FUNCIONES: GENERALIDADES
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.-
Una función, f, es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos A y B, que asigna a cada número, x, del primer conjunto A, un “único” número, y, del conjunto B.
Si los dos conjuntos numéricos A y B son de números reales, a la función .f, se le llama: función real de variable real.
En realidad una función, f, trabaja como una máquina que transforma números reales en números reales de la siguiente forma:
Se simboliza: f :A B
xy f(x) Se utiliza la siguiente notación:
x: número real que se transforma mediante f en y (o nº real que entra en la máquina) = valor de la variable independiente = original de y.
y: número real transformado de x mediante f, (o nº real que sale de la máquina) = valor de la variable dependiente.= imagen de x. = f(x) (se lee f de x).
f: criterio de asignación de imágenes.
A: se le llama dominio de la función, y se nota con D(f) (se lee D de f), y es el conjunto de todos los números reales x ,que tienen por f una imagen real. (Es el conjunto de todas las entradas válidas en la máquina f).
El D(f), no se indica explícitamente, sino que se calcula para cada función, a partir de su definición, salvo que el enunciado del problema nos indique lo contrario.
f
0 1 Im(f)
(B) D(f)
(A) 0 1
x
B: se le llama conjunto imagen o recorrido de la función, y se nota con Im(f), o, R(f); y es el conjunto de todos los números reales que son imágenes de los números reales x que forman el dominio de f .(Es el conjunto de todos los números reales posibles, que salen de la máquina f)
Todos los elementos, x, del D(f) tienen que tener una “única” imagen, y, en el 2º conjunto; pero no todos los números reales del 2º conjunto han de tener un original, x, en el primero, ni ser único en caso de que lo tenga.
Ejemplo1: “ La función que asigna a cada número real, su cuadrado”:
2 :x y x f
f
ó f(x) x2
(indica que: ;
16 9 4 3 ; 16 9 4 3 ; 2 2 ; 2 2 ; 1 1 ; 1 1 f f f f f f etc.).
Ejemplo2: “ La función que asigna a cada número real, su inverso”:
x y x g
g 1
: ó
x x f( ) 1
(indica que: ;
3 4 4 3 ; 2 1 2 ; 1 1 ; 1 1 g g g g etc.).
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.-
Las funciones pueden venir definidas de diferentes formas, (no necesariamente excluyentes) mediante:
El enunciado de un problema.
Ejemplo1: “En una frutería, 1 Kg de naranjas vale 0’60 €. Consideramos la función que asigna a cada peso su precio”, es decir, la función:
;... € 6 10 ...; ; € 3 5 ; € 20 ' 1 2 ; € 60 ' 0 1 f f f f Kg Kg Kg
Kg que se define:
x x f ó x y x f f 60 ' 0 60 ' 0 :
Ejemplo2: “En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener 2 m2 de luz. Obtener la altura, y, de cada una en función de la medida, x, que se le dé a la base”.
(Área=base altura x y y x 2 2 ).
Una tabla de valores: en la que aparece cada original (o entrada), x, con su imagen ( o salida) correspondiente, y.
Ejemplo1: Se han medido las temperaturas de un líquido a medida que se calentaba, obteniendo la
Tiempo t (min) 0 1 2 3 4 5
Temperatura T (ºC) 20 24 28 32 36 40
“Esta función asigna a cada instante, la temperatura que tiene el líquido en dicho momento”.
La tabla no tiene por qué cubrir todos los valores del dominio de la función. En el ejemplo: para cada valor de t comprendido entre 0 y 5, existe un valor de T, que podríamos calcular aproximadamente, a
partir de la tabla, mediante un procedimiento matemático llamado interpolación.
Ejemplo2: El número de bebés nacidos en un hospital durante los primeros días del mes de abril vienen dados en la tabla siguiente:
Día del mes 1 2 3 4 5 6
Número de bebés 6 4 1 4 3 6
“Esta función asigna a cada día del mes de abril, el número de bebés nacidos en ese día”.
Una Gráfica: Si consideramos cada pareja de valores correspondientes (x, y) u (original, imagen) o
(entrada, salida), como un punto del plano, y los dibujamos en un sistema de ejes coordenados, obtenemos la gráfica de la función, que se nota Gráf(f):
Gráf(f)= P(x,y)/y f(x)
x: es la 1ª coordenada de f ó abscisa del punto P de la gráfica.
y: es la 2ª coordenada de f u ordenada del punto P de la gráfica.
Ejemplo: La función que asigna a cada número real su cuadrado: 2 ) (x x f
x 0 1 -1 2 -2 3
f(x) 0 1 1 4 4 9
Cada punto P(x,y) Gráf f .
Por muchos puntos que conozcamos de la gráfica es arriesgado unirlos por trazos continuos , sin hacer un estudio previo de las propiedades de la función.
En el ejemplo: La imagen de 2 es 4, y se expresa: f( 2) 4
Los originales del 4 son 2, y 2, y se expresa: f 1(4) 2,2 .
La gráfica de f nos permite interpretar de manera muy sencilla las propiedades de la función (Dominio, recorrido, simetrías, signo, variación, continuidad, etc.)
Una fórmula matemática, llamada expresión algebraica (o expresión analítica) de la función, que
relaciona cada valor, x, del D(f), con su imagen y ó f(x) Dicha fórmula es el criterio de asignación de imágenes. Ejemplos:
La función que asigna a cada número real, su cuadrado: f(x) x2 ó y x2
La función que asigna a cada número su inverso:
x x
f( ) 1 ó x y 1
La superficie del círculo en función de su radio: S(r) r2 ó A r2
El volumen de un cubo en función de su arista: V(a) a3 ó V a3
La mayoría de las funciones se pueden expresar mediante una fórmula o expresión algebraica. Es la forma más deseable de expresar la función, ya que facilita el estudio de las propiedades de la función por métodos matemáticos rigurosos y exactos.
A partir de la expresión algebraica de la función, se pueden obtener las otras formas de expresarla (tabla y gráfica).
Hay funciones que no están definidas por una única fórmula, sino que se expresan con una expresión algebraica diferente en cada parte de su dominio. Se llaman: funciones definidas a trozos o funciones de dominio partido.
DETERMINACIÓN DE IMÁGENES Y ORIGINALES: PUNTOS DE LA GRÁFICA
Si el punto P(x,f(x)) Gráf(f), se dice también (por abuso del lenguaje) que P es un punto de la función.
En la práctica se presentan las siguientes cuestiones:
1. Comprobar si P(a,b) Gráf(f):
Mediante la gráfica: P(a,b) Gráf(f)
) ( )
' , ' (
' a b Gráf f P
Mediante la fórmula y f(x): Si f(a) b P Gráf(f)
2. Conocida la abscisa, a, de P, ¿cuál es su ordenada? ,o también: ¿cuál es la imagen de a,por f ?:
Mediante la gráfica: observando el dibujo anterior: P a,b o también: f(a) b (la imagen de a por f es b)
Mediante la fórmula: Si conocemos la fórmula de la función (y f(x)) , la imagen de a, f(a), es el número b, que se obtiene al sustituir en y f(x) , x por a: f(a) b . (b es único para cada valor a).
Ejemplo: f(x) x2. La imagen de -3 es 9, ya que: f( 3) 3 2 9
3. Conocida la ordenada, b, de P, ¿cuál es su abscisa? , o también: ¿cuáles son los originales de P?:
Mediante la gráfica:
Los puntos de ordenada b, son: A(a,b) y A'(a',b); o también: los originales de b son: f 1(b) a,a'
Mediante la fórmula: Hacemos:y b ó f(x) b , que es una ecuación en x, de la que se despeja
x , y si sale x a y x a' f 1(b) a,a' .
Ejemplo: Si f(x) x2. ¿ Cuáles son los originales del 9 ?
Solución: Hacemos x2 9 x 3 f 1 9 3, 3 .
PROPIEDADES O CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES
Venga expresada la función mediante su expresión algebraica o mediante su gráfica, es importante reconocer las siguientes propiedades:
1. ¿Es función?.-
Algebraicamente: No puede haber ningún número real que tenga dos imágenes diferentes. Ejemplos: f(x) x2 es función, pues cada número real tiene una sola imagen.
x x
f( ) no es función, pues el 4 tendría dos imágenes diferentes: 2 y 2.
Gráficamente: No puede haber ninguna recta vertical que corte a la gráfica en más de un punto:
2. Dominio de f.-
Al conjunto de números reales que tienen imagen real mediante la expresión algebraica, ,y f(x), de la función, se le llama dominio natural de f.
Si conocemos su fórmula: Si y f(x) es la fórmula conocida de la función, para calcular su dominio natural, D(f), tendremos en cuenta que en R:
a) No se puede dividir por 0, por lo que el “denominador 0.”
b) No se pueden extraer raíces de índice par de los números negativos, por lo que el “radicando 0”
c) Los números reales negativos y el 0, no tienen loga, por lo que el “argumento>0”.
Las demás operaciones con números reales, siempre dan lugar a otro número real.
A veces el dominio natural de la función queda limitado por las condiciones del problema , ya sea por el contexto real del que se ha sacado la función, o por voluntad de quien lo propone.
Ejemplo: f(x) 3x 1, tiene como dominio natural: D(f)=R, y g(x) 3x 1 x 2,2 , tiene
por dominio: D(g)= 2,2 , en lugar de R.
Ejemplos: Calcula el dominio de definición de las funciones: a)
4 1 2 )
( 2
x x x
f b)g(x) 2x 1
Si conocemos su gráfica: El valor a está en el dominio de f sólo si la recta vertical trazada en (a,0), corta a la Gráf(f). Luego trazando rectas verticales perpendiculares al eje de abscisas, la zona del eje de abscisas en la que hay definida gráfica es el D(f).
Ejemplos:
D(f)=R D(g)= 1,
3. Imagen o recorrido f.-
Es el conjunto formado por los números reales que son imágenes de los valores de D(f)
Im(f)= 1, Im(g)= 1,
4. Puntos de corte con los ejes.-Signo de la función.-
Es importante conocer la posición relativa de la gráfica de la función respecto de los ejes coordenados:
Si conocemos la fórmula: si la expresión algebraica de f es y f(x) :
-Los puntos de corte con el eje de abscisas, se calculan resolviendo el sistema formado por la fórmula de la función y la ecuación del eje de abscisas: y 0
0 ) ( y x f y
A(f(a),0) (puede haber más de uno)
Los puntos de corte con el eje de ordenadas, se calculan resolviendo el sistema formado por la fórmula de la función y la ecuación del eje de ordenadas: x 0
0 ) ( x x f y
B(0,f(0)) (sólo puede haber uno).
Ejemplo: Los puntos de corte de la función: y x2 4 con los ejes coordenados son:
Con el eje de abscisas: 2,0 ' 2,0
0 2 0 0 4 0 4 2 2 A A y x y x y x y
Con el eje de ordenadas: 0, 4
0 4 0 4 2 B x y x x y
Si conocemos la gráfica: sólo hay que buscar los puntos comunes de la gráfica con cada eje.
Ejemplo:
Determinar el signo de una función, y f(x), es obtener los valores de su dominio para los cuales se cumple que: f(x) 0, f(x) 0 y f(x) 0.
Si conocemos la gráfica: Si observamos la gráfica del ejemplo anterior:
La función es positiva en el intervalo: I 2,1 3,
La función es negativa en el intervalo: I , 2 1,3
La función se hace 0 en: 2,1,3
Si conocemos la fórmula: El signo de f puede cambiar en:
-Los valores, x, en los que f(x) 0, es decir, en las abscisas, x, de los puntos de corte con el eje de abscisas.
-Los valores, x, que no están en el D(f).
El signo de f, solo pueden cambiar en dichos valores; por lo que se representan todos sobre la recta graduada, de manera que la recta queda dividida en zonas. Por último, se estudia el signo de f en cada una de ellas (dando un valor a x en cada zona y observando el signo de f(x)).
Ejemplo.-
4 1 )
( x x x f
Abscisas de los puntos de corte con el eje de abscisas (A( 1,0)): x = 1
Valores de x que no están en el D(f): x = 4. Los llevamos sobre la recta graduada:
Signo de y
Valores de x
Luego: I , 1 4, y I 1,4
5. Simetrías: Paridad de f.-
Una función, y f(x),es par o simétrica respecto al eje de ordenadas, si verifica que cada dos números reales y opuestos de su dominio: a,a D(f) , tienen la misma imagen: f( a) f(a)
Ejemplo: f(x) x2 , es par porque:
2 2 2
a a a f
a a f
observamos que: f( a) f(a)
Una función, y f(x), es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas, si se verifica que cada dos valores reales y opuestos de su dominio: a,a D(f), tienen imágenes opuestas:
) ( )
( a f a
f .
Ejemplo: f(x) x3 , es impar porque:
3 3 3
a a
a f
a a f
Gráficamente se refleja de la siguiente forma:
Función par Función impar
Si se trata de una función par, al doblar el papel por el eje de ordenadas, la gráfica de f, queda dividida en dos ramas que están superpuestas.
Si se trata de una función impar, al doblar el papel por el eje de ordenadas ( primero) y por el eje de abscisas ( después), la gráfica de f queda dividida en dos ramas que están superpuestas.
6. Continuidad de una función.-
Gráficamente: Una función es continua en x a, si su gráfica no se interrumpe al pasar por a (dibujándola de izquierda a derecha); en caso contrario, se dice discontinua enx a.
Las discontinuidades que se pueden producir en un punto de la gráfica, reciben un nombre diferente dependiendo del tipo de interrupción del que se trate.
Ejemplos.-
Discontinuidad de salto infinito en x=1 Discontinuidad de salto finito en x=1
Estas funciones son discontinuas en a, por distintos motivos:
La primera gráfica presenta en x=1 ramas infinitas, es decir, los valores de y crecen indefinidamente cuando los de x se aproximan cada vez más a 1.
La segunda gráfica presenta una interrupción en x=1 de salto (que mide 1 unidad).
A las gráficas tercera y cuarta, o le falta el punto (1, ), o dicho punto está fuera de los puntos del resto de la gráfica (1, 3).
Una función es continua en un intervalo, I D(f), si no presenta ninguna discontinuidad en él.
(Podemos dibujar la Gráf(f) de izquierda a derecha en el intervalo I, sin levantar el lápiz del papel).
7. Variación de una función: Crecimiento, decrecimiento , máximos y mínimos de la función.-
Si I es un intervalo del D(f): I D(f):
-Se dice que y f(x) es creciente en I(Ic) si a medida que aumenta (o disminuye) x en I, aumenta (o disminuye) y: “Si a,b Ic con a<b, se cumple que f(a) f(b)”.
A Ic se le llama intervalo de crecimiento de f
Si en lugar de f(a) f(b), se cumple f(a) f(b), se dice que y f(x), es estrictamente creciente en I.
-Se dice que y f(x) es decreciente en I(ID) si a medida que aumenta (o disminuye) x en I, disminuye (o aumenta) y: “Si a,b ID con a<b, se cumple que f(a) f(b)”.
A ID se le llama intervalo de decrecimiento de f
Si en lugar de f(a) f(b), se cumple f(a) f(b), se dice que y f(x), es estrictamente decreciente en I.
Una función puede ser creciente en unos intervalos y decreciente en otros.
-Se dice que y f(x) presenta un máximo relativo en x=a, cuando el valor de la función en a, f(a), es mayor que el valor de la función en los valores del alrededor de a. En un máximo relativo, la
función pasa en a, de ser creciente a ser decreciente.
-Se dice que y f(x) presenta un mínimo relativo en x=a, cuando el valor de la función en a, f(a), es menor que el valor de la función en los valores del alrededor de a. En un mínimo relativo, la
función pasa en a, de ser decreciente a ser creciente.
A los máximos y mínimos relativos de una función, se les llama: extremos relativos de dicha función.
Creciente Decreciente Máximo relativo:(2,4) Mínimo relativo:( 1, 2)
8.Tendencia y Periodicidad.-Asíntotas.-
Ejemplo1: La siguiente gráfica presenta la cantidad media de ejemplares por hectárea de una cierta
especie vegetal que se encuentra con frecuencia en una comarca, en función de la altura a la que se encuentra el terreno:
Observamos que, a partir de una cierta altura, cuanto más se sube menos ejemplares se encuentran; y que a partir de 1700 m, casi no hay plantas de este tipo.
Podemos afirmar que: “Cuando la altura aumenta por encima de los 1700 m, el número de plantas tiende a 0”
Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo donde han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.
Ejemplo2: Si observamos la siguiente gráfica: Nº ejemplares
por ha.
100 200 300
A medida que los valores de x se aproximan cada vez más a a, los valores de y se hacen cada vez más grandes en valor absoluto. Por eso se dice que la recta: x=a, es una asíntota vertical.
A medida que los valores de x los tomamos cada vez más grandes en valor absoluto (ya sea cada vez más a la derecha, o cada vez más a la izquierda), los valores de y se acercan cada vez más a b. Por eso se dice que la recta: y=b es una asíntota horizontal.
Ejemplo3: Si representamos la variación de la altura de uno de los cestillos de una noria cuando esta da
vueltas, obtenemos la gráfica siguiente:
Observamos que cada 30 segundos da una vuelta completa; y en este tiempo, sube, llega al punto más alto (45 m) al cabo de 15 seg, baja y llega al suelo. Este movimiento se repite a cada vuelta, y la gráfica en [0, 30], se repite reiteradamente: Se dice que esta función es : periódica de periodo 30.
Una función es periódica, si su comportamiento se repite cada vez que la variable x recorre un cierto intervalo. La longitud de dicho intervalo se llama periodo.
Muchos fenómenos reales siguen un comportamiento periódico. La consideración de estas funciones es de gran ayuda para estudiar dichos fenómenos, ya que estudiando lo que ocurre en un periodo, se puede extender al resto de la función.
