CÁLCULO UNIDAD Nº II Matrices, Sucesiones y Límites

CÁLCULO

UNIDAD Nº II

Matrices, Sucesiones y Límites

Introducción

Esta semana 4 trabajaremos los conceptos de límites de funciones, nos preguntaremos ¿Que son?, ¿Cómo se resuelven? y conoceremos distintos tipos de límites, sus particularidades, métodos de trabajo y las condiciones necesarias para poder determinarlos.

Estudiar límite, es muy relevante en el estudio de funciones, nos introduce al mundo del “cálculo infinitesimal”, por lo cual previamente reforzaremos los conceptos asociados al trabajo con el infinito y sus propiedades.

El cálculo de limite es una herramienta muy importante tanto para las matemáticas como para la física, es un concepto que nos entrega a que valores tiende una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Todos estos conceptos, tienen gran importancia para seguir con el estudio de Derivadas.

SEMANA 4

Ideas Fuerza

• El límite de una función corresponde al valor al que “tiende” la misma, cuando la variable independiente se acerca a algún número determinado.

• Una función poseerá límite en un punto determinado si y solo si, sus límites laterales, son iguales.

• Una función es continua si se puede dibujar sin necesidad de “levantar el lápiz del papel”. Es decir, si no posee alguna interrupción a lo largo de la curva.

• Las discontinuidades de funciones pueden ser reparables o irreparables, dependiendo de si estas poseen un límite definido en el punto evaluado.

• Infinito es una concepción matemática que representa a los conjuntos que no tienen final, o sea, cuya cantidad de elementos no es fija.

Desarrollo

1.- Limite de funciones

1.1.- Introducción al límite mediante el problema de la recta tangente Para poder comprender más fácilmente el concepto de límite, veámoslo desde un problema en particular, “Pendiente de la recta tangente a una curva”.

Cuando una recta corta a una curva en 2 puntos se trata de una recta secante y conforme estos puntos se acercan entre sí reduciéndose la distancia entre ellos a cero, la recta toma el nombre de recta tangente y el punto donde toca es llamado punto de tangencia.

La tangente es una recta que indica cual es la inclinación que está teniendo esa curva en “un punto determinado” y se puede decir que la tangente

«forma un ángulo nulo» con la curva en la vecindad de dicho punto.

A medida que se consideran distintos puntos, la pendiente irá cambiando, entonces, lo que podría hacer es marcar 2 puntos de la curva, uno en el lugar que queremos dibujar la tangente y otro en cualquier otro punto, al cual iremos acercando al primero hasta que estén tan cerca que sean prácticamente un solo punto.

Veamos esta situación con el siguiente ejemplo.

Sea la función f (x) = (

x

²/2), encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 4

Primero, obtener la tabla de pares ordenados y posteriormente grafiquemos la curva f (x).

x f(x)

-5 12,5

-4 8

-3 4,5

-2 2

-1 0,5

0 0

1 0,5

2 2

3 4,5

4 8

5 12,5

Si trazamos una recta secante pasando por el punto de tangencia (4,8), punto en el cual nos solicitan calcular la tangente de la curva f(x).

Ahora para explicar consideremos una gráfica general, de una función cuadrática, por la cual se traza una recta secante, donde los puntos P y Q, son aquellos puntos en la cual la recta secante corta a f (x), la pendiente de esta recta secante será:

-8-7 -6-5 -4-3 -2-10123456789 10

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8-7 -6-5 -4-3 -2-10123456789 10

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

f(a+h)-f(a) m = h

Tal como se mencionó anteriormente, cuando una recta corta a una curva en 2 puntos se trata de una recta secante y conforme estos puntos P y Q, se acercan entre sí, reduciéndose a cero la distancia h entre ellos, la recta toma el nombre de recta tangente.

Para la solución al problema planteado, escogeremos el punto

f (4+h)

sobre la curva, no muy lejos del punto de tangencia (4,8), y calculamos la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos, donde

h

es un número que nosotros escogemos.

Repetiremos los cálculos tomando valores de

h

cada vez más pequeños, tanto por la izquierda como por la derecha del punto de tangencia y observaremos el valor de las pendientes conforme h se acerca a cero.

Al irnos acercando al punto de tangencia, desde la izquierda y desde la derecha (ver tabla de valores de h y m), se visualiza que el valor de la pendiente m en el punto solicitado tiende a 4, “siendo este el concepto de límite”.

1.2.- Concepto intuitivo de límite

El concepto intuitivo de límite va muy unido a lo visto en la semana 1,

“tema de sucesiones convergentes y divergentes” y lo recientemente tratado, en el caso del problema de la recta tangente. El límite es aquel valor al que “tiende” una sucesión o función cuando se acerca a un número determinado.

Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L, y se escribe:

h m

0,78 3,90

0,59 3,93

0,40 3,95

0,20 3,98

0,20 4,03

0,40 4,05

0,61 4,08

0,82 4,10

4

4 4 ª 4 4

Lo primero que implica el concepto de límite de una función

f (x),

es que si esta, se encuentra bien definida en un punto

n

en particular, es decir sí existe

f (n),

y la función es continua en ese punto, el límite de la función será:

1.3 Límites Laterales

Hay funciones las cuales, además de realizar una transformación interna, van cambiando según el valor que tome x. Por ejemplo, si tenemos la función:

Esta función indica que cuando x sea menor que 1, su función será x + 2, pero que, a partir del 1 hacia adelante, su función será 3x-1. En este tipo de funciones que está definida por partes, su cálculo de límites es más complejo que la evaluación en un solo punto.

Así, si quisiéramos evaluar

Primero, grafiquemos la función, la cual resulta según lo mostrado a continuación.

lim f(x) = L x c

x + 2, x < 1 3x - 1, x ≥ 1

{

f (x)

lim f(x) x 1

Ahora, evaluemos la función en el punto x = 1.

Este punto pertenece a la función f (x) = 3x -1, y el f (1) = 3*1 – 1 = 2

Si nos quedáramos ahí podríamos decir que 2 ese es el límite de la función, pero hay que verificarlo, calculando el límite de la función por ambos lados. tal como lo hicimos al tratar el problema de la recta tangente:

Si hacemos el recorrido desde la derecha, veremos que debemos considerar la línea de la segunda función, por lo que desde ese lado su límite es 2, como ya lo calculamos.

Al hacer el recorrido desde la izquierda, debemos considerar la función x + 2, y su valor tenderá a 3 cuando x se aproxima a 1. Entonces su limite desde la izquierda es 3, mientras que el de la derecha es 2.

0 1 2 3 4 5

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Estos límites, calculados desde la izquierda y desde la derecha, es lo que llamamos “límites laterales”, y se denotan de la siguiente forma:

La diferencia entre esta notación y la anterior es la presencia de los signos + o –, que se encuentran al lado del número n al que se tiende. Estos signos indicaran de qué lado se solicita la evaluación. Cuando es + se solicita una evaluación por la derecha, y cuando es – se solicita una evaluación por la izquierda.

En nuestro caso, los limites laterales son:

La regla de los límites laterales indica que, una función tendrá un límite total en un punto determinado, siempre y cuando:

En el ejemplo, al ser distintos, no existe un límite total, sólo laterales.

1.4.- Propiedades de los límites

Así como la mayoría de las relaciones matemáticas, el cálculo de límites tiene distintas propiedades que conviene analizar.

1.4.1.- Límite de una constante.

Sea f (x) = k, donde k una constante, entonces.

lim f(x) lim f(x)

x n- x n+

lim (f(x)) = 3 x 1-

lim (f(x)) = 2 x 1+

lim (f(x)) = lim (f(x))

x n- x n+

lim k = k

x n

Para este ejemplo f (x) = 1, y su límite será constante e igual a 1.

1.4.2.- Límite de la función identidad.

La función f(x) = x, es llamada función identidad, cuando para cualquier valor de x, el valor de f(x) = y = x.

La expresión del Limite de esta función se denota:

Esto es claramente explicado por la forma de resolver los problemas de límites en que se indica que, si la función está definida en algún punto en particular, el valor del límite es el resultado de calcular la función en ese punto.

En este caso, la función identidad está siempre definida a lo largo de la recta.

1.4.3.- Límite del producto de una función por una constante.

Sea f(x) una función cualquiera, con límite L cuando x c. Además, sea k un número constante cualquiera. Luego:

O sea, si se multiplica una función por una constante, sus límites también son multiplicados.

1.4.4.- Límite de la suma de funciones.

Sean f(x) y g(x) 2 funciones distintas, el limite de su suma estará definido por:

0 1 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

lim f(x) = c

x c

lim (k f(x)) = k *(lim (f(x)) = k * L

x c x c

Es decir, el límite de la suma de las funciones es igual a la suma de los límites de cada una de ellas.

Ejemplo:

Sea f(x) = 2x+6, y g (x) = x²+2, encontrar el límite de f(x) + g(x) cuando x tiende a 6.

De acuerdo con lo expuesto, resolver esto de las 2 formas posibles.

Primero, calculemos la suma de las funciones y obtengamos su límite.

h(x) = f(x) + g(x) = 2x+6+ x²+2 = x²+2x+8

Para calcular el límite, se debe evaluar la función en el punto que se está solicitando, en este caso x = 6

Ahora, calculemos el límite de cada función por separado.

lim (f (x) + g (x)) = lim (f (x))+ lim (g (x))

x c x c x c

lim (h (x)) = 6² + 2_* 6 + 8 = 36 + 12 + 8 =56

x 6

lim (f (x)) = 2_* 6 + 6 = 12 + 12 + 6 =18

x 6

lim (g (x)) = 6² + 2 = 38

x 6

lim (f (x)) + lim (g (x))= 18 + 38 = 56

x 6 x 6

1.4.5.- Límite de la resta de funciones.

El caso de la resta de funciones se trabaja de forma similar que la de la suma.

Sean f(x) y g(x) dos funciones distintas, el limite de su resta está definido por:

O sea, el resultado del límite de la resta de funciones es igual a la resta de los límites respectivos.

1.4.6.- Límite de la multiplicación de funciones.

Sean f(x) y g(x) 2 funciones distintas. El límite de su multiplicación estará definido por:

Es decir, el límite de una multiplicación de funciones estará determinado por la multiplicación de sus respectivos límites.

1.4.7.- Límite de la división de funciones.

Sean f(x) y g(x) 2 funciones distintas. El límite de su división estará definido por:

Es decir, el límite se puede calcular dividiendo las 2 funciones, o dividiendo los límites por separado. Lo importante es que el límite de la función divisora no puede ser cero.

lim (f (x) - g (x)) = lim (f (x)) - lim (g (x))

x c x c x c

lim (f (x)

_*

g (x)) = lim (f (x))

_*

lim (g (x))

x c x c x c

(lim (f (x))

x c

(lim (g(x)) lim f (x)

g (x) =

x c x c

1.5.- Definición de infinito.

El infinito es una concepción matemática que representa a los conjuntos que no tienen final, o sea, cuya cantidad de elementos no es fija, sino que pueden ser contadas de forma ilimitada. Un ejemplo clásico de conjunto infinito son los números, ya sean naturales o reales. Podremos siempre encontrar números mayores que otros.

Un número infinito es una abstracción del mismo tipo, que a utilizamos como si fuera un número, pero infinito no se comporta como un número algebraico (Infinito más infinito no es igual a 2 infinitos, por ejemplo).

Sin embargo, sirve para representar la existencia de números más grandes que nuestro conocimiento y se expresan con el signo .

De igual modo, también se tiene el concepto de infinito negativo, representado por el signo y que indica que siempre existirá un número menor que otro.

Al realizar análisis con el infinito, hay que tener presente algunas aseveraciones importantes, resultado de los cálculos matemáticos, que serán relevantes más adelante:

Si α es cualquier número real, entonces:

Estas cuatro aseveraciones, implican que, si a cualquier valor se le suma o se le resta infinito, el signo de infinito tiene preponderancia.

α + ∞ = ∞

α + (-∞) = -∞

α - ∞ = -∞

α - (-∞) = ∞

Por otro lado

Implica que, si se divide cualquier número real por el infinito en ambas formas, al ser una división tan gigantesca, su valor terminará siendo 0 (o tendiendo a 0).

Estas 2 aseveraciones indican que cuando se multiplica un valor distinto de cero por infinito, el infinito se mantiene, pero el signo de este dependerá de los signos de ambas partes.

Por otro lado, hay otros términos que se trabajan en el infinito que son indeterminados, ya que no se puede saber qué valor tiene, ya que, en algunos casos, habría que asumir que alguno de los infinitos es mayor que el otro, lo cual es imposible. Estas aseveraciones son:

α

∞

α

-∞

= 0

= 0

α x ∞ = ∞

, siempre y cuando

α

sea mayor a cero

α x (-∞) = -∞

, siempre y cuando

α

sea menor que cero

0 x ∞ ⁼

Indeterminado

0 x (-∞) ⁼

Indeterminado

∞ ⁺ (-∞) ⁼

Indeterminado

∞ ^- ∞ ⁼

Indeterminado

± ∞

± ∞

(± ∞)

⁰

⁼

Indeterminado

1

^{± ∞}

⁼

Indeterminado

=

Indeterminado

Hay que recordar que infinito no es un número, y que todas estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente

un recurso para ayudarnos a resolver límites.

El concepto de infinito tiene una gran utilidad en el trabajo con límites, porque permite acercarnos al concepto de convergencia, dado que hay límites que no se pueden resolver de la forma tradicional, como, por ejemplo:

Si queremos resolver este límite, deberíamos primero evaluar la función en el punto x = 2.

Dado que, en el cálculo de los números reales, no se puede dividir por 0, deberemos calcular sus límites laterales, para ello hay que calcular el límite de la función avanzando desde la izquierda, tomando valores menores a 2 para luego irse acercando, y hacer lo mismo desde la derecha, tomando valores mayores a 2 para luego acercarse.

Hagámoslo primero por la izquierda, partiendo desde el 1,75 y acercándonos al 2, lo que se resume en la siguiente tabla:

Se observa, que los valores aumentan muy rápidamente, mientras más nos acercamos a 2. También se puede decir que ese acercamiento no converge a un número en particular. Entonces, eso significa que el límite va a llegar a (Al infinito positivo)

x 2 x - 2

lim x - 3

(lim (f (x)) -1

x 2 2 - 2 0

lim 2 - 3

=

X_n f(x_n)

1,75 5

1,9 11

1,99 101

1,999 1001

1,9999 10001

1,99999 100001

En la tabla observamos que en la medida que nos acercamos al 2 por la izquierda, los valores aumentan muy rápidamente, no convergiendo a un número en particular. En este caso, el límite será (Al infinito negativo).

Esto queda más claro cuando se grafica la función explicada, se ve que por ambos lados la función crece hacia extremos distintos, aumentando hacia el infinito por la izquierda, pero disminuyendo hacia el infinito si se viene desde la derecha:

X_n f(x_n)

2,25 -3,00

2,1 -9,00

2,01 -99,00

2,001 -999,00

2,0001 -9999,00 2,00001 -99999,00

Lo primero que se puede concluir es que esta función no tiene un límite total (Limites laterales distintos).

Lo segundo, es que una división por 0 tenderá a dar números infinitos a medida que nos vayamos acercando a 0. Esta segunda propiedad será muy importante más adelante.

A pesar de que la función no tiene un límite definido, sí tiene 2 límites laterales distintos y bien definidos, cada uno por su lado. Estos se pueden escribir como:

Por otro lado, podemos intentar evaluar esta misma función cuando sigue hacia el infinito. Volvamos a ver el gráfico:

x 2 + x - 2

x 2 - x - 2

lim x- 3

=

lim x- 3

=

Las flechas indican hacia donde debemos mirar: el infinito positivo se encuentra mucho más a lo largo de la derecha de lo que vemos, y el infinito negativo está mucho más a la izquierda. Cuando en la unidad 1, hablamos de convergencia, dijimos que, si se acercaba a algún valor al avanzar al infinito, la sucesión era convergente, y si no tendía a ningún valor era divergente. Hagamos ese mismo ejercicio acá:

Primero intentemos calcular hacia donde tiende la función, si es que se sigue moviendo hacia la izquierda, o sea, hacia el infinito negativo. Para ello, volvamos a realizar la tabla, pero añadiendo cada vez números negativos con valor absoluto más grande:

Como se aprecia, el valor de la función es siempre mayor y se acerca a 1, pero sin tocarla. Si quisiéramos seguir hacia adelante, podríamos ver que seguirá la misma tendencia. Por ello, decimos que la función es convergente en ese lado y que cuando, su límite es1. Esto se escribe de la siguiente forma:

x lim x - 2x- 3 1

=

Por el otro lado, hacemos lo mismo con los valores más a la derecha de la recta de x, viajando hacia el infinito positivo.

Para calcular los límites que tienden al infinito o cuyos valores terminan siendo infinito, existen algunas reglas que simplifican la resolución de problemas, las cuales veremos brevemente a continuación:

Sean a y b, dos números reales, entonces:

Sean f(x) y g(x), dos funciones polinómicas, donde el grado (exponente de la variable x) de la función f(x) es menor que el de g(x).

x lim x - 2x- 3 1

=

lim a

x

∞

_x

⁼

⁰

lim a

x

∞

_x^b

⁼

0, si b > 0

Sean f(x) y g(x), dos funciones polinómicas, donde el grado (exponente de la variable x) de la función f(x) es mayor que el de g(x).

Sean f(x) y g(x), dos funciones polinómicas, donde el grado (exponente de la variable x) de la función f(x) es igual que el de g(x), a la vez que a es el coeficiente numérico de la mayor potencia de f(x) y b es el g(x).

Sea n un número cualquiera positivo, entonces se cumple que:

lim f(x)

x

∞

_g(x)

⁼

⁰

lim f(x)

x

∞

_g(x)

^{= ∞}

lim f(x)

a

x

∞

_g(x)

⁼

^b

lim a

x ⁰⁺ xⁿ

= + ∞

lim a

x ^0- xⁿ

= +∞,

si n es par

Sean f(x) y g(x) dos funciones reales,

y c es un número real distinto de cero, entonces:

Sean f(x) y g(x) dos funciones reales,

y c es un número real distinto de cero, entonces:

lim a

x ^0- xⁿ

= -∞,

si n es impar

lim f(x)

=

⁰

x

^α

lim g(x)

=

^+∞

x

^α

lim f(x) + g(x)

=

^+∞

x

^α

lim f(x) _* g(x)

=

+∞, si c es > 0 x

^α

lim f(x) _* g(x)

= - ∞

, si c es < 0 x

^α

lim f(x)

=

⁰

x

^α

lim g(x)

= -

∞ x

^α

lim f(x) +g(x)

= ^-

^∞

x

^α

lim f(x) _* g(x)

= - ∞

, si c es > 0 x

^α

1.6.- Límites especiales.

Además de los vistos anteriormente, hay límites particulares que no se pueden calcular de las formas anteriores, pero que son importantes de tener en cuenta cuál es su valor determinado. Por ejemplo, uno de los límites que se pueden usar y que tienen un valor determinado es:

como igualdad fundamental, o en su forma general

siendo g(x) una expresión que tiende bien a + o bien a - , en el infinito.

El número

e

es constante, llamado número de Euler, de carácter irracional, cuyo valor es 2,71828….

Ante la presencia de un límite de este tipo, hay que simplemente tener presente que

e

es el resultado de este.

1.7.- Cálculo de límites por distintos métodos.

El cálculo de límites puede ser sencillo, si se presenta alguna de las funciones aparecidas anteriormente. Sin embargo, en general, no serán tan fáciles de resolver, por lo que habrá de transformarse la función a alguna forma de las que se han visto, o realizar algún cálculo previo. Para ello se pueden realizar distintos métodos de resolución.

1.7.1.- Método algebraico.

Este método consiste en transformar límites indeterminados en límites calculables, usando factorizaciones o racionalizaciones.

Estas factorizaciones se pueden realizar gracias a las propiedades de los polinomios que revisaremos brevemente:

Método Factor común: Si se encuentra un factor que es igual a todos los elementos de un polinomio, se puede “extraer” del mismo y transformarlo en 2 polinomios multiplicados. Por ejemplo:

X³ – 2x² – x = x (x² - 2x – 1)

Cuadrado de binomios: Si a un binomio (Polinomio de 2 elementos) se multiplica consigo mismo, dará el primero al cuadrado, más o menos, según sea el signo que se encuentre entre los factores del binomio, 2 veces el resultado de la multiplicación del primero con el segundo, sumado al segundo al cuadrado:

( a ± b )² = a² ± 2 ab + b

Suma por su diferencia: Si a un binomio se le multiplica el mismo binomio, pero con el signo cambiado, dará como resultado el primer elemento al cuadrado, menos el segundo elemento al cuadrado.

(a + b) * (a – b) = a² – b²

Multiplicación de binomios: Si se multiplican 2 binomios de la forma (x ± a) * ( x ± b) = x² ± x (a + b) ± ab

Cubo de binomios:

(a ± b)³ = a³ ± 3 a²b – 3 ab² ± b³

Diferencia de cubos: Si se multiplica un binomio con un trinomio.

(a – b) * (a² + ab -b²) = a³ – b³

Esto significa que, cuando se encuentran elementos de la forma que se

Todas estas propiedades se pueden utilizar en el sentido opuesto, es decir, ante un polinomio dado, definir que se encuentra frente a una de las circunstancias mostradas anteriormente y aplicar la misma para separar sus respectivos factores.

Con esto en cuenta, podemos realizar ejercicios que requieran la factorización de polinomios, que nos permitan simplificar límites indeterminados, de forma tal de poder calcularlos.

Por ejemplo, tengamos el siguiente límite:

Como primer paso, es evaluar la función en el punto al que tiende x, es decir con x= 4, en este ejemplo:

Se puede apreciar que la función en ese punto es indeterminada, por lo que no se puede sacar el límite así de fácil. Ante ello, lo que se puede hacer es factorizar el denominador de la función. Aplicando las reglas expresadas más arriba, se puede obtener la siguiente expresión:

Ahora simplificando la función, mediante la eliminación del factor (x – 4), el límite buscado se reduce a:

Lo que nos permite ahora evaluar el limite en el punto x = 4

lim x - 4

x

⁴ x² - 7x + 12

lim 4 - 4 0

x

⁴ 4² - 7 * 4 + 12

=

0

=

Indeterminado

lim x - 4

x

⁴ (x - 3 ) (x - 4)

lim 1

x

⁴ (x - 3 )

Este fue un ejemplo de cómo resolver este tipo de límites fraccionarios, encontrando algún tipo de factor común.

1.8.- Continuidad de funciones

Para poder adentrarnos en el concepto de continuidad de funciones, recordaremos brevemente que “Dominio de una función”, son todos los valores que puede tomar la variable independiente , de tal forma que exista un resultado válido.

Por ejemplo, en una función de la forma: f(x) = √𝑥 , x no puede en esta función tomar valores negativos ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe en los reales, Por ende, podemos notar que los valores que puede tomar la variable 𝑥 van desde el cero hasta el infinito positivo. Es decir, el dominio de la función viene dado por:

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0, +∞[

Esta notación, se explica de la siguiente forma:

Donde el corchete apuntando hacia afuera indica que el rango del dominio abarca hasta ese punto, sin considerarlo. Los rangos que llegan hasta infinito deben tener el corchete hacia afuera, ya que es imposible que exista un valor determinado como infinito, fue tratado en el capítulo anterior.

Recorrido de una función: Son todos los valores que puede tomar la variable dependiente y = f(x) a lo largo de la recta de valores independientes.

Por ejemplo, la forma: f(x) = x²

Si graficáramos la función, el resultado será una parábola, donde los valores de y serán desde 0 hasta “el infinito”. Nunca se tendrá un valor negativo. Es decir, su recorrido irá desde el 0 (Incluyéndolo) hasta el infinito positivo. Esto se escribe:

lim 1 1 1

x

⁴ (4 - 3 )

=

1

=

1.9.- Definición de continuidad

El concepto intuitivo de continuidad de funciones es muy fácil de entender.

Corresponde a que, si se grafica la función en la recta de los reales, se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, lo que implica que no se corta en ninguna parte. Una gráfica de función continua podría ser:

Matemáticamente, por otro lado, también es relativamente simple el concepto de continuidad.

En general, las funciones tienen puntos clave que las hacen ser discontinuas, por lo que cualquier evaluación de esta condición se debe hacer en esos puntos determinados. Una función f(x) cualquiera es continua en un punto x = a, si:

La función f(x) está definida en f(a), Esto implica que a debe estar dentro del rango del dominio de la función.

Si, por ejemplo, tuviéramos la función:

Y quisiéramos evaluarla en X = 2, resultado es 0.

Hay que recordar que las raíces cuadradas principales siempre son positivas y que la raíz cuadrada de 0 es 0 y que solo se puede tener la raíz cuadrada de valores mayores o iguales a 0.

f(x)= Ѵ ^x-2

Con ello, ya podemos decir que la función no es continua para valores menores que 2, y por tanto su dominio incluye el valor 2.

Por tanto, si queremos evaluar la continuidad de una función en un punto, debemos verificar si la función se encuentra definida en ese punto.

1.10.- Propiedades de la continuidad

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumplen las siguientes propiedades.

• La función resultante de la suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.

• La función resultante del producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.

• La función resultante del cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.

• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g * f) (x) es también continua en a.

1.11.- Discontinuidad

Existen funciones que poseen discontinuidades que pueden ser modificadas de forma tal de que se transforme en una función continua, pero hay otras que no pueden serlo, debido a ciertas condiciones. Las veremos y analizaremos brevemente.

1.11.1.- Discontinuidad reparable

Una función discontinua en el punto x = a, será reparable, si existe

y es un límite finito.

Ahora existen dos situaciones:

Caso 1.- La función f(x) no se encuentra definida en x = a Ejemplo:

Si quisiéramos evaluar la continuidad de la función en el punto x = 0, veríamos que la misma no está definida en ese punto, por lo que no puede ser evaluada ahí. Sin embargo, si calculamos su límite, veremos que desde la derecha su valor es 0, mientras que desde la izquierda también es 0, por lo que éste existe.

Ante ello, podemos hacer una modificación muy pequeña para hacer continua la función. Esta consiste en modificar una de las líneas para que incorpore el valor x

= 0.

Por ejemplo, podríamos modificar la segunda línea y nos quedaría:

Podemos hacer lo mismo con la primera línea, y sería lo mismo.

Caso 2.- La imagen de la función, valor de f(a), es distinto del límite de esta.

Ejemplo:

1.11.2.- Discontinuidad irreparable

Asimismo, hay funciones que no pueden ser reparadas bajo el método anterior. Estas serán en las que existan diferencias entre los límites de la función desde la derecha y desde la izquierda. Esto implica que el límite general de la función no existe.

Estas funciones discontinuas se pueden clasificar en 3 categorías:

- x, x < 0 f(x) =

x, x > 0

- x, x < 0 f(x) =

x, x ≥ 0

f(x) = x2 - 7x - 12 x-4

• Discontinuidad irreparable de salto finito: En estas funciones, la diferencia entre los límites es un valor numérico, por lo que es medible.

• Discontinuidad irreparable de salto infinito: En este tipo de funciones discontinuas, los límites se distancian por un valor infinito, ya sea porque uno de los límites tiende al infinito, o los 2.

• Discontinuidad esencial: Estas discontinuidades irreparables se dan cuando una función no posee un límite lateral, ya que la función tiene un dominio definido en un segmento de la recta de los números reales y está siendo evaluado en uno de los extremos de ese segmento.

Conclusión

Esta semana aprendimos que el concepto de límite funcional está relacionado con el valor al que se aproxima la función, con la variación de los valores de Dominio, cuando estos “tienden” a un valor determinado.

Visualizamos además su representación geométrica con la tangente de una curva.

Por otro lado, conocimos las principales propiedades que componen el trabajo con límites y los procedimientos para poder determinarlos, entendiendo que el límite de una función, en un valor determinado por la variable independiente x, y que es un número al cual tiende la función, cuando la variable tiende a dicho valor.

Para el desarrollo del contenido de límites, revisamos la existencia de límites que existen, dado que, para poder resolverlos los problemas relacionados, es necesario identificar el tipo de límite al que corresponden, para posteriormente aplicar la estrategia adecuada.

Otro de los aspectos que se requiere tener muy presente es que “no todas las funciones tienen límite”.

Bibliografía

• James Stewart. (2008). Cálculo de una variable. Cruz Manca, Santa Fe, México: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.