Ejercicios Cuerpos geomet 1

(1)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 186

En la Casa de la Cultura se ha montado una exposición fotográfica.

En ella se recogen modernos edificios en los que los poliedros y los

cuerpos de revolución han sido elevados a la categoría de arte.

1

_{Indica, en la ilustración, dos edificios que sean poliedros y tengan formas}

di-ferentes.

Pág. 1

(2)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2

_{Busca, también, algunos cuerpos de revolución y dibuja las formas planas}

que los engendran al girar alrededor del correspondiente eje.

Pág. 2

Pirámide

(3)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3

_{Señala una edificación que no sea poliédrica ni de revolución e indica por qué}

no lo es.

Este cuerpo no es un poliedro porque parte de su superficie no es plana.

Tampoco es un cuerpo de revolución, porque no tiene un eje de giro cuyas sec-ciones perpendiculares sean círculos.

(4)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 187

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1

_{¿Cuáles de las siguientes figuras son poliedros?:}

Di cuántas caras, vértices y aristas tiene cada uno de ellos.

Son poliedros A, B, E, F y G.

A B E F G

V 8 6 V 8 14 V 8 8 V 8 7 V 8 12 C 8 5 C 8 12 C 8 6 C 8 7 C 8 8 A 8 9 A 8 24 A 8 12 A 8 12 A 8 18

2

_{¿Cuáles de las figuras del ejercicio anterior son cuerpos de revolución? En cada}

caso, dibuja la figura plana que lo genera y señala su eje de giro.

C y D son cuerpos de revolución.

C D

e e

E A

F

B C

G

D

H

(5)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 188

1

_{Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes.}

Indica cuáles son regulares.

Dibuja el desarrollo del primero de ellos.

a) Triangular, regular.

b) Cuadrangular, no regular.

c) Pentagonal, no regular.

d) Hexagonal, regular.

PÁGINA 189

2

Las bases de un prisma recto son trapecios rectángulos cuyos lados miden: sus bases, 11 cm y 16 cm; su altura, 12 cm. La altura del prisma mide 20 cm. Halla su área total.

8 Su área total es de 1 364 cm2

3

_{Halla el área total de un cubo de 10 cm de arista.}

Cada cara A= 100 cm2, A_T= 600 cm2.

4

_{Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total y la}

longitud de la diagonal.

d'= 5 cm

A_T= 2(4 · 3 + 4 · 12 + 3 · 12) = 192 cm2

d= 13 cm

5 cm 3 cm

4 cm 12 cm d

d'

16 cm 11 cm 12 cm

20 cm

d

° ¢ £

A_l= 1 040 cm2 A_b= 162 cm2

a) b) c) d)

(6)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

5

_{La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 12 cm. La diagonal del}

ortoedro mide 17 cm. Calcula la medida de la altura del ortoedro y su área total.

d'= 15 cm

d= 8

La altura es 8 cm.

A_T= 2(9 · 12 + 9 · 8 + 8 · 12) = 552 cm2

PÁGINA 191

1

_{Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 10 cm}

de lado y cuya altura es de 12 cm.

a'= 5

a= 13

A_T= 100 + = 360 cm2

2

_{La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm}

de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 26,4 dm. Halla su área total.

a= 28,6 dm

A_T= + = 1 584 dm2

PÁGINA 192

1

_{Halla el área lateral de un tronco de pirámide}

he-xagonal regular cuyas dimensiones son las del di-bujo.

a= 40

A_LAT= · 40 = 6 960 cm2 20 cm

41 cm a 6 · 20 + 6 · 38

2

38 cm 20 cm

41 cm

80 · 28,6 2 80 · 11

2

10 cm

12 cm

40 · 13 2

9 cm 15 cm

12 cm

17 cm d

d'

(7)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2

_{Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y altura 12 cm es}

cor-tada por un plano a mitad de su altura. Halla el área total del tronco de pirá-mide resultante.

Son triángulos semejantes.

= = 2 8 a= 2,5

= = 0,5 8 b= 6,5

A_b

1= 25 cm 2

A_b

2= 100 cm 2

A_LAT= · 61 = 180 cm2

A_T= 25 + 100 + 180 = 305 cm2

PÁGINA 193

1

Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justifica por qué no se puede construir un poliedro en los siguientes casos:

a) Coincidiendo 6 triángulos equiláteros en cada vértice. b) Coincidiendo 4 cuadrados en cada vértice.

c) Coincidiendo 4 pentágonos regulares en cada vértice.

d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados.

a) Sumarían 360° y eso es plano, no se puede torcer. b) También suman 360° y es plano.

c) Miden 432° y eso es más que un plano. Se superpondrían.

d) Con tres hexágonos suman 360°: es un plano y con solo 2 no se puede formar. Los poliedros regulares de más lados tienen ángulos mayores de 360° y, por tan-to, no podemos, puesto que se superpondrían.

20 + 40 2 6 12 b 13 12 6 5 a

5 cm 2,5 cm

(8)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 194

1

_{Dibuja en tu cuaderno los cilindros que se generan al hacer}

gi-rar este rectángulo:

a) Alrededor de CD.

b) Alrededor de BD.

a) b)

2

¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico ce-rrado de 0,6 m de radio de la base y 1,8 m de altura?

2 · π· 0,6 · 1,8 + 2 · π· 0,62_{= 2,16}_π_{+ 0,72}_π_{= 9,0432 m}2_{de chapa.}

3

_{Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe}

circu-lar abierto por arriba. El radio de su base mide 4 m, y la altura, 5 m. Si cuesta 18 €impermeabilizar 1 m2, ¿cuál es el coste de toda la obra?

A_ALJIBE= 2π· 4 · 5 + π· 16 = 56π= 175,84 m2 Costará 175,84 m2_{· 18}_€_/m2_{= 3 165,12}_€_.

4

_{Dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio y cuya}

al-tura es de 8 cm.

5

_{Toma medidas y decide cuál}

de los siguientes desarrollos corresponde a un cilindro.

El primero.

12,56 cm 2 cm

8 cm

A B

C D

(9)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 195

1

_{Calcula el área lateral y el área total de este cono, sabiendo}

que:

ON—= 13 cm, MN—= 85 cm

A_LAT= π· 13 · 85 = 3 469,7 cm2 A_T= 3 469,7 + 530,66 = 4 000,36 cm2

2

_{Dibuja los conos que se obtienen al hacer girar este triángulo rectángulo:}

a) Alrededor de AC. b) Alrededor de BC.

Halla el área total de ambos.

A_LAT= 30 · π· 34 = 3 202,8 cm2 A_LAT= 16 · π· 34 = 1 708,16 cm2 A_T= 3 202,8 + 2 826 = 6 028,8 cm2 A_T= 1 708,16 + 803,84 = 2 512 cm2

PÁGINA 196

1

_{El cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es}

corta-do por un plano perpendicular a su eje que pasa a 4 cm de la base.

Halla las dimensiones, el área lateral y el área total del tronco de cono que se forma.

= 8 r'= 9

= 8 g'= 15

A_LAT= 12 · π· 20 – 9 · π· 15 = 329,7 cm2 A_LAT

+ Binf= 329,9 +π· 122= 781,86 cm2

A_T= 781,86 + π· 92= 1 036,2 cm2

12 cm

5 cm g = 20 cm

(10)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2

_{Halla la superficie de una flanera abierta por arriba, con las siguientes}

medi-das: radio de las bases, 10 cm y 15 cm; generatriz, 13 cm.

= 8 g= 26

A_LAT= 15 · π· 39 – 10 · π· 26 = 1 020,5 cm2

A_T= 1 020,5 + π· 102_{= 1 334,5 cm}2

PÁGINA 197

3

En nuestro jardín tenemos 32 macetones con forma de tronco de cono. Los ra-dios de sus bases miden 14 cm y 20 cm, respectivamente, y su generatriz, 38 cm. Calcula cuánto cuesta pintarlos (solo la parte lateral) a razón de 40 €cada me-tro cuadrado de pintura y mano de obra.

A_LAT= π· (14 + 20) · 38 = 4 056,88 cm2

A_{LAT TODOS}= 4 056,88 · 32 = 129 820,16 cm2= 12,982016 m2›13 m2 Costará aproximadamente 520 €.

4

_{Considera un tronco de cono cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm, y}

cuya altura es de 12 cm. a) Halla su generatriz.

b) Halla el área lateral de la figura. c) Halla el área total de la figura.

a)g= = 13

b)A = π(r+r') · g= 1 591,98 cm2

√122+ 52

22 cm

g = 13 cm

12 cm 17 cm

5 cm 15 cm

g = 26 cm

12 cm 24 cm

13 cm

10 cm

13 + g 15 g

10

(11)

9

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 198

1

_{Una esfera de 5 cm de radio es cortada por un plano que pasa a 3 cm de su}

cen-tro. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que determina?

= 4 cm de radio.

2

Se sabe que al cortar una esfera con un plano que dista 3 cm de su centro, se ge-nera una circunferencia plana de 4 cm de radio. ¿Cuánto mide el radio de la es-fera?

= 5 cm mide el radio de la esfera.

PÁGINA 199

3

_{En una esfera terrestre escolar de 20 cm de radio están señaladas las zonas}

cli-máticas. Sabemos que cada casquete polar tiene 2 cm de altura, y cada zona templada, 10 cm de altura. Halla la superficie de cada zona climática.

Zonas polares 8 20 · 2 · 2 · π· 2 = 502,4 cm2 Zonas templadas 8 2 · 2 · π· 20 · 10 = 2 512 cm2

Zona cálida 8 2 · 8 · π· 20 = 1 004,8 cm2

POLAR

TEMPLADA

CÁLIDA

TEMPLADA

POLAR

√32+ 42

√52– 32