Control 4 MA12A C´
alculo
Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile
Semestre 2005-2 (01 de Septiembre 2005)
P1.
i) (3.0 ptos) Se define la funci´on
f
(
x
) =
½
g(x)senhx
si
x
6
= 0
a
si
x
= 0
Sabiendo que
f
es diferenciable en 0 y
g
es dos veces diferenciable en 0 se pide determinar,
justificando, el valor de
g
(0), y los valores de
a
y
f
0(0) en funci´on de
g
0(0) y
g
00(0).
ii) (1.5 ptos)
y
=
f
(
x
) est´a definida implicitamente por
x
2+
xy
+
y
2−
3 = 0. Demuestre que
el punto
P
(1
,
−
2) es un m´ınimo local de
f
.
iii) (1.5 ptos) Verifique que la derivada de
f
(
x
) =
arcsen
(2
x
−
1) + 2
arctg
q
1−x
x
es nula en
[0
,
1).
P2.
i) (3.0 ptos) Una planta productora de cobre con capacidad instalada m´axima de 9ton/dia,
puede producir
x
toneladas de cobre corriente e
y
toneladas de cobre fino diarias. Si se sabe
que las producciones diarias de cobre fino y corriente cumplen la relaci´on
y
=
40−5x10−x
y que
el precio de venta del cobre fino es 3.6 veces el precio del cobre corriente, se pide determinar
cual es la producci´on diaria que proporciona un ingreso m´aximo.
ii) (2.0 ptos) Sea
f
(
x
) continua en [0
,
∞
), diferenciable en (0
,
∞
) y tal que
f
(0) = 0 y
f
0(
x
)
es creciente en
IR
+.
Use el teorema del Valor Medio para probar que
f
0(
x
)
>
f(x)x
en
IR
+y deduzca que la funci´on
g
(
x
) =
f(xx)es creciente en
IR
+iii) (1.0 pto) Calcule l´ım
x→0`n(e−x+xe−x) x2
P3.
Considere la funci´on definida por
f
(
x
) =
e
√2senxi) (1.5 ptos) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 para
f
(
x
) en torno a
x
0= 0. (Sin
resto).
ii) Estudiar completamente
f
(
x
). Se pide
a) (0.5 ptos) Dominio, ceros (si existen), signos de
f
, continuidad y periodicidad.
b) (1.0 pto) C´alculo de
f
0(
x
), crecimiento y valores extremos relativos y absolutos.
c) (2.0 ptos) C´alculo de
f
00, concavidad (convexidad) y puntos de inflexi´on.
d) (1.0 pto) Tabla de valores principales, recorrido y gr´afico aproximado.
Tiempo: 3 horas
Pauta Control#4 MA12A C´alculo Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile
Semestre 2005-2
El objetivo de esta pauta es orientar la correcci´on de los ayudantes y dar al alumno una gu´ıa de estudio. Es responsabilidad del alumno tener una copia de esta pauta para el d´ıa de la revisi´on de su prueba. Esta se puede obtener en la p´agina:
http://www.dim.uchile.cl/∼lmella/MA12A.html en formato ps o pdf.
Problema 1
i) Se define la funci´onf(x) =
(
g(x)
senhx six6= 0
a six= 0 Sabiendo que f es diferenciable en 0 y g es dos veces diferenciable en 0 se pide determinar, justificando, el valor deg(0), y los valores deayf0(0) en funci´on deg0(0) yg00(0).
• f es diferenciable en 0 y por lo tanto continua en 0, es decir, l´ım
x→0 f(x) = f(0), esto es,
l´ım
x→0
g(x)
senhx =f(0) =a.
Pero l´ım
x→0
g(x)
senhx no existe si l´ımx→0 g(x)6= 0 (pu´es l´ımx→0 senhx= 0).
As´ı, necesariamente l´ım
x→0 g(x) = 0, y comog es diferenciable y por lo tanto continua en 0, sigue que
l´ım
x→0 g(x) = g(0) = 0 (1.0 pto.)
Ahora, f continua en 0, entonces l´ım
x→0 f(x) =f(0) =ay
l´ım
x→0 f(x) = l´ımx→0
g(x) senhx
L’Hop
= xl´ım→0
g0(x)
coshx =g0(0).
As´ı: a=g0(0) (0.5 ptos.)
Finalmente, f0(0) = l´ım
h→0
f(h)−f(0)
h = l´ımh→0
g(h) senh(h)−g
0(0)
h .
= l´ım
h→0
g(h)−g0(0) senh(h)
hsen(h)
L’Hop
= hl´ım→0
g0(h)−g0(0) cosh(h) senh(h)+hcosh(h)
³
→ g0(0)−0g0(0)
´
L’Hop
= hl´ım→0
g00(h)−g0(0) senh(h) 2 cosh(h)+hsenh(h)=
g00(0) 2
As´ı f0(0) = g00(0)
2 (1.5 ptos.)
ii) y =f(x) est´a definida implicitamente porx2+xy+y2−3 = 0. Demuestre que el punto P(1,−2) es
un m´ınimo local def.
Derivando implicitamente 2x+y+xy0+ 2yy0 = 0 de donde y0=−2x+y
x+2y, de aqu´ı, y0
(1,−2)=−1+2(2·1−−22) = 0.
Adem´as,y00=−(2+y0)(x+2y)−(2x+y)(1+2y0)
(x+2y)2 (1.0 pto.)
Se puede evaluar inmediatamente en (x, y) = (1,−2) ey0
(1,−2)= 0 o bien resumiry00=−
3(y−xy0) (x+2y)2 y evaluar.
De cualquier forma y00
(1,−2)=−
3(−2−0)
[1+2(−2)]2 = 69 =23 >0 Sigue quey0
(1,−2)= 0 ey00(1,−2)>0 (convexa) (0.5 ptos.)
iii) Verifique que la derivada def(x) = arc sen(2x−1) + 2 arctg
q 1−x
x es nula en [0,1].
En efecto, f0(x) = √ 2 1−(2x−1)2 +
2 1+1−x
x
³q 1−x
x
´0
=√ 2
4x−4x2 +x· r
x
1−x·
−x−(1−x)
x2
=√ 1
x−x2 −
1
x
r
x
1−x =
1
√
x−x2 − r
x x2(1−x)
=√ 1
x−x2 −
1
√
Problema 2
i) Una planta productora de cobre con capacidad instalada de 9(ton/d´ıa) puede producirxtoneladas de cobre corriente eytoneladas de cobre fino diarias. Si se sabe que las produccioes diarias de cobre fino y corriente cumplen la relaci´ony=40−5x
10−x y que el precio de venta del cobre fino es 3.6 veces el precio del
cobre corriente, se pide determinar cual es la producci´on diaria que proporciona un ingreso m´aximo.
• Si pes el inverso por venta de cada tonelada de cobre corriente, el ingreso por cada tonelada de cobre fino ser´a 3.6 p.
As´ı, el ingreso por ventas ser´a I(x,y)=px+3.6 y.
Perox, y se relacionan comoy= 40−5x
10−x, de modo que
Ingreso =I(x) =px+ 3.6p40−5x
10−x =p
h
x+ 3.6 40−5x
10−x
i
CalculamosI0(x) =ph1 + 3.6 −5(10−x)+40−5x
(10−x)2
i
es decir I0(x) =ph1− 36 (10−x)2
i
Sigue que I0(x) = 0 si 36
(10−x)2 = 1⇒10−x=±6 es decirx= 10∓6 de dondex= 4(t/d) (admisible)
o x= 16(t/d) (fuera de rango) (2.0 ptos.)
Adem´asI00(x) =−p72(10−x)
(10−x)4 =−p(1072−x)3 de dondeI00(4) =−
72p
63 =−p/3<0 (concava) y por lo tanto,
x= 4 genera un m´aximo enI(x) y la producci´on optima ser´ax= 4(t/d) ey=40−20
10−4 = 103 = 3.¯3(t/d)
(1.0 pto.)
(NO SE PIDE) El ingreso diario ser´a I= 4p+ 3.6 10 3 = 16p.
ii) Seaf(x) continua en [0,∞), diferenciable en (0,∞) y tal quef(0) = 0 yf0(x) es creciente enIR+.
Use el Teorema del Valor Medio para proba que f0(x) ≥ f(x)
x en IR
+ y deduzca que la funci´on
g(x) = f(xx) es creciente enIR+
• Por hip´otesis,∀x∈IR+,f es continua en [0, x] y diferenciable en (0, x).
Entonces por TVM∃ξ∈(0, x) tal que f(xx)−−f0(0) =f0(ξ), es decir, f(x)
x =f0(ξ), conξ∈(0, x).
Perof0 es creciente en (0, x), entoncesf0(ξ)≤f0(x) de donde
f(x)
x =f0(ξ)≤f0(x) ∀x∈IR
+. (1.0 pto.)
Adem´asg(x) = f(xx) ⇒g0(x) = xf0(x)−f(x)
x2 ∀x∈IR+. Pero de lo anterior f(xx) ≤f0(x)⇒xf0(x)−f(x)≥0. De modo queg0(x) =xf0(x)−f(x)
x2 ≥0 ∀x∈IR+.
Sigue queg(x) es creciente enIR+. (1.0 pto.)
iii) Calcule l´ım
x→0
ln(e−x+xe−x)
x2 .
Claramente es una forma de L’Hopital¡0 0 ¢
l´ım
x→0
ln(e−x+xe−x)
x2 = l´ım
x→0
−e−x+e−x−xe−x e−x+xe−x
2x = l´ımx→0 −xe
−x
2x(e−x+xe−x) = l´ım
x→0
−e−x
2(e−x+xe−x)=−1/2 (1.0 pto.)
OTRA FORMA OBSERVAR que ln(e−xx+2xe−x) =
lne−x(1+x)
x2 = ln−x+xln2(1+x) =
−x+ln(1+x)
x2
L’Hopital −−−−−−−→
Problema 3
Considere la funci´on definida porf(x) =e√2 senx
i) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 paraf(x) en torno ax0= 0 (Sin Resto).
• El polinomio de orden 2 ser´a de la forma
P2(x) =f(0) +f0(0)·x+f00(0)/2!x2
f(x) =e√2 senx⇒f(0) = 1
f0(x) =√2 cosxe√2 senx⇒f0(0) =√2 (0.7 ptos.)
f00(x) =√2[−senxe√2 senx+√2 cos2xe√2 senx]
∴f00(x) =√2e√2 senx[√2 cos2x−senx]⇒f00(0) =√2·√2 = 2
As´ı, P2(x) = 1 +
√
2x+x2 (0.8 ptos.)
ii) Estudiar completamentef(x). Se piede
a) Dominio, ceros (si existen), signos def, continuidad y periodicidad. b) C´alculo def0(x), crecimiento y valores extremos relativos y absolutos. c) C´alculo def00(x), concavidad (convexidad) y puntos de inflexi´on. d) Tabla de valores principales, recorrido y gr´afico aproximado.
a) Es inmediato por la composici´on de exp y sen que Domf =IR,no existen ceros puesto que exp (√2 senx)>0 ∀x∈IRy por lo mismo sig (f)>0 ∀x∈IR.
f es continua por ser composici´on de continuas yf es peri´odica, lo mismo que senx, con per´ıodo
2π. (0.5 ptos.)
b) f0 ya fu´e calculada en (i),f0(x) =√2 cosxe√2 senx
Adem´asf0(x) = 0 si cosx= 0 en [−π, π], por ejemplo. As´ı, f0(x) = 0 en [−π, π] six=π/2 ∧ x=−π/2
Entonces para el crecimiento se tiene: signos de f0(x) son los signos de cosx
x (−π,−π/2) (−π
2π2) (π2, π)
f0(x) <0 >0 <0
decrece crece decrece
Con este estudio puede ya concluirse quex=−π/2 es pto. de m´ınimo
yx=π/2 es pto. de m´aximo (1.0 pto.) c) f00(x) tambi´en ya fu´e calculado en (i)
f00(x) =√2e√2 senx[√2 cos2x−senx]
f00(x) = 0 si√2 cos2x−senx= 0⇒√2(1−sen2x)−senx= 0
⇒√2 sen2x+ senx−√2 = 0⇒senx= −1±√1+8 2√2 =
−1±3 2√2
As´ı senx= −4 2√2 =−
2
√
2 =−
√
2<−1 es incompatible. (1.0 pto.)
o senx= 2 2√2 =
1
√
2 ⇒x=π/4 ∧ x= 3π
4 en [−π, π].
Con lo cual
x (−π, π/4) (π/4,3π/4) (3π/4, π)
f00(x) >0 <0 >0
convexa concava convexa
con este estudiox=π/4 y x= 3π/4 son
