EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA

Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez

CUADERNILLO DE PROCEDIMIENTOS PARA EL APRENDIZAJE Con la colaboración de:

MATEMÁTICAS IV

Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje

Con la colaboración de :

Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez

Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez

MATEMÁTICAS IV

Cuadernillo de Procedimientos para el aprendizaje

Con la colaboración de: Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez

Coordinación de Educación Media Superior a Distancia Martha Elena Fuentes Torres

Departamento de Diseño de Material Didáctico y Capacitación: Antonio Cadena Magaña

Revisión y asesoría académica: Víctor Manuel Mora González

Diseño Gráfico:

Mildred Ximena Uribe Castañón

Corrección de Estilo: Cristina Miranda Huerta

©Secretaría de Educación Pública. México, febrero de 2008.

Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato

Educación Media Superior a Distancia

3

2

1

ÍNDICE

RELACIONES Y

FUNCIONES

9

56

83

102

135

FUNCIONES

POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES

4

FUNCIONES

EXPONEN-CIALES Y LOGARÍTMICAS

5

PRESENTACIÓN

La asignatura de Matemáticas IV, a la cual pertenece el Cuadernillo de Procedimien-tos para el Aprendizaje que tienes en tus manos, amable estudiante, se incluye dentro del campo de conocimiento físico-matemático.

Entre los propósitos formativos de este campo se encuentran el desarrollo de co-nocimientos, habilidades y actitudes que te permitan –como estudiante– interpretar de manera reflexiva y crítica el quehacer científico, valorar su importancia actual y futura, y tomar conciencia del impacto social, económico y ambiental del desarrollo tecnológico.

El estudio de esta asignatura, mediante el desarrollo de conceptos, métodos y proce-sos lógicos, te permitirá adquirir los elementos básicos para efectuar el análisis de la relación funcional entre dos variables, indispensable para la explicación de fenóme-nos y la resolución de problemas en distintos campos del conocimiento.

El estudio de las Matemáticas te brinda, como estudiante de bachillerato, la oportuni-dad de desarrollar diversas formas de pensamiento y diferentes tipos de razonamien-to, y a utilizar distintos lenguajes y formas de representación simbólica, útiles para tu desarrollo y madurez intelectual, así como para la comprensión e interpretación de tu realidad, tanto personal como social. Al cursar la asignatura de Matemáticas I, apren-diste a transitar de las operaciones numéricas de la Aritmética al lenguaje general del Álgebra; en Matemáticas II, incorporaste el estudio de los conocimientos geométri-cos; y en Matemáticas III, conjugaste los aspectos anteriores mediante el estudio de la Geometría Analítica, es decir, aprendiste a transitar de las formas algebraicas a las representaciones geométricas y viceversa.

6

El estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de estudios del bachillerato general posibilita, que concluyas el componente de formación básica consolidando y ampliando tus conocimientos algebraicos sobre variables y ecuaciones iniciado en Matemáticas I y los del comportamiento de las funciones trigonométricas abordados en Matemáticas II (ubicándolas como un tipo particular de funciones trascendentes) y los de representación gráfica de ecuaciones adquiridos mediante el estudio de la Geo-metría Analítica en Matemáticas III. También, permitirá que apliques específicamente dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física II que se imparte en este mismo semestre y, más allá, constituirá una base importante en los semestres subsecuentes, para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral, Ma-temáticas Financieras y, Probabilidad y Estadística, en el componente de formación propedéutica.

Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas IV comprenden los temas de: Relaciones y funciones, Funciones polinomiales, Funcio-nes racionales y FuncioFuncio-nes exponencial y logarítmica. La idea general de interdepen-dencia funcional entre dos variables, así como sus distintas formas de representación, vinculará y estructurará el estudio de tales contenidos. Partiendo de la idea general de función, sus características algebraicas y geométricas, operaciones y tipos básicos es-peciales de funciones (indispensables para la representación de la variación entre dos magnitudes) se pasará al estudio de las funciones algebraicas polinomiales y raciona-les (incluyendo propiedades algebraicas de polinomios, taraciona-les como factores, residuos, raíces de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas) y se concluirá con el estudio del comportamiento de dos tipos especiales de funciones trascendentes, las funciones exponencial y logarítmica, destacando el carácter inverso de ambas, revi-sando propiedades básicas de logaritmos y resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas (lo que complementará el estudio de las funciones trascendentes iniciado ya en Matemáticas II con las funciones trigonométricas).

7

Unidad I. Relaciones y funciones. Unidad II. Funciones polinomiales. Unidad III. Funciones racionales.

Unidad IV. Funciones exponencial y logarítmica.

Objetivo de la asignatura:

9

1

UNIDAD

¿Qué voy a aprender?

¿

¿

¿

¿

¿

¿

RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivo de la unidad: Resolverás problemas sobre re-laciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transfor-maciones de gráficas, en un ambiente escolar que favo-rezca la reflexión y razonamiento abstracto, lógico, ana-lógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual te desenvuelves.

¡Sean bienvenidos!

Estás comenzando el curso de Matemáticas IV, lo cual indica que tu esfuerzo a lo largo de tres semestres está dando fruto y estás iniciando la segunda parte de tu Bachillerato, ¡enhorabuena!

La asignatura de Matemáticas IV, cuyo estudio estás emprendiendo, trata, por decirlo de manera muy resumida, del estudio de una noción fundamental en matemáticas: la función. De hecho las matemáticas modernas son herramientas tan poderosas porque se basan en el uso de las diversas funciones que existen. Su conocimiento y dominio hace que cualquier persona logre representar simbólicamente muchos fenómenos y situaciones, para construir modelos que sirven para dar soluciones adecuadas, a veces insólitas, a problemas que se presentan cotidianamente.

10

Fuentes de consulta

Enciclopedia Encarta:

Si tu Centro de Servicios cuenta con este software, te recomendamos revisar estos artículos que tienen relación con los temas tratados en esta Unidad.

• Función (matemáticas) • Número racional • Asíntota

Bibliografía básica:

1. Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. México, McGraw Hill In-teramericana, 2000.

2. Larson, Ronald, y otros. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996. 3. Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. México, Oup-Harla, 1994. 4. Ortíz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Bachillerato General. México, Pu-blicaciones Cultural, 2005.

5. Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV. México, Publicaciones Cultural, 2005.

6. Stewart, James, y otros. Precálculo. México, International Thomson Editores, 2000.

11

Actualmente podemos encontrar en la red una gran cantidad de información y existen sitios altamente recomendables como los que enlistamos a conti-nuación para que los visites:

• http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php • http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html • http://www.geocities.com/funcion_ve/

12

¿Cómo aprendo?

1.1. RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivo temático: Resolverás problemas que impliquen la noción de relación y función en forma teórica y práctica, mediante el análisis de la asociación entre dos variables a través de tablas, parejas, diagramas, gráficas y ecuaciones, que permitan obtener su dominio y rango.

Puedes observar a tu alrededor y darte cuenta de forma inmediata que no vives en un mundo fijo, sino en un mundo cambiante, donde existe un sinfín de magnitudes que varían, como: el tiempo, la posición del sol, el precio de las cosas, la posición en la que te encuentras y la de los objetos que observas a tu alrededor. La observación de esos cambios y la dependencia que existe entre ellos son los que interesan al estudio de las matemáticas, ya que esto nos permite tomar decisiones.

Por ejemplo, sabemos que el tiempo que tardes en llegar a la escuela depende de la velocidad a la que camines, que el ángulo de inclinación del sol depende de la hora del día, que la producción agrícola depende del clima, que las ganancias en una tien-da dependen de la cantitien-dad de artículos que logran vender y así, podemos elegir a qué velocidad debemos caminar para llegar a tiempo, la cantidad de artículos que pode-mos comprar con el dinero que tenepode-mos, en qué época del año sembrar determinado tipo de planta, etc. Recordemos que tenemos siempre dos magnitudes, pero sólo una depende de la otra.

La diferencia entre decir que unas magnitudes están en relación con otras, o bien, que unas están en función de otras, en el lenguaje común parece no tener relevancia, pues “relación” se utiliza como sinónimo de “función”. Sin embargo la diferencia en matemáticas es notable, pues, aunque ambos conceptos tienen similitudes, no son completamente iguales. Para comprender su empleo y relevancia, analicemos a con-tinuación cada uno de ellos.

NOCIÓN DE RELACIÓN

En el ámbito matemático, ¿qué debe entenderse por “relación”? Estudiemos la defini-ción siguiente:

Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto (llamado dominio) con los elementos de un segundo conjunto (denominado contradominio o codominio), de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o más elementos del contradominio.

Ortiz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Funciones, México, Publicaciones Cultural, 2007.

13

continua-ción te citamos algunos. Para ilustrarlos de una manera más clara, los representare-mos por diagramas sagitales (nombrados así porque se utilizan flechas, que en latín se dice sagita), en donde se pueden apreciar ambos conjuntos, denominados dominio y contradominio, cuyos elementos asociados se unen por medio de flechas.

Coahuila Saltillo Nuevo León Monterrey Tamaulipas Cd. Victoria Veracruz Jalapa Guanajuato Guanajuato Querétaro Querétaro Hidalgo Pachuca Jalisco Guadalajara Zacatecas Zacatecas

Ejemplo 2.

Las materias que cursas con el número de horas a la se-mana.

Matemáticas IV Física II

Biología I 3 Est. Soc. de México 4 Literatura II 5 Lengua Adic. al Español

Cap. para el trab. A Cap. para el trab. B

Ejemplo 1.

La relación entre los nombres de los esta-dos colindantes con San Luís Potosí y sus capitales.

Estados Capitales

Asignaturas No. de horas

Ejemplo 3.

El nombre de algunos alumnos y el deporte que practican.

,

Nombre Deporte José Beisbol Omar Futbol Ulises Basquetbol Israel Voleibol

14

Ejemplo 4.

Un automóvil recorre 210 km de la Cd. San Luis Potosí a la Cd. de Querétaro. La velocidad a la cual se mueve es de 70 km/ h . Asociemos los kilómetros que recorre con el tiempo que transcurre.

Nuevamente nos encontramos con una relación uno a uno, en donde ambos conjun-tos son numéricos.

Tiempo (h) Distancia (km)

1 70 2 140 3 210

Todos estos ejemplos son relaciones, no podemos descartar ninguno pues, como ha-bíamos mencionado, no existe ninguna restricción en la forma que deben relacionar-se.

Actividades:

1. Existen numerosas definiciones, te sugerimos investigar algunas otras para que pue-das construir tu propio concepto de relación. Escríbelas en tu cuaderno y analízalas junto con tus compañeros y asesor.

2. Cita tres ejemplo de relaciones, exprésalos con un diagrama sagital.

NOCIÓN DE FUNCIÓN

Una función, como veremos, es un tipo especial de relación. Estudiemos ahora esta definición:

La función es una relación en que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.

Ortiz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Funciones. México, Publicaciones Cultural, 2007.

Aquí sí existe una condición respecto a cómo asociarse, que establece claramente que todos los elementos del dominio deben estar asociados estrictamente con uno del contradominio. Veamos otra definición.

Una función f de un conjunto A respecto a un conjunto B es una regla de correspon-dencia que asigna, a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio de la función f, y el conjunto B es el contradominio.

Larson, Roland E. y Robert P. Hostetler. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996.

15

Anota debajo de cada uno la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN, según co-rresponda:

En el estudio de las relaciones y las funciones utilizaremos algunos conceptos nuevos cuyo significado debe quedarnos suficientemente claro para apropiarnos de ellos y utilizarlos correctamente.

4. Aunque ya hemos mencionado algunos de ellos es necesario que conozcas de manera explícita su significado. Investiga en los medios a tu alcance y completa el siguiente cuadro.

TÉRMINO

Dominio

Codominio o contradominio

Argumento

Imagen

Rango

DEFINICIÓN

Para aclarar el empleo de estos términos, veamos el siguiente diagrama donde se ob-servan los elementos, los conjuntos y los subconjuntos.

1 a 2 b 3 c 4 d A(x) B(y)

a 2 b c 4 d A(x) B(y)

a 2 b c 4 d A(x) B(y)

1 2 3 4 A(x) B(y)

a b c

1 2 3 4 A(x) B(y)

16

Sigue revisando la imagen y trata de comprender las siguientes afirmaciones que se refieren a ella:

a) El dominio está definido por D={2,4} b) El contradominio por C={a,b,c,d} c) El rango está determinado por I={a,b}

d) “a” es la imagen del argumento 2, “b” es la imagen del argumento 4.

Considerando estos conceptos, podemos definir a una función como una relación tal, en la que a cada argumento le corresponde únicamente una imagen. Si esto no ocurre entonces la relación no es función.

Analiza el siguiente cuadro en donde se expresan las diferencias y similitudes entre una relación y una función:

RELACIÓN

Cada elemento del dominio puede estar asociado a 0, 1, 2 o más elementos del con-tradominio.

Cada elemento del contradominio puede no estar asociado a ningún elemento del domi-nio.

Cada elemento del contradominio puede estar asociado a uno o mas elementos del dominio.

FUNCIÓN

Cada elemento del dominio debe estar aso-ciado a uno y sólo un elemento del contra-dominio.

Cada elemento del contradominio puede no estar asociado a ningún elemento del dominio.

Cada elemento del contradominio puede estar asociado a uno o más elementos del dominio.

CONTRADOMINIO (conjunto)

DOMINIO (conjunto)

RANGO (subconjunto)

Imágenes (elementos)

Argumentos (elementos)

A(x) B(y)

2

4

a b c

17

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

NOTACIÓN DE FUNCIÓN

Se utiliza la notación f: A→B, para referirnos a una función entre el conjunto A del dominio y el B del contradominio. Se lee “la función f de A a B”.

Por ejemplo, la F: P→E es la relación en la que a cada persona se le asocia con su edad, es función porque cada persona no puede tener dos edades al mismo tiempo.

6. Analiza las siguientes frases:

“Todas las relaciones son funciones”. “Todas las funciones son relaciones”. ¿Ambas afirmaciones son verdaderas? Argumenta tu respuesta.

7. Realiza un diagrama que relacione los siguientes conjuntos y determina si son funciones o no.

a) El nombre de tus maestros y las asignaturas que imparte en tu escuela. b) Los días de la semana y el número de horas que dura cada una.

c) Las materias que cursaste el semestre pasado y la calificación obtenida.

REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN Y UNA RELACIÓN

Hasta ahora hemos representado las funciones y relaciones por medio de diagramas sagitales (método de flecha), sin embargo existen otras formas: por medio de tablas, como conjunto de pares ordenados, gráfica y ecuación.

18

Tiempo (h) Distancia (km)

1 70 2 140 3 210

Tiempo (h) 1 2 3 Distancia (km) 70 140 210

Representación sagital Tabla Gráfica

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

-1 0 1 2 3

Pares ordenados:

F: {(1,70), (2,140), (3,210)}

Ecuación:

y=70x

Recuerda que convencionalmente se utiliza la letra x para designar los valores del dominio y y para los del contradominio. En el plano cartesiano los valores de x se ubican en el eje horizontal y los de y en el vertical. Es importante que analices estas representaciones y reconozcas que muestran la misma variación entre los valores de dos conjuntos.

Pero, ¿todas las funciones y relaciones se pueden representar de estas cinco formas? Analicemos ahora la función entre Estados de la República Mexicana que colindan con San Luis Potosí y sus capitales.

Representación sagital Tabla

Coahuila Saltillo Nuevo León Monterrey Tamaulipas Cd. Victoria Veracruz Jalapa Guanajuato Guanajuato Querétaro Querétaro Hidalgo Pachuca Jalisco Guadalajara Zacatecas Zacatecas

Estados Capitales Coahuila Saltillo Nuevo León Monterrey Tamaulipas Cd. Victoria Veracruz Jalapa Guanajuato Guanajuato Querétaro Querétaro Hidalgo Pachuca Jalisco Guadalajara Zacatecas Zacatecas

Las representaciones en pares ordenados, gráfica y ecuación son exclusivas para con-juntos numéricos, por lo tanto, esta función sólo tiene las dos representaciones ante-riores.

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ajuste a todos los puntos que obtienes. Este hecho no es aislado, en realidad la mayo-ría de los fenómenos que ocurren en la naturaleza vamayo-rían de forma irregular, y para su estudio sólo se hacen aproximaciones de ecuaciones que se ajusten lo más posible, para analizar su comportamiento, hacer predicciones y tomar decisiones al respecto.

Hemos visto que en una función, para cada argumento existe uno y sólo un valor para la imagen, es importante reconocer esta característica en las diferentes representacio-nes de una relación para establecer si es función o no.

Si la relación está representada por un diagrama sagital, cada argumento debe tener una flecha, si al menos un argumento carece de ésta o bien tiene dos o más, entonces la relación no es función.

2

4 1

6 3

8 5

10 A(x) B(y) -1 a -2 b -3 c -4 d -5 e A(x) B(y) 1 3 3

5 5

A(x) B(y) 2

3 4

5 6

6 8

7 10

A(x) B(y) Sí son funciones porque a cada argumento corresponde una imagen. No son funciones porque en el primer caso a un argumento no le corresponde ninguna imagen y en el segundo, a un argumento corres-ponden dos imágenes. Algo muy similar ocurre en la tabla, sólo que en esta no hay flechas, cada elemento está relacionado directamente con el que está en la columna contigua. Analiza los siguientes tabuladores: 2 1

4 1

6 3

8 3

10 5

3 2

3 4

5 6

6 8

7 10

-1 a -2 b -3 c -4 d -5 e x y x y x y 1 3

3 Indet. 5 5

x y

Tabulador 1 Tabulador 2 Tabulador 3 Tabulador 4

20

8. ¿Puedes diferenciar en la representación de pares ordenados si una relación es fun-ción o no? A continuafun-ción te mostramos algunos ejemplos, discútelos con tus compa-ñeros y asesor. Sugerimos cambiar a una representación sagital para que observes la asociaciones entre los elementos.

A= {(2,1), (4,1), (6,3), (8,3), (10,5)} B= {(3,2), (3,4), (5,6), (6,8), (7,10)}

Veamos ahora la representación de relaciones por medio de ecuaciones. Para encon-trar la correspondencia entre argumento e imagen, se deciden los valores del argu-mento x y se calculan los de la imagen y, pues x es la variable independiente y el valor de y es la variable dependiente. Para hacerlo, hay que recordar que es conveniente despejar y, en caso de que no lo esté.

Ejemplos:

y = x2₊₂

y= (-3)2_{+2 = 9+2 =11 (-3, 11)} y= (-2)2_{+2 = 4+2 =4 (-2, 4)} y= (-1)2_{+2 = 1+2 =3 (-1, 3)} y= (0)2_{+2 = 0+2 =2 (0, 2)} y= (1)2_{+2 = 1+2 =3 (1, 3)} y= (2)2_{+2 = 4+2 =4 (2, 4)} y= (3)2_{+2 = 9+2 =11 (3, 11)}

y2 _{= x+2}

+ y=- x+2

+ + y=- -2+2=- 0 = 0 y=- -1+2 =- 1=- 1 + + +

y=- 0+2 =- 2+ + y=- 1+2 =- 3+ + y=- 2+2= - 4= - 2+ +

y= - 3+2= - 5+ + y= - 4+2= - 6+ +

y= - 5+2= - 7+ +

En el caso de la primera ecuación observamos que para cada valor de x se obtiene un único de y, por lo tanto es función. Sin embargo en la segunda, para cada valor de x se obtiene dos de y, ya que para la raíz cuadrada de un número positivo, existen dos soluciones, por ello no es función.

Para graficar, en el eje horizontal se designa el dominio y en el vertical el contrado-minio.

21

10

8

6

4

2

0

-2 0 2 4 6

-4

2

0

-2

0 2 4 6

-2

9. Para que comprendas mejor cómo diferenciar la gráfica de una función, de otra que no lo es, investiga la Prueba de la línea vertical para funciones.

Una vez que se ha determinando que una ecuación es una función, podemos cambiar su notación para que esto se haga evidente. Veamos la siguiente definición:

Sea x un argumento de la función f, y y su imagen, lo anterior se denotará de la si-guiente manera:

y=f(x), léase “y es la imagen de x”

García Licona, Miguel A. y Manuel Rodríguez López. Matemáticas 4. México, ST Editorial, 2005.

Para f(x)= x2_{+2, evaluar una función en x=a, se expresa mediante la notación f(a), y} se calcula sustituyendo a en la expresión: f(a)= a2_+2.

Ejemplo: f(-2)= (-2)2₊₂

f(-2)= 4+2

f(-2)= 6

De tal manera que las coordenadas de un punto pueden ser expresadas como (x, f(x)), si x=a, entonces (a, f(a)), en este caso, si x=-2, entonces (-2, f(-2)) es un par ordenado que satisface la ecuación.

Cada representación de una función nos permite ir a otra, si esta existe, pues son for-mas distintas de expresar lo mismo. Sin embargo, cada una de ellas nos permite ciertas ventajas sobre las otras, pero también desventajas.

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REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Representación sagital

Tabla Pares ordenados

Ecuación Gráfica

VENTAJAS DESVENTAJAS

DOMINIO, CONTRADOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

El hombre creo las matemáticas con la finalidad de entender cómo funciona el mundo en términos numéricos. A partir de ahora nos enfocaremos al estudio de funciones numéricas, expresadas mediante tablas, ecuaciones y gráficas, y las concordancias que existen entre las tres representaciones.

Una ecuación es una expresión matemática que puede expresarse en un plano carte-siano como una curva formada por todos los puntos que la satisfacen, cuya cantidad puede ser infinita. Sin embargo, cuando ésta representa situaciones de la vida real, es importante definir el dominio en la que es válida, de acuerdo al contexto.

11. Lee atentamente los siguientes problemas:

A. José tiene $25, si en la lonchería únicamente venden tortas de $5, expresa median-te tabla, gráfica y ecuación, la función entre el número de tortas que compra y lo que paga por ellas.

B. Una cubeta vacía de una capacidad de 25 litros, se pone a llenar con una llave cuyo gasto es de 5 litros/minuto, expresa mediante tabla, gráfica y ecuación, la fun-ción entre el tiempo que transcurre y la cantidad de agua almacenada.

Ambos problemas parecen iguales, la diferencia está en el dominio, diferencia que apreciarás notablemente en la gráfica.

23

0 0 1 5 2 10 3 15 4 20

5 25

x

N° de tortas

y

Costo total$

0 0 1 5 2 10 3 15 4 20

5 25

x

Tiempo (min)

y

Cantidad de agua (litros)

5

0 10 20

15 25

5 10

-5

y

5

0 10 20

15 25

5 10

-5

y

Problema A Problema B

Sabemos que cada punto en el plano está representando un par ordenado de corres-pondencia entre dos magnitudes; en el primer caso, existen 6 puntos en el plano ya que sólo se puede decidir entre comprar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 tortas, pero no valores intermedios. En el segundo caso las magnitudes varían y toman valores no enteros, ubicamos por ejemplo ( , ), es decir, que en 1.5 min el contenedor tiene exacta-mente 7.5 litros de agua.

Para establecer esta diferencia existen notaciones distintas para el dominio, la nota-ción que corresponde al primer caso es de conjunto, de tal manera que el dominio y contradominio quedan especificados como D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {0, 5, 10, 15, 20, 25} donde sólo son parte de la función los elementos mencionados, en el segundo caso, se expresa como D = [0,5] y C = [0, 25] e incluye no sólo el 0 y el 5, sino también sus valores intermedios, al igual que en el contradominio.

3 2

24

2 4 6 8 10 2000

4000 6000

0 0

Existen también los casos en los que los extremos no se incluyen. Analiza el siguiente ejemplo:

El padre de Omar le ha prometido que si obtiene en Matemáticas una calificación mayor a 6 le dará $5000 para sus vacaciones. ¿Cual de las siguientes gráficas repre-senta la variación entre la calificación que obtiene Omar y el dinero que le otorgan?

D = (6,10] C = {5000}

D = [6,10]

C = {5000} D = [0,10]

C = {5000}

12. De acuerdo a las gráficas anteriores, analiza en grupo las diferencias entre las si-guientes formas de expresar el dominio y regístralas.

Representación

D={x₁, x₂,…, x_n-1, x_n}

D=[a,b]

Si a<b, y ambos son los extremos del intervalo

D=(a,b]

Si a<b, y ambos son los extremos del intervalo

D=[a,b)

Si a<b, y ambos son los extremos del intervalo

D=(a,b)

Si a<b, y ambos son los extremos del intervalo

Características de la gráfica

2 4 6 8 10 2000

4000 6000

0

0 2 4 6 8 10

2000 4000 6000

25

notación de intervalo, veamos la siguiente definición:

Un intervalo es el conjunto de todos los números comprendidos en una porción con-tinua del eje real.

Salazar Vázquez, Pedro y otros. Matemáticas IV. México, Nueva Imagen, 2002.

Además de ésta, existe la notación de desigualdad, que a continuación te mostra-mos:

Desigualdad

D={x|-3<x≤ - 1}

D= {x|x≥3}

Intervalo

D=(-3, -1]

D=[ 3, )

Representación gráfica

-3 -1

….. 3

En el primer caso se refiere a una función cuyos valores de x varían entre –3 y -1, incluyendo el -1 pues se especifica que x≤ - 1, pero no -3, pues -3<x. En el segundo caso x puede tomar cualquier valor x≥3 (mayor o igual a 3). Te sugerimos repasar la utilización de los signos de tricotomía y su empleo para que no tengas dificultades en su uso.

13. Encuentra el dominio y contradominio de las siguientes funciones en intervalo y desigualdad.

Intervalo

Desigualdad

Intervalo

Desigualdad

1

-2 -1 2 3 4

-3

2

1 3

-1 0

0 -3 -2 -1

-1 0

0 ₁

1

26

Intervalo

Desigualdad

Intervalo

Desigualdad

y=5x3 _{- x}1 2 _{- 3} 2 DOMINIO IMPLÍCITO

Aunque en la utilización de funciones, para la representación de problemas, es nece-sario definir el dominio según el contexto, cada función tiene un dominio implícito, formado por todos aquellos valores de x para los cuales se puede evaluar la función. Recordemos que no siempre se puede evaluar, pues existen operaciones con números reales que están indefinidas:

a) La división entre cero.

b) Las raíces de índice par de números negativos.

Analicemos las siguientes funciones:

Está definida en todos los reales, puesto que todos ellos se pueden sustituir como valor de x, y siempre encontraremos un valor definido de y, su dominio se expresa D=(-∞,∞) o bien, D={x|x ∈ R}

Sólo existe un valor en el que no está definida, y es cuando el denominador toma el valor de cero, es decir x-3=0, resolviendo x=3, de modo tal que su dominio son todos los reales excepto el 3.

Expresamos esto como D= (-∞,3)(3,∞) o bien D={x|x 3}

-∞

-10 -8 -6 -4 -2 0

0

2 4 6 8 -10 ∞

-∞

-10 -8 -6 -4 -2 0

0

2 4 6 8 -10 ∞

1 2 3

0 0

-2 -1

-3

1 2 3 4 5 -1

-2 -3 -4 -5

-6 _{-2 -1}

-1 1

1 2

0 0

x2 _{+ 4x + 4} y=

27

des-igualdad, x2_{>9, tenemos que esto sólo se satisface con valores menores o iguales a} -3 o bien, mayores o iguales a 3. Expresamos el dominio como D=(-∞,-3][3,∞)) o bien D={x|-3≥ x≥ 3}

-∞

-10 -8 -6 -4 -2 0

0

2 4 6 8 -10 ∞

y= 9 - x2 ¿Cómo queda expresado el dominio de esta función?

-∞ _{-10 -8 -6 -4 -2} 0_{0 2 4 6 8 -10} ∞

14. Encuentra el dominio implícito de las siguientes funciones, exprésalo gráficamen-te, como intervalo y como desigualdad.

f(x)=x2 _{- 6x}

f(x)=3 _x

f(x)=

f(x)= 16 - x2 x+4

2

f(x)= x+3

f(x)= _x2_+5x+4 2x+1

1.2. CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y prácticos utilizando las distintas clases defunciones y sus propiedades, así como las operaciones algebraicas y geométricas que permiten combinarlas.

1.2.1. Tipos de funciones

El uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia para cualquier área de conocimiento. En efecto, para poder hacer un uso adecuado, debes poseer conocimientos que te permitan su correcto manejo algebraico y reco-nocer, a partir de la ecuación, las características de su representación gráfica y su interpretación.

En virtud de lo anterior, en este tema nos dedicaremos a analizar algunas de las ca-racterísticas más importantes de las funciones que permiten su clasificación. En la página siguiente se presenta de manera muy general un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, revísalo con atención:

28

A continuación citaremos las características de cada clasificación. Aunque más ade-lante tendrás la oportunidad de estudiarlas con detalle, te sugerimos que construyas las graficas de algunas funciones para que te familiarices con ellas. Para referirnos a los valores de y (variable dependiente) utilizaremos de aquí en adelante la palabra función y para los valores de x (variable dependiente) utilizaremos la palabra varia-ble.

POR LAS OPERACIONES PARA OBTENER SUS VALORES

Funciones Algebraicas

Como su nombre lo indica, son aquellas que para obtener su valor se utilizan ope-raciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces) de polinomios, se dividen en polinomiales, racionales e irracionales.

Funciones

Sus gráficas

Por su trazo

Discontinuas

Continua

Irracionales Racionales Polinomiales Algebráicas Las operaciones para obtener sus

valores

La asociación entre su dominio

y contadominio

Uno a uno

Sobre

Biunívocas

Transententes

Trigonométricas

Exponenciales

Logarítmicas

Decrecientes Crecientes Por sus variaciones de

la función

Se clasifican

29

Es aquella de la forma: f(x) = a₀xn _{+ a} 1x

n-1 _{+ … + a}

n-1x + anx 0

Siendo a₀, a₁,…, a_n constantes y n ∈ N, su dominio son todos los reales.

Ejemplos: f(x) = 8x+2, g(x) = x2_-2x-5 h(x) = 3x3_-3

En esta clasificación encontramos:

a) La función constante: f(x) = k

Donde k es una constante, su gráfica es una recta horizontal, cuya ordenada de origen es k.

b) La función identidad: f(x) = x

El argumento y la imagen son iguales, su gráfica es una recta cuya ordenada de origen es cero y su inclinación respecto al eje de las abscisas es de 45°.

c) Función lineal: f(x) = mx + b

Su gráfica es una recta, los parámetros m y b, se relacionan con la pendiente y la ordenada de origen.

d) Función cuadrática: f(x) = ax2 _{+ bx + c}

En donde a ≠ 0. Su gráfica corresponde a una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas.

e) Función cúbica: f(x) = ax3 _{+ bx}2 _{+ cx + d}

En donde a ≠0. Su gráfica corresponde a una senoidal.

Actividades:

30

a) f(x) = 3 D = [-3,3]

b) f(x)= x D = [-3,3]

x f(x)

x f(x)

x f(x)

x f(x) x f(x)

1 2 3 4 0 0 -1 -2 -3 -4 1

1 2 3 4

2 4

0 0 -2

-4 2 4

-2 -4 1 2 3 4 0 0 -2

-4 2 4 6 8 10 12 14 -6 -2 -4 6 2 4 0 0 -2 -2

2 4 6

2 4

0 0 -2

-4 2 4

-2

-4

c)f(x) = 1x - 3 2

e) f(x) = x3 _{- 3x + 1}

D = [-3,3] d) f(x) = x2 _{-3x + 4}

D = [0,6]

1 2

31

Está formada por el cociente de dos polinomios, es de la forma

f(x)= En donde: Q(x) ≠ 0

Es conveniente hacer notar algunos aspectos importantes, por ejemplo, la función:

f(x)=

Puede ser expresada, realizando la división, como:

f(x)= x2_{+ x+}

f(x)=x2_+2x+1

Convirtiéndose en función polinomial, de manera tal que hemos de descartar como funciones racionales, aquellos casos en donde Q(x)=k, donde k es una constante. Existen otras funciones que pueden ser reducidas, por ejemplo:

f(x)=

Puede expresarse, mediante su factorización y simplificación como:

f(x)=

f(x)=x - 2

Teniendo ésta una línea recta como representación gráfica, sin embargo, las expre-siones:

f(x)= y f(x)=x - 2

no son iguales, pues en la primera, encontramos que cuando x= -2, existe una in-determinación para la función (división entre cero), mientras que en la segunda, su dominio son todos los reales, incluso x=-2. Observa sus gráficas en la página siguien-te:

Q(x) P(x)

2 2x2_+4x+2

2 2

2 4

2 2

x+2 x2 _{- 4}

x+2 (x-2)(x+2)

32

-4 2 4

-2 -4 -6 -8 2 4 0 0 -2

-4 2 4

-2

-4

-6

-8

f(x)=x - 2 f(x)=

x+2 x2 _{- 4}

Q(x)P(x) x+2 x Q(x) P(x) 2 4 0 0 -2

-4 2 4

-2

-4

-6

-8 6

-6 ₆

El hueco de la primera gráfica indica que para x=-2 no existe valor de y.

Entonces, aunque la expresión sea divisible f(x)= , se sigue considerando racional.

Para graficar funciones racionales es necesario que reconozcas en qué valores de x, la función es indeterminada.

Tomemos como ejemplo la función: f(x)=

Para identificar en cuáles puntos se tiene la indeterminación, igualamos el denomina-dor a cero y despejamos x:

x + 2=0 x = - 2

Para graficar, elegimos algunos valores de x, por ejemplo: -6,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 efectuando los cálculos correspondientes al sustituir en la expresión de la función:

33

unen los puntos? Es recomendable sustituir algunos valores de x cercanos a -2 para saber qué variaciones existen en este intervalo, te sugerimos los siguientes valores de x para localizar los puntos que te ayuden a determinan la forma de la gráfica. Si aún así tienes dudas, puedes agregar todos los puntos que sean necesarios.

x -3.5 -3.7 -3.9 -2.1 -2.3 -2.5 f(x)

2. Grafica la siguiente función: f(x)=

C. FUNCIONES IRRACIONALES

Se identifican por poseer raíces de expresiones que involucran a la variable, por ejem-plo:

f(x)= x - 4 f(x)=3 _2x2 _{f(x)= 3x + 3 - 2x+1}

Descartamos de esta clasificación aquellas funciones en las cuales se puede extraer x de la raíz, por ejemplo

f(x)= 3 _x3 _{, se puede expresar, anulando el exponente con la raíz como f(x)=x} f(x)=4x2_{+ 3x}2_{+1, se puede expresar, obteniendo la raíz como f(x)=4x}2_{+x 3+1, en} donde la raíz sólo afecta a la constante y no a la variable.

6

2 4

0 0 -2

-2

2 4 6

3. Grafica la función: f(x)= x

34

Funciones Trascendentes

Son aquellas que no son algebraicas, incluye a las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante), trigonométricas inversas, expo-nenciales (en las cuales la variable está en el exponente) y logarítmicas. A continua-ción te mostramos algunos ejemplos:

1 2

0 0 -1

-2 1 2

-1

-2

1 2

0 0 -1

-2 1 2

-1

-2

Probablemente estas funciones exponenciales y logarítmicas no te sean familiares, pues no has tenido contacto con ellas, por eso te mostramos las gráficas sólo a manera de ilustración. Más adelante las estudiarás a fondo y comprenderás las nociones que cada una de ellas implica.

Recuerda que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por cociente de las magnitudes de un triángulo rectángulo.

f(x)= f(x)=log x 3

1 x

31

sen x=_cb

cos x=_ca

tan x=b_a

csc x=_bc

sec x=_ac

cot x=a_b

c

b

35

lados del triángulo cambian, por lo tanto, el valor de cada razón trigonométrica tam-bién. Extendiendo esta interpretación, tenemos la representación del ángulo en posi-ción normal, en donde el valor del ángulo puede tomar cualquier valor real.

senΘ=_ry

cos Θ=_rx

tanΘ=_xy

cscΘ=_yr

sec Θ=_xr

cot Θ=_yx

4. Grafica las siguientes funciones en el intervalo de [-2π, 2π]. Analiza su dominio y contradominio.

f(x)=senx

f(x)=cosx

f(x)=tanx

f(x)=cscx

f(x)=cesx

f(x)=cotx

(x,y) r

Θ

36

POR SUS GRÁFICAS

Funciones continuas y discontinuas Observa las siguientes gráficas:

2 4

0 0 -2

-4 2 4

-2

-4

2 4

0 0 -2

-4 2 4

-2

-4 2

4

-2 0

0

-2 2 4 6

-4 -6

-4

-6 -8

Se dice de manera intuitiva que cuando la gráfica de una función puede dibujarse sin despegar el lápiz del papel, entonces es una función continua, de lo contrario es discontinua.

5. De las gráficas anteriores ¿cuáles son continuas y cuáles discontinuas? A partir de la bibliografía que poseas, busca los bosquejos de al menos tres funciones continuas y tres discontinuas, toma nota en tu cuaderno.

Funciones crecientes y decrecientes

En la siguiente gráfica puedes observar que existen variaciones en los valores de la variable y la función, de hecho esa es la importancia de las gráficas, hacer evidentes los cambios que existen. Intuitivamente para determinar si una gráfica es creciente o decreciente, re-corre la gráfica con la punta de tu lápiz de izquierda a derecha y mantente atento a los valores que toma y; por ejemplo, en la gráfica se observa que los valores de y crecen primero, después decrecen y por último vuelven a crecer. Existen dos puntos que marcan en dónde deja

de crecer y comienza a decrecer, (1,5) y otro en el cual deja de decrecer para crecer de nuevo, (3,1). La notación para expresar esto, está dado bajo intervalos de x, de tal manera que para esta gráfica decimos que:

CRECE: (-∞,1), DECRECE: (1, 3) y CRECE: (3, ∞)

De los puntos (1,5) y (3,1), sólo utilizamos el 1 y el 3, correspondientes a los valores de x. Para definir estas variaciones gráficas te recomendamos que primero ubiques estos puntos, llamados puntos críticos, para después establecer los intervalos tomando como referencia los valores de la variable.

6

2 4

0 0

37

FUNCIÓN

CRECIENTE

DECRECIENTE

CONSTANTE

DEFINICIÓN

POR LA ASOCIACIÓN ENTRE SU DOMINIO Y CONTRADOMINIO

Analicemos la siguiente situación: En la casa de una familia de cinco elementos se encuentran 6 platos en la alacena, una computadora en la sala y un vaso con cinco ce-pillos dentales en el baño. Es lógico pensar que cada elemento de la familia (conjunto A) usa, al momento de una comida, solamente un plato, que toda la familia utiliza la misma computadora y que cada miembro posee sólo un cepillo del vaso y que éste es usado sólo por él.

Los siguientes diagramas sagitales ilustran los casos mencionados:

Persona 1 Plato 1 Persona 2 Plato 2 Persona 3 Plato 3 Persona 4 Plato 4 Persona 5 Plato 5 Plato 6

Persona 1 Cepillo 1 Persona 2 Cepillo 2 Persona 3 Cepillo 3 Persona 4 Cepillo 4 Persona 5 Cepillo 5

Persona 1 Persona 2 Persona 3 PC Persona 4 Persona 5

A B

A B

A B

f

h

g

Las tres relaciones presentadas son funciones, sin embargo los elementos de los con-juntos tienen diferentes formas de asociarse. En la primera cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el contradominio, esta función es inyectiva (uno a uno); en la segunda, cada elemento del contradominio corresponde a por lo menos un valor del dominio, esta función es suprayectiva (sobre); y en la última cumple con ambas condiciones, esta función en biyectiva (biunívoca).

38

7. Te sugerimos que investigues las definiciones precisas de cada una de estas clasifi-caciones y las anotes en el siguiente cuadro:

FUNCIÓN

INYECTIVA (uno a uno) SUPRAYECTIVA (sobre) BIYECTIVA (biunívoca)

DEFINICIÓN

8. Lee con atención el siguiente ejemplo en donde se explican de manera práctica los conceptos anteriores:

La relación: N: P→F, que a cada persona p le asocia su fecha de nacimiento f, es una función porque ninguna persona pudo haber nacido en dos fechas distintas. Esta fun-ción es sobre porque cualquier fecha del calendario está asociada con alguna perso-na. No es uno a uno porque muchas personas poseen la misma fecha de nacimiento. No es biunívoca debido a que no es ambas: uno a uno y sobre

Ruiz Basto, Joaquín, Matemáticas IV. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. México, Publicaciones cultural, 2006

9. A partir de las siguientes funciones determina si son: uno a uno, sobre o biunívo-cas.

1 2 3 3 4

1 5 2 6 3 7 4 8 5

1 6 2 7 3 8

1 2 3 3 1

2 3 4

1 2

3

1 5 2 6 3 7 4 8

39

Retomemos nuevamente las tres funciones an-teriores (familia, platos, CPU, cepillos), si cam-biamos en cada una de ellas el dominio por el contradominio y el sentido de las flechas, obtendremos nuevas relaciones entre los con-juntos. Pero estas nuevas relaciones, ¿son fun-ciones?

Actividades:

1. Dibuja los diagramas sagitales en tu cuaderno, intercambiando el conjunto A y el B.

Como hemos aprendido, la condición imprescindible para poder llamar función a una regla matemática que relaciona dos conjuntos A y B, es que cada elemento del conjunto de salida A (dominio) tenga un elemento de correspondencia y sólo uno en el conjunto de relación B (contradominio).

En sentido estricto, solamente podemos llamar función a la tercera relación, y la lla-mamos función inversa de g, denotada por g-1_{, las demás son relaciones inversas pero} no funciones; en general solamente las funciones biyectivas tienen función inversa.

En resumen, una función inversa se obtiene de intercambiar el dominio y rango de una función, sin embargo, la inversa no siempre es función.

Para obtener la inversa en un conjunto de pares ordenados, también se intercambian los valores de las variables x y y.

A: {(x, y)} y A-1_{={(y, x)}}

Gráficamente sabemos que una función tiene inversa si cualquier línea horizontal trazada sobre la gráfica la intersecta sólo una vez, pues esto garantiza que la función es biyectiva.

Tiene inversa No tiene inversa

1 -2

-2 -1 2 3 4 5 -3

2 4

6 7

-4 -6 -8 6 8

1 -2

-2 -1 2 3 4 5 -3

2 4

6 7

40

Una función lineal es una función biyectiva, por lo tanto tiene función inversa. Ana-licemos el siguiente caso:

Despejando x tendremos:

Si otorgamos algunos valores a x, podemos calcular los correspondientes valores para f(x).

f(x)=2x - 2

f(x)=2x - 2

f(x)+2=2x f(x)+2 2 =x 2 1 f(x)+1=x x -3 -2 -1 0 1 2 3 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=2x - 2

2

1 f(x)+1=x

Observa que calculando x con los valores obtenidos, los nuevos valores coinciden con los asignados en un principio.

La función inversa de f(x)=2x - 2 es

Para hacer esto explícito cambiamos f(x) por y:

Ahora intercambiamos las variables (recordemos que para obtener la inversa de una función cambiamos el dominio y rango):

Cambiando a notación de función: La gráfica de las funciones obtenidas es:

2

1 _f(x)+1=x

2

1 _y+1=x

2

1 _x+1=y

2

1 _x+1=f-1_(x)

1 -2

-2 -1 2 3 4 5 -3 2 4 6 7 -4 -6 -8 6

8 f(x)=2x - 2

I(x)=x

41

= I(x) (compruébalo algebraicamente).

Las funciones inversas de funciones trigonométricas son especialmente útiles. Si ob-tenemos las razones correspondientes a cada función a partir de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, podemos calcular la medida de sus ángulos a partir de dichas funciones inversas, las cuales se nombran anteponiendo el prefijo arco o ángulo al nombre de la función:

f(x) =seno x f(x) =coseno x f(x) =tangente x

f -1_{(x) =arco seno x}

f -1_{(x) =arco coseno x}

f -1_{(x) =arco tangente x}

De manera idéntica para cotangente, secante y cosecante.

Es importante que recuerdes lo anterior, porque en la mayoría de las calculadoras se expresa el arco seno como sen-1_{, lo cual es incorrecto. Esta abreviatura correspondería} a la función trigonométrica cosecante.

El dominio de la función seno está compuesto por todos los números reales (x ∈R), pero su función inversa, arco seno, tiene un dominio limitado de -1 a 1.

f(x)=seno (x)

f(x)=arco seno (x)

-0.5 -60 -30 -90

0.5 1.0

-1.0 0.0 -120

-150 -180 -210 -240 -270 -300 -330 -360

-390 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390

-30

-0.2 0.2 0.4 -0.4

30 60

0.6

-60 -90 -120

90 120

0.8 1 -0.6

42

2. Traza las funciones inversas para los siguientes diagramas:

3. Determina la función inversa de cada una de las siguientes funciones:

f(x)=2x - 6

h(x)= +1

m(x)=x2 _{+ 2x}

4. Haz una tabulación y grafica la función f(x)= -2x2_{. Determina si tiene función} in-versa.

5. Determina si las siguientes gráficas tienen inversa. En caso de que la tengan, grafí-cala.

2 3x

6. Grafica las funciones coseno y tangente, así como su respectiva inversa. Estaño

Plata Hierro Hidrogeno

Fosforo Helio

Metales

No Metales

A B

Guitarra Clarinete Violín

Tuba Bajo

Instrumentos de cuerda

Instrumentos de percusión

Instrumentos de aliento

A B

2 0

0

-4 _{4 6}

-4

8 10 2

4 6 8

10

-2 -2

-2 -1 _{1 2 3}

-1

-2

-3 1 2 3

43

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función que permanece constante a pesar de los valores de la variable, se define por f(x)=k, en donde k es una constante real. Su gráfica está determinada por una recta horizontal cuya orde-nada al origen es precisamente k.

0 0

k

FUNCIÓN IDÉNTICA

La función idéntica, asigna a cada va-lor del argumento, el mismo vava-lor de la imagen; su ecuación está dada por f(x)=x y su gráfica es una recta que pasa por el origen con un ángulo de inclinación respecto al eje x de 45°.

2 4

0 0 -2

-4 2 4

-2

-4

-6 6

-6 ₆

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número se representa por medio de dos líneas verticales, por ejemplo |a|, se lee, “el valor absoluto de a”, y se define por:

a

- a si a<0 a si a≥0

Es decir, se trata de hacer positivo al número si es negativo, o dejarlo positivo si es positivo. Por ejemplo, |-3|=3, |0|=0, |3|=3.

La función valor absoluto se denota por |x| y al igual que para los números se denota por:

44

Actividades:

1. Grafica las siguientes funciones: f(x) = |x| ; g(x) = 2

2. En equipos establece su dominio y su rango.

FUNCIONES COMPUESTAS

En un mismo plano cartesiano podemos graficar varias funciones, por ejemplo:

f(x)= x + 3

f(x)= - x + 6

f(x)=x2 _{- 4x}

f(x)=x2 _{- 2x+2} 2

1

Cada una por sí misma es función, pero agrupadas, es decir, considerándolas todas a la vez, no lo son, pues para cada valor de la variable, corresponden 4 valores dife-rentes. Por ejemplo a x=-2, corresponde y=2, y=4, y=8, y y=10. Sin embargo, a partir de ellas podemos construir lo que se llama una función compuesta formada por varias expresiones algebraicas. Para esto, es necesario dividir el eje x en intervalos consecutivos, por ejemplo:

6 y

2 -2

2 4

-4 4

8 10

6 8 10 12 14 -6

-8 -10 -12 -14

-2 -4

f(x)= - x + 6 f(x)=x2 _{- 2x+2}

f(x)=x2 _{- 4x}

f(x)= x + 31₂

6 y

2 -2

2 4

-4 4

8 10

6 8 10 12 14 -6

-8 -10 -12 -14

-2 -4

45

3. Dada la función anterior calcula su dominio y rango

4. Una pila con una capacidad de 150 L se llena con una llave cuyo gasto es de 5 L por minuto. Pasados 12 minutos, se abre otra llave de flujo igual. Grafica la relación existente entre el tiempo que pasa y la cantidad de agua que contiene la pila, encuen-tra su ecuación, establece su dominio y conencuen-tradominio.

En (∞.-4] hacemos válida

En (-4,-1) hacemos válida

En [-1,3] hacemos válida

En (3,∞) hacemos válida

f(x)= x + 3

f(x)=x2 _{- 2x+2}

f(x)=-x2 _{- 4x}

f(x)=-x+6 2 1

En cada intervalo “borramos” las gráficas no validas y dejamos sólo el trazo de una, esto garantiza que a cada valor de x, sólo corresponderá uno de y.

Es importante analizar qué pasa con los límites de los intervalos, es decir, con x=-4, x=-1 y x=3. Podemos observar que en x=-4 es válida la función y para evaluar sustituimos f(-4) = ½(-4)+3=1 y el punto queda definido como (-4,1). Sabemos que a cada valor de la variable debe corresponderle sólo uno de la fun-ción, en (-4,0), representamos un espacio vacío con un hueco como se muestra en la ilustración de la derecha:

La expresión algebraica de esta función se representa por:

x + 3, si x ≤- 4

- x2 _{- 4x, si - -4<x< - 1}

x2 _{- 2x+2, si - - 1≤x≤3}

- x+6, si - x>3 2 1 f(x)= 6 y 2 -2 2 4 -4 4 8 10

6 8 10 12 -6 -8 -10 -12 -2 -4

f(x)= - x - 6

f(x)=x2 _{- 2x+2} f(x)=- x2 _{- 4x}

f(x)= ₂1 x + 3

6 y 2 -2 2 4 -4 4 8 10

6 8 10 12 -6 -8 -10 -12 -2 -4

f(x)= - x - 6

f(x)=x2 _{- 2x+2}

f(x)=- x2 _{- 4x}

46

FUNCIÓN ESCALÓN

Es una función compuesta por funciones constantes, ana-liza el siguiente ejemplo:

En el sistema EMSaD, las calificaciones finales aprobato-rias se obtienen de la siguiente manera: si el alumno ob-tuvo una calificación igual o mayor a 6 y menor que 6.5, su calificación se redondea a 6, si obtuvo una calificación igual o mayor a 6.5 y menor que 7.5, su calificación se redondea a 7, y así sucesivamente.

Grafica la relación existente entre la calificación real y la que se reporta en su boleta de calificaciones.

1.2.4. Transformación de gráficas de funciones

Una función expresada en su forma gráfica, pue-de ser transformada modificando su posición en el plano cartesiano, haciendo translaciones o reflexiones respecto a algún eje. Estos cambios generan modificaciones también en la ecuación y tabulador. Para analizar esto, tomemos como base la siguiente función:f(x)=x2_-2x+3

6

2 4

0 0

2 4 6 8 10 8

10 y

0 12 15

2 10

-2 y

4 6 -4

-6 0

2 4 6 8 14

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 11

47

Si trasladamos cada uno de los puntos de la gráfica 2 unidades hacia arriba, obser-vamos que el valor de la abscisa en cada uno no se modifica, por ejemplo: el punto (2,3) queda ubicado en (2,5).

Analiza el tabulador y observa la gráfica:

x y -2 11+2 -1 6+2 0 3+2 1 2+2 2 3+2 3 6+2 4 11+2 0 12 15 2 10 -2 y 4 6 -4 -6 0 2 4 6 8 14 y=x2 _{- 2x+5}

y=x2 _{- 2x+3}

Ahora bien, para encontrar la ecuación de la nueva gráfica, también es necesario ha-cer la misma operación (sumarle dos unidades)

f(x)=x2_-2x+3 h(x)=x2_-2x+3+2 h(x)=x2_-2x+5

Actividades:

1. Describe cómo puedes lograr una translación hacia abajo.

2. Construye un tabulador de la función f(x)=-3x+1 y grafica. Después traslada la grá-fica hacia abajo 3 unidades, construye un nue-vo tabulador. Y obtén la ecuación de la nueva curva.

3. Calcula la ecuación de las curvas representa-das en la gráfica de la derecha y que han sido trasladadas a partir de la original que se ubica enmedio de las otras dos.

0 12 2 10 -2 y 4 6 -4 -6 0 2 4 6 8 14 -2 -4

En resumen: Si se supone que c es un número real positivo. Los desplazamientos verticales de la gráfica y=f(x) se expresan como sigue:

-Desplazamiento vertical de c unidades hacia arriba h(x) = f(x)+c -Desplazamiento vertical de c unidades hacia abajo h(x) = f(x) - c

48

TRANSLACIONES HORIZONTALES

Tomemos nuevamente la función f(x)=x2_{-2x+3 y traslademos su gráfica 2 unidades a} la izquierda. Completa el tabulador y traza la nueva gráfica:

0 12 15

2 10

-2 y

4 6 -4

-6 0

2 4 6 8 14

x y

Para obtener la ecuación de la nueva gráfica consideremos la siguiente regla:

-Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la izquierda h(x) = f(x+c) -Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la derecha h(x) = f(x - c)

Larson, Roland E., y Robert P. Hostetler. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996.

Para calcular la ecuación de la nueva gráfica tomamos c = 2 y h(x) = f(x+c) f(x)=x2_-2x+3

h(x)= (x+2)2_-2(x+2)+3

h(x)= x2 _{+ 4x + 4 - 2x – 4 + 3} h(x)= x2 _{+ 2x + 3}

4. Realiza una transformación de esta misma función, 3 unidades a la derecha hacia la derecha. Obtén la ecuación correspondiente.

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funciona como un espejo, observa la figura, la línea recta es el eje de re-flexión de la figura. A cada punto del lado izquierdo, corresponde uno del lado derecho, por ejemplo: al punto A corresponde el punto A’, ambos pun-tos tienen la misma distancia al eje de reflexión.

Es posible realizar este tipo de transformación a la gráfica de una función, reflexionando respecto a un eje, por ejemplo el eje x. Vea-mos el caso de la siguiente función f(x)=x2 - 6x+10.

Para cada punto de la gráfica de la función, hagamos corresponder otro que esté a la misma distancia del eje x. Recuerda que la distancia entre un punto y una recta es la me-dida del segmento perpendicular a la recta, así, la distancia del punto (3,1) de la gráfica al eje x es igual a 1, si medimos esta distancia en sentido opuesto, llegamos al punto (3,-1). Si continuamos con el proceso de obtener la reflexión de todos los puntos de la gráfica obtenemos la gráfica que aparece abajo a la izquierda. 0 12 2 10 -2 y 4 6 -4 -6 0 2 4 6 8 14 5 0 10 15 5 ₁₀ -5 y 0 -5 -10 -15

5. Construye ahora un tabulador para cada gráfica y compara las diferencias y similitu-des.

Para f(x)=x2_-6x+10.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 x y -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x y