expresiones algebraicas pdf

Cap´ıtulo 2

Expresiones Algebraicas

M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ıguez S.

Instituto Tecnol´ogico de Costa Rica Escuela de Matem´atica

· · ·

Cr´editos

Primera edici´on impresa: Rosario ´Alvarez, 1984.

Edici´on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´on, Mar´ıa Elena Abarca, Lisseth Angulo. y Walter Mora.

Colaboradores: Cristhian Pa´ez, Alex Borb´on, Juan Jos´e Fallas, Jeffrey Chavarr´ıa Edici´on y composici´on final: Walter Mora.

Gr´aficos: Walter Mora, Marieth Villalobos.

Contenido

2.1 Expresiones Algebraicas . . . 3

2.2 Operaciones con expresiones algebraicas . . . 6

2.2.1 Suma de monomios semejantes . . . 6

2.2.2 Multiplicaci´on de Monomios . . . 10

2.2.3 Simplificaci´on de fracciones con monomios . . . 11

2.3 Polinomios . . . 17

2.3.1 Divisi´on de polinomios en una variable . . . 19

2.3.2 Divisi´on Sint´etica . . . 25

2.4 Factorizaci´on de Polinomios . . . 28

2.4.1 T´ecnicas de factorizaci´on . . . 29

2.5 Factorizaci´on de polinomios en una variable . . . 45

2.5.1 Factorizaci´on de polinomios de grado 2 . . . 45

2.5.2 Factorizaci´on de polinomios de grado mayor que 2, con coeficientes enteros . . . 54

2.6 Fracciones Racionales en una Variable . . . 61

2.6.1 Fracciones Racionales en una Variable . . . 61

2.6.2 Simplificaci´on de fracciones racionales . . . 62

2.6.3 Operaciones con fracciones racionales . . . 64

2.7 Racionalizaci´on de expresiones algebraicas . . . 79

2.7.1 Racionalizaci´on del denominador de expresiones algebraicas . . . 79

2.1

Expresiones Algebraicas

Definici´on 1

Dentro del proceso de soluci´on de un ejercicio, problema o exposici´on de una teor´ıa, un s´ımbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un n´umero real arbitrario se llamavariable real.

Definici´on 2

Dentro del proceso de soluci´on de un ejercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un n´umero real fijo se llamaconstante real.

Definici´on 3

Se llama expresi´on algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinaci´on de constantes y potencias de variables que est´en ligadas por alguno de los s´ımbolos +,−,·y÷en un n´umero finito.

Notaci´on: Si aes una constante o una variable yb una variable entoncesab indica el producto deaybo sea:

ab=a·b

Ejemplo 1

Ejemplo de expresiones algebraicas

a.) 3x

2_y4

z2_x

d.) m

b.) a+b

a−c

e.) −3 2

√ 5

c.) x3_y2 ₊ √3 5xy

e.) a3 +a2b−3 +z−2

Definici´on 4

Se llama valor n´umerico de una expresi´on algebraica al n´umero que se obtiene al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo 2

a.) Determine el valor num´erico de −x2 _{+ 3x− 4 , six= 2.}

b.) Determine el valor num´erico de−6ax3_y2 _{sia= 5, x= 1, y=−2}

Soluci´on

a.) Sustituyendo la xpor el valor asignado en −x2 _{+ 3x −4 , se obtiene que:}

−(2)2_{+ 3(2)−4 = −4 + 6−4}

= −2

Por lo que six= 2, el valor num´erico de−x2 _{+ 3x−4 , es −2.}

b.) Sustituyendo las variables a, x, ypor los valores asignados, en−6ax3_y2 _{se obtiene que:}

−6(5)(1)3₍₋₂₎2 _{= −6(5)(1)(4)}

= −120

Por lo que: si a= 5, x= 1, y=−2 , el valor num´erico de−6ax3_y2 _{es -120.}

Determine el valor num´erico correspondiente, en cada una de las siguientes expresiones: 1.) −2x2 _{+ax − b, si x=−3, a=−2, b=−7}

2.) 3x3 ₊ ax

c + 3, si x=−1, a= 49, c= 7

3.) 3 5x

3_y2_{z, si x=} −1

2 , y= −3

4 , z= 5 3 4.) √3_{x y}−2_{z, si x=−8, y= 2, z=}1

4

Definici´on 5

Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresi´on algebraica, en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y est´an relacionados ´unicamente por la multiplicaci´on y adem´as no contiene letras en el denominador.

Ejemplo 3

Ejemplos de monomios

a.) −6x7_y2_{z b.) √} x

3 + 1 c.)

−7 +√2

3 a b c d.) 5

Ejemplo 4

Ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios

a.) 6 + x b.) x+ 4

y3 c.) 9x−3y2 d.) 3z

1 2

En un monomio se puede distinguir el factor num´erico (coeficiente) y el factor literal.

Ejemplo 5

a.) En 4x2_y3_{z, 4 es el factor num´erico yx}2_y3_{z es el factor literal.}

b.) En −3x

2_z5

4 ,

−3

4 es el factor num´erico yx

2_z5 _{es el factor literal.}

c.) En 1 5x

2_(−2)z4_4z2_, −8

5 es el factor num´erico y x

Notaci´on: Sixes una variable o una constante entonces:

1 · x= x y −1 · x= −x

Tomando en cuenta esta notaci´on tenemos que:

Si el coeficiente de un monomio o de una expresi´on algebraica es 1 o−1, no escribimos el 1.

Ejemplo 6

a.) Enx2_{y el coeficiente es 1}

b.) En −a3_b5_c2_{el coeficiente es−1.}

Definici´on 6

Si dos o m´as monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre s´ı.

Ejemplo 7

a.) Los monomios 6x5_y2_, 1

3x

5_y2_, −2x5y2

9 , son semejantes entre s´ı. b.) Los monomios 7a2_x3_{, 4a}5_x3_, −2

3 a

5_x3 _{, no son semejantes entre s´ı.}

2.2

Operaciones con expresiones algebraicas

Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste b´asicamente en aplicar las propiedades de las opera-ciones definidas en el conjunto de los n´umeros reales (asociatividad, conmutatividad, distributividad, etc) as´ı como las propiedades de las potencias y de los radicales.

Con el fin de lograr una mejor comprensi´on del tema, por parte del estudiante, primero nos abocaremos a realizar operaciones con monomios, para posteriormente efectuar operaciones con expresiones algebraicas en general.

2.2.1

Suma de monomios semejantes

La suma de monomios semejantes entre s´ı, es igual a un monomio cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados.

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) 2x2 _{+ 4x}2 _−3x2

Soluci´on

2x2 _{+ 4x}2 _−3x2 _{= (2 + 4−3)x}2

= 3x2

∴ 2x2 _{+ 4x}2 _−3x2 _{= 3x}2

b.) −2ax + 3

5ax + ax

Soluci´on

−2ax + 3

5ax + ax = (−2 + 3

5 + 1)ax = −10 + 3 + 5

5 ax

∴ −2ax + 3

5ax + ax = −2

5 ax

Ejercicios 2

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

1.) 4a3 ₋ a3

2 + a

3

2.) −4xy3 _−5xy3 ₊√_2xy3

3.) 5 4ab −

2 3ab +

1 5ab

4.) −11x2y2 +x2y2 + 3 4x

2_y2 ₋ 1

3x

2_y2

Nota: En general la suma de monomios no semejantes entre s´ı no es igual a un monomio.

Ejemplo 9

Realice las siguientes operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) 12a2_y2 _{+ 10ax + 3a}2_y2 _{− 5ax}

12a2_y2 _{+ 10ax + 3a}2_y2 _{− 5ax = (12a}2_y2 _{+ 3a}2_y2_{) + (10ax −5ax)}

= (12 + 3)a2_y2 _{+ (10 −5)ax}

= 15a2_y2 _{+ 5ax}

∴ 12a2_y2 _{+ 10ax + 3a}2_y2 _{− 5ax = 15a}2_y2 _{+ 5ax}

b.) 4x2_{y − 5ay + 2ya− yx}2

Soluci´on

4x2_{y − 5ay + 2ya− yx}2 _{= 4x}2_{y −x}2_{y −5ay + 2ay}

= (4− 1)x2_{y + (−5 + 2)ay}

= 3x2_{y − 3ay}

∴ 4x2_{y − 5ay + 2ya− yx}2 _{= 3x}2_{y − 3ay}

Ejercicios 3

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

1.) −3xy2 _+x2_{y −} 1

2xy

2 ₊ 2

3x

2_y

2.) a3 _{− a}2 _{+ a− 1 + a}2 _{−a + 1}

3.) 2b2 _{+ 4bc −3c +} 1

2b

2 ₋ 1

4bc

4.) √3ab2 _{+ 2a}2_{b − √}1

3ab

2

Ejemplo 10

a.) −(x−2)

4 +

5(x+ 3)

2 − x

Soluci´on

−(x−2)

4 +

5(x+ 3)

2 −x =

−(x−2) + 2[5(x+ 3)]−4x

4 =

= −x+ 2 + 2[5x+ 15]−4x 4

=

= −x+ 2 + 10x+ 30−4x 4

=

= (−x+ 10x−4x) + (2 + 30) 4

∴ −(x−2)

4 +

5(x+ 3)

2 −x =

5x+ 32 4

b.) 14x− (3x− 2) −[5x+ 2 −(x− 1)]

Soluci´on

14x− (3x− 2) −[5x+ 2 − (x−1)] = 14x −3x+ 2 −[5x+ 2 − x+ 1] = 14x −3x+ 2 −[4x+ 3]

= 14x −3x+ 2 −4x−3 = (14x −3x −4x) + (2 −3) = 7x− 1

∴ 14x− (3x− 2) −[5x+ 2 − (x−1)] = 7x− 1

c.) (−4x3_{y + 19xy}3 _{− y}3 _{+ 6a}2_b2_{)− (−y}2 _−40xy3 _{+ 2a}2_b2 _{− 15x}3_y)

(−4x3_{y + 19xy}3 _{− y}3 _{+ 6a}2_b2_{)− (−y}2 _{− 40xy}3 _{+ 2a}2_b2 _{− 15x}3_y)

= (−4x3_{y + 19xy}3 _−y3 _{+ 6a}2_b2_{) + y}2 _{+ 40xy}3 _−2a2_b2 _{+ 15x}3_y

= (−4x3_{y + 15x}3_{y) + (19xy}3 _{+ 40xy}3_{) −y}3 _{+ (6a}2_b2 _−2a2_b2_{) + y}2

= 11x3_{y + 59xy}3 _−y3 _{+ 4a}2_b2 _{+ y}2

∴ (−4x3_{y + 19xy}3 _{− y}3 _{+ 6a}2_b2_{)− (−y}2 _−40xy3 _{+ 2a}2_b2 _{− 15x}3_{y) = 11x}3_{y + 59xy}3 _{− y}3 _{+ 4a}2_b2 _+y2

Ejercicios 4

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

1.) 2t −3{t + 2 [t −(t + 5) ] + 1}

2.) 3 + 2 (a +b) −[a −b − 5 (a+ 3b)]

3.) a −2{ −(b −c) + 2 [a + 3(b +c)]}

4.) 3x(2x2 _{−xy) + x−x(x+ 5xy)}

2.2.2

Multiplicaci´

on de Monomios

El producto de dos o m´as monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados.

Ejemplo 11

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡4x2_y3¢

µ

2 3x

3_y3_z

¶

Soluci´on

¡

4x2y3¢

µ

2 3x

3_y3_z

¶

=

µ

4· 2 3

¶ ¡

x2y3x3y3z¢

= 8

3(x

5_y6_z)

∴ ¡4x2_y3¢

µ

2 3x

3_y3_z

¶

= 8

3(x

b.)

µ

−2xy

3

¶ ³_√

3xy2´ µ3

2ax

3_y

¶

Soluci´on

µ

−2xy

3

¶ ³_√

3xy2´ µ3

2ax

3_y

¶

=

µ

−2 3 ·

√ 3·3

2

¶ ¡

xyxy2_ax3_y¢

= −6 √

3 6 (x

5_y4_a)

= −√3 x5_y4_a

∴

µ

−2xy

3

¶ ³_√

3xy2

´ µ₃

2ax

3_y

¶

= −√3 x5y4a

Ejercicios 5

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

1.) (3x2_{) (−x}3_{y) (−a}2_x)

2.) (−1 2 x

2_{y) (}−3

5 xy

2_{) (}10

3 x

3_a)

3.) (2a)5_(−a2_{) (−3a}3_{) (4a)}

4.) (−am_{) (2ab) (−3a}2_bn₎

2.2.3

Simplificaci´

on de fracciones con monomios

Una fracci´on con monomio (o cociente de monomios) est´a simplificada si se cumplen las tres condiciones sigu-ientes:

i.) Las fracciones formadas por los coeficientes de los monomios involucrados est´an expresadas en su forma m´as simple.

ii.) Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no se repiten.

Ejemplo 12

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.) 72x4y3 48x2_y5

Soluci´on

72x4_y3

48x2_y5 =

23 _{· 3 · 3x}4_y3

23 _{· 3 · 2x}2_y5

= 3x

4_y3

2x2_y5

= 3x

4 _{· x}−2

2y5 _{· y}−3

= 3x2 2y2

b.) 3 √

3x4_y5_z

3 √

81x4_y7_z

Soluci´on

3 √

3x4_y5_z

3 √

81x4_y7_z =

3 √

3x4_y5_z

3 √

34_x4_y7_z

= 3 √

3x4_y5_z

3√3_3x4y7z

= x4y5z 3x4_y7_z

= x

4_x−4_{z z}−1

3y7_y−5

= x

0 _z0

3y2

= 1

3y2

(*) En la soluci´on de estos ejemplos haremos uso del hecho de que:

i.) x

−n _{· c} d =

c

xn _{· d} ii.) xn _{· c}

Las cuales se pueden demostrar usando el hecho que: x−n= 1

xn

Ejercicios 6

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

1.) 12a

2_b3

60a3_b5_x6 2.)

3 √

135ax3

3 √

40ax3 3.)

63a4_b10_c12

21a8_c2

A continuaci´on nuestro objetivo es realizar operaciones con expresiones algebraicas en general, para esto se siguen procedimientos similares a los usados al efectuar operaciones con monomios.

Ejemplo 13

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) (−26a x12_{y) (}1 2x

−2

y13 _z)

Soluci´on

³

−26a x12y

´ µ₁

2x

−2_y1 3z

¶

= (−26)

µ

1 2

¶

(a x12y) (x−2y13z)

= −13a x−23y43z

= −13a y 4 3z

x32

∴

³

−26a x12y

´ µ₁

2x

−2_y1 3z

¶

= −13a y 4 3z

x32

b.) (√3_2x12 _y−32₎3₍−1 4 x−1y)

³

3 √

2x12y−32

´3 µ₋₁

4 x

−1_y

¶

=

³

2x32y−2

´ µ₋₁

4 x

−1_y

¶

= (2)

µ

−1 4

¶ ³

x32 y−2

´

(x−1_y)

= −1 2 x

1 2 y−1

= −x 1 2 2 y

∴ ³√3

2x12y−32

´3 µ₋₁

4 x

−1_y

¶

= −x 1 2 2 y

c.) √4

8vs2 ₋ √_27v2_{s +} √_{2v s}2

Soluci´on

√

8vs2 ₋ √_27v2_{s +} √_{2v s}2 ₌ √₂3_vs2 ₋ √₃3_v2_{s +} √_{2v s}2

= √22 _{· 2vs}2 ₋ √₃2 _{· 3v}2_{s +} √_{2v s}2

= |2| |s| √2v − |3| |v|√3s + |s|√2v

= 2|s|√2v −3 |v|√3s +|s|√2v

= 3|s|√2v − |3| |v|√3s

∴ √8vs2 ₋ √_27v2_{s +} √_{2v s}2 _{= 3|s|}√_{2v −3 |v|}√_3s

En la soluci´on de estos ejemplos se us´o el hecho de que:

(i) √n_an _{= |a| ; sines par y}

(ii) √n_{an = a ; sines impar}

d.) 4

q

5 m−32 _n4_q6 _· 3

q

Soluci´on

4

q

5m−32n4q6 · 3

q

2m12n3q5 = 4

q

5m−32n4q4q2 · 3

q

2m12n3q3q2

= |n| |q|4

q

5m−32q2 · n q3

q

2m12q2

= |n| |q|n q 4

q

5m−32q2 · 3

q

2m12 q2

= |n| |q|n q 12

q

(5m−32q2)3 · 12

q

(2m12q2)4 = |n| |q|n q 12p₅3_m−2_q6 _· 12p₂4_m2_q8

= |n| |q|n q 12p_2000m0_q14

= |n| |q|n q 12p_2000q12q2 = |n| |q|n q|q| 12p_2000q2

= |n| |q|2_{n q} 12p_2000q2

∴ 4

q

5m−32n4q6 · 3

q

2m12n3q5 = |n|q2n q 12

p

2000q2

Ejemplo 14

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.) −2x−1z−1

x3_y−2_z

−2x−1_z−1

x3_y−2_z =

−21

x · 1z x3 1

y2z

= −2

x z x3_z 1

y2

= −2y2

x z x3_z

= −2y

2

x4_z2

∴ −2x−1z−1

x3_y−2_z =

−2y2

x4_z2

b.)

µ

−2a−2_b−1

−4a−4_b2

¶−1

Soluci´on

µ

−2a−2_b−1

−4a−4_b2

¶−1

=

µ

−2a4

−4a2_b2_b

¶−1

=

µ

a2

2b3

¶−1

= a−2 2−1_b−3

= 2b

3

a2

∴

µ

−2a−2_b−1

−4a−4_b2

¶−1

= 2b

3

a2

c.)

r

9a4_x−4

25a−2_x4

r

9a4_x−4

25a−2_x4 =

r

9a4_a2

25x4_x4

√ 9a4_a2

√

25x4_x4 =

√

32_a2_a2_a2

√

52_x2_x2_x2_x2

= |3| |a| |a| |a| |5| |x| |x| |x| |x|

= 3 |a|3 5 |x|4

∴

r

9a4_x−4

25a−2_x4 =

3 |a|3

5 x4

Ejercicios 7

1.) Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

a.) (√75x y32)

Ã

x12 y12 5√3

!

c.) √8a2_b2 ₋ √_{5a b}2 _{− 2c}√_{2 + 10}√_2a

e.) µ 2 3 3 √

2m5_n3

¶ µ

3 4

√ 16m n2

¶

b.) (4x√a3 _x2_{) (2}√_a2_x3₎

d.)

r

ab2

4c2 +

r

9ab4

c−2 −

√

a

f.) √3

8a6_b−3_c2 ₊

µ

100a4

b2 _c43

¶−1 2

2.) Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.) 2a2b−5c−7 5a−3_b−4_c−6

d.) x y

−1 2 z−3 4x−43y2z

−2 3

b.)

µ

3x y2_z3

x−1_y−2_z−3

¶−1

e.) 3

r

16a6_b−2_c−1_d

−125a3_b−1_c

c.)

s

25x−2_y3

100x−4_y2

f.) 4

r

243a4_c8_d−2

256c−4_d2

2.3

Polinomios

Se llama polinomio a toda expresi´on algebraica que es monomio o una suma de monomios.

Ejemplo 15

Ejemplos de polinomios

a.) 5 b.) 3x2_y

c.) √5x3_y2_{z + 4}

d.) 0

e.) 2xy2 _{+ y +} x

3 f.) xyw

3 −

xy

2 −yw

Definici´on 8

a.) Si un polinomio est´a formado por la suma de dos monomios no semejantes entre s´ı recibe el nombre de binomio.

b.) Si un polinomio est´a formado por la suma de tres monomios no semejantes entre s´ı (dos a dos) recibe el nombre detrinomio.

Ejemplo 16

a.) Son binomios:

i.)x+ 8 ii.)x2_−3y2 _iii.) x2y

7 +

ab2_c

√ 5 b.) Son trinomios:

i.)a2_{−ab+b ii.)y}2_{+y+ 1 iii.)a}2_bc−5b2_ac2_{+ 8}

Definici´on 9

a.) Si un polinomio no involucra variable recibe el nombre depolinomio constante.

b.) Si un polinomio involucra nvariables recibe el nombre depolinomio en nvariables

i.) x2_y+x+y2_{es un polinomio en dos variables.}

ii.) x2_{−3x+ 1 es un polinomio en una variable.}

iii.) 3 2

√

2 es un polinomio constante.

1.) Dado un polinomio en una variablex; ´este se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:

A(x), B(x), C(x), ... , P(x), Q(x), ... , W(x)

2.) Dado un polinomio en dos variablesxey; ´este se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:

A(x, y), B(x, y), C(x, y), ... , P(x, y), Q(x, y), ... , W(x, y)

3.) Dado un polinomio en tres variablesx, y, z; ´este se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:

A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z), ... , P(x, y, z), Q(x, y, z), ... , W(x, y, z) En forma an´aloga se denotan los polinomios ennvariables

Ejemplo 18

a.) El polinomio x2_{−3x+ 1 se puede denotar por A(x), y en tal caso escribimosA(x) =x}2_{−3x+ 1.}

b.) El polinomio 3a2_{b−2a+ab se puede denotar porR(a, b), y en tal caso escribimosR(a, b) = 3a}2_b−2a+ab.

c.) El polinomio xyz+x2_y2_{z+yz+xz se puede denotar porA(x, y, z), y en tal caso escribimosA(x, y, z) =}

xyz+x2_y2_z+yz+xz.

d.) El polinomio xacyb+x2_{ac+ybc se puede denotar porP(a, b, c, x, y), y en tal caso escribimosP(a, b, c, x, y) =}

xacyb+x2_ac+ybc.

2.3.1

Divisi´

on de polinomios en una variable

Podemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto de dos polinomios, se obtiene otro polinomio. Sin embargo al dividir un polinomio por otro polinomio el resultadononecesariamente es un polinomio. No obstante en cuanto a la divisi´on de polinomios se tiene el siguiente teorema:

(Algoritmo de la divisi´on). Dados dos polinomios A(x) y B(x), con B(x)6= 0, existen ´unicos polinomios

Q(x) yR(x) tales que:

A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

con el grado deR(x) menor que el grado deB(x)o R(x) = 0

A(x) recibe el nombre de dividendo,B(x) el de divisor,Q(x) el de cociente yR(x) el de residuo.

Los polinomios Q(x) y R(x) se obtiene al efectuar la divisi´on deA(x) por B(x) mediante el siguiente proced-imiento.

Procedimiento para efectuar la divisi´on de A(x)porB(x)

a.) Ordenar los polinomiosA(x) yB(x), en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable.

b.) Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor exponente) por el primer sumando del divisor (el de mayor exponente); el resultado es un sumando del cociente.

c.) Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un residuo “parcial”.

d.) Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ah´ı termin´o el proced-imiento, en caso contrario se repiten los pasos (a), (b), (c) y (d), pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso anterior.

Ejemplo 19

Sea A(x) =x3 _{− 5x}2 _{+ x−1 y B(x) =x− 1}

Efect´ue la divisi´on deA(x) porB(x), e indique el cociente y el residuo

x3 _{- 5x}2 _{+ x - 1 x−1}

- (x3 _{- x}2₎

x2_−4x−3

- 4x2 _{+ x - 1}

- (- 4x2 _{+ 4x)}

- 3x - 1

- (- 3x + 3)

- 4

Aqu´ı el cociente es x2_{−4x−3 y el residuo es −4.}

Ejemplo 20

Efectuar la divisi´on de A(x) porB(x) dondeA(x) = 2 −x5_{; B(x) =x}2 _+x

Soluci´on

− x5 _{+ 0x}4 _{+ 0x}3 _{+ 0x}2 _{+ 0x + 2 x}2_+x

− (−x5 _{− x}4₎

−x3_+x2_{−x+ 1}

x4 _{+ 0x}3 _{+ 0x}2 _{+ 0x + 2}

− (x4 _{+ x}3₎

− x3 _{+ 0x}2 _{+ 0x + 2}

− (−x3 _{− x}2₎

x2 _{+ 0x + 2}

- (x2 _{+ x)}

− x + 2

Aqu´ı el cociente es −x3 _{+ x}2 _{−x + 1 y el residuo es−x+ 2}

Adem´as:

−x5 _{+ 2 = (x}2 _{+x) (−x}3 _+x2 _{− x+ 1) + (−x + 2)}

Teorema 2

SeanA(x), B(x), Q(x) y R(x) polinomios tales queB(x)6= 0

Si A(x) =B(x)· Q(x) + R(x) entonces A(x)

B(x) = Q(x) +

R(x)

B(x)

A(x) =B(x) · Q(x) + R(x) =⇒ A(x)

B(x) =

B(x) · Q(x) + R(x)

B(x)

=⇒ A(x)

B(x) =

B(x) · Q(x)

B(x) +

R(x)

B(x)

=⇒ A(x)

B(x) = Q(x) +

R(x)

B(x)

Por lo que: A(x)

B(x) =Q(x) +

R(x)

B(x)

Ejemplo 21

a.) Comox3 _{− 5x}2 _{+x −1 = (x −1)(x}2 _{− 4x −3)−4}

entonces por el teorema anterior se cumple que:

x3_−5x2_+x−1

x−1 =x

2_−4x−3− 4

x−1

b.) Como−x5_{+ 2 = (x}2_+x)(−x3_+x2_{−x+ 1) + (−x+ 2)}

entonces por el teorema anterior se cumple que:

−x5_{+ 2}

x2_+x =−x

3_+x2_{−x+ 1 +}−x+ 1

x2_+x

Ejercicios 8

Para cada par de polinomiosA(x) yB(x) que se definen a continuaci´on, realice la divisi´on deA(x) porB(x) e indique el cociente y el residuo que se obtiene al efectuar esta divisi´on.

1.) A(x) = 6x5_−5x4_−7x2_{+ 3 ; B(x) = 3x}3_−4x2_{−x+ 1}

2.) A(x) = 2x7_−5x5_{+ 8x}3_{+ 3x ; B(x) = 2x}3_−x

3.) A(x) =x3_−5x2_{−8x−4 ; B(x) =x−2}

4.) A(x) = 3x−5x2_{+ 9 +x}3 _{; B(x) = 3−x}

Definici´on 10

Sean A(x) y B(x) dos polinomios con B(x) 6= 0. Si al dividir A(x) por B(x) se obtiene como residuo cero entonces decimos que A(x) es divisible por B(x) y se cumple que: A(x) = B(x) · Q(x); donde Q(x) es el cociente que se obtiene al dividir A(x) porB(x).

Ejemplo 22

SeanA(x) yB(x) polinomios tales que:

A(x) =x3_−4x2_{+ 2x+ 1; B(x) =x}2_−3x−1

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir A(x) porB(x). ¿Es A(x) divisible por B(x)?

Soluci´on

x3 _{− 4x}2 _{+ 2x + 1 x}2_−3x−1

- x3 _{+ 3x}2 _{+ x}

x−1 − x2 _{+ 3x + 1}

x2 _{− 3x − 1}

0

Por lo que el cociente es x−1 y el residuo es 0.

Como en este caso el residuo es 0, A(x) es divisible porB(x).

Ejercicios 9

Para cada par de polinomiosA(x) yB(x) que se definen a continuaci´on, determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir A(x) porB(x).

¿Es A(x) divisible por B(x)?. Justifique su respuesta.

1.) A(x) =−3x3_{+ 2x}2_{−3x+ 1 ; B(x) = 1 +x}2

2.) A(x) = 5x4_{+ 10x}3_{+ 4x}2_{+ 7x−2 ; B(x) =x+ 2}

3.) A(x) = 2x−4x2_{+ 3x}3_{−1 ; B(x) = 1 + 2x+x}2

4.) A(x) = 2x4_{+ 3x}3_{−x−5 ; B(x) =−5 + 2x}3_{+ 2x−x}2

a.) Como cociente un polinomio Q(x) de gradon−1 y b.) Como residuo una constante

Ejemplo 23

Si A(x) = 2x3_{+x+ 1 y B(x) = 2x+ 1}

Al dividir A(x) porB(x) se tiene:

2x3 _{+ 0x}2 _{+ x + 1 2x+ 1}

− 2x3 _{− x}2

x2₋1

2x+ 3 4

− x2 _{+ x + 1}

x2 ₊ 1

2x 3

2x + 1 − 3

2x − 3 4 1 4

En este caso se tiene que A(x) es un polinomio de grado 3 y el cociente es un polinomio de grado 2.

Adem´as el residuo es una con-stante.

Teorema 3

Si P(x) es un polinomio de gradon, n >1 yα∈IRentoncesP(α) es igual al residuo que se obtiene al dividir

P(x) porx−α.

Demostraci´on:

Como P(x) yx−αson polinomios, por el algoritmo de la divisi´on, existen polinomiosQ(x) yR(x) tales que:

P(x) = (x−α) · Q(x) + R(x)

Pero por la observaci´on anterior,R(x) es una constanteC o sea

(*) P(x) = (x−α)Q(x) + C; donde C es el residuo que se obtiene al dividirP(x) porx−α

Tenemos que demostrar que P(α) =C

Suatituyendo laxporαen (*) se tiene:

P(α) = 0 · Q(α) + C

P(α) =C ; que es lo que quer´ıa demostrar.

Ejemplo 24

Si P(x) = 3x2_{+x+ 1 yB(x) =x−4, al dividirP(x) porB(x) se tiene que:}

3x2 _{+ x + 1 x−4}

- 3x2 _{+ 12x}

3x+ 13 13x + 1

− 13x + 52 53

En este caso tenemos que el residuo que se obtiene al dividir 3x2_{+x+ 1 por x−4 es 53.}

Luego:

P(4) = 3(4)2_{+4+1 = 3(16)+4+1 = 48+4+1 = 53,}

o sea P(4) = 53

Definici´on 11

Sea P(x) un polinomio y seaαun n´umero real,αes un cero deP(x) si y s´olo s´ıP(α) = 0

Ejemplo 25

a.) SeaP(x) =x2_{−x−6; se tiene que 3 y−2 son ceros deP(x) porque:}

P(3) = 32_{−3−6 = 9−3−6 = 0, as´ı P(3) = 0}

P(−2) = (−2)2_{−(−2)−6 = 4 + 2−6 = 0, as´ı P(−2) = 0}

b.) SeaA(x) =x3_{+ 8; se tiene que -2 es un cero de A(x) porque:}

A(−2) = (−2)3_{+ 8 =−8 + 8 = 0, as´ıP(−2) = 0}

2.3.2

Divisi´

on Sint´

etica

La divisi´on sint´etica es un procedimiento “abreviado” para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio P(x) de gradon, n≥1, por un polinomio de la formax−α, conα∈IR, a partir de los coeficiente de P(x) y el cero dex−α.

El procedimiento que usaremos para realizar la divisi´on sint´etica de un polinomio P(x), por un polinomio de la forma x−α, lo ilustraremos a trav´es de ejemplos.

Ejemplo 26

P(x) = 4x3_{+ 3x}2_{−5x+ 2; Q(x) =x−3}

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir P(x) porQ(x): a.) Usando el m´etodo estudiado anteriormente (Divisi´on larga)

b.) Usando divisi´on sint´etica

Soluci´on

a.)

4x3 _{+ 3x}2 _{− 5x + 2 x−3}

− 4x3 _{+ 12x}2

4x2_{+ 15x+ 40}

15x2 _{− 5x + 2}

− 15x2 _{+ 45x}

40x + 2 − 40x + 120

122 Por lo que al dividirP(x) por

Q(x) se obtiene 4x2_{+ 15x+}

40 como cociente y 122 como residuo.

b.) Usando divisi´on sint´etica, P(x) se divide porQ(x) de la siguiente manera:

Coeficiente de P(x) =⇒ 4 3 −5 2 3 =⇒Cero dex−3

12 45 120

Coeficientes del cociente =⇒ 4 15 40 122 ←Residuo

Donde los n´umeros 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la divisi´on.

Observe que, seg´un la parte (a) de este ejercicio, los n´umeros obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior.

Los n´umeros representados en la primera fila son los coeficientes deP(x) (dividendo) y el cero dex−3 (divisor).

Los n´umeros representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma: 12 es el producto de 4 y 3

Los n´umeros representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma: 4 es el coeficiente dex3 _enP(x)

15 es la suma de 3 y 12 40 es la suma de −5 y 45 122 es la suma de 2 y 120

Ejemplo 27

SeanP(x) yQ(x) polinomios tales que: P(x) =−8x3_+x4_{−16 + 2x; Q(x) =x−8.}

Usando divisi´on sint´etica, determine el cocienteC(x) y el residuoR(x) que se obtiene al dividirP(x) porQ(x).

Soluci´on

Ordenando P(x) en forma descendente de acuerdo a su grado, se obtiene:

P(x) =x4_−8x3_{+ 0x}2_{+ 2x−16, y realizando la divisi´on se tiene:}

1 -8 0 2 -16 8

8 0 0 16

1 0 0 2 0

,→Residuo

Los n´umeros 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el n´umero 0 es el residuo. Por lo queC(x) =x3_{+ 0x}2_{+ 0x+ 2 o seaC(x) =x}3_{+ 2 yR(x) = 0}

Nota: Observe que al realizar la divisi´on sint´etica, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, deben escribirse.

Ejemplo 28

SeanP(x) yQ(x) polinomios tales que: P(x) =x3_{+xyQ(x) =x+ 4}

Usando divisi´on sint´etica determine el cociente C(x) yQ(x).

Soluci´on

Como P(x) =x3_{+ 0x}2_{+x+ 0 y el cero dex+ 4 es−4,tenemos que:}

1 0 1 0 −4

−4 16 −68

1 −4 17 −68

Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir P(x) porQ(x) esx2_{−4x+ 17 y el residuo es -68.}

Ejercicios 10

1. A(x) =x5_{−32; B(x) =x−2}

2. A(x) =−7x2_{+ 8x+ 5x}3_{+ 1; B(x) =x−3}

3. A(x) =x3_{+ 27; B(x) =x+ 3}

4. A(x) =x3_{+ 2−3x; B(x) =x+ 5}

5. A(x) =x4_{−x; B(x) =x+ 1}

6. A(x) = 6−5x+ 4x2_{; B(x) =x+ 2}

Ejemplo 29

Sea P(x) un polinomio tal que: P(x) =x5_−3x4_{+ 8x}2_{−2; usando divisi´on sint´etica determineP(−2) yP(1)}

Soluci´on

Recuerde queP(α) es igual al residuo que se obtiene al dividirP(x) porx−α. Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:

1 -3 0 8 0 -2 -2

-2 10 -20 24 -48

1 -5 10 -12 24 -50

1 -3 0 8 0 -2 1

1 -2 -2 6 6

1 -2 -2 6 6 4

Por lo tanto P(−2) =−50 yP(1) = 4

Ejercicios 11

Sea P(x) un polinomio tal queP(x) =x3_−2x2_{−9x+ 18}

Usando divisi´on sint´etica determine P(1), P(2), P(−3), y P(−4).

2.4

Factorizaci´

on de Polinomios

Definici´on 12

Si existen polinomios A(x) y B(x) no constantes, con coeficientes reales tales que P(x) = A(x) · B(x) en-tonces decimos que P(x) es factorizable en el conjunto de los n´umeros reales.

Definici´on 13

Sean A(x), B(x) y P(x) polinomios no constantes con coeficientes reales. Si P(x) = A(x) · B(x) entonces decimos que A(x) yB(x) son factores deP(x).

Definici´on 14

Sean A(x), B(x) y P(x) polinomios no constantes con coeficientes reales. Si P(x) = A(x) · B(x) entonces decimos que el producto indicado de A(x) yB(x) es una factorizaci´on deP(x).

Ejemplo 30

a.) Comox2_{+ 2x=x(x+ 2), entonces decimos quex(x+ 2) es una factorizaci´on dex}2_{+ 2x.}

b.) Comox4_{−1 = (x}2_−1)(x2_{+ 1), entonces decimos que (x}2_−1)(x2_{+ 1) es una factorizaci´on dex}4₋₁

Nota: Sea P(x) un polinomio no constante con coeficientes reales; si no existen polinomios A(x) yB(x) no constantes con coeficientes reales y tales queP(x) =A(x)·B(x), entonces decimos queP(x) no es factorizable en el conjunto de los n´umeros reales.

Definici´on 15

Sea P(x) un polinomio no constante con coeficientes reales tal que P(x) = A(x)1 · A(x)2 · A(x)3· · · A(x)n

donde A(x)1 · A(x)2 · A(x)3 · · ·A(x)n son polinomios no constantes con coeficientes reales. Decimos que el

producto indicado A1 · A2 · A3 · · ·An es una factorizaci´on completa de P(x) si cada uno de los polinomios

A(x)1 · A(x)2 · A(x)3· · · A(x)n no es factorizable en el conjunto de los n´umeros reales.

2.4.1

T´

ecnicas de factorizaci´

on

A continuaci´on enfocaremos nuestra atenci´on hacia el estudio de algunas t´ecnicas que se utilizan en la factor-izaci´on de polinomios.

Factorizaci´on por factor com´un

La factorizaci´on de polinomios por factor com´un consiste b´asicamente en la aplicaci´on de la propiedad distribu-tiva de la multiplicaci´on con respecto a la adici´on, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

Si a∈IR, b∈IR, c∈IR, entoncesa ·(b +c) =a · b +a · c

En forma m´as general,

Si a∈IR, b1∈IR, b2∈IR, b3∈IR, · · ·, bn∈IRentonces:

a(b1+b2+b3+· · ·bn) es una factorizaci´on de la expresi´onab1+ab2+ab3+· · · abn, y queaes un factor com´un

de los sumandosab1, ab2,· · ·, abn

Ejemplo 31

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.) x2 _{+xy b.) 6xa − 12xy c.) a}2 _{+ a}

Soluci´on

a.) x2 _+xy

=x · x+xy

=x(x+y)

Por lo que la factorizaci´on de

x2 _{+xyesx(x +y)}

es decir:

x2 _{+xy = x(x+y)}

b.) 6xa − 12xy

= 6x· a −6x2y

= 6x(a −2y)

Por lo que la factorizaci´on de 6xa − 12xyes 6x(a − 2y); es decir:

6xa − 12xy= 6x(a −2y)

c.) a2 _{+ a}

=a2 _+a

=a(a + 1)

Por lo que la factorizaci´on de

a2 _{+ aesa(a+ 1)}

es decir:

a2 _{+ a=a(a + 1)}

Ejemplo 32

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.) x2_y3_{z + x}3_y2_z2

b.) (3a+ 15) − b(a + 5)

c.) a(x− y) + (y − x)

d.) 14x2 _{− 28x}3 _{+ 56x}2_y

Soluci´on

a.) x2_y3_{z + x}3_y2_z2

x2_y3_{z + x}3_y2_z2 _{= x}2_y2_{yz +x}2_xy2_zz

= x2_y2_{z(y + xz)}

Por lo que:

b.) (3a+ 15) − b(a + 5)

(3a + 15) − b(a+ 5) = (3a + 3· 5) − b(a + 5) = 3(a + 5)− b(a + 5) = (a+ 5)(3 −b) Por lo que:

(3a + 15) −b(a + 5) = (a + 5)(3 −b)

c.) a(x− y) + (y − x)

a(x −y) + (y − x) = a(x −y) + (−1)(x−y)(∗) = (x −y)(a− 1)

Por lo que:

a(x−y) + (y −x) = (x− y)(a −1)

d.) 14x2 _{− 28x}3 _{+ 56x}2_y

14x2 _{− 28x}3 _{+ 56x}2_{y = 14x}2 _{· 1 −14x}2 _{·2x + 14x}2 _{· 4y}

= 14x2_{(1 − 2x + 4y)}

Por lo que:

14x2 _−28x3 _{+ 56x}2_{y = 14x}2_{(1 −2x+ 4y)}

* Usando la propiedad distributiva se puede demostrar que: a −b = (−1) (b −a)

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) abc+ abc2

2.) 9a2_x2 _−18ax3

3.) 6a2 _{− 12a(x+ 2)}

4.) (2m− 4n) + m(m − 2n) 5.) x(x−7) − (7 −x) 6.) (3x+ 9y) + d(−x− 3y)

Factorizar por agrupaci´on

Dado un polinomio en el cual no existe un factor com´un no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorizaci´on de dicho polinomio, realizando una ”agrupaci´on conveniente” de aquellos sumandos que poseen un factor com´un.

Ejemplo 33

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.) 5by −5y + 2ba − 2a

b.) 2x2 _{−3xy −3y + 2x}

c.) 4a2_{x + 3bm−4ab −3max}

d.) 2am −2an + 2a −m + n− 1

Soluci´on

a.) 5by −5y + 2ba − 2a

5by −5y + 2ba − 2a = (5by − 5y) + (2ba − 2a) = 5y(b − 1) + 2a(b − 1) = (b −1)(5y + 2a) Por lo que:

b.) 2x2 _{−3xy −3y + 2x}

2x2 _{− 3xy − 3y + 2x = 2x}2 _{− 3xy + (−3y) + 2x}

= (2x2 _{− 3xy) + (−3y + 2x)}

= x(2x− 3y) + (−3y + 2x) = x(2x− 3y) + 1(2x−3y) = (2x −3y) (x + 1)

Por lo que:

2x2 _{− 3xy − 3y + 2x = (2x −3y) (x + 1)}

c.) 4a2_{x + 3bm−4ab −3max}

4a2_{x+ 3bm −4ab −3max = (4a}2_{x−4ab) + (3bm−3max)}

= 4a(ax − b) + 3m(b −ax) = 4a(ax − b) + 3m(−1)(ax − b) = 4a(ax − b) + (−3m)(ax −b) = (ax −b)(4a− 3m)

Por lo que:

4a2_{x+ 3bm −4ab −3max = (ax −b)(4a− 3m)}

2am −2an+ 2a −m + n− 1 = 2am − 2an + 2a− m +n −1 = (2am −2an + 2a) + (−m +n −1) = 2a(m −n + 1) + (−m +n −1) = 2a(m −n + 1) + (−1)(m −n + 1) = (m −n + 1)(2a −1)

Por lo que:

2am −2an+ 2a −m + n− 1 = (m −n + 1)(2a −1)

Ejercicios 13

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) ab +a +b + 1

2.) 6a2 _{− 4ac −15ab + 10bc}

3.) a3 _−a2_{c − ba}2 _+abc

4.) 2c2 _{+ 4cd −3c −6d}

5.) ax −bx +by + a −ay −b

6.) cax + cby − cbx −cay

Factorizaci´on por f´ormulas notables

En esta secci´on enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremos f´ormulas notables, y que ser´an utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas.

Teorema 4

Si a∈IR, b∈IRentonces se cumple que: (a +b)2 _{= a}2 _{+ 2ab +b}2