ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

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(1)

ECUACIONES

ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

Estas ecuaciones tienen la forma:

ax + b = 0 donde a y b son constantes, a 0.

Donde x es la incógnita a, b coeficientes

ANALISIS Y DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN: ax + b

a) Si: a 0 y b 0; “x” tiene un único valor y es: x =

a b

b) Si: a 0 y b= 0; entonces: x = 0

c) Si: a = 0 y b 0; la ecuación es incompatible, luego x

d) Si: a = 0 y b = 0, la ecuación es indeterminada, es decir “x” toma infinitos valores.

Resolver: 1. 3x + 5 = 20 2. 4x = 2x + 8 3. 5 + 3x = 8 + 2x 4. 4 -5x = 9

5. (2x + 5)– (3x– 1) = 10 + x 6. x– (2x + 1) = 8– 3(x + 1) 7. 2(2x– 3) = (5x– 3)– 2(3x– 1)

8. 30x– (-5x + 4)– (-x + 6) = - (5x + 6) + (-9 + 3x ) 9. 3(2x– 1)– 2(x– 5)– (x– 3) = 3(x– 2)– 3x 10. 3x +-5x– (x + 3) = 8x + (-5x– 9)

11. 0.6x– 0.3x = 0.5x + 0.4 12. 2.5 + 5.04x = 8.5– 0.6x 13. 2x– 1 = 3(x+1) + 7x + 5 14. 3(x - 2)– 6 = 4x– (3x– 1) 15. 2x– (3 + 2x) + 9 = 2x + 4

16. 4x +3x– 2 4x– 2 (x– 1) + 3 = 2

(2)

Resolver las ecuaciones

1. – (2x + 3)2– 5(x– 2) + (3x– 1)2– (5x + 2)(x– 1) = 0 2. (x– 2)2 + x(x– 3) = 3(x + 4)(x– 3)– (x + 2)(x– 1) + 2 3. (x + 1)(2x + 5)– (2x + 3)(x– 4) = 5

4. 14 + (10x + 1)(x– 6) = 17 + (5x + 1)(2x + 3) 5. (x + 5)(x + 2)– 3(4x– 3) = (5– x)2

6. (3x– 1)2– 5(2x + 1)2 + (6x– 3)(2x + 1) = (x– 1)2 7. 3(a– 4x) + 7(2x– a)– 5(3x + 2a) + a = 0

8. (x + 1)3– (x– 1)3 = 6x(x– 3)

9. (x + 1)(x 2)(x– 3) = (x– 2)(x + 1)(x + 1)

10. 3(2x + 1)(-x + 3)– (2x + 5)2 = ---3(x + 5) + 10x2 11. (2x– 1)(5x + 2)– 5(x + 3)2 + 5(x– 2)2 = 10x2

Resolver las ecuaciones

1. (3 4)

10 3 2 ) 1 ( 5 4 5

3

x x x 2.          1 4 3 2 2 1 ) 2 ( 3 4 x x 3. 3 2 5 8 6

5y y

   4. 1 5 3 3 2  

x x 5. 12 5 6 1 2    m m m 6. x x x

x 11 8 6 5 9 2 3      7. 2 6 7 9

10

x x 8. 0 3 3 5 2 8 3 4     

x x

x

9. ( 2) 1

5 3 ) 1 2 ( 7

2

x x 10. 3 2 4 2 3 3 2 5    

p p

p 11. 1 3 3 2 2 1 3     x x 12. 3 2 3 2 6 1 2 3    x x 13. 3 5 2

12x x

14. 2 2 1 4 2 3    x x 15. 4 3 5 9 3 8     x x 16. 2 1 2 12 4   

x x x 17. x-4 5 3 20

13x x

18. x  x  x

45 . 2 77 . 1 90 . 3 25 . 1 99 . 8 63 . 2

19. x x 4x

04 . 1 94 . 9 17 . 8 34 . 4 55 . 2 19 .

8 

20. 7– 2x

-3 1 2 2 7 3 1   

(3)

Resolver las ecuación: 1. 4(a– x) = b– a + 2x 2. (3a + b)– bx = a(x– 2) 3. 5(b– x) = 2b + ax 4. a(x + 1) = 1 5. bx– 2b = 2a - ax 6. x = a2x + ax– 3a + 3 7. ax– 4 = bx - 2

8. 3(a– 4x) + 7(2x– a)– 5(3x + 2a) + a = 0 9. ax + b2 = a2– bx

10. a(x + b) + x(b– a) = 2b (2a - x) 11. (x– a)2– (x +a)2 = a(a– 7x) 12. a2(a– x)– b2(x– b) = b2(x– b)

Resolver las ecuaciones: 1.   1

x n m

n x m

2.

a a

x a x

2 1 1

2 2 

 

3.

m m x

m 1 2

4.

x a b x

a 4 2  

5. )

2 3 4 ( 3 5 2 3

1 x

x

x  

6.

3 8 5 2 3 1 4 1

     

  x x

1. En la ecuación siguiente hallar el valor de “x”: a(b

-c x

) = d (c

-b x

)

a) cd b) ac c) bd d) ab e) bc

2. Hallar el valor de “x” en: 21 12 14 x 5

a) 4 b) 10 c) 7 d) 8 e) 12

(4)

7 3 12 7 3 1 4 7 2    x x x

a) 3 b) 4 c) 3/49 d) 4/49 e) 5/9

4. Resolver la siguiente ecuación: 26

-25 . 0 75 . 0 5 . 0 5 .

0

x

x

a) x=4 b) x=0.95 c) x=0.5 d) x=2 e) x= 7

5. Resolver: b x a x b x a

x      

1 1

1 1

a) x = a+b b) x = ab c) a- c = x d) x = a(a+b) e) N.A. 6. Resolver: 2 3 3 2 2     x x

a) 2 b) 3 c) 2 3 d) 0 e) 2

7. Resolver la

) 2 )( 4 ( 1 2 1 4 3 x x x x x x        

a) 1 b) -1 c) -7 d) 10 e) Ecuación absurda 8. Resolver: 2 1 2 1 1 1        x x x x

a) 1 b) 21 c) 21 d) 2 e) 2 2

9. Resolver:

3(x– 2)2(x + 5) = 3(x + 1)2(x– 1) + 3

a) 4/3 b) 3/4 c) -1/2 d) -3/2 e) N.A. 10. Resolver la ecuación:

) ( 3 2 5 , 4 2 1 2 1 n m x m n x n m

x       

Dar como respuesta una solución obtenida:

a) -2m b) -2n c) -3m d)–m e)–n 11. Indique el producto de las soluciones de la ecuación

15 8 1 3 1 3 3 1 1 5 1 5 5

1 3 2

                  x x x x

(5)

APLICACIONES

1. Si se reparten 47 soles, entre A,B y C de manera que a A le toque 10 soles más que a B, y a B 8 soles más que a C. ¿Cuánto le toca a B?

2. Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y alimentación de su familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15 meses ha ahorrado 3,000 soles. ¿Cuál es su sueldo mensual?.

3. Tenía cierta suma de dinero. Ahorré una suma igual a la que tenía y gasté 50 soles, luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté 390 soles. Si ahora no tengo nada, ¿Cuánto tenía al principio?

4. Calcular el dinero que tenía una persona, si gastó en bebida 1/3 de su capital inicial, luego 2/5 de lo que quedaba, y si aún tiene 60 soles.

5. ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡Oh milagro! Cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime. ¿Cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte?

6. Un comerciante, tenía una determinada suma de dinero. El primer año se gastó 100 libras. Aumentó el resto con un tercio de éste. Al año siguiente volvió a gastar 100 libras y aumentó la suma restante en un tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo 100 libras. Después de que hubo agregado su tercera parte, el capital llegó al doble del inicial. ¿Cuánto tenía el comerciante?.

7. Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre, se posó sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a 8/9 del enjambre; solo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia. ¿Cuántas abejas formaban el enjambre?

Sol.

x x

x

 

 2

9 8

2 Para y

x

2 ; x = 2y

2

Reemplazando: y + 8/9 (2y2) + 2 = 2y2 y1 = 6 y2 = -3/2

(6)

APLICACIONES EN LA ADMINISTRACION

MODELOS DE COSTO LINEAL

En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no depende del nivel de producción. Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos.

El costo total está dado por:

COSTO TOTAL = COSTO VARIABLE + COSTOS FIJOS

De donde: yc = mx + b

Ejemplo:

1. (MODELO DE COSTO LINEAL). El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 centavos de dólar y los costos fijos por día son de $300.

a) Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica.

b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día.

2. (MODELOS DE COSTOS). El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $350, mientras que cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total yc de

producir x máquinas de escribir al día y dibuje la gráfica.

ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

Si el costo total yc de producción excede al de los ingresos y, obtenido de las ventas,

entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan a los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio. Ejemplos:

1. (ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO). Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $15 y los costos fijos son de $2000 al día. Si vende cada reloj a $20, ¿Cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?

2. (ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO). Supóngase que el costo total diario (en dólares) de producir x sillas está dado por:

yc = 2.5 x + 300

(7)

b) Si el precio de venta se incrementa a $5 por silla, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio?

c) Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿Qué precio deberá fijarse con el objeto de garantizar que no haya pérdida?

3. (ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE EQUILIBRIO). Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolate a $2 cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción están dadas en dólares por:

yc = 1000 + 1300x + 100x2

Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene utilidades ni pérdidas.

1. (MODELO DE COSTO LINEAL). El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150 al día. Determine el costo total yc de fabricar x mesas al día.

¿Cuál es el costo de fabricar 100 mesas al día?

2. (MODELO DE COSTO LINEAL). El costo de fabricar 100 cámaras a la semana es de $700 y el de 120 cámaras a la semana es de $800.

a) Determine la ecuación de costo, suponiendo que es lineal. b) ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad?

3. (MODELO DE COSTO LINEAL). A una compañía le cuesta $75 producir 10 unidades de cierto artículo al día y $320 producir 25 unidades del mismo artículo al día.

a) Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. b) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?

c) ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo?

4. (MODELO DE COSTO LINEAL). Una compañía especializada ofrece banquetes a grupos de personas al costo de $10 por persona, más un cargo extra de $150. Encuentre el costo yc que fijaría la compañía de x personas.

5. (ANALISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO). El costo variable de producir cierto artículo es de 90 centavos de dólar por unidad y los costos fijos son de $240 al día. El artículo se vende por $1.20 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni perdidas?

6. (ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO).El costo de producir x artículos está dado por yc = 2.8x + 600 y cada artículo se vende a $4.00

a) Encuentre el punto de equilibrio.

b) Si se saben que al menos 450 unidades se venderán, ¿Cuál debería ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya pérdidas?

(8)

8. (ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO). En el ejercicio 7, si el fabricante puede reducir el costo variable a 70 centavos de dólar por artículo incrementando los costos diarios a $350, ¿es ventajoso hacerlo así? (tal reducción podría ser posible; por ejemplo, adquiriendo una nueva máquina que bajara los costos de producción pero que incrementara el cargo por interés).

ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Es el conjunto de ecuación, que se verifican para las soluciones:

Son de la forma

e ey dx

c by ax

 

 

Ejemplo: x + y = 5

Se verifica para: x=4  y = 1 x– y = 3

1. PRINCIPIOS QUE SE APLICAN EN LA SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:

a) En todos sistema de ecuaciones, si se suman miembro a miembro una de ellas con otra u otras, el sistema obtenido es equivalente al primero.

b) En todo sistema de ecuaciones, si se suman miembro a miembro una de ellas con la que resulta de multiplicar otra ecuación por un factor diferente de cero, el sistema que se obtiene es equivalente al primero.

c) Si en el sistema de ecuaciones, se multiplica miembro a miembro una de ellas con otra u otras, el sistema que se obtiene es otro.

2. METODOS DE SOLUCIÓN A) MÉTODO DE REDUCCIÓN:

Ejemplo: Encontrar el valor de “y” en el sistema de ecuaciones simultáneas:

1 7 1

y

x (1) 7 5

2

y

x (2)

B) MÉTODO DE IGUALACIÓN

Ejemplo: ¿Cuál es el valor de “x” que satisface al siguientes sistema de ecuación:

5 1 1

y

x (1) xy

y x

2 3

2  (2) C) METODO DE REDUCCIÓN

(9)

x + y = 18 (2) Ejemplo:

Hallar el conjunto solución por los tres métodos: 3x - 4y = 1

2x + 3y = 12

1. x– 2y = 5 2x + y = 3 2. 2x– 2y = 12

-2x + 3y = 10 3. x + 3y = -1

2x– y = 5 4. 2x + 3y = 15

8x + 12y = 40 5. 2x– 8y = 2

3x– 12y = 3 6. 3x + 2y = 5

6x + 4y = 8 7. 3x– y = 1

-x + 2y = 4 8. 3x + 2y = -4

4x– 2y = -10 9. 4x– 3y = -1

x + 2y = 19 10. 2x + 5y = 8

6x + 15y = 18 11. 3x– 2y = 4

6x– 4y = 8 12. 9x– 5y = 1 -18x + 10y = 1

(10)

23.   

  

 

) ( 2

b a b by x

ab ay x

APLICACIONES

1. AGRICULTURA. La granja Jonson tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maíz y trigo. El costo respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de 42$ y 30$ por acre. El señor Jonson dispone de $18600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la tierra destinada a estos cultivos y todos el presupuesto correspondiente, ¿cuántos acres debe plantar de cada cultivo?

2. INVERSIONES. Miguel tiene un total de $2000 depositadas en dos instituciones de ahorro. Una paga un interés simple con una tasa de 6% por año, y la otra, un interés simple con la tasa de 8% por año. Si Miguel ganó un total de $144 por concepto de intereses durante un solo año. ¿cuánto dinero tiene depositado en cada institución? 3. MEZCLAS. La tienda Coffe Shope vende una mezcla de café formada por dos tipos,

uno con un costo de $2.50 la libra y el otro $3 la libra. Si el café de la mezcla se vende a $2.80, ¿Cuál es la cantidad de cada café utilizada para obtener la mezcla deseada? (Suponga que el peso del café mezclado es 100 libras).

4. INVERSIONES. Isis tiene un total de $30000 invertidos en dos tipos de bonos que producen 8% y 10% de interés simple por año, respectivamente. Si los intereses anuales que recibe suman $2640, ¿cuánto dinero ha invertido en cada abono?

5. TRANSPORTE. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de 1000. Si el pasaje de niño cuesta 25 centavos, el de adulto 75 centavos y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de $650. ¿cuántos niños y cuántos adultos utilizaron el autobús en la mañana?

6. ADMINISTRACION. Susana ha invertido $16000 en acciones Boeing y GE. Las acciones Boeing se venden actualmente a $30 por acción y las acciones GE se venden a $70 por acción. Si las acciones GE se triplican en su valor y las acciones Boeing suben 50%, sus acciones valdrán $34,500. ¿Cuántas acciones de cada empresa tiene?.

ECUACIONES LINEALES CON TRES VARIABLES

METODOS DE SOLUCIÓN: 1. POR REDUCCIÓN

Ejemplo: Resolver:

(11)

x - 4y + 2 z = -7 -2x + y + 3z = -7 2. POR DETERMINANTES:

REGLA DE CAMER Ejemplo: resolver

5x– y – z = 0 x + 2y + 3z = 14 4x + 3 y + 2z = 16

Resolver el sistema de ecuaciones: 1. 3x + 2y + z = -4

5x– 6y + z = 92 4x + 7y– z = -67 2. 2x + 4y– 4z = 14

5y– x– z = 1 2x– 4y + 5z = 13 3. 2x + y– z =2

x + 3y + 2z =1 x + y + z = 2 4. x + y + z = 2 2x + y– z = 5 x– y– z = -2 5. 2x + y + z = 9

-x– y + z = 1 3x– y + z =9 6. x + 3y + 4z = 14

2x– 3y + 2z =10 3x– y + z = 9 7. 4x– y + 3z = -2

3x + 5y– z = 15 -2x + y + 4z = 14 8. x + 2y + 3z = 8

3x– y + 2z = 5 -2x– 4y– 6z = 5 9. 3x– 2y– 8z = 1

9x– 6y– 24z = -2 x– y + z = 1

10. 2x– 4y + z = -4 x + 2y– z =0 -x + y + z = 6 11. 4x– 3y + z = 9

3x + 2y– 2z = 4 x– y + 3z = 5 12. 11x + 10y + 9z = 5

x + 2y + 3z = 1 3x + 2y + z = 1 13. x + 2y + z = 5

2x + y– 3z = -2 3x + y + 4z = -5 14. x + 3y– z = 0

3x– 4y + z = 2 2x + 2y + z = 13 15. x + 5y + 4z = 1

2x– 5y + 3z = -3 x + 9y + 5z = 2

16.

0 10 10 5 2

2 5 4 5 5

1 5 5 5

   

  

  

z y x

z y x

z y x

17. x + 2y + 3z = -1 2x + y– 4z = 9 x– y + 2z = -2

(12)

18.

7 1 1

6 1 1

5 1 1

 

 

 

z y

z x

y x

19. z + 3x = 10y + 42 7y + 5z = 2x + 6 5x + 3y = 7z + 8

APLICACIONES

1. Una empresa de renta de vehículos planea gastar 3 millones de dólares en adquirir 200 nuevos vehículos. Cada camioneta cuesta $10,000, cada camión pequeño cuesta $ 15,000 y cada camión grande cuesta $25,000. La empresa necesita el doble de camionetas que de camiones pequeños. ¿Cuántos vehículos de cada tipo pueden comprarse?

2. Un agricultor tiene 200 acres de terreno adecuado para los cultivos A, B y C. El costo respectivo por acre es de $80 y dispone de $12600 para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A requiere 20 horas de trabajo; cada acre del cultivo B, 25 horas de trabajo, y cada acre del cultivo C, 40 horas de trabajo. El agricultor tiene un máximo de 5950 horas de trabajo disponibles. Si desea utilizar toda la tierra cultivable, todo el presupuesto y toda la mano de obra disponible. ¿Cuántos acres debe plantar de cada cultivo?

3. Planeación de una inversión. El interés anual relativo a tres inversiones del señor Perez ascendió a $21,600: 6% en una cuenta de ahorros, 8% en un fideicomiso y 12% en certificados del mercado de dinero. Si la cantidad invertida por él en los certificados del mercado de dinero es el doble de la inversión en la cuenta de ahorros, y el interés obtenido de la inversión en el mercado de dinero era igual a los dividendos recibidos de su inversión en el fideicomiso, determine cuánto dinero colocó en cada tipo de inversión.

4. Decisiones gerenciales. La gerencia de Hartman Rent-A-Car asignó $1 millón para comprar una flotilla de automóviles nuevos, con autos compactos, medianos y grandes. Los compactos cuestan $8,000 cada uno, los medianos cuestan $12,000 y los grandes $16,000. Si Hartman compra dos veces más compactos que medianos, y el total de autos por adquirir es 100, determine cuántos autos de cada tipo comprarán. (suponga que se utiliza todo el presupuesto).

(13)

recuperación de 9% por año sobre la inversión total, ¿cuánto se debe invertir en cada tipo de acción?.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

O de segundo grado Son de la forma:

ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son constantes y a 0

METODOS DE SOLUCIÓN

1. POR FACTORIZACIÓN

- Las ecuaciones se igualan a cero. - Se factoriza la expresión.

- Se utiliza la propiedad del producto nulo de los números reales

Si a y b son números reales y ab = 0, entonces a = 0, b = 0 o bien ambos a, b =0 Ejemplo:

Resolver x2– 3x + 2 = 0

2. POR LA FORMULA CUADRATICA

Las soluciones de ax2 + bx + c = 0 (a 0) están dadas por:

a ac b b x

2 4

2

  

Ejemplo:

Resolver 2x2 + 5x - 12 = 0

ANALISIS Y DISCUCIÓN DE LAS RAICES DE LA

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Siendo a,b,c  R a 0, en la formula cuadrática se puede observar que la naturaleza de

los valores de “x” depende de los valores que pueda tomar: b2 – 4ac. Este parámetro se denomina DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática y se le denota por, así:

 = b2

– 4ac Con lo cual, las raíces se pueden colocar así:

a b x a b x

2

2 2

1

        

1. Si = 0 1 2 2a x

b

(14)

Con esto: x1 x2, es decir las raíces son REALES pero DIFERENTES

3. Si < 0  en R, en C resulta que:   .i

Con lo cual: x1 =

Es decir, las raíces son IMAGINARIAS y CONJUGADAS.

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACIÓN

CUADRÁTICA

Si x1 , x2 son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, a0 entonces se cumple que:

SUMA DE RAICES: x1 + x2 =

a b

PRODUCTO DE RAICES: x1 . x2 =

a c

1. Resuelva las ecuaciones mediante factorización, si esto es necesario a) (x + 3)(x– 2) = 2

b) (x– 3)(x– 4) = 0 c) x2– 4 = 0

d) 2x2– 31 = 0 e) x2 + x– 12 = 0 f) 3x2– x– 4 = 0 g) 4x2 + 2x– 2 = 0 h) -6x2 + x + 12 = 0 i)

4 1

x2– x + 1 = 0

j) 2 1

x2 + x– 12 = 0 k) 19x– 5 + 30x2 = 0 l) 14x2 = 13x + 12 m)

3 11 2

5 x

x x x

   

n) 2x2 + x = 6 o) 6x2 = -5x + 6 p) 4x2– 9 = 0 q) 13x = -5– 6x2

2. Resuelva la ecuación mediante la fórmula cuadrática

a) 2x2– x– 6 = 0 b) 6x2– 7x– 3 = 0

c) x2 = 4x– 1 d) 2x2 = 8x– 3 e) 8x + 3 = 8x2 f) 6x– 6 = x2

g) 0.2x2 + 1.6x + 1.2 = 0 h) 2.1x2– 4.7x– 6.2 = 0 i) x2 + (x + 5)2 = 5 + 16(3– x) j) 3(x2– 2x + 4) = 2x(x+1)– 8 3. Resolver:

a) x4– 5x2 + 6= 0 b) x4– 13x2 + 36 = 0 c) x4– 5x2 + 6 = 0

d) 6(x+2)2 + 7(x+2)– 3 = 0

e) 8(2m + 3)2 + 14(2m + 3)– 15 = 0 f) 1 - 62

2 5

y y =0

g) 6 +

k

1 - 22

k = 0

h) 1 + 2

2 15 2

7

a a

i) 5 - 4  12 0

k k

(15)

5. Hallar la ecuación conociendo las raíces -3 y 5.

6. Hallar las ecuaciones conociendo las raíces.

a) 6 y -3 b) 1/2 y -1/4 c) 3+ 2 y 3- 2

7. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales.

a) 3x1 2x11 b) 3x6x 2 c) axax  2a

1. Resolver la siguiente ecuación: 4x2– 5x = 0

2. Resolver la siguiente ecuación: 3x2 + 8ax– 3a2 = 0

3. Hallar el valor de x en:

3 4

9 16

4 3

2 2

2 2

 

 

  

x x

x x

x x

4. Resolver la siguiente ecuación: (3x-1)2–3(2x+3)2+42=2x(x-5)– (x-1)2

5. Resolver: 0

2 1 2

4 2

        

 

x x

x

6. Resolver la ecuación: 5

3 2 3

4x  x  x

7. Resolver la siguiente ecuación: x4– 10x2 + 9 = 0

8. Resolver:

2 10

10

  

x x x

x

9. Hallar el valor de de tal modo que la ecuación (k+1)x2 + 2(k-1) + k = 0 10. Hallar el conjunto de valores de k

para el cual la ecuación:

kx2 + 8 x + 4=0, no tenga raíces reales.

11. Hallar todos los valores de a tales que el trinomio 3x2 + 2ax + (a2– 6) sea un cuadrado perfecto, y expresarlo así: 12. Hallar la suma de los cuadrados de las

raíces de

P(x) = (k-1)x2 + (5-2k)x + 4x + 5, si una de las raíces es la inversa de la otra.

a) 14 b) 7 c) 28 d) 35 e) 45

13. Hallar el conjunto solución de valores de k para la ecuación x2 + kx = 2 14. Si r ,s con r > s, es el conjunto

solución de la ecuación:

15x2– 22x + 8 = 0, hallar la ecuación cuadrática cuyo conjunto solución es 1/r, -1/s

15.Determinar “k” en la ecuación

x2 - 7x + k = 0; sabiendo que sus raíces se diferencian en tres unidades.

a) 7 b) 9 c) 10

d) 12 e) 15

16.Determinar “k” en la ecuación

x2 – 5kx + 2k2 = 0; sabiendo que la suma de las raíces es igual a la mitad del producto de las raíces.

a) 1 b) 3 c) 5

(16)

17. Dada la ecuación: x2– kx + 4 = 0 para qué valores de k dicha ecuación tendrá dos soluciones reales y diferentes.

18. Hallar el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones reales:

(m+5)x2 + 3mx– 4(m-5) = 0 a)-4; 4 b)42; -4 c)8; 10 d)16; -4 e)2; 8

19. Dada la ecuación: 2x2–(a+3)x + b = 1; si se sabe que la suma de raíces es 7 y el producto 5. determinar (a + b) a) 22 b) 21 c) 20 d) 23 e) 24

20. Hallar el conjunto de valores de m para que el trinomio:

x2 – 15x – m(2x-8) = 0, tenga raíces iguales, es decir, para que sea un cuadrado perfecto.

21. Si r, s son las raíces de la ecuación: 6 +(1/x) = x, hallar el valor de A = 2(r+ s) / (rs)

a) 15 b) 8 c) 12 c) 20 e) 1

22. Resolver:

1 5

3 7 4 3

2x  x  x  x

a) x=4 b) x=2 c) x=6 d) x=1 e) x=12

23. Resolver:

1 1 x4x2  x

a) x=5 b) x=16/3 c) x= 5/4

(17)

APLICACIONES

1. Un arquitecto de paisajes quiere hacer un borde de ancho uniforme con grava aparente alrededor de una pequeña cabaña detrás de una fábrica. La cabaña tiene una planta de 10 pies por 6 pies. Se cuenta con suficiente grava para cubrir 36 pies cuadrados. ¿Qué ancho puede tener el borde?

2. Un centro ecológico va a construir un jardín experimental. Se tienen 300 metros de alambre para encerrar un área rectangular de 5000 metros cuadrados. Encuentre la longitud y el ancho del rectángulo.

3. Un arquitecto incluyó una cama rectangular de flores que mide 9 pies por 5 pies en sus planes para un nuevo edificio. Quiere usar dos colores de flores, uno en el centro y el otro para un borde del mismo ancho en los cuatro lados. Si sólo consigue 24 pies cuadrados de flores para el borde. ¿qué ancho debe tener este?

4. En 1991Rick Mears ganó la carrera de las 500 millas de Indianápolis. Su velocidad fue 100 mph (al mph mas cercano) más rápida que la del ganador de 1911, Ray Harroun. Encuentre la velocidad de Mears al número entero más cercano.

5. Administración. El gerente de una tienda de bicicletas sabe que el costo de vender x bicicletas es C = 20x + 60 y el ingreso de vender x bicicletas es R = x2– 8x. Encuentre el punto de equilibrio de x (punto de ingresos y costos iguales).

6. Física. Si una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, entonces su altura después de t segundos es h = 64t – 16t2. ¿en cuántos segundos alcanzará la pelota

a) 64 pies? b) 28 pies?

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