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Ceros y singularidades.

Series de Laurent.

8.1 INTRODUCCI ´ON

Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener el conocimiento de los ceros de una funci´on en la determinaci´on y el manejo de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus ceros es tambi´en un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera secci´on de este cap´ıtulo recogeremos informaci´on ya conocida (para funciones anal´ıticas, que como sabemos coinciden con las holomorfas), a˜nadiendo algunas propiedades sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pen-dientes resultados importantes, algunos de los cuales se tratar´an el curso pr´oximo. Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nues-tros m´etodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomal´ıa’ en algunos puntos? ¿Qu´e se mantiene y cu´anto se pierde? Contestar a esta pregunta es el prop´osito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holo-morfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificaci´on de los mismos en tres tipos, viendo de qu´e manera tan distinta afecta al comportamiento local de la funci´on la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos.

Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular impor-tante de funci´on meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente secci´on, examinando de momento ´unicamente sus propiedades algebraicas.

Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que tienen una singularidad aislada en∞, averiguaremos c´omo su comportamiento en este punto puede en algunos casos suministrar una informaci´on adicional intere-sante sobre la funci´on.

Por ´ultimo, en la parte final de este cap´ıtulo, veremos un importante teorema de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una funci´on holomorfa en un disco, probando que si una funci´on es holomorfa en una corona circular (en

particular, en un disco privado de su centro), la funci´on se puede representar como suma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteros cualesquiera y no s´olo con exponentes enteros no negativos, como son las series de Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten as´ı mismo caracterizar los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios que muestran c´omo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas, un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento.

Referencias b´asicas:

— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

— Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).

— Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987).

8.2 CEROS DE UNA FUNCI ´ON HOLOMORFA

Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser id´enticamente nulo. La situaci´on es algo menos dr´astica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos fun-ciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto no significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una funci´on holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones holomorfas y las funciones anal´ıticas, el principio de prolongaci´on anal´ıtica nos informa de que el conjunto de ceros de una funci´on holomorfa no nula, si su do-minio es conexo, no puede poseer puntos de acumulaci´on dentro del dodo-minio. Esto no significa que no pueda haber puntos de acumulaci´on de ceros: por ejemplo, la funci´on sen(π/z) es holomorfa en C \ {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z (en este caso 0 es un punto de acumulaci´on de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulaci´on, ´estos deber´an estar en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho.

Proposici´on 8.1. Sea una regi´on de C y f ∈ H() no id´enticamente nula. Denotemos por Z_f el conjunto de ceros de f , es decir, Z_f = f−1(0). Entonces

(1) Z_f es un conjunto discreto.

(2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆, Z_f ∩ K es finito o vac´ıo.

(3) Z_f es un conjunto contable (finito o numerable). Demostraci´on.

(1) Que Zf es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Zf se puede

(2) Si Zf ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendr´ıa al menos

un punto de acumulaci´on en K ⊆y por tanto Zf tendr´ıa al menos un punto

de acumulaci´on en .

(3) puede ponerse como uni´on numerable de compactos, = ∪_nK_n para alguna sucesi´on (K_n) de compactos. Entonces Z_f = ∪n(Z_f ∩ K_n) y cada

Z_f ∩ K_n es finito o vac´ıo.

Definici´on 8.2. Sea un abierto de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , diremos que a es un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que

f(a) = f(a) = . . . = f(k−1)(a) = 0, f(k)(a) =0.

N´otese que para que exista tal k, es necesario y suficiente que a sea un cero de f y que f no se anule en la componente conexa de que contiene a a; dicho de otra forma, que a sea un cero aislado de f .

Proposici´on 8.3. Seaun abierto de C, a ∈ , k ∈N y f ∈ H(). Las siguientes propiedades son equivalentes entre s´ı:

(1) a es un cero de f de orden k.

(2) En un disco D(a;r) ⊆ es

f(z) =

∞

n=k

an(z −a)n, z ∈ D(a;r),

con a_k = 0.

(3) Existe una funci´on g ∈H()tal que g(a) = 0 y f(z) =(z −a)k g(z)

para todo z ∈ .

Demostraci´on.

(1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediante las derivadas de f en a.

(2) ⇒ (3)La funci´on g definida en por

g(z) =

_f(z)

(z −a)k si z =a

a_k si z =a

es claramente holomorfa en \ {a} y en a es anal´ıtica (luego holomorfa), puesto que para todo z ∈ D(a;r)es

g(z) =

∞

n=k

an(z −a)n,

y por tanto cumple las condiciones de (3).

8.3 SINGULARIDADES AISLADAS

En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abiertoy una funci´on f : → C se dice que un punto a ∈ es un punto regular para f o que f tiene en a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a;r) ⊆ y f es derivable en cada punto de D(a;r). Los puntos que no son regulares se denominan puntos singulares. En esta secci´on estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, que denominaremos singularidades aisladas.

Definici´on 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una funci´on f tiene una singularidad

aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa en

D_∗(a;r) = {z ∈ C : 0 < |z −a| <r}.

Clasificaci´on de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las

siguien-tes situaciones:

(1) existe lim_z→a f(z) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable o que a es una singularidad evitable de f .

(2) existe limz→a f(z) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a

es un polo de f .

(3) no existe lim_z→a f(z) en C_∞. Se dice entonces que f tiene en a una singu-laridad esencial o que a es una singusingu-laridad esencial de f .

Ejemplos.

(1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas. Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regulares todos los de C\(−∞,0] y singulares todos los de (−∞,0].

(2) Todos los puntos en los que no est´a definida la funci´on f dada por

f(z) = z ez −₁

son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Los puntos de la forma z = 2kπi , k ∈Z \ {0}, son polos de f .

(3) La funci´on f dada por

f(z) = e1/z

tiene una singularidad esencial en z =0.

Proposici´on 8.5. Sea un abierto no vac´ıo de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Entonces

(1) Si a es una singularidad evitable de f , la funci´on f definida por˜

˜ f(z) =

f(z) si z ∈ \ {a} limz→a f(z) si z = a

es holomorfa en.

Rec´ıprocamente, si f admite una extensi´on holomorfa en , tiene en a una singularidad evitable.

(2) Si para alg´un r > 0 la funci´on f se mantiene acotada en D_∗(a;r) =

{z ∈C : 0 < |z −a| < r}, entonces f tiene una singularidad evitable en f .

Demostraci´on. (1) f es holomorfa en˜ \ {a} y continua en , luego holomorfa en . El rec´ıproco es obvio.

(2) Ya se prob´o que, en estas condiciones, f admite una extensi´on holomorfa en D(a;r).

La primera parte de la proposici´on anterior justifica el nombre de singularidad evitable. N´otese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no est´a definida en a o bien f no es continua en a.

Definici´on 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una funci´on f . Entonces la

funci´on 1

f tiene en a una singularidad evitable y l´ımite nulo, de manera que para alg´unδ > 0 la funci´on

h(z) =

_{1/f(z) si 0 < |z −a| < δ}

0 si z = a

es holomorfa en D(a;δ).

Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden k o que a es un un polo de orden k de f .

Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polos m´ultiples (dobles, triples,. . .)

Proposici´on 8.7. Sea un abierto no vac´ıo de C, a ∈ y f ∈ H(\ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes:

(1) f tiene en a un polo de orden k;

(2) existe limz→a(z −a)k f(z) ∈C\ {0}, y en consecuencia

(3) existe una funci´on g ∈H()tal que g(a) = 0 y

f(z) = g(z)

(z −a)k

para cada z ∈\ {a};

(4) existen coeficientes A_j (1 ≤ j ≤ k), a_n (n ∈ N∪ {0}), un´ıvocamente deter-minados, con A_k =0, y un r >0, tales que

f(z) = Ak

(z −a)k + · · · +

A2

(z −a)2 + A1 z −a +

∞

n=0

an(z −a)n

siempre que 0 < |z −a| <r .

(La funci´on racional S(f;a)(z) = Ak

(z −a)k +· · ·+

A₂

(z −a)2+ A₁

z −a se denomina parte singular o parte principal de f en a.)

Demostraci´on. (1) ⇒ (2)Yendo a la definici´on, h(z) = (z−a)k g(z)para alguna funci´on g holomorfa en D(a;δ) con g(a) = 0, y lim_z→a(z −a)k f(z) = 1/g(a).

(2) ⇒ (1)Si h es como en la definici´on, resulta h(z) = (z −a)k g(z) para g dada por

g(z) =   

h(z)

(z −a)k =

1

(z −a)k _f(_z) si 0 < |z −a| < δ

1/lim_z→a(z −a)k f(z) si z = a, que es holomorfa en D(a;δ) y no nula en a.

(2) ⇒ (3)La funci´on dada por(z−a)k f(z)tiene una singularidad evitable en a.

(3) ⇒ (4)Para alg´un r > 0 puede ponerse

g(z) =

∞

n=0

cn(z −a)n, |z −a| <r,

luego

f(z) = c0

(z −a)k + · · · +

ck−2

(z −a)2 + ck−1 z −a +

∞

n=0

ck+n(z −a)n

siempre que 0 <|z −a| <r .

Puesto que g est´a un´ıvocamente determinada por f , hay unicidad para los coeficientes.

(4) ⇒ (2)Evidente.

NOTA. Cuando f es una funci´on racional, s´olo tiene en C un n´umero finito de

singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada uno de ellos, encontramos la descomposici´on de f en fracciones simples (v. detalles en Conway, ob. cit., pp. 105–106.)

Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracteri-zaci´on en t´erminos de los valores de la funci´on:

Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea un abierto no vac´ıo de C, a ∈ y f ∈H(\ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes:

(1) a es una singularidad esencial de f .

(2) f(U) = C para todo entorno reducido U ⊆ \ {a} de a.

(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en \ {a} tal que zn → a y

f(zn) → w.

Demostraci´on.

(1) ⇒ (2)En caso contrario existir´ıan r >0,δ > 0 yw ∈ C tales que|f(z)−w| >

δ para todo z ∈ D_∗(a;r). Entonces, la funci´on g dada por g(z) = 1

f(z)−w, z ∈ D∗(a;r),

es holomofa y acotada en D_∗(a;r), con lo cual puede extenderse a una funci´ong˜ holomorfa en D(a;r).

Si fuese g˜(a) = 0, se deduce que f estar´ıa acotada en un entorno de a, y en consecuencia a ser´ıa una singularidad evitable de f .

Pero si g tiene en a un cero de orden k˜ ≥ 1, podr´ıamos escribir ˜

g(z) =(z −a)k g₁(z), z ∈ D(a;r),

para una funci´on g₁ holomorfa en D(a;r)con g₁(a) = 0; por tanto lim

z→a

(z −a)k f(z) = lim

z→a

(z −a)kw+ 1 g₁(z)

= 1

g₁(a) ∈C\ {0}, con lo cual a ser´ıa un polo de orden k de f .

(2) ⇒ (3)Evidente.

8.4 FUNCIONES MEROMORFAS

Las funciones cuyas ´unicas singularidades son polos aparecen con frecuencia su-ficiente como para merecer un nombre especial.

Definici´on 8.9. Diremos que una funci´on f es meromorfa en un abierto si en cada punto deo bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma, si existe un conjunto P_f ⊆ tal que

(1) P_f no tiene puntos de acumulaci´on en ;

(2) f ∈ H(\ P_f);

(3) f tiene un polo en cada punto de Pf.

Como P_f es un subconjunto discreto de , para cada compacto K ⊆ el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Est´a

incluida la posibilidad Pf = ∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplos

de funciones meromorfas. Tambi´en lo son las funciones racionales.

El conjunto de las funciones meromorfas enlo denotaremos por M(). N´otese que una funci´on es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente conexa del abierto. Supuestoconexo, son ejemplos de funciones meromorfas en

los cocientes de funciones anal´ıticas (con denominador no nulo, por descontado): de hecho, esta es la ´unica forma de obtener funciones meromorfas en abiertos conexos, si bien la demostraci´on de esta afirmaci´on requiere conocer primero la posibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de los ceros igualmente prefijado (teorema de factorizaci´on de Weierstrass, que se probar´a el pr´oximo curso).

Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado.

Proposici´on 8.10. Dado un abierto no vac´ıo en C, el conjunto M() de las funciones meromorfas en es un ´algebra sobre C respecto de las operaciones usuales con funciones. Si adem´as es conexo, M() es un cuerpo conmutativo.

Demostraci´on. Es una verificaci´on rutinaria, basada en las factorizaciones asocia-das a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos.

Observaciones.

(1) El comentario hecho anteriormente indica que si es una regi´on, M() es el cuerpo de cocientes del dominio H().

8.5 SINGULARIDADES EN EL INFINITO

Definici´on 8.11. Diremos que∞es una singularidad aislada de una funci´on f si existe R > 0 tal que f ∈ H(A_R), donde A_R = {z ∈C : |z| > R}.

Podemos establecer una clasificaci´on similar a la considerada para singulari-dades finitas.

Definici´on 8.12. Supongamos que ∞es una singularidad aislada de una funci´on f . Entonces:

(1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una

singu-laridad evitable de f si existe

lim

z→∞ f(z) ∈C.

(2) Se dice que f tiene en∞un polo o que∞ es un polo de f si lim

z→∞ f(z) = ∞.

(3) Se dice que f tiene en ∞una singularidad esencial o que ∞es una

singu-laridad esencial de f si no existe lim_z→∞ f(z) en C_∞.

Ejemplos.

(1) f(z) = 1/z tiene una singularidad evitable en∞.

(2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞.

(3) f(z) = ez tiene una singularidad esencial en ∞.

(4) f(z) = 1/sen z no tiene una singularidad aislada en ∞.

8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para alg´un R > 0 es f ∈H(A_R), donde como antes A_R = {z ∈ C : |z| > R}, la funci´on f∗ definida por

f∗(z) = f ₁

z

es holomorfa en D_∗(0;1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f∗. Esto permite reducir el estudio de las singularidades en∞ al estudio de singularidades aisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en∞ (o un polo, o una singularidad esencial) si y s´olo si f∗ tiene en 0 una singularidad evitable (o un polo, o una singularidad esencial).

Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en∞.

Definici´on 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden k o que ∞ es un polo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la funci´on f∗ definida por

Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos, podemos enunciar:

Proposici´on 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una funci´on f . Las siguientes propiedades son equivalentes:

(1) f tiene en ∞un polo de orden k;

(2) existe limz→∞

f(z)

zk ∈ C\ {0};

(3) existen un R > 0 y una funci´on g holomorfa en A_R = {z ∈ C : |z| > R}con lim_z→∞g(z) ∈ C\ {0}y que verifica

f(z) = zk g(z)

para cada z ∈ A_R.

(4) existen coeficientes A_j (1 ≤ j ≤ k), a_n (n ∈ N ∪ {0}), con A_k = 0, un´ıvocamente determinados, y un R >0, tales que

f(z) = A_k zk + · · · + A₁z +

∞

n=0 a_n zn

siempre que|z| > R.

(El polinomio Akzk + · · · + A1z se denomina parte singular o parte principal de f en∞.)

Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos

que∞es una singularidad aislada para una funci´on f . Las siguientes propiedades son equivalentes:

(1) ∞es una singularidad esencial de f .

(2) f(U) = C para todo entorno reducido U de∞.

(3) Para todow ∈ C se puede encontrar(zn)en el dominio de f tal que z_n → ∞ y f(zn) → w.

Es conveniente extender el concepto de funci´on meromorfa a funciones defini-das en abiertos del plano complejo ampliado C_∞que contengan al punto del infinito.

Definici´on 8.17. Seaun abierto de C tal que C\D(0;R) ⊆ para alg´un R > 0, es decir, tal que _∞ = ∪ {∞}sea un abierto en C_∞. Diremos que f : →C es meromorfa en _∞, en s´ımbolos f ∈ M(_∞), si f es meromorfa en y tiene en ∞una singularidad evitable o un polo.

Proposici´on 8.18.

(1) Si f es una funci´on entera y meromorfa en C_∞, entonces f es un polinomio.

Demostraci´on.

(1)Si∞es una singularidad evitable, f ser´ıa constante por el teorema de Liouville. Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces

lim

z→∞

f(z)

zk ∈ C\ {0}

y por tanto existen R, M >0 tales que

|f(z)| ≤ M|z|k, |z| > R;

en consecuencia (generalizaci´on del teorema de Liouville) f es un polinomio de grado≤ k.

(2) Observemos primero que si f ∈ M(C_∞), s´olo puede tener un n´umero finito de polos en C para que∞ sea una singularidad aislada.

Sean, pues, a₁, . . . ,a_n los polos finitos de f y k₁, . . . ,k_n sus respectivos ´ordenes y sea∞ un polo de orden k0 para f . Se sigue que la funci´on

(z −a₁)k1 · · ·(_z −_an)kn _f(_z)

se puede extender a una funci´on g holomorfa en C (es decir, entera) que tendr´a en ∞un polo de orden k = k₀+k₁+ · · · +k_n, con lo cual g es un polinomio de grado ≤ k seg´un acabamos de probar, luego

f(z) = g(z)

(z −a1)k1 · · ·(z −an)kn

es una funci´on racional.

Corolario 8.19. Si f es una funci´on entera, o es constante o f(C) = C.

Demostraci´on. Si f es entera,∞ es evidentemente una singularidad aislada para f .

— Si ∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f(z) ∈ C, f es constante por el

teorema de Liouville.

— Si∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f(C) = C.

— Si ∞ es una singularidad esencial, f(C) = C por el teorema de Casorati-Weierstrass.

NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si f es una funci´on entera no constante

8.6 SERIES DE LAURENT

Fijemos la notaci´on D(a;r,R) para la corona {z : r < |z − a| < R}, donde 0 ≤r < R ≤ +∞.

Lema 8.20. Sea (an) una sucesi´on de n´umeros complejos y r = lim sup√n |_a

n|.

Entonces

(1) la serie

∞

n=1

a_n(z − a)−n es absolutamente convergente en cada punto de la corona D(a;r,+∞) y converge uniformemente en los subconjuntos com-pactos de D(a;r,+∞);

(2) en el disco D(a;r)la serie no converge (en a ni siquiera est´a definida);

(3) la funci´on f definida en D(a;r,+∞) por

f(z) =

∞

n=1

an(z −a)−n

es holomorfa.

Demostraci´on. Sabemos que la serie

∞

n=1

anwn converge absolutamente en cada w ∈ D(0;1/r), no converge si |w| > 1/r , y que define en D(0;1/r)una funci´on holomorfa g(w). Tomandow =1/(z−a), se deducen las tesis del enunciado salvo la convergencia uniforme sobre compactos de D(a;r,+∞). Pero si K es un sub-conjunto compacto de D(a;r,+∞), existir´a un R >r tal que K ⊆ D(a;R,+∞) (¿por qu´e?), de manera que para todo z ∈ K ser´a

∞

n=1

an(z −a)−n ≤

∞

n=1

|a_n| R−n < +∞,

luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass.

NOTA. Si r = +∞, la serie no converge en ning´un punto. Si r = 0, converge en

C\ {a}.

Definici´on 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesi´on (zn)n_∈Z de n´umeros complejos, si las series

∞

n=0 z_n y

∞

n=1

z_−n convergen, diremos que la serie

∞

n=−∞

z_n converge, en cuyo caso su suma es el n´umero complejo

∞

n=−∞

zn =

∞

n=0 zn +

∞

Obs´ervese que si

∞

n=−∞

z_n converge, la sucesi´on de sumas sim´etricas

N

n=−N

z_n

es convergente con l´ımite igual a la suma de la serie, pero que este l´ımite puede existir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z0 = 0 y zn = 1/n para

n =0.

Diremos que la serie

∞

n=−∞

z_n converge absolutamente si las dos series

∞

n=0 z_n

y

∞

n=1

z_−n convergen absolutamente.

De manera an´aloga, dada (fn)n_∈Z, donde las fn son funciones complejas

definidas en un conjunto S ⊆C, diremos que la serie

∞

n=−∞

fn converge

(puntual-mente, uniforme(puntual-mente, uniformemente sobre compactos de S) si y s´olo si las dos

series

∞

n=0 f_n y

∞

n=1

f_−n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S)

NOTA. Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n ≥ 0 y los

n < 0, es evidente que la separaci´on puede llevarse a cabo en cualquier otro ´ındice, pues se trata de a˜nadir o quitar un n´umero finito de sumandos al trozo correspondiente.

Definici´on 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada en a a toda serie de la forma

∞

n=−∞

an(z −a)n.

Proposici´on 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a

∞

n=−∞

an(z −a)n,

sean

R1 = lim sup n

|a₋n|, R2 =

lim supn |

an|

₋1

.

Entonces:

(1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a;R1, R2), a la que denominaremos corona de convergencia, y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D(a;R₁, R₂);

(3) R1 y R2 son los ´unicos valores en [0,+∞] para los que se cumplen las propiedades (1)y(2);

(4) la funci´on f definida en D(a;R1,R2) como suma de la serie

f(z) =

∞

n=−∞

an(z −a)n

es holomorfa en D(a;R1,R2), y su derivada est´a dada en cada punto por

f(z) =

∞

n=−∞

n an(z −a)n−1.

NOTA. El enunciado anterior tiene pleno sentido si R₁ < R₂. En caso contrario,

D(a;R1,R2) es vac´ıo. Si R1 > R2, no hay convergencia para la serie en ning´un punto. Si R1 = R2, ¿cu´al es la situaci´on?

Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una funci´on holomorfa en una corona

D(a;R1,R2) [a ∈ C, 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞]. Entonces:

(1) f puede representarse en D(a;R1,R2) como suma de una serie de Laurent

f(z) =

∞

n=−∞

an(z −a)n

que converge absolutamente en cada z ∈ D(a;R₁,R₂)y converge uniforme-mente en cada compacto contenido en D(a;R₁,R₂) o, equivalentemente, en cada corona D(a;r₁,r₂) para la que R₁ <r₁ < r₂ < R₂.

(2) Los coeficientes de la serie est´an dados por la f´ormula

an =

1 2πi

γ

f(z)

(z −a)n+1 d z,

dondeγ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio r , con R₁ <r < R₂.

(3) La serie est´a un´ıvocamente determinada por f .

Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f . La tesis(1) afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la(3) su unicidad, mientras que

Demostraci´on. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.)

Unicidad. Si existe la representaci´on de (1), D(a;R1,R2) estar´a contenida en la corona de convergencia de la serie, y ´esta converger´a uniformemente en cada compacto contenido en D(a;R₁, R₂). Si γ = ∂D(a;r) con R₁ < r < R₂, sopγ es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie t´ermino a t´ermino para

obtener

γ

f(z)d z =

∞

n=−∞

a_n

γ(

z −a)nd z = 2πi a₋₁,

y, en general, para cada n ∈Z, de modo similar,

γ

f(z)

(z −a)n+1 d z =

∞

k=−∞

ak

γ(z −a)

k−n−1_{d z = 2πi an,}

luego los coeficientes del desarrollo est´an un´ıvocamente determinados por la suma de la serie.

Existencia. Comencemos por se˜nalar que si R1 < r1 <r2 < R2yγ1,γ2 son, respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r₁, r₂(orientadas positiva-mente), entoncesγ₁ yγ₂son hom´ologas respecto de D(a;R₁,R₂)(comprobarlo). Por el teorema homol´ogico de Cauchy se tiene, pues, que para toda funci´on g holomorfa en D(a;R1, R2)es

γ1

g(w)dw =

γ2

g(w)dw.

En particular, tomando

g(w)= 1 2πi

f(w)

(w−a)n+1, n ∈ Z, se deduce que

1 2πi

γ1

f(w)

(w −a)n+1 dw = 1 2πi

γ2

f(w)

(w −a)n+1 dw

da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, es un complejo independiente de cu´al sea el radio que se considere.

Definamos, pues, para cada n ∈ Z,

an =

1 2πi

γ

f(w)

dondeγ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio estrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2. Comprobaremos a continuaci´on que para todo z ∈ D(a;R₁, R₂)la serie

∞

n=−∞

a_n(z −a)n

(i) es convergente y (ii) tiene por suma f(z). Esto basta para demostrar el teorema (¿POR QU ´E?)

Sea, pues, z ∈ D(a;R1, R2). Elegimos r , s de manera que R₁ <r < |z −a| < s < R₂

y denotamos con γr, γs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadas positivamente. Poniendo M_s = max{|f(w)| : |w−a| = s},como para todo wtal que|w−a| = s (> |z −a|) y para todo entero n ≥ 0 es

f_(w(w) (₋z_a−₎n+a1)n

≤ Ms|z −a|n

sn+1 = Ms

s

|z −a| s

n ,

aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar t´ermino a t´ermino las series uniformemente convergentes resulta

1 2πi

γs

f(w)

w−z dw = 1 2πi

γs

_∞

n=0

f(w) (z −a)n

(w−a)n+1

dw

= ∞

n=0

1 2πi

γs

f(w)

(w−a)n+1 dw

(z −a)n =

∞

n=0

a_n(z −a)n.

De manera similar, si Mr = max{|f(w)| : |w−a| =r}ywes tal que|w−a| =r

(< |z −a|), de

f(w) (w_{(z −}−_a)an)n−1

≤ Mrrn−1

|z −a|n =

Mr

|z −a|

r |z −a|

n−1

,

n ∈N, se sigue an´alogamente

1 2πi

γr

f(w)

z −w dw = 1 2πi

γr

_∞

n=1

f(w) (w−a)n−1

(z −a)n

dw

= ∞

n=1

1 2πi

γr f(w) (w−a)

n−1_dw

(z −a)−n =

∞

n=1

Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma

∞

n=−∞

an(z −a)n = 1 2πi

γs

f(w)

w−z dw+ 1 2πi

γr

f(w) z −w dw,

y as´ı tenemos (i). Pero adem´as = [γs,−γr] es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de D(a;R1, R2) para el que Ind(z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la f´ormula de Cauchy,

f(z) = 1 2πi

f(w)

w−z dw = 1 2πi

γs

f(w)

w−z dw− 1 2πi

γr

f(w)

w−z dw

= ∞

n=−∞

an(z −a)n,

lo que demuestra (ii).

Disponemos ahora de otro ´util para analizar las singularidades aisladas. Si a es una singularidad aislada de una funci´on f , ´esta ser´a holomorfa en alguna corona D_∗(a;R) = D(a;0,R), y ser´a por tanto desarrollable en serie de Laurent en dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo de singularidad que presenta f en a.

Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funci´on f , holomorfa en D_∗(a;R) = D(a;0, R)para alg´un R >0, y sea

f(z) =

∞

n=−∞

an(z −a)n

su desarrollo en serie de Laurent en D(a;0, R). Entonces:

(1) a es una singularidad evitable si y s´olo si a_n = 0 para todo n < 0;

(2) a es un polo de orden k si y s´olo si a₋k =0 y an = 0 para todo n < −k; (3) a es una singularidad esencial si y s´olo si an = 0 para infinitos valores

negativos de n.

Demostraci´on. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109.

En el punto del infinito ‘se invierten los t´erminos’, como cab´ıa esperar. Si una funci´on f tiene una singularidad aislada en ∞, ser´a holomorfa en D(0;R,+∞) para alg´un R >0, y seg´un el teorema de Laurent

f(z) =

∞

n=−∞

a_nzn, z ∈ D(0;R,+∞).

Corolario 8.26. Sea f una funci´on con una singularidad aislada en∞, holomorfa en D(0;R,+∞) para alg´un R > 0, y sea

f(z) =

∞

n=−∞

a_nzn

su desarrollo en serie de Laurent en D(0;R,+∞). Entonces:

(1) ∞es una singularidad evitable si y s´olo si an =0 para todo n ≥ 1; (2) ∞es un polo de orden k si y s´olo si ak = 0 y an = 0 para todo n > k;

(3) ∞ es una singularidad esencial si y s´olo si a_n = 0 para infinitos valores positivos de n.

Demostraci´on. Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la funci´on f∗ definida en D(0;0,1/R)por

f∗(z) = f

1 z

,

que tendr´a como desarrollo de Laurent

f∗(z) =

∞

n=−∞

an z−n.

8.7 EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio. Dados a, b ∈Ccon a = b, sea

f(z) =Log z −a z −b.

¿Cu´al es el m´aximo abierto en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito, determinando en qu´e dominio es v´alido el desarrollo.

Respuesta. La funci´on f est´a definida en C \ {a,b}. Puesto que la composici´on de funciones holomorfas es una funci´on holomorfa, f ser´a holomorfa al menos en C\ {z : z = b o z −a

z −b ∈ (−∞,0]} = C\[a,b]

n´otese que z −a

z −b = −λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = 1

1+λ a +

λ

1+λ b

En los puntos de(a,b) no hay continuidad (menos a´un holomorf´ıa) para f , pues si z0 = t a +(1−t)b, 0 <t < 1, tomando para n ∈ N

z_n = z₀+ i

n (b−a) → z0, wn = z0− i

n (b−a) → z0, (n → +∞),

resulta zn −a

z_n −b =

(1−t)(b−a)+(i/n)(b−a) t (a−b)+(i/n)(b−a) =

−t (1−t)+(1/n2)−(i/n) t2+(₁/_n)2 ,

wn −a

wn −b =

−t(1−t)+(1/n2)+(i/n) t2+(₁/_n)2 ,

con lo cual limn f(zn) =ln

1 t −1

−iπ

2, limn f(wn) = ln

1 t −1

+iπ

2. En consecuencia, = C\[a,b] es el m´aximo abierto en el que f es holomorfa. Vemos as´ı que f tiene en∞una singularidad aislada, y que la m´axima corona D(0;R,+∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max{|a|,|b|}. Por el teorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Para calcular ´este, es preferible aprovechar que la derivada f es igualmente holomorfa en dicha corona, verific´andose

f(z) = 1 z −a −

1 z −b =

∞

n=0

an −bn zn+1 =

∞

n=1

an −bn

zn+1 , |z| > max{|a|,|b|}. Como D(0;R,+∞)es conexo, existe c ∈ C tal que

f(z) = c+

∞

n=1

bn −an n

1

zn, |z| >max{|a|,|b|}.

Pero lim

z→∞ f(z) = Log 1 = 0, luego c = 0 y finalmente

Log z −a z −b =

∞

n=1

bn −an n

1

zn, |z| >max{|a|,|b|}.

Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la funci´on

f(z) = 1

z −2 Log z −i z +i

Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es f´acil probar que f ser´a holomorfa

justamente en = C\([−i,i ]∪ {2}). Adem´as, sabemos que (a) Log z −i

z +i =

∞

n=0

(−i)n −in n

1

zn si |z| > 1;

(b) 1

z −2 = −

∞

n=0 zn

2n+1 si |z| < 2; (c) 1

z −2 =

∞

n=0 2n

zn+1 si |z| >2.

Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2:

1

z −2 Log z −i

z +i = −

∞ k=−∞      

−n+m=k n≥1,m≥0

(−i)n −in n

1 2m+1

      z k_.

Cuando k ≥ −1, el coeficiente de zk resulta ser a_k =

∞

n=1

(−i)n −in n

1 2k+n+1 =

1 2k+1

∞

n=1

(−i)n −in n

1 2n

= 1

2k+1 Log 2−i

2+i = − i

2kArc tg

1 2, mientras que el coeficiente de 1

zk si k ≥ 2 es

a_−k = 1 2k+1

∞

n=k

(−i)n −in n

1 2n,

con lo cual, siempre que n ≥ 1,

a_−2n =22k i

Arc tg 1 2 −

k−1

m=0

(−1)m

(2m +1)22m+1

,

a_−(2n+1) =22k+1i

Arc tg 1 2 −

k−1

m=0

(−1)m

(2m +1)22m+1

.

Para|z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f(z) = ∞_n=2b_nz−n, donde

b_n =

n−1

k=1

(−i)k −ik

k 2

n−k−1 _{= 2}n−1

n−1

k=1

(−i)k −ik

k 2

−k

= 2n−1

n−1

k=1

(−i/2)k −(i/2)k

Otra respuesta (mediante integraci´on). Sea, como antes, = C\([−i,i ]∪ {2}), y sean         

f(z) =

∞

n=−∞

anzn, 1< |z| < 2;

f(z) =

∞

n=−∞

cnzn, |z| > 2,

los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas.

Poniendo γr = ∂D(0;r) para 1 < r < 2; γ_ε = ∂D(2;ε) para 0 < ε < 2;

γR = ∂D(0;R) para R > 2, es [γr] ∼ [γR,−γ_ε] (), luego aplicando suce-sivamente el teorema de Laurent y el teorema homol´ogico de Cauchy podemos deducir

a_n = 1 2πi

γr

f(w)

wn+1 dw = 1 2πi

γR

f(w)

wn+1 dw− 1 2πi

γε

f(w)

wn+1 dw = c_n − 1

2πi

γε

f(w)

wn+1 dw.

Pero la funci´on

g(w)= 1

wn+1 Log

w−i

w+i

es holomorfa en D(2;2), luego aplicando la f´ormula de Cauchy en discos resulta

1 2πi

γε

f(w)

wn+1 dw = − 1 2πi

γε

1

wn+1 Log

w−i

w+i

w −2 dw =

1 2πi

γε

g(w)

w−2 dw = g(2) = 1

2n+1 Log 2−i

2+i = − i

2nArc tg

1 2.

Por otra parte, como lim

z→∞z f(z) = 0, siempre que n ≥ −1 se sigue

cn = lim R→+∞

1 2πi

γR

f(w)

wn+1 dw = 0

(con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k =cn. Entonces

b_k = 1 2πi

γR w

k−1 _{f(w)dw =} 1 2πi

γR

wk−1

w−2 Log

w −i

w +i dw

= 1 2πi

γR

wk−1₋₂k−1

w−2 +

2k−1

w−2

Log w−i

w+i dw = 1

2πi

γR

wk−2 _+2wk−3_{+ · · · +2}k−3_w+2k−2 _Log w −i

w +i dw +2k−1· 1

2πi

γR

1

w −2 Log

w−i

w+i dw = 1

2πi

γR

wk−2 _+2wk−3_{+ · · · +2}k−3_w+2k−2 _Log w −i

w +i dw +2k−1·c₋₁

= 1 2πi

γR

wk−2 _+2wk−3_{+ · · · +2}k−3_w+2k−2 _Log w −i

w +i dw.

El polinomio del integrando es la derivada del polinomio

P(w) = 1 k −1 w

k−1₊ 2 k −2 w

k−2 _{+ · · · +} 2k−3

2 w

2₊₂k−2_w,

que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicando la f´ormula de Cauchy llegamos a

bk =

1 2πi

γR P(w)

1

w −i − 1

w+i

dw = P(i)− P(−i)

=

k−1

m=1

2m−1 k −m

ik−m −(−i)k−m ,