R
esuelve
Página 219
Dos trenes
Un tren de pasajeros y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idén-tica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.
Estas son las gráficas tiempo-velocidad que describen ambos movimientos:
1 2 3 4
TIEMPO (en horas) TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS 120
100
80
60
40
20
VELOCIDAD (en km/h)
Como podemos ver en la gráfica, el tren de pasajeros, a las dos horas reduce su velocidad: — ¿A qué puede deberse?
— ¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante?
A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el tren de pasajeros se detiene durante breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante media hora.
■Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos:
a) El tren de pasajeros, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? b) De 2 a 241 , el tren de pasajeros disminuye su velocidad.
¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad?
c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorrido hasta ese mo-mento?
d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad? Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que:
Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidad en el mismo lugar y re-corren, así, otros 15 km (puede ser debido a obras en la vía) y, a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (es decir, el tren de mercancías no frena cuando el de pasajeros, pero sí donde el tren de pasajeros). Más adelante, el tren de pasajeros para en una estación.
e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el tren de pasajeros?
a) 120 · 2 = 240 km.
b) A 60 km/h durante 41 de hora, recorre 60 = 15 km.4
c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km.
d) Va a 30 km/h durante 21 hora, luego recorre 30 · 21 = 15 km.
e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:
120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas
60 · 41 = 15 km el siguiente cuarto de hora
120 · 43 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora
Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.
f )
1 2 3 4 TIEMPO (horas)
TIEMPO (horas) 120
100
80
60
40
20 VELOCIDAD
(km/h)
VELOCIDAD (km/h)
1 2 3 4
80
60
40
20
Área 240
Área 240 Área 15
Área 90
Área 15 PASAJEROS
1
Primitivas. Reglas básicas para su cálculo
Página 221
1 Calcula las siguientes integrales:
a)
y
7x 4 dx b)y
x12 dx
c)
y
x3 dx d)y
x35 2 dxe)
y
x
x x
3 5
3 + 3
dx f )
y
x x 3 5 3 3 dx
a)
y
7x 4 dx = x7 k x k5 75
5 5
+ = +
b)
y
x12 dx = x dx x2 –1 k –x1 k 1
– = – + = +
y
c)
y
x3 dx =/
x1/3dx x= 4 34 3/ + =k 34 3x4+k
y
d)
y
x35 2 dx =/
x dx x k x k
5 / 5 5 3/ 3 55
3 2 3 =3 5 3 + = 3 5 +
y
e)
y
3x+3x5x3 dx =y
x31 3x/ dx+y
53xx3 2/ dx= 31y
x–2 3/ dx+ 35y
x1 2/ dx== 13 x1 31 3// + 35 x3 23 2// + =k 3x+ 2 59x3 +k
f )
y
x x 3 5 3 3
dx = /
·
· dx x dx x k k
x x x 3 5 3 5 3 5
13 6 6 513 3
/ /
/ /
3 3 7 6 3
13 6
3 1 3
3 2 6 13
=
y
= + = +y
2 Calcula:
a)
y
x
x4–5x2+3x–4dx b)
y
(5 cos x + 3 x) dxc)
y
x
x x x dx
7 –5 3 –4 2
4 2+
d)
y
(10 x – 5 x) dxa)
y
x4–5x2x+3x–4 dx =y
cx3–5x+3 4– xmdx x= 44 – 52x2 +3x–4ln| |x k+b)
y
(5 cos x + 3 x) dx = cosln
x dx dx sen x k
5 +
y
3x =5 + 3x3 +y
c)
y
x
x x x dx
7 –5 3 –4
2 4 2+
=
xx dx xx dx xx dx x dx
7 – 5 3 – 4
2 4 2 2 2 2 + =
f p e o e o e o
y
y
y
y
= x dx dx x dx ln| |
x dx x x x x k
7 2 – 5 3 – 4 73 –5 3 4
2
3
+
y
y
= + + +y
y
d)
y
(10 x – 5 x) dx =ln ln
dx dx k
10x –
y
5x = 1010x – 5x5 +Página 223
3 Halla las primitivas de estas funciones:
a) f (x) = (x 3 – 5x + 3)2 (3x 2 – 5)
b) f (x) = (5x + 1)3
c) f (x) =
xx 3x
3 3
–– 3
2
d) f (x) =
xx3––31x 2
e) f (x) = cos x sen 3 x
a) (
y
x3–5x+3 3) (2 x2–5)dx= (x3–53x+3)3 +kb) (
y
5x+1)3dx= 15 · (5x4+1)4 + =k (5x20+1)4 +kc)
y
xx 3x
3 3
––
3 2
dx = ln | x – 3x | + k
d)
y
xx3––31x 2
dx = 31 ln x| 3–3x k|+
e)
y
cos x sen 3 x dx = sen x k4
4
+
4 Busca las primitivas de:
a) f (x) = x 2x 2 ln 2
b) f (x) = x 2x 2
c) f (x) = 23x – 5
d) f (x) = sen 3x
e) f (x) = sen (x 3 – 4x 2) (3x 2 – 8x)
f ) f (x) = cos
sen xx
a)
y
x 2x 2 ln 2 dx = · k k2
1 2x2 22x2
+ = +
b)
y
x 2x 2 dx = ·ln k ln k
2 21 2x 2 22
x
2 2
+ = +
c)
y
23x – 5 dx = ·ln k ln k
3 21 2 x 23 2
x
3 –5+ = 3 –5 +
d)
y
sen 3x dx = – 31 cos x k3 +e)
y
sen (x 3 – 4x 2) (3x 2 – 8x) dx = –cos (x 3 – 4x 2) + k2
Área bajo una curva. Integral definida de una función
Página 225
1 Halla:
a) x dx 1
5
y
b) – 16–(x–4)2 dx 0
4
9 C
y
c) x dx
2 1 –2 0
6
c m
y
a)
–1 1 2 3 4 5 X
–1 1 2 3 4 5 Y
La integral pedida coincide con el área del trapecio coloreado. Por tanto:
x dx 5 1 4 122 ·
1 5
= + =
y
b) La función que se integra se corresponde con la semicircunferencia centrada en el punto (4, 0) de radio 4 que se encuentra debajo del eje X.
1 2 3 4 5 6 7 8
X –1
–2 –3 –4 Y
Por tanto: – 16– –(x 4)2 dx – π ·44 –4π –12 57,
0
4 2
= = =
9 C
y
c)
1 2
–2 –1 3 4 5 6 X
–1 1
–2 –3 Y
La integral buscada es la suma algebraica de los dos recintos teniendo en cuenta que uno es negativo por estar situado debajo del eje X. Por tanto:
21 x–2 dx – 4 22· 2 12· –3
0 6
= + =
c m
3
Función “área bajo una curva”
Página 228
1 Halla e interpreta estas integrales:
a) π 0
4
y
sen x dx b)2 2 –
y
(x 2 – 4) dxa) G (x) =
y
sen x dx=–cosxG (4π) = –1; G (0) = –1
( )
sen x dx – – –1 1 –1 1 0
π
0 4
= = + =
y
Interpretación geométrica:
2π
I y = sen x
II
III
IV
3π 4π
π
La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da como resultado 0: Área de I – Área de II + Área de III – Área de IV = 0
b) G (x) = (
y
x2–4)dx x= 33 –4xG (2) = – 163 ; G (–2) = 163
(x2–4)dx – 163 – 163 – 323
2 2
– = =
y
Interpretación geométrica:
2 y = x2 – 4
–2
–4
Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir:
–Área del recinto = –323
2 Halla la siguiente integral e interprétala geométricamente: e dxx
0 2
y
G (x) = e dx ex x0 2
=
y
G (2) = e 2; G (0) = 1
≈ ,
e dx ex –1 6 39
0
2 2
=
y
La interpretación geométrica puede verse a la derecha:
Área del recinto = e 2 – 1 ≈ 6,39 1 2
y = ex
–1 –2
4
Cálculo del área entre una curva y el eje X
Página 230
1 Halla el área de la región comprendida entre la función y = (x 2 – 1)(x 2 – 4), el eje X y las rectas x = 0, x = 5.
• Puntos de corte con el eje X: (x 2 – 1)(x 2 – 4) = 0 → x
1 = –2, x2 = –1, x3 = 1, x4 = 2
Solo nos sirven x = 1, x = 2 (están entre 0 y 5). • Hay tres recintos: I [0, 1]; II [1, 2]; III [2, 5]
• G (x) = (
y
x2–1)(x2–4)dx=y
(x4–5x2+4)dx x= 55 – 53x3 +4x• G(0) = 0; G(1) = 1538 ; G(2) = 1516 ; G(5) = 13103
• Área del recinto I = |G(1) – G(0)| = 1538
Área del recinto II = |G(2) – G(1)| = – 1522 = 1522
Área del recinto III = |G(5) – G(2)| = 21785
Área total = 1538 + 1522+ 21785 = 21985 = 439,6 u2
2 Halla el área comprendida entre y = x 3 – x 2 – 2x y el eje X.
• Puntos de corte con el eje X:
x 3 – x 2 – 2x = 0 → x (x 2 – x – 2) = 0 → x
1 = –1, x2 = 0, x3 = 2
• Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 2]
• G(x) = (
y
x3–x2–2x dx x) = 44 – x33 –x2• G(–1) = – 125 ; G(0) = 0; G(2) = – 38
• Área del recinto I = |G(0) – G(–1)| = 125
Área del recinto II = |G(2) – G(0)| = 38
5
Cálculo del área comprendida entre dos curvas
Página 231
1 Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes:
f (x) = x 3 – x 2 + 4 g (x) = x 2 + 3x + 4
• f (x) – g (x) = x 3 – x 2 + 4 – x 2 – 3x – 4 = x 3 – 2x 2 – 3x
• x 3 – 2x 2 – 3x = 0 → x (x 2 – 2x – 3) = 0 → x
1 = –1, x2 = 0, x3 = 3
• Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 3]
• G(x) = (
y
x3–2x2–3x dx x) = 44 – 23x3 – 32x2• G(–1) = – 127 ; G(0) = 0; G(3) = – 454
• Recinto I: Área [–1, 0] = |G(0) – G(–1)| = 127
Recinto II: Área [0, 3] = |G(3) – G(0)| = 454
Área total: 127 + 454 = 716 ≈ 11,83 u2
1 2 3 4
5 10 15 20 25
–1 –2 –3
I
E
jercicios y problemas resueltos
Página 232
1.
Cálculo de primitivas
Hazlo tú. Calcula las primitivas de las siguientes funciones:
a) f (x) = 3x 3 – 5x 2 + 2
1 x – 7 b) f (x) =
x x x 3
+ c) f (x) = (2x 2 + 3)2
d) f (x) = 3e 2x – 1 e) f (x) =
x x
1 2
2+ f ) f (x) = xx–+13
a)
y
(3x 3 – 5x 2 +2
1 x – 7) dx = x x x x k
4 3
3 5
4 7
– –
4 3 2
+ +
b)
y
x x x 3
+ dx =
xx dx x dxx xx / dx xx dx x dx x dx
/
/ / /
3
1 2 1 3
1 2 –1 6 1 2
+
y
=y
+y
=y
+y
=y
= x5 65 6// + x3 23//2 + =k 56 6x5+ 32 x3+k
c)
y
(2x 2 + 3)2 dx = (4x 12x 9)dx x x x k5
4 4 9
4+ 2+ = 5 + 3+ +
y
d)
y
3e 2x – 1 dx = e dx e k2
3 2
y
2x–1 = 23 2x–1+e)
y
x x
1 2
2+ dx = ( ) /
( )
x x dx x k x k
2 2+1 –1 2/ = 21 2+1 1 2/ + =2 2+ +1
y
f )
y
xx–+ dx = 13y
c1+ x 4–3mdx x= +4ln|x–3|+kPágina 233
2.
Cálculo de primitivas
Hazlo tú. Calcula las siguientes primitivas:
a)
y
x dx
2 1+7 b)
y
x2–2x x( –1)dx c)y
3x22+x3+x1–5dxd)
y
5xe x 2 dx e)y
xx–3dx 2
a)
y
2x1+7 dx= 12y
2x2+7 dx= 21 ln|2x+ +7| kb)
y
x2–2x x( –1)dx = x x x( )dx (x x) ( x )dx2
1 2 2 2
2
1 2 2 2
– – – / –
2 = 2 1 2 =
y
y
= 21 (x2–3 2/2x)3 2/ + =k 13(x2–2x)3 2/ + =k 13 (x2–2x)3+k
c)
y
x x x dx
3 22 1+3+ –5 = 31
y
3x26+x3+x3–5 dx= 31 ln|3x2+3x–5|+k d)y
5xe x 2 dx = xe dx e k2
5 2 x2 25 x2
= +
y
e) Dividimos para expresar la fracción así: D cd = +dr
y
xx dx3 –
2
Página 234
3.
Cálculo de áreas
Hazlo tú. Calcula el área limitada por la curva f (x) = x 3 – 12x y el eje X entre x = –2 y x = 2.
• Puntos de corte de la función con el eje X :
x 3 – 12x = 0 → x = –2 3, x = 0, x = 2 3
El único punto de corte situado entre –2 y 2 es x = 0; habrá dos recintos: [–2, 0] y [0, 2].
• Primitiva: G (x) = (
y
x3–12x dx x) = 44 –6x2G (–2) = ( )–42 4 – –6 2( )2=–20; G (0) = 0; G (2) = –20 • Áreas:
(x3–12x dx G) ( )0 –G( )–2 20
2 0
– = =
9
→ Área [–2, 0] = 20 u2(x3–12x dx G) ( )2 –G( )0 –20
0 2
= =
y
→ Área [0, 2] = 20 u2Área total = 20 + 20 = 40 u2
4.
Área limitada por
y
=
f
(
x
) y los ejes de coordenadas
Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función:
f (x) = x x)4– –2 +6 si ≤si >xx 11
y las rectas x = 0 e y = 0.
1 2
–2 –3
–4 –1 3 4 X
–1 1 2 3 4 5 6
–2 Y
El área pedida es la suma de las áreas del rectángulo de base 1 y altura 4 y de la región limitada por la pa-rábola, el eje X y la recta x = 1.
Área del rectángulo = 1 · 4 = 4 u2
Área de la región = (– –x2 x 6)dx – x3 – x2 6x 136 1
2 3 2
1 2
+ = + =
9
= G u25.
Área entre curvas
Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las curvas f (x) = –x 2 + 2x + 4 y g (x) = x 2 + 2x – 4.
• Cortes de f (x) y g (x):
–x 2 + 2x + 4 = x 2 + 2x – 4 → x = –2, x = 2
• Entre x = –2 y x = 2, la parábola f (x) está por encima de g (x) porque f (x) está abierta hacia abajo y g (x) lo está hacia arriba.
Área = [–x2 2x 4–(x2 2x–4)]dx (–2x 8)dx – 23x 8x 643 2
2 2
2
2 3
2 2
– + + + = – + = + – =
9
y
= G u2Página 235
6.
Cálculo de áreas
Hazlo tú. Halla el área del recinto limitado por las funciones y = x 2 – 4x e y = 5.
Calculamos los puntos de corte:
x 2 – 4x = 5 → x = –1, x = 5
Primitiva de la función diferencia:
G (x) = (
y
5–x2+4x dx) =5x x– 33 +2x2G (5) = 5 5· – 533 +2·52= 1003 ; G (–1) = 5 · (–1) ( ) ( )
3
1 2 1
3 8
– – 3 + – 2=–
(5–x2 4x dx G) ( )5 –G( )–1 1003 38 36
1 5
– + = = + =
y
Área = 36 u2
7.
Cálculo de áreas
Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las siguientes funciones: a) y = x 1+ y = x2+ b) 1 f (x) = x22 g (x) = | x |
a) • Calculamos los puntos de corte:
x+ = +1 x21 8 x+ =1 cx2+1m2 8 x=–1, x=3 • Primitiva de la función diferencia:
G (x) =
y
c x+1– x2+1mdx=y
(x+1)1 2/ dx– 21y
(x+1)dx= 32 (x+1)3– x42 – x2G (–1) = 32 (–1 1+ )3– –( )41 2 + = ; G (3) = 12 14 ( ) 3
2 3 1 34
2 3
12 19
– –
3 2
+ =
• Calculamos el área:
x 1– x21 dx G( )3 –G( )–1 1219 – 14 43
1 3
– + = = =
+
c m
y
Área pedida = 34 u2
b) • Definimos g (x) en intervalos:
• Puntos de corte de f y g :
, ( )
,
8
8
x x x x
x x x x
2 2 0
2 0 2
– – no vale
2 2
= = =
= = =
• Primitiva de la función diferencia f (x) – g (x):
Si x < 0 →
y
=x22 – –( )x dxG =y
ex22 +x dx xo = 63 + x22Si x ≥ 0 → x
y
e22 –x dx xo = 63 – x22 • Calculamos el área:x22 x dx x6 x2 – 32
2
0 3 2
2 0 –e + o == + G– =
y
x22 –x dx x6 – x2 –320
2 3 2
0 2
= =
e o = G
y
Área pedida = 32 + = u32 34 2
Página 236
8.
Cálculo de áreas
Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las funciones y =
x1–1, x > 1; y = 1 y las rectas
x = 1 y x = 4.
La función y = x 11– es una hipérbola desplazada horizontalmente de manera que la asíntota vertical se
encuentra en x = 1.
Puntos de corte entre las dos funciones: 8
x1–1 =1 x=2 El área pedida podemos verla en la siguiente gráfica:
1 2
–2
–3 –1 3 4 5 X
–1 1 2 3 4 5 6
–2 Y
El área es la suma del área del cuadrado de lado 1 más el área de la región comprendida entre la función
y = x 11– , el eje X y las rectas x = 2 y x = 4.
Área del cuadrado = 12 = 1
Área de la región descrita = x1–1 dx ln|x–1| ln3
2 4
2 4
=8 B =
y
E
jercicios y problemas guiados
Página 237
1.
Primitiva que cumple ciertas condiciones
Hallar una función f (x) de la que conocemos f (0) = 1, f ' (0) = 2 y f '' (x) = 3x.
f ' (x) =
y
f x dx''( ) =y
3x dx= 32x2 +kf ' (0) = 2 → k = 2 → f ' (x) = x322 +2
f (x) =
y
f x dx'( ) =y
e32x2 +2odx x= 23 +2x k+ 'f (0) = 1 → k' = 1 → f (x) = x23 +2x+1
2.
Gráficas de primitivas
Hallar una primitiva F (x) de la función f (x) = 2x – 4 tal que su gráfica corte al eje X en un único punto.
F (x) = (
y
2x–4)dx x= 2–4x k+Cuando k = 0 obtenemos una parábola que corta a los ejes en los puntos (0, 0) y (4, 0) y cuyo vértice es el punto (2, – 4). Su gráfica es:
1 2
–1 3 4 5 X
–1 1 2 3 4 5
–2 –3 –4 Y
3.
Cálculo de una constante para un área dada
Determinar el valor de la constante a ≠ 0 para que el área encerrada entre el eje de abscisas y la función f (x) = ax (x – 1) sea igual a 1 u 2.
Como a ≠ 0, los puntos de corte de la función con el eje X son:
x (x – 1) = 0 → x = 0, x = 1
Primitiva de f (x) → G (x) =
y
ax x( –1)dx a x=y
( 2–x dx ax) = 33 – ax22G (0) = 0; G (1) = a3 – a2 =– 61a
Por tanto, ax x( –1)dx G( )1 –G( )0 – 61a 8 Área –16a 0
1
= = =
y
Como a 8 a 8 ±
a a
6
1 1 61 1
6
1 1 6
– = – = = = Z [ \ ]] ]] _ ` a bb bb
4.
Función derivable
Hallar una función f (x), derivable en
Á
, que pase por el punto P (0, 2) y cuya derivada sea:f ' (x) = )32xx –1 si xsi x≥<11
Hallamos las primitivas en cada intervalo de definición:
(3x–1)dx= 32x2 –x k+
y
'
x dx x k
2 = 2+
y
Por tanto: f (x) =
≥
'
x x k
x k x x 2 3 1 1 – si si < 2 2 + +
*
Pasa por P (0, 2) → f (0) = 2 → k = 2 y la función es:
f (x) = ' x x x k x x 2 3 1 1 2 – si si ≥ < 2 2 + +
*
Como es derivable en
Á
, debe ser continua enÁ
y, en particular, en x = 1. Así: f (1) = 1 + k'.l mí8
x 1f (x) = 8 = +1 k' 8 k'=
( ') '
l m x x
l m x k k
2 3 2 2 5 1 2 5 2 3 – í í 8 8 x x 1 2 1 2 – + = + = + + e o
*
4
La función es:
f (x) =
E
jercicios y problemas propuestos
Página 238
P
ara practicar
Cálculo de primitivas
1 Halla una primitiva de las siguientes funciones:
a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 2x – 3
c) f (x) = x
2 + x 2 d) f (x) = – 8x 3 + 3x 2
e) f (x) =
x12 + x13 f ) f (x) = x+53x4 g) f (x) =
x x
1 3
+ h) f (x) =
x x 3
2
a)
y
(x + 1) dx = x22 +xb)
y
(2x – 3) dx = x2– 3xc)
y
b2x x dx x+ 2l = 42 + x33d)
y
(– 8x 3 + 3x 2) dx = –2x 4 + x 3e)
y
( )x12 x13 dx x x dx x–1 x–2 – –x1 21x
2 3 1 2
2
– – – –
+ = + = + =
e o
y
f )
y
x / ·x dx x x dx x x
x x
53 53 3 2 53 3 3
2
51
– –
/ /
4 1 2 4
3 2 3 3 3
– –
+ = + = + =
e o
y
c mg)
y
/ ·x x dx x x dx x x x x
1
3 / 31 1 2 31 2 2 6
/
1 2 1 2 2 2
–
+ = + = + = +
e o
y
c mh)
y
x x 3
2
dx =
y
x x2· –1 3/ dx=y
x5 3/ dx x= 8 38 3// = 338x82 Integra la función de cada apartado:
a) x3 b) 48x3 c)
x x x+ 2
d)
x x –2
2 3
e)
x
3 f )
x2+1 g) xx–22 h) 3 2–x x
a)
y
3x dx=y
3x1 2/ dx= 3 x3 23 2// + =k 2 33 x3 + =k 2 33x3 +kb)
y
48x dx3 =48y
x3 4/ dx= 4 847 4x7+kc) ( ) / /
x
x x dx+ 2 =
y
x1 2/ +x3 2/ dx x= 3 23 2/ + x5 25 2/ + =k 23x3 + 25x5 +ky
d) ( )
x
x dx x x dx x x k x
x k
2 2
2 2 1 2 2
– – –
–
2
3 –2 2 –1 2
=
y
= + = + +y
f )
y
x2+1 dx=2ln|x+ +1| kg) ln| |
x
x dx
x x dx x x k
2 1 2 2
– –
2 =
y
c 2m = + +y
h)
y
3 2–x x dx=y
cx3 2– mdx=3ln| |x –2x k+3 Resuelve:
a)
y
sen x5dx b)y
cos bx+π2l dx c)y
cos x sen x
3 3 dx
d)
y
1 sen x2 –
b l dx e)
y
sen π x2 –
b l dx f )
y
cos π2x dx
a)
y
sen x5 dx = 5y
51 sen x dx5 =–5cos x k5 +b)
y
cos bx+ π2l dx = sen xb + π2l+kc)
y
cos xsen x33 dx = – 13y
3·(cos–sen x dx3x3 ) =– 31 ln cos| 3x k|+d)
y
b1–sen x2l dx = x+2cos 2x k+e)
y
sen bπ2 –xl dx = cosbπ2 –x kl+f )
y
cos π2 x dx = π2y
π2 cos π2 x dx= π2 sen π2 x k+4 Calcula:
a)
y
e x + 3 dx b)y
3x e 1 – x 2 dx c)y
2x – 7 dx d)y
3x/2 dxa)
y
e x + 3 dx = e x + 3 + kb)
y
3x e 1 – x 2 dx = ( x e) dx e k2
3 2
2 3
– – 1–x2 – 1–x2
= +
y
c)
y
2x – 7 dx = · ·ln12 ln2 2x dx ln12 2x k 2ln2 k
x
7 7 7
– = – + = – +
y
d)
y
3x/2 dx =ln
dx k
2
y
21 3x/2 = 2 3· 3x/2 +5 Calcula:
a)
y
(x – 3)3 dx b)y
(2x + 1)5 dx c)y
x1+2 dx d)
y
x3 – dx5 e)y
x dx23
3 + f )
y
x dx
2 3–1 g)
y
x22+x dx2 h)y
3x2x–4dxa)
y
(x – 3)3 dx = (x ) k43
– 4
+
b)
y
(2x + 1)5 dx = ( x ) dx · ( x ) k ( x ) k2
1 2 2 1 21
6
2 1
12
2 1
5 6 6
+ = + + = + +
y
c)
y
d)
y
x3 – dx = 5 31 3 3 5y
( x– )1 2/ dx= 13 · (3x3 2–/5)3 2/ = 2 3( x9–5)3 +ke)
y
x3 2+3 dx= 2y
12 cx+23m1 3/ dx=2· [(x+4 33 2/)/ ]4 3/ + =k 32 cx2+3m4+kf )
y
2x3–1 dx= ·1 32y
2x2–1 dx= 32 ln|2x–1|+kg)
y
x22+x dx2 = |ln x2+ +2| k h)
y
xx dx
3 2–4 = 61
y
3x62x–4 dx= 16 ln|3x2–4|+k 6 Calcula:a)
y
x x5 2+1dx b)y
x x dx 3 – 3 2c)
y
x22+xx+1–3dx d)
y
x e x 2 dxe)
y
x
x dx
3 2
5
2+ f )
y
sen 2 x cos x dx g)y
x4x–4dx 3h)
y
x sen x 2 dxa)
y
x x5 2+1dx = ( )/
( ) ( )
x x dx x k x k
101 10 5 1 / 101 · 5 3 21 5 151
/
2+ 1 2 = 2+ 3 2 + = 2+ 3 +
y
b)
y
x x dx 3 – 3 2 = x
x dx x k
3 2 2 3 3 3 2 3 – – 3 2 3 = +
y
c)
y
x22 1+xx+–3 dx = |ln x x–3| k
2+ +
d)
y
x e x 2 dx = x e dx e k2
1 2 x2 21 x2
= +
y
e)
y
x x dx
3 52+2 = 56
y
3x62x+2 dx= 56 ln|3x2+ +2| k f )y
sen 2 x cos x dx = sen x k3
3
+
g)
y
x4x–4 dx
3
= ln| |
x x dx x k
4 1 4 4 4 1 4 – – 4 3 4 = +
y
h)
y
x sen x 2 dx = x sen x dx cosx k2
1 2
2 1
–
y
– 2 =– 2+7 Calcula:
a)
y
3e 5x dx b)y
x 2 · 2–x 3 + 5 dx c)y
x e dx
1 x
d)
y
x x x dx 6 2 3 – –
2 + e)
y
xx dx
55
++ f )
y
33xx––22dxa)
y
3e 5x dx = e k5 3 5x+
b)
y
x 2 · 2–x 3 + 5 dx = ·ln
x dx k
3
1 3 2
3 2 2
– – 2 –x3 5 – –x3 5
= +
+ +
y
c)
y
xe dx
1 x =
x dx e k
2
21 =2 x+
d)
y
x x x dx 6 2 3 – –2 + = 21
y
x22–x6–x6+2 dx= x2–6x+ +2 ke)
y
xx++55 dx =x1+5 dx=2
y
2 x1+5 dx=2 x+ +5 ky
f )
y
x x dx 3 2 3 2 – – = ( ) / ( ) ( )
x dx x dx x k x k
3 –2 = 31 3 3 2– 1 2/ = 13 3 3 2–2 3 2/ + = 2 39–2 3 +
y
y
8 Resuelve las siguientes integrales:
a)
y
x
x x dx
1 3 4 – –
2 +
b)
y
x
x x dx
3 5 –7 2
+ +
c)
y
x
x x dx
2 1
2 3 1
– –
2 +
d)
y
x
x x dx
1 3 1
– – 2 2+
Divide y transforma la fracción así:
divisor
Dividendo cociente
divisorresto
= +
a)
y
x2x–3–x1+4 dx =y
cx –2+ x2–1mdx x= 22 –2x+2ln|x–1|+kb)
y
x2+x5+x3–7 dx =y
cx+2– x13+3mdx x= 22 +2x–13ln|x+ +3| kc)
y
2x22x–3 1–x1+ dx = (y
x–1)dx x= 22 –x k+d)
y
x
x x dx
1
3 1
– –
2 2+
= ln| |
x x dx x x k
1 1 3 2 3 1 – – 2 2 + = + + e o
y
9 Calcula:
a)
y
x12 sen 1x dx b)
y
5sen bx2lcosb2xl dxc)
y
x x dx d)y
x2+21x+1dx
e)
y
(2x 2 + 1)2 dx f )y
xx dx
3 2–2
g)
y
x
x x dx
2
3 2 1
– – 2+
h)
y
e
e dx
1 x x
+
i)
y
lnx x
3 7
– dx j)
y
e1x cos e –x dx
a)
y
x12 sen 1x dx = cos x1 +k
b)
y
5sen bx2lcosb2xl dx = 5 2y
· 21 sen xb2lcosb2x dx sen x kl =5 2b2l+c)
y
x x dx =y
x3 4/ dx x= 7 47 4// + =k 447x7 +kd)
y
x2+2 11x+ dx =
y
(x+11)2 dx= x–+11 +ke)
y
(2x 2 + 1)2 dx = (4x 4x 1)dx x x x k5 4
3 4
4+ 2+ = 5 + 3 + +
y
f )
y
x
x dx
3 2–2 = xx dx
x k
3 1
2 3 2
6 3 3 2 – – 2 2 = +
y
h)
y
e
e dx
1 x
x
+ = |ln 1 e | k
x
+ +
i)
y
ln–73x x dx = – 7 13y
x lnx dx=– 37 ln22x k+ =– 67 ln2x k+j)
y
e1x cos e –x dx = sen e– –x+k
Integral definida
10 Resuelve las siguientes integrales:
a)
x21dx 0
1 +
y
b) x xx dx 5 1 – 2 2 1 2 + c m
y
a) Calculamos una primitiva:
G (x) =
y
x2+1 dx=2ln(x+1)x21 dx 2ln(x 1) 2 2ln
0 1
0 1
+ =8 + B =
y
b) Calculamos una primitiva:
G (x) = x x
x dx x x x
5 1 3 52 1
– – – 2 2 3 2 + = c m
y
x xx dx x x x
5 1 3 52 1 143
– – – –
2
2 1
2 3 2
1 2
+ = =
c m = G
y
11 Resuelve las siguientes integrales:
a) (–3x dx2) 2
5
y
b) (2x–1)dx 46
y
c) (x3 x dx) 22
– +
y
d) 3x dx 1 4y
e) x dx 1 e 1y
f ) ex 2dx 13 – –
y
g) π(sen x–cosx dx)0
y
h) sen x dx2π π –
y
a) G (x) = (
y
–3x dx2) =–x3G (5) = –125; G (2) = – 8
(–3x dx G2) ( )5 –G( )2 –125– –( )8 –117
2 5
= = =
y
b) G (x) = (
y
2x–1)dx x= 2–xG (6) = 30; G (4) = 12
(2x–1)dx G( )6 –G( )4 30 12 18–
4 6
= = =
y
c) G (x) = (
y
x3+x dx x) = 44 + x22 G (2) = G (–2) = 6(x3 x dx G) ( )2 –G( )–2 0
2 2
– + = =
y
d) G (x) =
y
3x dx=y
3x1 2/ dx= 33 2/x3 2/ = 2 33x3G (4) = 16 3 ; G (1) = 3 2 33
( ) ( )
xdx G G
3 4 – 1 16 33 – 2 33 14 33
1 4
= = =
e) G (x) =
y
1x dx=ln| |xG (e) = 1; G (1) = 0
( ) ( )
x dx G e G
1 – 1 1
e
1 = =
y
f) G (x) = e
y
x–2dx e= x–2G (3) = e; G (–1) = e –3
( ) ( )
e dx G G e e e
e ee
3 – –1 – – 1 –1
x 2
1
3 3
3 3 4 –
–
–
= = = =
y
g) G (x) = (
y
sen x–cosx dx) =–cosx sen x–G (π) = 1; G (0) = –1
(sen xcosx dx G) ( )π –G 0 1( ) – –( )1 2
π
0 = = =
y
h) G (x) =
y
sen x dx2 =– 21 cos2xG (π) = – ; G (–21 π) = – 21
( )π ( )π
sen x dx G2 –G – 0
π π
– = =
y
12 Halla las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a) f (x) = 3x2 – 6x en [0, 2] b) f (x) = 2 cos x en [0, π/2] c) f (x) = (x + 1) (x2 – 2) en [–1, 2] d) f (x) = sen x
4 en [0, π]
a) G (x) = (
y
3x2–6x dx x) = 3–3x2G (0) = 0; G (2) = – 4
(3x2–6x dx G) ( )2 –G( )0 –4
0 2
= =
9
b) G (x) = cos x dx
y
2 =2sen xG (0) = 0; G b lπ2 =2
( )
π
cos x dx G G
2 2 – 0 2
/
π
0 2
= b l =
y
c) ( )G x =
y
(x+1)(x2–2)dx=y
(x3+x2–2x–2)dx x= 44 + x33 –x2–2x( ) ; ( )
G –1 = 1211 G 2 =– 34
(x 1)(x2–2) G( )2 –G( )–1 – –43 1112 –49
1 2
– + = = =
9
d) ( )G x =
y
sen x4 =–4cos 4x( ) ; ( )π
G 0 =–4 G =– 4 22 =–2 2
( )π ( )
sen x G4 –G 0 –2 2 4
π
0 = = +
Página 239
Cálculo de áreas
13 Calcula el área encerrada por la función f (x) = –x (x – 4) y el eje X. Representa el recinto cuya área has calculado.
Cortes con el eje X:
–x (x – 4) = 0 → x = 0, x = 4
La función dada es una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice es el punto (2, 4). Por tanto: Área = –x x( –4)dx (–x 4x dx) – x3 2x 323
0
4 2
0
4 3 2
0 4
=
y
+ == + G =y
u2El recinto es:
1 2
–1 3 4 5 X
–1 1 2 3 4
–5 –2 –3 –4 Y
14 Halla, en cada caso, el área limitada por:
a) f (x) = x2 – 4, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2. b) f (x) = 2x – x2, el eje X y las rectas x = –1 y x = 1. c) f (x) = x2 – 2x – 3 y el eje X.
d) f (x) = 1 – x2, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2. e) f (x) = ex, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.
f) f (x) = x2 + 1, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.
a) • Puntos de corte con el eje X : x 2 – 4 = 0 → x
1 = –2, x2 = 2. Solo nos sirve x2 = 2.
• Hay un recinto: [0, 2] • ( )G x =
y
(x2–4)dx x= 33 –4x• ( )G 2 =– 163 ; ( )G 0 0=
• Área = | G (2) – G (0) | = 16 u3 2
4 –4
2 4
–2 2
–2
b) • Puntos de corte con el eje X : 2x 2 – x 2 = 0 → x
1 = 0, x2 = 2
• Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 1]
• ( )G x =
y
(2x x dx x– 2) = 2– x33• ( )G – =1 34; ( )G 0 0= ; ( )G 1 = 32
• Área del recinto I = | G (0) – G (–1) | = 34
Área del recinto II = | G (1) – G (0) | = 32
Área total = 34 + = = u32 36 2 2
4 I
–4 2 4
–2 –4 2 –2
II
c) • Puntos de corte con el eje X : x 2 – 2x – 3 = 0 → x
1 = –1, x2 = 3
• Hay un recinto: [–1, 3]
• ( )G x =
y
(x2–2x–3)dx x= 33 –x2–3x• ( )G –1 = 35; ( )G 3 =–9
• Área = | G (3) – G (–1) | = 9– – 35 = 323 u2
4 –4
2 4
2 –2
–2 –4
d) • Puntos de corte con el eje X : 1 – x 2 = 0 → x
1 = –1, x2 = 1
• Hay tres recintos: I [–2, –1]; II [–1, 1]; III [1, 2]
• ( )G x =
y
(1–x dx x x2) = – 33• ( )G –2 = 32; ( )G –1 =– 32
( )G 1 = 32; ( )G 2 =– 32
4 –4
2 4
–2 –4
II III I
• Área del recinto I = | G (–1) – G (–2) | = – –32 35 = 34
Área del recinto II = | G (1) – G (–1) | = 32 – –c m32 = 34
Área del recinto III = | G (2) – G (1) | = 34
Área total = ·3 34 4= u2
e) • No corta al eje X. • ( )G x =
y
e dx ex = x• ( )G –1 =e–1; ( )G 3 =e3
• Área = | G (3) – G (–1) | = e 3 – e –1 = e ≈ ,
e e e
1 1 19 7
– –
3 = 4 u2 –4 –2 2 4
5 10 15 20
f ) • No corta al eje X .
• ( )G x =
y
(x2+1)dx x= 33 +x• ( )G –1 =–34; ( )G 3 12=
• Área = | G (3) – G (–1) | = 40 u3 2
4 8 12
15 Halla el área delimitada por la parábola y = 2x 2 – 2x – 4, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2. Representa el área obtenida.
Cortes con el eje X → 2x 2 – 2x – 4 = 0 → x = –1, x = 2. De los dos valores obtenidos, x = –1 se
encuentra entre los límites x = –2 y x = 2. Primitiva de la función:
G (x) = (
y
2x2–2x–4)dx= 23x3 –x2–4xG (–2) = ·( )2 –32 3 – –( )2 2–4·( )–2 =–34; ( )G –1 = 37; ( )G 2 =– 203
(2x2–2x–4)dx G( )– –1 G( )–2 73 – – 43 113
2 1 –
–
= = c m=
y
(2x2–2x–4)dx G( )2 –G( )–1 –203 – 73 –9
1 2
– = = =
y
Área total = 11 93 + = 383 u2
Para representar la función debemos tener en cuenta que la parábola está abierta hacia arriba y que el vértice es el punto
, 2 1
2 9 –
c m. –6 –4 –2 2 4 6 X
–2 2 4 6 8 10
–4 –6 Y
16 Calcula el área comprendida entre las curvas: a) y = x2; y = x
b) y = x2; y = 1 c) y = x2; y = x3 d) y = x2; y = –x2 + 2x
e) y = 2x2 + 5x – 3; y = 3x + 1 f ) y = 4 – x2; y = 8 – 2x2
a) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – x = 0 → x
1 = 0, x2 = 1
• ( )G x =
y
(x2–x dx x) = 33 – x22 • G(0) = 0; G (1) = – 61• Área = | G (1) – G (0) | = 61 u2
–1 1
–1 1 2
b) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – 1 = 0 → x
1 = –1, x2 = 1
• ( )G x =
y
(x2–1)dx x= 33 –x• ( )G –1 = 32; ( )G 1 =– 32
• Área = | G (1) – G (–1) | = 34 u2 –1
2
1
c) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – x 3 = 0 → x
1 = 0, x2 = 1
• ( )G x =
y
(x2–x dx x3) = 33 – x44• G (0) = 0; G (1) = 121
• Área = | G (1) – G (0) | = 121 u2
–2 –1 1 2
–2 –1 1 2
d) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – (–x 2 + 2x) = 2x 2 – 2x = 0 → x
1 = 0, x2 = 1
• ( )G x =
y
(2x2–2x dx) = 23x3 –x2• G (0) = 0; G (1) = –31
• Área = | G (1) – G (0) | = 31 u2
–2 1 2
–1
–2 –1 1 2
e) • Puntos de corte entre las curvas:
2x 2 + 5x – 3 – (3x + 1) = 2x 2 + 2x – 4 = 0 → x
1 = –2, x2 = 1
• ( )G x =
y
(2x2+2x–4)dx= 23x3 +x2–4x• ( )G –2 = 203 ; ( )G 1 =– 37
• Área = | G (1) – G (2) | = – –37 203 = 27 93 = u2
–4 –2 2
2 4
4
–4 –2
f ) • Puntos de corte entre las curvas: 4 – x 2 – (8 – 2x 2) = x 2 – 4 = 0 → x
1 = –2, x2 = 2
• ( )G x =
y
(x2–4)dx x= 33 –4x• ( )G –2 = 163 ; ( )G 2 =– 163
• Área = | G (2) – G (–2) | = 32 u3 2
–4 6
4
–6 –2 2
–2 2
P
ara resolver
17 Calcula el área de los recintos limitados por:
a) La función f (x) = x2 – 2x + 1 y los ejes de coordenadas. b) La curva y = x3, la recta x = 2 y el eje X.
c) La función y = sen x, el eje de abscisas y las rectas x = π
4 y x = – π4. d) La función y = cos x y el eje X entre x = 0 y x = π.
a) • f (x) = x 2 – 2x + 1 = (x – 1)2 = 0 → x = 1
• ( )G x =
y
(x–1)2dx= (x–31)3• ( )G 0 =– 31; G (1) = 0
• Área = | G (1) – G (0) | = 31 u2 2
1 2 3
1 3
b) • x 3 = 0 → x = 0
• ( )G x =
y
x dx x3 = 44• ( )G 0 0= ; ( )G 2 4=
• Área = | G (2) – G (0) | = 4 u2
2 –2
4 8
1 –4 –8 –1
c) • sen x = 0 → x = 0 bentre – π4 y π4l
• Hay dos recintos: I –: π4,0D; II:0, π4D
• ( )G x =
y
sen x dx=–cosx• Gbπ4l=Gb–π4l=– 22; ( )G 0 =–1
• Área del recinto I = ( )G 0 –Gb– π4l = –1+ 22 =0 29,
Área del recinto II = Gb lπ4 –G( )0 =1– 22 0 29= , Área total = 2 · 0,29 ≈ 0,58 u2
1 2
–2 –1
π
—
4
π
d) • cos x = 0 → x = π4 (entre 0 y π)
• Hay dos recintos: ,I: D0 π2 ; II:π2,0D
• ( )G x =
y
cosx dx sen x=• ( )G 0 0= ; Gb lπ2 =1; ( )G π =0
• Área del recinto I = Gb lπ2 –G( )0 =1 Área del recinto II = | ( )G π –G 0 1( )|= Área total = 1 + 1 = 2 u2
2
–2 –1
π
II I 1
π
—
218 Calcula el área comprendida entre las curvas:
a) y = x2 e y = 3 – 2x b) y = 4 – x2 e y = 3x2 c) y = x e y = x2 – 2 d) y = 4 – x2 e y = x2 – 4
e) y = (x + 2)2 (x – 3) y el eje de abscisas.
a) x 2 – (3 – 2x) = x 2 + 2x – 3 = 0 → x
1 = –3, x2 = 1
• ( )G x =
y
(x2+2x–3)dx x= 33 +x2–3x• ( )G –3 0= ; ( )G 1 =– 35
• Área = | G (1) – G (–3) | = 32 u3 2
4 –4
8 12
–2 –4
4
2
b) 4–x2–3x2 4 4– x2 0 8 x –1, x 1
1 2
= = = =
• ( )G x =
y
(4 4– x dx2) =4x– 43x3 • ( )G –1 =–38; ( )G 1 = 38• Área = | G (1) – G (–1) | = 16 u3 2
4 –4
2 4
2 –2