D OMINIO DE LA FUNCIÓN

Funciones escalares

E

STUDIO

G

RÁFICO DE

F

UNCIONES

E

SCALARES

Una función es una relación entre dos conjuntos, el primer conjunto es el dominio de la función y el segundo es el codominio. Para que una relación sea función cada elemento del dominio tiene que tener un y un sólo un correspondiente o imagen en el codominio. Esa correspondencia la establece la regla de asignación o ley de asignación o regla de transformación de la función.

Una función escalar es una función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de números reales, en símbolos:

𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵/𝑦 = 𝑓(𝑥) ∧ 𝐴 = Dom 𝑓 ⊂ ℝ ∧ 𝐵 = Cod 𝑓 ⊂ ℝ

La variable “𝑥” representa cualquier valor de dominio, y la variable “𝑦” es la correspondiente ima-gen de “𝑥” dada por la regla de asignación de la función. En general la regla de asignación 𝑦 = 𝑓(𝑥)

de una función escalar es una fórmula que transforma valores “𝑥” del dominio en valores “𝑦” del codominio. La variable “𝑥” es la variable independiente, y la variable “𝑦” es la variable independien-te.

En general, las funciones escalares se representan mediante gráficos en coordenadas cartesianas ortogonales. Estas coordenadas cartesianas determinan el plano cartesiano. Los valores de la varia-ble independiente van en el eje de abscisas y los valores de la variavaria-ble dependiente en el eje de or-denadas. De esta manera a cada par (𝑥; 𝑦) de la función le corresponde un punto del plano carte-siano. El conjunto de pares de puntos define la curva representativa de la función.

En lo que sigue haremos un estudio gráfico de funciones, es decir, de la observación y estudio de un gráfico deduciremos el comportamiento de una función.

D

OMINIO DE LA FUNCIÓN

𝐴 = Dom 𝑓 ⊂ ℝ

El dominio de una función escalar es un subconjunto de números reales. El dominio es el conjunto de todos los números reales cuya imagen, dada por la regla de asignación, sea un número real.

𝐴 = Dom 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ ℝ}

En el gráfico debemos observar si la función está definida para todos los puntos del eje de abscisas. En principio podemos suponer que el dominio de la función es el conjunto de números reales, si el gráfico nos indica lo contrario debemos determinar el intervalo o intervalos que componen el do-minio.

C

ODOMINIO

𝐵 = Cod 𝑓 ⊂ ℝ

C

I

El conjunto imagen de una función escalar es un subconjunto del codominio. El conjunto imagen es el conjunto de todos los números reales que son imagen de algún punto del dominio. Estas imáge-nes están dadas por la regla de asignación.

Im 𝑓 = {𝑦 ∈ Cod 𝑓|(∃𝑥 ∈ Dom 𝑓|𝑦 = 𝑓(𝑥))}

En forma similar al dominio, el gráfico nos indicará el conjunto imagen.

Dominio: ℝ Codominio: ℝ

Imagen: ℝ

Dominio: [−6; +∞) Codominio: ℝ Imagen: (−∞; 8]

Dominio: (−8; 9] Codominio: ℝ Imagen: [−4; 6]

P

UNTOS

N

OTABLES

O

:

Si la curva intercepta al eje de ordenadas, el valor de la ordenada donde la gráfica de la función in-tercepta a este eje es la ordenada al origen. La ordenada al origen es la imagen de cero. Es decir, la ordenada al origen es el valor que toma y cuando 𝑥 = 0, entonces 𝑦 = 𝑓(0).

Si 0 ∈ Dom 𝑓 ⟹ 𝑦 = 𝑓(0) es ordenada al origen de 𝑓 x+

y+

-6

8

x+ y+

-8

6

9

-4

x+ y+

1 _x+

y+

0 -9

6

x+ y+

-3

1 9

6

C

:

Las intercepciones de la curva con el eje de abscisas son los ceros de la función, se los llama ceros porque estos puntos del dominio tienen como imagen a 𝑦 = 0, por lo tanto, 𝑎 es un cero de la fun-ción si 𝑓(𝑎) = 0.

𝑎 ∈ Dom 𝑓 es un cero de 𝑓 sii 𝑓(𝑎) = 0

El conjunto de ceros se indica con 𝐶₀.

𝐶0 = {𝑥 ∈ Dom 𝑓|𝑓(𝑥) = 0}

La gráfica de la función corta al eje de abscisas en 𝑥 = −1, entonces

el conjunto de ceros es: 𝐶0 =

{−1}.

La gráfica de la función tiene tres ceros, en 𝑥 = −4, 𝑥 = 1y en 𝑥 = 7, el conjunto de ceros es:

𝐶0 = {7; 1; −4}.

La gráfica de esta función no corta al eje de abscisas, por lo tanto la función no tiene ceros, el conjunto

de ceros es: 𝐶0 = ∅.

E

:

Los extremos son los puntos de la función en los que ésta alcanza valores máximos o mínimos. Un extremo puede ser absoluto o relativo.

E

:

Un extremo es relativo o local, cuando no es superado por ningún otro valor de la función vecino a él.

𝑎 ∈ Dom 𝑓 es un mínimo relativo de 𝑓 sii ∀𝑥 ∈ E′_{(𝑎): 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑥)}

𝑎 ∈ Dom 𝑓 es un máximo relativo de 𝑓 sii ∀𝑥 ∈ E′_{(𝑎): 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑥)}

E

:

Un extremo es absoluto cuando no es superado por ningún otro valor de la función.

𝑎 ∈ Dom 𝑓 es un mínimo absoluto de 𝑓 sii ∀𝑥 ∈ Dom 𝑓: 𝑥 ≠ 𝑎 ⟹ 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑥) 𝑎 ∈ Dom 𝑓 es un máximo absoluto de 𝑓 sii ∀𝑥 ∈ Dom 𝑓: 𝑥 ≠ 𝑎 ⟹ 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑥) -1

x+ y+

-4 1 7

x+ y+

Esta función tiene un máximo local en (−6; 7), y un mínimo local en

(−1; −3). No tiene extremos abso-lutos.

Esta otra función tiene un mínimo local en el extremo izquierdo del dominio, en (−8; 1), y en (5; −8),

además este último es mínimo absoluto. En (1; 4) hay un máximo local. La función no tiene máximos

absolutos.

Esta función tiene mínimos locales en (−2; 2) y en el extremo derecho

del dominio (7; −7), además este es mínimo absoluto. La función tiene máximos locales en (1; 4) y en el extremo izquierdo del

domi-nio, en (7; −7).

C

ONJUNTOS DE POSITIVIDAD Y DE NEGATIVIDAD

C

P

El conjunto de positividad es el conjunto de los puntos del dominio que tienen imágenes positivas, es decir un valor 𝑥 pertenece al conjunto de positividad si 𝑓(𝑥) > 0.

𝐶+_{= {𝑥 ∈ Dom 𝑓|𝑓(𝑥) > 0}}

C

N

El conjunto de negatividad es el conjunto de los puntos del dominio que tienen imágenes negativas, es decir un valor 𝑥 pertenece al conjunto de positividad si 𝑓(𝑥) < 0.

𝐶−_{= {𝑥 ∈ Dom 𝑓|𝑓(𝑥) < 0}}

7

-5 -1

-3

x+ y+

1 4

5

-8

x+ y+

-2 2

-5 7

4

1

-7

La función es positiva en los intervalos [−7; 1) y

(5; +∞), y negativa en el intervalo (1; 5). El conjunto de positividad es: 𝐶+= [−7; 1) ∪ (5; +∞) y el de

negatividad: 𝐶− = (1; 5).

Esta función es negativa para todo valor de su domi-nio, el conjunto de negatividad es: 𝐶−= (−∞; 8), y el

conjunto de positividad es: 𝐶+= ∅.

C

ONJUNTOS DE CRECIMIENTO Y DE DECRECIMIENTO

C

C

𝑓 es creciente en un conjunto 𝐷 sii ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷: 𝑥2 ≥ 𝑥1⟹ 𝑓(𝑥2) ≥ 𝑓(𝑥1)

El conjunto de crecimiento es el conjunto de los puntos del dominio, para los cuales la función es creciente, es decir: 𝑥 pertenece al conjunto de crecimiento si 𝑓(𝑥) es creciente. El conjunto de cre-cimiento se indica con 𝐶 ↑.

𝐶 ↑= {𝑥 ∈ Dom 𝑓|𝑓(𝑥) es creciente}

C

D

𝑓 es decreciente en un conjunto 𝐷 sii ∀𝑥₁, 𝑥₂ ∈ 𝐷: 𝑥₂ ≥ 𝑥₁ ⟹ 𝑓(𝑥₂) ≤ 𝑓(𝑥₁)

El conjunto de decrecimiento es el conjunto de los puntos del dominio, para los cuales la función es decreciente, es decir: 𝑥 pertenece al conjunto de decrecimiento si 𝑓(𝑥) es decreciente. El conjunto de decrecimiento se indica con 𝐶 ↓.

𝐶 ↓= {𝑥 ∈ Dom 𝑓|𝑓(𝑥) es decreciente}

-7 1 5

1 _x+

y+

8

-4

La función crece en el intervalo

(−∞; −2 ) y decrece en el intervalo

(−2; −∞ ). El intervalo de creci-miento es 𝐶 ↑= (−∞; −2 ) y el de

decrecimiento: 𝐶 ↓= (−2; +∞)

Esta función tiene como intervalo de crecimiento a: 𝐶 ↑=

(−∞; −3) ∪ (3; +∞), y como in-tervalo de decrecimiento a:

𝐶 ↓= (−3; 3).

Esta función decrece para todo punto de su dominio, su conjunto de decrecimiento es 𝐶 ↓= ℝ, y su conjunto de crecimiento es 𝐶 ↑= ∅

A

SÍNTOTAS

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de una función se aproxima indefinidamente, cuando

𝑥 o 𝑦 tienden a crecer infinitamente en el sentido positivo y a decrecer infinitamente en el negativo. La distancia de la asíntota a la gráfica de la función se hace cada vez más pequeña cuando más grande sea el valor de 𝑥 o el valor de 𝑦.

De acuerdo con el crecimiento de 𝑥 o de 𝑦 las asíntotas se clasifican en verticales, horizontales y oblicuas.

A

:

Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la gráfica de la función se acerca infinitésima-mente cuando los valores de 𝑦 crecen infinitamente en sentido positivo y/o decrecen infinitamente en sentido negativo. Formalmente tenemos:

𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de 𝑦 = 𝑓(𝑥) sii lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ∞

El valor de 𝑎 es un punto de acumulación del dominio, es decir 𝑎 puede pertenecer al dominio o no, pero cualquier entorno reducido que lo tenga como centro debe contener puntos del dominio. La gráfica de una función puede tener una, varias, o infinitas asíntotas verticales, así como puede ser que no tenga ninguna.

A

:

Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la función se acerca infinitésimamente cuando los valores de 𝑥 crecen infinitamente en sentido positivo o decrecen infinitamente en

senti-7

-2

x+ y+

-3 3

-5

-1 7

7

x+ y+

A

:

Una asíntota oblicua es una recta 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 a la que la función se acerca infinitésimamente cuan-do tanto los valores de 𝑥 como los de 𝑦 crecen infinitamente. Formalmente:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una asíntota oblicua de 𝑦 = 𝑓(𝑥) sii lim

𝑥→∞|𝑓(𝑥) − [𝑚𝑥 + 𝑏]| = 0

La gráfica de una función puede tener una, dos o ninguna asíntota oblicua.

Esta función tiene una asíntota vertical, la ecuación de esta recta

vertical es 𝑥 = 0.

Esta otra función tiene una asíntota horizontal. La ecuación de esta

recta horizontal es 𝑦 = −3

Y ésta tiene una asíntota oblicua. Esta recta pasa por los puntos

(0; −3) y (6; 0). La ecuación de la asíntota es 𝑦 =1₂𝑥 − 3 0

x+ y+

-3

x+ y+

-3

x+ y+

E

JEMPLO

:

Estudie la siguiente función, dada en forma gráfica, y determine:

Dominio, codominio, conjunto imagen, puntos notables, conjuntos de crecimiento y de decre-cimiento, conjuntos de positividad y de negatividad y asíntotas.

x+ y+

Dominio:

El gráfico nos indica que el dominio es el conjunto ℝ de números reales: Dom 𝑓 = ℝ.

Codominio:

La función es una función escalar, así que el codominio es el conjunto de números reales:

Cod 𝑓 =ℝ.

Conjunto Imagen:

Del gráfico obtenemos que: Im 𝑓 = [−7; +∞).

Puntos notables:

Ordenada al origen: La gráfica corta al eje de ordenadas en 𝑦 = −3.

Ceros: La curva corta al eje de abscisas en: 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, y 𝑥 = 7, El conjunto de ceros es:

𝐶0= {1; 3; 7}

Extremos: La función tiene dos mínimos locales en (−1; −4) y en (5; −7), además este último es

un mínimo absoluto. Hay un máximo relativo en (2; 1), la función no tiene máximos absolu-tos.

Conjunto de crecimiento:

La función crece cuando los puntos del dominio pertenecen a los intervalos (−1; 2) y (5; +∞), entonces 𝐶 ↑= (−1; 2) ∪ (5; +∞ ).

Conjunto de decrecimiento:

La función decrece cuando los puntos del dominio pertenecen a los intervalos (−∞; −1) y (2; 5), entonces 𝐶 ↓= (−∞; −1) ∪ (2; 5 ).

Asíntotas: