IA DE EJERCICIOS - F´

GU´

IA DE EJERCICIOS - F´

ISICA II

-Semestre 2016-1 - Profesor: Pierre Guiraud

I. CAMPO EL ´ECTRICO y TEOREMA DE GAUSS

En los ejercicios 1 a 6, se pide calcular mediante el Teorema de Gauss el campo el´ectrico

generado por una distribuci´on de cargas en todo punto del espacio. En cada caso se le

indica el sistema de coordenadas apropiado y una superficie de Gauss adecuada. Para cada ejercicio conteste las siguientes preguntas:

1. Encontrar las transformaciones (traslaciones, rotaciones) que dejan la distribuci´on

de carga ind´entica, y deducir de cuale(s) variable(s) del sistema de coordenadas

depende la norma del campo.

2. Encontrar los planos de simetr´ıa que pasan por un punto M e indicar la direcci´on

del campo en M usando la base del sistema de coordenadas.

3. Deducir la forma del campo en el punto M en la base del sistema de coordenadas

(Ejemplo: E~(M) = Ex(y)~ux, si es que se ocupa el sistema cartesiano y M tiene

coordenadas (x, y, z)).

4. Calcular el flujo del campo a trav´es de la superficie de Gauss (indicada) que pase

porM, en funci´on de las coordenadas del puntoM y de las componentes del campo.

5. Calcular la carga contenida en la superficie de Gauss en funci´on de la posici´on del

punto M.

6. Aplicar el Teorema de Gauss para obtener el campo enM.

Ejercicio 1. Se considera una esferaS de radioR con una carga superficial uniforme σ.

(Coordenadas esf´ericas, superficie de Gauss: esferaS0 conc´entrica a S).

Ejercicio 2. Se considera una esfera de radioR con una carga uniforme volumetrica ρ.

(Coordenadas esf´ericas, superficie de Gauss: esferaS0 conc´entrica a S).

Ejercicio 3.Se considera cilindro infinitoCde radioRcon una carga uniforme superficial

σ. (Coordenadas cil´ındricas, superficie de Gauss: cilindro C0 con mismo eje queC).

Ejercicio 4. Se considera cilindro infinito C de radio R con una carga uniforme

volu-metrica ρ. (Coordenadas cil´ındricas, superficie de Gauss: cilindro C0 con mismo eje que

C).

Ejercicio 5.Se considera hilo H infinito con una carga uniforme lineal λ. (Coordenadas

Ejercicio 6. Se considera plano P con una carga uniforme superficial σ. (Coordenadas cartesianas (o cil´ındricas), superficie de Gauss: cubo (o un cilindro) partido por la mitad

porP).

Ejercicio 7.Ocupando el resultado del Ejercicio 6 y el teorema de superposici´on,

encon-trar el campo el´ectrico creado por dos planos paralelos separado por una distanciady de

densidad de carga superficial respectivaσ y −σ. Se supone que los planos son

perpendi-culares a un eje (Oz), que el plano de carga σ esta en una altura d/2 y que el de carga

−σ esta en una altura−d/2.

II. DISTRIBUCIONES DE CORRIENTE Y LEY DE BIOT Y SAVART

Ejercicio 8.Determinar las invarianzas (traslaci´on, rotaci´on) y los planos de simetr´ıa y/o de anti-simetr´ıa (si es que hay), de las siguientes distribuciones de corriente:

1. Un circuito cuadrado,A = (0, a,0), B = (0,0, a), C = (0,−a,0) y D = (0,0,−a),

recorrido por una corriente I.

2. Un hilo de cobre arrollado sobre un cono de eje (Oz) de puntaS con semi-´anguloα.

Los radios extremos son R1 yR2. Este circuito est´a recorrido por una corriente I.

Se pide expresar las simetr´ıas usando las coordenadas y los vectores de base de un sistema de coordenadas adecuado.

Ejercicio 9. Calcular el campo magn´etico creado por una espiral de eje (Oz), de centro

O, de radio R y recorrida por una corriente I

1. En el centroO de la espiral.

2. En un puntoM de su eje.

3. Deducir el campo magn´etico creado en un punto M del eje de una bobina circular

constituida de N espirales pegadas, cuyo ancho es despreciable frente al radio R de

las espirales.

Ejercicio 10.Se considera el circuito representado en la Figura 1 constituido de dos hilos

semi-infinitos unidos por una semi-espiral circular de centroOy de radioR. El circuito esta

contenido en el plano (xOy) y recorrido por una corrienteI. Calcular el campo magn´etico

en el puntoO.

s’entraîner

Électromagnétisme PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa

74

➤Corrigé p. 79 Disque de Rowland

Un disque de centre O et de rayon R, chargé

uni-formément ( est mis en rotation à la vitesse

angulaire constante autour de son axe de révo-lution

1. Rappeler le vecteur densité surfacique de

cou-rant ainsi créé en un point du disque.

2. En décomposant le disque en spires de courant

élémentaires d’épaisseur dr exprimer le champ

élémentaire créé au point M de l’axe

En déduire le champ résultant au point M.

Cas particulier : que vaut le champ en ?

➤Corrigé p. 79 Circuit semi-circulaire

On considère le circuit représenté sur la figure ci-après constitué de deux fils semi-infinis reliés par une semi-spire circulaire de centre O et de rayon R. Le circuit est contenu dans le plan et est parcouru par un courant I.

Calculer le champ mangétostatique au point O.

➤Corrigé p. 79 Bobine plate

Considérons une bobine plate comportant N

spi-res jointives concentriques dont le rayon évolue

entre et

Déterminer le champ magnétostatique produit en un

point M de l’axe de cette bobine, en fonction

de I (intensité du courant parcourant les spires), et (angles sous lesquels les rayons et sont vus du point M).

Nota : on donne

➤Corrigé p. 80 Sphère bobinée

Une sphère de rayon R et de centre O est recouverte

d’un grand nombre de spires N parcourues par un

même courant d’intensité I. Calculer le champ magnétostatique créé au centre O de la sphère par cette distribution de courant dans les deux cas suivants :

1. les spires sont jointives (figure a) ;

2. les plans des N spires sont équidistants suivant et les spires ne sont plus jointives (figure b).

➤Corrigé p. 81 Circuit carré

Considérons un circuit carré ;

1

✱ 15 min

σ!0)

ω

Oz

( ).

z

O R

(σ)

ω

P r( )

dB Oz.

B z= 0

2

✱ _{15 min}

xOy

( )

B

I

O x

3

✱ 15 min

R1 R2.

O R1

R2

I

Oz

( )

R1,

R2, θ1 θ2 R1

R2

dθ θ cos

--- θ

2

--- π

4

---+

 

 

tan .

ln

=

∫

4

✱ ✱ _{15 min}

O

b)

O

z a)

I I

Oz

( ),

5

✱ ✱ _{40 min}

A1_0, ,a₂--- ₂---a_

© Nathan,

classe prépa

III. POTENCIAL ELECTRICO

Ejercicio 11.Dos cargas puntuales de valor q y 3q (con q >0) est´an ubicadas

respecti-vamente en dos puntos del eje (Ox): A= (−a,0) yB = (3a,0), ver Figura 2.

➤un axe de syme´trie des charges alors!EðMÞest suivant cet axe Si la re´partitions des charges est invariante :

➤par translation suivant une directionOzalors champ et potentiel ne de´pendent pas de la variable z

➤par rotation d’un angle ! autour d’un axe Ozalors champ et potentiel ne de´pendent pas de la variable!

➤Champ et potentiel cre´e´s par une distribution de charges : Principe de superposition : on additionne les champs et les potentiels.

EXERCICES

2.1 Champ e´lectrostatique cre´e´ par deux charges

Deux charges ponctuelles de valeurs#qet 3q(avecq>0) sont place´es respectivement en deux points de l’axe Ox :A(#a, 0) etB(3a, 0) (figure 2.28).

a) Quelle est l’expression du champ e´lectrostatique cre´e´ par les charges au pointM(x,y).

b)Calculer le potentiel e´lectrostatiqueV(M).

c)De´terminer la nature de la courbe associe´e a` l’e´quipotentielle

V = 0

2.2 E´tude qualitative d’une cartographie de lignes du champ e´lectrostatique

On conside`re le syste`me de charges ne´gatives re´parties sur une surface plane. Un mate´riau conducteur pointu, lorsqu’il est mis en contact avec la surface charge´e, modifie les lignes e´quipotentielles comme indique´ sur la figure avecVo<V1<V2<V3<V4(figure 2.29).

M(x,y)

A(-a, 0) x

y

B(3a, 0)

-q 3q

Figure 2.28

Exercices 69

Figura 2: Sistema de 2 cargas puntuales.

1. Calcular el potencial electrost´aticoV(M) en un puntoMde coordenadas cartesianas

(x, y).

2. Deducir la expresi´on del campo electrico creado por las cargas en el puntoM.

3. Determinar la curva equi-potencial asociada al potentialV = 0.

Ejercicio 12.Se considera un sistema de cargas negativas distribuidas en una superficie plana. Un material conductor puntudo, cuando en contacto con la superficie cargada,

modifica las l´ıneas equi-potenciales como indicado en la Figure 3 con V0 < V1 < V2 <

V3 < V4.

a)Dessiner qualitativement mais de fa¸con concise les lignes du champ e´lectrostatique sur la figure en pre´cisant leurs orientations.

b)Pre´ciser sur le sche´ma les re´gions ou` le champ e´lectrostatique est le plus intense et celles ou` il est moins intense. Justifier soigneusement votre analyse de la cartographie.

2.3 Notion de Champ, Potentiel et Gradient

Soit un champ de vecteurs de´fini en un pointM(r, !) par ses composantes en coordonne´es polaires :Er¼2kcos!=r3 etE!¼ ksin!=r3_{ou`kest une constante.}

a)Montrer que ce champ de vecteurs est le gradient d’une fonction scalaireVðr;!Þ. L’expression du gradient en coordonne´es polaires est :

grad$!Vðr;!Þ ¼qV_qr!urþ

1

r qV q!u

!

!

b)De´terminer la fonctionVðr;!Þ(on prendraVð¥Þ ¼0).

c)De´terminer l’e´quation des lignes de Champ en coordonne´es polaires.

d)Exprimer le champ de vecteurs en fonction des coordonne´es carte´siennes.

2.4 Champ et potentiel e´lectrostatiques cre´e´s par une distribution line´ique de chargeslo

Un conducteur est constitue´ de deux brins rectilignes de longueurLet d’un demi-cercle de centreOet de rayonR(voirfigure 2.30). Une charge e´lectrique est uniforme´ment re´partie sur le conducteur avec la densite´ uniformelo.

De´terminer le champ et le potentiel e´lectrostatiques cre´e´s par le conducteur enO(voirfigure 2.31).

2.5 Champ et potentiel e´lectrostatiques cre´e´s par une distribution surfacique de chargesso

Dans le cas d’un conducteur plan de´limite´ par deux demi-cercles concentriques, de rayonR1etR2, de´terminer le champ et le potentiel

au centreO(voir figure 2.31).

équipotentielles

V1

V2

V3

V4

V0

Figure 2.29

70 Chapitre 2●_{Champ et potentiel e´lectrostatiques}

Figura 3: L´ıneas equi-potenciales

1. Dibujar en la figura las l´ıneas del campo electrost´atico, especificando sus

orientacio-nes.

2. Indicar en su dibujo las regiones donde el campo electrost´atico es el m´as intenso y

donde es menos intenso. Justificar su repuesta.

Ejercicio 13.Sea un campo de vectores definido en un puntoM(r, θ) por sus componentes

1. Mostrar que este campo de vectores es el gradiente de una funci´on escalar V(r, θ).

La expresi´on del gradiente en coordenadas polares es:

−−→

gradV(r, θ) = ∂V

∂r(r, θ)~ur+

1

r ∂V

∂θ(r, θ)~uθ.

2. Encontrar la funci´on V(r, θ) (se supondr´a que vale 0 a distancia infinita del or´ıgen).

3. Expresar el campo en el sistema de coordenadas cartesianas.

SISTEMAS DE COORDENADAS Y BASE ASOCIADAS

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Figura 4: Coordenadas cartesianas (x, y, z) y base asociada (~ex, ~ey, ~ez).

Vector posici´on:−−→OM =x~ex+y~ey+z~ez.

Vector desplazamiento elemental:−→dl=dx~ex+dy~ey+dz~ez.

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Figura 5: Coordenadas cil´ındricas (r, θ, z) y base asociada (~er, ~eθ, ~ez).

Vector posici´on:−−→OM =r~er+z~ez.

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r, ~eθ, ~eφ).

Vector posici´on:−−→OM =r~er.