Desarrollo de un prototipo tribológico funcional de configuración esfera sobre disco para medir el desgaste por deslizamiento en condiciones secas y lubricadas

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

DESARROLLO DE UN PROTOTIPO TRIBOLÓGICO FUNCIONAL

DE CONFIGURACIÓN ESFERA SOBRE DISCO PARA MEDIR EL

DESGASTE POR DESLIZAMIENTO EN CONDICIONES SECAS Y

LUBRICADAS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO

DE: MAESTRO EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA

MECÁNICA

P R E S E N T A

:

ING. EZEQUIEL ALBERTO GALLARDO HERNÁNDEZ

DIRECTOR

DR. MANUEL VITE TORRES

ÍNDICE DE FIGURAS vi

ÍNDICE DE TABLAS xiii

SIMBOLOGÍA xiv

RESUMEN xvii

ABSTRAC xviii

INTRODUCCIÓN xix

ANTECEDENTES xxii

JUSTIFICACIÓN xxii

OBJETIVOS xxiv

CAPÍTULO I 1. DESARROLLO DE LA TRIBOLOGÍA 1.1 Pasaje histórico de la tribología. 2

1.2 Impacto de desgaste. 10

1.3 Aplicaciones de la tribología. 13

1.3.1 Cojinetes de contacto por deslizamiento. 14

1.3.2 Cojinetes con rodamientos o contacto giratorio. 15

1.3.3 Sellos mecánicos. 16

1.3.4 Engranajes. 17

1.3.5 Levas y seguimientos giratorios. 17

1.3.6 Anillos de pistón. 18

1.3.7 Micro-componentes. 19

2. TEORIA DE LA FRICCIÓN Y DESGASTE

2.1 Contacto mecánico entre dos superficies. 23

2.2 Geometría de superficies en contacto no conformable. 23

2.3 Superficies y sub-superficies con esfuerzos sometidas a carga. 27

2.3.1. Línea concentrada de esfuerzos. 27

2.3.2 Distribución de cargas normales. 35

2.3.3 Presión normal uniforme. 38

2.4 Fricción adhesiva. 41

2.4.1 Deformación. 41

2.4.2 Fricción. 46

2.4.3 Fricción adhesiva. 48

2.4.4 Fricción estática. 55

2.4.5 Fricción rodante. 57

2.5 Desgaste. 58

2.6.1 Desgaste adhesivo. 59

2.6.1.1 Desgaste adhesivo suave. 61

2.6.1.2 Desgaste adhesivo severo. 62

2.6.2 Análisis del desgaste adhesivo y lubricado. 63

CAPÍTULO III 2. PRINCIPALES CONFIGURACIONES DE LAS PRUEBAS DE DESGATSE 3.1 Pruebas de desgaste. 75

3.2 Arena seca disco / metálico vulcanizado. 75

3.3 Arena húmeda / disco metálico vulcanizado. 77

3.6 Cilindros cruzados. 85

3.7 Perno sobre disco. 87

3.8 Discos encontrados. 89

3.9 Perno sobre – placa (reciprocante). 90

CAPÍTULO IV 4. DISEÑO DE LA MÁQUINA TRIBOLÓGICA ESFERA SOBRE DISCO 4.1 Características de las máquinas tribológicas, comercializadas por las empresas manufactureras. 94

4.1.1 Descripción general. 94

4.1.2 Motor. 95

4.1.3 Contador de revoluciones. 95

4.1.4 Porta espécimen y brazo de palanca. 95

4.1.5 Sistema de carga. 95

4.1.6 Contra peso. 96

4.1.7 Tina. 96

4.1.8 Porta disco. 96

4.1.9 Celda de carga. 96

4.2 Características técnicas de la máquina pin on disk. 97

4.3 Metodología del diseño para el desarrollo de la máquina tribológica esfera sobre disco. 99

4.3.1 Identificación del cliente. 101

4.3.2 Determinación de los requerimientos y expectativas del cliente. 102

4.3.3 Determinación de la importancia de los requerimientos y expectativas del cliente. 103

mensurables de ingeniería. 106

4.3.6 Establecimiento de metas de diseño. 107

4.4 Diseño conceptual. 110

4.4.1 Clarificación de los requerimientos del cliente. 111

4.4.2 Definición del modelo funcional. 113

4.4.3 Generación de conceptos. 114

4.5 Evaluación de conceptos. 121

4.6 Dibujos de detalle de cada uno de los elementos diseñados para la máquina tribológica de configuración esfera sobre disco. 126

4.6.1 Plato base. 126

4.6.2 Flecha transmisora. 127

4.6.3 Tina. 127

4.6.4 Postes. 127

4.6.5 Base del brazo. 127

4.6.6 Bloque para guía. 128

4.6.7 Guía. 128

4.6.8 Tornillo. 128

4.6.9 Bastidor. 128

4.6.10 Eje del brazo. 128

4.6.11 Brazo. 129

4.6.12 Tornillo posicionador. 129

4.6.13 Pesa. 129

4.6.14 Eje del contrapeso y contrapesos. 129

4.6.15 Mandril. 129

4.6.16 Casquillo de bolas. 130

4.6.17 Bomba. 130

4.6.18 Contenedor. 133

4.6.19 Mandril porta esfera. 133

4.6.20 Costos de los componentes. 133

CAPÍTULO V

5 PROTOTIPO TRIBOLÓGICO FUNCIONAL, ESFERA SOBRE DISCO PARA PRUEBAS DE DESGASTE POR DESLIZAMIENTO

5.1 Presentación de la máquina esfera sobre disco. 133

5.2 Manual de operación. 135

5.3 Metodología experimental. 136

5.4 Pruebas preliminares. 136

5.4.1 Pruebas de desgaste por deslizamiento en seco. 136

5.4.2 Prueba lubricada. 151

5.5 Discusión de los resultados. 155

CONCLUSIONES 157

TRABAJOS FUTUROS 158

REFERENCIAS 159

ANEXOS ÍNDICE DE FIGURAS Fig. 1.1 Ciencias que apoyan a la tribología. 2

Fig. 1.2 Tribosistema. 3

Fig. 1.3 Escultura de un hombre primitivo afilando una herramienta. 4

Fig. 1.4 En el frente de la colosal piedra, un hombre vierte una sustancia líquida como lubricante, para facilitar el deslizamiento de la esta 5

Fig. 1.5 Esculturas llevadas afuera de las pirámides por medio de trineos. 5

Fig. 1.8 Esquema de un bloque sobre una superficie, para deducir las leyes que rigen el

deslizamiento 7

Fig. 1.9 Superficies de diferentes materiales y estados superficiales. 7

Fig. 1.10 Equipos diseñados por Leonardo De Vinci, para medir la fuerza de fricción. (Fuente: Leonardo De Vinci and Artrabas book). 8

Fig. 1.11 Esquemas de cojinetes antifricción, realizados por Leonardo De Vinci. 8

Fig. 1.12 Superficies analizadas por Guillaume Amontons. 9

Fig. 1.13 Ilustración de la industria del papel que se ve afectada por el desgaste. 10

Fig. 1.14 Pérdidas anuales por fricción y desgaste. 11

Fig. 1.15 Fotografía de la industria metal-mecánica. 13

Fig. 1.16 Cojinetes de deslizamiento, utilizados en el deslizamiento. 14

Fig. 1.17 Cojinetes de Ciclismo. 14

Fig. 1.18 Cojinete con rodamientos. 15

Fig. 1.19 Sello mecánico de alto volumen de producción y de uso general. 16

Fig. 1.20 Engranes de bronce. 17

Fig. 1.21 Ilustración de levas y seguidores. 18

Fig. 1.22 Anillos para cilindros neumáticos. 19

Fig. 1.23 Microcomponentes para abrir arterias al flujo sanguíneo. 19

Fig. 1.24 Piezas metálicas con recubrimiento aplicado con la técnica de PVD. 20

Fig. 1.25 Disco duro de computadora con recubrimiento. 20

Fig. 1.26 Herramientas con recubrimiento (NiT). 21

Fig. 2.3 Franjas foto-elásticas; a) Línea concentrada de carga ; b)presión uniforme sobre una área infinita; c) Línea nominal

de contacto entre dos cilindros. 33

Fig. 2.4 Círculos de Mohr para esfuerzos localizados en un punto. 33

Fig. 2.5 Cargas simétricamente distribuidas, dos dimensiones. 36

Fig. 2.6 Geometría de una presión de carga de magnitud P. 38

Fig. 2.7 Trayectorias de esfuerzo cortante constante, bajo una presión uniformemente distribuida. 40

Fig. 2.8 Superficie deformada a causa de una carga uniformemente distribuida sobre ella. 41

Fig. 2.9 Esquema de dos superficies adheridas. 42

Fig. 2.10 Interacción esquematizada, a)interacción de las asperezas, b)superficies en deslizamiento. 42

Fig. 2.11 Esquema de diferentes partículas duras, a)cónica, b)esférica y c)cilíndrica. 43

Fig. 2.12 Coeficientes de fricción. 45

Fig. 2.13 Ilustración esquematizada de, a)un cuerpo en deslizamiento en una superficie, b)superficie deslizándose con ayuda de lubricante y c)un cuerpo rodando en una superficie horizontal; W es la carga normal y F la fuerza de fricción. 46

Fig. 2.14 Fuerza tangencial en función del tiempo o desplazamiento. Fricción estática, fuerza requerida para iniciar el movimiento y fricción cinética, así como la fuerza requerida para mantener el movimiento. 47

Fig. 2.15 a)Dos superficies rugosas en contacto de deslizamiento y b)diagrama de cuerpo libre de las fuerzas involucradas. 48

Fig. 2.16 Coeficientes de fricción en función de la rugosidad superficial. 52

Fig. 2.17 Identación de una aspereza en un cuerpo dúctil. 54

Fig. 2.20 Coeficientes de fricción estática en función del tiempo al aire. 57

Fig. 2.21 Dos cuerpos en contacto no deformable, respecto a un punto O. 58

Fig. 2.22 Fotografías del daño causado por el desgaste adhesivo. (a) Acero AISI D1. 59

(b) Deformación de la superficie de un espécimen de bronce, después de interactuar contra un acero grado de herramienta. (Fuente: ASM Handbook Vol. 18, 1992). 60

Fig. 2.23 Fotografías del daño causado por el desgaste adhesivo. Escama de bronce desprendida de la superficie. (Fuente: ASM Handbook Vol. 18, 1992). 60

Fig. 2.24 Influencia de la carga y la velocidad sobre el desgaste de deslizamiento. 62

Fig. 2.25 Naturaleza de los contactos en superficies. 64

Fig. 2.26 Efecto del incremento de carga en un área real de contacto. 65

Fig. 2.27 Naturaleza general de la fuerza entre átomos en función de la separación entre ellos. 65

Fig. 2.28 a)Muestra la variación en la energía adhesiva entre superficies Al y Zn, en función de la separación, b)Ilustración de la fuerza repulsiva y de atracción entre las superficies. 66

Fig. 2.29 Posible ruptura de superficies unidas. 67

Fig. 2.30 Modelo de formación de un fragmento semi-esférico en contacto adhesivo. 71

Fig. 3.1 Máquina abrasiva arena seca / disco metálico vulcanizado, construida en el laboratorio de tribología de la SEPI-ESIME-IPN. 76

Fig. 3.2 Máquina abrasiva arena seca / disco metálico vulcanizado, por Falex Corporation. 76

Fig.3.3 Huella de desgaste perfectamente alineada. 77 Fig. 3.4 Configuración arena húmeda disco metálico vulcanizado,

Fig. 3.5 Huella de desgaste (a) TiN02/H13, (b) H13 sin recubrimiento. 79

Fig. 3.6 Prueba de desgaste por erosión. 80

Fig. 3.7 a)Impactos normales sobre la probeta. b)Efecto debido

al ángulo de impacto y al rozamiento de las partículas. 80

Fig. 3.8 Morfología de las huellas de la erosión. 81

Fig. 3.9 Curva de desgaste de una prueba de erosión

de acero AISI 1020. 82

Fig. 3.10 Configuración bloque sobre anillo. 83

Fig. 3.11 Maquina bloque sobre anillo, comercializada

por la casa Falex corporatión. 83

Fig. 3.12 Huellas de desgaste para el bloque. a)Huella ideal,

b)huella no uniforme, c)rayado asociado con el tipo de probeta. 85

Fig. 3.13 Cilindros cruzados. 86

Fig. 3.14 Configuración perno sobre disco. 87

Fig. 3.15 Huella de desgaste generada por la acción del

perno sobre el disco. 88

Fig. 3.16 Maquina perno sobre disco con condiciones

atmosféricas controladas. 89

Fig. 3.17 Configuración para el desgaste deslizado. 90

Fig. 3.18 Daño causado a un engrane por este tipo de desgaste. 90

Fig. 3.19 Configuración de prueba reciprocante. 91

Fig. 3.20 Maquina tribológica reciprocante. 91

Fig. 3.21 Ejemplo de curvas de desgaste en pruebas reciprocantes. 92 Fig. 3.22 a)Ejemplo de una pieza afectada por este tipo de desgaste.

b) Efecto de la transición en una forma media de desgaste. 92

Fig. 4.1 Esquema de una máquina tribológica de configuración

esfera sobre disco. 94

Fig. 4.3 Máquina tribológica manufacturada por Falex coporation. 98 Fig. 4.4 Máquina tribológica manufacturada por Micro Photonics. 98 Fig. 4.5 Máquina tribológica perteneciente a la Universidad de Cambrige. 99

Fig. 4.6 Diagrama de las etapas de la metodología del diseño. 100

Fig. 4.7 Despliegue de funciones de calidad. 109

Fig. 4.8 Metodología de la fase conceptual. 111

Fig. 4.9 Funciones globales. 112

Fig. 4.10 Funciones de la máquina esfera sobre disco. 113

Fig. 4.11 Diagrama de secuencia de ensamble para el tribómetro. 131

Fig. 5.1 Prototipo tribológico funcional de configuración esfera sobre disco, desarrollado en la SEPI-ESIME, IPN (vista frontal).

Fig. 5.2 Prototipo tribológico funcional de configuración esfera sobre disco, desarrollado en la SEPI-ESIME, IPN (vista lateral). 134

Fig. 5.3 Balanza Analítica con sensibilidad de 0.0001 135

Fig. 5.4 Probetas utilizadas en las pruebas preliminares, en condiciones secas. 137

Fig. 5.5 Dinamómetro utilizado para registrar la fuerza de fricción. 138

Fig. 5.6 Curva característica de resistencia al desgaste deslizado en aluminio y latón, utilizando esfera de acero AISI 52100. 139

Fig. 5.7 Curva característica de resistencia al desgaste deslizado en babbitt, utilizando esfera de acero AISI 52100. 139

Fig. 5.8 Ilustra la pérdida de volumen en mm3. 140

Fig. 5.9 Ilustra la pérdida de volumen en mm3. 141

Fig. 5.10 Curva característica de resistencia al desgaste deslizado en aluminio y latón, utilizando esfera de acero inoxidable AISI 440. 142

Fig. 5.13 Ilustra la pérdida de volumen en mm3. 144 Fig. 5.14 Huella de desgaste en aluminio, usando esfera de acero

AISI 52100 de diámetro 7mm. (a)15 minutos.

(b)45 minutos y (c) 90 minutos. 145-146

Fig. 5.15 Huella de desgaste en latón, usando esfera de acero AISI 52100 de diámetro 7mm. (a)15 minutos.

(b)45 minutos y (c) 90 minutos. 146-147

Fig. 5.16 Huella de desgaste en babbitt, usando esfera de acero AISI 52100 de diámetro 7 mm. (a)15 minutos.

(b)45 minutos y (c) 90 minutos. 147-148

Fig. 5.17 Huella de desgaste en aluminio, usando esfera de acero inoxidable AISI 440 de diámetro 8 mm. (a)15 minutos.

(b)45 minutos y (c) 90 minutos. 148-149

Fig. 5.18 Huella de desgaste en latón, usando esfera de acero inoxidable AISI 440 de diámetro 8 mm. (a)15 minutos.

(b)45 minutos y (c) 90 minutos. 149-150

Fig. 5.19 Huella de desgaste en babbit, usando esfera de

acero inoxidable AISI 440 de diámetro 8 mm. (a)15 minutos.

(b)45 minutos y (c) 90 minutos. 150-151

Fig. 5.20 Probeta utilizada en la prueba con lubricante. 152 Fig. 5.21 Curva característica de resistencia al desgaste deslizado

en aluminio, utilizando esfera de acero AISI 52100 y

lubricante TIPO “A” para transmisión. 153

Fig. 5.22 Ilustra la pérdida de volumen en mm3. 154

Fig. 5.23 Huella de desgaste en aluminio, usando esfera de acero

AISI 52100 de 8 mm de diámetro y lubricante para transmisión

Tabla 2.1 Valores de K para desgaste adhesivo. 69

Tabla 3.1 Condiciones de prueba, para desgaste erosivo. 82

Tabla 4.1 Determinación de la importancia de los requerimientos. 103

Tabla 4.2. Listado de requerimientos del cliente obligatorios y deseables. 105

Tabla 4.3 Traducción de los requerimientos, en términos mensurables. 106

Tabla 4.4 Funciones globales. 114

Tabla 4.5 Soluciones propuestas para mover el brazo de palanca. 116

Tabla 4.6 Propuestas para el pivoteo del brazo de palanca. 116

Tabal 4.7 Alternativas para la sujeción del perno. 117

Tabla 4.8 Opciones a considerar para equilibrar el sistema. 117

Tabla 4.9 Posibles soluciones para la sujeción del disco. 118

Tabla 4.10 Dos propuestas para efectuar pruebas con lubricante. 118

Tabla 4.11 Opciones para colocar las partes críticas de la máquina. 119

Tabla 4.12 Sugerencias para el desplazamiento del prototipo tribológico. 119

Tabla 4.13 Opciones de cómo aplicar la carga normal. 120

Tabla 4.14 Alternativas para la transmisión de potencia. 120

Tabla 4.15 Evaluación movimiento lineal. 121

Tabla 4.16 Pivoteo del brazo. 122

Tabla 4.17 Sujeción del porta perno. 122

Tabla 4.18 Punto muerto. 122

Tabla 4.19 Nivelación. 123

Tabla 4.20 Levantar y bajar el perno. 123

Tabla 4.21 Movimiento transversal del brazo. 123

Tabla 4.22 Sujeción del perno. 124

Tabla 4.23 Fijación del disco. 124

Tabla 4.24 Transmisión de potencia. 125

Tabla 4.27 Soporte de la máquina. 125

Tabla 4.28 Aplicación de la carga normal. 126

Tabla 4.29 Costo de los componentes. 134

Tabla 5.1 Peso perdido acumulado. 138

Tabla 5.2 Volumen perdido acumulado (mm3). 140

Tabla 5.3 Coeficientes de fricción. 141

Tabla 5.4 Peso perdido acumulado. 142

Tabla 5.5 Volumen perdido acumulado (mm3). 143

Tabla 5.6 Coeficientes de fricción. 145

Tabla 5.7 Peso perdido acumulado. 152

Tabla 5.8 Volumen perdido acumulado (mm3_{). 153}

Tabla 5.9 Coeficientes de fricción. 154

SIMBOLOGÍA

Z Distancia entre la superficie rígida del plano y el perfil del cilindro.

wz Desplazamientos verticales de la superficie cilíndrica.

h Altura total.

2

1 z

z w

w + Distancia fuera de la zona de contacto.

∆ Incremento del desplazamiento.

) / 1

( R Distancia relativa de aproximación entre los centros de los dos cilindros.

R Radio de curvatura.

x

ε Esfuerzo elástico en x.

z

ε Esfuerzo elástico en z.

xz

γ Deformación según la ley de Hooke.

x

σ Esfuerzo respecto a x.

z

r

σ Esfuerzo en coordenadas polares

θ

σ Esfuerzo en coordenadas polares

θ

τ_r Esfuerzo cortante en coordenadas polares.

r

ε Esfuerzo elástico en r.

θ

ε Esfuerzo respecto a θ.

θ

γ_r Deformación según la ley de Hooke.

φ El esfuerzo elástico de acuerdo a Timoshenko y Goodier.

2 , 1

σ Esfuerzo máximo y mínimo.

1

τ Esfuerzo máximo de corte.

A1 Área de contacto.

F Fuerza aplicada.

p

µ Coeficientes de fricción deformativo.

Fa Fuerza de fricción adhesiva.

τ1 Resistenciade corte en condiciones lubricadas.

a

µ Coeficiente de fricción adhesiva.

µ Coeficiente de fricción.

r

A Área real de contacto.

a

τ Fuerza de corte media.

µs(t) Coeficiente de fricción estática en función del tiempo.

n Número de uniones.

N Número de uniones por unidad de distancia.

dx dV

Desgaste volumétrico por unidad de deslizamiento.

V Desgaste volumétrico.

ν

l Acumulación de la energía plástica.

ν

E Acumulación de la energía plástica en una región hemisférica.

a

L Carga soportada por la aspereza.

y

σ Esfuerzo generado en la aspereza.

Γ Energía superficial.

´

a

L Carga generada en el desgaste adhesivo.

´´

d Tamaño mínimo de los fragmentos.

V Volumen de desgaste.

Todas las máquinas en sus piezas móviles, sufren pérdida en sus dimensiones. Esta disminución geométrica, es provocada por el fenómeno de desgaste, el cual, si no es atendido con oportunidad, provocan pérdidas económicas de magnitudes insospechadas que se remonta a millones de dolares por año. Uno de los costos implicados, que se pierden por el mal funcionamiento en los pares cinemáticos, es la energía empleada para el funcionamiento de los equipos, la cual, varía dependiendo del tiempo de funcionamiento y el tipo de mantenimiento. Esto sirve como antecendente para diseñar y construir un prototipo de máquina tribológica de esfera sobre disco a fin de evaluar el desgaste adhesivo en condiciones secas y lubricadas de materiales ingenieriles tales como; aluminio, latón y babbitt.

La búsqueda de nuevos materiales, que soportan el desgaste y sean económicos, ha impulsado el desarrollo en las investigaciones tribológicas.

Por otra parte la adquisición de equipos tribológicos es prácticamente imposible debido a su alto precio y a la amortización que se realiza en un tiempo muy grande y no es costeable, dado que en las instituciones de educación superior los recursos no son suficientes para satisfacer esas necesidades. Es por ello que se hace indispensable construir equipos que permitan equipar los laboratorios, en particular los que se dedican al estudio de fenómenos tribológicos.

implementado métodos, capaces de realizar pruebas que puedan ser reproducibles en cualquier lugar, debido a esto, organizaciones como la ASTM, DIN, ISO, entre otras, han estandarizado estas técnicas, logrando con ello, el conocimiento general de las condiciones de funcionamiento de las máquinas, de sus dimensiones, velocidad de operación, cargas, sensibilidad de los equipos de medición, de igual modo, especifica las características y composición que deben de tener los materiales que producen el desgaste.

El análisis que se realiza en este trabajo, está dirigido a el desgaste por deslizamiento que ocupa una parte importante en la cinemática; siendo el segundo en importancia después del desgaste abrasivo. El desgaste deslizante puede ser estudiado empleando algunas configuraciones como son: el de cilindros cruzados, máquina reciprocante, placa sobre anillo, esfera sobre disco, etc. Este ultimo es el propuesto para realizar estudios, que permitan estudiar y analizar el comportamiento tribológico de materiales, recubrimientos, y tratamientos térmicos. Los parámetros de funcionamiento de prueba se rigen por la norma ASTM G99-95.

Esta tesis, está conformada por cinco capítulos. El capitulo I, describe el desarrollo histórico de la ciencia de la tribología, desde los primeros conceptos establecidos por Leonardo De Vinci, hasta los más recientes obtenidos en la década de los sesentas, establecidos por el profesor Peter Jost. También, se hace mención del impacto del desgaste en México, así como las aplicaciones de esta ciencia en la Ingeniería Mecánica, en elementos tales como cojinetes, sellos mecánicos, engranes, levas, anillos de pistón y microcomponentes.

El capítulo II, presenta un análisis de superficies rugosas en contactos no conformables, así como líneas concentradas de carga generadas por los mismos y los correspondientes esfuerzos generados por consecuencia de la distribución de las cargas siempre presentes. De igual forma, se plantea la naturaleza del desgaste deslizado y rodante y los fenómenos que de ellos se derivan, como es la fricción tanto estática y dinámica.

para las máquinas tribológicas. Así como, los parámetros de prueba, control, verificación, obtención de datos y reportes técnicos para las mismas.

El capítulo IV, describe el desarrollo del diseño del prototipo tribológico funcional esfera sobre disco para medir el desgaste por deslizamiento en condiciones secas y lubricadas. Para ello, se empleó una metodología de diseño, basada en el despliegue de funciones de calidad, QFD por sus siglas en ingles, misma que fue de gran importancia, para alcanzar los objetivos planteados.

En el capítulo V, se muestra el prototipo en la SEPI ESIME ZACATENCO, donde se observan sus elementos mas importantes, calibración y metodología experimental. Asimismo, se exponen los resultados preliminares obtenidos en esta configuración de esfera sobre disco, mismos que comprenden el desgaste acumulado en pérdida de peso y volumen, así como los respectivos coeficientes de fricción en cada material analizado.

En la actualidad, la importancia de implementar programas que procuren el ahorro de energía debido a sus altos costos, se ha incrementado en los países industrializados sobre todo en países como México.

Es por eso que se ha impulsado la formación de especialistas, que buscan minimizar el problema de consumo de energía que tanto le cuesta a la economía nacional.

El papel que juegan las Universidades Públicas, es el de contribuir a la formación de recursos humanos altamente especializados, así como, proporcionar asesorías, cursos y capacitaciones para un mejor desarrollo científico tecnológico en toda la republica. Por lo antes mencionado, la Ciencia de la Tribología, contribuye en conocer la naturaleza y comportamiento de los fenómenos de fricción, desgaste y lubricación.

En este sentido, con el apoyo de esta ciencia se pueden desarrollar programas de reducción en el consumo de energéticos.

La búsqueda de nuevos materiales, que soporten el desgaste y sean económicos, ha impulsado el desarrollo en la investigación para determinar las características y propiedades tribológicas de materiales que constituyen los elementos de máquina. Para ello, se han desarrollado máquinas tribológicas de diferente configuración geométrica. Sin embargo, la compra de estos equipos, ha sido imposible por sus costos, ya que si se desea adquirir alguno de ellos, el precio es muy alto y la amortización se realiza en mucho tiempo. Por otra parte, en las instituciones públicas de educación superior del país, los recursos financieros que se manejan para la adquisición de equipo sofisticado, no son los suficientes para satisfacer las actuales necesidades de educación. El uso de tribómetros es indispensable en los laboratorios, para poder realizar estudios sobre la resistencia de los materiales e identificar las propiedades de los lubricantes en general.

El desarrollo de la máquina esfera sobre disco se hace en función del mecanismo de desgaste por adhesión, que ocupa una parte importante en la Tribología. Los parámetros de diseño del modelo que aquí se presenta, están regidos por la norma ASTM G99-95.

- Conocer la naturaleza de los fenómenos de la fricción y el desgaste, principalmente, los referidos al mecanismo de adhesión en seco y en condiciones lubricadas.

-Diseñar los principales componentes del prototipo tribológico funcional esfera sobre disco.

-Manufacturar las piezas y ensamblarlas para armar el prototipo.

-Ensamble de las piezas manufacturadas para la máquina tribológica.

A Dios y a la Santísima Virgen de Guadalupe

Por haberme permitido vivir y ver concluido este trabajo

A mi Padres:

Ofelia Hernández Campos Nicolas Gallardo Ojeda

Quienes a lo largo de toda mi vida me han apoyado incondicionalmente en todo lo que hago, y sobre todo nunca haber perdido su confianza en mi, permitiendo de esta manera alcanzar todos los objetivos que me

he planteado

A mis Hermanos:

Pepe y Dulce

A mi Abuelita

Josefa Campos

A mis Tíos

Por todo su apoyo, Cirilo, José, Cocoy, Martín, Agustina y Rosa

A mis Primos

Mayra, Octavio, Paulina, Brenda y Melissa

Al Instituto Politécnico Nacional:

Por haber formado en mi con sus valiosos maestros, un profesionista con nuevos retos para el beneficio del país

Al Dr. Manuel Vite Torres:

Quien con sus conocimientos y dedicación, me ha permitido explorar nuevas fuentes del conocimiento

A mis Compañeros:

Alfredo, Ricardo y Joel

CAPÍTULO I

DESARROLLO DE LA

TRIBOLOGÍA

____________________________________________

1.1 PASAJE HISTÓRICO DE LA TRIBOLOGÍA

La tribología, es la ciencia que se encarga del estudio de las superficies que se encuentran en contacto y movimiento relativo, así como de los fenómenos que se producen por la interacción de las mismas [1].

Tribología, se deriva del griego, de la palabra tribos que significa rozamiento ó fricción (τριβοσ) y logos (λογοσ) que es estudio o tratado, de esta manera su traducción literal es “La ciencia del frotamiento” ó el estudio de los fenómenos de la frotación o fricción. Es común que en el idioma inglés su equivalencia sea el estudio de la fricción y el desgaste, o como alternativa considerarla como la ciencia de la lubricación. Sin embargo, este concepto ha sido modificado, por el profesor Peter Jost quien la definió como “la ciencia y tecnología que estudia a las superficies que se encuentran en contacto y movimiento relativo, así como los fenómenos que de ello se derivan”. En consecuencia, la fricción, el desgaste y la lubricación son tópicos de estudio de la misma [2].

Las superficies interactuantes en una interfase tribológica, son altamente complejas, requiere del conocimiento de varias disciplinas, como la física, química, matemáticas aplicadas, mecánica de fluidos, mecánica de sólidos, ingeniería mecánica, termodinámica, transferencia de calor, ciencia de los materiales, lubricación, diseño mecánico [1], en la figura 1.1 se muestra las disciplinas del conocimiento que apoya a la tribología.

Es necesario estudiar tanto las características como las condiciones en que se lleva a cabo las interacciones de las superficies de los pares mecánicos, a este entorno, se le conoce como tribosistema, cuyos elementos se presentan en la figura 1.2.

Pérdida de material (Tasa de desgaste) intermedia

Cambios en la superficie (Inicio del desgaste) Sustancia

Medio ambiente

Desgaste característico Base

Contracuerpo

Factores combinados carga/fatiga Estructura

Fig. 1.2 Tribosistema.

1. Base: cuerpo primario de fricción, en condición de desgaste.

2. Contracuerpo: cuerpo secundario de fricción bajo condiciones de desgaste.

3. Sustancia intermedia: aceite lubricante, polvo, fibras, granos, agua, vapor, gases, etc.

4. Medio ambiente: es el entorno donde se encuentra el sistema; éste puede estar constituido por gases y/o líquidos en diferentes condiciones de presión; ya sean muy elevadas o al vacío; a temperaturas extremas, etc.

Donde se involucra cualquier posible combinación de triboelementos, que incluyen al medio ambiente.

agujeros, así como volantes de alfareros ó piedra de molienda, en la figura 1.3 se observa a un hombre primitivo afilando una herramienta de trabajo.

.

Fig. 1.3 Escultura de un hombre primitivo afilando una herramienta.

este fundamento, el esfuerzo total, puede igualar a la fuerza de fricción al mínimo. Dando como resultado un coeficiente de fricción cercano a 0.23 [1].

Fig. 1.5 Esculturas llevadas afuera de las pirámides por medio de trineos.

Durante y después de la gloria de los emperadores romanos, ingenieros militares con conocimiento en maquinaria de guerra y métodos de fortificación, aplicaron principios tribológicos, en la figura 1.7 se puede observar el coliseo Romano una de las construcciones mas importantes durante el apogeo de esta cultura.

Fig. 1.7 Fotografía que ilustra las construcciones antiguas de la cultura romana.

Fig. 1.8 Esquema de un bloque sobre una superficie, para deducir las leyes que rigen el deslizamiento.

Fig. 1.10 Equipos diseñados por Leonardo De Vinci, para medir la fuerza de fricción. (Fuente: Leonardo Da Vinci and Artrabas book) [4].

No fue hasta que en 1699, el físico Francés Guillaume Amontons, después de hacer varios estudios del deslizamiento en seco entre dos superficies planas, desarrollo las dos leyes de la fricción, válidas hasta la fecha. La primera de ellas, establece que la fuerza de fricción resistente al deslizamiento en una interface, es directamente proporcional a la carga normal aplicada. Mientras que la segunda ley, enuncia que la cantidad de fuerza de fricción no depende del área aparente de contacto, como se ilustra en la figura 1.12. Posteriormente, esta observación fue verificada por el físico francés Charles Agustín Coulomb. Proponiendo una tercera ley, la cual contempla a la fuerza de fricción como independiente de la velocidad de deslizamiento. Otra de sus aportaciones es una clara distinción entre la fricción estática y la fricción cinética [5].

Fig. 1.12 Superficies analizadas por Guillaume Amontons.

En 1648, Robert Hooke, sugirió la combinación de piezas grandes de acero para superficies inferiores de madera con hierro en ruedas de cojinetes.

En la primera parte del siglo XIX se desarrolló la lubricación con el crecimiento de la industrialización. Primeramente lo hizo en la industria del petróleo, iniciando en Escocia, Canadá y Estados Unidos.

Aunque las leyes esenciales del flujo viscoso fueron postuladas, siglos atrás por Sir Isaac Newton en 1668; científico inglés con conocimientos en operación con cojinetes lubricados.

Osborne Reynolds en 1886, que lo relacionó con el trabajo de N.P. Petroff en 1883. Desde entonces se aplicó la teoría de cojinetes hidrodinámicos en maquinaria de uso industrial.

El desgaste es un conocimiento mucho muy reciente después de que la fricción y del desarrollo de los cojinetes fue iniciado sobre grandes bases empíricas.

Estudios científicos de la evolución del desgaste en pequeñas cantidades fueron desarrollados hasta mediados del siglo XX. Ragnar Holm, hizo una de las primeras contribuciones substanciales para el estudio del desgaste en 1946.

1.2 IMPACTO DEL DESGASTE

Las pérdidas en la producción están presentes en todas las industrias. Como no es posible estudiarlas todas, se mencionan las más comunes como son la minera, agrícola, celulosa, del papel y la alimentaría, En la figura 1.13, se observa una de las industrias más afectadas por fallas tribológicas, mientras que en la figura 1.14 se presenta las pérdidas de energía por la fricción y el desgaste.

Fig. 1.14 Pérdidas anuales por fricción y desgaste.

Las primeras conclusiones son que las pérdidas por desgaste siempre son mayores que las ocasionadas por la fricción, como sucede en la industria metalúrgica, donde las sangrías económicas son apreciables. Para reducir éstas, las industrias manufactureras comenzaron a usar técnicas especiales tales como: lubricantes no muy comunes, implantación iónica, el temple superficial con láser y el recubrimiento con materiales resistentes al desgaste. Esto, permitió disminuir las pérdidas anualmente en un 9%, lo que representa 9,5 MM USD, sólo por el concepto de disminución de fricción, y 70.3 MM USD por concepto de disminución del desgaste [6]. En el sector del transporte significa un elevado porcentaje, del orden de 26% de todo el consumo energético en Estados Unidos. El alto consumo de energía, es fundamentalmente debido a problemas con los lubricantes, frenado, mecanismos de distribución del movimiento, pistones, aros, etc., del motor.

desgaste de los materiales en constante rozamiento, mediante una lubricación apropiada y por medio de técnicas de recubrimientos para prolongar la vida útil de los productos.

En México, inadecuadas prácticas de uso y la falta de tecnología moderna, han propiciado que el consumo de los aceites, en el país, sea similar al de Alemania y equivalente a una sexta parte del de Estados Unidos; aunque sea 20 veces más pequeños en tamaño industrial.

La utilización de tribo-tecnologías, no solamente podría contribuir a la considerable reducción del consumo de lubricantes, también se traduciría en ahorros energéticos considerable.

La industria Mexicana ha permanecido en un letargo tecnológico durante la época del proteccionismo económico; Debido a la apertura comercial de México, así como a la firma de diversos acuerdos comerciales como el TLC y el GATT, se ha destacado la necesidad de que ésta debe transformarse para alcanzar la competitividad internacional y producir con mayor calidad.

En su oportunidad, Odón de Buen presidente de la Comisión Nacional para el Ahorro de Energía, reconoció los rezagos de México en la materia; para algunas empresas es más atractivo esperar oportunidades de operación por conducto de intermediarios, que hoy venden y mañana desaparecen, elevando notablemente el costo de algunos procesos productivos.

Sin embargo, la ciencia de la tribología no sólo puede ayudar a la industria, si no también a los prestadores de servicios como a los médicos, en relación de los materiales utilizados en prótesis; más todavía cuando de todo el padrón de clínicas y hospitales del país solamente 139 están certificados con la norma ISO 9000.

introducir al mercado innovaciones tecnológicas. En la figura 1.15, se puede apreciar la industria metalmecánica, que se ve afectada por los fenómenos tribológicos [6].

Fig. 1.15 Fotografía de la industria metal-mecánica.

1.3 APLICACIONES DE LA TRIBOLOGÍA

El conocimiento de la tribología es extremadamente importante en numerosas aplicaciones industriales donde se requiere un movimiento relativo, por ejemplo, automóviles (motores de combustión interna), industria aérea, vías de ferrocarril, máquinas automatizadas, entre otras.

incluyen procesos de materiales o procesos de manufactura, máquinas de combustión interna para aplicaciones automotrices, turbinas de gas para la industria aeroespacial, caminos o vías metálicas y acumuladores magnéticos. Para una mejor vida de los componentes mecánicos, deben presentar mejor resistencia a la fricción y al desgaste, con el fin de ser optimizados o minimizados para una mejor aplicación.

Actualmente se han construido novedosos componentes tribológicos que operan con cargas aproximadas de 5 MPa, en los que se incluye a los cojinetes, sellos, anillos para pistones y carbones eléctricos. Asimismo, se han construido otros dispositivos que soportan altas cargas, aproximadamente de 3500 Mpa, los cuales comprenden a los rodamientos o cojinetes giratorios, mecanismos de transmisión, levas y seguimientos giratorios [6].

1.3.1 COJINETES DE CONTACTO POR DESLIZAMIENTO

Son elementos de máquina, los cuales soportan el movimiento de una pieza en su interior. Consta de una parte estacionaría, que le permite el deslizamiento de la misma. Generalmente, son llamados cojinetes de contacto por deslizamiento. Estos, pueden ser lubricados con una película de aire, agua, aceite, grasa u otro fluido, en la figura 1.16 y 1.17 se puede observar diferentes cojinetes de este tipo.

Fig. 1.16 Cojinetes de deslizamiento, utilizados en el Fig. 1.17 Cojinetes de deslizamiento. Ciclismo.

1.3.2 COJINETES CON RODAMIENTOS O CONTACTO GIRATORIO

Fig.1.18 Cojinete con rodamientos.

1.3.3 SELLOS MECANICOS

La función primaria de los sellos, también llamados sellos de fluidos, son para evitar el paso de una cantidad de lubricante (líquido o gas) que pueda escapar de ciertos sistemas, previniendo, la contaminación de los sistemas de operación, donde estos se encuentran.

Los sellos, se clasifican en dos grandes clases: Estáticos y dinámicos. Los primeros, son colocados a modo de que rellenan cierta parte de un sistema como sucede con los anillos juntos, que son usados en las conexiones de tuberías especiales. En tanto que un sello dinámico, se le emplea para restringir un flujo de líquido a través de una abertura estrecha, para un deslizamiento entre superficies con movimiento relativo, como se puede ver en la figura 1.19.

Los materiales utilizados para construir los sellos, dependen del diseño y de los requerimientos de operación de los mismos. Dado que éstos, se localizan en lugares donde se emplean diferentes aceites lubricantes y diferentes condiciones de operación, éstos son: cerámicos, cementos, bronces, grafitos y resinas termoplásticas [6].

Fig. 1.19 Sello mecánico de uso general.

1.3.4 ENGRANAJES

Los engranajes dentados, pueden ser operados con un límite de fuerza, en una combinación de regímenes de lubricación. Algunas fallas típicas en los mismos, son fatiga, escoriaciones, escofinado (severa forma de desgaste adhesivo con pérdida de lubricante), abrasión, desgaste corrosivo y fractura de sus dientes. La figura 1.20 muestra engranajes de diferentes características [6].

Fig. 1.20 Engranajes de bronce.

1.3.5 LEVAS Y SEGUIMIENTOS GIRATORIOS

Las levas y seguimientos giratorios, son extensamente empleados en máquinas de ingeniería, sirven para transformar el movimiento giratorio en movimiento reciprocante deslizante o viceversa, como sucede en equipos automáticos y en máquinas textiles. En la figura 1.21, se presenta una leva con su seguidor que presenta una trayectoria giratoria. Las condiciones de contacto, son puntos nominales, o sea líneas de contacto.

Fig. 1.21 Ilustración de levas y seguidores.

1.3.6 ANILLOS DE PISTÓN

Los anillos de pistón, son dispositivos de sellamiento mecánico, usados para sellar, émbolos de pistones, vástagos reciprocantes, etc. Ya sea en cilíndros neumáticos o hidráulicos, en motores ya sea de gasolina o diesel, compresores y bombas, etc. Los anillos, son generalmente metálicos; Cuando se colocan en los árboles del pistón, son provistos de un lubricante. Un movimiento, los lleva a sellar, colocándolo entre el pistón y el cilíndro. Por otra parte se dividen en anillos por compresión y anillos con control de aceite. Los primeros, generalmente, dos o más, son localizados cerca del frente del pistón para bloquear el flujo de aceite de la parte inferior del cilíndro. Mientras que los otros, frecuentemente, uno o más, son colocados debajo de los anillos de compresión para evitar el paso de aceite a la cámara de combustión de un automóvil.

Fig. 1.22 Anillos para cilíndros de uso automotriz.

1.3.7 MICROCOMPONENTES

Fig. 1.23 Microcomponentes para abrir arterias al flujo sanguíneo.

Mas recientemente, en la década de los ochentas se construyen componentes mecánicos, usando tecnologías de microfabricación, y es ahí donde la tribología ha cobrado mucho mayor importancia, en el estudio y caracterización de recubrimientos. Actualmente se aplican técnicas de recubrimiento en diferentes tipos de piezas y discos duros de computadora [7], como los que se muestra en las figuras 1.24 y 1.25.

Fig. 1.24 Piezas metálicas con recubrimiento Fig. 1.25 Disco duro de computadora con

aplicado con la técnica de PVD. recubrimiento.

Estas son usadas para cortar, formar flechas, platos, troquelar, forjar, etc; El desgaste de las mismas, usualmente, se presenta sobre la cara o el flanco, como resultado de un astillamiento a través de un movimiento de la cara de la herramienta. La extensión y localización del desgaste causado, afecta considerablemente al filo de la misma, el cual debe tener una gran fuerza de corte. El mecanismo de desgaste predominante, ocurre por adhesión, químico o electroquímico. Las más importantes propiedades de una herramienta de corte con recubrimiento duro, son; alta resistencia al calentamiento, dureza, tenacidad, estabilidad química y reactividad. Otras propiedades relevantes son el módulo elástico, fuerza de ruptura, fuerza de compresión y coeficiente de expansión térmica [1]. La Figura 1.26 muestra algunas herramientas que han sido recubiertas con capas de Nitruro de Titanio (TiN).

CAPÍTULO II

TEORÍA DE LA FRICCIÓN Y

DESGASTE

____________________________________________

2.1 CONTACTO MECÁNICO ENTRE DOS SUPERFICIES

El contacto mecánico, se produce cuando dos superficies interaccionan, encontrándose en movimiento relativo y sometidas a carga. Después de un tiempo, cada una de ellas sufre alguna deformación. Ésta, puede ser puramente elástica o plástica. Las deflexiones y deformaciones de las superficies, pueden ser vistas en dos diferentes escalas. Una de ellas considerar el contacto donde una carga excesiva actúa en un elemento esférico sobre otro rodante como un cojinete. Al revisar el grado de planicidad del primer elemento, se puede expresar la deflexión como una proporción del radio del mismo. Esto es, la distorsión a nivel microscópico. El otro ejemplo, es observado a macro-escala donde los elementos que se encuentran en contacto con la superficie son planos. Ellos, hacen contacto, inicialmente, en un número de puntos o asperezas. La suma de todos esos puntos, conforman el área real de contacto, ésta es, una pequeña porción del área de contacto nominal. Algunas deformaciones de material ocurren en pequeña escala, cerca de las áreas reales de contacto. Ésto es, donde el esfuerzo se genera. La presión de contacto aparente, es la carga normal dividida entre el área nominal de contacto, donde los valores son mucho menores comparados con los que se logran con la presión real de contacto [7].

2.2GEOMETRÍA DE SUPERFICIES EN CONTACTO NO CONFORMABLES

{

}

Z (2.1)

Si x<< R, que generalmente ocurre, se puede desarrollar el término que contiene la raíz cuadrada aplicando el teorema binomial , o sea X .

2 / 1 2 2 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = R X R R

Z +...+ términos de más alto orden

R X (2.2) Ésto es, R X Z 2 2

≅ (2.3)

En otras palabras, se selecciona un modelo parabólico del perfil de la superficie, sobre una pequeña región cerca del contacto.

Se supone que al momento de aplicar la carga normal por unidad de longitud W/L, el cilíndro es deformado, tal que su centro se mueve a una distancia vertical δhacia el plano. El área real de contacto, es una zona delgada, simétrica cerca del eje z. Si se supone que ésta, es de una anchura que va desde X =- a hasta X = +a, como se ilustra en la figura 2.1b. Si se intenta relacionar el tamaño de la zona, descrita por la magnitud de a con carga, la normal W/L y la geometría, así como las propiedades del material del cilíndro, como se observa en la misma figura, se presenta el perfil en forma continua o discontinua, si se supone que las condiciones dentro de dicha zona son: –a< X< +a, entonces:

Z+ wZ=δ, (2.4)

donde wz, representa los desplazamientos verticales de la superficie cilíndrica.

En una región:

wz=δ- (x2 -2R) (2.5)

Fuera de ésta, la zona h y la magnitud de la distancia ⏐x ⏐> a, permanece en un espacio

libre entre el cilíndro y el plano, así que wz > δ-(x2/2R)

δ

δ = + −

− +

= 2 2 2

2R w

x w

z

h (2.6)

Una segunda superficie, previamente considerada rígida y plana, se deforma, siendo esta de una forma cilíndrica, con los ejes paralelos como en el primer caso. Entonces, se obtienen las ecuaciones 2.7a y 2.7b como:

Fuera de la zona de contacto

2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 R x R x w

w_z + _z =δ +δ − − (2.7a)

Los subíndices 1 y 2 se refieren a las dos superficies, y δ2 es el movimiento del segundo

cilindro dirigido respecto al primero.

Estas ecuaciones pueden ser escritas de otra forma, para definir el incremento del

desplazamiento ∆ = δ1+δ2, que es el total de la distancia relativa de aproximación entre los

centros de los dos cilíndros.

) / 1 ( ) / 1 ( ) / 1

( R = R₁ + R₂ 2.7(b)

R = Radio de curvatura.

R1 y R2 son positivos por ser superficies convexas, pero negativas para aquellas que son

cóncavas. Dentro de la zona de contacto, en la región ⏐x⏐≤a, se tiene:

R x w

w_{z z}

2 2 2

1+ =∆− (2.8)

Fuera de la zona de contacto ⏐x ⏐> a:

R x w

w_{z z}

2 2 2

1 + >∆− (2.9)

Si se considera que las superficies son esféricas, entonces el contacto en la región es circular en la forma como lo muestra la figura 2.1, en donde existe un radio a; cuyas expresiones son las siguientes:

R y R x w

w_{z z}

2 2

2 2 2

1 + =∆− − para x

2 _{+ y}2_{≤ x}2 _{+ y}2 _a2 _(2.10)

Si se remplaza x2 + y2=r2, se describe la zona de contacto, como es, {r}<a,

R r w

w_{z z}

2 2 2

1+ =∆− (2.11a)

la cual para ⏐r ⏐> a.

R r w

w_{z z}

2 2 2

1 + >∆− (2.11b)

En donde no se encontró una distribución de la presión a través del área de contacto, la cual es resultado de las superficies desplazadas. En el caso de dos cilíndros en contacto los desplazamientos deben satisfacer las ecuaciones 2.10 y 2.11 a y b [8].

2.3 SUPERFICIES Y SUB-SUPERFICIES CON ESFUERZOS SOMETIDAS A CARGA

2.3.1 LÍNEA CONCENTRADA DE ESFUERZOS

módulos de Young suficientemente grandes), los esfuerzos generados son relativamente pequeños. Dado que áreas reales de contacto, son pequeñas comparadas con las típicas dimensiones, que caracterizan las formas microscópicas de las superficies, puesto que es despreciable para el ancho de la zona de contacto a, la cual es pequeña comparada con el radio de las superficies curvas, o sea a/R<<1. Por ello, la distribución de esfuerzos dentro de a/R<<1, no son fuertemente influenciados por las condiciones de distancia que existe entre ellos. Para el propósito de análisis, es perfectamente razonable considerar que ambos cuerpos sólidos están extendidos en una distancia infinita en el mismo sentido del punto de contacto; se considera cada uno de ellos como semi–infinitos en el espacio.

En el caso de dos dimensiones donde un cuerpo sólido es sometido a la acción de una carga se presentan esfuerzos elásticos acompañados de deformaciones sobre una zona angosta del mismo sólido. Es posible, que la distribución de presión y los esfuerzos asociados, tiendan a desarrollar cambios en la forma de ésta, mismos que son descritos por las ecuaciones 2.10 y 2.11a, 2.11b.

Una solución para el caso elástico, proporciona un entendimiento de las componentes del

esfuerzo y las deformaciones δ, dentro del sólido: Los esfuerzos se equilibran en el bulto del material, así como también el balanceo de la carga aplicada sobre él. Entonces, se puede derivar las componentes de la deformación, las cuales deben satisfacer las condiciones de compatibilidad geométrica. Es necesario asumir, en un gráfico en dos dimensiones, esos desplazamientos expuestos paralelos al eje “y” y simétrico a éste. Donde el material se encuentra en un plano de deformación, ésto es εy = 0. Para esta suposición se justifica el

ancho de los desplazamientos que son grandes comparados con la anchura de la zona de contacto, que sucede frecuentemente en problemas prácticos.

En la zona de deformación, las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad son resumidas en coordenadas cartesianas por derivación como en las ecuaciones 2.12, 2.13, según los textos de la resistencia de los materiales, por ejemplo, Timoshenko y Goodier 1951 [9]. Para satisfacer equilibrio, se tiene que:

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z x xz x τ σ (2.12) y 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x z xz z τ σ (2.13)

Donde σx, σz, son los esfuerzos principales y τxz, es el esfuerzo de corte actuando sobre un

elemento de material en el punto (x,z).

Por compatibilidad, las deformaciones correspondientes εx, εz, y γxz, deben satisfacer la

ecuación: z x yz z x x

z ∂ =∂ ∂ ∂

∂ + ∂

∂ ε ε ₂ γ

2 2 2 2

(2.14)

Donde la deformación es relacionada con el desplazamiento wx y wz, de un partícula

característica en la coordenada (x,y) para áreas reales.

x w_x x _∂ ∂ = ε z w_z z _∂ ∂ = ε x w z

w_{x z}

xz _∂ ∂ + ∂ ∂ =

Los esfuerzos elásticos y la deformación según la ley de Hooke pueden ser descritos de la siguiente manera:

(

)

(

)

1 2

z x

x

E ν σ ν ν σ

ε = − − + ;

(

)

(

)

1 2

z x

z

E ν σ ν ν σ

ε = − − + xz xz xz z G τ ν τ γ Ε + = ∂

= 2 (2.16)

En la que E, es el módulo de Young, G, es el módulo elástico de corte, y ν, es la relación de Poisson. Las ecuaciones 2.14, 2.15, y 2.16 son satisfechas, si los esfuerzos son derivados de la función esfuerzo φ(x,z). Por lo tanto se tiene que:

2 2 z x _∂ ∂ − = φ σ 2 2 x z _∂ ∂ − = φ σ z x xz _{∂ ∂}

∂ −

= φ

τ 2 (2.17)

De esta manera la función φ(x,z), satisface la ecuación biarmónica:

Para coordenadas polares cilíndricas (r,θ), ó bien para establecer el esfuerzo φ(r,θ), es mucho más apropiada para la solución de la ecuación biarmónica.

0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θ φ φ φ

θ r r r r

r r r

r (2.19)

Los esfuerzos correspondientes son derivados de las siguientes ecuaciones:

2 2 2 1 1 θ φ φ σ ∂ ∂ + ∂ ∂ = r r r

r ; 2 ;

2 r ∂ ∂ = φ σ_θ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ − = r r r r φ

τ θ 1 (2.20)

Las deformaciones εr, εθ, y γ rθ, son en este caso relacionados para los desplazamientos

wr y wθ de una superficie ( r,θ ), donde:

r w_r ∂ ∂ = ε z w r r w_r ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ θ ε 1 r w r w w r

r θ θ

θ _θ γ − ∂ ∂ + ∂ ∂

= 1 (2.21)

Aplicando la ley de Hooke, se obtiene que:

(

)

(

)

[

]

ε = 1 1− 2 − 1+

r r

E εθ = E

[

(

)

(

)

]

1 2

(

)

γ r _r

r

E G

+ =

= 21 (2.22)

El esfuerzo elástico en el plano (r,θ) se obtiene fácilmente de acuerdo a las funciones de Timoshenko y Goodier (1951).

( )

π

φ r sen

L W

r =−

= ,0 (2.23)

Este esfuerzo tiende a elevarse hasta una simple distribución radial compresiva de esfuerzos directamente hacia el punto O, donde se aplica la carga; los esfuerzos internos son descritos por las ecuaciones:

θ

σ 2 cos

Lr W

r =− , y σθ= τr θ= 0 (2.24)

La superficie, está libre de esfuerzos (σr = τrθ= 0) excepto donde se aplica la carga, donde r = 0.

Fig. 2.2 Línea de carga normal uniforme de intensidad W/L por unidad de longitud sobre la superficie de un sólido semi-infinito.

grande y los esfuerzos tienden a cero. La segunda, se refiere cuando se tiene una magnitud constante de –2W/πD sobre el círculo de diámetro D, que pasa a través del punto O(D cos

θ = r).

Como τrθ=0, por lo tanto σr y σθ, son los esfuerzos principales y el esfuerzo de corte τ1 en

el punto (r,θ), tiene un valor de σr/2. De esta manera, los esfuerzos cortantes son máximos

y de forma circular pasando a través del punto O. Cada trayectoria de máximo esfuerzo es localizada experimentalmente, usando técnicas de foto-elasticidad como se observa en la figura 2.3, en donde cada una de las predicciones del modelo propuesto es claramente observado en la figura 2.4. Se puede expresar igualmente en términos de coordenadas cartesianas: las transformaciones de un sistema de coordenadas a otro, se realiza por medio del circulo de Mohr, para esfuerzos en un punto representativo como es el “A” en la figura 2.4 [9].

Fig. 2.4 Círculos de Mohr para esfuerzos localizados en un punto.

El procedimiento se ilustra en la figura 2.4, así como las ecuaciones correspondientes: 2 2 2 2 2 ) ( 2 z x z x L W sen r

z =σ θ =− _{π +}

σ 2 2 2 3 2 ) ( 2 cos z x z L W

r =− ₊

=

π θ

σ

σ (2.25)

2 2 2 2 ) ( 2 cos z x xz L W sen r

xz =σ θ θ =− _{π +}

τ

Para encontrar el cambio en la forma del material sometido a carga, se pueden sustituir los esfuerzos dados por las ecuaciones 2.24 ó 2.25 por una estimación propuesta por la ley de Hook, una vez que los esfuerzos son establecidos, para volver a trabajar con los desplazamientos asociados, empleándose coordenadas polares o cartesianas. El primer punto de interés, es la forma que toma la superficie deformada. Esto es de acuerdo a los

desplazamientos radiales wr y wθ, respectivamente, cuando θ = ±π/2. Las ecuaciones que

(

)(

)

( =±π =− − ν +ν (2.26)

y

ωθ(en θ= ±π/2) = -ωθ(en θ = -π/2) = In

(

L W

/ 0

2₎₂

1 (

π ν −

−

)

La ecuación 2.26 describe todos los puntos en la frontera del sólido donde ocurre un desplazamiento constante con dirección hacia el origen O. En la ecuación 2.27, la constante

r0, refleja la selección de los datos de los desplazamientos que son obtenidos desde r0, hasta

ωθ. La inadecuada selección de los mismos, es una inevitable característica de este

problema que involucra deformaciones en dos dimensiones en un espacio elástico. La forma de la superficie

deformada se presenta en la figura 2.2, sobre el cual el valor de r0es indicado [9].

2.3.2 DISTRIBUCIÓN DE CARGAS NORMALES

La carga W se distribuye sobre un área de contacto finita, generándose una presión p. El valor de ésta, en la interface, varía con la posición a lo largo del eje “x”, es decir, p es una función de x, por lo que la distribución es simétrica con respecto al eje “z”; como se observa en la figura 2.5. Por lo tanto, es necesario establecer las resultantes de esfuerzo en cualquier punto de A(x,z), en el bulto del sólido y el desplazamiento vertical de algún punto característico en C(x,0).

potencias complejas y transformaciones integrales encontradas por Glandwell (1980). Un elemento con carga de intensidad pds, es observado actuando en el punto B(s,0) en la figura 2.5.

Los esfuerzos en el punto A, debidos a una línea de carga, son descritas por la ecuación 2.25, remplazando x por x–s y W/L por pds [9]. De esta manera, al integrar todos los efectos y cada uno de las cargas se obtiene, que:

(

)

{

}

∫

(

)

{

}

∫

3 _{( )}

2 z s x ds s p z

z (2.28)

(

)

{

}

∫

2 _{( )( )}

2 z s x ds s x s p z xz

Esto significa que si la forma de la distribución de presión p(s) es conocida, entonces el mínimo estado de esfuerzos en cualquier punto del sólido puede ser evaluado por las ecuaciones. En la práctica, la evaluación de las integrales es únicamente en ciertos casos especiales.

y wz respectivamente [9]. Donde wx = wr en θ=±π/2 y wz = wθ, sustituyendo en las

ecuaciones 2.25 y 2.26, donde se tiene que:

(

)(

)

_∫

_∫

x p s ds p s ds

E w α α ν ν ) ( ) ( 2 1 2 1 (2.29)

(

)

s x r in s p E w_z ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − = +

∫

ν2 ₀

) ( 2 1 ( 2 (2.30)

La magnitud del desplazamiento en el origen, se encuentra implícita en la ecuación (2.29), es necesario la partición en el rango de integración de las ecuación 2.30. Debe notarse la ecuación para los desplazamientos verticales de las superficies que contiene una constante

r0, que representa los valores del nivel donde estos cambios son obtenidos.

Fig. 2.5 Cargas simétricamente distribuidas, en dos dimensiones.

(

)(

)

x

w_{x =−} − ν +ν ∂

∂

(2.31)

y

(

)

s x s p E x wz

∫

Donde la deformación εx, es igual a ∂wx/∂x, entonces las ecuaciones quedan definidas por

las ecuaciones 2.31 y 2.16.

( ) (

) ( ) (

) ( )

1

( _−ν2 _{σ x +ν +ν p x =− + ν p x}

y se tiene que:

) (x p x =−

σ (2.33)

que es numéricamente igual a σz,

Esto se observa en cualquier superficie con una carga normal. El esfuerzo local en el planoσx, donde aparece la presión es de igual magnitud que la presión normal actuando en

2.3.3 PRESIÓN NORMAL UNIFORME

Una carga normal uniformemente distribuida, es una presión que se extiende sobre un rango de –a < x < +a. Suponiendo que la magnitud de ésta es p, como se indica en la figura 2.6. La ecuación 2.28 es aplicada para este caso, donde p es considerada como la constante de integración. Usando la notación de la figura 2.6, el resultado del esfuerzo es:

(

) (

(

)

2

¨ π θ1 θ2 θ1 θ2

)

σx =− P − + sen −sen

(

) (

(

2

¨ π θ1 θ2 θ1 θ2

σz =− P − − sen −sen

))

(

2π θ θ

τxz = P −

)

Fig. 2.6 Geometría de una presión de carga de magnitud P.

Donde θ1y θ2son los ángulos que definen los desplazamientos que van desdeθ12 = z/(x±a).

(

)

{

}

1 2

. 1

2 x z xz

z

x σ _{σ σ τ}

σ

σ = + ± − +

(

π

σ_1,2 =− p msen

)

El esfuerzo máximo de corte τ1 tiene la magnitud ⏐σ1-σ2⏐/2, por lo tanto se tiene que:

α π

τ₁ = psen (2.36)

En este caso, para el perfil de esfuerzo de corte que genera la curva polar, es descrito por

senα=constante, serán círculos que pasan a través de los puntos de carga, siendo estos, O1 y O2, como se observa en las figuras 2.7 y 2.8. Las experimentaciones foto-elásticas de estos

modelos de esfuerzo se muestran en la figura 2.3b.

La ecuación 2.31 indica que el esfuerzo principal de corte alcanza su máximo valor a lo largo del semicírculo en donde α=π/2. Se puede hacer notar que la anchura a, la anchura del área sometida a carga decrece, así como la sub-superficie que libera los esfuerzos contenidos por ésta.

Para obtener los desplazamientos de la superficie es necesario aplicar la ecuación 2.35 y 2.36 dentro del área de contacto en la región –a < x <+a, por lo tanto se tiene que:

, ) 1 )( 2 1 ( px E wx ν ν + − −

= (2.37)

fuera de la región de contacto, ⏐x⏐>a,

pa wx ) 1 )( 2 1 ( − ν +ν −