1 Calcula las siguientes integrales: a)

R

esuelve

Página 219

Dos trenes

Un tren de pasajeros y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idén-tica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.

Estas son las gráficas tiempo-velocidad que describen ambos movimientos:

1 2 3 4

TIEMPO (en horas) TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS 120

100

80

60

40

20

VELOCIDAD (en km/h)

Como podemos ver en la gráfica, el tren de pasajeros, a las dos horas reduce su velocidad: — ¿A qué puede deberse?

— ¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante?

A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el tren de pasajeros se detiene durante breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante media hora.

■Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos:

a) El tren de pasajeros, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? b) De 2 a 2₄1 , el tren de pasajeros disminuye su velocidad.

¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad?

c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorrido hasta ese mo-mento?

d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad? Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que:

Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidad en el mismo lugar y re-corren, así, otros 15 km (puede ser debido a obras en la vía) y, a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (es decir, el tren de mercancías no frena cuando el de pasajeros, pero sí donde el tren de pasajeros). Más adelante, el tren de pasajeros para en una estación.

e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el tren de pasajeros?

a) 120 · 2 = 240 km.

b) A 60 km/h durante ₄1 de hora, recorre 60 = 15 km.₄

c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km.

d) Va a 30 km/h durante ₂1 hora, luego recorre 30 · ₂1 = 15 km.

e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:

120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas

60 · ₄1 = 15 km el siguiente cuarto de hora

120 · ₄3 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora

Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.

f )

1 2 3 4 TIEMPO (horas)

TIEMPO (horas) 120

100

80

60

40

20 VELOCIDAD

(km/h)

VELOCIDAD (km/h)

1 2 3 4

80

60

40

20

Área 240

Área 240 Área 15

Área 90

Área 15 PASAJEROS

1

Primitivas. Reglas básicas para su cálculo

Página 221

1 Calcula las siguientes integrales:

a)

y

7x 4 _{dx b)}

y

x12 dx

c)

y

x3 dx d)

y

x35 2 _dx

e)

y

x

x x

3 5

3 ₊ 3

dx f )

y

x x 3 5 3 3 dx

a)

y

7x 4 _{dx = x7 k} x _k

5 75

5 5

+ = +

b)

y

x12 dx = x dx x2 _–1 k –_x1 k 1

– ₌ – _{+ = +}

y

c)

y

x3 _{dx =}

/

x1/3dx x_{= 4 3}4 3/ _{+ =}k 3₄ 3x4₊k

y

d)

y

x35 2 _{dx =}

/

x dx x k x k

5 / 5 _{5 3}/ 3 5₅

3 2 3 ₌3 5 3 _{+ =} 3 5 ₊

y

e)

y

3x+_3x5x3 dx =

y

x₃1 3_x/ dx₊

y

5₃x_x3 2/ dx_{= 3}1

y

x–2 3/ dx_{+ 3}5

y

x1 2/ dx₌

= 1₃ x_{1 3}1 3_// + ₃5 x_{3 2}3 2_// + =k 3x+ 2 5₉x3 +k

f )

y

x x 3 5 3 3

dx = _/

·

· _{dx x dx x k k}

x x x 3 5 3 5 3 5

13 6 6 5_{13 3}

/ /

/ /

3 3 7 6 3

13 6

3 1 3

3 2 6 13

=

y

= + = +

y

2 Calcula:

a)

y

x

x4–5x2+3x–4_{dx b)}

_y

_{(5 cos x + 3} x_{) dx}

c)

y

x

x x x _dx

7 –5 3 –4 2

4 2₊

d)

y

(10 x _{– 5} x_{) dx}

a)

y

x4–5x2_x+3x–4 dx =

y

_cx3–5x₊3 4– _xmdx x_{= 4}4 – 5₂x2 ₊3x–4ln| |x k₊

b)

y

(5 cos x + 3 x_{) dx = cos}

ln

x dx dx sen x k

5 ₊

y

3x ₌5 ₊ 3x_{3 +}

y

c)

y

x

x x x _dx

7 –5 3 –4

2 4 2₊

=

xx dx xx dx xx dx x dx

7 _– 5 3 _– 4

2 4 2 2 2 2 + =

f p e o e o e o

y

y

y

y

= x dx dx _x dx ln| |

x dx x x x x k

7 2 – 5 3 – 4 7₃ –5 3 4

2

3

+

y

y

= + + +

y

y

d)

y

(10 x _{– 5} x_{) dx =}

ln ln

dx dx k

10x –

y

5x ₌ 10₁₀x – 5x_{5 +}

Página 223

3 Halla las primitivas de estas funciones:

a) f (x) = (x 3 _{– 5x + 3)}2 _(3x 2 _{– 5)}

b) f (x) = (5x + 1)3

c) f (x) =

xx 3x

3 3

–– 3

2

d) f (x) =

xx3––31x 2

e) f (x) = cos x sen 3 _x

a) (

y

x3–5x₊3 3) (2 x2–5)dx₌ (x3–5₃x+3)3 ₊k

b) (

y

5x₊1)3dx₌ 1₅ · (5x₄+1)4 _{+ =}k (5x₂₀+1)4 ₊k

c)

y

xx 3x

3 3

––

3 2

dx = ln | x – 3x | + k

d)

y

xx3––31x 2

dx = ₃1 ln x| 3–3x k|₊

e)

y

cos x sen 3 _{x dx = sen x k}

4

4

+

4 Busca las primitivas de:

a) f (x) = x 2x 2 _{ln 2}

b) f (x) = x 2x 2

c) f (x) = 23x – 5

d) f (x) = sen 3x

e) f (x) = sen (x 3 – 4x 2) (3x 2 – 8x)

f ) f (x) = cos

sen xx

a)

y

x 2x 2 _{ln 2 dx = · k k}

2

1 2x2 2₂x2

+ = +

b)

y

x 2x 2 _{dx = ·}

ln k ln k

2 21 2x 2 22

x

2 2

+ = +

c)

y

23x – 5 _{dx = ·}

ln k ln k

3 21 2 x 23 2

x

3 –5_{+ =} 3 –5 ₊

d)

y

sen 3x dx = – ₃1 cos x k3 +

e)

y

sen (x 3 _{– 4x} 2_{) (3x} 2 _{– 8x) dx = –cos (x} 3 _{– 4x} 2_{) + k}

2

Área bajo una curva. Integral definida de una función

Página 225

1 Halla:

a) x dx 1

5

y

b) – 16–(x–4)2 dx 0

4

9 C

y

c) x dx

2 1 _–2 0

6

c m

y

a)

–1 1 2 3 4 5 X

–1 1 2 3 4 5 Y

La integral pedida coincide con el área del trapecio coloreado. Por tanto:

x dx 5 1 4 12₂ ·

1 5

= + =

y

b) La función que se integra se corresponde con la semicircunferencia centrada en el punto (4, 0) de radio 4 que se encuentra debajo del eje X.

1 2 3 4 5 6 7 8

X –1

–2 –3 –4 Y

Por tanto: – 16– –(x 4)2 dx – π ·₄4 –4π –12 57,

0

4 2

= = =

9 C

y

c)

1 2

–2 –1 3 4 5 6 X

–1 1

–2 –3 Y

La integral buscada es la suma algebraica de los dos recintos teniendo en cuenta que uno es negativo por estar situado debajo del eje X. Por tanto:

₂1 x–2 dx – 4 2₂· 2 1₂· –3

0 6

= + =

c m

3

Función “área bajo una curva”

Página 228

1 Halla e interpreta estas integrales:

a) π 0

4

y

sen x dx b)

2 2 –

y

(x 2 _{– 4) dx}

a) G (x) =

y

sen x dx=–cosx

G (4π) = –1; G (0) = –1

( )

sen x dx – – –1 1 –1 1 0

π

0 4

= = + =

y

Interpretación geométrica:

2π

I y = sen x

II

III

IV

3π 4π

π

La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da como resultado 0: Área de I – Área de II + Área de III – Área de IV = 0

b) G (x) = (

y

x2–4)dx x_{= 3}3 –4x

G (2) = – 16₃ ; G (–2) = 16₃

(x2–4)dx – 16₃ – 16₃ – 32₃

2 2

– = =

y

Interpretación geométrica:

2 y = x2 _{– 4}

–2

–4

Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir:

–Área del recinto = –32₃

2 Halla la siguiente integral e interprétala geométricamente: e dxx

0 2

y

G (x) = e dx ex x

0 2

=

y

G (2) = e 2_{; G (0) = 1}

≈ ,

e dx ex –1 6 39

0

2 ₂

=

y

La interpretación geométrica puede verse a la derecha:

Área del recinto = e 2 _{– 1 ≈ 6,39 1 2}

y = ex

–1 –2

4

Cálculo del área entre una curva y el eje X

Página 230

1 Halla el área de la región comprendida entre la función y = (x 2 _{– 1)(x} 2 _{– 4), el eje X y las rectas} x = 0, x = 5.

• Puntos de corte con el eje X: (x 2 _{– 1)(x} 2 _{– 4) = 0 → x}

1 = –2, x2 = –1, x3 = 1, x4 = 2

Solo nos sirven x = 1, x = 2 (están entre 0 y 5). • Hay tres recintos: I [0, 1]; II [1, 2]; III [2, 5]

• G (x) = (

y

x2–1)(x2–4)dx₌

y

(x4–5x2₊4)dx x_{= 5}5 – 5₃x3 ₊4x

• G(0) = 0; G(1) = ₁₅38 ; G(2) = ₁₅16 ; G(5) = 1310₃

• Área del recinto I = |G(1) – G(0)| = ₁₅38

Área del recinto II = |G(2) – G(1)| = – ₁₅22 = ₁₅22

Área del recinto III = |G(5) – G(2)| = 2178₅

Área total = ₁₅38 + ₁₅22+ 2178₅ = 2198₅ = 439,6 u2

2 Halla el área comprendida entre y = x 3 _{– x} 2 _{– 2x y el eje X.}

• Puntos de corte con el eje X:

x 3 _{– x} 2 _{– 2x = 0 → x (x} 2 _{– x – 2) = 0 → x}

1 = –1, x2 = 0, x3 = 2

• Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 2]

• G(x) = (

y

x3–x2–2x dx x) _{= 4}4 – x₃3 –x2

• G(–1) = – ₁₂5 ; G(0) = 0; G(2) = – ₃8

• Área del recinto I = |G(0) – G(–1)| = ₁₂5

Área del recinto II = |G(2) – G(0)| = ₃8

5

Cálculo del área comprendida entre dos curvas

Página 231

1 Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes:

f (x) = x 3 _{– x} 2 _{+ 4} g (x) = x 2 _{+ 3x + 4}

• f (x) – g (x) = x 3 _{– x} 2 _{+ 4 – x} 2 _{– 3x – 4 = x} 3 _{– 2x} 2 _{– 3x}

• x 3 _{– 2x} 2 _{– 3x = 0 → x (x} 2 _{– 2x – 3) = 0 → x}

1 = –1, x2 = 0, x3 = 3

• Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 3]

• G(x) = (

y

x3–2x2–3x dx x) _{= 4}4 – 2₃x3 – 3₂x2

• G(–1) = – ₁₂7 ; G(0) = 0; G(3) = – 45₄

• Recinto I: Área [–1, 0] = |G(0) – G(–1)| = ₁₂7

Recinto II: Área [0, 3] = |G(3) – G(0)| = 45₄

Área total: ₁₂7 + 45₄ = 71₆ ≈ 11,83 u2

1 2 3 4

5 10 15 20 25

–1 –2 –3

I

E

jercicios y problemas resueltos

Página 232

1.

Cálculo de primitivas

Hazlo tú. Calcula las primitivas de las siguientes funciones:

a) f (x) = 3x 3 _{– 5x} 2 ₊ 2

1 x – 7 b) f (x) =

x x x 3

+ c) f (x) = (2x 2 _{+ 3)}2

d) f (x) = 3e 2x – 1 _{e) f (x) =}

x x

1 2

2₊ f ) f (x) = _xx_–+1₃

a)

y

(3x 3 _{– 5x} 2 ₊

2

1 x – 7) dx = x x x _{x k}

4 3

3 5

4 7

– –

4 3 2

+ +

b)

y

x x x 3

+ dx =

xx dx x dxx xx / dx xx dx x dx x dx

/

/ / /

3

1 2 1 3

1 2 –1 6 1 2

+

y

=

y

+

y

=

y

+

y

=

y

= x_{5 6}5 6_// ₊ x_{3 2}3_//2 _{+ =}k ₅6 6x5_{+ 3}2 x3₊k

c)

y

(2x 2 _{+ 3)}2 _{dx = (4x 12x 9)dx} x _{x x k}

5

4 _{4 9}

4₊ 2_{+ =} 5 ₊ 3_{+ +}

y

d)

y

3e 2x – 1 _{dx = e dx e k}

2

3 2

y

2x–1 _{= 2}3 2x–1₊

e)

y

x x

1 2

2₊ dx = ( ) /

( )

x x dx x k x k

2 2₊1 –1 2/ ₌ 2_{1 2}+1 1 2/ _{+ =}2 2_{+ +}1

y

f )

y

_xx_–+ dx = 1₃

y

c1+ _x 4_–3mdx x= +4ln|x–3|+k

Página 233

2.

Cálculo de primitivas

Hazlo tú. Calcula las siguientes primitivas:

a)

y

x dx

2 1+7 b)

y

x2–2x x( –1)dx c)

y

3x22₊x3+x1–5dx

d)

y

5xe x 2 _{dx e)}

y

xx–3dx 2

a)

y

_2x1₊₇ dx= 1₂

y

_2x2₊₇ dx= ₂1 ln|2x+ +7| k

b)

y

x2–2x x( –1)dx _{= x x x( )dx (x x) ( x )dx}

2

1 _{2 2 2}

2

1 _{2 2 2}

– – – / –

2 ₌ 2 1 2 ₌

y

y

= ₂1 (x2–_{3 2/}2x)3 2/ _{+ =}k 1₃(x2–2x)3 2/ _{+ =}k 1₃ (x2–2x)3₊k

c)

y

x x x dx

3 22 1+3+ –5 = 31

y

3x26₊x3+x3–5 dx= 31 ln|3x2+3x–5|+k d)

y

5xe x 2 _{dx = xe dx e k}

2

5 2 x2 ₂5 x2

= +

y

e) Dividimos para expresar la fracción así: D c_d = +_dr

y

_xx _dx

3 –

2

Página 234

3.

Cálculo de áreas

Hazlo tú. Calcula el área limitada por la curva f (x) = x 3 _{– 12x y el eje X entre x = –2 y x = 2.}

• Puntos de corte de la función con el eje X :

x 3 _{– 12x = 0 → x = –2 3, x = 0, x = 2 3}

El único punto de corte situado entre –2 y 2 es x = 0; habrá dos recintos: [–2, 0] y [0, 2].

• Primitiva: G (x) = (

y

x3–12x dx x) _{= 4}4 –6x2

G (–2) = ( )–₄2 4 – –6 2( )2₌–20_{; G (0) = 0; G (2) = –20} • Áreas:

(x3–12x dx G) ( )0 –G( )–2 20

2 0

– = =

9

→ Área [–2, 0] = 20 u2

(x3–12x dx G) ( )2 –G( )0 –20

0 2

= =

y

→ Área [0, 2] = 20 u2

Área total = 20 + 20 = 40 u2

4.

Área limitada por

y

=

f

(

x

) y los ejes de coordenadas

Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función:

f _{(x) = x x})4_{– –2 +6} si ≤_{si >}x_x 1₁

y las rectas x = 0 e y = 0.

1 2

–2 –3

–4 –1 3 4 X

–1 1 2 3 4 5 6

–2 Y

El área pedida es la suma de las áreas del rectángulo de base 1 y altura 4 y de la región limitada por la pa-rábola, el eje X y la recta x = 1.

Área del rectángulo = 1 · 4 = 4 u2

Área de la región = (– –x2 x 6)dx – x₃ – x₂ 6x 13₆ 1

2 3 2

1 2

+ = + =

9

= G u2

5.

Área entre curvas

Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las curvas f (x) = –x 2 + 2x + 4 y g (x) = x 2 + 2x – 4.

• Cortes de f (x) y g (x):

–x 2 _{+ 2x + 4 = x} 2 _{+ 2x – 4 → x = –2, x = 2}

• Entre x = –2 y x = 2, la parábola f (x) está por encima de g (x) porque f (x) está abierta hacia abajo y g (x) lo está hacia arriba.

Área = [–x2 2x 4–(x2 2x–4)]dx (–2x 8)dx – 2₃x 8x 64₃ 2

2 ₂

2

2 3

2 2

– + + + = – + = + _– =

9

y

= G u2

Página 235

6.

Cálculo de áreas

Hazlo tú. Halla el área del recinto limitado por las funciones y = x 2 _{– 4x e y = 5.}

Calculamos los puntos de corte:

x 2 _{– 4x = 5 → x = –1, x = 5}

Primitiva de la función diferencia:

G (x) = (

y

5–x2₊4x dx) ₌5x x– ₃3 ₊2x2

G (5) = 5 5· – 5₃3 ₊2·52₌ 100_{3 ; G (–1) = 5 · (–1) ( ) ( )}

3

1 _{2 1}

3 8

– – 3 ₊ – 2₌–

(5–x2 4x dx G) ( )5 –G( )–1 100_{3 3}8 36

1 5

– + = = + =

y

Área = 36 u2

7.

Cálculo de áreas

Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las siguientes funciones: a) y = x 1+ y = x₂+ b) 1 f (x) = x₂2 g (x) = | x |

a) • Calculamos los puntos de corte:

x+ = +1 x₂1 8 x+ =1 _cx₂+1_m2 8 x=–1, x=3 • Primitiva de la función diferencia:

G (x) =

y

_c x₊1– x₂+1_mdx₌

y

(x₊1)1 2/ dx– ₂1

y

(x₊1)dx_{= 3}2 (x₊1)3– x₄2 – x₂

G (–1) = ₃2 (–1 1₊ )3– –( )₄1 2 _{+ = ; G (3) =} 1₂ 1_{4 ( )} 3

2 3 1 3₄

2 3

12 19

– –

3 2

+ =

• Calculamos el área:

x 1– x₂1 dx G( )3 –G( )–1 ₁₂19 – 1₄ 4₃

1 3

– + = = =

+

c m

y

Área pedida = ₃4 u2

b) • Definimos g (x) en intervalos:

• Puntos de corte de f y g :

, ( )

,

8

8

x _{x x x}

x _{x x x}

2 2 0

2 0 2

– – no vale

2 2

= = =

= = =

• Primitiva de la función diferencia f (x) – g (x):

Si x < 0 →

y

=x₂2 – –( )x dxG =

y

ex₂2 +x dx xo = ₆3 + x₂2

Si x ≥ 0 → x

y

e₂2 –x dx xo = ₆3 – x₂2 • Calculamos el área:

x₂2 x dx x₆ x₂ – ₃2

2

0 3 2

2 0 –e + o == + G_– =

y

x₂2 –x dx x₆ – x₂ –₃2

0

2 3 2

0 2

= =

e o = G

y

Área pedida = ₃2 + = u₃2 ₃4 2

Página 236

8.

Cálculo de áreas

Hazlo tú. Calcula el área del recinto limitado por las funciones y =

x1–1, x > 1; y = 1 y las rectas

x = 1 y x = 4.

La función y = _{x 1}1_– es una hipérbola desplazada horizontalmente de manera que la asíntota vertical se

encuentra en x = 1.

Puntos de corte entre las dos funciones: 8

x1–1 =1 x=2 El área pedida podemos verla en la siguiente gráfica:

1 2

–2

–3 –1 3 4 5 X

–1 1 2 3 4 5 6

–2 Y

El área es la suma del área del cuadrado de lado 1 más el área de la región comprendida entre la función

y = _{x 1}1_– , el eje X y las rectas x = 2 y x = 4.

Área del cuadrado = 12 _{= 1}

Área de la región descrita = _x1_–1 dx ln|x–1| ln3

2 4

2 4

=8 B =

y

E

jercicios y problemas guiados

Página 237

1.

Primitiva que cumple ciertas condiciones

Hallar una función f (x) de la que conocemos f (0) = 1, f ' (0) = 2 y f '' (x) = 3x.

f ' (x) =

y

f x dx''( ) =

y

3x dx= 3₂x2 +k

f ' (0) = 2 → k = 2 → f ' (x) = x3₂2 +2

f (x) =

y

f x dx'( ) =

y

e3₂x2 +2odx x= ₂3 +2x k+ '

f (0) = 1 → k' = 1 → f (x) = x₂3 +2x+1

2.

Gráficas de primitivas

Hallar una primitiva F (x) de la función f (x) = 2x – 4 tal que su gráfica corte al eje X en un único punto.

F (x) = (

y

2x–4)dx x₌ 2–4x k₊

Cuando k = 0 obtenemos una parábola que corta a los ejes en los puntos (0, 0) y (4, 0) y cuyo vértice es el punto (2, – 4). Su gráfica es:

1 2

–1 3 4 5 X

–1 1 2 3 4 5

–2 –3 –4 Y

3.

Cálculo de una constante para un área dada

Determinar el valor de la constante a ≠ 0 para que el área encerrada entre el eje de abscisas y la función f (x) = ax (x – 1) sea igual a 1 u 2_.

Como a ≠ 0, los puntos de corte de la función con el eje X son:

x (x – 1) = 0 → x = 0, x = 1

Primitiva de f (x) → G (x) =

y

ax x( –1)dx a x₌

y

( 2–x dx ax) _{= 3}3 – ax₂2

G (0) = 0; G (1) = a₃ – a₂ =– ₆1a

Por tanto, ax x( –1)dx G( )1 –G( )0 – ₆1a 8 Área –1₆a 0

1

= = =

y

Como a 8 a 8 ±

a a

6

1 ₁ 61 1

6

1 ₁ 6

– = – = = = Z [ \ ]] ]] _ ` a bb bb

4.

Función derivable

Hallar una función f (x), derivable en

Á

, que pase por el punto P (0, 2) y cuya derivada sea:

f ' (x) = )3₂x_x –1 si x_{si x≥}<1₁

Hallamos las primitivas en cada intervalo de definición:

(3x–1)dx= 3₂x2 –x k+

y

'

x dx x k

2 ₌ 2₊

y

Por tanto: f (x) =

≥

'

x _{x k}

x k x x 2 3 ₁ 1 – si si < 2 2 + +

*

Pasa por P (0, 2) → f (0) = 2 → k = 2 y la función es:

f (x) = ' x _x x k x x 2 3 ₁ 1 2 – si si ≥ < 2 2 + +

*

Como es derivable en

Á

, debe ser continua en

Á

y, en particular, en x = 1. Así: f (1) = 1 + k'.

l mí₈

x 1f (x) = 8 = +1 k' 8 k'=

( ') '

l m x x

l m x k k

2 3 ₂ 2 5 1 2 5 2 3 – í í 8 8 x x 1 2 1 2 – + = + = + + e o

*

4

La función es:

f (x) =

E

jercicios y problemas propuestos

Página 238

P

ara practicar

Cálculo de primitivas

1 Halla una primitiva de las siguientes funciones:

a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 2x – 3

c) f (x) = x

2 + x 2 d) f (x) = – 8x 3 + 3x 2

e) f (x) =

x12 + x13 f ) f (x) = x+₅3_x4 g) f (x) =

x x

1 3

+ h) f (x) =

x x 3

2

a)

y

(x + 1) dx = x₂2 +x

b)

y

(2x – 3) dx = x2– 3x

c)

y

_b2x x dx x₊ 2_{l = 4}2 ₊ x₃3

d)

y

(– 8x 3 _{+ 3x} 2_{) dx = –2x} 4 _{+ x} 3

e)

y

( )

x12 x13 dx x x dx x–1 x–2 – –x1 21x

2 3 1 2

2

– – – –

+ = + = + =

e o

y

f )

y

x _/ ·

x dx x x dx x x

x x

53 53 3 2 53 3 3

2

51

– –

/ /

4 1 2 4

3 2 3 3 3

– –

+ = + = + =

e o

y

c m

g)

y

_/ ·

x x dx x x dx x x x x

1

3 / 31 1 2 31 2 2 6

/

1 2 1 2 2 2

–

+ = + = + = +

e o

y

c m

h)

y

x x 3

2

dx =

y

x x2· –1 3/ dx₌

y

x5 3/ dx x_{= 8 3}8 3_// ₌ 33₈x8

2 Integra la función de cada apartado:

a) x3 b) 48x3 _c)

x x x₊ 2

d)

x x –2

2 3

e)

x

3 f )

x2+1 g) xx–22 h) 3 2–_x x

a)

y

3x dx₌

y

3x1 2/ dx₌ 3 x_{3 2}3 2_// _{+ =}k 2 3₃ x3 _{+ =}k 2 3₃x3 ₊k

b)

y

48x dx3 ₌48

y

x3 4/ dx₌ 4 84₇ 4x7₊k

c) ( ) _{/ /}

x

x x dx+ 2 ₌

y

x1 2/ ₊x3 2/ dx x_{= 3 2}3 2/ ₊ x_{5 2}5 2/ _{+ =}k 2₃x3 ₊ 2₅x5 ₊k

y

d) ( )

x

x _{dx x x dx x} x _{k x}

x k

2 ₂

2 2 1 2 2

– _{– –}

–

2

3 _–2 2 –1 2

=

y

= + = + +

y

f )

y

_x2₊₁ dx=2ln|x+ +1| k

g) ln| |

x

x _dx

x x dx x x k

2 1 2 2

– _–

2 =

y

c 2m = + +

y

h)

y

3 2–_x x dx=

y

c_x3 2– mdx=3ln| |x –2x k+

3 Resuelve:

a)

y

sen x₅dx b)

y

cos bx+π₂l dx c)

y

cos x sen x

3 3 dx

d)

y

1 sen x

2 –

b l dx e)

y

sen π x

2 –

b l dx f )

y

cos π

2x dx

a)

y

sen x₅ dx = 5

y

₅1 sen x dx₅ =–5cos x k₅ +

b)

y

cos bx+ π₂l dx = sen xb + π₂l+k

c)

y

_{cos x}sen x₃3 dx = – 1₃

y

3·(_cos–sen x dx_3x3 ) =– ₃1 ln cos| 3x k|+

d)

y

b1–sen x₂l dx = x+2cos ₂x k+

e)

y

sen bπ₂ –xl dx = cosbπ₂ –x kl+

f )

y

cos π₂ x dx = _π2

y

π₂ cos π₂ x dx= _π2 sen π₂ x k+

4 Calcula:

a)

y

e x + 3 _{dx b)}

y

_{3x e} 1 – x 2 _{dx c)}

y

₂x – 7 _{dx d)}

y

₃x/2 _dx

a)

y

e x + 3 _{dx = e} x + 3 _{+ k}

b)

y

3x e 1 – x 2 _{dx = ( x e) dx e k}

2

3 ₂

2 3

– – 1–x2 – 1–x2

= +

y

c)

y

2x – 7 _{dx = · ·}

ln12 ln2 2x dx ln12 2x k 2ln2 k

x

7 7 7

– ₌ – _{+ =} – ₊

y

d)

y

3x/2 _{dx =}

ln

dx k

2

y

₂1 3x/2 ₌ 2 3· ₃x/2 ₊

5 Calcula:

a)

y

(x – 3)3 _{dx b)}

y

_{(2x + 1)}5 _{dx c)}

y

x1+2 dx d)

y

x3 – dx5 e)

y

x dx

23

3 + _{f )}

y

x dx

2 3–1 g)

y

x22₊x dx2 h)

y

_3x2x_–4dx

a)

y

(x – 3)3 _{dx = (}x ) _k

43

– 4

+

b)

y

(2x + 1)5 _{dx = ( x ) dx · (} x ) _k ( x ) _k

2

1 2 2 1 ₂1

6

2 1

12

2 1

5 6 6

+ = + + = + +

y

c)

y

d)

y

x3 – dx = 5 ₃1 3 3 5

y

( x– )1 2/ dx₌ 1₃ · (3x_{3 2}–_/5)3 2/ ₌ 2 3( x₉–5)3 ₊k

e)

y

x3 ₂+3 dx= 2

y

1₂ cx+₂3m1 3/ dx=2· [(x+_{4 3}3 2_/)/ ]4 3/ + =k 3₂ cx₂+3m4+k

f )

y

_2x3_–1 dx= ·1 3₂

y

_2x2_–1 dx= 3₂ ln|2x–1|+k

g)

y

x22+x dx2 = |ln x2+ +2| k h)

y

xx dx

3 2–4 = 61

y

3x62x–4 dx= 16 ln|3x2–4|+k 6 Calcula:

a)

y

x x5 2₊1dx _b)

y

x x _dx 3 – 3 2

c)

y

x22₊xx+1–3dx d)

y

x e x 2 dx

e)

y

x

x _dx

3 2

5

2₊ f )

y

sen 2 x cos x dx g)

y

_x4x_–4dx 3

h)

y

x sen x 2 _dx

a)

y

x x5 2₊1dx _{= ( )}

/

( ) ( )

x x dx x k x k

101 10 5 1 / 101 · 5 3 21 5 151

/

2₊ 1 2 ₌ 2+ 3 2 _{+ =} 2+ 3 ₊

y

b)

y

x x _dx 3 – 3 2 = x

x _{dx x k}

3 2 2 3 3 3 2 ₃ – – 3 2 ₃ = +

y

c)

y

x22 1+xx+–3 dx = |ln x x–3| k

2_{+ +}

d)

y

x e x 2 _{dx = x e dx e k}

2

1 2 x2 ₂1 x2

= +

y

e)

y

x x dx

3 52+2 = 56

y

3x62x₊2 dx= 56 ln|3x2+ +2| k f )

y

sen 2 _{x cos x dx = sen x k}

3

3

+

g)

y

x4x–4 dx

3

= ln| |

x x dx x k

4 1 4 4 4 1 ₄ – – 4 3 ₄ = +

y

h)

y

x sen x 2 _{dx = x sen x dx cosx k}

2

1 ₂

2 1

–

y

– 2 ₌– 2₊

7 Calcula:

a)

y

3e 5x _{dx b)}

y

_x 2 _{· 2}–x 3 + 5 _{dx c)}

y

x e dx

1 x

d)

y

x x x _dx 6 2 3 – –

2 ₊ e)

y

_x

x _dx

55

++ f )

y

33xx––22dx

a)

y

3e 5x _{dx = e k}

5 3 5x₊

b)

y

x 2 _{· 2}–x 3 + 5 _{dx = ·}

ln

x dx k

3

1 _{3 2}

3 2 2

– – 2 –x3 5 – –x3 5

= +

+ +

y

c)

y

xe dx

1 x ₌

x dx e k

2

21 =2 x+

d)

y

x x x _dx 6 2 3 – –

2 ₊ = ₂1

y

_x22_–x₆–_x6₊₂ dx= x2–6x+ +2 k

e)

y

_xx₊+₅5 dx =

x1+5 dx=2

y

2 x1+5 dx=2 x+ +5 k

y

f )

y

x x _dx 3 2 3 2 – – _{= ( )} / ( ) ( )

x dx x dx x k x k

3 –2 _{= 3}1 3 3 2– 1 2/ ₌ 1₃ 3 _{3 2}–2 3 2/ _{+ =} 2 3₉–2 3 ₊

y

y

8 Resuelve las siguientes integrales:

a)

y

x

x x _dx

1 3 4 – –

2 ₊

b)

y

x

x x _dx

3 5 –7 2

+ +

c)

y

x

x x _dx

2 1

2 3 1

– –

2 ₊

d)

y

x

x x _dx

1 3 1

– – 2 2₊

Divide y transforma la fracción así:

divisor

Dividendo cociente

divisorresto

= +

a)

y

x2_x–3_–x₁+4 dx =

y

cx –2+ _x2_–1mdx x= ₂2 –2x+2ln|x–1|+k

b)

y

x2+_x5₊x₃–7 dx =

y

cx+2– _x13₊₃mdx x= ₂2 +2x–13ln|x+ +3| k

c)

y

2x2_2x–3 1_–x₁+ dx = (

y

x–1)dx x= ₂2 –x k+

d)

y

x

x x _dx

1

3 1

– –

2 2₊

= ln| |

x x dx x x k

1 1 3 2 3 ₁ – – 2 2 + = + + e o

y

9 Calcula:

a)

y

x12 sen 1x dx b)

y

5sen bx₂lcosb₂xl dx

c)

y

x x dx d)

y

x2₊21x₊1dx

e)

y

(2x 2 _{+ 1)}2 _{dx f )}

y

x

x _dx

3 2–2

g)

y

x

x x _dx

2

3 2 1

– – 2₊

h)

y

e

e _dx

1 x x

+

i)

y

ln

x x

3 7

– _{dx j)}

_y

e1x cos e –x dx

a)

y

x12 sen 1x dx = cos x1 +k

b)

y

5sen bx₂lcosb₂xl dx = 5 2

y

· ₂1 sen x_b2lcos_b2x dx sen x k_{l =}5 2_b2l+

c)

y

x x dx =

y

x3 4/ dx x_{= 7 4}7 4_// _{+ =}k 44₇x7 ₊k

d)

y

x2+2 11x+ dx =

y

(x₊11)2 dx= x–₊11 +k

e)

y

(2x 2 _{+ 1)}2 _{dx = (4x 4x 1)dx} x x _{x k}

5 4

3 4

4₊ 2_{+ =} 5 ₊ 3 _{+ +}

y

f )

y

x

x _dx

3 2–2 = _xx dx

x _k

3 1

2 3 2

6 3 3 2 – – 2 2 = +

y

h)

y

e

e _dx

1 x

x

+ = |ln 1 e | k

x

+ +

i)

y

ln–7_3x x dx = – 7 1₃

y

_x lnx dx₌– ₃7 ln₂2x k_{+ =}– ₆7 ln2x k₊

j)

y

e1x cos e –x dx = sen e– –x+k

Integral definida

10 Resuelve las siguientes integrales:

a)

x21dx 0

1 +

y

b) x x

x dx 5 1 – 2 2 1 2 + c m

y

a) Calculamos una primitiva:

G (x) =

y

_x2₊₁ dx=2ln(x+1)

_x2₁ dx 2ln(x 1) 2 2ln

0 1

0 1

+ =8 + B =

y

b) Calculamos una primitiva:

G (x) = x x

x dx x x x

5 1 ₃ 5₂ 1

– – – 2 2 3 2 + = c m

y

x x

x dx x x x

5 1 ₃ 5₂ 1 14₃

– – – –

2

2 1

2 3 2

1 2

+ = =

c m = G

y

11 Resuelve las siguientes integrales:

a) (–3x dx2) 2

5

y

b) (2x–1)dx 4

6

y

c) (x3 x dx) 2

2

– +

y

d) 3x dx 1 4

y

e) x dx 1 e 1

y

f ) ex 2dx 1

3 _– –

y

g) π(sen x–cosx dx)

0

y

h) sen x dx2

π π –

y

a) G (x) = (

y

–3x dx2) ₌–x3

G (5) = –125; G (2) = – 8

(–3x dx G2) ( )5 –G( )2 –125– –( )8 –117

2 5

= = =

y

b) G (x) = (

y

2x–1)dx x₌ 2–x

G (6) = 30; G (4) = 12

(2x–1)dx G( )6 –G( )4 30 12 18–

4 6

= = =

y

c) G (x) = (

y

x3₊x dx x) _{= 4}4 ₊ x₂2 G (2) = G (–2) = 6

(x3 x dx G) ( )2 –G( )–2 0

2 2

– + = =

y

d) G (x) =

y

3x dx₌

y

3x1 2/ dx₌ 3_{3 2/}x3 2/ ₌ 2 3₃x3

G (4) = 16 3 ; G (1) = ₃ 2 3₃

( ) ( )

xdx G G

3 4 – 1 16 3₃ – 2 3₃ 14 3₃

1 4

= = =

e) G (x) =

y

1_x dx=ln| |x

G (e) = 1; G (1) = 0

( ) ( )

x dx G e G

1 _{– 1 1}

e

1 = =

y

f) G (x) = e

y

x–2dx e₌ x–2

G (3) = e; G (–1) = e –3

( ) ( )

e dx G G e e e

e ee

3 – –1 – – 1 –1

x 2

1

3 ₃

3 3 4 –

–

–

= = = =

y

g) G (x) = (

y

sen x–cosx dx) =–cosx sen x–

G (π) = 1; G (0) = –1

(sen xcosx dx G) ( )π –G 0 1( ) – –( )1 2

π

0 = = =

y

h) G (x) =

y

sen x dx2 =– ₂1 cos2x

G (π) = – ; G (–₂1 π) = – ₂1

( )π ( )π

sen x dx G2 –G – 0

π π

– = =

y

12 Halla las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a) f (x) = 3x2 _{– 6x en [0, 2] b) f (x) = 2 cos x en [0, π/2]} c) f (x) = (x + 1) (x2 _{– 2) en [–1, 2] d) f (x) = sen x}

4 en [0, π]

a) G (x) = (

y

3x2–6x dx x) ₌ 3–3x2

G (0) = 0; G (2) = – 4

(3x2–6x dx G) ( )2 –G( )0 –4

0 2

= =

9

b) G (x) = cos x dx

y

2 =2sen x

G (0) = 0; G b lπ₂ =2

( )

π

cos x dx G G

2 ₂ – 0 2

/

π

0 2

= b l =

y

c) ( )G x ₌

y

(x₊1)(x2–2)dx₌

y

(x3₊x2–2x–2)dx x_{= 4}4 ₊ x₃3 –x2–2x

( ) ; ( )

G –1 = ₁₂11 G 2 =– ₃4

(x 1)(x2–2) G( )2 –G( )–1 – –4₃ 11₁₂ –₄9

1 2

– + = = =

9

d) ( )G x =

y

sen x₄ =–4cos ₄x

( ) ; ( )π

G 0 =–4 G =– 4 2₂ =–2 2

( )π ( )

sen x G₄ –G 0 –2 2 4

π

0 = = +

Página 239

Cálculo de áreas

13 Calcula el área encerrada por la función f (x) = –x (x – 4) y el eje X. Representa el recinto cuya área has calculado.

Cortes con el eje X:

–x (x – 4) = 0 → x = 0, x = 4

La función dada es una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice es el punto (2, 4). Por tanto: Área = –x x( –4)dx (–x 4x dx) – x₃ 2x 32₃

0

4 ₂

0

4 3 ₂

0 4

=

y

+ == + G =

y

u2

El recinto es:

1 2

–1 3 4 5 X

–1 1 2 3 4

–5 –2 –3 –4 Y

14 Halla, en cada caso, el área limitada por:

a) f (x) = x2 _{– 4, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.} b) f (x) = 2x – x2_{, el eje X y las rectas x = –1 y x = 1.} c) f (x) = x2 _{– 2x – 3 y el eje X.}

d) f (x) = 1 – x2_{, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.} e) f (x) = ex_{, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.}

f) f (x) = x2 _{+ 1, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.}

a) • Puntos de corte con el eje X : x 2 _{– 4 = 0 → x}

1 = –2, x2 = 2. Solo nos sirve x2 = 2.

• Hay un recinto: [0, 2] • ( )G x ₌

y

(x2–4)dx x_{= 3}3 –4x

• ( )G 2 =– 16₃ ; ( )G 0 0=

• Área = | G (2) – G (0) | = 16 u₃ 2

4 –4

2 4

–2 2

–2

b) • Puntos de corte con el eje X : 2x 2 _{– x} 2 _{= 0 → x}

1 = 0, x2 = 2

• Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 1]

• ( )G x ₌

y

(2x x dx x– 2) ₌ 2– x₃3

• ( )G – =1 ₃4; ( )G 0 0= ; ( )G 1 = ₃2

• Área del recinto I = | G (0) – G (–1) | = ₃4

Área del recinto II = | G (1) – G (0) | = ₃2

Área total = ₃4 + = = u₃2 ₃6 2 2

4 I

–4 2 4

–2 –4 2 –2

II

c) • Puntos de corte con el eje X : x 2 _{– 2x – 3 = 0 → x}

1 = –1, x2 = 3

• Hay un recinto: [–1, 3]

• ( )G x ₌

y

(x2–2x–3)dx x_{= 3}3 –x2–3x

• ( )G –1 = ₃5; ( )G 3 =–9

• Área = | G (3) – G (–1) | = 9– – ₃5 = 32₃ u2

4 –4

2 4

2 –2

–2 –4

d) • Puntos de corte con el eje X : 1 – x 2 _{= 0 → x}

1 = –1, x2 = 1

• Hay tres recintos: I [–2, –1]; II [–1, 1]; III [1, 2]

• ( )G x ₌

y

(1–x dx x x2) ₌ – ₃3

• ( )G –2 = ₃2; ( )G –1 =– ₃2

( )G 1 = ₃2; ( )G 2 =– ₃2

4 –4

2 4

–2 –4

II III I

• Área del recinto I = | G (–1) – G (–2) | = – –₃2 ₃5 = ₃4

Área del recinto II = | G (1) – G (–1) | = ₃2 – –c m₃2 = ₃4

Área del recinto III = | G (2) – G (1) | = ₃4

Área total = ·3 ₃4 4= u2

e) • No corta al eje X. • ( )G x ₌

y

e dx ex ₌ x

• ( )G –1 ₌e–1; ( )G 3 ₌e3

• Área = | G (3) – G (–1) | = e 3 _{– e} –1 _{= e ≈ ,}

e e e

1 _{1 19 7}

– –

3 ₌ 4 _u2 –4 –2 2 4

5 10 15 20

f ) • No corta al eje X .

• ( )G x ₌

y

(x2₊1)dx x_{= 3}3 ₊x

• ( )G –1 =–₃4; ( )G 3 12=

• Área = | G (3) – G (–1) | = 40 u₃ 2

4 8 12

15 Halla el área delimitada por la parábola y = 2x 2 _{– 2x – 4, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.} Representa el área obtenida.

Cortes con el eje X → 2x 2 _{– 2x – 4 = 0 → x = –1, x = 2. De los dos valores obtenidos, x = –1 se}

encuentra entre los límites x = –2 y x = 2. Primitiva de la función:

G (x) = (

y

2x2–2x–4)dx₌ 2₃x3 –x2–4x

G (–2) = ·( )2 –₃2 3 – –( )2 2–4·( )–2 ₌–₃4; ( )G –1 _{= 3}7; ( )G 2 ₌– 20₃

(2x2–2x–4)dx G( )– –1 G( )–2 7₃ – – 4₃ 11₃

2 1 –

–

= = c m=

y

(2x2–2x–4)dx G( )2 –G( )–1 –20₃ – 7₃ –9

1 2

– = = =

y

Área total = 11 9₃ + = 38₃ u2

Para representar la función debemos tener en cuenta que la parábola está abierta hacia arriba y que el vértice es el punto

, 2 1

2 9 –

c m. _{–6 –4 –2 2 4 6 X}

–2 2 4 6 8 10

–4 –6 Y

16 Calcula el área comprendida entre las curvas: a) y = x2; y = x

b) y = x2_{; y = 1} c) y = x2_{; y = x}3 d) y = x2_{; y = –x}2 _{+ 2x}

e) y = 2x2 _{+ 5x – 3; y = 3x + 1} f ) y = 4 – x2_{; y = 8 – 2x}2

a) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 _{– x = 0 → x}

1 = 0, x2 = 1

• ( )G x ₌

y

(x2–x dx x) _{= 3}3 – x₂2 • G(0) = 0; G (1) = – ₆1

• Área = | G (1) – G (0) | = ₆1 u2

–1 1

–1 1 2

b) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 _{– 1 = 0 → x}

1 = –1, x2 = 1

• ( )G x ₌

y

(x2–1)dx x_{= 3}3 –x

• ( )G –1 = ₃2; ( )G 1 =– ₃2

• Área = | G (1) – G (–1) | = ₃4 u2 –1

2

1

c) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 _{– x} 3 _{= 0 → x}

1 = 0, x2 = 1

• ( )G x ₌

y

(x2–x dx x3) _{= 3}3 – x₄4

• G (0) = 0; G (1) = ₁₂1

• Área = | G (1) – G (0) | = ₁₂1 u2

–2 –1 1 2

–2 –1 1 2

d) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 _{– (–x} 2 _{+ 2x) = 2x} 2 _{– 2x = 0 → x}

1 = 0, x2 = 1

• ( )G x ₌

y

(2x2–2x dx) ₌ 2₃x3 –x2

• G (0) = 0; G (1) = –₃1

• Área = | G (1) – G (0) | = ₃1 u2

–2 1 2

–1

–2 –1 1 2

e) • Puntos de corte entre las curvas:

2x 2 _{+ 5x – 3 – (3x + 1) = 2x} 2 _{+ 2x – 4 = 0 → x}

1 = –2, x2 = 1

• ( )G x ₌

y

(2x2₊2x–4)dx₌ 2₃x3 ₊x2–4x

• ( )G –2 = 20₃ ; ( )G 1 =– ₃7

• Área = | G (1) – G (2) | = – –₃7 20₃ = 27 9₃ = u2

–4 –2 2

2 4

4

–4 –2

f ) • Puntos de corte entre las curvas: 4 – x 2 _{– (8 – 2x} 2_{) = x} 2 _{– 4 = 0 → x}

1 = –2, x2 = 2

• ( )G x ₌

y

(x2–4)dx x_{= 3}3 –4x

• ( )G –2 = 16₃ ; ( )G 2 =– 16₃

• Área = | G (2) – G (–2) | = 32 u₃ 2

–4 6

4

–6 –2 2

–2 2

P

ara resolver

17 Calcula el área de los recintos limitados por:

a) La función f (x) = x2 _{– 2x + 1 y los ejes de coordenadas.} b) La curva y = x3_{, la recta x = 2 y el eje X.}

c) La función y = sen x, el eje de abscisas y las rectas x = π

4 y x = – π4. d) La función y = cos x y el eje X entre x = 0 y x = π.

a) • f (x) = x 2 _{– 2x + 1 = (x – 1)}2 _{= 0 → x = 1}

• ( )G x ₌

y

(x–1)2dx₌ (x–₃1)3

• ( )G 0 =– ₃1; G (1) = 0

• Área = | G (1) – G (0) | = ₃1 u2 2

1 2 3

1 3

b) • x 3 _{= 0 → x = 0}

• ( )G x ₌

y

x dx x3 _{= 4}4

• ( )G 0 0= ; ( )G 2 4=

• Área = | G (2) – G (0) | = 4 u2

2 –2

4 8

1 –4 –8 –1

c) • sen x = 0 → x = 0 bentre – π₄ y π₄l

• Hay dos recintos: I –: π₄,0D; II:0, π₄D

• ( )G x =

y

sen x dx=–cosx

• Gbπ₄l=Gb–π₄l=– ₂2; ( )G 0 =–1

• Área del recinto I = ( )G 0 –Gb– π₄l = –1+ ₂2 =0 29,

Área del recinto II = Gb lπ₄ –G( )0 =1– ₂2 0 29= , Área total = 2 · 0,29 ≈ 0,58 u2

1 2

–2 –1

π

—

4

π

d) • cos x = 0 → x = π₄ (entre 0 y π)

• Hay dos recintos: ,I: D0 π₂ ; II:π₂,0D

• ( )G x =

y

cosx dx sen x=

• ( )G 0 0= ; Gb lπ₂ =1; ( )G π =0

• Área del recinto I = Gb lπ₂ –G( )0 =1 Área del recinto II = | ( )G π –G 0 1( )|= Área total = 1 + 1 = 2 u2

2

–2 –1

π

II I 1

π

—

₂

18 Calcula el área comprendida entre las curvas:

a) y = x2 e y = 3 – 2x b) y = 4 – x2 e y = 3x2 c) y = x e y = x2 _{– 2 d) y = 4 – x}2 _{e y = x}2 _{– 4}

e) y = (x + 2)2 _{(x – 3) y el eje de abscisas.}

a) x 2 _{– (3 – 2x) = x} 2 _{+ 2x – 3 = 0 → x}

1 = –3, x2 = 1

• ( )G x ₌

y

(x2₊2x–3)dx x_{= 3}3 ₊x2–3x

• ( )G –3 0= ; ( )G 1 =– ₃5

• Área = | G (1) – G (–3) | = 32 u₃ 2

4 –4

8 12

–2 –4

4

2

b) 4–x2–3x2 4 4– x2 0 8 x –1, x 1

1 2

= = = =

• ( )G x ₌

y

(4 4– x dx2) ₌4x– 4₃x3 • ( )G –1 =–₃8; ( )G 1 = ₃8

• Área = | G (1) – G (–1) | = 16 u₃ 2

4 –4

2 4

2 –2