Parte 5: Graficación de Funciones

(1)

Emplea funciones polinomiales.

Competencias disciplinares básicas:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:

Construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales; para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

(2)

Secuencia didáctica 1.

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

Inicio

Desarrolla lo que se pide.

1. ¿Qué es un polinomio?, proporciona un ejemplo.

2. ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

3. Escribe un ejemplo de la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen.

4. ¿Qué significa la pendiente de una recta?

(3)

BLOQUE 3 165 Evaluación

Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal

Reconoce las características de las funciones de grado cero, uno y dos.

Determina las características principales de las funciones de grado cero, uno y dos.

Muestra interés al realizar la actividad y mostrar sus conocimientos previos.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente 6. ¿Qué es la ordenada en el origen?

7. Escribe un ejemplo de una ecuación cuadrática.

8. ¿Cuál es la forma de una ecuación cuadrática?

9. ¿Qué es el vértice en una ecuación cuadrática?

(4)

Desarrollo

Concepto de función polinomial de una variable.

En el bloque 1 se introdujo a las funciones polinomiales, también llamadas funciones polinómicas; la regla de correspondencia que las distingue es:

0 1 2 2 3

n 3 n 2 n 2 n 1 n 1 n n

nx a x a x a x ... a x a x a

a x

f , donde an, an-1,…, a1, a0 son constantes, n es un

número no negativo y el grado de ella es n.

Características de las funciones polinomiales.

Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:

1. f x 7 es de grado cero, se le conoce como función constante. 2. f x 4x 1 es de grado uno, también conocida como función lineal. 3. f x x2 5x 6 es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. 4. f x 4x2 5x3 1 es de grado tres y se le conoce como función cúbica.

5. f x 2x4 4x2 x3 1 es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica. Las gráficas de cada una de ellas son:

7 x

f fx 4x 1 fx x2 6x 6

x f (x)

1 x 5 x 4 x

f 2 3 fx 2x4 4x2 x3 1

x f (x)

(5)

BLOQUE 3 167 El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuártica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. En general, si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales.

En esta secuencia se abordarán funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, sus características y la influencia de los parámetros en el trazo de su representación gráfica.

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Complementación de la _tabla. Puntaje: Saberes

Identifica las características de

las funciones polinomiales. Determina las características de las funciones polinomiales. Muestra interés al realizar la actividad y reconoce la importancia de sus conocimientos previos.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente Completa la siguiente tabla reconociendo el grado y el coeficiente principal.

Función Tipo de función Grado Coeficiente _principal

r x x x f 3 x x 3 x 2 x

f 4 2

x 1 x 3 x f 2 5 x f 6 x 9 x f x 4 x x 4 x

f 5 2

(6)

Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica.

La función constante.

La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:

a x

f , donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo 1.

Graficar la función f x 5, determinar su dominio y rango.

La función también se puede expresar como y 5, por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra a continuación.

x f (x)

Su dominio y rango son:

5 : Rango

, : Dom

Ejemplo 2. Graficar la función

2 7 x

g , determinar su dominio y rango.

La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale a 5

. 3

y .

x g(x)

Su dominio y rango son:

2 7 : Rango

(7)

Actividad: 3 Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes

Reconoce la función constante,

su dominio y rango. Traza e interpreta la gráfica de la función constante. Escucha la retroalimentación de la actividad con interés y respeta los comentarios de sus compañeros.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente Responde lo que se pide.

1. Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

4 x h

3 10 x

L y 24

: Rango

: Dom

: Rango

: Dom

: Rango

: Dom

2. Analiza la gráfica que representa la posición de un automóvil y explica qué ocurre.

t iempo (hrs) dist ancia (km)

(8)

La función lineal.

Esta función se vio en Matemáticas 1 y se retomó a fondo en Matemáticas 3 como lugar geométrico, con base en estos conocimientos previos, se analizarán sus parámetros para trazar la gráfica.

La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es: b mx y

Donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada en el origen.

Vista como función, se expresa de la siguiente forma.

b mx x f

Analizando los parámetros, se tiene que:

“b” es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término independiente.

“m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, ésta es el coeficiente de la variable. “x” es la variable independiente.

En la siguiente función se visualizan los parámetros antes mencionados. 3 x 2 x f 2

m 3 b

Existen varios métodos para graficar funciones lineales, como: Sustitución de valores (tablas).

Intersección con los ejes coordenados. Parámetros (m y b).

En este bloque se considerará el comportamiento paramétrico para bosquejar la gráfica de las funciones, el cual se describe a continuación.

Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto. Como

Ordenada en el origen (b)

Es la intersección con el eje Y 2

m

(9)

BLOQUE 3 171 Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función x 1 3 4 x

f .

Observando la función, la pendiente es 3 4

m y la ordenada en el origen es b 1, la cual proporciona la intersección con el eje Y.

Posteriormente se ubica el segundo punto a partir de la pendiente, como se muestra a continuación.

Como la pendiente es 3 4

m , a partir del punto se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba, ya que en el cociente de la pendiente, el numerador es el incremento vertical y el denominador es el incremento horizontal, dado que la fórmula de pendiente es

1 2

x x

y y

m .

x f (x)

Los parámetros dicen mucho del comportamiento gráfico de la función, como es el caso de la pendiente, cuando es mayor que cero y menor que uno, su ángulo de inclinación es mayor que 0o_{y menor que 45º; cuando es mayor que} uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Lo anterior se puede comprobar con los siguientes ejemplos.

x f (x)

(10)

Ejemplo 2.

Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) f x x 1

b) x 1

4 1 x f

c) x 1

2 1 x f

d) f x 4x 1 e) f x 2x 1

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen −1.

Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la pendiente, entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento, es decir, la recta estará más cerca del eje X, así mismo, entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y.

Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa. Ejemplo 3.

Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) f x x 5

b) x 5

4 1 x f

c) x 5

2 1 x f

d) f x 4x 5 e) f x 2x 5

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen 5, es decir, cortan al eje Y a la altura de 5. x

f (x)

1 m

2 1 m

(11)

BLOQUE 3 173 En este caso, las pendientes son negativas y las gráficas son decrecientes; entre más grande sea la pendiente el crecimiento es menor, como se observa, la pendiente de

4 1

m está más cercana al eje X, sin embargo, la pendiente m 4, la cual es menor que la anterior, está más cercana al eje Y.

El comportamiento paramétrico que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, dilucidar con anterioridad la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales.

El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto es, al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de correspondencia.

A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado.

Cuando se usan funciones lineales para describir relaciones del mundo real se llama modelación lineal. A continuación se ejemplificará la aplicación de funciones lineales.

Ejemplo 4.

Un taxista cobra 30 pesos por salida y cada 5 pesos por kilómetro recorrido. Calcular: a) El costo de un viaje en x kilómetros.

b) El costo del viaje si el destino de una persona es a 12 km.

c) Graficar el costo del viaje como una función de la distancia recorrida.

Es claro en el enunciado del problema, que el cobro del viaje depende de la distancia recorrida y se pueden particularizar algunos casos para visualizar la estructura de la función que lo describe.

Si el viaje es de 1 Km, su costo es de 30+5(1)=35 pesos. Si el viaje es de 3 Km, su costo es de 30+5(3)=45 pesos. Si el viaje es de 10 Km, su costo es de 30+5(10)=80 pesos. Generalizando:

Si el viaje es de x Km, su costo es de 30+5(x) pesos. Por lo tanto, la respuesta al inciso “a”, es:

x 5 30 x C

Donde C(x) es el costo del viaje en taxi en función de la distancia recorrida “x”. 1

m

2 1 m

4 1 m

2

m m 4

(12)

En el inciso “b” se solicita un costo en particular que es el de 12 Km, sólo basta sustituir este dato en la función y así encontrar lo que se busca.

90 12 5 30 12 C

Por lo tanto, el costo del viaje cuando se recorren 12 Km es de 90 pesos.

Por último, se traza la gráfica de la función, notando que la ordenada en el origen es 30 y la pendiente es 5, esto se puede deducir mejor si se acomoda la función.

30 x 5 x C

b mx x C 30

b Ordenada en el origen 5

m Pendiente

Ubicando primero el punto que intersecta al eje Y (ordenada en el origen) y, posteriormente, el punto que se obtiene a partir de la pendiente. La gráfica queda de la siguiente forma:

Ejemplo 5.

La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo.

En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos.1

(13)

BLOQUE 3 175 Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por millón por hora.2

a) Identificar la pendiente y un punto de la función.

b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido. c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido.

En el inciso “a” se solicita la pendiente, la cual corresponde a la razón de cambio que es 15 partes por millón, y el punto que ofrece el problema es de (10, 50), donde la primer coordenada es la hora en la que se mide la polución, la cual corresponde a 50 ppm.

En el inciso “b” se requiere encontrar la función que modela la polución, para ello se retomarán conocimientos de Matemáticas 3, en los que aprendiste a obtener la ecuación de una recta, dada la pendiente y un punto por donde pasa.

Esto se logra con la siguiente fórmula:

1

1 m x x

y y

Sustituyendo los valores se obtiene:

100 x 15 y

150 x 15 50 y

10 x 15 50 y

La polución expresada como función que depende del tiempo se expresa como: 100

t 15 t p

Al trazar la gráfica de la función, se considera que la intersección con el eje vertical a la altura de −100 y la pendiente 15.

Por lo tanto, la gráfica de la función sin restricciones queda:

x y

La gráfica restringida al problema es considerando sólo de 8 a 18 horas, como se muestra a continuación.

2_{Problema 2, pag. 56 de Matemáticas IV, Ramírez Margarito.}

(14)

Desarrolla lo que se pide.

I. Realiza la gráfica de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango correspondiente.

1) gx 2x 4

x g(x)

2)

2 1 x x k

x k(x)

x 4 5 3 x L . 3

x L(x)

(15)

BLOQUE 3 177

4) x

3 5 x G

x G(x)

5) x 5

7 2 x R

x R(x)

6)

4 3 x 2 1 x F

x F (x)

(16)

III. Completa la siguiente tabla ubicando las diferentes representaciones de las funciones lineales.

Representación tabular Representación algebraica Representación gráfica

X 0 1 2 3 4 5

y -2 1 4 7 10 13

f(x)=

x y

h(x)=−2x+3

x h(x)

x y

h(x)=

x G(x)

(17)

Reconoce los parámetros de la función lineal, su dominio y rango.

Traza la gráfica de la función lineal

utilizando parámetros. Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente Un autobús viaja desde

Hermosillo a Obregón a

velocidad constante de 90Km/h. Un pasajero se sube en el cerrito de la virgen al Km 18 de los 351 Km que hay de Hermosillo a Obregón.

Construye la tabla.

Expresa la función que modela la distancia recorrida por el pasajero con respecto al tiempo.

D(t)=

x D(x)

(18)

La función cuadrática.

Como ya se había visto en el bloque 1, las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en su forma general como: fx ax2 bx c, con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a 0).

Sus componentes son:

Al igual que la ecuación cuadrática, la función cuadrática tiene la misma clasificación.

La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas.

[image:18.612.117.450.502.682.2]

Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas. En Matemáticas 3 se abordó la parábola como lugar geométrico, conociendo sus elementos. A continuación se visualizarán los elementos principales de la función cuadrática.

Cuando la función se iguala a cero, se produce una ecuación y los valores que la satisfacen se llaman raíces de la función.

x f (x)

Vértice V(h,k) Eje de simetría

Raíces o ceros de la función

Funciones Completas: fx ax2 bx c

Funciones Incompletas Clasificación de las

funciones cuadráticas

Funciones Puras: fx ax2 c Funciones Mixtas: fx ax2 bx Término independiente

Término lineal Término cuadrático 2

ax

bx

(19)

BLOQUE 3 181 Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto máximo, como se muestra a continuación.

Para observar cómo intervienen los parámetros en los cambios que sufre la gráfica, se tiene que reescribir la forma general de la función cuadrática a la forma estándar, la cual explicita el vértice y la abertura que tiene la parábola que describe.

Forma general de la función cuadrática.

c bx ax x

f 2

Forma estándar de la función cuadrática.

k h x a x

f 2

Donde h y k son las coordenadas del vértice.

En los siguientes ejemplos se mostrará los cambios que sufre la gráfica de la función cuadrática. Ejemplo 1.

Comparar las gráficas de las funciones f x x2 y gx 3x 22 4, para determinar la transformación que sufre g(x) con respecto a f(x).

Al tomar valores y evaluarlos en las funciones, las gráficas quedan de la siguiente forma: 2

x x

f gx 3x 2 2 4

x f(x) −2 4 −1 1

0 0

1 1

2 4

x g(x)

0 8

1 −1 2 −4 3 −1

4 8

x f (x)

Vértice V(h,k) Punto Mínimo

Vértice V(h,k) Punto Máximo

x f (x)

(20)

Si la función f(x) se escribe en forma estándar, se tiene:

0 0 x 1 x

f 2

Al compararse con la forma f x a x h2 k, se puede deducir que:

0 k

0 h

1 a

Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así:

El coeficiente principal que es “a”, es el que determina la abertura de la parábola si se considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están una unidad hacia arriba.

Si se realiza el mismo análisis para la función g(x), los parámetros se visualizan así: 4

2 x 3 x

g 2

Al compararse con la forma f x a x h2 k, se puede deducir que:

4 k

2 h

3 a

Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así:

Como consecuencia de que el coeficiente principal “a” es positivo, la parábola se abre hacia arriba y se contrae, debido a que si considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están a tres unidades hacia arriba.

x f (x)

Vértice V(h,k)=(0,0) a=1

x g(x)

(21)

BLOQUE 3 183 x

y

Ejemplo 2.

Graficar la función x 4 5

2 1 x

h 2 mediante los parámetros.

Analizando los parámetros, se deduce que:

5 k

4 h

2 1 a

El vértice tiene como coordenadas V 4,5 , y a partir de él, recorriendo una unidad a la derecha y a la izquierda, se ubican los puntos de la parábola, media unidad hacia abajo, de este modo se traza la gráfica utilizando parámetros.

4 2 x 3 x

g 2

Mueve la parábola 2 unidades a la derecha

Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo Se contrae y se

abre hacia arriba

x h(x) Mueve la parábola 4

unidades a la izquierda

Mueve la parábola 5 unidades hacia arriba Se expande y se

abre hacia abajo

5 4 x 2 1 x

(22)

Ejemplo 3.

Graficar la función px x2 6x 5 utilizando parámetros.

La función es completa y para utilizar los parámetros “a”, “h” y “k”, se debe factorizar el polinomio que la compone, esto se hace mediante el método de completar trinomio cuadrado perfecto, éste se vio en Matemáticas 3.

Los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto son los siguientes. 1. Se asegura que el coeficiente principal sea 1, de

no ser así, primero se tendría que extraer. En este caso no es necesario, porque el coeficiente principal es 1.

5 x 6 x x p 2

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal. 4 9 x 6 x x p 5 9 9 x 6 x x p 5 2 6 2 6 x 6 x x p 2 2 2 2 2

3. Se expresa el binomio al cuadrado. px x 3 2 4

x p(x)

Ejemplo 4.

Determinar si la función t x 2x2 4x tiene un máximo o mínimo, encontrar el punto en cuestión y graficar la función.

Es una función mixta y se requiere expresar la forma estándar para poder determinar el vértice y hacia dónde se abre la parábola, aunque se puede adelantar que se abre hacia abajo, debido a que el coeficiente principal es negativo.

4 3 x x

p 2

Mueve la parábola 3 unidades a la izquierda

Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo Tiene la abertura normal

(23)

BLOQUE 3 185 Para convertirla a la forma estándar se seguirán los siguientes pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto.

1. Se extrae el coeficiente principal.

x 2 x 2 x t x 4 x 2 x t 2 2

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal dentro del paréntesis.

2 1 x 2 x 2 x t 1 2 1 x 2 x 2 x t 1 1 x 2 x 2 x t 2 2 2 2 2

3. Se expresa el binomio al cuadrado. t x 2x 12 2

El vértice es el punto V ,1 2 y al ser el coeficiente principal −2, se abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es el punto máximo de la función.

La intersección con el eje horizontal es otra información importante en las funciones, éstas se denominas raíces o ceros de la función, para encontrarlas la función debe valer cero, como se muestra a continuación.

x 4 x 2 0 x 4 x 2 x t 2 2

La ecuación se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general (ver anexo B), para este caso se utilizará factorización, debido a que es más sencilla.

0 2 x x 2 0 x 4 x 2 2 2 x 0 x 2 x 2 0 x 0 2 x 0 x 2

En la gráfica puedes ubicar estos dos resultados. Mueve la parábola una

unidad a la izquierda.

Mueve la parábola 2 unidades hacia arriba. Contrae a la parábola y

se abre hacia abajo.

(24)

Las opciones que tienen las raíces de una función cuadráticas son tres:

1. Dos raíces reales, como en el ejemplo anterior, que es cuando la parábola corta al eje X en dos puntos.

x f (x)

2. Una raíz real, esto sucede en el caso que el vértice esté sobre el eje X.

x f (x)

3. Dos raíces imaginarias, sucede cuando la función no corta al eje X.

x f (x)

Sitios Web recomendados:

Este sitio te mostrará el comportamiento de la gráfica de una función cuadrática de acuerdo a sus parámetros.

(25)

BLOQUE 3 187 Desarrolla lo que se pide.

I. Expresa la función que describe cada una de las siguientes gráficas. 1)

x h(x)

2)

x Q (x)

3)

x L(x)

(26)

II. Determina el punto máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones, además, encuentra las raíces y dibuja la gráfica correspondiente.

1) gx 2x 12

x g(x)

2) x 4 2

3 2 x W

x W (x)

3) x 5 1

4 1 x

J 2

(27)

BLOQUE 3 189 4) Fx 3x2 9x

x F (x)

5) Hx x2 6x 6

x H(x)

(28)

Evaluación

Reconoce los parámetros de las funciones cuadráticas para realizar su gráfica.

Grafica funciones cuadráticas utilizando parámetros.

Aprecia la facilidad de utilizar parámetros para trazar la gráfica de una función cuadrática.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente 6) Lx 5x2 20x 23

x L(x)

(29)

BLOQUE 3 191

Cierre

Resuelve los siguientes problemas.

1. El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica.

¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

2. El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2.20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir “x” bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

3. La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg. Calcular la función que da la dosis del medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg?

(30)

4. Un hortelano posee 50 m de varilla para cercar una parcela rectangular de terreno contigua a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

5. Un delfín toma impulso para saltar encima de la superficie del mar siguiendo la función y=–x2_+6x+12 donde “y” es la distancia al fondo del mar en metros y “x” el tiempo empleado en segundos.

a) Calcula cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

6. Antonio encuentra que si su compañía produce “x” artículos diarios, el costo está dado por la función 2

x 002 . 0 x 8 . 0 420 x

C , ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?

7. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función ht 16t2 80t 45.

(31)

Actividad: 6 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes

Reconoce la aplicación de las funciones lineales y cuadráticas.

Aplica las funciones lineales y cuadráticas en situaciones reales.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones lineales y cudráticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

d) Traza la gráfica de la altura de la pelota al transcurrir el tiempo.

4. En una compañía, la utilidad mensual en miles de dólares, se expresa mediante la función 37

x 24 x 2 x

U 2 , donde “x” representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un mes.

a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad sea máxima?

b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

(32)

Secuencia didáctica 2.

Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Inicio

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes

Identifica las funciones de grado

tres y cuatro. Determina las características de las funciones de grado tres y cuatro. Muestra interés al realizar la actividad. C MC NC _{Calificación otorgada por el}

Responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué características tienen las funciones polinomiales de tercer grado?

2. ¿Cuál es su nombre común?

3. ¿Cómo reconoces a una función polinomial de grado cuatro?

4. ¿Cuál es su nombre común?

5. ¿Qué característica tiene el dominio y el rango en cada una de ellas?

6. Bosqueja la gráfica de una función polinomial de grado tres y otra de grado cuatro, en planos cartesianos por separado.

(33)

BLOQUE 3 195

Desarrollo

Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Graficación mediante parámetros. Funciones de grado tres.

La forma general de las funciones de grado tres (cúbicas) es fx ax3 bx2 cx d, con a 0; en su forma estándar se presenta como fx a x h3 k

Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros.

En el primer bloque se graficó la función cúbica básica, la cual es:

3 x x f

Al punto donde la función cambia de concavidad, se le llama punto de inflexión (P.I.), que en el caso de la función cúbica base, es el origen.

Para graficar una función cúbica utilizando los parámetros de forma estándar, se siguen los siguientes pasos:

1. Encontrar y graficar el punto de inflexión: P.I.(h,k).

2. A partir del punto de inflexión se recorre una unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo.

3. Ahora, a partir del punto de inflexión, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido contrario del punto que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa.

4. Se traza la gráfica de forma suave.

A continuación se ejemplificará el procedimiento anterior.

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función fx 2x 13 3, utilizando parámetros.

El punto de inflexión se extrae de la función cúbica, de la misma forma que se extrae el vértice de la función cuadrática.

3 1 x 2 x

f 3

k h x a x

f 3

x f(x) −2 −8 −1 −1

0 0

1 1

2 8

(34)

Por lo tanto, el punto de inflexión es P.I.(1, 3).

Además, como el parámetro a=2, cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráfica.

Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto.

Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma.

x f (x)

(35)

BLOQUE 3 197 Ejemplo 2.

Bosqueja la gráfica de la función x 4 5 2

1 x

T 3

El punto de inflexión es: P.I.(−4, −5).

En este caso, a partir del punto de inflexión, el segundo punto se situará una unidad a la derecha y media unidad hacia abajo, debido a que el parámetro

2 1

a ; el tercer punto se situará una unidad a la izquierda y media unidad hacia arriba.

Ahora se traza la gráfica considerando que a la derecha del punto de inflexión la función es cóncava hacia abajo y que a la izquierda de éste, es cóncava hacia arriba.

x f (x)

Este sitio contiene un graficador en línea, el cual te ayudará a comprobar las gráficas de las funciones.

http://fooplot.com/

(36)

Funciones de grado cuatro.

La forma general de las funciones de grado cuatro (cuárticas) es fx ax4 bx3 cx2 dx e, con a 0; en su forma estándar se presenta como fx ax h 4 k

La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido.

La función cuártica base es:

4 x x f

x f (x)

En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta .

Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.

Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro “a”.

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función fx 3x 24 4 utilizando los parámetros. Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es

k , h

P y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.

4 2 x 3 x

f 4

k h x a x

f 4

Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4).

El segundo punto se ubica una unidad a la derecha del máximo y tres unidades hacia abajo; el tercer punto se encuentra una unidad a la izquierda y de igual forma, tres unidades hacia abajo, como se muestra en la gráfica.

x f(x) −2 16 −1 1

0 0

1 1

2 16

(37)

BLOQUE 3 199 Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones, utilizando los parámetros.

1) H(x)= x3+1

x H(x)

2) x 6 2

2 1 x

R 3

x R(x)

3) L x 2x3

x L(x)

(38)

Evaluación

Identifica los parámetros de las funciones de grado tres y cuatro, para trazar la gráfica.

Grafica funciones de grado tres y

cuatro, mediante parámetros. Aprecia la facilidad del trazo de gráficas utilizando parámetros.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente

4) x 5 3

4 1 x

K 4

x K(x)

5) Lx x 44

x L(x)

(39)

BLOQUE 3 201 Graficación de funciones utilizando las raíces o ceros de la función.

Trazar gráficas de funciones cúbicas y cuárticas en su forma estándar es sencillo, el problema se presenta cuando están en su forma general, entonces se podría graficar utilizando tablas de valores como se mostró en el primer bloque, aunque es más tardado y posiblemente no daría un panorama completo del comportamiento de la gráfica; para ello, en esta ocasión se abordará otra forma de bosquejar la gráfica de una función, utilizado las raíces de la función y analizando algunas características básicas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

En el siguiente ejemplo se visualizará la intención de este tema.

Ejemplo 1.

Bosquejar la gráfica de la función fx x3 2x2 3x, mediante las raíces de la función.

Como se vio anteriormente, las raíces de la función son precisamente cuando fx 0, es decir, cuando 0

x 3 x 2

x3 2 .

Para encontrar la solución a la ecuación cúbica anterior, se requiere de factorizar el polinomio, en este caso, mediante factor común. 0 3 x 2 x ó 0 x 0 3 x 2 x x 0 x 3 x 2 x 2 1 2 2 3

Al separar los factores, se obtiene el primer resultado que se busca x1=0, pero también, se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se requiere resolver utilizando la fórmula general o factorización, debido a su sencillez, se factorizará la ecuación.

1 x 3 x 0 1 x ó 0 3 x 0 1 x 3 x 0 3 x 2 x 3 2 2

Ahora, se requiere analizar algunas características de las funciones cúbicas para poder bosquejar su gráfica. 1. El coeficiente principal es a=1, por lo tanto, la mayor parte de su trayectoria es creciente, parte de a . 2. Es una función suave, sin ángulos en su trazo.

3. La función pasa por las raíces encontradas.

Por lo tanto, el trazo quedaría más o menos de la siguiente forma.

Si se requiere mayor precisión en el trazo, se tiene que expresar una tabla de valores y la gráfica exacta, como se muestra a continuación:

(40)

Ejemplo 2.

Bosquejar la gráfica de una función de grado cuatro, cuyas raíces son x₁ 1, x₂ 1, x₃ 2 y x₄ 3, además, su coeficiente principal es negativo.

Primero se colocan los puntos en el plano cartesiano, posteriormente se analiza las características de la función cuártica.

1. La función cuártica es suave.

2. Su rango es un subconjunto de los números reales, es decir, no los abarca a todos.

3. El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, la función se extiende hacia por ambos extremos.

4. Debido al número de raíces y a las tres características anteriores, la función puede tener uno o dos puntos máximos.

A continuación se bosqueja la gráfica.

Sustituyendo puntos se tiene la gráfica con más detalle, como se muestra a continuación.

En el ejemplo anterior se puede obtener las raíces a partir de la función, su proceso sería diferente al que hasta ahora has utilizado, debido a que de un inicio no se puede factorizar por factor común para simplificar su solución.

Como antes se ha mencionado, el cero o raíz de una función es un valor “x” para el cual f(x)=0. Por ejemplo, el cero de la función fx x 4 es x=4, porque si se sustituye este valor en la función, ésta será igual a cero.

(41)

BLOQUE 3 203 A continuación se estudiarán algunos teoremas que ayudarán a conocer los ceros de una función de forma más práctica.

Teorema del residuo y del factor.

Se requiere conocer la división entre polinomios como: 8

x 2

x2 entre x 1 x3 5x2 3x 2 entre x 2 8x3 27 entre 2x 3

Si se toma x2 2x 8 entre x 1 y se realiza el algoritmo de la división, ésta resultaría de la siguiente manera:

El resultado se puede escribir como:

1 x 5 3 x 1 x 8 x 2 x2

El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma:

Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x−r, donde “r” es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(r).

Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir “a” en el polinomio.

Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación.

Si se considera fx x2 2x 8 y se evalúa en x=1, se obtiene:

5 1 f 8 2 1 1 f 8 1 2 1 1 f 8 x 2 x x f 2 2

Esto significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, porque el polinomio evaluado en x=1 resulta −5, como el residuo en la división.

¿Por qué es tan importante este teorema para encontrar las raíces o ceros de una función?, porque si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio.

Lo anterior da origen al Teorema del Factor, el cual se enuncia a continuación. Si “r” es una raíz de f(x) =0, es decir f(r)=0, entonces x−r es un factor de f(x).

Recordando la división anterior, x−1 no es un factor de x2 2x 8, porque su residuo fue −5. 3 x 5 3 x 3 8 x 3 x x 8 x 2 x 1 x 2 2 Cociente

Divisor _Dividendo

(42)

Ahora se retomará el polinomio anterior, pero en esta ocasión se dividirá entre x−2, para comprobar si es factor del polinomio x2 2x 8.

4 x 0 8 x 4 8 x 4 x 2 x 8 x 2 x 2 x 2 2

Como el resultado del residuo fue cero, entonces, x−2 es factor del polinomio x2 2x 8, por lo tanto, éste se puede expresar como: 4 x 2 x 8 x 2 x2

En el caso de que el polinomio representara a la función fx x2 2x 8, x=2 y x=−4 representarían las raíces de la función.

Para comprobar se puede evaluar 2f y f 4 .

0 2 f 8 4 4 2 f 8 2 2 2 2 f 8 x 2 x x f 2 2 0 4 f 8 8 16 4 f 8 4 2 4 4 f 8 x 2 x x f 2 2 Ejemplo 1.

Si las raíces de la función polinomial son −1, 1, −2, 3, determinar dicha función.

Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la siguiente manera:

1

x₁ , x₂ 1, x₃ 2 y x₄ 3 Por lo tanto, la ecuación que satisfacen es:

0 3 x 2 x 1 x 1 x Multiplicando los factores queda:

0 6 x x 7 x x 0 6 x x 1 x 2 3 4 2 2

La función se expresa:

6 x x 7 x x x

f 4 3 2

Aunque éste no es el único resultado, porque la función obtenida se extiende infinitamente hacia arriba, otra forma de función que cumple con las raíces anteriores es:

6 x x 7 x x x

f 4 3 2

Ésta se pasa por las mismas raíces pero se extiende infinitamente hacia abajo.

(43)

BLOQUE 3 205 División sintética.

Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, se utilizará un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x−r.

Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini). Dividir x3 5x2 3x 2 entre x 2

Procedimiento Ejemplo

El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. _x3 ₅_x2 ₃_x ₂ En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del

dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio.

2 3 5 1

A la derecha del último elemento del dividendo se escribe

“r” con signo contrario separado, por una línea vertical. 1 5 3 2 2

Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón. 2 2 3 5 1

El primer término del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón

1 2 2 3 5 1

Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el

segundo renglón y en la columna dos. ₁ 2

2 2 3 5 1

Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho

resultado en la tercera columna. ₁ ₇2 14

2 2 3 5 1

Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor.

30 17 7 1 28 14 2 2 2 3 5 1

Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer renglón es el residuo.

residuo . cte x x 30 17 7 1 28 14 2 2 2 3 5 1 2

La división se puede escribir como se muestra. x 2 x 7x 17 30

2 x 2 x 3 x 5

x3 2 2

Ejemplo 1.

Dividir la función fx 8x3 27 entre 2x 3, utilizando la división sintética.

(44)

El cociente de esta división es 8x2 12x 18, entonces la función dada se puede expresar en términos de sus

factores como 8x 12x 18

2 3 x x

f 2 o bien fx 2x 3 8x2 12x 18 .

Ejemplo 2.

Demostrar que x 1 y x 3 son factores de fx 2x4 x3 14x2 5x 6, además, escribir la factorización completa.

Si x 1 es factor, entonces la raíz es 1 y el residuo de la división de f(x) entrex 1 es cero.

0 6 11 3 2 6 11 3 2 1 6 5 14 1 2

Con ello se ha comprobado que x 1 es factor.

Ahora, si x 3 es factor, la división entre el polinomio resultante 2x3 3x2 11x 6 y x 3 debe tener residuo cero, para ello el divisor es −3.

0 2 3 2 6 9 6 3 6 11 3 2

El polinomio resultante es 2x2 3x 2 y se puede factorizar, quedando: 2 x 1 x 2 2 x 3 x 2 2

Por lo tanto, f(x) se puede expresar como la multiplicación de sus factores.

2 x 1 x 2 3 x 1 x x f 6 x 5 x 14 x x 2 x

f 4 3 2

A partir de cada factor se obtienen las raíces.

1 x 0 1 x 3 x 0 3 x 2 1 x 0 1 x 2 2 x 0 2 x

Realiza lo que se indica.

I. Determina el cociente y el residuo de las divisiones, utilizando división sintética. 1) fx 2x3 3x2 5x 7 entre x 2

(45)

Identifica las funciones especiales e inversas de una función.

Ejemplifica funciones y sus inversas.

Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente 2) fx x4 1 entre x 1

3) fx 2x4 2x3 10x2 11x 10 entre x 3

4) fx x3 8 entre x 2

(46)

Cuando se tiene información previa de las raíces de una función es sencillo comprobar si lo son o extraer las faltantes, pero cuando se desconocen, se debe recurrir a otros teoremas que ayudarán a calcularlas.

Teoremas sobre las raíces de una ecuación.

Teorema fundamental del Álgebra.

Toda ecuación polinomial de grado n 1 tiene al menos una raíz, real o compleja. Teorema.

Todo polinomio de grado n 1 puede ser expresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo: 6 x 5 x 2 x x

f 3 2 se puede factorizar y expresarse como fx x 3 x 1 x 2 . x 8 x 4 x 2 x x

g 4 3 2 puede expresarse como gx xx 2 x 2i x 2i . Teorema de las n raíces.

Toda función polinomial f(x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces, siempre y cuando considere la multiplicidad de las raíces. Por ejemplo: 4 x 4 x x

f 2 tiene dos raíces iguales: 2, 2. 6 x 5 x 2 x x

h 3 2 tiene tres raíces: −2, 1, 3. x 8 x 4 x 2 x x

g 4 3 2 tiene cuatro raíces: 0, 2, 2i, −2i, las dos primeras son reales y las otras dos son complejas. Teorema de las raíces racionales.

Si el racional irreducible v u

es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces “u” es un factor

del término independiente y v es un factor del coeficiente principal.

En la siguiente tabla se visualizará el teorema anterior, utilizando las raíces de las funciones de los ejemplos anteriores.

Función Coeficiente _principal

Factores del coeficiente principal Coeficiente del término independiente Factores del término independiente Probables

raíces Raíces

4 x 4 x x

f 2 1 1 4 1, 2, 4

1 1 1 2 1 2 4 1 4 2 2 6 x 5 x 2 x x

h 3 2 1 1 6 1, 2, _{3, 6}

(47)

BLOQUE 3 209 6 x 5 x 14 x x 2 x

f 4 3 2 2 1, 2 6 1, 2, 3, ₆

1 1 1 2 1 2 3 1 3 6 1 6 2 1 1 2 2 2 3 3 2 6 1 −3 2 1 2 Ejemplo 1.

Encontrar las raíces de la función polinomial fx 4x3 16x2 9x 36.

Basándose en el teorema anterior, las posibles raíces son los cocientes formados por los factores del término independiente entre los factores del coeficiente principal.

Esto es:

Los factores del término independiente 36, son: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36. Los factores del coeficiente principal 4, son: 1, 2, 4

Las posibles raíces son: 1, 2 1 ,

4 1

, 2, 3, 2 3 ,

4 3

, 4, 9, 2 9

, 4 9

, 12, 6, 18, 36.

Si se prueban las posibilidades con división sintética, se obtiene: Para x=1. 25 11 20 4 11 20 4 1 36 9 16 4

Como el residuo es diferente a cero, x=1 no es raíz de la función.

Haciendo el mismo procedimiento, pero con x=−1, encontrarás que tampoco es raíz, se requiere ir sustituyendo una a una las posibles raíces.

Ahora se sustituirá 2 3 . 0 24 22 4 36 33 6 2 3 36 9 16 4

Como el residuo es cero, 2 3

(48)

El polinomio que resulta es 4x2 22x 24 0, ahora se procede a factorizar el polinomio de segundo grado. 0

4 x 6 x 4 24 x 22 x 4 2 Por lo tanto, las raíces son:

2 3 4 6 x

6 x 4

0 6 x 4

4 x

0 4 x

Por lo tanto, las raíces de f x 4x3 16x2 9x 36 son: 2 3

, 2 3

, 4.

No es necesario seguir probando con los demás valores, ya que el teorema de las n raíces dice que si el grado de la función es 3, tiene 3 raíces.

La gráfica que describe a la función es:

x f (x)

Ingresa a estos sitios para que refuerces tu aprendizaje.

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_7_ecuacion.htm

(49)

BLOQUE 3 211

Cierre

Realiza lo que se indica.

1. Encuentra todas las raíces reales, para que escribas la forma factorizada de las siguientes funciones polinomiales.

a) (fx) x4 12x2 64

b) T(x) x3 x2 10x 8

c) G(x) x3 5x2 2x 10

d) P(x) x4 5x2 36

(50)

3. Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la función (fx) x3 5x2 2x 10.

4. Bosqueja la gráfica de la función G(x) x3 x2 6x, utilizando sus raíces.

5. Encontrar los ceros racionales e irracionales de la función: L(x) 2x 3 x2 5x .

(51)

Actividad: 4 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes

Reconoce la aplicación de las funciones cúbicas y cuárticas.

Aplica las funciones cúbicas y cuárticas en situaciones reales.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones cúbicas y cuárticas .

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

7. f(x) es una función de tercer grado cuya gráfica corta al eje X en −4, 0 y 2 3

, encuentra su regla de correspondencia y bosqueja la gráfica.

8. Se desea hacer una caja de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm, cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Encontrar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3_.

9. La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 120 m3_{, si el ancho es x, el largo 3x+1 y la altura x+1 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?}

(52)

(53)

Emplea funciones racionales.

Competencias disciplinares básicas:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:

Construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones racionales.