guia de funci08

(1)

Universidad Metropolitana Semestre 08- 09A Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería

Cálculo I (FBMI01)

Profesora Aida Montezuma

Revisión: Profesora Ana María Rodríguez

FUNCIONES ELEMENTALES

(2)

Resumen tomado del problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar

2 FUNCIONES

Una función f de A en B es una relación que a cada elemento x del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B, llamado f(x). Se escribe:

) ( B A :

x f x f

→ →

• El conjunto A se denomina dominio de la función. Se denota por Dom_f . • A f(x) se le denomina imagen de x mediante f.

• El conjunto de todas las f(x)se denomina rango dela función. Se denota Rg_f . • Si A⊆R y B⊆ R la función se denomina función real de variable real.

• La representación en el plano de todos los pares

(

x,f(x)

)

se denomina gráfica de la función.

Funciones pares e impares:

• Una función real de variable real f es par si f(−x)= f(x) para toda x. En este caso, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y.

• Una función real de variable real f es impar si f(−x)=−f(x) para toda x. En este caso, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje origen.

Funciones crecientes y decrecientes:

• Una función real de variable real f es creciente en un intervalo I si y sólo si

( ) ( )

1 2

2

1 x f x f x

x < ⇒ < para todo par de números x1 y x2 en I.

• Una función real de variable real f es decreciente en un intervalo I si y sólo six₁<x₂ ⇒ f

( ) ( )

x₁ > f x₂ para todo par de números x1 y x2 en I.

(3)

3 ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIÓN POLINÓMICA

La función real de variable real definida por f(x)=a0+a1x+a2x2+La_nxn donde a0,a1,L,an

son números reales se denomina función polinómica. Se escribe

n nx

a x a a x f x f

+ + + = →

→

L 1 0

) ( R R :

Si an ≠0, el grado es n.

Dominio: El dominio de toda función polinómica es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

CASOS PARTICULARES

Función constante:

La función real de variable real definida por f(x)=b donde b es un número real se denomina función constante. Se escribe:

b x f x f

= →

→

) ( R R :

i) Dominio: El dominio de toda función constante es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de toda función constante es el conjunto unitario que contiene a b, es decir

{ }

b

Rg_f = .

iii) Gráfica: La gráfica de toda función constante es una recta paralela al eje x que interseca al eje y en el punto

( )

0,b .

Ejemplo

(4)

4

i) Dom_f =R ii) Rg_f =

{ }

−2

iii) Gráfica de f :

-3 -2 -1 0 1 2 3

Función afín

La función real de variable real definida por f(x)=ax+b donde a y b son números reales y 0

≠

a se denomina función afín. Se escribe:

b ax x f x f

+ = →

→

) ( R R :

i) Dominio: El dominio de toda función afín es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de toda función afín es el conjunto de los números reales, es decir Rg_f =R.

iii) Gráfica: La gráfica de toda función afín es una recta que interseca al eje y en el punto

( )

0,b e interseca al eje x en el punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ − ,0

a b

. El número a se denomina pendiente de la recta.

Ejemplos:

1) Sea f la función real de variable real definida por f(x)=4x−2 i) Dom_f =R ii) Rg_f =R

(5)

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Observa que como a=4>0la pendiente es positiva y la medida del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de la x está entre 0o y 90o, y la función f es creciente en todo su dominio.

2) Sea f la función real de variable real definida por 3 2 1 )

(x =− x+

f

i) Dom_f =R ii) Rg_f =R iii) Gráfica de f:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Observa que como 0 2 1_<

− =

(6)

6

Función cuadrática

La función real de variable real definida por f(x)=ax2+bx+c donde a, b y c son números reales y a≠0se denomina función cuadrática. Se escribe

c bx ax x f x f

+ + = →

→

2

) ( R R :

i) Dominio: El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f =

• El vértice de la parábola es el punto _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −

a b f a b

2 ,

2 , luego:

ii) Rango: si a>0: el rango es el intervalo _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎢

⎣ ⎡

∞ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛− ,

2a b

f ; si a<0el rango es el intervalo

⎥ ⎦ ⎤ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∞ −

a b f

2

, .

iii) Gráfica:

• La gráfica es una parábola.

Si a>0 la parábola abre hacia arriba. Si a<0 la parábola abre hacia abajo. • Interseca al eje y en el punto

(

0,f(0)

)

=

( )

0,c .

• Los puntos de intersección con el eje x dependen de las soluciones de la ecuación 0

2 ₊_bx₊_c₌

ax .

Ejemplos:

1) Sea f la función real de variable real definida por f(x)=x2−2x−3 i) Dom_f =R

ii) Vértice

(

1,−4

)

, luego se tiene que Rg_f =

[

−4,+∞

)

iii) Como a=1>0 la parábola abre hacia arriba.

iv) La gráfica interseca al eje x en los puntos

(

−1,0

)

y

( )

3,0 e interseca al eje y en el punto

(

0,−3

)

.

(7)

7

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-20 0 20 40 60 80 100 120

Observa que:

(

0,−3

)

. v) Gráfica de f:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Observa que:

• si x∈R entonces f(x)=−x2+2x−3<0.

(8)

8

Funciones potencias

La función real de variable real definida por f(x)=xn donde n es un número entero positivo se denomina función potencia. Se escribe:

N , ) ( R R :

∈ =

→ →

n x x f x f

n

i) Dominio: El dominio de toda función potencia entera es el conjunto de los números reales, es decir, Dom_f =R.

ii) Rango:

• Si n es par el rango de toda función potencia entera es el conjunto de los números reales no negativos, es decir Rg_f =

[

0,+∞

)

.

• Si n es impar el rango de toda función potencia entera es el conjunto de los números reales, es decir Rg_f =R.

iii) Gráfica:

• La gráfica contiene al punto

( )

0,0 .

• Si n es par, la gráfica decrece para x∈

(

−∞,0

]

y crece para x∈

[

0,+∞

)

-1.50 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(9)

9

Observa que:

• f es una función par, ya que f(−x)=

( )

−x4 =x4 = f(x)

• f es creciente en el intervalo

[

0,+∞

)

(

−∞,0

]

2) Sea f la función real de variable real definida por f(x)=x3 i) Dom_f =R ii)Rg_f =R

iii) Gráfica de f:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

Observa que:

• f es una función impar, ya que f(−x)=

( )

−x3 =−x3 =−f(x) • f es creciente en R.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función real de variable real definida por f(x)= x se denomina función valor absoluto. Se escribe:

x x f x f

= → →

) ( R R :

i) Dominio: El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, Rg_f =

[

0,+∞

)

.

iii) Gráfica: Dado que

⎩ ⎨ ⎧

< ≥ =

=

0 x si

-0 si )

(

x x x x x

f ,

(10)

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Observa que:

• f es una función par, ya que f(−x)= −x = x = f(x)

• f es creciente en el intervalo

[

0,+∞

)

(

−∞,0

]

FUNCIÓN SIGNO

La función real de variable real definida por

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

< −

= > =

0 si , 1

0 si , 0

0 si , 1 ) (

x x x x

f se denomina función signo.

Se escribe:

x x f x f

sig ) ( R R :

= →

→

i) Dominio: El dominio de la función signo es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de la función signo es el conjunto cuyos elementos son 1, 0 y -1, es decir,

{

0,1, 1

}

Rg_f = − .

iii) Gráfica: Dado que

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

< −

= > =

0 si , 1

0 si , 0

0 si , 1 ) (

x x x x

f ,

( )

0,0

(11)

11

FUNCIÓN PARTE ENTERA

La función real de variable real definida por f(x)=

[ ]

x , que a cada número real x le asigna su parte entera, se denomina función parte entera, es decir, es la función que a cada número real

x le asigna el mayor entero que es menor o igual a x. Se escribe:

[ ]

x x f x f

= → →

) ( R R :

i) Dominio: El dominio de la función parte entera es el conjunto de los números reales, es decir,

R Domf = .

ii) Rango: El rango de la función parte entera es el conjunto de los números enteros, es decir, Z

f =

Rg .

iii) Gráfica: Dado que, f(x)=

[ ]

x

• La gráfica contiene todos los puntos de la forma

( )

n,n con n∈Z

• La gráfica tiene forma de una escalera, donde la imagen de cada número real x

(12)

12

FUNCIÓN RACIONAL

) (

) ( ) (

x q

x p x

f = donde p(x)y q(x) son polinomios con 0

) (x ≠

q se denomina función racional.

Dominio: El dominio de toda función racional es el conjunto de todos los números reales que no anulen el denominador, es decir, Dom_f =

{

x∈R:q(x)≠0

}

.

Ejemplo:

Sea f la función real de variable real definida por

12 3

6 5 )

(

2

+ + − =

x x x x

f

{

R:3 12 0

}

Dom_f = x∈ x+ ≠ 4 0

12

3x+ = ⇔x=−

Luego, Dom_f =R−

{ }

−4

CASO PARTICULAR

x x

f( )= 1 . Conocida como función recíproca. Se escribe:

x x f x f

1 ) (

R R

: * *

= →

→

(13)

13

ii) Rango: El rango es el conjunto de todos los números reales que no anulen el denominador, es decir, Rg_f =

{

x∈R:x≠0

}

=R−

{ }

0

iii) Gráfica de f:

• La gráfica decrece de izquierda a derecha en el tercer cuadrante pasando por el punto

(

−1,−1

)

.

• La gráfica decrece de izquierda a derecha en el primer cuadrante pasando por el punto

( )

1,1 .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Observa que:

• f es una función impar, ya que ( ) 1 1 f(x) x

x x

f =− =−

− = −

• f es decreciente en los intervalos

(

−∞,0

)

y

(

0,+∞

)

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

La función real de variable real definida por f(x)= x se denomina función raíz cuadrada positiva. Se escribe:

[

)

[

)

x x f x f

= →

∞ + → ∞ +

) (

, 0 ,

0 :

i) Dominio: El dominio de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, Dom_f =

[

0,+∞

)

.

ii) Rango: El rango de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, Rg_f =

[

0,+∞

)

.

iii) Gráfica:

( )

0,0 .

(14)

14

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Observa que:

(15)

15

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función seno

Es la función real de variable real que a cada número real le asigna el seno del ángulo que mide

x radianes, denotada por f(x)=sen(x). Se escribe:

[ ]

) ( sen ) (

1 , 1 -R :

x x

f x f

= →

→

i) Dominio: El dominio de la función seno es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de la función seno es el conjunto de todos los números reales menores e iguales que 1 y mayores e iguales que –1, es decir, Rg_f =

[

−1,1

]

.

iii) Gráfica:

• Es periódica, de período 2π, es decir , sen

(

x+2π

)

=senx para todo x∈R • f(x)=0⇔senx=0⇔x=kπ, k∈Z

• 2kπ k Z

2 π 1

sen 1 )

(x = ⇔ x= ⇔x= + ∈

f

• 2kπ k Z

2 3π 1

sen 1 )

(x =− ⇔ x=− ⇔x= + ∈

f

-10 -5 0 5 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Observa que:

(16)

16

Función coseno

Es la función real de variable real que a cada número real le asigna el coseno del ángulo que mide x radianes denotada por f(x)=cos(x). Se escribe:

[ ]

) ( cos ) (

1 , 1 -R :

x x

f x f

= →

→

i) Dominio: El dominio de la función coseno es el conjunto de los números reales, es decir,

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de la función coseno es el conjunto de todos los números reales menores e iguales que 1 y mayores e iguales que –1, es decir, Rg_f =

[

−1,1

]

.

iii) Gráfica:

• Es periódica, de período 2π, es decir , cos

(

x+2π

)

=cosx para todo x∈R

• kππ k Z

2 π 0

c 0 )

(x = ⇔ osx= ⇔x= + ∈

f ,

• f(x)=1⇔cosx=1⇔x=2kπ k∈Z

• f(x)=−1⇔cosx=−1⇔x=

(

2k+1

)

π, k∈Z

-10 -5 0 5 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Observa que:

(17)

17

Función tangente

Es la función real de variable real que a cada número real diferente de π, Z 2

π₊ _∈

k

k , le asigna la tangente del ángulo que mide x radianes denotada por f(x)=tan(x). Se escribe:

x x x x

f x

f _f

cos sen ) ( tan ) (

R R Dom :

= =

→

→ ⊆

i) Dominio: El dominio de la función tangente es el conjunto de los números reales excepto los

valores que anulan al coseno, es decir,

{

R:cos( ) 0

}

-R

Dom_f = x∈ x =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ _∈ ₌ ₊ _∈

= π, Z

2 : R

-R x x π k k .

ii) Rango: El rango de la función tangente es el conjunto de todos los números reales, es decir,

R Rgf = . iii) Gráfica:

• Es periódica, de período π, es decir , tan

(

x+π

)

=tanx para todo x∈Dom_f • f(x)=0⇔tanx=0⇔x=kπ, k∈Z

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -10

(18)

18

Función secante

Es la función real de variable real que a cada número real diferente de π, Z 2

π₊ _∈

k

k , le asigna la secante del ángulo que mide x radianes denotada por f(x)=sec(x). Se escribe:

x x

x f x

f _f

cos 1 ) ( sec ) (

R R Dom :

= =

→

→ ⊆

i) Dominio: El dominio de la función secante es el conjunto de los números reales excepto los

valores que anulan al coseno, es decir,

{

R:cos( ) 0

}

-R

Dom_f = x∈ x =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ _∈ ₌ ₊ _∈

= π, Z

2 : R

-R x x π k k .

ii) Rango: El rango de la función secante es la unión del conjunto de todos los números reales menores o iguales que -1 con el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que 1, es decir, Rg_f =

(

−∞,−1

] [

∪1,+∞

)

.

iii) Gráfica:

• Es periódica, de período 2π, es decir , sec

(

x+2π

)

=secx para todo x∈Dom_f • f(x)≠0 para todo x∈Dom_f.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(19)

19

Función cosecante

Es la función real de variable real que a cada número real diferente de kπ, k∈Z, le asigna la cosecante del ángulo que mide x radianes denotada por f(x)=csc(x). Se escribe

x x x

f x

f _f

sen 1 ) ( csc ) (

R R Dom :

= =

→

→ ⊆

i) Dominio: El dominio de la función cosecante es el conjunto de los números reales excepto los valores que anulan al seno, es decir, Dom_f =R-

{

x∈R:sen(x)=0

}

=R-

{

x∈R:x=kπ, k∈Z

}

. ii) Rango: El rango de la función cosecante es la unión del conjunto de todos los números reales menores o iguales que -1 con el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que 1, es decir, Rg_f =

(

−∞,−1

] [

∪1,+∞

)

.

iii) Gráfica:

• Es periódica, de período 2π, es decir,csc

(

x+2π

)

=cscx para todo x∈Dom_f • f(x)≠0 para todo x∈Dom_f.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(20)

20

Función cotangente

Es la función real de variable real que a cada número real diferente de π+kπ, k∈Z, le asigna la cotangente del ángulo que mide x radianes denotada por f(x)=cotan(x). Se escribe:

x x x

x f x

f _f

sen cos ) ( cotan ) (

R R Dom :

= =

→

→ ⊆

i) Dominio: El dominio de la función cotangente es el conjunto de los números reales excepto los valores que anulan al seno, es decir, Dom_f =R-

{

x∈R:sen(x)=0

}

=R-

{

x∈R:x=kπ, k∈Z

}

. ii) Rango: El rango de la función cotangente es el conjunto de todos los números reales, es decir,

R Rg_f = . iii) Gráfica:

• Es periódica, de período π, es decir , cotan

(

x+π

)

=cotanx para todo x∈Dom_f

• kπ k Z

2 π 0

cotan 0

)

(x = ⇔ x= ⇔x= + ∈

f

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(21)

21

FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a

La función real de variable real definida por f(x)=ax con a>0 y a≠1se denomina función exponencial de base a. Se escribe:

x

a x f x f

= →

→

) ( R R :

i) Dominio: El dominio de la función exponencial de base a es el conjunto de los números reales, es decir, Dom_f =R.

ii) Rango: El rango de la función exponencial de base a es el conjunto de los números reales positivos, es decir, Rg_f =

(

0,+∞

)

.

iii) Gráfica:

• La gráfica de la función exponencial de base a contiene al punto

( )

0,1 .

• Si a>1la gráfica crece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero.

• Si 0<a<1la gráfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero.

Ejemplos:

1) Sea f la función real de variable real definida por f(x)=2x

(

0,+∞

)

iii) Como a=2>1 la gráfica de f es:

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Observa que:

(22)

22

2) Sea f la función real de variable real definida por

x

f ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

2 1 )

(

0,+∞

)

iii) Como 1

2 1 _<

=

a la gráfica de f es:

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Observa que:

• f es decreciente en R.

3) Sea f la función real de variable real definida por f(x)=ex

(

0,+∞

)

iii) Como e>1la gráfica de f es:

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 5 10 15 20 25

Observa que:

(23)

23 FUNCIÓN INVERSA

Una función real de variable real f es inyectiva en I si y sólo si x₁≠x₂ ⇒ f

( )

x₁ ≠ f

( )

x₂ para todo par de números x1 y x2 en I.

Observa que toda función estrictamente monótona en su dominio es inyectiva.

Sea f una función inyectiva, de dominio A y rango B. La función inversa de la función f

denotada por f −1es la función de dominio B y rango A definida por f−1(y)=x⇔ f(x)=y para todo y en B.

Observa que:

(

f x

)

x

f −1( ) = para toda x en B

(

f x

)

x

f−1 ( ) = para toda x en A

Ejemplo:

La función

f:

[

0,+∞

)

→

[

0,+∞

)

definida por f(x)=x2 admite inversa, y su inversa es la función

:

1

−

(24)

24

FUNCIONES INVERSAS ELEMENTALES

FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a

Como la función exponencial de base a definida como f(x)=ax con a>0 y a≠1es inyectiva admite inversa, su inversa es la función logaritmo de base a definida por f(x)=log_a x para

0

>

x tal que log_a x= y⇔ay =x. Se escribe:

(

)

2 1 _<

=

a la gráfica de f es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Observa que:

• f es decreciente en todo su dominio.

3) Sea f la función real de variable real definida por f(x)=log_ex , denominada función logaritmo neperiano, y se denota por f(x)=lnx

i) Dom_f =

(

0,+∞

)

; ii)Rg_f =R iii) Como e>1la gráfica de f es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Observa que:

(26)

26

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Función arco seno

La función seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo _⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤ 2 π , 2 π donde ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa, su inversa es la función arco seno, la cual denotamos f(x)=arcsen(x) o por f(x)=sen-1(x) tal que

x y y

x

arcsen( )= ⇔sen( )= . Se escribe:

[ ]

x x x f x f 1 sen arcsen ) ( 2 π , 2 π -1 , 1 -: − = = → ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ →

i) Dominio: El dominio de la función arco seno es el intervalo

[

−1,1

]

, es decir Dom_f =

[

−1,1

]

. ii) Rango: El rango de la función arco seno es el intervalo_⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤

2 π , 2 π

, es decir, =_⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤ 2 π , 2 π

Rg_f .

iii) Gráfica:

• La gráfica de la función arco seno contiene al punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 π ,

1 ya que

( )

2 π 1 rcsen =

a .

• La gráfica de la función arco seno contiene al punto

( )

0,0 ya que arcsen(0)=0. • La gráfica de la función arco seno contiene al punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ ₋ 2 π ,

1 ya que

( )

2 π 1 rcsen − =−

a .

• La gráfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero.

(27)

27

Función arco tangente

La función tangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛−

2 π , 2 π

donde ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa, su inversa es la función arco tangente, la cual denotamos f(x)=arctan(x) o por f(x)=tan-1(x)tal que

x y y

x

arctan( )= ⇔tan( )= . Se escribe:

x x

x f x f

1

tan arctan )

( 2 π , 2 π R :

−

= =

→

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − →

i) Dominio: El dominio de la función arco tangente es el conjunto de los números reales, es decir

R Dom_f = .

ii) Rango: El rango de la función arco tangente es el intervalo ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−

2 π , 2 π

, es decir,

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

2 π , 2 π

Rg_f .

iii) Gráfica:

• La gráfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero. • La gráfica de la función arco tangente contiene al punto

( )

0,0 ya que arctan(0)=0.

-6 -4 -2 0 2 4 6

(28)

28

Función arco coseno

La función coseno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo

[ ]

0,π donde ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa, su inversa es la función arco coseno, la cual denotamos f(x)=arccos(x) o por f(x)=cos-1(x) tal que

x y y

x

arccos( )= ⇔cos( )= . Se escribe:

[ ] [ ]

x x x f x f 1 cos arccos ) ( π , 0 1 , -1 : − = = → →

i) Dominio: El dominio de la función arco coseno es el intervalo

[

−1,1

]

, es decir Dom_f

[

−1,1

]

.

ii) Rango: El rango de la función arco coseno es el intervalo

[ ]

0,π , es decir, Rg_f =

[ ]

0,π .

iii) Gráfica:

• La gráfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el cuarto. • La gráfica de la función arco coseno contiene al punto

( )

1,0 ya que arccos(1)=0. • La gráfica de la función arco coseno contiene al punto

(

−1,π

)

ya que arccos

( )

−1 =π. • La gráfica de la función arco coseno contiene al punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 π ,

0 ya que

( )

2 π 0 arccos = .

Función arco secante

La función secante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto ⎟

⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ 2 π 3 , π 2 π , 0

donde ella es inyectiva, tenemos admite inversa, su inversa es la función arco secante, la cual denotamos f(x)=arcsec(x) o por f(x)=sec-1(x)tal que arcsec(x)= y⇔sec(y)=x. Se escribe:

(

] [

)

x x f(x x f 1 sec arcsec ) 2 3π , π 2 π , 0 , 1 1 , : − = = → ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ → ∞ + ∪ − ∞ −

i) Dominio: El dominio de la función arco secante es el conjunto

(

−∞,−1

] [

∪1,+∞

)

, es decir

(

−∞ −

] [

∪ +∞

)

= , 1 1,

Dom_f .

ii) Rango: El rango de la función arco secante es el conjunto ⎟

⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ 2 π 3 , π 2 π ,

0 , es decir,

⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ = 2 π 3 , π 2 π , 0

Rg_f .

iii) Gráfica:

(29)

29

Función arco cosecante

La función cosecante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto

⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3π , π 2 π ,

0 _U donde ella es inyectiva tenemos que admite inversa, su inversa es la función

arco cosecante, la cual denotamos f(x)=arccsc(x) o por f(x)=csc-1(x)tal que x

y sc y x

arccsc( )= ⇔c ( )= . Se escribe

(

] [

)

x x f(x x f 1 csc arccsc ) 2 3π , π 2 π , 0 , 1 1 , : − = = → ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∪ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ → ∞ + ∪ − ∞ −

i) Dominio: El dominio de la función arco cosecante es el conjunto

(

−∞,−1

] [

∪1,+∞

)

, es decir

(

−∞ −

] [

∪ +∞

)

= , 1 1,

Dom_f .

ii) Rango: El rango de la función arco cosecante es el conjunto ⎜ _⎥⎦⎤

⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3π , π 2 π ,

0 _U , es decir,

⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3π , π 2 π , 0

Rgf _U .

iii) Gráfica:

• La gráfica de la función arco cosecante contiene al punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 π ,

1 ya que

( )

2 π 1 rccsc =

a .

• La gráfica de la función arco cosecante contiene al punto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 2 3π ,

1 ya que

( )

2 3π 1 rccsc − =

a .

(30)

30

Función arco cotangente

La función cotangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo

( )

0,π donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa, su inversa es la función arco cotangente, la cual denotamos f(x)=arccotan(x) o por f(x)=cotan-1(x) tal que

x y y

x

arccotan( )= ⇔cotan( )= Se escribe:

( )

x x

x f x

f

1

cotan arccotan

) (

π

, 0 R :

−

= =

→ →

i) Dominio: El dominio de la función arco cotangente es el conjunto de los números reales, es decir Dom_f =R.

ii) Rango: El rango de la función arco cotangente es el intervalo

( )

0,π , es decir, Rg_f =

( )

0,π . iii) Gráfica: La gráfica de la función arco cotangente contiene al punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

2 π ,

0 ya que

( )

(31)

31

EJERCICIOS

1. Indica el dominio, el rango y grafica las siguientes funciones reales de variable real:

a)

4 3 ) (x =

f b) f(x)=x+7 c) f(x)=−x+7 d) f(x)=x2+8x+16 e) f(x)=x2−8x+16 f) f(x)=x2−9 g) f(x)=x6 h) f(x)=x7

i) f(x)=3x j)

x x f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 2 )

( k) f(x)=log₃ x l) f x x

5 2

log ) ( =

2. Indica el dominio y grafica las siguientes funciones reales de variable real:

a) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤ = 0 si 7 0 si 4 3 ) ( x x x x

f b)

⎩ ⎨ ⎧ > + + ≤ + − = 2 si 16 8 2 si 7 ) ( ₂ x x x x x x f c) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = 1 si 3 1 si ) ( 6 x x x x f

x d)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = π si 4

3 si π

cos ) ( x x x x f e) ⎩ ⎨ ⎧ − > − ≤ = 3 si 9 3 -si ) ( ₂ x x x x x

f f)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 1 -si 1 -si ) ( ₆ 7 x x x x x f g) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < ≤ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < + − = x x x x x x x f x 1 si log 1 1 si 5 2 1 si 16 8 ) ( 3 2 h) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ − − < = x x x x x x x f 0 si ln 0 2 π si cos 2 π si sen ) (

3. A partir de la gráfica indica el rango de cada una de las funciones dadas en el ejercicio anterior.

4. Para cada una de las funciones dadas en el ejercicio 2) indica los valores de x, si existen, para los cuales f(x)=0.

5. Para cada una de las funciones dadas en el ejercicio 2) indica los valores de x, si existen, para los cuales f(x)>0.