Control 4 Cálculo (2005) pdf

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(1)

Control 4 MA12A C´

alculo

Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile

Semestre 2005-2 (01 de Septiembre 2005)

P1.

i) (3.0 ptos) Se define la funci´on

f

(

x

) =

½

g(x)

senhx

si

x

6

= 0

a

si

x

= 0

Sabiendo que

f

es diferenciable en 0 y

g

es dos veces diferenciable en 0 se pide determinar,

justificando, el valor de

g

(0), y los valores de

a

y

f

0

(0) en funci´on de

g

0

(0) y

g

00

(0).

ii) (1.5 ptos)

y

=

f

(

x

) est´a definida implicitamente por

x

2

+

xy

+

y

2

3 = 0. Demuestre que

el punto

P

(1

,

2) es un m´ınimo local de

f

.

iii) (1.5 ptos) Verifique que la derivada de

f

(

x

) =

arcsen

(2

x

1) + 2

arctg

q

1−x

x

es nula en

[0

,

1).

P2.

i) (3.0 ptos) Una planta productora de cobre con capacidad instalada m´axima de 9ton/dia,

puede producir

x

toneladas de cobre corriente e

y

toneladas de cobre fino diarias. Si se sabe

que las producciones diarias de cobre fino y corriente cumplen la relaci´on

y

=

405x

10−x

y que

el precio de venta del cobre fino es 3.6 veces el precio del cobre corriente, se pide determinar

cual es la producci´on diaria que proporciona un ingreso m´aximo.

ii) (2.0 ptos) Sea

f

(

x

) continua en [0

,

), diferenciable en (0

,

) y tal que

f

(0) = 0 y

f

0

(

x

)

es creciente en

IR

+

.

Use el teorema del Valor Medio para probar que

f

0

(

x

)

>

f(x)

x

en

IR

+

y deduzca que la funci´on

g

(

x

) =

f(xx)

es creciente en

IR

+

iii) (1.0 pto) Calcule l´ım

x→0

`n(e−x+xe−x) x2

P3.

Considere la funci´on definida por

f

(

x

) =

e

2senx

i) (1.5 ptos) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 para

f

(

x

) en torno a

x

0

= 0. (Sin

resto).

ii) Estudiar completamente

f

(

x

). Se pide

a) (0.5 ptos) Dominio, ceros (si existen), signos de

f

, continuidad y periodicidad.

b) (1.0 pto) C´alculo de

f

0

(

x

), crecimiento y valores extremos relativos y absolutos.

c) (2.0 ptos) C´alculo de

f

00

, concavidad (convexidad) y puntos de inflexi´on.

d) (1.0 pto) Tabla de valores principales, recorrido y gr´afico aproximado.

Tiempo: 3 horas

(2)

Pauta Control#4 MA12A C´alculo Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile

Semestre 2005-2

El objetivo de esta pauta es orientar la correcci´on de los ayudantes y dar al alumno una gu´ıa de estudio. Es responsabilidad del alumno tener una copia de esta pauta para el d´ıa de la revisi´on de su prueba. Esta se puede obtener en la p´agina:

http://www.dim.uchile.cl/lmella/MA12A.html en formato ps o pdf.

Problema 1

i) Se define la funci´onf(x) =

(

g(x)

senhx six6= 0

a six= 0 Sabiendo que f es diferenciable en 0 y g es dos veces diferenciable en 0 se pide determinar, justificando, el valor deg(0), y los valores deayf0(0) en funci´on deg0(0) yg00(0).

f es diferenciable en 0 y por lo tanto continua en 0, es decir, l´ım

x→0 f(x) = f(0), esto es,

l´ım

x→0

g(x)

senhx =f(0) =a.

Pero l´ım

x→0

g(x)

senhx no existe si l´ımx0 g(x)6= 0 (pu´es l´ımx0 senhx= 0).

As´ı, necesariamente l´ım

x→0 g(x) = 0, y comog es diferenciable y por lo tanto continua en 0, sigue que

l´ım

x→0 g(x) = g(0) = 0 (1.0 pto.)

Ahora, f continua en 0, entonces l´ım

x→0 f(x) =f(0) =ay

l´ım

x→0 f(x) = l´ımx→0

g(x) senhx

L’Hop

= xl´ım0

g0(x)

coshx =g0(0).

As´ı: a=g0(0) (0.5 ptos.)

Finalmente, f0(0) = l´ım

h→0

f(h)−f(0)

h = l´ımh0

g(h) senh(h)−g

0(0)

h .

= l´ım

h→0

g(h)−g0(0) senh(h)

hsen(h)

L’Hop

= hl´ım0

g0(h)g0(0) cosh(h) senh(h)+hcosh(h)

³

g0(0)0g0(0)

´

L’Hop

= hl´ım0

g00(h)g0(0) senh(h) 2 cosh(h)+hsenh(h)=

g00(0) 2

As´ı f0(0) = g00(0)

2 (1.5 ptos.)

ii) y =f(x) est´a definida implicitamente porx2+xy+y23 = 0. Demuestre que el punto P(1,2) es

un m´ınimo local def.

Derivando implicitamente 2x+y+xy0+ 2yy0 = 0 de donde y0=2x+y

x+2y, de aqu´ı, y0

(1,−2)=1+2(2·1−−22) = 0.

Adem´as,y00=(2+y0)(x+2y)(2x+y)(1+2y0)

(x+2y)2 (1.0 pto.)

Se puede evaluar inmediatamente en (x, y) = (1,−2) ey0

(1,−2)= 0 o bien resumiry00=

3(y−xy0) (x+2y)2 y evaluar.

De cualquier forma y00

(1,−2)=

3(20)

[1+2(2)]2 = 69 =23 >0 Sigue quey0

(1,−2)= 0 ey00(1,−2)>0 (convexa) (0.5 ptos.)

(3)

iii) Verifique que la derivada def(x) = arc sen(2x−1) + 2 arctg

q 1−x

x es nula en [0,1].

En efecto, f0(x) = 2 1(2x−1)2 +

2 1+1−x

x

³q 1−x

x

´0

= 2

4x−4x2 + r

x

1−x·

−x−(1−x)

x2

= 1

x−x2

1

x

r

x

1−x =

1

x−x2 r

x x2(1x)

= 1

x−x2

1

(4)

Problema 2

i) Una planta productora de cobre con capacidad instalada de 9(ton/d´ıa) puede producirxtoneladas de cobre corriente eytoneladas de cobre fino diarias. Si se sabe que las produccioes diarias de cobre fino y corriente cumplen la relaci´ony=405x

10−x y que el precio de venta del cobre fino es 3.6 veces el precio del

cobre corriente, se pide determinar cual es la producci´on diaria que proporciona un ingreso m´aximo.

Si pes el inverso por venta de cada tonelada de cobre corriente, el ingreso por cada tonelada de cobre fino ser´a 3.6 p.

As´ı, el ingreso por ventas ser´a I(x,y)=px+3.6 y.

Perox, y se relacionan comoy= 405x

10−x, de modo que

Ingreso =I(x) =px+ 3.6p405x

10−x =p

h

x+ 3.6 405x

10−x

i

CalculamosI0(x) =ph1 + 3.6 5(10−x)+405x

(10−x)2

i

es decir I0(x) =ph1 36 (10−x)2

i

Sigue que I0(x) = 0 si 36

(10−x)2 = 110−x=±6 es decirx= 106 de dondex= 4(t/d) (admisible)

o x= 16(t/d) (fuera de rango) (2.0 ptos.)

Adem´asI00(x) =−p72(10−x)

(10−x)4 =−p(1072x)3 de dondeI00(4) =

72p

63 =−p/3<0 (concava) y por lo tanto,

x= 4 genera un m´aximo enI(x) y la producci´on optima ser´ax= 4(t/d) ey=4020

104 = 103 = 3.¯3(t/d)

(1.0 pto.)

(NO SE PIDE) El ingreso diario ser´a I= 4p+ 3.6 10 3 = 16p.

ii) Seaf(x) continua en [0,∞), diferenciable en (0,∞) y tal quef(0) = 0 yf0(x) es creciente enIR+.

Use el Teorema del Valor Medio para proba que f0(x) f(x)

x en IR

+ y deduzca que la funci´on

g(x) = f(xx) es creciente enIR+

Por hip´otesis,∀x∈IR+,f es continua en [0, x] y diferenciable en (0, x).

Entonces por TVM∃ξ∈(0, x) tal que f(xx)f0(0) =f0(ξ), es decir, f(x)

x =f0(ξ), conξ∈(0, x).

Perof0 es creciente en (0, x), entoncesf0(ξ)f0(x) de donde

f(x)

x =f0(ξ)≤f0(x) ∀x∈IR

+. (1.0 pto.)

Adem´asg(x) = f(xx) ⇒g0(x) = xf0(x)f(x)

x2 ∀x∈IR+. Pero de lo anterior f(xx) ≤f0(x)xf0(x)f(x)0. De modo queg0(x) =xf0(x)f(x)

x2 0 ∀x∈IR+.

Sigue queg(x) es creciente enIR+. (1.0 pto.)

iii) Calcule l´ım

x→0

ln(e−x+xe−x)

x2 .

Claramente es una forma de L’Hopital¡0 0 ¢

l´ım

x→0

ln(e−x+xe−x)

x2 = l´ım

x→0

−e−x+e−x−xe−x e−x+xe−x

2x = l´ımx0 −xe

−x

2x(e−x+xe−x) = l´ım

x→0

−e−x

2(e−x+xe−x)=1/2 (1.0 pto.)

OTRA FORMA OBSERVAR que ln(e−xx+2xe−x) =

lne−x(1+x)

x2 = ln−x+xln2(1+x) =

−x+ln(1+x)

x2

L’Hopital −−−−−−−→

(5)

Problema 3

Considere la funci´on definida porf(x) =e√2 senx

i) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 paraf(x) en torno ax0= 0 (Sin Resto).

El polinomio de orden 2 ser´a de la forma

P2(x) =f(0) +f0(0)·x+f00(0)/2!x2

f(x) =e√2 senxf(0) = 1

f0(x) =2 cosxe2 senxf0(0) =2 (0.7 ptos.)

f00(x) =2[senxe2 senx+2 cos2xe2 senx]

f00(x) =2e2 senx[2 cos2xsenx]f00(0) =2·2 = 2

As´ı, P2(x) = 1 +

2x+x2 (0.8 ptos.)

ii) Estudiar completamentef(x). Se piede

a) Dominio, ceros (si existen), signos def, continuidad y periodicidad. b) C´alculo def0(x), crecimiento y valores extremos relativos y absolutos. c) C´alculo def00(x), concavidad (convexidad) y puntos de inflexi´on. d) Tabla de valores principales, recorrido y gr´afico aproximado.

a) Es inmediato por la composici´on de exp y sen que Domf =IR,no existen ceros puesto que exp (2 senx)>0 ∀x∈IRy por lo mismo sig (f)>0 ∀x∈IR.

f es continua por ser composici´on de continuas yf es peri´odica, lo mismo que senx, con per´ıodo

2π. (0.5 ptos.)

b) f0 ya fu´e calculada en (i),f0(x) =2 cosxe2 senx

Adem´asf0(x) = 0 si cosx= 0 en [−π, π], por ejemplo. As´ı, f0(x) = 0 en [−π, π] six=π/2 x=−π/2

Entonces para el crecimiento se tiene: signos de f0(x) son los signos de cosx

x (−π,−π/2) (−π

2π2) (π2, π)

f0(x) <0 >0 <0

decrece crece decrece

Con este estudio puede ya concluirse quex=−π/2 es pto. de m´ınimo

yx=π/2 es pto. de m´aximo (1.0 pto.) c) f00(x) tambi´en ya fu´e calculado en (i)

f00(x) =2e2 senx[2 cos2xsenx]

f00(x) = 0 si2 cos2xsenx= 02(1sen2x)senx= 0

⇒√2 sen2x+ senx2 = 0senx= 1±√1+8 22 =

1±3 22

As´ı senx= 4 22 =

2

2 =

2<−1 es incompatible. (1.0 pto.)

o senx= 2 22 =

1

2 ⇒x=π/4 x= 3π

4 en [−π, π].

Con lo cual

x (−π, π/4) (π/4,3π/4) (3π/4, π)

f00(x) >0 <0 >0

convexa concava convexa

con este estudiox=π/4 y x= 3π/4 son

(6)

Figure

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