Ø= Constante de fase o ángulo de fase

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Física II

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Oscilaciones y Ondas

Hay muchas situaciones en física en las cuales la fuerza que siente una partícula en cierto sistema es proporcional a un desplazamiento respecto cierto punto “de equilibrio''. Es decir, existen sistemas para los cuales es válida la ley de Hooke o al menos, lo es manteniendo el móvil entre ciertos límites. Estos sistemas se dice de ellos que describen un movimiento armónico simple.

Movimiento armónico simple: El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x=A·sen(ωt+φ)

Donde

A es la amplitud.

  la frecuencia angular.   t+ la fase.

  la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:

 Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

 La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que (t+P)+= t++2 .

P=2π/ω

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El oscilador armónico es uno de los sistemas más estudiados en la física, ya que todo sistema que oscila alrededor de un punto de equilibrio estable se puede estudiar en primera aproximación como si fuera un oscilador.

La característica principal de un oscilador armónico es que está sometido a una fuerza recuperadora, que tiende a devolverlo al punto de equilibrio estable, con una intensidad proporcional a la separación respecto de dicho punto,

donde k es la constante de recuperación, y xo es la posición de equilibrio, que sin pérdida de

generalidad podemos tomar x0 = 0

La fuerza recuperadora es conservativa, por lo que tiene asociado una energía potencial,

Cinemática del movimiento armónico simple

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple

Si una partícula se mueve a lo largo del eje X se dice que lo hace con un m.a.s cuando x, su desplazamiento desde el punto de equilibrio, varía con el tiempo de acuerdo con la relación:

X = ACos(wt +

ø),

donde:

A: es la amplitud del movimiento y se define como el desplazamiento máximo de la partícula en dirección x, puede ser + o –

Ø

=

Constante de fase o ángulo de fase

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El tiempo t para una vibración completa se conoce como “periodo” del movimiento, es el tiempo que tarda una partícula en completar su ciclo y está dado por

T = 2π / w

El inverso del periodo es la frecuencia, la cual es igual al número de oscilaciones por segundo, se calcula a través de:

f = 1 / t , f = w / 2π (ciclos / s o ciclos / hz) hz: herz w es la velocidad angular, w = 2πf, w = 2π / t

La velocidad “v” y la aceleración “a” de un oscilador armónico simple están dadas por: V = dx / dt = -wAsen(wt + ø) y a = dv / dt = -w2Acos (wt + ø)

Donde, la velocidad máxima es wA y la aceleración máxima es w2A

Un sistema masa- resorte se mueve en un m.a.s sobre una superficie sin fricción, con un periodo igual a

Y la frecuencia está dada por

Energía del movimiento armónico simple: Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (Ec)

permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:

Esta última magnitud Em recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía

potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

Finalmente, la energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento dada por:

Combinaciones de movimientos armónicos simples:

Masa sujeta a un resorte.

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primer lugar, que cuando la masa se desplaza una pequeña distancia x respecto al equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre m, dada por la ley de Hooke,

F = -kx

en donde k es la constante de fuerza del resorte. A una fuerza así se le conoce como fuerza lineal de restitución, ya que es linealmente proporcional al desplazamiento y siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio, opuesta a este desplazamiento. Si ahora se aplica la segunda ley de Newton al movimiento de m en la dirección x, se obtiene

F = -kx = ma a = -k/m x

La aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa, respecto al equilibrio, y está dirigida en la dirección opuesta. Si la masa se desplaza una distancia máxima x = A, en algún instante inicial, y se libera a partir del reposo, su aceleración inicial será -kA/m (esto es, tiene un valor negativo máximo). Al pasar por la posición de equilibrio, x = 0 y su aceleración es cero. En ese instante su velocidad es máxima; después se moverá hacia la izquierda del equilibrio y, finalmente, llegará a x = -A, en cuyo instante su aceleración es kA/m (positiva máxima) y, una vez más, su velocidad es cero. Por tanto, se ve que la masa oscilará entre los puntos x = En un ciclo completo de su movimiento la masa recorre una distancia 4A.

Ahora de describirá el movimiento de manera cuantitativa. Esto se puede llevar a cabo recordando que a = dv/dt = d2x/dt2. Por consiguiente obtenemos una ecuación como

Si se denota la razón k/m por medio del símbolo ,

Reescribiendo:

Para obtener una solución x(t) que satisfaga la ecuación anterior, nos damos cuenta que ésta es equivalente a:

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Se puede hacer la siguiente afirmación general, basada en el análisis anterior: siempre que la fuerza que actúa sobre una partícula es linealmente proporcional al desplazamiento y tiene la dirección opuesta, la partícula tendrá un movimiento armónico simple.

Como el periodo es T = 2/ y la frecuencia es el reciproco del periodo, el periodo y la frecuencia de este sistema pueden expresarse como

Es decir,

el periodo y la frecuencia dependen únicamente de la masa y de la constante de fuerza del resorte

Como era de esperarse, la frecuencia es mayor para un resorte más rígido y disminuye al aumentar la masa.

Péndulo simple.

Un ejemplo familiar de movimiento oscilatorio es el de un péndulo. El movimiento de un péndulo es armónico simple sólo si es pequeña la amplitud del mismo. Consta de una masa puntual suspendida de una cuerda ligera de longitud L, cuyo extremo superior está fijo.

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en donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco, y el signo menos indica que Ft actúa hacia

la posición de equilibrio. Como s = Ly L es constante, esta ecuación se reduce a

El segundo miembro es proporcional a sen q, en lugar de q; se concluye entonces que el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si se supone que q es pequeño, existe la posibilidad de utilizar la aproximación sen q = q, en donde q se mide en radianes. Por lo tanto, la ecuación del movimiento queda

Ahora se tiene una expresión exactamente con la misma forma que la ecuación d2x/dt2=-2x y, por tanto, se concluye que el movimiento es armónico simple. Es decir,  = o cos(t + ), en donde, o es

el desplazamiento angular máximo y la frecuencia angular  se obtiene de

El periodo del movimiento es

En otras palabras,

el periodo y la frecuencia sólo dependen de la longitud de la cuerda y la aceleración de la gravedad

Como el periodo es independiente de la masa, se concluye que todos los péndulos simples de igual longitud oscilan con periodos iguales.

Ejercicios:

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a. el desplazamiento,

b. su velocidad,

c. su aceleración.

d. Determinar el periodo y la amplitud del movimiento

2. Un cuerpo de 2 kg. De masa está suspendido de un resorte de masa despreciable, y se produce un alargamiento de 20 cm.

a) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?

b) ¿Cuál es el período de oscilación del cuerpo si se tira hacia abajo y se abandona así mismo?. c) ¿Cuál sería el período de un cuerpo de 4 kg de masa pendiente del mismo resorte?.

3. Un cuerpo de 0,25 kg de masa está sometido a una fuerza elástica restauradora, con constante de recuperación k = 25 N/m.

a) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?

b) ¿Cuál es la energía potencial cuando el valor de desplazamiento es la mitad que el de la amplitud?. c) ¿Para que valor del desplazamiento son iguales la energía cinética y potencial?

d) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el punto medio de su trayectoria?. e) El período T1.

f) La frecuencia f1 y

g) La frecuencia angular ω.

h) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial θ 0si la amplitud A = 15 cm, el desplazamiento inicial x0 = 7,5 cm

y la velocidad inicial Vo es negativa?.

4. Un resorte horizontal tienen una constante recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte se coloca una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:

a. El periodo de la oscilación.

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c. El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el origen.

d. Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s).

5. El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2 s cuando g=9.8 m/s2. Si la longitud del péndulo, L, se

incrementa en un milímetro y sabiendo que el período para pequeñas oscilaciones viene dado por ¿cuánto se atrasará el reloj en 24 horas?

6. Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de 15 cm de amplitud y 4Hz de frecuencia, calcúlense:

a) Los valores máximos de la aceleración y de la velocidad.

b) La aceleración y la velocidad cuando el desplazamiento es 9 cm, y.

c) El tiempo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio a un punto situado a 12 cm de la misma.

7. Un oscilador armónico simple no-amortiguado cuya frecuencia natural es de 5 rad/s se desplaza una distancia de 0.03 m. de su posición de equilibrio y se suelta. Encontrar:

a) La aceleración inicial.

b) La amplitud del movimiento resultante. c) La máxima velocidad.

8. Un resorte horizontal se estira 4.5 cm con respecto a su posición de equilibrio cuando actúa sobre él una fuerza de 2.16 N. Se coloca en el extremo del resorte una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de su posición de equilibrio. Al dejar en libertad el sistema la masa quedará dotada de un movimiento oscilatorio armónico. Se pide:

a) Fuerza que ejerce el resorte sobre la masa cuando el sistema empieza a oscilar. b) El período de oscilación.

c) La máxima velocidad alcanzada por la masa. d) La máxima aceleración.

e) Velocidad, aceleración, energía cinética y energía potencial de la masa cuando se ha movido una distancia igual a la mitad de la amplitud a partir de la posición inicial.

9. Una masa de 0.5 kg, conectada a un resorte ligero cuya constante de fuerza es 20 N/m, oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción.

a) Calcular la energía total del sistema y la rapidez máxima de la masa, si la amplitud del movimiento es 3 cm.

b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando el desplazamiento es igual a 2 cm?

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Figure

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