Una de las áreas evaluadas en el examen de admisión que aplica la Universidad Nacional de Colombia para ingreso a programas académicos de pregrado es la de matemáticas. Esta área se evalúa a través de los siguientes cuatro componentes:
• Pensamiento numérico
• Pensamiento espacial y métrico • Pensamiento aleatorio
• Pensamiento variacional
El propósito de este curso de nivelación de matemáticas es contextualizar
conceptualmente al aspirante en las principales temáticas del área de matemáticas que se evalúan transversalmente en los componentes antes enunciados, aunque está diseñado para nivelar en el área de matemáticas a cualquier estudiante que inicia sus estudios universitarios a nivel tecnológico y profesional.
Este material fue desarrollado por los siguientes docentes de Ciencias Básicas vinculados a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, a quienes les pertenece la
propiedad intelectual del siguiente documento: • Jorge Adelmo Hernández Pardo • Juan N. Zambrano Caviedes • Rodrigo Rincón Zarta
• Pablo Andrés Acosta Solarte • Iván Darío Zuluaga
• Carmen Leonor Pulido Segura
Este material tiene propósitos exclusivamente académicos y por ningún motivo puede ser utilizado con fines comerciales.
Blog de la Nacho
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Introducci´on VII
1. Conjuntos Num´ericos 1
1.1. N´umeros Naturales . . . 1
1.2. N´umeros enteros . . . 6
1.3. N´umeros Racionales. . . 6
1.4. N´umeros Reales . . . 10
1.5. Ejercicios . . . 10
2. Radicales y Logaritmos 15 2.1. Potenciaci´on y Radicaci´on . . . 15
2.2. Ejercicios . . . 19
2.3. Logaritmos: . . . 21
2.4. Ejercicios: . . . 24
3. Factorizaci´on 27 3.1. Expresiones Algebraicas . . . 27
3.1.1. Multiplicaci´on de monomios . . . 28
3.1.2. Multiplicaci´on de un monomio por un binomio . . . 28
3.2. Noci´on de Factor. . . 29
3.3. Factorizaci´on . . . 31
3.4. Casos de Factorizaci´on . . . 31
3.4.1. Factor com´un en los t´erminos de un polinomio . . . 31
3.4.2. Factor com´un por agrupaci´on de t´erminos . . . 33
3.4.3. Trinomio cuadrado perfecto . . . 34
3.4.4. Diferencia de cuadrados . . . 35
3.4.5. Trinomio cuadrado perfecto por adici´on y sustracci´on . 36 3.4.6. Trinomio de la forma x2−bx+c . . . 37
iv ´INDICE GENERAL
3.4.7. Trinomio de la forma ax2 +bx+c . . . 39
3.4.8. Diferencia de cubos . . . 40
3.4.9. Suma de cubos . . . 41
4. Fracciones algebraicas 43 4.1. Fracciones algebraicas . . . 43
4.2. Suma de fracciones algebraicas . . . 44
5. Ecuaciones 47 5.1. Algunos tipos de ecuaciones . . . 47
5.1.1. Ecuaci´on Lineal . . . 47
5.1.2. Ecuaci´on lineal con una incognita . . . 47
5.1.3. Ecuaci´on Cuadratica . . . 48
5.1.4. ¿Qu´e es la soluci´on de una ecuaci´on? . . . 48
5.1.5. ¿C´omo resolver una ecuaci´on con una inc´ognita? . . . . 49
5.1.6. Sistemas de ecuaciones 2×2 . . . 50
5.1.7. Soluci´on de un sistema de ecuaciones 2×2 . . . 51
5.2. Ejercicios . . . 54
5.3. Ecuaciones de Orden Superior . . . 56
6. Soluci´on de problemas 59 6.1. Introducci´on . . . 59
6.2. Estrategia para resolver problemas . . . 60
6.3. Ejercicios . . . 65
7. Matem´atica Recreativa 69
Conjuntos Num´
ericos
1.1.
N´
umeros Naturales
El conjunto de n´umeros naturales N es aquel que nos sirve para contar.
N={0,1,2,3,4, ...}
Propiedades de los n´umeros naturales.
1. Todo n´umero natural n tiene un siguiente n+ 1
2. El n´umero natural cero 0 no es siguiente de ning´un otro.
El conjunto de los n´umeros naturales tiene dos subconjuntos propios
1. Los n´umeros pares P son aquellos n´umeros naturales que tienen la forma 2n,
P ={2n|n ∈N}={0,2,4,6, ....}
2. Los n´umeros impares I son aquellos n´umeros naturales que tienen la forma 2n+ 1,o, 2n−1,
I ={2n+ 1 : n ∈N}={1,3,5,7, ...}
I ={2n−1 : n∈N− {0}}={1,3,5,7, ...}
Ejercicio 1.1. Pruebe cada una de las siguientes observaciones.
1. La suma de dos n´umeros pares es un n´umero par
2 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS NUM´ERICOS
2. La suma de dos n´umeros impares es un n´umero par
3. La suma de un n´umero par con un n´umero impar es un n´umero impar
4. El producto de dos n´umeros pares es un n´umero par
5. El producto de dos n´umeros impares es un n´umero impar
6. El producto de un n´umero par con un n´umero impar es un n´umero par
7. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera
a) Si a2 es par, entonces a es par
b) Si b2 es impar, entonces b es impar
c) n(n+ 1) es par
d) n(n+ 1)(n+ 2) es par
Divisibilidad
Si a y b son dos n´umeros naturales y a no es cero (a = 0), afirmamos que a divide a b o que b es divisible por a y se escribe a | b, si existe un n´umero naturalcde tal forma que b=a×c. Si a divide abse puede afirmar tambi´en que b es un m´ultiplo de a o que a es un factor deb
Ejemplo 1.1. 2divide a6,(2|6),puesto que6 = 2×35divide a30, (5|30),
puesto que 30 = 5×6
Ejercicio 1.2. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera.
1. n(n+ 1)(n+ 2) es divisible por 3
2. n(n+ 1)(n+ 2)es m´ultiplo de 6
3. n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) es m´ultiplo de 4
4. Si n es divisible por 6 entonces n es divisible por 2.
5. Si m es divisible por 2 entonces, m es divisible por 4.
7. Demuestre que 4 es un factor den4−n2+ 4 8. Demuestre que 2 es un factor den2+n+ 6 9. Demuestre que 6 es un factor de 7n−1
Definici´on 1.1. N´umeros primos
Un n´umero natural pmayor que el n´umero 1 es un n´umero primo si sus ´
unicos divisores son 1 y el mismo numerop. Los primeros 20 n´umeros primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, y 71
Ejercicio 1.3. Use un m´etodo apropiado para calcular los siguientes 10 n´umeros primos
Teorema 1.1. Teorema fundamental de la aritm´etica
Todo n´umero natural n es primo o se puede descomponer como producto de factores primos
Ejercicio 1.4. Descomponer en factores primos cada uno de los siguientes n´umeros naturales:
34, 246, 215, 425, 625, 1248 y 2310
Definici´on 1.2. M´aximo Com´un DivisorEl m´aximo com´un Divisor de los n´umeros naturalesaybque se escribeM.C.D(a, b)es, como su nombre lo indica, el divisor com´un de a y b m´as grande, es decir, que si divarepresenta los divisores de a y divb representa los divisores de b entonces
M.C.D(a, b) =max(diva∩divb)
Ejemplo 1.2. Calcular M.C.D (20,28)
div20 = {1,2,4,5,10,20}, div28 = {1,2,4,7,14,28} y div20∩div28 = {1,2,4},por tanto,
max{1,2,4}= 4
4 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS NUM´ERICOS
Ejemplo 1.3. Calcular el MCD(16,24,56)
16 = 24 24 = 233 56 = 237 luegoMCD(16,24,56) = 23 = 8
Ejercicio 1.5. Calcule el MCD de cada lista de n´umeros naturales
1. 24,56 y 30
2. 12,24 y 36
3. 15,17,24 y 45
4. 23,18,35,12 y 52
5. 24,48,72,96 y 120
Otra forma de calcular elMCDde dos n´umeros es por divisiones sucesivas (por el algoritmo de Euclides o algoritmo de la divisi´on) que dice:
Sinymson n´umeros naturales conm < n(mmenor quen)(para este ca-son ser´a dividendo ymser´a divisor), existen n´umeros naturalesk (cociente) y r (residuo) tales que:
n =km+r, 0≤r < m
El algoritmo de c´alculo es el siguiente:
Se divide el n´umero mayor entre el n´umero menor para obtener un cociente k y un residuo r
Si el residuo r es igual a cero entonces el MCD de los dos n´umeros es el menor
Si el residuorno es cero se divide el divisor entre el residuo para obtener un cocientek1 y un residuo r1
Si el residuo r1 es igual a cero el MCD de los dos n´umeros es el
cociente k.
Si el residuo r1 no es cero se divide el cociente k1 entre el residuo r1
Si el residuo r2 es cero entonces el MCDes el cociente k1
si el residuo r2 no es cero se continua este proceso hasta obtener un
residuornigual a cero esto siempre ser´a posible ( justif´ıquelo) y en este caso el MCD es el pen´ultimo residuo es decir rn−1
Ejemplo 1.4. Use divisiones sucesivas para calcular MCD (56,35)
56 = 35×1 + 11 35 = 11×3 + 2 11 = 2×5 + 1 2 = 1×2 + 0
luego MCD (56,35) = 1
Ejercicio 1.6. Encuentre por divisiones sucesivas el MCD de cada par de n´umeros en cada caso.
1. 36 y 48
2. 24 y 36
3. 56 y 72
4. 50 y 108
5. 64 y 128
Definici´on 1.3. M´ınimo Com´un M´ultiploEl m´ınimo com´un M´ultiplo (mcm )de dos o m´as n´umeros es, como su nombre lo indica, el m´ultiplo com´un m´as peque˜no.
Ejemplo 1.5. El mcm(12,16) = m´ın(mul12∩mul16)
mul12 ={12,24,36,48,60,72, ...}
mul16 ={16,32,48,64,80,96, ...}
mul12∩mul16 ={48,96, ....}
min{48,96, ....}= 48
Otra forma de calcular elmcmde dos o m´as n´umeros es descomponer en factores primos cada uno de los n´umeros dados y a continuaci´on seleccionar los factores comunes (repetidos) y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo 1.6. Calcular el mcm(16,24,56)
16 = 2424 = 23356 = 237 luegomcm(16,24,56) = 24×3×7 = 336 Existe una relaci´on muy estrecha entre el mcm y el MCD y es la sigu-iente:
(a, b) = ab
6 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS NUM´ERICOS
1.2.
N´
umeros enteros
La ecuaci´on n+ 8 = 6 no tiene soluci´on en los n´umeros naturales, es decir, no existe un n´umero naturalnque sumado con 8 nos de como resultado el n´umero 6, para solucionar ecuaciones de este tipo debemos extender el conjunto de n´umeros naturales.
Los numeros enteros,Z, est´an definidos como los n´umeros naturales junto con sus opuestos, es decir
Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, ...}
El opuesto de un n´umero entero n es el numero entero −n, el opuesto del opuesto de un numero entero es el n´umero entero inicial es decir−(−n) =n.
Ejemplo 1.7. El opuesto de −2 es −(−2) = 2, el opuesto de 8 es −8, el opuesto de −12 es 12.
Ejercicio 1.7. Si a=-2, b=3, c= -5 d=4. Calcular el valor n´umerico de cada expresi´on.
1. 3a−2b+d
2. (a+b)(c−d)
3. (a+b)2 4. a2+ 2ab+b2
5. (a−d)(a+d)
6. a2−d2 7. a3+c3
8. (a+c)(a2−ac+c2)
9. (a−b)(d+c)
10. (a+b+c+d)2 11. a2+b2+c2+d2+
2ab+ 2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd+ 2cd.
1.3.
N´
umeros Racionales.
Consideremos las siguientes situaciones:
La ecuaci´on 5q = −18 no tiene soluci´on en los n´umeros enteros es decir no existe un n´umero entero q de tal forma que multiplicado por 5 nos de como resultado el n´umero entero -18.
El 32 % de los profesores que trabajan en nuestra facultad son profesores de planta. Si en la actualidad hay 128 profesores de planta. ¿ Cu´antos profesores hay en la actualidad ?
En una granja agr´ıcola tres de cada 5 hect´areas est´an cultivadas en fresa, de la parte restante, dos de cada tres hect´areas est´an cultivadas en tomate de ´arbol. ¿Cu´antas hect´areas est´an cultivadas en tomate de ´
arbol si la granja tiene una extensi´on total de 20 hect´areas?.
Cada una de estas situaciones nos obligan a considerar un conjunto num´ eri-co mucho m´as amplio que el de los n´umeros enteros. El conjunto num´erico que nos permitir´a modelar y solucionar estas situaciones es el conjunto de n´umeros racionales, que denotamos con Q, cuya definici´on es la siguiente.
Q=
p
q | p, q∈Z;q= 0, MCD(a, b) = 1
Oservemos que cada uno de los siguientes n´umeros es racional: 3
4,
−2 5 ,
3
−7,
−3
−5 =
3 5,
5 1 = 5,
de la ´ultima igualdad podemos afirmar que todo n´umero entero es racional pues cualquier n´umero entero n se puede escribir como f racn1 (n = n1).
Propiedades de los n´umeros racionales
1. Entre dos n´umeros racionales, hay al menos un n´umero racional (basta considerar el promedio).
2. Entre dos n´umeros racionales hay infinitos n´umeros racionales.
3. Dado cualquier n´umero racional, no existe el n´umero racional que est´e a continuaci´on
N´umeros decimales
Los n´umeros decimales son aquellos racionales cuyo denominador es una potencia de diez es decir de la forma 10n, n ∈N.
Ejemplo 1.8. Los siguientes son n´umeros decimales:
2
10 = 0,2,
325
8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS NUM´ERICOS
Todo n´umero racional se puede aproximar por medio de un n´umero deci-mal.
Ejercicio 1.8. Encuentre una aproximaci´on decimal de cada uno de los si-guientes n´umeros racionales y ordene de menor a mayor
3 2, 7 8, 13 18, −23 56 , 5 2, 7 3, −20 17 , 52 35, −45 12 y −7 9 .
Proposici´on 1.2. Todo n´umero racional tiene escritura decimal finita o in-finita peri´odica.
Para encontrar la escritura decimal de un n´umero racional basta con hacer la division, es decir, dividir el numerador entre el denominador.
Ejercicio 1.9. Encuentre la escritura decimal finita o infinita peri´odica de cada n´umero racional:
2 3, 5 6, −3 4 , 18 13, −12 5 , 4 7, −3 2 , 5 12, 7 8, −12 7
Escritura racional de un n´umero decimal
Para encontrar el n´umero racional equivalente a un n´umero decimal in-finito per´ıodico se procede de la siguiente forma:
Si el periodo del n´umero decimal inicia inmediatamente despu´es de la coma, se multiplica el n´umero decimal por una potencia de diez cuyo exponente sea igual al n´umero de d´ıgitos que tenga el periodo del n´umero original, luego se hace la resta, y se despeja la variable.
Ejemplo 1.9. Convertir a racional el n´umero x= 0,125125125125...
En este caso el periodo del n´umero decimal infinito tiene tres d´ıgitos, luego multiplicamos el n´umerox por 103
103x= 125,125125125... restando se obtiene:
es decir que 999x= 125 luego:
x= 125 999
Si el periodo del n´umero decimal no inicia inmediatamente despu´es de la coma. Primero se multiplica el n´umero dado x por una potencia de 10 con exponente igual al n´umero de d´ıgitos que haya hasta iniciar el per´ıodo. Luego se e multiplica el n´umero dado x por una potencia de 10 con exponente igual al n´umero de d´ıgitos que haya antes de empezar el periodo m´as el n´umero de d´ıgitos que tenga el periodo. Finalmente se hace la resta y se despeja la variable.
Ejemplo 1.10. Convertir a racional el n´umerox= 0,32405405405405...
102x= 32,405405405405 105x= 32405,405405405 restando se tiene que,
105x−102x= 32405,405405405−32,405405405405 = 32373 luego:
99900x= 32373
es decir,
x= 32373 99900
10 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS NUM´ERICOS
1. x= 0,121212121212121.
2. x= 0,245245245245245...
3. x= 2,3451231231213123123..
4. x= 0,312121212121212..
5. x= 4,123433333333333...
1.4.
N´
umeros Reales
La ecuaci´on x2−2 = 0 no tiene soluci´on en los n´umeros racionales, este inconveniente lo podemos sortear considerando el conjunto de los n´umeros reales, que denotamos conR. Este conjunto est´a compuesto de los n´umeros racionales junto con los irracionales. Los n´umeros irracionales se identifi-can como aquellos que tienen expresi´on decimal no peri´odica. Ejemplos de n´umeros irracionales son todas las ra´ıces cuadradas de n´umeros que no sean cuadrados perfectos es decir de n´umeros r de tal forma que r = k2 para todo k entero, √2,√3,√5,√7, ....Tambi´en son n´umeros reales los n´umeros
π, e, π2.
Ejercicio 1.11. Sean a = √2, b = -2√6. Hallar el valor num´erico de cada una de las siguientes expresiones:
a2, 2a3, b2, −3b, ab, (a+b)2
1.5.
Ejercicios
1. Encuentre dos n´umeros naturales uno par y uno impar cuya suma sea 543 y cuya diferencia sea 5.
2. Encuentre dos n´umeros naturales impares cuya suma sea 1026 y cuya diferencia sea 8.
3. Encuentre dos n´umeros pares cuya suma sea 1026 y cuya diferencia sea 8.
4. Encuentre dos n´umeros impares cuya suma sea 215 y cuyo producto sea 3015.
a) ¿Cu´al es el rect´angulo de menor per´ımetro?
b) ¿Cu´al es el rect´angulo de mayor per´ımetro?
6. Encuentre el lado y la altura de un tri´angulo equil´atero cuya ´area sea 64 m2 (el lado y la altura deben ser enteros positivos)
a) ¿Cu´al es el tri´angulo de menor per´ımetro?
b) ¿Cu´al es el tri´angulo de mayor per´ımetro?
Enteros modulo 3.Cuando se tiene un entero positivo cualquiera y ´
este se divide entre 3, se obtiene una de las siguientes tres clases de n´umeros: aquellos cuyo residuo es cero, esos n´umeros son de la forma 3n; aquellos cuyo residuo es 1, esos n´umeros son de la forma 3m+ 1 y aquellos cuyo residuo es 2, estos son de la forma 3k+ 2.
7. Encuentre 2 n´umeros enteros modulo 3 cuya suma sea 524 y cuya difer-encia sea 21.
8. Encuentre 2 n´umeros enteros modulo 3 cuya suma sea 524 y cuya difer-encia sea 25.
9. Encuentre 2 n´umeros enteros modulo 3 cuya suma sea 625 y cuya difer-encia sea 72.
10. Encuentre 2 n´umeros enteros modulo 3 cuya suma sea 625 y cuya difer-encia sea 31.
11. ¿Cu´al es la menor distancia que se puede medir exactamente con dos cuerdas: una que tiene 40 cm. de largo y la otra 50 cm.?
12. ¿Cu´al es la mayor longitud que debe tener una cuerda para que se puedan medir longitudes de 320 cm y 280 cm.?
12 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS NUM´ERICOS
14. En un vel´odromo dos ciclistas parten simult´aneamente, pero mientras uno de ellos da una vuelta el otro da 7/8 de vuelta. ¿Cada cu´antas vueltas pasar´an iguales por el punto de partida?. Si la carrera es a 250 vueltas, ¿cu´antas veces se encontratr´an en el punto de partida?
15. Encuentre n´umeros racionales a, by c tales que :
a = 1−d−1
b = 5a−3c
c = b−1+d sid= 34. Adem´as calcule:
a) 1
a +
2
b
b) (a−b) (a+b)
c) a+b
b−c
d) (a+b)−1(c−d)
e) a−c
b−d
f) 3a−2b
16. Un estudiante universitario de la jornada diurna invierte mensualmente
1
3 de salario mensual en la cuota para el pago de la matr´ıcula, 15 de su
salario para el pago de su arriendo, 16 en comida, si a´un le quedan $200000 para el pago del transporte y sus gastos personales. ¿Cu´al es el salario mensual de dicho estudiante?
17. Encuentre 5 n´umeros racionales entre 15 y 14.
18. El estudiante Pedro Palo tom´o el primer semestre de 2009 las siguientes materias: C´alculo diferencial (4 cr´editos), elementos de ´algebra lineal (3 cr´editos), l´ogica computacional (3 cr´editos) y algoritmos (4 cr´editos). Si sus calificaciones fueron 35, 40,30 y 35 respectivamente. ¿Cu´al fue el promedio de Pedro? ¿Cu´al fue el promedio ponderado del se˜nor Palo?
20. El presupuesto de Colombia para el a˜no 2010 es de 1,44×1014. Si los gastos en defensa ascienden a 101 del presupuesto nacional, el servicio de la deuda y el pago de obligaciones (cuotas vencidas) ascienden a
1
3 del presupuesto total. ¿Cu´al es el monto que se invierte en los otros
gastos de la naci´on?
21. Encuentre el n´umero decimal equivalente a :
a) 57
b) 2859
c) 3739
d) 34
e) −97 22. Encuentre la fracci´on equivalente a cada decimal
a) 0,34
b) 0,3666...
c) 0,45121121121...
d) −0,1520202020...
e) −0,312312...
23. Usando algunas propiedades de los enteros modulo 3 pruebe que √3 no es racional.
24. Encuentre enteros a y b de tal forma que 2−√53 =a+b√5. 25. Un caracol inicialmente est´a en el fondo de un estanque que tiene 3
metros de profundidad, asciende 30 cm.en la noche, pero en el d´ıa por efecto del sol desciende 20 cm. ¿Cu´antos d´ıas gastar´a dicho molusco para salirse del estanque?
26. La deuda externa colombiana es de aproximadamente US$4,0×1010. Si consideramos que el d´olar est´a a $2500 ¿Cu´antos salones de 6 m. de largo, 7 m. de ancho y 3mt.de alto ser´an necesarios para depositar dicho dinero? Considere que todos los billetes son de $20,000 y que cada billete mide 14 cm. de largo, 7 cm. de ancho y 0,1 mm. de espesor.
Cap´ıtulo 2
Radicales y Logaritmos
2.1.
Potenciaci´
on y Radicaci´
on
Cuando realizamos operaciones con n´umeros naturales, por ejemplo una suma, en donde el n´umero que se suma es el mismo varias veces, ej.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
6 veces el 2
,
para no escribir de manera extensa, simplemente escribimos
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
6 veces el 2
= 2×6,
es decir, el 2, aqu´el que estamos sumando y 6, el n´umero de veces que sumamos 2. Si ahora en lugar de sumar buscamos multiplicar:
2×2×2×2×2×2
6 veces el 2
,
entonces, al buscar una forma compacta de escribir esa expresi´on, lo hacemos como:
2×2×2×2×2×2
6 veces el 2
= 26.
Ahora, dado que en esta unidad se quiere centrar la atenci´on en estas expre-siones, a continuaci´on detallaremos algunos t´erminos usados con ellas:
2
6
ExponenteBase
Esta expresi´on se lee 2 elevado a la6. El resultado de la operaci´on, es decir, el resultado de multiplicar 6 veces 2 se llama potencia, y la operaci´on como tal se llamapotenciaci´on; en este caso la potencia es 64.
2
6
Exponente
Base
= 64
Potencia
2 elevado a la 6 es igual a 64. Se debe tener en cuenta que el n´umero de veces que se multiplica es el exponente y lo que estamos multiplicando es la base. A continuaci´on otros ejemplos:
3×3×3×3
4 veces el 3
= 34 = 81 4×4×4
3 veces el 4
= 43 = 64 (−5)×(−5)×(−5) = (−5)3 =−125 10×10×10×10×10×10×10 = 107 = 10000000 (−7)×(−7)×(−7)×(−7)×(−7)×(−7) = (−7)6 = 117649
2 3 × 2 3 × 2 3 × 2 3 = 2 3 4 = 16 81
114 = 11×11×11×11 = 14641 83 = 8×8×8 = 512 .
En los ejemplos anteriores puede notarse que no es lo mismo escribir, por ejemplo, 34 que 43.
2.1. POTENCIACI ´ON Y RADICACI ´ON 17
1. a0 = 1, cuando a= 0. Es decir, todo n´umero diferente de cero elevado al exponente 0 es igual a 1.
Ejemplo 2.1. 30 = 1, (−12)0 = 1,
5 3
0
= 1, −√30 = 1.
2. a−n =
1
a
n
, cuando a= 0.
Ejemplo 2.2.
3−4 =
1 3 4 = 1 81,
(−12)2 =
1 −12 2 = 1 144, 5 3 −3 = 1 5 3 3 = 3 5 3 = 27 125.
3. an·am =an+m. Ejemplo 2.3.
3−4·35= 3−4+5= 32 = 9, 23·22= 23+2= 25,
2 3 3 · 2 3 3 = 2 3 3+3 = 2 3 6 .
4. (an)m =an·m.
Ejemplo 2.4.
(3−2)3 = 3−2·3 = 3−6, (23)4 = 23·4 = 212,
⎡ ⎣ 7 8 2⎤ ⎦ 4 = 2 3
2·4
5. (a·b)n=an·bn.
Ejemplo 2.5.
(3·(−2))2 = 32·(−2)2 = 9·4 = 36, (4·7)4 = 44·74,
7 8·3
2 = 7 8 2
·32.
6. a b n = a n
bn.
Ejemplo 2.6.
−2
5
3
= (−2)
3
53 =
−8 125, 3 2 2 = 3 2
22,
√ 2 3 5 = ( √ 2)5 35 . 7. a
n
am =a n−m. Ejemplo 2.7.
54 52 = 5
4−2 = 52 = 25
,
73 75 = 7
3−5 = 7−2 = 1
49, 6 5 7 6 5 6 = 6 5
7−6
= 6 5.
2.2. EJERCICIOS 19
Ejemplo 2.8.
91/2 =√91 = 3, 82/3 =√382 = 22 = 4,
7 6
3/5
= 5 7 6 3 .
La ´ultima propiedad dice adem´as que toda ra´ız de un n´umero real se puede ver como una potencia, por tanto las propiedades anteriores de 1 a 7 se pueden aplicar tambi´en con ra´ıces, es decir, en radicales.
Ejemplo 2.9.
25−1/2 = 1 251/2 =
1
√
25= 1
5 (propiedad 2),
3
√
32√2 35 = 32/3·35/2 = 3(2/3)+(5/2) = 319/6 =√6 319 (propiedad 3), 3
5
√
72 =71/52/3 = 7(1/5)·(2/3) = 72/15= 15√72 (propiedad 4), 5
(5·4)2 =5 (5)2·(4)2 =√5 52·√542 (propiedad 5), 4
(8/4)3 =4 83/43 =√483/√443 (propiedad 6), 3
√
85
4
√
83 = 85/3
83/4 = 8
(5/3)−(3/4) = 811/12= 12√811 (propiedad 7),
2.2.
Ejercicios
1. Use las propiedades de los exponentes para escribir cada una de las
siguientes expresiones en la forma a
b, con a y b n´umeros enteros, o en
de manera simplificada.
a) −2 3 4 b) 2 −3
3−2
c) (−2)5 d) 2
−1+ 1
f)
3 2
4
−2−4
g) (23·34)−2(1/(23·33))−3 h)
4·52·6 53·62
5·52·6 2·64
i) (4·83/2)(2·81/2) j) (−6·77/5)(2·78/5)
k)
−8·103 9−6
2/3
l) √9·5−4·76 m) 3
2·124·134 9·12
n) √5·3·57√10·33·53
2. Complete los enunciados con = o con = para que la expresi´on sea cor-recta.
a) (ar)2 ar2
b) axby (ab)xy
c) n 1 c 1 n √ c
d) √a2+b2 a+b e) (a+b)2 a2+b2
f) (a+b)2 (a−b)2 g) a1/n 1
an
h) √a+b √a+√b
i) √an √a2
j) (−4)10 (4)10
3. Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes igualdades:
a) √1 2=
√
2 2
b) √3 648 = 6√33
c) 3 √ 16 √ 2 = 1 6 √ 2 d) 6 √ 384 6 √
6 = 2
e)
3
x2y2
xy =
3
1
xy
f) √3 24 = 2√69
g)
4
√
32
12√
8 = 2
h) 2 3 √ 3 3 √
24= 1
i) √5a3a2 =√3 a3
j) √−4 =√4
k) √3−8 =√38
l) 3x2 = (3x2) 4. Simplifique las siguientes expresiones
a) (12x4)(16x5) b) (16a5)(−3a2)(4a7)
2.3. LOGARITMOS: 21
d)
3x5y4
x0y−3
2
e) (2x
2)3
4x4 f) (3y
3)(2y2)2
(y4)3 y
0
g)
4a2b
a3b2
5a2b 2b4
h) (4a3/2)(2a1/2)
i) (3x5/6)(8x2/3)
j) (27a6)−2/3
k) (8x−2/3)x1/6
l) (x
6
y3)−1/3 (x4y2)−1/2
m) 5xy710x3y3 n) 5
8x3
y4
5
4x4
y2
o) 5
3x11y3 9x2
2.3.
Logaritmos:
Cuando estamos calculando una potencia nos preguntamos por su resul-tado, es decir, el resultado de la multiplicaci´on; pero en muchas ocasiones necesitaremos preguntarnos por cu´al debe ser el exponente para que el re-sultado sea un valor dado, por ejemplo, ya hemos visto que 34 es igual a 81, en alg´un momento nos preguntaremos cu´al debe ser el exponente para que 3? = 81?, o tambi´en:
cu´al es el exponente en 2? = 8? Respuesta 3, porque 23 = 8. cu´al es el exponente en 4? = 16? Respuesta 2, porque 42 = 16. cu´al es el exponente en 5? = 1
25? Respuesta −2, porque 5
−2 = 1
25. cu´al es el exponente en 9? = 1? Respuesta 0, porque 90 = 1.
En la secci´on anterior calculamos potencias, ahora encontraremos exponentes. Esta operaci´on (la de encontrar exponentes) se llama Logaritmo, es decir, las 4 preguntas anteriores pueden formularse como:
cu´al es el logaritmo base 2 de 8? Respuesta 3, porque 23 = 8. cu´al es el logaritmo base 4 de 16? Respuesta 2, porque 42 = 16. cu´al es el logaritmo base 5 de 1
25? Respuesta −2, porque 5
−2 = 1
Como en la potenciaci´on, usaremos una notaci´on para representar los logar-itmos, la cual tiene mucha relaci´on con la usada en la potenciaci´on y que es la siguiente:
log
2
64 = 6
⇐⇒
2
6
= 64
Base
Exponente
Cuando escribimos log264 = 6, leemosel logaritmo en base 2de 64es igual a 6, y quiere decir que el exponente necesario para que la potencia sea 64, cuando la base es 2, es 6. Con esta notaci´on, de las 4 preguntas anteriores podemos escribir
log28 = 3, porque 23 = 8. log416 = 2, porque 42 = 16. log5 1
25=−2, porque 5
−2 = 1
25. log91 = 0, porque 90 = 1.
Siguiendo los anteriores ejemplos el lector puede verificar los siguientes logaritmos:
log327 = 3 log1/216 =−4 log7 491 =−2
log5125 = 3 log88 = 1 log1001 = 0
log42 = 1/2 log273 = 1/3 log927 = 3/2
Nota 1: es claro que, por ejemplo, (−2)3 = −8, luego podr´ıamos pen-sar que log−2−8 = 3, lo cual es cierto de manera como se ha presentado anteriormente, pero debemos tener en cuenta que los logaritmos se definen ´
unicamente para bases positivas lo cual lleva a concluir que no podemos cal-cular logaritmos de n´umeros negativos. Es decir, cuando tengamos algo como logab con a positivo y b negativo diremos (como es claro) que no existe.
Nota 2:cuando calculemos logaritmos en base 10 escribimos simplemente log en lugar de log10. Por ejemplo, log 100 = 2 porque 102 = 100, o tambi´en log 1000 = 3, log1001 =−2.
2.3. LOGARITMOS: 23
Propiedades de los logaritmos:supondremos quea, bycson n´umeros reales positivos y r un n´umero real cualquiera.
1. logaa = 1: es decir, el logaritmo (en cualquier base) de la misma base es igual a 1, por ejemplo, log22 = 1, log2727 = 1, log1515 = 1, etc. 2. loga1 = 0: por ejemplo, log21 = 0, log271 = 0, log151 = 0, etc., esto
pues a0 = 1 para todoa = 0.
3. logaar =r: por ejemplo, log224 = 4, log2727−10=−10, log6165/7 = 5
7, logππ
6 = 6, etc. Esta propiedad nos dice que independientemente
de cu´al sea el exponente (siempre y cuando tenga sentido), el logaritmo y la potencia se cancelan (si sus bases son iguales).
4. alogab =b: esta propiedad y la anterior nos dicen que los logaritmos y
la potenciaci´on son inversas, algo as´ı como la ra´ız cuadrada y el expo-nente 2, es decir, se cancelan, por ejemplo, 2log245 = 45, (15)log1567 =
67, 54log5/48 = 8, (98)log98(6/11)= 6
11,o tambi´en 3log3(x
2+xy3)
=x2+xy3. 5. logabc= logab+ logac: el logaritmo de una multiplicaci´on se con-vierte en la suma de logaritmos, por ejemplo, log4(16×64) = log4(16)+ log4(64) = 2 + 3 = 5, si lo hici´eramos de la manera larga, es decir, sin usar la propiedad tendr´ıamos que calcular log4(16×64) = log4(1024), es decir, debemos buscar un exponente para 4 cuyo resultado sea 1024, eso podr´ıa no ser tan f´acil, mucho menos si se hace a mano; en conclusi´on la propiedad nos simplifica algunos c´alculos.
6. logab
c = logab−logac: el logaritmo de una divisi´on se convierte en
la resta de logaritmos, por ejemplo, log512525= log5(125)−log5(25) = 3 −2 = 1. En este caso es mejor ver la propiedad de la resta a la multiplicaci´on, es decir, usar el lado izquierdo de la propiedad pues la divisi´on simplifica la expresi´on, por ejemplo, si tenemos la resta log9(59049)−log9(6561), no es f´acil calcular esos logaritmos, pero si us-amos la propiedad tendr´ıus-amos log9(59049)−log9(6561) = log9590496561 = log9(9) = 1, lo cual claramente es m´as manejable.
8. logab = logcb
logca: esta es la propiedad de cambio de base de los
logarit-mos, es decir, si tenemos un logaritmo en una base que no nos interesa, podemos cambiar a otra base; por ejemplo, para encontrar logaritmos (cuyo valor no es exacto principalmente) debemos usar una calculadora, pero en la mayor´ıa de calculadoras aparecen los logaritmos en base 10 (y otros que por ahora no los estudiaremos), por tanto debemos pasar a base 10, por ejemplo, log27 no es un valor exacto, pues 22 = 4 y 23 = 8, es decir, el exponente deseado debe estar entre 2 y 3, entonces para encontrar su valor podemos hacer:
log27 = log 7 log 2 ≈
0,8451
0,30102 ≈2,80735
los valores de 0,8451 y 0,30102 se encontraron usando una calculadora. Pero el cambio de base no solo se hace a base 10, se puede hacer a cualquier base, por ejemplo,
log93 = log33 log39 =
1 2, etc.
2.4.
Ejercicios:
1. Para cada una de las siguientes potencias escriba una igualdad que sea equivalente pero en t´erminos de logaritmos
a) 43 = 64
b) 4−3 = 1/64
c) 3x = 4−t
d) 35 = 243
e) tr =s
f) (0,9)t= 1/2
g) (3/4)3 = 27/64
h) 491/2 = 7
2. Para cada una de los siguientes logaritmos escriba una igualdad que sea equivalente pero en t´erminos de potencias
a) log232 = 5
b) logtr =p
c) logb512 = 3/2
d) log42561 =−4
e) log381 = 4
f) loga343 = 3/4
g) logvw=q
2.4. EJERCICIOS: 25
a) log51
b) log667
c) log4 161
d) log 105
e) log 0,0001
f) log 10−6
g) log3243
h) (10)log 7
i) 3log38
4. En las siguientes igualdades encuentre el valor de la inc´ognita.
a) 2×5t/3 = 10
b) 6 = 2t+ 2
c) log4x= log4(8−x)
d) log3(x+ 4) = log3(1−x)
e) logx2 = log(3x+ 7)
f) log9x= 3/2
g) log5x2 = log5(12−x)
h) 4x−3−4−x+5 = 0 i) 7x2−3 = (49)−x+5 j) 22x−3 = 5x−2
k) log6(2x − 3) = log6(12) − log63
l) 2 log3x= 3 log35
m) log(x+ 2)−logx= 2 log 4
n) log2(x+ 7) + log2x= 3
˜
n) log3(x+ 3) + log3(x+ 5) = 1
o) log(57x) = 2 + log(x−2)
p) log2(x+ 3) =−2 log2(x+ 3) + log327 + 4log43
q) logx2 = (logx)2
r) log(logx) = 2
s) x√logx = 108
t) log√x=√logx
u) log√x3 −9 = 2 5. En las siguientes igualdades escriba xen t´erminos de y.
a) y= 10
x+ 10−x
2
b) y= 10
x−10−x
2
c) y= 10
x−10−x
10x+ 10−x d) y= 10
x+ 10−x
Factorizaci´
on
3.1.
Expresiones Algebraicas
Escogemos para trabajar como conjunto universal el conjunto de los n´umeros reales y en algunos casos el conjunto de los n´umeros complejos. Escogemos tambi´en, un conjunto de n´umeros y un conjunto de variables pertenecientes al conjunto universal. Procedemos a combinar dichos elemen-tos mediante operaciones de suma, resta, producto, divisi´on y extracci´on de ra´ıces, para obtener lo que se llama una expresi´on algebraica. Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
3x+ 5y−7z, 5a+ 9b3, 7a−
√
a2+ 5a 12a−5b
A las variables se les llama parte literal. Es de anotar que expresiones como por ejemplo −x2yz es equivalente a −1x2yz. Si nos limitamos solamente a operaciones de suma, resta y multiplicaci´on, el resultado obtenido se llama polinomio (los exponentes de las letras son enteros positivos). Una expresi´on algebraica que conste ´unicamente de signo, ( positivo o negativo ) un n´umero (llamado coeficiente) y parte literal (con exponentes ), se llama t´ermino. El siguiente polinomio 3x2y−5xy+ 9xy2 consta de tres t´erminos. Un polinomio que conste de un solo termino se llama monomio, si consta de dos t´ ermi-nos se llama binomio y si consta de tres t´erminos se llama trinomio. Los t´erminos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes, se llaman t´erminossemejantesy estos t´erminos son los que se pueden reducir, es decir sumar o restar. por ejemplo los t´erminos 5x2y3, 7x2y3y−4x2y3,son t´erminos semejantes, por lo tanto se pueden reducir. Para reducirlos, se suman o se
28 CAP´ITULO 3. FACTORIZACI ´ON
restan los coeficientes y la parte literal queda la misma. La reducci´on de los t´erminos semejantes del ejemplo anterior es: 5x2y3+ 7x2y3−4x2y3 = 8x2y3
Ejercicio 3.1. Reducir los siguientes t´erminos:
1. 5x2y−7x2y−8x2y+ 16x2y=
2. −8x3y2z5 + 19x3y2z5−24x3y2z5−35x3y2z5+ 12x3y2z5 = 3. 9a3b3c3−17−14 + 18 + 34a3b3c3+ 12a3b3c3−6a3b3c3 =
4. −16a5b4c3d3+ 14a5b4c3d3+ 28a5b4c3d3+ 15a5b4c3d3−7a5b4c3d3 = 5. x5y3z2−10x5y3z2+ 8x5y3z2+ 9x5y3z2−37x5y3z2−6x5y3z2 =
3.1.1.
Multiplicaci´
on de monomios
Para multiplicar dos monomios, se multiplica primero el signo, luego los coeficientes y por ´ultimo la parte literal, teniendo en cuenta las leyes de los coeficientes
Ejemplo 3.1. (−5a4b3c5)(6a5b4cd2) =−30a9b7c6d2
Ejercicio 3.2. Multiplicar los siguientes monomios
1. (5x2y)(6x3y3) 2. (8x4y3)(6x3y3)
3. (−7a2b3c4)(−6a4b3d2) 4. (−12a2b3c4d3)(8a4b3c3d2)
3.1.2.
Multiplicaci´
on de un monomio por un binomio
Se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio por cada uno de los t´erminos del binomio, como por ejemplo:
−5x2y2(4x3y2−5x2y) = −20x5y4+ 25x4y3
Ejercicio 3.3. Aplicar la propiedad distributiva
1. 5x2y2(4x3y2−5x2y) = 2. 9x3y2z2(4x3y3−5x2y3) = 3. −13x3y2z3(4x4y3+ 8x4y3z4) =
En general, para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se mul-tiplica cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio:
Ejemplo 3.2.
(4x2y3−2xy2)(2x2y4−5x4y2+ 7x5y) =
8x4y7−20x6y5+ 28x7y4−4x3y6+ 10x5y4−14x6y3
Ejercicio 3.4. Multiplicar los siguientes polinomios:
1. (5x4y2−2x3y3)(6x3y3−5x5y4−7x6y3) = 2. (−9x5y2+ 3x4y3)(7x4y3−7x6y3−9x4y4) = 3. (6x5y2+ 3x4y3−2xy3)(8x4y3−7x6y3+ 4x4y4) = 4. (6x5y2+ 3x4y3)(7x4y3−7x6y3−9x4y4−3x2y3z2) =
5. (2x5y2+ 3x5y3−4x4y5z2)(7x4y3−7x6y3−9x4y4+x3y2z3) =
3.2.
Noci´
on de Factor.
El elemento matem´atico llamado factor aparece en su expresi´on m´as ele-mental, cuando se realiza la operaci´on de multiplicaci´on de un n´umero natural
m, por otro naturaln. Veamos la definici´on intuitiva de dicha operaci´on en dos pasos:
Al multiplicar un n´umero natural m, por otro n natural, se busca un n´umero tambi´en natural x, igual a:n, s´ı para el caso, m = 1.
m∗n = x
x = n
si m = 1
En el caso que m es mayor que la unidad; m > 1; dicha operaci´on, se asimila igual a la suma de m n´umeros; cada uno de los cuales es igual a n.
m∗n = (n+n+n+...+n)
30 CAP´ITULO 3. FACTORIZACI ´ON
En raz´on de ´esta definici´on, al n´umero x se le llama producto de los n´umeros naturalesm y n
m∗n =x
Es a partir de ´esta ´ultima afirmaci´on, que a los n´umeros m y n, se les llama “factores”. Sinembargo ´esta noci´on de factor, se aplica en la operaci´on de multiplicaci´on de elementos de cualesquiera conjuntos num´ericos, en la forma simple arriba descrita, o en forma mixta con otras operaciones.
En la forma mixta, los factores pueden ser singulares (monomios), o com-puestos en expresiones algebraicas espec´ıficas; en cuyo caso aparecen en es-cena los signos de agrupaci´on1 para facilitar las operaciones.
Ejemplo 3.3.
1. mnpqxyz, en esta expresi´on los elementos m,n,p,q,x,y,z son factores singulares, por tanto esta expresi´on pretende ser simple si cada factor es num´erico y singular.
2. m[(n+p)−q(x+yz)], en esta expresi´on mixta hay factores singulares y los hay compuestos como (n+p), (x+yz).
Ejercicio 3.5.
1. (m+n) (p−q) (x+y+z) =?
2. a
m+n
p q+
x y
z
+R
=?
Preguntas para el ejemplo-2 anterior:
a) mn, mp, mqx,mqyz, ¿Son factores?
b) ¿Que son entonces?; ¿productos o sumandos?
c) ¿Qu´e tipo de factor es [(n+p)−q(x+yz)]?.
d) ¿Es m[(n+p)−q(x+yz)] un producto o una adici´on?
3.3.
Factorizaci´
on
La factorizaci´on corresponde al proceso l´ogico mediante el cual se expresa un objeto o n´umero a como el producto de otros objetos o n´umeros m´as simples (llamados factores). Aplicada ´esta noci´on a los n´umeros, nos permite entender que la factorizaci´on es la parte esencial del teorema fundamental de la aritm´etica; el cual nos garantiza que todo n´umero entero positivon ∈Z se puede representar de forma ´unica como el producto de sus factores primos, salvo por el orden de los mismos.
Ejemplo 3.4.
1. 108 = 2233 2. 648 = 2334
3. 1125 = 3253 4. 16875 = 3354
y aqu´ı, cada n´umero base, en el miembro derecho de cada igualdad, es “un factor” m´ultiples veces.
Veamos algunos casos de factorizaci´on, con ejemplos ilustrativos de los mismos.
3.4.
Casos de Factorizaci´
on
En una expresi´on algebraica de tipo binomio, trinomio y/o polinomio, podemos identificar y extraer un elemento, llamado “el factor com´un”; por ser el m´ultiplo con el menor exponente y el divisor com´un de los coeficientes de la expresi´on.
3.4.1.
Factor com´
un en los t´
erminos de un polinomio
Factor com´un monomio
Si en una expresi´on algebraica encontramos un factor com´un, y ´este est´a constituido por un t´ermino, entonces decimos que en la expresi´on hay un factor com´un que es monomio.
Ejemplo 3.5.
32 CAP´ITULO 3. FACTORIZACI ´ON
2. 3a2−6a= 3a(a−2)
3. 2a−4ab+ 6abc = 2a(1−2b+ 3bc)
´
Este es el caso del factor de cada par´entesis.
Ejercicio 3.6.
1. am+f m
2. 2x+ 3x2 3. 2a2b2+ 3a3b3c 4. −a2+ 2ax3 5. 5m2+ 10m
6. xy2−2x2y 7. 3x2y3−6y2z6
8. ax−bx2+cx3−dx4 9. 3a2b+ 6ab2−5a3b+ 8a2bx 10. 25x3−10x5 + 15x7
Factor com´un polinomio
S´ı en una expresi´on algebraica encontramos como factor com´un, una suma de elementos; entonces decimos que en la expresi´on hay un factor com´un que es polinomio.
1. 2 (a+ 3)x3−3b(a+ 3) = (a+ 3) (2−3b) 2. 3x(a2−2)−5b(a2−1) = (a2 −1) (3x−5b)
3. 2a(1−x+y)−3b(1−x+y)+5xc(1−x+y) = (1−x+y) (2a−3b+ 5xc)
Ejercicio 3.7. En las siguientes expresiones, ident´ıfique cuales de ellas tienen como factor com´un un polinomio y luego factorize.
1. an(a−b) +f m(a−b)
2. 2x(a+b+c) + 3x2(a+b+c) 3. 2a2(x+y+z) + 3a3b3(x+y+z) 4. −a2(a+b) + (2ax3−1) (a+b)
6. xy2(a+b)−x2y(a+b)
7. 3x2y3(ax+bz)−6y2z6(ax+bz)
8. ax(a+b)−bx2(a+b) +cx3(a+b)−dx4(a+b)
9. 3a2b(a+b−c) + 6ab2(a+b−c)−5a3b(a+b−c) + 8a2bx(a+b−c) 10. 25 (x−1)−10x5(x−1) + 15x7(x−1)
3.4.2.
Factor com´
un por agrupaci´
on de t´
erminos
Para factorizar un polinomio por agrupaci´on de t´erminos, se debe tener en cuenta que son dos o m´as caracter´ısticas las que se repiten. para ello, se identifica el n´umero de t´erminos comunes, y para resolverlo, se agrupa cada una de las caracter´ısticas.
Ejemplo 3.6.
1.
ab+ac+bd+dc = (ab+ac) + (bd+dc)
a(b+c) +d(b+c) = (a+d)(b+c)
2.
2a2−3ab−4a+ 6b = 2a2−3ab−(4a−6b)
a(2a−3b)−2 (2a−3b) = (2a−3b) (a−2)
3.
3ax−3x+ 4y−4ay+ax2−x2 = (3ax−3x) + (4y−4ay) +ax2−x2 3x(a−1) + 4y(1−a) +x2(a−1) = 3x+x2(a−1)−4y(a−1)
= (a−1)x2+ 3x−4y
34 CAP´ITULO 3. FACTORIZACI ´ON
1. 2x2+xy+ax+ay 2. a2−x2+a−x2a 3. 4a3−1−a2 + 4a 4. am−bm2+an−bmn 5. 1 +a+ 3ab+ 3b
6. 6ax+ 3a+ 1 + 2x
7. 3abx2−2y2−2x2+ 3aby2 8. 3x3−9ax2−x+ 3a 9. 2a2x−5a2y+ 15by−6bx 10. 6m−9n+ 21nx−14mx
3.4.3.
Trinomio cuadrado perfecto
Sabemos que cuando una cantidad es el producto de dos factores iguales, entonces la misma es un cuadrado perfecto. Ahora bien, cuando el producto es de dos binomios iguales, entonces se obtiene un trinomio que se caracteriza como((trinomio cuadrado perfecto)).
(x+y) (x+y) = x2+ 2xy+y2 (3.1) Cuando vemos un trinomio, podemos analizarlo para certificar si es o no cuadrado perfecto. Basta con verificar que dos t´erminos sean cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las raices cuadradas de dichos t´erminos.
Ejemplo 3.7.
1. 4x2+ 12xy+ 9y2 = (2x+ 3y) (2x+ 3y) 2. 9a2−6ab+b2 = (3a−b) (3a−b)
Ejercicio 3.9. Verifique cuales de las siguientes expresiones, tienen la forma de trinomios cuadrados perfectos.
1. a2+ 2ab+b2 2. a2+ 2a+ 1 3. 4 + 4b+b2 4. x2+ 6x+ 92 5. 36x2−12xy+y2
6. 9a2 + 18ab+ 9b2 7. 1−2y3+y6 8. a92 +23ab+b2 9. 225a4+ 30a2b+b2
