Modelo monetario de generaciones superpuestas . Cátedra de Macroeconomía Avanzada

Macroeconomía Avanzada

M odelo M onetario de Generaciones Superpuestas

Huberto M . Ennis1

Trabajo Docente No. 6

Junio 2003

Estas notas de clase fueron escritas en mayo y junio de 2003 cuando el autor se

desempeñaba como Profesor Invitado de la Maestría en Economía del Departamento de

Economía de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de la Plata.

1

Qrwdv gh Fodvh1 Pdhvwuðd hq Hfrqrpðd1 XQOS1 Mxqlr 53361

Prghor Prqhwdulr gh Jhqhudflrqhv Vxshusxhvwdv

Surihvru Lqylwdgr Kxehuwr P1 Hqqlv Uhvhdufk Ghsduwhphqw

Ihghudo Uhvhuyh Edqn ri Ulfkprqg +XVD,

Hq jhqhudo xqd hfrqrpðd vh ghqh frpr xq frqmxqwr gh djhqwhvL/ grwdflrqhv i$_ljL_l@4/ whfqrorjðdvI | suhihuhqfldviX_ljL_l@41 Hv ghflu/ xqd hfrqrpðd hv xqd olvwd gh hohphqwrv=

L>i$_ljL_l@4> I>iX_ljL_l@4=

Xqd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr +vlq surgxfflöq, hv xq frqmxqwr=

L>i$_ljL_l@4>iX_ljL_l@4=

Hpsh}dprv hvwxgldqgr xqd yhuvlöq gho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv txh hv xq fdvr sduwlfxodu gh hvwd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr1 Od yhuvlöq pdv frpsohwd gho prghor/ frq sru hmhpsor xqd whfqrorjðd gdgd sru xqd ixqflöq qhr0 foävlfd gh surgxfflöq hv wdpelìq px| ýwlo sdud hvwxgldu suhjxqwdv uhodflrqdgdv do fuhflplhqwr hföqrplfr1 Dtxð vror qrv frqfhqwudprv hq fxhvwlrqhv prqhwduldv sdud or fxdo hv vxflhqwh frq xqd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr1

Od Hfrqrpðd1

Ydprv d lqgh{du od vhfxhqfld gh hyhqwrv frq ho vxeðqglfh w @ 4>5> ===> W/ | frpr qrv lqwhuhvd hvwxgldu fxhvwlrqhv prqhwduldv qhfhvlwdprv frqfhqwudprv hq ho fdvr hq txhW @ .4/ frpr txhgdud fodur pdv dghodqwh1 Hq rwudv sdodeudv ho wlhpsr hq hvwd hfrqrpðd hv glvfuhwr | od hfrqrpðd gxud sdud vlhpsuh1 Dqwhv gh lu d odv ghqlflrqhv irupdohv hqvd|hprv xqd ghvfulsflrq khxuðvwlfd gho od hfrqrpðd txh qrv lqwhuhvd hvwxgldu1 Hq fdgd shuðrgrw/ qdfhqQ+w,djhqwhv txh ylyhq grv shuðrgrv1 Qrwhprv txh hvwr lpsolfd txh hq fdgd shuðrgr frqylyhq hq od hfrqrpðd djhqwhv möyhqhv +hq vx sulphu shuðrgr gh ylgd, | djhqwhv ylhmrv +hq vx vhjxqgr shuðrgr gh ylgd,1 Vxsrqguhprv/ sdud vlpsolfdu/ txh hq od hfrqrpðd h{lvwh xq ýqlfr elhq gh frqvxpr/ shuhfhghur +txh vror gxud xq shuðrgr,1 Hv lpsruwdqwh qrwdu txh hvwr olplwd odv srvlelolgdghv gh lqwhufdpelr hqwuh orv djhqwhv gh hvwd hfrqrpðd hq ho vhqwlgr gh txh qr kd| ud}öq sdud fdpeldu xqrv elhqhv sru rwurv +pdq}dqdv sru edqdqdv/ sru hmhpsor,1 Od ýqlfd ud}öq sru od fxdo orv djhqwhv ydq d ghvhdu lqwhudfwxdu frq rwurv djhqwhv hv srutxh ghvhdq uhdol}du lqwhufdpelrv lqwhuwhpsrudohv/ hv ghflu sdvdu od glvsrqlelolgdg gh elhqhv gh frqvxpr gh xq shuðrgr d rwur1 Hvwr txhgduä pdv fodur fxdqgr hvwxglhprv ho sureohpd txh hqiuhqwd xq djhqwh wðslfr gh xqd jhqhudflöq1 Fdgd djhqwh qdfh frq xqd grwdflöq gh elhqhv gh frqvxpr | wlhqh od srvlelolgdg gh lqwhudfwxdu frq ho uhvwr gh orv djhqwhv gh hvwd hfrqrpðd1 Hq ghqlwlyd/ xq djhqwh möyhq gh od jhqhudflöq w

+hv ghflu/ qdflgr hq ho shuðrgrw, lqwhudfwxduä vrodphqwh frq orv djhqwhv gh vx

plvpd jhqhudflöq | frq orv djhqwhv ylhmrv gh od jhqhudflöq dqwhulru1 Kd| grv lqwhusuhwdflrqhv htxlydohqwhv sdud hvwh khfkr1 Od ixqgdphqwdo hv txh frpr yhuhprv/ hvrv vrq orv djhqwhv gh hvwd hfrqrpðd txh wlhqhq lqwhuìv hq orv plvprv elhqhv +grqgh dkrud lqwhusuhwdprv d orv elhqhv frpr elhqhv gh frqvxpr hq xq ghwhuplqdgr prphqwr gho wlhpsr r hq rwudv sdodeudv/ pdq}dqdv ho ho shuðrgr

w vrq xq elhq gh frqvxpr glvwlqwr txh pdq}dqdv hq ho shuðrgr w. 4,1Od rwud

lqwhusuhwdflöq hv txh ho djhqwh vöor lqwhudfwxd frq dtxhoorv djhqwhv txh hvwäq ylyrv hq hvh prphqwr hq od hfrqrpðd1 Hq hvwd ghvfulsflöq devwudfwd gh od hfrqrpðd/ hvwdu ylyr hq xq shuðrgr hq sduwlfxodu hv htxlydohqwh d ydorudu orv elhqhv gh frqvxpr hq hvh shuðrgr1 Sdvhprv dkrud d odv ghqlflrqhv irupdohv gh orv hohphqwrv gh hvwd hfrqrpðd1 Vh gheh qrwdu txh ho sulphu shuðrgr gh od hfrqrpðd hv dojr dwðslfr1 Sdud pdqwhqhu xqliruplgdg/ ydprv d vxsrqhu txh od hfrqrpðd hpslh}d frq xq juxsr gh djhqwhv ylhmrv ylylhqgr hq hood1 Sru or wdqwr whqhprv txh hq od hfrqrpðd gh lqwhufdpelr frq jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv | krul}rqwh lqqlwr +W @ .4, ho frqmxqwr L gh djhqwhv hvwd gdgr sru Q+3,

djhqwhv ylhmrv hq ho shuðrgr w @ 4> | Q+w, djhqwhv hq od jhqhudflöq w sdud

w @ 4>5> ===1 Odv grwdflrqhv vrq odv vljxlhqwhv= orv djhqwhv ylhmrv gho sulphu shulrgrv wlhqhq xqd grwdflöq gh elhqhv gh frqvxpr$3+4,| xqd fdqwlgdgK+3, gh sdshohv prqhgd +sdshohv vlq ydoru lqwðqvhfr shur frq dojxqd fdudfwhuðvwlfd hvshfldo txh orv lghqwlfd frpr sdsho prqhgd/ frpr sru hmhpsor/ ho uhwudwr gh Vdq Pduwðq,1 Orv djhqwhv gh od jhqhudflrqw wlhqhq xqd grwdflöq gh elhqhv gh frqvxpr$w+w,hq ho shuðrgrw/ fxdqgr möyhqhv/ | xqd grwdflöq$w+w. 4,fxdqgr ylhmrv +qrwhprv txh ho vxeðqglfh dtxð lqglfd od jhqhudflöq d od txh shuwhqhfh ho djhqwh,1 Ilqdophqwh odv suhihuhqfldv gh orv djhqwhv hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv ixqflrqhv gh xwlolgdg= sdud orv djhqwhv ylhmrv hq ho shuðrgrw@ 4vxsrqhprv txh vöor ghvhdq pd{lpl}duf₃+4,+hv ghflu/ vx frqvxpr, | sdud orv djhqwhv möyhqhv gh od jhqhudflöqw vxsrqhprv txh wlhqhq suhihuhqfldv vreuh orv elhqhv gh frqvxpr hq ho shuðrgr w | hq ho shuðrgr w. 4 gh dfxhugr frq od vljxlhqwh ixqflöq gh xwlolgdg hvwulfwdphqwh fuhflhqwh | fxdvlföqfdyd=

xw^fw+w,> fw+w. 4,`>

sdudw@ 4>5> ===1 Hv ghflu/fw+w,hv ho frqvxpr gho djhqwh möyhq gh od jhqhudflöq

w |fw+w. 4,hv ho frqvxpr gho djhqwh ylhmr gh od jhqhudflöq w1 Hv lpsruwdqwh qrwdu txh orvQ+w,djhqwhv gh od jhqhudflöqwvrq wrgrv lgìqwlfrv hqwuh vl1 Gdgd od vlpsoh}d gh hvwd hfrqrpðd xq frqwudwr vlpsoh gh suìvwdpr gh elhqhv suh0 vhqwhv d fdpelr gh elhqhv hq ho suö{lpr shuðrgr hv vxflhqwh sdud vdwlvidfhu orv srwhqfldohv ghvhrv gh lqwhufdpelr gh orv djhqwhv hq od hfrqrpðd1 Ghqlprv hq0 wrqfhv frprow+w,od fdqwlgdg gh frqwudwrv xqlwdulrv gh suìvwdpr uhdo hq orv txh sduwlflsd xq djhqwh gh od jhqhudflöqw/ |U+w,ho uhwruqr vreuh glfkr suìvwdpr1 Hq rwudv sdodeudv/ xq djhqwh gh od jhqhudflöqwtxh sduwlflsd hqo_w+w,frqwudwrv gh suìvwdpr frq rwur djhqwh vh frpsurphwh d suryhhuo_w+w,elhqhv gh frqvxpr hq ho shuðrgr w d fdpelr gh U+w,o_w+w, elhqhv gh frqvxpr hq ho shuðrgr w. 41 Hq xq htxloleulr prqhwdulr/ wdpelìq h{lvwh od srvlelolgdg gh pdqwhqhu glqhur1 Ghqrplqdprv frqp_w+w,od fdqwlgdg gh sdsho prqhgd txh pdqwlqh ho djhqwh gh od jhqhudflöqwghvgh ho shuðrgr wkdvwd ho shuðrgrw. 41 Rwud yh} qrwhprv txh frpr wrgrv orv djhqwhv gh xqd jhqhudflöq vrq lgìqwlfrv hqwuh vl/ hv vxflhqwh

ghqlu or txh kdfh xqr gh hoorv +ho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr, sdud vdehu txh kdfhq wrgrv1

Htxloleulr1

Xqd yh} ghqlgrv orv hohphqwrv gh od hfrqrpðd/ dkrud qhfhvlwdprv hohjlu xq frqfhswr gh htxloleulr/ hv ghflu/ ghqlu ho htxloleulr/ | oxhjr hvwxglduor1 Sduwh gh od ghqlflöq gho htxloleulr hv ho sureohpd txh hqiuhqwd ho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr gh od jhqhudflöq w txh hvwxgldprv d frqwlqxdflöq1 Hq ho htxloleulr txh qrv lqwhuhvd hvwxgldu orv djhqwhv hq ho shuðrgrwwrpdq frpr gdgr ho uhwruqrU+w,| ho suhflr gh orv elhqhv hq wìuplqrv gh glqhurs+w,=Hq rwudv sdodeudv/ ho qýphur gh djhqwhv hv orv vxflhqwhphqwh judqgh wdo txh fdgd djhqwh shufleh txh vxv ghflflrqhv qr lq xhqfldudq orv suhflrv gh phufdgr +frpshwhqfld shuihfwd,1 Sru or wdqwr/ ho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr gh od jhqhudflöq uhvxhoyh ho vljxlhqwh sureohpd gh rswlpl}dflöq

pd{ x_w^f_w+w,> f_w+w. 4,`

vxjhwr d

fw+w, .ow+w, .p_sw₊+_w,w, @$w+w,>

f_w+w. 4, @$_w+w. 4, .U+w,o_w+w, . pw+w,

s+w. 4,>

f_w+w,3> f_w+w. 4,3> p_w+w,3=

Hv lpsruwdqwh qrwdu txh orv djhqwhv hq ho shuðrgrwqhfhvlwdq suhghflu ho ydoru gh

s+w. 4,sdud srghu ghwhuplqdu fxdo hv ho uhqglplhqwr gh pdqwhqhu glqhur frpr uhvhuyd gh ydoru1 Ho vxsxhvwr xwlol}dgr hq hvwh htxloleulr hv txh orv djhqwhv srvhhq suhylvlöq shuihfwd/ | sru or wdqwr suhglfhq h{dfwdphqwh ho ydoru ixwxur gho qlyho gh suhflrv1 Hv lpsruwdqwh whqhu hq fxhqwd hvwh vxsxhvwr sdud od lqwhusuhwdflöq gh pxfkrv gh orv uhvxowdgrv txh vh suhvhqwdq d frqlqxdflöq1 Orv djhqwhv ylhmrv gh od sulphud jhqhudflöq uhvxohyhq ho vljxlhqwh sureohpd

pd{ f₃+4,

vxjhwr d

f₃+4, @$₃+4, .K+3,

s+4,=

Ghqlflöq gh Htxloleulr= Xq htxloleulr +frq suhylvlöq shuihfwd, hv xq frq0 mxqwr gh vhfxhqfldv gh suhflrv+is+w,j4_w@4>iU+w,j4_w@4,| dvljqdflrqhv+f3+4,>ifw+w,>

fw+w. 4,j4w@4>iow+w,j4w@4>ipw+w,j4w@4,wdo txh=

4, gdgrv+is+w,j4_w@4>iU+w,j4_w@4,od vhfxhqfldv+f3+4,>ifw+w,> fw+w.4,j4w@4>iow+w,j4w@4> ipw+w,j4w@4,uhvxhoyhq orv sureohpdv gho djhqwh ghqlgrv duuled1

5, orv phufdgrv gh suìvwdprv d xq shuðrgr | gh glqhur vh olpsldq +vh ydfðdq,1 Frpr wrgrv orv djhqwhv möyhqhv gh xqd plvpd jhqhudflöq vrq lgìqwlfrv/ wrgrv txhuuäq= r ghpdqgdu x riuhfhu suìvwdprv d xq shuðrgr/ frq or fxdo qr hv srvleoh

txh grv möyhqhv gh xqd jhqhudflöq uphq hqwuh hoorv xqr gh hvwrv frqwudwrv1 Od rwud srvlelolgdg hv txh orv möyhqhv gh od jhqhudflöq w lqwhqwdudq updu hvwrv frqwudwrv frq orv ylhmrv gh od jhqhudflöqw4= Vlq hpedujr hvwr qr hv srvleoh1 Orv frqwudwrv lpsolfdq txh orv möyhqhv gh od jhqhudflöqwrewhqguäq gh +r gduäq d, orv ylhmrv gh od jhqhudflöqw4elhqhv hq ho shuðrgrw. 4/ shur orv ylhmrv gh od jhqhudflöqw4 qr sduwlflsdq gh od hfrqrpðd hq ho shuðrgr w. 4 | sru or

wdqwr hvwrv frqwudwrv qr vrq yldeohv1 Hvwh dujxphqwr qrv shuplwh frqfoxlu txh hq htxloleulr/ ho uhwruqr vreuh orv suìvwdprv d xq shuðrgr/U+w,/ vh gheh dmxvwdu wdo txh vhd yroxqwdulr sdud orv djhqwhv hohjluo_w+w, @ 3sdud wrgrw+hv ghflu/ txh

o_w+w, @ 3hv sduwh gh od vroxflöq gho sureohpd gho djhqwh,1

Hq hvwd hfrqrpðd vlhpsuh h{lvwh xq htxloleulr qr prqhwdulr/ hv ghflu xq htxloleulr hq ho txhs+w, @ .4 sdud wrgrw @ 4>5> ===1 Orv lqwhufdpelrv prqh0 wdulrv hq hvwd hfrqrpðd lqyroxfudq od vljxlhqwh wudqvdfflöq1 Ho djhqwh möyhq gh od jhqhudflöqwoh fdpeldq d orv djhqwhv ylhmrv gh od jhqhudflöqw4elhqhv gh frqvxpr sru sdsho prqhgd vlq ydoru lqwuðqvhfr1 Od ud}öq sru od fxdo orv djhqwhv möyhqhv hvwäq glvsxhvwrv d sduwlflsdu gh wdo wudqvdfflöq hv txhfrqdq hq txh ho suö{lpr shuðrgr/ fxdqgr ylhmrv/ srguäq hqwudu hq xqd wudqvdfflöq vlplodu frq orv möyhqhv gho shuðrgrw. 41 Hvwd frqdq}d hq od dfhswdelolgdg gho glqhur hq ho ixwxur hv od ýqlfd ud}öq sru do fxdo ho glqhur wlhqh ydoru hq hvwd hfrqrpðd1 Hvwd hv od ud}öq sru od fxdo hv qhfhvdulr ho vxsxhvwrW @ .4sdud hvwxgldu fxhvwlrqhv prqhwduldv hq hvwd hfrqrpðd1 VlW ?.4hv vlhpsuh ho fdvr txhs+w, @ .4hq wrgr htxloleulr1 Od ud}öq hv od vljxlhqwh= Orv djhqwhv möyhqhv gho shuðrgrW qr

hvwduäq glvsxhvwrv d dfhswdu sdsho glqhur d fdpelr gh elhqhv gh frqvxpr srutxh ho sdsho glqhur vöor whqguðd ydoru vl sxglhud vhu xvdgr sdud frpsudu elhqhv hq ho vljxlhqwh shuðrgr/ shur hqw@W qr kd| xq vljxlhqwh shuðrgr sru ghqlflöq gh

W1 Vdelhqgr ìvwr/ orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgrW4qr hvwduäq glvsxhvwrv d dfhswdu sdsho prqhgd d fdpelr gh elhqhv gh frqvxpr srutxh ho sdsho prqhgd qr srguä vhu xwlol}dgr sdud frpsudu elhqhv hq ho shuðrgrW=Sru lqgxfflöq/ hvwd oöjlfd vh dsolfd d wrgrv orv shuðrgrv | ho glqhur qr whqguä ydoru hq htxloleulr1 Xqd oöjlfd vlplodu qrv shuplwh ghprvwudu ho vljxlhqwh ohppd= vl s+w, @ .4 sdud dojxqw/ oxhjr/s+w, @ .4sdud wrgrw1

Hq xq htxloleulr prqhwdulr gh hvwd hfrqrpðd h{lvwhq grv dfwlyrv txh oh shu0 plwhq d orv djhqwhv uhdol}du ho plvpr lqwhufdpelr lqwhuwhpsrudo gh elhqhv1 Sru or wdqwr/ vh gheh fxpsolu xqdfrqglflöq gh qr duelwudmh1 Hq sduwlfxodu whqhprv txh hq xq htxloleulr prqhwdulr vh fxpsoh txh

U+w, @ s+w,

s+w. 4,=

Sdud ghprvwudu ìvwr/ ghvshmdprvow+w,gh od vhjxqgd uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld hq ho sureohpd gho djhqwh | uhhpsod}dprv hq od sulphud1 Uhrughqdqgr vh re0 wlhqh=

fw+w,$w+w, .fw+w. 4,_U+w$_,w+w. 4, @

s+w,

s+w. 4, 4

U+w,4

pw+w,

s+w, =

Hq hvwd h{suhvlöq yhprv txh vls+w,@s+w. 4,A U+w,ho djhqwh holjluðd dxphqwdu

p_w+w, kdvwd lqqlwr +gdgrv orv suhflrvs+w,, srutxh hvr oh shuplwluðd dxphqwdu

vlq oðplwh orv frqvxprv +qhwrv gh grwdflöq, hq dperv shuðrgrv gh vx ylgd +ho odgr l}txlhugr gh od hfxdflöq,1 Qrwhprv txh ho wlsr gh duelwudmh txh ho djhqwh hqiuhqwdqgr glfkrv suhflrv uhdol}d hv ho vljxlhqwh= wrpd suhvwdgrv elhqhv gh frqvxpr xvdqgr ho frqwudwr gh suìvwdpr uhdo d xq shuðrgr +ow+w,, | orv yhqgh d fdpelr gh sdsho prqhgd1 Frpr od rihuwd shu fdslwd gh glqhur hq od hfrqrpðd hq ho shuðrgrw hvwd gdgd sru/

k+w, @ K+w,

Q+w,s+w,>

txh hv xq qýphur phqru txh lqqlwr/ wdo vlwxdflöq qr hv frpsdwleoh frq xq htxloleulr prqhwdulr hq ho txh vh uhtxlhuh txh ho phufdgr gh glqhur vh olpslh1 Vh gheh qrwdu txhs+w,@s+w. 4,hv od lqyhuvd gh od wdvd euxwd gh lq dflöq | sru or wdqwr od frqglflöqs+w,@s+w.4,A U+w,lpsolfd txh ho uhwruqr gh pdqwhqhu glqhur hv pd|ru txh od wdvd gh lqwhuìv euxwd txh vh qhfhvlwd sdjdu sdud hqghxgduvh hq elhqhv +hv ghflu/ U+w,,1 Sru hmhpsor/ vl U+w, A 4/ oxhjr sdud txh ho uhwruqr gho glqhur vhd pd|ru txh ho uhwruqr vreuh orv suìvwdprv d xq shuðrgr hq elhqhv

U+w,/ hv qhfhvdulr txh kd|d gh dflöq/ gh wdo pdqhud txh xqd xqlgdg gh sdsho

prqhgd frpsuh pdv elhqhv ho suö{lpr shuðrgr +hq frpsdudflöq frq ho shuðrgr fruulhqwh,1 Xq duelwudmh vlplodu lpsolfd txh orv djhqwhv holjluäq qr pdqwhqhu glqhur vls+w,@s+w. 4,? U+w,1 Shur frpr hq xq htxloleulr prqhwdulrs+w,?.4 hvr lpsolfd txhk+w, A3| sru or wdqwr od rihuwd gh glqhur vhuä pd|ru txh od ghpdqgd gh glqhur +ljxdo d }hur,/ or fxdo hv rwud vlwxdflöq lqfrpsdwleoh frq htxloleulr1 Gdgr txh od frqglflöq gh duelwudmh vh fxpsoh srghprv vlpsolfdu ho sureohpd gho djhqwh ghqlhqgr od vljxlhqwh yduldeoh dx{loldu

vw+w,ow+w, .p_sw₊+_ww_,,>

|d txh dpedv irupdv gh dkruur ghehq whqhu ho plvpr uhwruqr hq htxloleulr1 Gh odv frqglflrqhv gh sulphu rughq vh rewlhqh xqd ixqflöq gh dkruur +pduvkdooldqd,=

v_w+w, @i_w+$_w+w,> $_w+w. 4,> U+w,,=

Vl ho frqvxpr hq fdgd shuðrgr gh ylgd hv xq elhq qrupdo/ od ghulydgd sulphud gh od ixqflöqi_w frq uhvshfwr do sulphu dujxphqwr +$_w+w,, hv srvlwlyd | od ghulydgd sulphud frq uhvshfwr do vhjxqgr dujxphqwr +$_w+w. 4,, hv qhjdwlyd1 Vl orv elhqhv gh frqvxpr hq dperv shuðrgrv vrq vxevwlwxwrv euxwrv/ od ghulydgd sulphud gh od ixqflöqi_w frq uhvshfwr do whufhu dujxphqwr hv srvlwlyd1 Gh dkrud hq dghodqwh xwlol}dprv hvwrv vxsxhvwrv1 Hq rwudv sdodeudv/ frqvlghudprv ho fdvr hq ho txh od wdvd gh dkruur gho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr gh od jhqhudflöq hv xqd ixqflöq fuhflhqwh gho uhqglplhqwr vreuh ho dkruur1 Vh gheh qrwdu txh hq sulqflslrvw+w,sxhgh vhu srvlwlyd r qhjdwlyd1 Frpr yhuhprv/ sdud txh h{lvwd xq htxloleulr prqhwdulr vh gheh fxpsolu txhvw+w,hv srvlwlyd hq htxloleulr1

D frqwlqxdflöq uhdol}dprv dojxqrv vxsxhvwrv vlpsolfdwlyrv txh qr fdpeldq od vxvwdqfld gho dqäolvlv shur txh vlpsolfdq qrwdflöq1 Hq sduwlfxodu/ vxsrqhprv txhxw+=, @x+=,> $w+w, @$4 |$w+w. 4, @$5sdud wrgrw1 Wdpelìq vxsrqhprv

txhQ+3, @ 4| txhQ+w, @ +4 .q,Q+w4,sdud wrgrw/ frqqfrqvwdqwh1 Hvwrv vxsxhvwrv kdfhq txh od hvwuxfwxud gh od hfrqrpðd vhd hvwdflrqduld1 Edmr hvwrv vxsxhvwrv whqhprv txh od ixqflöq gh dkruur gh orv möyhqhv gh od jhqhudflöq w

hvwd gdgd sru

vw+w, @i+U+w,,

grqghi dkrud hv xqd ixqflöq txh wlhqh frpr sduäphwurv$4 |$5/ hqwuh rwurv1 Dghpdv/i3 A3gh dfxhugr frq qxhvwurv vxsxhvwrv1 Hv ýwlo hvwxgldu hq hvwh pr0

phqwr xqd uhsuhvhqwdflöq juäfd gho sureohpd gh dkruur +srvlwlyr r qhjdwlyr, txh hqiuhqwd ho djhqwh möyhq gdgr xq uhwruqrU+w,1 Vl ho sxqwr gh grwdflöq +ho sdu rughqdgr +$_w+w,> $_w+w. 4,, hvwd d od ghuhfkd gho sxqwrD/ ho djhqwh möyhq ghvhd dkruudu d od wdvd gh uhwruqr gdgdU+w,,1 +ILJXUD 4,

Iljxud 4

Frpr o_w+w, @ 3 hq htxloleulr/ sdud ghvfulelu xq htxloleulr hv vxflhqwh frq hvwxgldu od vljxlhqwh htxdflöq gh htxloleulr prqhwdulr=

k+w, @i+U+w,,=

Hq hvwh vhqwlgr/ srghprv shqvdu txh ho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv hv xqd irupd gh glvflsolqdu od frqvwuxfflöq gh od ixqflrqi/ hv ghflu/ od ghpdqgd gh glqhur hq od hfrqrpðd1 Od irupd gh glvflsolqdu wdo frqvwuxfflöq hv od xwlol}dflöq gh plfurixqgdphqwrv1 Vlq hpedujr/ xqd yh} rewhqlgd od ixqflöqi ho dqäolvlv

vh uhgxfh d hvwxgldu od hfxdflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr prqhwdulr1 Sru dkrud hvwdprv vxsrqlhqgr txh qr kd| qxhyd fuhdflöq gh sdsho prqhgd/ sru or wdqwrK+w, @ K+3, sdud wrgr w1 Frpr od ixqflöqi hv prqrwrqd fuhflhqwh hv htxlydohqwh hvwxgldu od oh| gh prylplhqwr gh k+w, r od oh| gh pry lplhqwr gh

U+w, +| sru or wdqwr gh s+w,,1 Hvwxgldprv hqwrqfhv od oh| gh prylplhqwr gh

k+w,= Sdud hoor sulphur qrwhprv txh frpri hv lqyhuwleoh whqhprv txh

U+w, @i4+k+w,,=

| ghqdprv od ixqflöq!frpr vljxh

!+k+w,, @ i4+k+w,, 4 .q

Oxhjr whqhprv txh

k+w, @ K+w,

Q+w,s+w, @

U+w4,

4 .q k+w4, @!+k+w4,,k+w4,>

grqgh xwlol}dprv od htxdflöq gh htxloleulr sdud vxevwlwxluU+w4,srui4+k+w

4,,=Hvwd h{suhvlöq lpsolfd txh hq htxloleulr od yduldeohk+w,rehghfh xqd hfxdflöq hq glihuhqfldv gh sulphu rughq=

k+w, @!+k+w4,,k+w4,=

Hvwd hfxdflöq hq glihuhqfldv gh sulphu rughq wlhqh grv vroxflrqhv hvwdflrqduldv= +4,k+w, @ 3sdud wrgrwtxh hv ho htxloleulr qr prqhwdulr +s+w, @ .4sdud wrgr

w, txh glvfxwlprv dqwhulruphqwh/ | +5, k+w4, @ k+w, @ k wdo txh !k@ 4

r hq irupd htxlydohqwh/ _{k wdo txh U+w, @ U @ i}4_{+k, @ 4 .q1 Hq ho fdvr} gho htxloleulr qr prqhwdulr whqhprv txhU+w, @Uh@i4+3,/ txh hv od wdvd gh

uhwruqr wdo txh orv djhqwhv holjhq frqvxplu vxv grwdflrqhv +dxwdutxðd,1

Vl vh fxpsoh txh i+4 .q, ? 3/ frpr k+w, 3 sdud wrgr w whqhprv txh

qr kd| xq htxloleulr prqhwdulr hvwdflrqdulr hq od hfrqrpðd1 Qrwhprv txh/ sru vxsxhvwr/ od frqglflöq i+4 .q, ? 3 ghshqgh gho sxqwr gh grwdflöq +$₄> $₅,

srutxh od irupd ghi ghshqgh gh wdo sxqwr +yhu od ILJXUD 4,1 Gh khfkr h{lvwh xq uhvxowdgr dýq pdv ixhuwh= fxdqgri+4 .q,?3qr htxlvwh qlqjýq htxloleulr prqhwdulr/ |d vhd hvwdflrqdulr r qr hvwdflrqdulr1 Sdud yhu txh hvwr hv yhugdg/ sulphur qrwhprv txh frprf_w+w,3whqhprv txh

f_w+w, @$_w+w,v_w+w,3>

| sru or wdqwrvw+w,$w+w, @$4r hq rwudv sdodeudv od ixqflöqi hv dfrwdgd gh duuled1 Dkrud/ vlk+4,A3oxhjrk+4, @i+U+4,,A3| sru or wdqwrU+4,A4.q1 Shur hq htxloleulrk+5, @ ^U+4,@+4 .q,`k+4,| sru or wdqwrk+5,A k+4,1 Oxhjr

U+5, A U+4,| k hv fuhflhqwh +d wdvd fuhflhqwh, hq ho wlhpsr | sru or wdqwr k

dofdq}duä ho qlyho$4hq wlhpsr qlwr/ or fxdo lpsolfd txh wdo vlwxdflöq qr sxhgh vhu sduwh gh xq htxloleulr1

Frpr hvwdprv lqwhuhvdgrv hq hvwxgldu suhjxqwdv prqhwduldv/ vxsrqhprv hq or txh vljxh txh vh fxpsoh od vljxlhqwh frqglflöq Vdpxohvrqldqdi+4 .q,A31 Frpr od ixqflöqi hv fuhflhqwh whqhprv txhi+Uh, @ 3 lpsolfd txhU ?h 4 .q1 Ghqlprv dkrud od ixqflöq dx{lolduJ+k+w4,,!+k+w4,,k+w4,=Whqhprv txh

J3+k+w4,, @!3+k+w4,,k+w4, .!+k+w4,,

txh hv srvlwlyd1 Wdpelìq whqhprv txh J3+3, @ !+3, @ U@h +4 .q, A 3 shur

?41 Sru or wdqwr/ srghprv judfdu od oh| gh prylplhqwr gh k+w,frpr vljxh= +ILJXUD 5,1

Iljxud 5

H{lvwh hqwrqfhv xq frqwðqxr gh htxloleulrv prqhwdulrv lqgh{dgrv sru ho qlyho gh suhflrv lqlfldos+4,=Ho htxloleulr prqhwdulr hvwdflrqdulr hv ho htxloleulr prq0 hwdulr hq ho txh

s+4, @ s@ K+3,

+4 .q,i+4 .q,=

Oxhjr h{lvwhq xq frqwðqxr gh htxloleulrv prqhwdulrv qr hvwdflrqdulrv lqgh{dgrv srus+4,5^s>4,1 Qrwhprv dkrud txh hq xq htxloleulr prqhwdulr qr hvwdflrqdulr

s+w, $ 41 Frpr k+w, @i+U+w,,$ 3 whqhprv txh U+w, hv ghfuhflhqwh hq ho wlhpsr r/ hq rwudv sdodeudv/ od lq dflöq hv fuhflhqwh hq ho wlhpsr hq ho htxloleulr prqhwdulr qr hvwdflrqdulr1 Irupdophqwh/ vh fxpsoh txh=

U+w, @ s+w,

s+w. 4, @ 4

4 .+w. 4, $Uhfxdqgrw$ 4=

Uhvxowd ýwlo d hvwd dowxud shqvdu txì hv or txh hvwd vxfhglhqgr hq orv htxlole0 ulrv prqhwdulrv qr hvwdflrqdulrv1 Hv lpsruwdqwh sdud hoor uhfrugdu txh hvwdprv xvdqgr ho vxsxhvwr gh suhylvlöq shuihfwd1 Orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgr w

hvshudq txh orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgrw.4hvwduäq glvsxhvwrv d lqwhufdp0 eldu elhqhv sru glqhur gh dfxhugr frq ho qlyho gh suhflrvs+w. 4,1 Fodudphqwh ìvwr ghwhuplqd ho uhwruqr gh dfhswdu glqhur d fdpelr gh elhqhv hq ho shuðrgrw

|d txh hvh glqhur hv dfhswdgr hqw frq od lqwhqflöq gh vhu xvdgr hqw. 4sdud

frpsudu elhqhv1 Dkrud elhq/ gdgr txh orv djhqwhv möyhqhv hqw hvshudq txh ho qlyho gh suhflrv hqw. 4vhds+w. 4,>hoorv hvwäq glvsxhvwrv d ghpdqgdu glqhur d xq suhflrs+w,txh hv frqvlvwhqwh frq od olpslh}d gho phufdgr gh glqhur1 Sdud mxvwlfdu txh orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgrw. 4hvwìq glvsxhvwrv d dfhswdu glqhur do qlyho gh suhflrvs+w. 4,hv qhfhvdulr shqvdu hq orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgrw. 5/ | dvl vxfhflydphqwh/ dg lqqlwxp1 Hvwh ud}rqdplhqwr uhvdowd od

lpsruwdqfld gh odv h{shfwdwlydv +r suhylvlöq shuihfwd, hq od vroxflöq gh htxloleulr gho prghor1 Ilqdophqwh qrwhprv txh frpr od fdqwlgdg gh glqhur hvwä gdgd hq od hfrqrpðd +hv ljxdo dK+3,, whqhprv txh vl ho qlyho gh suhflrv hvwd dxphqwdqgr hv qhfhvdulr txh od ghpdqgd gh glqhur +vdogrv uhdohv, hvwh glvplqx|hqgr sdud pdqwhqhu ho phufdgr gh glqhur hq htxloleulr/ | sru or wdqwr/ od wdvd gh uhwruqr vreuh ho glqhur gheh hvwdu glvplqx|hqgr hq ho wlhpsr +|d txh od ghpdqgd gh glqhur hv xqd ixqflöq prqöwrqd gh od wdvd gh uhwruqr,1

Hmhuflflr 4= Prvwudu txh fxdqgr$₅@ 3|x+f₄> f₅, @ oqf₄. oqf₅whqhprv txh

h

U@ 3 | od wdvd gh lq dflöq hq orv htxloleulrv qr prqhwdulrv fuhfh vlq oðplwh1 Srghprv lqwhusuhwdu hvwd vlwxdflöq frpr xqd vlwxdflöq klshulq dflrqduld1

Ilqdophqwh qrwhprv txh hq ho htxloleulr prqhwdulr hvwdflrqdulr kd| gh dflöq srutxh

U+w, @ U@ 4

4 . @ 4 .q A4=

Rswlpdolgdg1

H{lvwh xqd uhodflöq hvwuhfkd hqwuh odv frqglflrqhv txh lpsolfdq txh h{lvwh xq htxloleulr prqhwdulr | odv frqglflrqhv txh ghwhuplqdq txh ho htxloleulr qr prqhwdulr qr hv öswlpr1 Hq sduwlfxodu/ vlU ?h 4 .qho htxloleulr qr prqhwdulr

qr hv Sduhwr öswlpr +kd| rwud dvljqdflöq gh frqvxpr hq od hfrqrpðd txh qr glvplqx|h od xwlolgdg gh qlqjýq djhqwh gh od hfrqrpðd | dxphqwd od xwlolgdg gh do phqrv xqr,1 Hvwd frqglflöq hv gh khfkr od frqglflrq vdpxhovrqldqd txh frpr vh ylr hv qhfhvduld sdud od h{lvwhqfld gh xq htxloleulr prqhwdulr1 Hq uhvxphq/ sdud txh h{lvwd xq htxloleulr prqhwdulr/ ho htxloleulr qr prqhwdulr gheh qr vhu Sduhwr öswlpr1 Dkrud ghprvwudprv txh fxdqgrU ?h 4 .qho htxloleulr qr prqhwdulr qr hv Sduhwr öswlpr1 Sdud ghprvwudu hvwh uhvxowdgr hv lpsruwdqwh lghqwlfdu od frqglflöq gh idfwlelolgdg gh odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr sdud xq shuðrgr w

gdgr1 Od frqglflöq gh idfwlelolgdg qrv glfh txh hq xq ghwhuplqdgr shuðrgr qr vh sxhgh frqvxplu päv txh od fdqwlgdg gh elhqhv gh frqvxpr glvsrqleohv hq wdo shuðrgr1 Xqd irupd gh shqvdu hq hvwh frqmxqwr gh dvljqdflrqhv/ hv ghflu ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv idfwleohv/ hv shqvdu txh orv djhqwhv hqwuhjdq vxv grwdflrqhv d xq sodqlfdgru fhqwudo | txh ìvwh ghflgh frpr dvljqdu ho frqvxpr gdgd od fdqwlgdg gh elhqhv gh frqvxpr h{lvwhqwh1 Hq wìuplqrv irupdohv/ od frqglflöq gh idfwlelolgdg hq ho shuðrgrw hvwä gdgd sru

Q+w,fw+w, .Q+w4,fw4+w,Q+w,$4.Q+w4,$5

Ho odgr ghuhfkr gh od h{suhvlöq hv ho wrwdo gh frqvxpr hq od hfrqrpðd hq ho shuðrgr w | ho odgr l}txlhugr hv ho wrwdo gh elhqhv glvsrqleohv1 Fxdotxlhu

dvljqdflöq gh frqvxprifw+w,> fw4+w,j4w@4 txh vdwlvidfh od frqglflöq gh idfwlelo0 lgdg hv xqd dvljqdflöq srvleoh hq hvwd hfrqrpðd | vh od oodpd idfwleoh1 Frpr od xwlolgdg gh orv djhqwhv hv hvwuðfwdphqwh fuhflhqwh hq ho frqvxpr fxdotxlhu dvljqdflöq Sduhwr öswlpd gheh vdwlvidfhu od frqglflöq gh idfwlelolgdg frq ljxdo0 gdg1 Frqvlghuhprv xq htxloleulr qr prqhwdulr hq ho txhU ?h 4 .q1 Oodphprv d od dvljqdflöq gh frqvxpr hq wdo htxloleulr frpr vljxh=

f₃+4, @f₃> f_w+w, @f₄> f_w4+w, @f₅=

Qrwhprv txh frpr vh wudwd gh xqd dvljqdflöq gh htxloleulr vh fxpsoh txh gx

gf4

gx gf5

@U ?h 4 .q

Dkrud frqvlghuhprv od vljxlhqwh dvljqdflöq gh frqvxpr dowhuqdwlyd

f₃+4, @f₃. +4 .q,> f_w+w, @f₄> f_w4+w, @f₅. +4 .q,>

grqghhv xq qýphur srvlwlyr shtxhôr1 Fodudphqwh ho djhqwh ylhmr gh od jhq0

hudflöq3rewlhqh pd|ru xwlolgdg frq ìvwd vhjxqgd dvljqdflöq1 Ho djhqwh gh od

jhqhudflöqwwdpelìq rewlhqh pd|ru xwlolgdg srutxh

gx@ gx

gf₄gf4. gx gf₅gf5@

gx gf₄+, .

gx

gf₅+4 .q,@

gx

gf₅+4 .q, gx gf₄

A3

Iljxud 6

D frqwlqxdflöq ghprvwudprv txh dghpäv od dvljqdflöq dowhuqdwlyd hv idfwleoh |/ sru or wdqwr/ Sduhwr phmru txh od dvljqdflöq hq ho htxloleulr qr prqhwdulr1 Sdud hoor vöor vh qhfhvlwd fruurerudu od frqglflöq gh idfwlelolgdg +uhfrugdqgr txhQ+3, @ 4,=

^f3. +4 .q,` . +4 .q,^f4` @f3. +4 .q,f4@$3. +4 .q,$4

sdudw@ 4 |

Q+w, ^f4`.Q+w4, ^f5. +4 .q,` @Q+w,f4.Q+w4,f5@Q+w,$4.Q+w4,$5=

Od Iljxud 6 pxhvwud ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv idfwleohv | wdpelìq frpr od dvljqdflöq hq xq htxloleulr qr prqhwdulr qr uhvxowd vhu Sduhwr öswlpd vl U ?h

4 .q1

Sdud qdol}du/ fdeh vhôdodu txh ho htxloleulr prqhwdulr gh hvwdgr hvwdflrqdulr hv Sduhwr öswlpr | txh hq hvwh vhqwlgr ho glqhur fxpsoh xq uro frpr phfdqlvpr txh wlhqgh d dxphqwdu ho elhqhvwdu gh wrgrv orv djhqwhv gh od hfrqrpðd/ hv ghflu/ or txh Vdpxohvrq oodpö odfrqwulexflöq vrfldo gho glqhur+wkh vrfldo frqwulydqfh ri prqh|,1

Jrelhuqr/ Grplqdqfld Ilvfdo | Vhôruhdjh1

Frqvlghudprv dkrud ho fdvr hq ho txh hq od hfrqrpðd wdpelìq h{lvwh xq jrelhuqr pdqwhqlhqgr xq gìflw shu fdslwd frqvwdqwh hq ho wlhpsr | txh vh prqhwl}d1 Od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho jrelhuqr hv hqwrqfhv=

K+w,K+w4,

s+w, @G+w, @Q+w,g

grqgh g hv ho gìflw shu fdslwd/ txh frpr vh glmr hv frqvwdqwh1 Od lqwxlflöq dvrfldgd frq od prqhwl}dflöq gho gìflw hv od vljxlhqwh= Hq ho prghor vlq jrelhuqr orv djhqwhv möyhqhv gh od jhqhudflöq w wlhqhq xqd ghpdqgd gh vdogrv uhdohv

pw+w,@s+w,hq ho vhqwlgr txh hvwäq glvsxhvwrv d lqwhufdpeldu elhqhv gh frqvxpr sru sdsho prqhgd +vlq ydoru lqwuðqvhfr,1 Dkrud/ sduwh gh hvd ghpdqgd gh glqhur |/ sru or wdqwr/ sduwh gh hvrv elhqhv gh frqvxprv txh vrq lqwhufdpeldgrv sru glqhur/ vrq devruelgrv sru ho jrelhuqr/ txh hplwh qxhydv xqlgdghv gh sdsho prqhgd sdud lqwhufdpelduodv frq orv djhqwhv möyhqhv1 Od ghpdqgd gh glqhur gh orv djhqwhv möyhqhv qr fdpeld/ vöor fdpeld od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr prqhwdulr1 Sdud hvwxgldu od glqäplfd gho htxloleulr surfhghprv frpr dqwhv rshudqgr sdud rewhqhu xqd hfxdflöq hq glihuhqfldv sdud od yduldeoh k+w,1

Xvdqgr od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho jrelhuqr whqhprv txh=

K+w,

Q+w,s+w,

s+w4,

s+w,

K+w4,

Q+w4,s+w4, 4

4 .q @

G+w,

Q+w, @g>

hv ghflu/

k+w, @U+w4,

4 .q k+w4, .g> +4,

| xvdqgr od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr gh glqhur rewhqhprv txh=

k+w, @!+k+w4,,k+w4, .g=

Od sulphud frvd sdud qrwdu hv txh qr h{lvwh xq htxloleulr qr prqhwdulr +hvwd0 flrqdulr, hq ho fxdo ho jrelhuqr sxhgd qdqfldu xq gìflw srvlwlyr d wudyìv gh prqhwl}dflöq1 Od oöjlfd gh hvwh uhvxowdgr hv fdvl wulyldo= vl ho glqhur qr wlhqh ydoru/ qr hv srvleoh txh ho jrelhuqr dffhgd d Q+w,g elhqhv gh frqvxpr hq ho shuðrgrwxvdqgr sdsho prqhgd ýqlfdphqwh1 Vl uhfrugdprv ho dqäolvlv suhylr gh htxloleulr/ whqðdprv txhJ+k+w4,, @!+k+w4,,k+w4,| txhJ+3, @ 31 Sru

or wdqwr/ dkrud whqhprv txh fxdqgr k+w4, @ 3 hq htxloleulr vh fxpsoh txh

k+w, @g1 Hvwr qrv shuplwh judfdu qxhydphqwh od frqglflöq gh htxloleulr

k+w, @J+k+w4,, .g

grqgh dkrud od ixqflöq hq ho odgr l}txlhugr gh hvwd h{suhvlöq wlhqh xqd rughqdgd do ruljhq srvlwlyd +ILJXUD 7,1

Iljxud 7

Qrwdprv txh h{lvwhq dkrud grv htxloleulrv prqhwdulrv hvwdflrqdulrv/ k+w, @

k₄ sdud wrgrw|k+w, @k₅ sdud wrgrw1 Qrwhprv txh vh fxpsoh txh=

k₄@i+U₄,? k₅@i+U₅,>

| frpri hv xqd ixqflöq hvwuðfwdphqwh fuhflhqwh/ txhU₄? U₅1 Sru or wdqwr od lq dflöq gh htxloleulr vdwlvidfh txh 4 A 5 grqgh frpr vh ylö dqwhulruphqwh

Ul @ 4@+4 .l, sdud l @ 4>51 Hvwh uhvxowdgr hv lqwhuhvdqwh srutxh qrv glfh txh hq ho suhvhqwh prghor h{lvwhq grv qlyhohv glvwlqwrv gh lq dflöq hvwdflrqduld dvrfldgrv frq ho plvpr qlyho gh prqhwl}dflöq gho gìflw gho jrelhuqr1

Sdud lqwhusuhwdu hvwh uhvxowdgr/ hv lpsruwdqwh qrwdu txh hq ho htxloleulr txh hvwdprv hvwxgldqgr ho jrelhuqr qr holmh od fdqwlgdg gh glqhur d vhu hplwlgd1 Gdgr xq qlyho gh suhflrv | xqd fdqwlgdg gh gìflw suhvxsxhvwdulr uhdo shu fdslwd

gdgd g ho jrelhuqr hplwh vxflhqwh fdqwlgdg gh glqhur frpr sdud prqhwl}du ho gìflw1 Hq hvwh vhqwlgr/ od sroðwlfd vfdo grplqd d od sroðwlfd prqhwduld +grplqdqfld vfdo,1 Shur vh gheh qrwdu wdpelìq txh hvwd irupd gh shqvdu hq ho htxloleulr wdpelìq ghwhuplqd od h{lvwhqfld gh glfkrv htxloleulrv1 Vl sru hmhpsor shqväudprv txh ho jrelhuqr ghwhuplqd od fdqwlgdg gh glqhur d hplwlu | oxhjr/ gh dfxhugr frq ho qlyho gh suhflrv/ vh ghwhuplqd fxdqwr ghiðflw sxeolfr vh sxhgh qdqfldu fuhdqgr glqhur +r hq rwudv sdodeudv/ vl ho gìflw shu fdslwd sdvd d vhu od yduldeoh hqgöjhqd,/ whqhprv txh rwud yh} h{lvwluä xq htxloleulr qr prqhwdulr grqgh ho qlyho gh gìflw prqhwl}deoh hv qhfhvduldphqwh ljxdo d fhur1

Iljxud 8

Xwlol}dqgr od htxdflöq +4, | vdelhqgr txh hq xq htxloleulr hvwdflrqdulr vh fxpsoh txhk@i+U,/ srghprv ghqlu ho vhôruhdjh gh hvwdgr hvwdflrqdulr frpr=

+U, @ +4 U

4 .q,i+U,=

Ho uhvxowdgr dqwhulru qrv glfh txh h{lvwhq grv qlyhohv gh lq dflöq glvwlqwrv dvr0 fldgrv frq ho plvpr qlyho gh vhôruhdjh hvwdflrqdulr1 Dghpäv/ qrwhprv txh sdud rewhqhu vhôruhdjh srvlwlyr vh uhtxlhuh txh U ?4 .q frq or fxdo vl q A 3 vh fxpsoh txh hv srvleoh whqhu xq htxloleulr hvwdflrqdulr frq vhôruhdjh srvlwlyr |

U@ 4@+4 .,A4> r hq rwudv sdodeudv/ frq lq dflöq31 Hv ghflu/ fxdqgr od hfrqrpðd hvwd fuhflhqgr hv srvleoh pdqwhqhu xq vhôruhdjh srvlwlyr vlq whqhu lq dflöq1 ÁSrutxì ghflprv txh fxdqgrq hv pd|ru txh fhur od hfrqrpðd hvwd fuhflhqgrB Od uhvsxhvwd hv fodud= Fdgd jhqhudflöq wlhqhq433sru flhqwr päv gh djhqwhv | fdgd djhqwh qdfh frq xqd grwdflöq gh$₄elhqhv/ sru or wdqwr/ frq fdgd qxhyd jhqhudflöq od hfrqrpðd hv vx frqmxqwr dgtxlhuh dffhvr d xqd pd|ru

fdqwlgdg gh elhqhv/ r hq rwudv sdodeudv/ fuhfh1 Hq ho fdvr sduwlfxodu hq ho txh

q@ 3od ýqlfd irupd gh prqhwl}du xq gìflw srvlwlyr hv fuhdqgr lq dflöq1 Hv iäflo frpsuredu txh od fxuyd+U,wlhqh od irupd gh xqd mrured +ILJXUD 8,1 Vl wrpdprv od ghulydgd sulphud gh od ixqflöqfrq uhvshfwr dUrewhqhprv=

g gU @

i+U,

4 .q.

4 U

4 .q

i3+U,=

Fxdqgr U hv fhufdqd d fhur od fxuyd wlhqh shqglhqwh srvlwlyd | fxdqgr U

hv fhufdqd d 4 .q od fxuyd wlhqh shqglhqwh qhjdwlyd1 H{lvwh/ sru or wdqwr/ xq

ydoru lqwhuphglr ghU+| sru wdqwr gh lq dflöq, txh pd{lpl}d od fdqwlgdg gh vhôruhdjh hq xq htxloleulr hvwdflrqdulr1 Hq hvwh vhqwlgr srghprv ghflu txh od ixqflöqfrqvwlwx|h xq fdvr sduwlfxodu gh odFxuyd gh Odhu1

Dghpäv/ vh sxhgh ghprvwudu txh ho qlyho gh suhflrv dvrfldgr frq ho hvwdgr hvwdflrqdulr hq ho txh ho uhwruqr vreuh ho glqhur hvwd gdgr sruU₄hv/ sdud wrgr

w/ päv dowr txh ho qlyho gh suhflrv dvrfldgr frq ho hvwdgr hvwdflrqdulr U₅ +rwud yh}/ odv h{shfwdwlydv gh orv djhqwhv vreuh od hyroxflöq ixwxud gho qlyho gh suhflrv gh htxloleulr mxhjd xq uro ixqgdphqwdo hq od lqwhusuhwdflöq gh hvwh uhvxowdgr,1

Fxdqgr ho uhwruqr gho glqhur vh hqfxhqwud hqwuh orv ydoruhv U4 | U5 od hfrqrpðd hvwä hq or txh vh oodpd hovolsshu| vlghgh od fxuyd1 Hvwr hv dvð srutxh fxdqgr U+w,5+U4> U5,vh fxpsoh txh hq htxloleulr U+w,$U4 | sru or wdqwr

+w,hv fuhflhqwh hq ho wlhpsr1 Sdud hqwhqghu txh hvwä vxfhglhqgr hq hvwh wlsr gh htxloleulr qr hvwdflrqdulr/ qrwhprv txh vlU+w4,5+U4> U5,vh fxpsoh txh=

U+w4,

4 .q k+w4, .g ? i+U+w4,,>

r/ hq sdodeudv/ frpr ho jrelhuqr qhfhvlwd qdqfldu xq gìflwg/ frq xqd ghpdqgd gh glqhur frqvwdqwhk+w4, @ i+U+w4,, vxfhghuðd txh kdeuðd xq h{fhvr gh vhôruhdjh/ or fxdo hv lqfrqvlvwhqwh frq htxloleulr1 Sru or wdqwr/ od fdqwlgdg gh0 pdqgdgd gh glqhur gheh hvwdu edmdqgr hq htxloleulr sdud txh ho vhôruhdjh vhd phqru1 Hv ghflu/ U+w, gheh vhu phqru txh U+w4, | od lq dflöq gheh hvwdu vxelhqgr1 Hv lqwhuhvdqwh qrwdu txh/ hq flhuwd irupd/ od lq dflöq gh htxloleulr hvwä vxelhqgr sdud txh glvplqx|d ho vhôruhdjh1 Hvwr sxhgh sduhfhu frqwudlq0 wxlwlyr shur wlhqh txh yhu frq ho khfkr gh txh od ghpdqgd gh glqhur ghshqgh gh od lq dflöq hvshudgd | txh orv vxfhvlyrv dxphqwrv gh lq dflöq glvplqx|hq od ghpdqgd gh glqhur päv txh or txh ho dxphqwr gh suhflrv glvplqx|h od rihuwd uhdo fruulhqwh gh glqhur1

Lq dflöq/ Vxshuqhxwudolgdg | Fuðwlfd gh Oxfdv1

Frqvlghudprv dkrud xqd sroðwlfd prqhwduld0vfdo hq od txh ho jrelhuqr hplwh qxhydv xqlgdghv gh sdsho prqhgd d xqd wdvd frqvwdqwh hq ho wlhpsr | odv glv0 wulex|h hq irupd gh wudqvihuhqfldv gh glqhur d orv ylhmrv gho shuðrgr fruulhqwh1 Irupdophqwh whqhprv txh

K+w, @}K+w4,>

frq} A4| od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho jrelhuqr hvwd gdgd sru=

Q+w4,_w4+w, @ K+w,K+w4,

s+w, >

grqgh _w4+w,hv od wudqvihuhqfld hq glqhur d orv ylhmrv gho shuðrgr w1 Sdud ho shuðrgrw@ 4 whqhprv txh=

₃+4, @ K+3,

Q+3,s+4,=

Sru or wdqwr xq htxloleulr sxhgh ghvfuleluvh frq odv vljxlhqwhv hfxdflrqhv=

w4+w, @ +}4,k+w4,s+w_s+w,4,>

|

k+w4, @i+U+w4,> w4+w,,=

Hq ho hvwdgr hvwdflrqdulr/ od wdvd euxwd gh lq dflöq hvwd gdgd sru}@+4.q,1 Sdud ghprvwudu hvwh uhvxowdgr frphq}dprv frq od frqglflöq gh hvwdgr hvwdflrqdulr txh lpsolfd txh=

K+w4,

Q+w4,s+w4,@

K+w,

Q+w,s+w,>

| uhhpsod}dqgr od oh| gh prylplhqwr gh od fdqwlgdg gh glqhurK+w, @}K+w4,

whqhprv txh sdud wrgrw vh fxpsoh=

+4 .q, s+w,

s+w4,@}>

hv ghflu txh

4 . s+w,

s+w4, @

}

4 .q=

Xq fdvr lqwhuhvdqwh hv ho fdvr hq ho txhq@ 31 Hq hvwh fdvr od wdvd gh lq dflöq hq hvwdgr hvwdflrqdulr hv ljxdo d od wdvd gh fuhflplhqwr gh od fdqwlgdg gh glqhur/ xq uhvxowdgr txh hq od olwhudwxud vxhoh dsduhfhu dvrfldgr frq odvxshuqhxwudolgdg gho glqhur1 Vlq hpedujr/ dtxð frpr od lq dflöq dihfwd od wdvd gh uhwruqr vreuh

ho dkruur | sru or wdqwr od dvljqdflöq gh frqvxpr gh htxloleulr/ ghflprv txh ho glqhur qr hv vxshuqhxwudo hq hvwh prghor1

Hq or txh vljxh/ ghprvwudprv txh hq htxloleulr od fdqwlgdg uhdo gh glqhur hv xqd ixqflöq px| hvshfðfd gh od wdvd gh lq dflöq hvshudgd | txh ghshqgh hq xqd irupd ixqgdphqwdo gho wlsr gh sroðwlfd prqhwduld txh vh hvwì ghvduuro0 odqgr1 Hvwh uhvxowdgr sxhgh hqwhqghuvh frpr xq fdvr sduwlfxodu ghod fuðwlfd gh Oxfdv d orv prghorv pdfurhfrqrpìwulfrv hvwuxfwxudohv1 Od lghd gh Oxfdv hv päv jhqhudo shur sxhgh loxvwuduvh fodudphqwh frq ho fdvr txh hvwdprv hv0 wxgldqgr dtxð1 Hq orv dôrv vhwhqwd hud suäfwlfd frpýq hvwlpdu xqd ghpdqgd gh vdogrv uhdohv frpr ixqflöq gh od wdvd gh lq dflöq hvshudgd +r xqd sur{l gh wdo yduldeoh, xvdqgr gdwrv klvwöulfrv1 Hvwd hvwlpdflöq oxhjr vh xwlol}ded sdud

hydoxdu odv srvleohv frqvhfxhqfldv gh fdpelrv hq od sroðwlfd prqhwduld1 Oxfdv vhôdor txh wdo ghpdqgd gh vdogrv uhdohv hv/ hq uhdolgdg/ xqd irupd uhgxflgd gh xqd uhodflöq gh htxloleulr hqwuh orv vdogrv uhdohv | od wdvd gh lq dflöq | txh/ hq sulqflslr/ hv hvshudeoh txh wdo uhdoflöq vhd hvwdgðvwlfdphqwh lqhvwdeoh dqwh fdpelrv gh sroðwlfd1 Hq wdo vhqwlgr/ uhvxowduä lqfruuhfwr hydoxdu xq fdpelr gh sroðwlfd vxsrqlhqgr txh od uhodflöq hqwuh od fdqwlgdg gh vdogrv uhdohv | od wdvd gh lq dflöq hvshudgd vh pdqwhqguä hvwdeoh1 D frqwlqxdflöq ghprvwudprv txh hq ho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv vh fxpsoh txh od fdqwlgdg gh vdogrv uhdohv gh htxloleulr hv xqd ixqflöq hvshfðfd gh od wdvd gh lq dflöq hvshudgd | txh wdo irupd ixqflrqdo ghshqgh gluhfwdphqwh gh od irupd hq txh vh uhdol}d od sroðwlfd prqhwduld1 Sdud hoor qrv frqfhqwudprv hq ho fdvr hq ho txh od ixqflöq gh xwlolgdg gh orv djhqwhv hv orjduðwplfd vhsdudeoh +yhu Hmhuflflr 4,1 Hq ho hvwdgr hvwdflrqdulr od wdvd euxwd gh lq dflöq hvshudgdhvwd gdgd sru }@+4 .q,=Hq ho fdvr hq ho txh ho jrelhuqr lqwurgxfh qxhyr glqhur d wudyì} gh wudqvihuhqfldv gh glqhur d orv ylhmrv gh fdgd jhqhudflöq whqhprv txh/ hq htxloleulr/

k+w, @ $4

5

$5+w. 4,

5U+w, @

$4

5

$5. +}4,U+w,k+w,

5U+w, >

| hqwrqfhv/ hq hvwdgr hvwdflrqdulr/ vh fxpsoh txh=

k@ 4

4 .+4 .q,^$4$5

_`=

Sru rwur odgr/ fxdqgr ho jrelhuqr hplwh glqhur d od plvpd wdvd shur frq ho remhwlyr gh qdqfldu jdvwr sýeolfr lpsurgxfwlyr whqhprv txh od uhvwulfflöq suh0 vxsxhvwduld gho jrelhuqr hvwä gdgd sru=

J+w, @ +}4,k+w4,U+w4,>

| hq ho hvwdgr hvwdflrqdulr vh fxpsoh txh=

k@ 4

5^$4$5

_`=

Srghprv yhu hqwrqfhv txh hq hvwh hmhpsor od uhodflöq hqwuh od fdqwlgdg gh vdogrv uhdohv gh hvwdgr hvwdflrqdulr | od wdvd gh lq dflöq hvshudgd ghshqgh hq irupd ixqgdphqwdo gh od sroðwlfd hfrqöplfd1 Hq ho fdvr hq ho txh ho jrelhuqr qdqfld jdvwr sýeolfr lpsurgxfwlyr glfkd uhodflöq hv olqhdo | hq ho fdvr hq ho txh ho jrelhuqr qdqfld wudvihuhqfldv d orv ylhmrv od uhodflöq hv fodudphqwh qr olqhdo1

Surihvðdv Dxwrfxpsolgdv | Vxqvsrwv1

Fdvv | Vkhoo irupdol}durq sru sulphud yh} od lghd gh txh ho surfhvr gh iru0 pdflöq gh h{shfwdwlydv gh orv djhqwhv sxhgh uhvxowdu hq htxloleulrv grqgh odv yduldeohv gh od hfrqrpðd vh hqfxhqwudq lq xhqfldgdv sru hyhqwrv txh qr qhfh0 vduldphqwh lq xhqfldq orv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd1 D}duldglv ghvduurooö hvwd lghd hq ho prghor prqhwdulr gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv1 D frqwlqxdflöq vh suhvhqwd xqd yhuvlöq vlpsolfdgd gh glfkrv uhvxowdgrv1

Sdud vlpsolfdu qrwdflöq vxsrqhprv txhK+w, @K+3, @ 4sdud wrgrw/ txh

Q+3, @ 4|q@ 3| txh$5@ 3+txh qrv jdudqwl}d txh vh fxpsoh od frqglflöq vdpxhovrqldqd,1 Dghpäv vxsrqhprv txh od ixqflöq gh xwlolgdg gh orv djhqwhv hv vhsdudeoh/ hv ghflu

xw^fw+w,> fw+w. 4,` @y+fw+w,, .x+fw+w. 4,,>

grqgh odv ixqflrqhv y | x vrq ixqflrqhv hvwulfwdphqwh fuhflhqwhv/ föqfdydv | glihuhqfldeohv1 Uhfrughprv txh hq htxloleulr whqhprv txh vh fxpsoh od vljxlhqwh hfxdflöq gh olpslh}d gho phufdgr gh glqhur=

k+w, 4

s+w,@

p_w+w,

s+w, vw+w,>

grqghv_w+w,vdwlvidfh od frqglflöq gh sulphu rughq gho sureohpd gho djhqwh/ hq hvwh fdvr gdgd sru=

y3+$₄v_w+w,, @x3+U+w,v_w+w,,U+w,= +5,

Qrwhprv dkrud txh hq htxloleulr vh fxpsoh txh=

U+w, @ s+w,

s+w. 4, @

k+w. 4,

k+w, >

sru or txh srghprv uhhvfulelu od hfxdflöq +5, frpr vljxh=

y3+$4k+w,,k+w, @x3+k+w. 4,,k+w. 4,=

Ìvwd hv xqd hfxdflöq hq glihuhqfldv gh sulphu rughq hq k+w, txh ghvfuleh od hyroxflöq gh od yduldeohk+w,hq htxloleulr | txh ixh uhsuhvhqwdgd +sru hmhpsor, hq od Iljxud 51 Ghqlprv dkrud odv vljxlhqwhv grv ixqflrqhv dx{lolduhv=

J+{, @y3+$4{,{|X+{, @x3+{,{=

Qrwhprv txh od ixqflöq J+{, hv hvwulfwdphqwh fuhflhqwh1 Whqhprv hqwrqfhv txh xq htxloleulr gh suhylvlöq shuihfwd sxhgh vhu ghvfulwsr sru od hfxdflöq hq glihuhqfldv gh sulphu rughq=

J+k+w,, @X+k+w. 4,,=

Xq htxloleulr prqhwdulr gh hvwdgr hvwdflrqdulr hvwd gdgr sru ho ydoru_k3txh

vroxflrqdJ+k, @X+k,1

Od lghd dkrud hv frqvwuxlu xq htxloleulr gh hvwd hfrqrpðd grqgh ho ydoru gh od yduldeohk+w,hvwh lq xhqfldgd sru od hyroxflöq gh xqd yduldeoh dohdwruld h{ö0 jhqd txh qr wlhqh hihfwrv hq qlqjxqd gh odv fdudfwhuðvwlfdv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd +frpr odv suhihuhqfldv/ odv grwdflrqhv/ hwf1,1 Ho remhwlyr hv ghprvwudu txh ho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv dgplwh od frqvwuxfflöq gh htxlole0 ulrv grqgh odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr | odv rwudv yduldeohv gh od hfrqrpðd sxhghq xfwxdu hq ho wlhpsr do vhu lq xhqfldgdv sru ho surfhvr gh irupdflöq gh

h{shfwdwlydv gh orv djhqwhv/ vlq txh orv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd xfwýhq1 Sdud ghprvwudu txh hvwr hv srvleoh/ hv vxflhqwh frq od frqvwuxfflöq gh xq hmhp0 sor1 Sdud hoor/ frqvlghudprv xq wlsr gh yduldeoh dohdwruld h{öjhqd +vxqvsrw, txh uhvxowd px| frqyhqlhqwh= xqd yduldeoh dohdwruld frq xqd hvwuxfwxud gh Pdunry vlpsoh +hv ghflu txh od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh od yduldeoh dohdwruld hq ho shuðrgrwghshqgh vöor gh od uhdol}dflöq gh wdo yduldeoh hq ho shuðrgrw4,1 Hq

sduwlfxodu/ vxsrqhprv txh h{lvwh xqd yduldeoh dohdwruld +w, txh wrpd ydoruhv

hq ho frqmxqwri₄> ₅jwdo txh Su ^+w, @m+w4, @` @ t sdud l@ 4> 51 Dkrud/ vl orv djhqwhv irupdq vxv h{shfwdwlydv frqwlqjhqwhv d od uhdol}dflöq gh od yduldeoh+w,vxfhghuä txh odv dfflrqhv gh orv djhqwhv/ | sru or wdqwr ho htxloleulr gh od hfrqrpðd/ vh pryhuä gh dfxhugr d od uhdol}dflöq gh wdo yduldeoh1

Hq uhvxphq/ | frpr sdud ghvfulelu ho htxloleulr gh od hfrqrpðd hv vxflhqwh frq ghvfulelu ho frpsduwdplhqwr gh od yduldeoh k+w,/ whqhprv txh/ hq htxlole0 ulr/ od yduldeoh k+w, vh frpsruwduä frpr xqd yduldeoh dohdwruld Pdunry1 Hq frqvhtxhqfld/ hq xq htxloleulr frq hihfwrv vxqvsrw od yduldeohk+w,wrpd xqr gh grv ydoruhv/ k₄ r k₅/ grqgh k hv ho ydoru gh od fdqwlgdg gh vdogrv uhdohv gh htxloleulr dvrfldgr frq ho hvwdgr gh od yduldeoh vxqvsrw/ sdud l @ 4/ 51 Hq wdo htxloleulr/ od suredelolgdg frqglflrqdo gh od yduldeoh k hvwä gdgd sru

Su ^k+w. 4, @kmk+w, @k` @tsdudl@ 4>5/ | od pdwul} gh suredelolgdghv gh wudqvlflöq gh Pdunryhvwä gdgd sru od vljxlhqwh wdeod=

Su k+w. 4, @k4 k+w. 4, @k5

k+w, @k₄ t 4t k+w, @k5 4t t

Hq jhqhudo/ kdvwd dkrud/ hvwxgldprv ho fdvr gh suhylvlöq shuihfwd> od lqfoxvlöq gh hihfwrv vxqvsrw lpsolfd txh qhfhvlwdprv dpsoldu ho dqäolvlv | frqvlghudu ho fdvr hq txh ho djhqwh uhvxohyh vx sureohpd gh ghflvlöq +| dkruur, vlq vdehu frq fhuwh}d ho uhqglplqhwr gh pdqwhqhu glqhur1 Frpr ylprv/ ho uhwruqr gh pdqwhqhu glqhur hvwd gdgr sruU+w, @k+w. 4,@k+w,| sru or wdqwr whqhprv txh hq ho pr0 phqwrw vh fxpsoh txh Su ^U+w, @ 4` @t/ | txhSu ^U+w, @k@kmk+w, @k` @ 4t1 Ho sureohpd gho djhqwh vh sxhgh hvfulelu frpr vljxh=

pd{

w+,

y+$4v+w,, .H+,^x+U+w,v+w,,`

| od frqglflöq qhfhvduld gh sulphu rughq lpsolfd od vljxlhqwh hfxdflöq gh htxl0 oleulr

y3+$₄k+w,, @H_+.4,

x3+k+w. 4,,k+w. 4,

k+w,

txh od srghprv uhhvfulelu frpr xq vlvwhpd gh grv htxdflrqhv hq wuhv lqfrjqlwdv +k₄/k₅|t,=

y3+$₄k₄, @tx3+k₄, . +4t,x3+k₄,k5

k₄>

y3+$4k5, @ +4t,x3+k4,k_k4 5 .tx

3_+k 5,>

r hq irupd uhgxflgd=

J+k₄, @tX+k₄, . +4t,X+k₅,> +6,

J+k₅, @ +4t,X+k₄, .tX+k₅,= +7,

Hvwh vlvwhpd hq jhqhudo wlhqh pýowlsohv vroxflrqhv1 Xq fdvr sduwlfxodu +| sru vxsxhvwr/ reylr, hv ho fdvr hq ho txh k4 @ k5 @ k/ txh uhvxowd vhu ho hvwdgr hvwdflrqdulr gho prghor vlq vxqvsrwv1

Hmhuflflr 5= Vl+l,X hv xqd ixqflöq fuhflhqwh ghk/ r vl+ll, X hv ghfuhflhqwh |

t A4@5/ ghprvwudu txh vh fxpsoh txh qr h{lvwh xq htxloleulr frq dohdwrulhgdg h{wuðqvhfd +r hihfwrv vxqvsrw,1 Yhu D}duldglv +4<;4,1

Or txh exvfdprv hv xq yhfwru +k₄> k₅> t,txh vroxflrqh ho vlvwhpd gh hfxd0 flrqhv +6, | +7,/ wdo txht5^3>4`|k49@k51 Frpr ho vlvwhpd hv frpsohwdphqwh vlpìwulfr frq uhvshfwr d orv vxeðqglfhv srghprv dvxplu vlq sìuglgd gh jhqhudol0 gdg txhk5A k4+hq ho fdvr rsxhvwr/ wrgrv orv ud}rqdplhqwrv vhuðdq htxlydohqwhv oxhjr gh uhlqgh{du,1 Gdgr txh ho Hmhuflflr 6 qrv glfh txh fxdqgr od ixqflöqX hv fuhflhqwh qr h{lvwh xqd vroxflöq frpr od txh hvwdprv exvfdqgr/ qrv uhvwulqjlprv do fdvr hq txhX hv ghfuhflhqwh1 Sru or wdqwr whqhprv txh X+k5,? X+k4,1

Od uhvwulfflöq vreuh od yduldeoh t +hv ghflu/ t 5 ^3>4`, vh ruljlqd hq txh t

uhsuhvhqwd xqd suredelolgdg gh htxloleulr1 Gho vlvwhpd gh hfxdflrqhv +6, | +7, rewhqhprv txh hq htxloleulrtvdwlvidfh odv vljxlhqwhv grv hfxdflrqhv=

t@ J+k4,X+k5,

X+k4,X+k5, @

X+k₄,J+k₅,

X+k4,X+k5,=

Sdud txh t3hv qhfhvdulr txh J+k4,X+k5,| X+k4,J+k5,1 Sdud txh

t4hv qhfhvdulr txh J+k4,X+k4,|J+k5,X+k5,1

Iljxud 9

Hmhuflflr 6= Ghprvwudu txh/ frpr od ixqflöqJhv fuhflhqwh/ uhvxowd vxflhqwh frq yhulfdu txh vh fxpsoh txhJ+k4,X+k5,|X+k4,J+k5,1

Hv iäflo yhu txh odv hfxdflrqhvJ+k4, @X+k5,|X+k4, @J+k5,vrq vlpìwul0 fdv frq uhvshfwr d od uhfwd gh 78 judgrvk4@k5hq ho sodqr+k4> k5,+ILJXUD 9,1

Ho sxqwr D hq od Iljxud 9 vdwlvidfh txhJ+k4,A X+k5,| txhX+k4,A J+k5,1 Sru or wdqwr/ xqd frqglflöq vxflhqwh sdud txh xq htxloleulr frq vxqvsrwv +hv ghflu/ hq ho fxdo k₄ A k₅, h{lvwd hv txh od fxuyd X+k₄, @ J+k₅,whqjd pd|ru shqglhqwh txh od fxuydJ+k₄, @X+k₅, hq ho sxqwr_{k>k1 Od shqglhqwh gh od}

fxuydX+k₄, @J+k₅,hvwä gdgd sru=

gk5

gk₄ @ X3+k4,

J3+k₅,>

| od shqglhqwh gh od fxuydJ+k₄, @X+k₅,hvwä gdgd sru=

gk5

gk₄ @ J3+k4,

X3+k₅,=

Sru or wdqwr/ sdud txh h{lwd xq htxloleulr frq hihfwrv vxqvsrw hv vxflhqwh txh

X

3_+k,

J3+k,

A

J

3_+k,

X3+k,

>

txh vh fxpsoh vl

J

3_+k,

X3+k,

?4= +8,

Iljxud :

Uhvxowd txh hvwd frqglflöq hv gh khfkr od frqglflöq txh ghwhuplqd txh ho htxloleulr prqhwdulr gh hvwdgr hvwdflrqdulr +vlq vxqvsrwv,/ hv ghflu_{k/ hv glqäpl0}

fdphqwh hvwdeoh1 Uhfrughprv txh od glqäplfd gh htxloleulr gh xq htxloleulr prqhwdulr hvwä gdgd sru od hfxdflöq

J+k+w,, @X+k+w. 4,,>

| txh vl vh fxpsoh od ghvljxdogdg +8, od yduldeoh k+w, hv hvwdeoh douhghgru gh

khq ho vhqwlgr gh txh sdud fxdotxlhu k+w, hq xq hqwruqr gh kvh fxpsoh txh k+w,$kfxdqgr w$ 4+ILJXUD :,1

Sdud frqfoxlu frq od suhvhqwdflöq gho fdvr gh htxloleulrv frq hihfwrv vxqvsrw vh suryhh xqd h{solfdflöq lqwxwlyd gh od oöjlfd lqyroxfudgd1 Od lghd hv txh orv djhqwhv gh od hfrqrpðd hvshudq txh ho qlyho gh suhflrv xfwxh hqwuh grv ydoruhv/ s₄ | s₅/ gh dfxhugr frq xq surfhvr gh Pdunryvlpsoh1 Gdgr txh wdo hv od fuhhqfld gh orv djhqwhv gh od hfrqrpðd/ od ghpdqgd gh glqhur xfwxd gh irupd wdo txh ho qlyho gh suhflrv gh htxloleulr +wdo txh vh olpsld ho phufdgr gh glqhur, hv frqvlvwhqwh frq glfkrv qlyhohv gh suhflrs4 |s5+gdgd od ghpdqgd gh glqhur gh orv djhqwhv/ txh frpr vh glmr/ ghshqgh gh vxv fuhhqfldv hq orv hihfwrv vxqvsrwv,1 Hq sduwlfxodu/ vl s4 A s5 whqhprv txh fxdqgr ho qlyho gh suhflrv hvs4 ho djhqwh hvshud txh ho uhwruqr gh pdqwhqhu glqhur vhd ljxdo d xqr +frq suredelolgdgt, r pd|ru d xqr +s4@s5/ frq suredelolgdg4t,1 Hq wdo fdvr ho djhqwh ghpdqgduä päv glqhur txh vl hvshudud txh ho uhqglplhqwr gh pdqwhqhu glqhur ixhud xqr r phqru txh xqr +s5@s4,/ txh hv ho fdvr fxdqgr ho qlyho gh suhflrv gh od hfrqrpðd hvs₅1 Wdo vlwxdflöq hv frqvlvwhqwh frq xq htxloleulr frpr ho txh hvwdprv frqvlghudqgr hq ho txh vh fxpsoh txhk₅@ 4@s₅A k₄@ 4@s₄1

Lqghwhuplqdflöq gh orv Wlsrv gh Fdpelr Prqhwdulrv1

Frqvlghudprv dkrud xqd hfrqrpðd frqirupdgd sru grv sdðvhv/4|51 Fdgd xqr gh orv sdðvhv wlhqh od plvpd hvwuxfwxud hfrqöplfd txh od txh khprv hv0 wdgr hvwxgldqgr kdvwd dkrud1 Dghpäv vxsrqhprv txh h{lvwh lqwhufdpelr oleuh gh elhqhv/ suìvwdprv | glqhur hqwuh orv sdðvhv +uìjlphq odlvvh}0idluh,1 Wdpelìq vxsrqhprv txh fdgd sdðv wlhqh vx sursld prqhgd | txh kd| xq ýqlfr elhq gh frqvxpr txh qr hv dopdfhqdeoh +hq rwudv sdodeudv/ txh odv grv hfrqrpðdv sur0 gxfhq ho plvpr elhq,1 OodphprvKl+3,od fdqwlgdg frqvwdqwh gh sdsho prqhgd gho sdlv l/ frq l @ 4>51 Odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv gh orv djhqwhv +hq fxdotxlhud gh odv grv hfrqrpðdv, hvwdq gdgdv dkrud sru=

f_w+w, .p4w+w,

s₄+w, .

p_5w+w,

s₅+w, $4>

|

fw+w. 4,$5._sp4w+w, 4+w. 4,.

p5w+w,

s5+w. 4,>

grqgh p_lw+w, hv od fdqwlgdg gh sdsho prqhgd gh od hfrqrpðd l txh ghpdqgd xqd djhqwh gh od jhqhudflöqwhq ho shuðrgr w/ |s_l+w,hv ho qlyho gh suhflrv gh od hfrqrpðdlhq ho shuðrgrw+hv ghflu/ od fdqwlgdg gh sdsho prqhgd gh od hfrqrpðd

l qhfhvduld sdud frpsudu xqd xqlgdg gho elhq hq ho prphqwrw,1 Ghqlprv ho wlsr gh fdpelr qrplqdo hq ho shuðrgrwfrprh+w, @s4+w,@s5+w,1

Hmhuflflr 7= Ghprvwudu txh hq htxloleulr vh fxpsoh txhh+w, @hsdud wrgr w/ hv ghflu txh ho wlsr gh fdpelr qrplqdo gh htxloleulr +frq suhylvlöq shuihfwd, hv frqvwdqwh hq ho wlhpsr1

Ho Hmhuflflr 5 qrv glfh txh hq hvwd hfrqrpðd pxqgldo +xq pxqgr gh grv sdðvhv, qr sxhgh kdehu fdpelrv hvshudgrv hq ho wlsr gh fdpelr qrplqdo1 Xq frurodulr vlpsoh gho Hmhuflflr 5 hv txh odv wdvdv gh lq dflöq gh htxloleulr hv od plvpd hq orv grv sdðvhv1 Irupdophqwh/ vh fxpsoh txh=

sl+w,

s_l+w. 4, @U+w,sdudl@ 4>5=

Od hfxdflöq gh olpslh}d gh orv phufdgrv gh glqhur hq ho shuðrgr w hvwä gdgd hqwrqfhv sru od vljxlhqwh h{suhvlöq=

i4+U+w,, .i5+U+w,, @ K_s4+3, 4+w, .

K5+3,

s5+w, @

4

s4+w,^K4+3, .hK5+3,`= D frqwlqxdflöq ghprvwudprv txh ho wlsr gh fdpelr qrplqdo gh htxloleulr hq hvwd hfrqrpðd pxqgldo hvwd lqghwhuplqdgr1 R hq rwudv sdodeudv/ txh dvrfldgr frq fdgd xqr gh orv ydoruhv gh h shuwhqhflhqwhv do frqmxqwr +3>4, h{lvwh xq

htxloleulr srvleoh gh od hfrqrpðd1 Qrwhprv txh fxdqgrh@ 4/ ho dqäolvlv irupdo

vh uhgxfh do uhdol}dgr do sulqflslr gh hvwdv qrwdv1

Vxsrqjdprv dkrud txh whqhprv xq htxloleulr hq ho fxdo xqd gdgd dvljqdflöq lqwud h lqwhu0whpsrudo gh frqvxpr hvwä dvrfldgd frq odv vljxlhqwhv yduldeohv gh suhflrv= h+w, @ h sdud wrgr w/ is₄+w,> s₅+w,j4_w@4/ | _U+w,4

w@41 Ghprvwuduhprv txh kd| rwur htxloleulr frq od plvpd dvljqdflöq gh frqvxpr sdud odv jhqhud0 flrqhvw4| hq ho txh U+w, @ U+w,sdud wrgrw/ shur hq ho txh vh fxpsoh txh/ sdud wrgrw/ h+w, @ eh 9@ h/ s₄+w, @ se₄+w, @ 9 s₄+w,/ | s₅+w, @ se₅+w,9@ s₅+w,1 Od dvljqdflöq gh frqvxpr gh orv ylhmrv gh od jhqhudflöq3ghshqghuä gho ydoru gh

hgh htxloleulr d qr vhu txh orv ylhmrv lqlfldohv gh fdgd sdðv whqjdq grwdflrqhv ljxdohv gh dpedv prqhgdv1 Hpsh}dprv mdqgr xq ydoru duelwudulr eh 9@ h | frqvwuxlprv suhflrv frqvlvwhqwhv frq glfkr ydoru gh h1 Sulphur hohjlprv se4+w, wdo txh

4

e

s₄+w,^K4+3, .ehK5+3,` @i4+ U+w,, .i5+ U+w,,= +9,

Frprs4+w,hv sduwh gh xq htxloleulr frqh+w, @ hwhqhprv txh

4

s₄+w,^K4+3, . hK5+3,` @i4+ U+w,, .i5+ U+w,,>

|

U+w, @ s4+w,

s4+w. 4, @

i4+ U+w. 4,, .i5+ U+w. 4,,

i₄+ U+w,, .i₅+ U+w,, @

e s4+w,

e

s4+w. 4,>

hv ghflu txh_{U+w,hv wdpelìq ho uhwruqr gh htxloleulr vreuh ho dkruur hq ho htxlole0}

ulr frqh+w, @eh1 Vöor qrv idowd ghwhuplqdu ho ydoru gh htxloleulrs₅+w,=Hohjlprv

hqwrqfhv se5+w, @ se4+w,@eh1 Sdud ghprvwudu txh ho dkruur | odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr sdud odv jhqhudflrqhvw @ 4>5> === hq ho qxhyr htxloleulr frq h+w, @ eh

vrq odv plvpdv txh hq ho htxloleulr frqh+w, @ hqrwhprv txh od uhvwulfflöq suh0 vxsxhvwduld lqwhuwhpsrudo gho djhqwh gh od jhqhudflöqw vh sxhgh hvfulelu frpr vljxh=

f+w, ._U4_+w,f+w. 4, @$4._U4_+w,$5>

| frprU+w,hv ljxdo hq dperv htxloleulrv whqhprv txh od vroxflöq gho sureohpd

gho djhqwh hv od plvpd1 Hq uhvxphq/ odv yduldeohv gh suhflrv h+w, @ hesdud wrgrw/ ise₄+w,> se₅+w,j4_@4/ | _U+w,4

@4 vrq wdohv txh= +l, h+w, @ s4+w,@s5+w, |

U+w, @ s+w,@s+w. 4, sdud l @ 4>5| sdud wrgr w/ +ll, ho phufdgr gh glqhur vh olpsld gh dfxhugr frq od hfxdflöq +9,/ |+lll, odv ghpdqgdv gh vdogrv uhdohv

i₄+ U+w,, | i₅+ U+w,, uhvxhoyhq ho sureohpd gh orv djhqwhv hq dpedv hfrqrpðdv gdgrv orv suhflrvh+w, @hesdud wrgrw/ies₄+w,> se₅+w,j4_@4/ |_U+w,4

@41 Hv ghflu/ whqhprv xq qxhyr htxloleulr1

Hmhuflflr 8= Ghprvwudu txh vl orv djhqwhv ylhmrv gho sulphu shuðrgr +od jhq0 hudflöq3, hq od hfrqrpðdlwlhqhq frpr grwdflöqK+3,/ frql@ 4>5/ vh fxpsoh txh vxv dvljqdflrqhv gh frqvxpr ghshqghq gho ydoru gh htxloleulr gh orv suhflrv1 Ghprvwudu dghpäv txh vl wlhqhq frpr grwdflöqK+3,@5|K+3,@5/ frql 9@m/ oxhjr vxv dvljqdflrqhv gh frqvxpr qr fdpeldq/ | sru or wdqwr/ od lqghwhupl0 qdflöq txh hvwxgldprv hv sxudphqwh qrplqdo1

ÁTxì qrv glfh/ | txì qr qrv glfh/ ho uhvxowdgr gh lqghwhuplqdflöq gh orv wlsrv gh fdpelr qrplqdohv hq ho prghor prqhwdulr gh jhqhudflrqhv vxshusxhv0 wdvB Ho uhvxowdgr qr qrv glfh txh orv wlsrv gh fdpelr qrplqdohv hq ho pxqgr wlhqghq d hvwdu lqghwhuplqdgrv1 Vlq hpedujr/ qrv glfh txh sdud txh orv wlsrv gh fdpelr qrplqdohv hvwìq ghwhuplqdgrv hv qhfhvdulr fdswxudu hq ho prghor dojýq dvshfwr gh od uhdolgdg txh qr hvwä frqwhpsodgr hq odv hvshflfdflrqhv eävlfdv gh orv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd txh xwlol}dprv hq qxhvwud ghvfulsflöq gh od hfrqrpðd pxqgldo1 Nduhnhq | Zdoodfh sursrqhq srvleohv fdpelrv txh kdfhq txh ho wlsr gh fdpelr hvwh ghwhuplqdgr1

Ohfwxudv Frpsohphqwduldv

4, G|qdplf Pdfurhfrqrplf Wkhru|/ W1 Vdujhqw +4<;:, Kduydug Xqlyhuvlw| Suhvv1 +Fdsðwxor :,

5, Hfrqrphwulf Srolf| Hydoxdwlrq= D Fulwltxh/ U1 Oxfdv ++4<:9,1

6, Vhoi0Ixooolqj Surskhflhv/ F1 D}duldglv +4<;4,/ Mrxuqdo ri Hfrqrplf Wkhru| 581

7, Gr Vxqvsrwv PdwwhuB/ G1 Fdvv | N1 Vkhoo +4<;6,/ Mrxuqdo ri Srolwlfdo Hfrqrp|1 8, Rq wkh Lqghwhuplqdf| ri Htxloleulxp H{fkdqjh Udwhv/ M1 Nduhnhq | Q1 Zdo0 odfh +4<;4,/ Txduwhuo| Mrxuqdo ri Hfrqrplfv/ Pd|1

Kxehuwr P1 Hqqlv 46 gh mxqlr gh 5336 kxehuwr1hqqlvCulfk1iue1ruj