enteros1_,2_,3_y4_{, entonces podemos hacer una tabla que asigne los valores de falso o}

Borrador

4.4. Sem´antica informal 189

Tabla 4.2. Asignaci ´on para el predicadoą(mayor que)

ą 1 2 3 4

1 _{0 0 0 0}

2 _{1 0 0 0}

3 _{1 1 0 0}

4 _{1 1 1 0}

Por supuesto que esto resulta m´as complicado si el universo es demasiado grande, como en el caso en que el universo conste de los enteros1_{, . . . ,}1000_{. Por otra parte, si el universo}

en cuesti´on consta de todos los n´umeros naturales, resulta imposible construir la tabla pues tendr´ıa un n´umero infinito de columnas y un n´umero infinito de renglones:

ą 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 _{. . . .} 1 _{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . .}

2 _{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . .}

3 _{1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . .}

4 _{1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . .}

. . . .

. . . .

Si el ´ındice de un predicado es uno o dos y el universo finito, tambi´en es f´acil ver la asignaci´on en una tabla. Sin embargo, si el ´ındice es tres o m´as, aunque el universo sea relativamente peque˜no, ya no es f´acil visualizar dicha asignaci´on. De manera que el uso de tablas de verdad para la l´ogica de predicados es inadecuado. Esto es de esperarse, ya que la noci´on de verdad en l´ogica de predicados es mucho m´as complicada puesto que depende de un mundo en particular, al contrario de lo que suced´ıa en la l´ogica de proposiciones, donde en el fondo el ´unico mundo o universo de discurso es el de los valores booleanosciertoo

falso. En esta nueva l´ogica, el universo de discurso puede incluir literalmente cualquier co-sa: n´umeros, conjuntos, piedras, flores, ´arboles, palabras, galaxias, etc´etera. De manera que la noci´on de verdad depender´a del mundo que hayamos fijado de antemano. Por supuesto que al cambiar ´este, el valor de verdad de una f´ormula tambi´en puede hacerlo.

Antes de dar una definici´on de verdad analicemos el caso de los cuantificadores con un ejemplo sencillo en el micromundo de figuras:

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es cierta yC_pa2qes cierta y . . . yCpanqes cierta; es decir, si y s´olo si la conjunci´on C_pa1q ^. . .^Cpa1qes cierta. Obs´ervese que esto no puede ser una definici´on, pues en el caso en que el universo sea infinito es imposible formar la conjunci´on de todos los objetos.

• Existe algo peque˜no:_DxP_px_q. Similarmente a la cuantificaci´on universal, esta f´ormu-la es cierta si y s´olo si alguno de los objetosa1, . . . , anresulta ser peque˜no; es decir, si la disyunci´onP_pa1q _. . ._Ppanqes cierta.

Esta idea intuitiva nos lleva a una definici´on informal de verdad para cualquier f´ormula de la l´ogica de predicados, la cual damos a continuaci´on.

Definici ´on 4.4.16.

Dada una f´ormula A de la l´ogica de predicados, definimos cu´ando A es verdadera en un mundo o universo de discurso dadoM,de acuerdo a su forma sint´actica, como sigue:

• SiAes una f´ormula at´omica, digamosP_pt1, . . . , tnq, entoncesAes verdadera enM si y s´olo si los valores de los t´erminost1, . . . , tncomo individuos de Mest´an en la relaci´on del universo definida porP.

• Si A es una f´ormula proposicional3, entonces usamos los criterios de verdad de la l´ogica proposicional.

• SiA _{“ @}xB es una f´ormula universal, entoncesAes verdadera enMsi y s´olo siB es verdadera enMpara todos los posibles valores dexcomo individuo deM. • SiA _{“ D}xB es una f´ormula existencial, entoncesAes verdadera enMsi y s´olo si

B es verdadera enMpara alg´un valor dexcomo individuo deM.

Esta definici´on es informal puesto que en el caso en que el universo de discurso sea infinito, no queda claro en general c´omo mostrar que la f´ormula_@xB es cierta para todos los valores posibles dex. La definici´on formal se estudia en cursos de L´ogica matem´atica o computacional y se conoce como definici´on de verdad de Tarski.

4.4.3.

Verdad en micromundos

A continuaci´on regresamos a nuestros dos micromundos particulares empezando con el mundo de los cubos para ejemplificar la definici´on informal de sem´antica que acabamos de enunciar. En los siguientes ejemplos nos referiremos al mundo particular que se encuentra en la figura 4.1.

Queremos ahora determinar la sem´antica de algunas f´ormulas en este micromundo.

3_{Es decir, una f´ormula que pertenece a alg´un esquema de la l´ogica proposicional, con predicados en lugar}

de variables proposicionales. Por ejemplo@xPpxq Ñ Qpx, yqque corresponde al esquema proposicional

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[image:30.612.133.558.116.701.2]

4.4. Sem´antica informal 191

Figura 4.1. Micromundo de cubos

rojo amarillo azul

• Cualquier cubo rojo est´a libre: @x`R_px_{q Ñ}L_px_q˘.

Verdadero, pues los cubos rojos en la primera y cuarta torre, que son todos los cubos rojos en este micromundo, est´an libres.

• Todos los cubos sobre el piso son azules: @x`S_px, p_{q Ñ} Az_px_q˘.

Falso, pues la primera y segunda torre tienen cubos amarillos sobre el piso, por lo que no todos los cubos sobre el piso son azules.

• Cualquier cubo que est´e sobre un cubo amarillo es rojo o azul:

@x´_Dy_pA_py_{q ^}S_px, y_{qq Ñ}R_px_{q _}Az_px_q¯.

Cierto, ya que los cubos amarillos de la primera y cuarta torre tienen un cubo rojo encima, y el cubo amarillo de la segunda torre tiene encima un cubo azul.

• Hay un cubo rojo sobre un cubo rojo: Dx_Dy`

R_px_{q ^}R_py_{q ^}S_px, y_q˘

.

Falso. Los dos cubos rojos, en la primera y cuarta torre, son libres, por lo que no tienen encima a ning´un cubo, en particular a uno rojo.

• Hay un cubo amarillo libre sobre el piso: Dx`

A_px_{q ^}L_px_{q ^}S_px, p_q˘

.

Falso. No hay ning´un cubo libre sobre el piso, en particular que sea amarillo, por lo que la f´ormula es falsa.

• Ning´un cubo est´a sobre el piso: @x S_px, p_q.