GUÍA DE MATEMÁTICA IV PERIODO

Por favor lea detenidamente toda la guía, encontrará información muy útil.

UNIDAD 2. FUNCIONES

Función cuadrática

Es una función de variable real definida por:

y = f (x) = ax² + bx + c donde a, b y c son números reales y a ≠ 0 La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Si: a > 0 la parábola abre hacia arriba a < 0 la parábola abre hacia abajo

Para graficar una función cuadrática es necesario conocer, las coordenadas del vértice además los intersectos o puntos de corte con los ejes X ʌ Y

GUÍA DE MATEMÁTICA IV PERIODO - 2021

ASIGNATURA: Matemáticas UNIDAD 2 “Función Cuadrática”

DOCENTE: Guiovanny Chilito Waltero Email: [email protected]

Celular: 3006216207

GUÍA: No 1

Función cuadrática

OBJETIVO DE LA GUIA:

Preparar a las estudiantes en cuanto al reconocimiento y caracterización de la función cuadrática

GRADO: 9°

CURSOS: A y B

PERIODO DE DESARROLLO DE LA GUÍA: Del 30 de septiembre al 20 de Octubre de 2021.

ENTREGA DE PRODUCCION: -Revisión compromiso, se informará en el transcurso del desarrollo de la guía.

PENSAMIENTO: Variacional y espacial

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Razonamiento , Comunicación y Resolución.

RECURSOS NECESARIOS: Plataforma institucional, computador, Tablet, celular, calculadora, Libro del estudiante

“Matemáticas 9”

APRENDIZAJES ESPERADOS: Las estudiantes establezcan relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas, así como la resolución y formulación de problemas geométricos que requieren soluciones técnicas adecuadas de estimación.

Vértice →V (x, y). Es el punto mínimo en una parábola que abre hacia arriba y es el punto máximo en una parábola que abre hacia abajo. Las coordenadas del vértice están dadas por:

V (x, y) x = ^−𝑏

2𝑎 ʌ y = f (^−b_2a)

Para hallar los intersectos con los ejes se tiene en cuenta lo siguiente:

 Intersecto o punto de corte con el eje “x” se iguala a cero la función o variable “y” → f(x) = 0

 Intersecto o punto de corte con el eje “y” se iguala a cero la variable “x” → x = 0 Por ejemplo, Representar gráficamente en un plano cartesiano, además determinar el dominio y el rango de la función dada:

f(x) = x² + 4x +3

a = 1 ʌ b = 4 ʌ c = 3 , como a > 0 la parábola abre hacia arriba

 hallamos el vértice, recordemos que: V = ( ^−𝑏

2𝑎, f(^−b

2a))

 Calculamos x = ^−𝑏

2𝑎

−𝑏

2𝑎 = ⁻⁴

2(1) = ⁻⁴

2 = - 2 , por ende el valor de x = - 2

 Luego calculamos y = f (^−b_2a) Como x = ^−𝑏

2𝑎 = -2, entonces reemplazamos este valor en la función inicial→ f(x) = x² + 4x +3 Quedando así:

f(-2) = (-2)² + 4(-2) + 3 f(-2) = 4 - 8 + 3

f(-2) = -1, por ende el valor de y = - 1

Las coordenadas del vértice son → V = (-2, -1)

 Hallamos los intersectos o puntos de corte con los ejes.

 Punto de corte o Intersecto “y” , para encontrar dichos puntos de corte con el eje “y”, se encuentran los valores de “y” para los cuales x = 0. reemplazamos este valor en la función inicial → f(x) = x² + 4x +3

f(0) = (0)² + 4(0) + 3

f(0) = 3 , de tal manera que el y-intersecto tiene de coordenadas (0, 3)

 Punto de corte o Intersecto “x” , para encontrar dichos puntos de corte con el eje “x”, se encuentran los valores de “x” para los cuales f(x) = 0. reemplazamos este valor en la función inicial → f(x) = x² + 4x +3

0 = x² + 4x +3 → x² + 4x +3 = 0

(x+3) (x+1) = 0 → factorizando (busco dos números que sumados den 4 y que multiplicados den 3 Despejando x tenemos

(x+3) = _(x+1)⁰ (x+1) = _(x+3)⁰

x+3 = 0 x+1 = 0

x = -3 x = -1

x = -3 ʌ x = -1

se puede observar que hay dos puntos de corte para el eje “x” por lo tanto, el x-intersecto tiene de coordenadas para cada punto (-3, 0) ʌ (-1, 0)

 Ya con esta información se puede construir la tabla de valores y posteriormente la gráfica, sin embargo, se pueden dar pares de valores para “x” que se encuentren a la misma distancia del valor de la abscisa del vértice, tomando un valor a la derecha y otro a la izquierda.

Para este caso solo fue necesario tomar un valor adicional,

Si x = -4, entonces reemplazamos este valor en la función→ f(x) = x² + 4x +3, quedando así:

f(-4) = (-4)² + 4(-4) + 3 f(-4) = 16 - 16 + 3

f(-4) = 3 con este valor de “Y” se completa la tabla de valores

Tabla de valores de ƒ (x) = x² + 4x +3 x -4 -3 -2 -1 0 y = f(x) 3 0 -1 0 3

 Por último, se ubican los puntos en el plano cartesiano y se procede a trazar una línea curva que une dichos puntos.

hos puntos.

 A partir de la gráfica se obtiene el dominio y el rango de la función

Dominio de la función → D(f) = x ϵ ℝ Rango de la función → R(f) = y ϵ ℝ [-1, + ∞)

En el siguiente link observara un video con herramientas que te permiten fácilmente graficar una Función Cuadrática

https://www.youtube.com/watch?v=TAdPHHbq9z4

Dominio o campo de existencia de una función

Dada una función

ƒ : ℝ

→

ℝ,

se define el dominio o campo de existencia de la función como el conjunto de números reales x para los cuales existe

ƒ

(x). Se representa mediante Dom(

ƒ).

Dom(ƒ) = {x ϵ ℝ / existe ƒ(x)}

El dominio de la función coincide con el conjunto de partida.

Por ejemplo, el dominio de la función ƒ =

{

(1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8)

}

definida del conjunto X =

{

1, 2, 3, 4, 5

}

en el conjunto Y =

{

4, 5, 6, 7, 8

}

, es Dom(ƒ):

{

1, 2, 3, 4, 5

}

Si una función viene determinada por una fórmula, para obtener el dominio de la función debemos tener en cuenta, las restricciones que tienen las operaciones algebraicas con números reales:

 No está permitido dividir ningún número real por 0.

 Se permiten radicales de índice par sólo si el radicando es mayor o igual a 0.

 Se permiten logaritmos sólo si el argumento es mayor estricto que 0

O en el caso de ser una función polinómica, el dominio de la función viene dado por todos los números reales,

Recordemos que es una función polinómica

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio:

Por ejemplo, f(x)=3x⁴-5x+6

Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.

 las de grado cero como f(x)=2, son rectas horizontales.

 las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas oblicuas.

 las de grado dos, como f(x)=2x²+4x+3, son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.

Rango o recorrido de una función

Dada una función

ƒ : ℝ

→

ℝ

, se define el rango, recorrido o imagen de la función como el conjunto de números reales que resultan al calcular la imagen de todos los valores del dominio.

Se representa mediante Ran(

ƒ)

, Rec(

ƒ) o

Im(

ƒ).

Ran(ƒ) = {y ϵ ℝ / existe x ϵ Dom(ƒ) tal que ƒ(x)= y}

De lo anterior se deduce que el rango de una función es el conjunto de imágenes de la función.

Al conjunto de llegada de una función se le llama codominio de la función.

Por ejemplo, el dominio de la función ƒ =

{

(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)

}

definida del conjunto X =

{

1, 2, 3, 4

}

en el conjunto Y =

{

4, 5, 6, 7, 8

}

, el rango es Ran(ƒ) =

{

4, 5, 6, 7

}

,mientras que el codominio o conjunto de llegada es Y =

{

4, 5, 6, 7, 8

}

^.

Obtención del dominio y recorrido de una función mediante su gráfica

 El DOMINIO de una función se puede obtener proyectando sobre el eje X cada uno de los puntos de la gráfica.

 El RECORRIDO de una función se puede obtener proyectando sobre el eje Y cada uno de los puntos de la gráfica

Compromiso

Para la función dada, determinar:

a. Los intersectos o puntos de corte con el eje “x” ʌ “y”

b. Las coordenadas del vértice.

c. Construir la gráfica en el plano cartesiano d. Determinar el dominio D(f) y rango R(f)

i. f(x) = 𝑥² + 8x + 15

ii. f(x) = −𝑥² + 6x → es equivalente a y = −𝑥² + 6x

iii. f(x) = 2𝑥² + 2x - 4 → es equivalente a y = 2𝑥² + 2x - 4

Descubre la explicación de la solución del ejercicio i → f(x) = 𝑥² + 8x + 15 en el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=E6ysFJEIyEc