MA 2113 Guía De Ejercicios pdf

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(1)Lista de Ejercicios Complementarios Matemáticas VI (MA-2113) Verano 2010 1. Sean α > 0, β > 0 y a, b√ ∈ R constantes. Sea S la superficie que es la porción del cono de ecuación z = α x2 + y 2 que resulta de su intersección con el cilindro de ecuación (x − a)2 + (y − b)2 = β 2 . Halle el área de S. √ Resp: πβ 2 α2 + 1. 2. Calcular el área total de la superficie del sólido acotado por sus intersecciones con las superficies cuyas ecuaciones son: lateralmente x2 +y 2 = 1; inferiormente z = 0; superiormente z = x + 2. √ Resp: π(5 + 2). ∫∫ 1 z dS, donde S es la parte del cilindro x2 + y 2 = 1 dentro del 3. Calcular A(S) S hemisferio superior de la esfera (x − 1)2 + y 2 + z 2 = 4 y A(S) denota su área. Resp: π4 . 4. Sea S la porción de superficie cilíndrica de ecuación x2 + y 2 = 4 comprendida entre los planos z = 0 y z = 4. Si la densidad de masa en el punto (x, y, z) está dada por ρ(x, y, z) = z 2 , calcule la masa de S. Resp: 256 π. 3 5. Calcule el área de la superficie sobre la esfera de ecuación x2 + y 2 + z 2 = a2 que es interior al cilindro de ecuación x2 + y 2 = ax (con a > 0). Resp: 2a2 (π − 2) 6. Calcule el área de la parte del cilindro x2 + z 2 = a2 que está dentro del cilindro x2 + y 2 = ax (aquí a ∈ R). 7. Sea S la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b (contenida en el plano xy de R3 ) alrededor del eje y. (a) Halle una parametrización suave para S. ∫ b √ (b) Muestre que A(S) = 2π |x| 1 + (f ′ (x))2 dx. a. 1.

(2) ( 1. Demostrar que ∆. √. 1 x2 + y 2 + z 2. ) = 0, siendo ∆ = ∇2 =. ∂2 ∂x2. +. ∂2 ∂y 2. +. ∂2 ∂z 2. el. operador de Laplace. 2. (a) Hallar las constantes reales a, b, c de forma que v = (x + 2y + az)ı̂ + (bx − 3y − z)ȷ̂ + (4x + cy + 2z)k̂ sea irrotacional (es decir, que rot v = 0). Resp: a = 4, b = 2, c = −1. (b) Demostrar que v, calculado en la parte anterior, se puede expresar como el gradiente de una función escalar. 2 Resp: v = ∇f, siendo f (x, y, z) = x2 − 32 y 2 + z 2 + 2xy + 4xz − yz. ∫∫ 3. Evaluar la integral rot F · n dS, donde S es la porción del paraboloide de ecuaS. ción z = 1−x2 −y 2 con z ≥ 0, n es la normal unitaria con z-componente no-negativa y F (x, y, z) = (y, z, x). Resp: −π. 4. Calcular la integral de línea del campo F (x, y, z) = (y + z, x + z, y − z) a lo largo de la curva C intersección de las superficies 2x2 + y 2 − z 2 = 0 y z = x + 1, recorrida en sentido horario vista desde el origen. Resp: 0. 5. Calcular el flujo total del campo F (x, y, z) = (−y, x, z) a través de la superficie cerrada S que se obtiene a partir de la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 36, z ≥ 0 y el plano z = 0, en dirección de la normal exterior. Resp: 144π. 6. Considere el campo vectorial F (x, y, z) =. 1 3. (x2 +y 2 +z 2 ) 2. (x, y, z).. (a) Demuestre que si la superficie suave S es una porción (arbitraria) de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4, entonces el flujo de F a través ∫ ∫ de S (hacia el exterior de la F · next dS = k · A(S).. esfera) es proporcional al área de S, es decir, S. (b) Usando un caso particular de S, determine la constante k. Resp: 14 .. ∫∫. F · dS, con la orientación exterior de S, siendo F (x, y, z) = (x, y, z) y. 7. Calcular S. S la superficie del sólido limitado por los planos coordenados y el plano de ecuación 2x + 2y − 3z = 6. Resp: 9.. 2.

(3) ∮ F · ds, donde F (x, y, z) = (2z, 8x −. 1. Usar el teorema de Stokes para evaluar C. 3y, 3x + 4y) y C es la curva triangular de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2) con orientación horaria cuando es vista desde el origen de coordenadas. Resp: 7. ∫ √ 2. Usar el teorema de Stokes para verificar que y dx+z dy+x dz = πa2 3, donde C. C es la curva intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 y el plano x + y + z = 0 orientada adecuadamente. 3. Considere el campo vectorial F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), siendo: R(x, y, z) = 2yz + xh(z), Q(x, y, z) = −yx2 − y + g(x) + z 2 y P (x, y, z) = y 2 g(x) − x3 y 2 − xy 2 + 3x2 y + h(z). (a) Determine las funciones reales g(x) y h(z) para que el campo sea conservativo. Resp: g(x) = x3 , h(z) = ez . (b) Usando las funciones encontradas en (a), calcular una función potencial para F. 2 2 2 Resp: F = ∇f, f (x, y, z) = x3 y − x 2y + xez + z 2 y − y2 + c. xy 4. Sea F : R3 → R3 un campo vectorial de clase C1 tal que rot(F ) = ∫ (2, 2z, −xe ) y sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4 y 0 ≤ z ≤ x + 2}. Calcule F · ds . ∂S. Resp: 8π.. 5. Sean u(x, y, z) = x3 − y 3 + 3z 2 y v(x, y, z) = x + y − 4z. (a) Pruebe la identidad rot(f G) = f rot G+∇f ×G, siendo G un campo vectorial arbitrario de tipo C1 . (b) Encuentre un campo vectorial F tal que rot F = ∇u × ∇v. (c) Usando ∫ ∫ el teorema de Stokes (verifique las hipótesis) halle el valor de la integral (∇u × ∇v) · n dS, donde S es el hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0, y S. n es la normal unitaria a S con tercera componente no-negativa. Resp:. 3π . 2. 6. Sea F (x, y, z) = (ax + by 2 , sen z + axy, y cos z). (a) Obtenga todos los pares de números reales a, b que hagan que F sea conservativo. Resp: a = 2b. (b) Usando el resultado anterior, hallar un potencial para F (cuando exista). Resp: F = ∇f, f (x, y, z) = bx2 + bxy 2 + y sen z + c.. 3.

(4) ∫ F · ds, donde. (c) Para los valores de a, b que hacen F conservativo, calcular C. C es la curva que consta del segmento de recta que une (0, 1, 0) con (0, 0, 1) y del segmento de recta que une (0, 0, 1) con (0, 2, 1). Resp: 2 sen 1. 7. Sea F (x, y, z) = (x2 , 2xy + x, z). Sean C la circunferencia x2 + y 2 = 1 y S el disco x2 + y 2 ≤ 1 en el plano z = 0. (a) Determinar el flujo de F hacia abajo de S. Resp: 0. (b) Determinar la circulación (es decir, la integral de línea) de F alrededor de C. Resp: π. (c) Hallar el flujo de ∇ × F y verificar directamente el teorema de Stokes.. 4.

(5) 1. Sea V el sólido comprendido entre la superficie de un cono y el gráfico de una función suave y acotada 0 < f (x, y) < 5 ∀ (x, y) ∈ R2 , esto es √. V = {(x, y, z) ∈ R3. x2 + y 2 ≤ z ≤ f (x, y)}.. Sea S la porción del gráfico de z = f (x, y) dentro del cono z =. √ x2 + y 2 .. (a) Dibuje una representación gráfica del sólido V y la superficie S. (b) Muestre que G(x, y, z) = (x, y, z) es tangente al cono. (c) Sabiendo que el volumen de V es igual a 6, halle el flujo a través de S del campo G. Resp: 18. ∫∫ 2. Calcular F · n dS, siendo S la superficie S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ S. 2. z ≤ 1} ∪ {x2 + y 2 ≤ 1, z = 1} y F (x, y, z) = (xy + sen(z 3 ), ex − xy, z2 ). 2. Resp: π2 .. 3. Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y 2 = 4, z = 0, z = 3 y sea n la normal unitaria exterior a la frontera ∂S. Sea F (x, y, z) = (x3 + tan(yz), y 3 − exz , 3z + x3 ). Encuentre el flujo de F a través de ∂S. Resp: 108π. 4. Sea V el sólido acotado por las superficies S1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 9}, S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 , z > 0} y S3 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1, z = 1}. Sea ∂V la superficie ∫ ∫frontera del sólido V con la orientación exterior. Si F · dS.. F (x, y, z) = (x, y, z), calcule ∂V. 5. Sea S el borde y D el interior del ∫ ∫cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Usar el F · n dS, donde F (x, y, z) = x2 ı̂ + y 2 ȷ̂ + z 2 k̂ y. teorema de Gauss para calcular n es la normal unitaria exterior.. S. Resp: 3.. 5.

(6) 1. Exprese los siguientes números complejos en forma polar (a) z = −3 + 3i. √ (b) z = 1 − i 3. √ √ (c) z = − 5 + i 15. √ √ (d) z = 2 − i 2. √ (e) z = 3 + i. 2. Calcule. √ (a) (1 + i)(1 + i 3)(1 −. (b) (c). √ i 3 2 ). 3. (1 − i)2 √ −1 − i 3 √ (1 + i 3)2 (−1 + i)(1 +. √ . i 3 ) 3. 3. Halle las raíces quintas de la unidad. √. 3 2. 3. + 2i ) 4 . √ 5. Encuentre las raíces cuartas de −2 − 2i 3.. 4. Determine los posibles valores de (. 3. 6. Encuentre los valores de i 2 . 7. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) z 4 + z 3 − z 2 + z − 2 = 0. (b) z 3 + 2iz 2 + z + 2i = 0. 8. Muestre que todas las soluciones de la ecuación 64z 6 = (z − 1)6 están sobre la circunferencia de ecuación (x + 31 )2 + y 2 = ( 32 )2 . 9. Muestre que los siguientes límites no existen: (a) lim. z→iπ ez. z (b) lim . z→0 z. 2 . − e−z. 10. Considere el polinomio q(z) = z 4 + 1. (a) Muestre que q(z) = (z −z1 )(z −z2 )(z −z3 )(z −z4 ), donde z1 = e−iπ/4 , z2 = z1 , z3 = −z1 y z4 = −z1 .. 6.

(7) z − zk (b) Sea αk = lim , k = 1, 2, 3, 4. Muestre que α1 + α2 = −(α3 + α4 ) (y, por z→zk q(z) ∑4 lo tanto, k=1 αk = 0). 11. Demuestre (k denota un número entero): (a) Si sen(z1 ) = sen(z2 ) entonces z1 = z2 + 2kπ ó z1 = (2k + 1)π − z2 . (b) Si cos(z1 ) = sen(z2 ) entonces. π 2. − z1 = z2 + 2kπ ó. (c) Si cos(z1 ) = sen(z2 ) entonces z1 = (−1)k+1 z2 + (d) tan(z1 ) = tan(z2 ) si y solo si z1 = z2 + kπ 12. Calcule. √ √ (a) Log( 2 + i 2).. (b) (−1 + i)i . (c) (1 + i)1+i . √ (d) ( 3 − i)1+2i (e) ( 1+i )−i . 2 (f) Log((1 + i)2 ).. 7. π 2. π 2. − z1 = (2k + 1)π − z2 .. + kπ..

(8) 1. Resolver las siguientes ecuaciones: (a) cosh z = i. (b) cos z + sen z = 2. 2. Suponga que f = u + iv es analítica en A = {z ∈ C | Re z > 1} y que ux + vy = 0 en A. Demuestre que existe una constante real c y una constante compleja d tal que f (z) = −icz + d en A. 3. Hallar todos los puntos z ∈ C donde f (z) = Log(sen z) es analítica. Dibuje dicho conjunto. ∫ 4. Calcular la integral 1 + i − 2z dz a lo largo de las siguientes curvas que conectan C. los puntos z1 = 0 y z2 = 1 + i: (a) La recta. (b) La parábola y = x2 . ∫ 2 5. Calcule e|z| Re(z) dz, donde C es el segmento de la recta y = x que conecta a C. los puntos z1 = 0 y z2 = 1 + i. ∫ dz 6. Demuestre que = 0 para toda curva cerrada C que no pase por el origen. 2 C z ∫ 7. Calcule |z − 1| | dz|, sentido anti-horario. |z|=1. 8. Pruebe que no existe una función analítica definida en C \ {0} tal que f ′ (z) = 1/z. ∫ dz 9. Dar condiciones sobre una curva cerrada C que garanticen que = 0. C z 10. Calcular las siguientes integrales: ∫ cosh(eiπz ) (a) dz. 3 2 |z−2|=3 z − 4z ∫ eiz (b) dz. 2 2 |z−1|= 12 (z − 1) 11. Sea f (z) una función entera. Si existe A ∈ R+ tal que |f (z)| ≤ A|z| muestre que f (z) = az para cierto a ∈ C. 12. Sea f (z) una función entera. Si |f (z)| ≥ 1. ∀ z ∈ C,. ∀z ∈ C, demuestre que f es constante.. 13. Desarrollar las siguientes funciones en serie de Taylor alrededor del punto indicado. En cada caso, hallar el radio de convergencia: 8.

(9) z+1 en 0. + 4z − 5 (b) ez en serie de potencias de 2z − 1. (a). z2. 14. Hallar los tres primeros términos de las series de potencias de las funciones siguientes en el centro a especificado. Hallar el radio de convergencia. (a) 1 − cos2 (z), a = π. (b) (sen z)(1 − cos z), a = 0. 15. Calcular. ∞ ∑. n2 z n , |z| < 1.. n=0. 16. Considere la integral. ∫ ∑ ∞ C n=−1. i 3. z n dz, donde C es la curva parametrizada por 14 cos t+. sen t, con t ∈ [0, 2π]. (a) Explique por qué la serie converge sobre los puntos de la curva.. (b) Usando la parte anterior, calcule el valor de la integral. 17. Sea f (z) =. ez . 1 − 2z + z 2. (a) Halle los 3 primeros términos de la serie de Taylor en torno a z = 0 de la función f. (b) Halle el término general de la serie. (c) Halle el radio de convergencia de la serie. 1 − cos z como z(z 2 + 2) serie de potencias centrada en z0 = 0. Determine la región donde es válido el desarrollo.. 18. Halle los 4 primeros términos no nulos del desarrollo de f (z) =. 2z − 3 en serie de Laurent alrededor de cada uno − 3z + 2 de sus puntos singular. Especificar las regiones de convergencia.. 19. Desarrolle la función f (z) =. z2. 20. Calcular las series de Laurent de las siguientes funciones en las regiones dadas: 1 en |z| > 1. z(z − 1) 1 (b) en 0 < |z| < 1. z(z − 1) ∫ 1+z dz. 21. Evalúe |z|=7 1 − cos z (a). 9.

(10) 22. Clasificar las singularidades y hallar los residuos (en las singularidades) de las siguientes funciones: (a). sen(z 2 ) . z 3 − π4 z 2. (b) z 3 sen( z12 ). 23. Calcular los residuos en 0 de las siguientes funciones: sen(3z) − 3 sen z . sen z ez − z − 1 (b) . sen z (1 − cos(2z)) (a). 1. 24. Obtenga una fórmula para Res(f, 0), siendo f (z) = ez+ z . 25. Evaluar las siguientes integrales (sentido anti-horario): ∫ az n (a) dz, C : |z| = 1, −1 < a < 1, n ∈ N. 2 2 C az + (1 + a )z + a ∫ z 2 eimz (b) dz, C : |z − bi| = b, b > 0, m ∈ R. 2 2 2 c (z + b ) ∫ emz (c) i dz, C : |z| = 1, −1 < a < 1, m ∈ R. C (z − ai)(z − a ) 26. Calcular las siguientes integrales: ∫ ∞ x2 (a) dx, a > 0. (x2 + a2 )2 0 ∫ ∞ x2 dx. (b) x4 + 1 0 ∫ ∞ dx (c) . 2 −∞ x + 1 ∫ ∞ x sen(ax) dx, a, k > 0. (d) x2 + k 2 0 ∫ ∞ cos(ax) (e) dx, a ≥ 0, b > 0. (x2 + b2 )2 0 ∫ 2π cos3 θ (f) dθ, |a| < 1 1 − 2a cos θ + a2 0 ∫ π dθ . (g) 0 6 + 3 cos θ. 10.

(11) ∫. 2π. cos(2θ) dθ. 2 − cos θ. 2π. cos(nθ) dθ, |a| < 1, n ∈ N. 1 + 2a cos θ + a2. (h) 0. ∫ (i). 0. 11.

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