Análisis dinámico del fallo de rotores en un hexacóptero
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(3) Análisis Dinámico del Fallo de Rotores en un Hexacóptero. Daniel Felipe Torres Cardozo Código: 20082005107 Hugo Manuel Romero Pineda Código: 20082005113. Trabajo de grado para optar al tı́tulo de: Ingeniero Electrónico en la modalidad de investigación. Directora: Diana Marcela Ovalle Martı́nez. PhD.. Lı́nea de Investigación: Señales y Control Grupo de Investigación: IDEAS. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ingenierı́a Proyecto Curricular de Ingenierı́a Electrónica Bogotá D.C. 2018.
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(5) Agradecimientos. Agradezco Dios y a mi familia por el apoyo durante todo es tiempo en el que deasarrolle mi carrera, por prestarme incondicional apoyo en cada momento dificı́l y hacer posible lograr este gran objetivo como es el de ser un profesional. Hugo Romero Doy gracias a mi familia por el apoyo incondicional que me brindaron durante la carrera. A todos los compañeros que me acompañaron durante esta aventura, con los cuales crecimos tanto académica como personalmente. Daniel Torres Especial agradecimiento a la profesora Diana Ovalle por el apoyo brindado como directora de grado de este proyecto la cual fue de vital importancia en este arduo proceso..
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(7) Resumen Los Vehı́culos Aéreos no Tripulados (UAV,Unmanned Aerial Vehicles) han sido objeto de estudio en múltiples trabajos durante la última década. Su popularidad ha crecido gracias a su precio asequible, el cual es debido principalmente a los avances en miniaturización electrónica y a los aumentos en velocidad de procesamiento de dispositivos digitales de bajo costo. Teniendo en cuenta su capacidad de maniobra, estos vehı́culos son utilizados en muchos campos como puede ser el reconocimiento en áreas de desastre, fotografı́a, vigilancia y hasta entrega de mercancı́a. Muchos esfuerzos se han enfocado a modelar su dinámica y controlarla. Sin embargo, estudios sobre falla en uno o más rotores y análisis de su comportamiento no es común encontrar, siendo este el objetivo de este trabajo. Este trabajo busca estudiar el comportamiento de un hexacoptero al momento de presentar falla o daño en una o varias de sus hélices durante el tiempo de vuelo o antes de que inicie el vuelo y bajo un control no lineal. Para lograr el propósito, se definirá un modelo no lineal que represente de manera adecuada la dinámica del hexacóptero. Asimismo, se planteará un problema de control óptimo no lineal que permita encontrar los controles necesarios para que el hexacóptero defina una trayectoria determinada en un solo plano del espacio tridimensional. Finalmente, se simula la falla de uno o varios rotores del hexacóptero, con el fin de evidenciar su implicación en las capacidades dinámicas del mismo..
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(9) Abstract. Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) have been studied in multiple works during the last decade. Its popularity has grown thanks to its affordable price, which is mainly due to advances in electronic miniaturization and increases in the speed of processing of lowcost digital devices. Considering their ability to maneuver, these vehicles are used in many fields such as recognition in areas of disaster, photography, surveillance and even delivery of goods. Many efforts have focused on modeling its dynamics and controlling it. However, studies on failure in one or more rotors and analysis of their behavior is not common to find, this is the objective of this work. This work aims to study the behavior of a hexacopter at the moment of presenting failure or damage in one or more of its propellers during the flight time or before the flight starts and under a non-linear control. To achieve the purpose, a nonlinear model that adequately represents the dynamics of the hexacopter will be defined. Likewise, a problem of optimal non-linear control will be raised, which will allow to find the necessary controls so that the hexacopter defines a certain trajectory in a single plane of three-dimensional space. Finally, the failure of one or several rotors of the hexacopter is simulated, in order to demonstrate its involvement in the dynamic capacities of the same..
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(11) Contenido. Resumen. VII. Abstract. IX. Lista de Figuras. XIII. Lista de Tablas. XV. Lista de Sı́mbolos. XV. Introducción. 1. 1. Generalidades 1.1. Planteamiento del problema 1.2. Justificación . . . . . . . . . 1.3. Antecedentes . . . . . . . . 1.4. Objetivos . . . . . . . . . . 1.4.1. Objetivo general . . 1.4.2. Objetivos especı́ficos. . . . . . .. 3 3 4 4 9 9 9. . . . . . . . .. 11 11 11 14 15 16 17 20 23. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 2. Análisis Dinámico del Hexacóptero 2.1. Aproximaciones a la modelización de hexacópteros . . . 2.1.1. Modelamiento con aproximación Euler-Newton . 2.1.2. Modelamiento con aproximación Euler-Lagrange 2.1.3. Cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelamiento del Hexacóptero . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Análisis Cinemático del Hexacóptero . . . . . . 2.2.2. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . 2.3. Verificación del comportamiento del modelo . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . ..
(12) CONTENIDO. xii 3. Problema de Maniobrabilidad 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Problema de Maniobrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Una Aproximación de Control Óptimo . . . . . . . . . . . P t) . . . . . . . . . . . . 3.4. Solución Numérica del Problema (P 3.4.1. Cálculo del Gradiente de la Función de Costo . . . 3.4.2. Las restricciones del problema . . . . . . . . . . . . 3.5. Ejemplos numéricos de la maniorabilidad del Hexacóptero. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 4. Fallos en los rotores (simulaciones y análisis) 4.1. Modelamiento de hexacópteros con falla en rotores . . . . . . . . . . . . 4.2. Simulación Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Resultados con falla en el rotor 1 desde el inicio de simulación . 4.3.2. Resultados con falla en 2 rotores contiguos desde el inicio de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Resultados con fallas en los rotores durante el vuelo . . . . . . .. 28 28 28 29 30 30 31 31. 39 39 41 42 42 48 54. 5. Conclusiones y observaciones. 65. 6. Anexos 6.1. Códigos del Matlab . . . . . . . . 6.1.1. Código General . . . . . . 6.1.2. Dinámica del hexacóptero 6.1.3. Dinámica del coestado . . 6.1.4. Cálculo del Gradiente . . .. 69 69 69 71 73 79. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..
(13) Lista de Figuras. 1-1. Rotación motores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1. Sistema Coordinado fijo del Hexacóptero. . . 2-2. Verificación de la condición de Hover. . . . . 2-3. Desplazamiento sobre el eje z con velocidad velocidad de hover. . . . . . . . . . . . . . . 2-4. Comportamiento con τK > 0. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . en los rotores . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . mayor . . . . . . . .. . . a . .. . . . . la . . . .. 3-1. Movimiento en el eje Z: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2. Velocidad de los rotores para el movimiento sobre el eje Z. . . . . . . . 3-3. Movimiento en el eje y: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-4. Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje Y . . . . . . . . . 3-5. Movimiento en el eje x: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6. Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje X. . . . . . . . . 4-1. Movimiento en el eje x con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . 4-2. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimieno en eje x con falla en el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3. Movimiento en el eje z con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . .. 7 18 25 26 27. 33 34. 35 36. 37 38. 43 44. 45.
(14) xiv. LISTA DE FIGURAS 4-4. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje z con falla en el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5. Movimiento en el eje y con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . 4-6. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje y con falla en el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-7. Movimiento en el eje x con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . 4-8. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje x con falla en el rotor 1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-9. Movimiento en el eje y con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . 4-10.Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje y con falla en el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11.Movimiento en el eje z con falla en 2 rotores consecutivos: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . 4-12.Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje z con falla en 2 rotores consecutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-13.Lazos PD para el control del hexacóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14.Respuesta del control multilazos PD para el control del hexacóptero. . . 4-15.Velocidades del control multilazos PD para el control del hexacóptero. . 4-16.Esquema de realimentación de estados para el hexacóptero. . . . . . . . 4-17.Esquema de realimentación de estados para el hexacóptero. . . . . . . . 4-18.Respuesta del control por realimentación de estados e integrador para el hexacóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-19.Comortamiento de las velocidades de los rotores para el control por realimentación de estados e integrador para el hexacóptero. . . . . . . .. 46. 47 48. 49 50. 51 52. 53 54 56 57 58 60 61 62 63.
(15) Lista de Tablas. 1-1. 1-2. 1-3. 1-4.. Clasificación por peso. . . . . . . . . . Clasificación por sistema de propulsión. Clasificación por tipo de despegue. . . Movimiento del hexacóptero. . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 5 5 6 7. 2-1. Tabla de Componentes de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2. Tabla de Matrices de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 17. 4-1. Definición de constantes para los bloques PD de la Figura 4-13. . . . .. 56.
(16) Lista de sı́mbolos A k d. e fZ h I Ix Iy Iz K l L m O P1 p p1i ṗ p Q q q q∗ R Rζ. Matrix que relaciona las velocidades angulares de las hélices con las fuerzas y los movimientos que producen sobre el hexacóptero. Vector de funciones no lineales asociadas a la cinemática del hexacóptero. Vector de funciones no lineales asociadas a la dinámica del hexacóptero. Fuerza generada por las hélices en el eje z del eje a bordo del hexacóptero. Función de coste del problema de control óptimo asociado a la maniobrabilidad del hexacóptero. Momento de inercia del hexacóptero Momento de inercia del hexacóptero alrededor del eje x. Momento de inercia del hexacóptero alrededor del eje y. Momento de inercia del hexacóptero alrededor del eje z. Conjunto acotado que se refiere a las limitantes fı́sicas de las variables de control u. Porción incremental del coste. Longitud de cada brazo del hexacóptero. Masa del hexacóptero. Origen del plano fijo en el hexacóptero. Matriz de ponderación para el estado final deseado. vector de coestado del hexacóptero. i−ésimo elemento de P1 . Vector de primeras derivadas de las variables de coestado del hexacóptero. Velocidad angular de rotación alrededor del eje x, medida desde el eje a bordo del hexácopeto. Matriz de ponderación para el estado deseado. Velocidad angular de rotación alrededor del eje y, medida desde el eje a bordo del hexácopeto. Unidad cuaternión. Conjugado cuaternión. Matriz de ponderación para las variables de control. Matriz de velocidades angulares.
(17) LISTA DE SÍMBOLOS r t τ ue u v w x ẋ x0 xd (t) xe xT x y z λ φ θ ψ η η1 η2 ν ν1 ν2 ∇ ∇x ∇u Ω. Velocidad angular de rotación alrededor del eje z, medida desde el eje a bordo del hexácopeto. Vector de tiempo para la ejecuación de maniobras del hexacóptero. Duración máxima de ejecución de una maniobra. Vector de variables de control en un punto de equilibrio. Velocidad de avance longitudinal, medida desde el eje a bordo del hexácopeto. Velocidad de avance lateral, medida desde el eje a bordo del hexácopeto. Velocidad de descenso, medida desde el eje a bordo del hexácopeto. Vector de variables de estado del hexacóptero. Vector de primeras derivadas de las variables de estado del hexacóptero. Vector de condiciones iniciales de las variables de estado. Vector de comportamiento deseado de las variables de estado. Vector de variables de estado en un punto de equilibrio. Vector de estado final deseado. Eje longitudinal, dirigido hacia la hélice #1. Eje transversal, dirigido al punto medio entre las hélices #2 y #3. Eje normal, dirigido hacia abajo. Tolerancia para el criterio de parada del algoritmo de gradiente. Paso fijo del algoritmo de gradiente. Angulo de rotación alrededor del eje x. Angulo de rotación alrededor del eje y. Angulo de rotación alrededor del eje z. Vector de posiciones lineales y angulares del hexacóptero, medidas en el marco de referencia inercial. Vector de posiciones lineales del hexacóptero, medidas en el marco de referencia inercial. Vector de posiciones angulares del hexacóptero, medidas en el marco de referencia inercial. Vector de velocidades lineales y angulares del hexacóptero, medidas en el marco de referencia abordo del mismo. Vector de velocidades lineales del hexacóptero, medidas en el marco de referencia abordo del mismo. Vector de velocidades angulares del hexacóptero, medidas en el marco de referencia abordo del mismo. Gradiente de la función que lo acompaña. Gradiente de la función que lo acompaña, respecto a las variables de estado. Gradiente de la función que lo acompaña, respecto a las variables de control. Vector de las velocidades angulares de las hélices del hexacóptero.. xvii.
(18) LISTA DE SÍMBOLOS. xviii Ωi T τ1 τ2 τK τM τN. Velocidad angular de rotación de la hélice #i. Vector de fuerzas y momentos que actúan sobre el hexacóptero. Vector de fuerzas que actúan sobre el hexacóptero. Vector de momentos que actúan sobre el hexacóptero. momento angular alrededor del eje x. momento angular alrededor del eje y. momento angular alrededor del eje z..
(19) Introducción El presente trabajo de investigación se refiere al estudio de las fallas de los rotores en los hexacópteros ya sea al inicio de un vuelo o durante su trayecto, esto con el fin de poner en estudio el comportamiento del sistema al momento de estar bajo el control no lineal. La motivación principal para realizar este estudio es el creciente uso de estos UAV con fines que van desde recreativo hasta militar [1], y con la evolución de la tecnologı́a se busca tener mejores prestaciones del vehı́culo en su estabilidad, maniobrabilidad entre otras. El hexacóptero se encuentra propulsado por un grupo de actuadores los cuales se encuentran compuestos por motor, rotor y propulsor (hélice), cualquiera de estos componentes puede presentar falla ya sea por desgaste del motor, fractura del propulsor, etc..., sin embargo para este estudio no se tiene presente qué parte del actuador presenta falla, sino que se considera como un sistema completo que puede funcionar o presentar falla. La finalidad de este trabajo de investigación es analizar el comportamiento simulado del hexacóptero con un control no lineal aplicado al momento de presentar falla ya sea al comienzo de realizar un desplazamiento o durante el mismo, las fallas comprenden el daño ya sea en uno o en varios de sus actuadores, esto con el fin de verificar la estabilidad del sistema. Al igual se realizaron las consultas de los diferentes modelamientos que se aplican al sistema como lo son los más representativos Euler-Newton, Euler-Lagrange y cuaterniones además de herramientas para el diseño como lo son las rotaciones matriciales en las cuales se abarca el modelamiento del sistema desde diferentes puntos de vista. El trabajo está estructurado como se detalla a continuación. En el primer capı́tulo del trabajo se muestra las generalidades del trabajo tal como lo es el planteamiento del problema su respectiva justificación donde se valida la motivación de la investigación y antecedentes de los estudios realizados. En el segundo capı́tulo se realiza el análisis sobre diferentes trabajos realizados usando métodos de diseño para hexacóptero como lo son.
(20) 2. INTRODUCCIÓN las aproximaciones de Euler-Newton, Euler-Lagrange y cuaterniones, donde finalmente se tiende a un análisis newtoniano, que se detalla hasta la obtención del modelo no lineal del hexacóptero y su validación. En un tercer capı́tulo se plantea el problema de maniobrabilidad del hexacóptero desde el punto de vista del control óptimo, que es resuelto para obtener las señales de control que le permiten al hexacóptero ir de un punto a a un punto b. En el capı́tulo cuarto, se presenta la simulación de fallos y el análisis de los resultados obtenidos. Finalmente en el capı́tulo quito se presentan algunas conclusiones y observaciones..
(21) Capı́tulo 1 Generalidades. 1.1.. Planteamiento del problema. Los vehı́culos aéreos no tripulados (UAV, Unmanned Aerial Vehicles) han sido objeto de estudio en los últimos años. El auge y popularidad que han tenido estos vehı́culos se debe, principalmente, a los avances tecnológicos en materia de semiconductores de estado sólido, en particular a los avances en la minuaturización de estos dispositivos y a los incrementos en la velocidad de procesamiento de los mismos; por otro lado, aunque muy ligado a lo anterior, se encuentra la dismunición sustancial en los precios de los UAVs. Todo lo anterior incentiva la versatilidad de sus aplicaciones entre las que se pueden mencionar las imágenes aéreas, para uso cientı́fico y de entretenimiento, el monitoreo de cultivos, zonas de desastres, obras civiles y cualquier otro entorno de observación e incluso la entrega de mercancı́a. Teniendo en cuenta la popularidad de estos vehı́culos y su diversidad de aplicaciones, en la última década se han dedicado muchos esfuerzos a entender la dinámica de este tipo de vehı́culos y las diversas posibilidades de controlar su movimiento. En los últimos dos o tres años se han empezado a desarrollar esfuerzos en torno a analizar fallas en rotores de hexacópteros, en muchos de los casos basándose en la linealización del modelo dinámico del mismo y aplicando técnicas de control adaptivo o de control robusto [2], [3], [4]. De acuerdo a lo anterior, en este trabajo se hace un análisis dinámico de los fallos en rotores de un hexacóptero, utilizando herramientas de simulación, básicamente a partir del modelo no lineal y la aplicación de un control óptimo no lineal al movimiento del hexacóptero, con el fin de conocer sus implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo y, además, calcular los controles necesarios para mantener la trayectoria que se tenı́a antes de presentarse la falla, en caso de ser posible..
(22) 4. 1 Generalidades. 1.2.. Justificación. Justificación Técnica Cuando se realiza el diseño de cualquier dispositivo, además de pensar en su rendimiento, qué tan potente o eficiente será, es necesario también pensar en cómo se comportará el dispositivo en condiciones adversas, debido a que en el ambiente las condiciones no son las ideales y estará expuesto a lugares que puedan desgastar rápidamente elementos claves y causar estados de falla. Para el caso del proyecto, el desarrollo del modelamiento del hexacóptero es el principio para el diseño de los controladores y simulaciones, pensando en ambientes y condiciones ideales, en que normalmente sólo se toman en cuenta las fuerzas esenciales para acercar el comportamiento de la simulación a un entorno real. Se busca en el trabajo que se realizará es analizar el caso extremo cuando el hexacóptero pierde uno o más rotores durante su vuelo o justo antes de iniciar el vuelo.. Justificación Académica Para el desarrollo de este trabajo, se utilizarán conceptos de sistemas dinámicos, de sistemas de control y el uso de herramientas de simulación, ampliando las competencias que se adquieren luego de cursar el plan de estudios del Proyecto Curricular de Ingenierı́a Electrónica hacia el control óptimo no lineal, el modelamiento dinámico de cuerpos en el espacio tridimensional y el uso más especializado de herramientas como Matlab®. Se espera fortalecer la formación de los autores en el área de los sistemas de control y la automática.. 1.3.. Antecedentes. La aviación no tripulada tuvo sus comienzos en los modelos construidos y volados por inventores como Cayley, Stringfellow, Du Temple y otros pioneros de la aviación, que fueron previos a sus propios intentos de desarrollar aeronaves tripuladas a lo largo de la primera mitad del siglo XIX. Estos modelos sirvieron como bancos de pruebas tecnológicos para el posterior desarrollo de modelos de mayor tamaño con piloto a bordo y, en este sentido, fueron los precursores de la aviación tripulada [5]. El uso de los sistemas no tripulados se ha venido incrementando con el avance de la tecnologı́a en la cual se han realizado mejoras en los tamaños de los componentes, su.
(23) 1.3 Antecedentes. 5. consumo, rendimiento, etc. . . , esto junto con las necesidades que se presentan a diario con el fin de solventar problemas cada dı́a más complejos, los cuales han llegado a comprometer la vida humana en dichas labores y disminuir costos[6]; tareas como rescate, reconocimiento, entregas de paquetes, entre otras, se han mejorado para que no sea necesario exponer a una persona con la labor directamente sino pueda estar en una distancia prudente y realizar la acción mediante un sistema no tripulado [7]. Los UAV son vehı́culos aéreos no tripulados, los cuales son usados para aplicaciones tanto militares como civiles, actualmente estos están equipados con diferentes sensores y dispositivos electrónicos con el fin de dar un uso especializado [8]. De los sistemas no tripulados son los que mayor cantidad abarcan ya que su uso es mayor ya sea en labores especı́ficas o recreativas. El desarrollo de estos dispositivos ya puntualmente para aeronaves no tripuladas se presentó desde sus inicios en el campo militar durante la primera y segunda guerra mundial, con el fin de realizar labores de espionaje en terreno enemigo y evitar bajas humanas en estos casos. Actualmente el uso en el campo civil se ha incrementado, y ha aumentado el interés entre las universidades con el fin de realizar innovación y optimizar procesos de automatización en estos dispositivos a pequeña escala y para aplicaciones puntuales. De igual manera a través de la historia se han dado clasificaciones a los UAV ya sea por su peso, sistema de propulsión o tipo de despegue como se muestra en las tablas 1-1, 1-2 y 1-3. Tabla 1-1: Clasificación por peso. Peso. Micro Mini Pequeńo Mediano Grande. <1Kg 1Kg - 10Kg 10Kg - 50Kg 50Kg - 100Kg >100kg. Tabla 1-2: Clasificación por sistema de propulsión. Sisitema de prpulsión. Motores de hélice Turbina de gas comprimido Motores eléctricos Motores de hidrógeno. Gasolina, disel, otros Baterı́as, energı́a solar. Al tratarse de una tecnologı́a que podemos llamar novedosa muchas áreas se encuentran realizando desarrollos, en particular ya sea dando mayor soporte para los impactos a gran velocidad como lo es el dron desarrollado por NCCR Robotics, o como se mencionó al inicio de este capı́tulo, usados por AMAZON [9] para entrega de mercancı́a,.
(24) 6. 1 Generalidades Tabla 1-3: Clasificación por tipo de despegue. Ala Rotativa Vertical Auto-sustentados. Tipo de despegue No vertical. Ala Flexible Ala fija. Helicópteros Quad-rotor Dirigible Globo aeroestático Parapente Ala delta Aereoplano. prácticamente se puede observar que los productos existentes, buscan la manera de acoplarse a estas nuevas tecnologı́as con el fin de minimizar los costos y aumentar su versatilidad. Se debe conocer que al igual que existen reglas para los vuelos tripulados y se tiene un espacio virtual de división del espacio aéreo, para los UAV se debe regir la misma segmentación y se debe dar paso a una integración en las reglas que permita una armonı́a en los vuelos de cada equipo. Visto de esa manera se han realizado muchos estudios sobre la ampliación en el campo de aplicación para estos sistemas y a su vez se ha mejorado la tecnologı́a de su fabricación, aunque tristemente se han realizado mejoras más relevantes en el campo bélico ya que es en la guerra donde se realiza un mayor uso de estos equipos para minimizar las bajas y obtener información de una manera más rápida. Teniendo presente lo anterior se debe tener una plataforma de interacción Humano – Dron sobre la cual se puedan realizar labores de una manera sencilla, esto con el fin de brindar las ordenes correctas para el manejo del sistema, puede que a diferencia con un piloto de avión las órdenes que se toman en caso de ser las erróneas estrı́an poniendo en riesgo la vida de muchas personas, en caso de los UAV se estarı́a poniendo en riesgo solo el equipo o la mercancı́a que se lleve, de tal manera la interfaz debe ser lo más sencilla posible y a su vez lo más completa para tener la información vital para el manejo del sistema. Por tal motivo en caso de presentarse el daño sobre alguno de sus rotores se debe informar por esta interfaz para que se realice la respectiva corrección por parte del piloto [10]. Pero en caso de no tener una respuesta rápida o en caso de estar en estado de desconexión con el piloto, el sistema de control implementado sobre el UAV deberı́a ser capaz de sortear la emergencia y evitar el siniestro de la aeronave. Por tal motivo se realiza el estudio sobre los avances que se tienen en cuanto a modelamiento, control y estudio de fallas en hexacópteros, ya que estos son los mas usados debido a que tienen una mayor velocidad, maneorabilidad y capaciad de carga útil. En la figura 1-1, se puede observar como es la configuración del exacorptero como un.
(25) 1.3 Antecedentes. 7 Ω1. Ω2. Ω6. Ω3 X0 Z0 Y0 Ω4. Ω5. Figura 1-1: Rotación motores. cuerpo rigı́do sobre el marco de referencia X0 , Y0 y Z0 , la distribución de los rotores Ωi y el setido de giro. Del análisis de la figura 1-1, se obtiene la tabla 1-4 la cual indica que rotores deben interactuar para realizar movimientos de avance, retroceso, ascenso, descenso y giros sobre su propio eje. Sobre la tabla el signo = se toma como la velocidad de sustento para el sistema, el signo + se tomarı́a como un aumento sobre la velocidad angular ω y el signo - se tomarı́a como una disminución sobre la velocidad obteniendo.. Tabla 1-4: Movimiento del hexacóptero. Sustento Ascenso Descenso Avance Retroceso Giro a la derecha Giro a la izquierda. Ω1 = + = = = +. Ω2 = + = = + =. Ω3 = + + = +. Ω4 = + = = + =. Ω5 = + = = = +. Ω6 = + + + =. La maniobrabilidad es uno de los temas de estudio académico que se presentan en relación al control de sistemas de vuelo, por tal motivo para realizar dichos estudios es requerido tener una ecuación caracterı́stica del sistema la cual permita realizar los estudios matemáticamente, esto serı́a el modelamiento para el sistema. Tal como se ha venido tratando la velocidad de las hélices de cada rotor son las que controlarán la trayectoria del vehı́culo, teniendo esto presente se toman como premisas para el modelamiento que:.
(26) 8. 1 Generalidades El hexacóptero es un cuerpo sólido en tres dimensiones. Su centro de masa está localizado en el centro. Los efectos giroscópicos se cancelan. Los efectos externos por el roce con el aire son despreciables Los efectos giroscópicos se cancelan por la disposición de las hélices, estas se ubican de manera equidistantes con respecto al centro y tomando la ubicación al rededor como si fueran los vértices de un hexágono, lo cual simplifica el estudio del mismo. Teniendo en cuenta las presentes premisas básicas sobre la dinámica del hexacóptero, de igual manera conociendo el movimiento de los rotores para tener presente como serı́a el comportamiento del sistema, se proceden a generar las acciones de control sobre el sistema las cuales están definidas a mantener la estabilidad del sistema y a monitorear la posición del UAV en el espacio con el fin de determinar la acción a tomar para llegar al punto deseado. Las arquitecturas de control de UAVs integran diversos sensores de navegación incluyendo giróscopos, acelerómetros, magnetómetros, GPS y sensores barométricos, entre otros. Normalmente existen diferentes modos de control para distintas condiciones de despegue, aterrizaje y vuelo, las estrategias básicas de control incluyen aterrizaje, seguimiento de secuencias de puntos definidos por sus coordenadas GPS, con eventual vuelo estacionario, y aterrizaje. La robótica en sus diferentes estudios ha llevado al desarrollo de arquitecturas de control con percepción del entorno, seguimiento de objetos en movimiento, programas de planificación de trayectorias, entre otros, un claro ejemplo es el LaTrax Alias QuadRotor, diseñado por la compañı́a LaTrax, una empresa fundada en 1974 por Jim Jenkins la cual fue pionera e innovadora en los sistemas de radio-control durante la década de 1970. Esta empresa se dedica a la construcción especializada de vehı́culos radio-control de altas prestaciones [11]. El modelo en mención tiene en ejecución rutinas que no afectan la maniobrabilidad del UAV y la experiencia de vuelo para el usuario, pero que permiten recuperar la estabilidad del UAV en cualquier momento o situación en la que se encuentre. Al igual que LaTrax [11] implementa en sus sistemas rutinas para mantener su posición existen compañı́as dedicadas a realizar “vuelos seguros” con estos UAV en ejemplo.
(27) 1.4 Objetivos existe Horizon Hobby, una empresa fundada en Octubre de 1985 por Rick Stephens especializada en el hobby de los vehı́culos radio control, con sucursales alrededor del mundo USA, UK, Francia, Alemania y China entre otros. Esta compañı́a ha desarrollado diferentes tecnologı́as en las cuales se potencializa la destreza al manejar estos vehı́culos, una de ellas es llamada SAFE (Sensor Assisted Flight Envelope) [12], la cual maneja varios niveles de “libertad” en el vuelo, llegando al punto en el que si el sistema se encuentra fuera de control con solo presionar una palanca, retoma el curso del UAV llevándolo a una altura segura y manteniendo un curso estable, algunos de las funciones se mencionan a continuación. Control de altitud. Limitación de los ángulos de cabeceo y balanceo. Recuperación de la posición de vuelo estable. Aterrizaje automático.. 1.4. 1.4.1.. Objetivos Objetivo general. Estudiar por medio de simulación el comportamiento de un hexacoptero cuando este presenta averı́a en uno o más rotores, ya sea durante pleno vuelo o antes de emprender vuelo.. 1.4.2.. Objetivos especı́ficos. 1.4.2.1. Proponer un modelo matemático no lineal para un hexacóptero que se mueve de forma tridimensional en un espacio abierto y validarlo a partir de simulación. 1.4.2.2. Verificar la capacidad de maniobra de un hexacóptero a partir de la solución numérica de un problema de control óptimo no lineal, que permita encontrar los controles necesarios para llegar a un estado final a partir de un estado inicial, ambos determinados. 1.4.2.3. Simular la falla de uno de los rotores del hexacóptero, con el fin de concluir respecto a sus implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo. 1.4.2.4. Simular la falla de dos rotores aledaños del hexacóptero, con el fin de concluir respecto a sus implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo.. 9.
(28) 10. 1 Generalidades 1.4.2.5. Simular la falla de dos de los rotores del hexacóptero ubicados de forma simétrica (ya sea respecto al eje x o al eje y), con el fin de concluir respecto a sus implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo..
(29) Capı́tulo 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero 2.1.. Aproximaciones a la modelización de hexacópteros. Durante la búsqueda bibliográfica sobre el modelamiento dinámico de UAV se evidencia que sobresalen tres métodos para la realización de este modelamiento matemático y en donde se parte del concepto de estudiar el UAV como un cuerpo rı́gido. En primer lugar, en contramos el modelamiento basado netamente en conceptos Newtonianos, donde se tienen en cuenta las fuerzas que actúan sobre el objeto. Una segunda aproximación, desde el punto de vista lagrangiano, donde se realiza un modelamiento a partir de la suma de energı́as. La tercera aproximación, desde el concepto de cuaterniones, el cual está basado en el teorema de la rotación de Euler, en el cual se establece que cualquier desplazamiento de un cuerpo rı́gido en un punto fijo equivale a una rotación. A continuación se detallan las aproximaciones mencionadas, para finalmente decidir la que se seguirá para modelar el hexacóptero.. 2.1.1.. Modelamiento con aproximación Euler-Newton. Esta aproximación se tomarı́a como las más básica e intuitiva de realizar, debido que se vale de las leyes de Newton, con el fin de modelar la dinámica del hexacóptero a partir de las leyes de movimiento y a las fuerzas que interactúan. Se presentarán ejemplos de cómo diferentes autores colocaron en práctica esta aproximación para el modelamiento del hexacóptero. En este ejemplo el autor busca además de realizar un modelamiento matemático del hexacóptero si no también un sistema de control [13]..
(30) 12. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero El esquema cinemático del modelo desde el que se realizará el modelamiento es el siguiente.. η1 =(x, y, z). φ. Ye. θ. Y0 Xe. X0 Z0. ψ Ze. El marco de referencia se usará el básico que es el (x, y, z) donde el centro de gravedad del hexacóptero esta sobre el eje z, además ωi corresponde a la dirección de rotación respecto al empuje Ti estos a su vez con respecto a los torques Mi de cada uno de los rotores. La leyes de Newton pueden ser escritas como vectores de la forma X. d F~ = (mV~ ) , dt 0. (2-1). ~ ~ = dH , M dt 0. (2-2). X. donde la parte de la izquierda representa la sumatoria de todas las fuerzas y momentos que actuan sobre el heacóptero. La ecuación 2-1 puede ser expresada sobre el marco de referencia del hexacóptero de la siguiente manera X Fxr = m(v̇xr + vzr ωyr − vyr ωzr ), X. Fyr = m(v̇yr + vxr ωzr − vzr ωxr ),. X. Fzr = m(v̇zr + vyr ωxr − vxr ωyr ).. En las ecuaciones anteriores se muestran de manera individual las fuerzas que actuan sobre cada uno de los ejes. Adicionalmente, vir y ωir son componetes de velocidad y velocidad angular respectivamente..
(31) 2.1 Aproximaciones a la modelización de hexacópteros La ecuación 2-2 puede ser expresada también sobre el marco de referencia del hexacóptero, pero se debe conocer la distribución de masas. Se realiza el supuesto de que la distribución real sobre el hexacóptero está dada de la siguiente manera: (x, y)r , (x, z)r y (y, z)r , de manera simétrica. Entonces los productos de la inercia pueden ser omitidos y 2-2 puede ser escrito como X Mxr = Jx ω̇xr + ωyr ωzr (Jz − Jy ), X. Myr = Jy ω̇yr + ωzr ωxr (Jx − Jz ),. X. Mzr = Jz ω̇zr + ωxr ωyr (Jy − Jx ).. Al lado izquierdo se encuentra la suma de todos los momentos que actúan sobre cada uno de los ejes y J representa los momentos de inercia que actúan sobre los ejes. Se realiza ahora el modelo matemático del movimiento en el hexacóptero, teniendo en cuenta que este se toma sobre el marco de referencia (x, y, z)0 . La relación entre la velocidad angular de un cuerpo y la inercia en un marco de referencia fijo está dada por los movimientos angulares al rededor de los ejes x, y y z, llamados roll, pitch y yaw, respectivamente. Por lo que las velocidades angulares pueden ser expresadas como θ̇ = ωyr cos φ − ωzr cos φ, φ̇ = ωzr + ωyr sin φ tan θ + ωzr cos φ tan θ, ψ̇ = ωyr. sin φ cos φ + ωzr . cos θ cos θ. Finalmente, las fuerzas y los momentos que actúan sobre el hexacópero deben ser especificadas. Las principales fuerzas son las de empuje de los rotores y la gravitacional, por lo que sobre cada eje tendrı́amos las sumatorias de fuerzas a continuación: X Fxr = −mg sin θ, X X. Fyr = mg cos θ sin φ,. Fzr = T + mg cos θ cos φ,. donde fZ representa el empuje total de los rotores. Lo momentos principalmente son reactivos y giroscópicos debido al empuje de los rotores, por lo que los podrı́amos expresar como. 13.
(32) 14. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero ! X. Mxr = Mx + Jp ωyr. −. X. ωi +. X. ωi. i=1,3,5. i=2,4,6. X. X. ,. ! X. Myr = My + Jp ωyr. ωi −. i=1,3,5. X. ωi. ,. i=2,4,6. Mzr = Mz ,. donde Jp es el momento de inercia de un motor con su hélice, ωi representa la velocidad angular de cada uno los rotores. Mx , My y Mz son momentos causados por el empuje de los rotores y los restantes son los momentos giroscópicos.. 2.1.2.. Modelamiento con aproximación Euler-Lagrange. Esta aproximación varios autores la usan para realizar el modelamiento dinámico del UAV, independientemente que este sea un hexacóptero, un cuadricóptero u otros tipos de UAV con diferentes diseños del que es objeto este trabajo. A continuación se presentan un par de ejemplos en los que se realiza el modelamiento dinámico a partir de la aproximación Eluer-Lagrange (análisis a partir de energı́as). Este tipo de aproximación se utiliza por ejemplo en [3] y [4] . Iniciamente, se definen dos marcos de referencia, uno respecto a un punto fijo en la tierra nombrado por sus siglas en ingles (EF-Earth Frame) y otro con respecto al cuerpo rı́igido como tal (BF-Body Frame). La fuerza de la masa actúa sobre el centro de gravedad y siempre a lo largo del eje negativo z. La energı́a cinética del hexacóptero debido al movimiento transalacional es expresada como 1 Ttrans , − mξ˙T , ξ˙ 2 donde m es la masa del hexacóptero, ξ es el vector de posición ξ = [x y z]T y η es el vector de posición angular η = [φ θ ψ]T . La cinética de hexacóptero se puede expresar debido al movimiento rotacional, el cual puede ser expresado como 1 Trot , η̇ T J η̇, 2 donde J es la matriz de inercia expresada en términos de la coordenadas η: J = WηT IW η ,.
(33) 2.1 Aproximaciones a la modelización de hexacópteros. 15. con 1 0 −Sθ Wη = 0 Cφ Sφ Cθ , 0 −Sφ Cφ Cθ . donde I es la matriz de inercia, la cual es una matriz diagonal, debido a la simetrı́a del hexacóptero. La energı́a potencial es expresada en función del campo gravitacional de la tierra U = mgz. Se definen de manera general las coordenadas como el vector q = [ξ T η T ]T = [x, y, z,φ,θ, ψ]T ∈ R6 , entonces el Lagrangiano se puede expresar como 1 1 L(q, q̇) = Ttrans + Trot − U = mξ˙T ξ˙ + η̇ T J η̇ − mgz 2 2. (2-3). El modelo total del hexacóptero es obtenido desde las ecuaciones de Euler-Lagrange con la fuerza externa generalizada d ∂L ∂L − = F. dt ∂ q̇ ∂q. (2-4). Donde F = [FξT τηT ]T . Fxi contiene todas las fuerzas trasacionales debido a las entradas de control y expresadas en EF {x, y, z} y τη en el vector que generaliza los torques.. 2.1.3.. Cuaterniones. Los ángulos de Euler son ampliamente utilizados para describir la dinámica de un cuadrotor. A pesar de que son muy intuitivos y fáciles de interpretar y visualizar, adolecen de singularidades. Además, la representación de los ángulos de Euler va de la mano con el cálculo del seno y el coseno, lo que aumenta el costo computacional. La forma alternativa, más eficiente y sin singularidades para describir la dinámica del cuadrotor es usar un cuaternion. La orientación se puede caracterizar por una sola rotación α alrededor de un eje [14], [16], [17]: q cos α2 aT sin α2 = q0 q13 = q0 q1 q2 q3 . (2-5) La rotación tridimensional de cualquier vector es descrita como una multiplicación a la izquierda por la unidad cuaternión q y a la derecha por su conjugado q∗ , que se puede escribir como una multiplicación de la matriz Rq y el vector mencionado anteriormente, donde [q13 ] es una matriz simétrica [14], [17]:.
(34) 16. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero q02 + q12 − q22 − q32 2(q1 q2 − q3 q0 ) 2(q1 q3 + q2 q0 ) Rq = (q0 I + [q13 ])2 +q13 q13 T = 2(q1 q2 + q3 q0 ) q02 − q12 + q22 − q32 2(q2 q3 − q1 q0 ) . 2 2(q1 q3 − q2 q0 ) 2(q2 q3 + q1 q0 ) q0 − q12 − q22 + q32 (2-6) La relación entre la velocidad ángular y el cuaternion esta dada por −q1 −q2 −q3 1 1 1 0 −q3 q2 q q̇ = q · = Smη = 0 (2-7) mη. mη q0 −q1 2 2 2 q3 −q2 q1 q0 . Para derivar el modelo de la dinámca del cuadrotor en forma de un cuaternión, el vector de velocidades angulares es reemplazado en el Lagraniano usando la expresión 2-3. Posterior a esto se utiliza la ecuación 2-4 para obtener la ecuación de Euler-Lagrange de la rotación y traslación del cuadrotor:. mτ − 2Jr. 4 X i=1. . 0 − 4Kη diag(ST mq̇) ST mq̇ = ST mq̇ × 0 (−1)i ωi d ∂ T 2 2Jmq̈ + 2 (J)mq̇ − (mq̇ Jmq̇) dt ∂t. 0 − 0 − Kv diag(R˙q ζ)(R˙q ζ) mmζ̈ = Rq P4 mg i=1 Fi . 2.2.. 0 0. . (2-8). . (2-9). Modelamiento del Hexacóptero. En la sección anterior se mostraron de manera general las diferentes aproximaciones para modelizar el comportamiento dinámico de un hexacóptero. Pese a que los modelos obtenidos con las tres son equivalentes, a continuación se presentará de forma detallada el modelamiento desde la aproximación newtoniana con el fin de obtener un modelo claro que describa el comportamiento no lineal del hexacóptero. Es fácil notar que el hexacóptero puede describir libremente movimientos rotacionales y traslacionales a lo largo de las tres dimensiones, es por esta razón que un hexacóptero tiene seis grados de libertad. Por conveniencia, las variables que tomaremos en consideración para el análisis dinámico del hexacóptero serán las posiciones lineales y angulares del mismo y sus derivadas, como se muestra en la Tabla 2-1. Teniendo en cuenta el.
(35) 2.2 Modelamiento del Hexacóptero. 17. número de variables, es conveniente utilizar una notación vectorial como se representa en la Tabla 2-2. Donde η es el vector de posición y orientación del hexacóptero en el marco de referencia fijo en la tierra, ν es el vector de velocidades lineales y angulares en el marco de referencia a bordo del hexacóptero y τ es el vector de fuerzas y momentos actuando sobre el hexacóptero, también referenciado respecto al hexacóptero.. Tabla 2-1: Tabla de Componentes de Movimiento. Hexacóptero Fuerzas y Velocidades Posiciones Componentes del Movimiento Momentos Lineales y Lineales y Angulares Angulares Movimiento en el eje x Movimiento en el eje y Movimiento en el eje z Rotaciones al rededor de x Rotaciones al rededor de y Rotaciones al rededor de z. fZ τK τM τN. Tabla 2-2: Tabla de Matrices de η 1 = [x y z]T η 2 = [φ θ ψ]T ν 1 = [u v w]T ν 2 = [p q r]T τ 1 = [X Y Z]T τ 2 = [K M N ]T. 2.2.1.. u v w p q r. x y z φ θ ψ. Movimiento. η = [ηη 1 η 2 ]T ν = [νν 1 ν 2 ]T τ = [ττ 1 τ 2 ]T. Análisis Cinemático del Hexacóptero. Para poder entender el análisis cinemático del hexacóptero, iniciamos definiendo un sistema coordinado inercial Xe , Ye , Ze en la convención NED (North, East, Down) también denominado marco de referencia espacial. Los ángulos de rotación alrededor de los ejes de este marco de referencia se definen como: Roll: Rotación sobre el eje Xe , positiva a la derecha. Pitch: Rotación sobre el eje Ye , positiva hacia abajo. Yaw: Rotación sobre el eje Ze , positiva desde el Norte al Este. También se define un sistema coordenado fijo centrado en el centro de gravedad del hexacóptero X0 , Y0 , Z0 , como el mostrado en la Figura 2-1..
(36) 18. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero Ω6 Ω5. Ω1 Ω4 X0. Y0 Ω3. Z0. Ω2. Figura 2-1: Sistema Coordinado fijo del Hexacóptero. Con el fin de desarrollar un análisis cinemático adecuado para el hexacóptero, se hacen las siguientes suposiciones: La dinámica de los motores es mucho más rápida que la del cuerpo rı́gido y por ende se desprecia. El eje de rotación de los motores es paralelo a Z0 . las fuerzas y momentos de propulsión dentro del plano del motor son pequeños y son perpendiculares al plano del rotor. A partir de las definiciones vectoriales en la tabla 2-2 y la definición de los dos sistemas coordenados, sabemos que los ángulos η 2 = [φ θ ψ]T representa la orientación del marco de referencia fijo al hexacóptero respecto al marco de referencia inercial (espacial). Por lo tanto, se relaciona la velocidad lineal espacial η̇η 1 = [ẋ ẏ ż]T y el vector de velocidades angulares del hexacóptero ν 1 = [u v w]T a través de una matriz de rotación, ası́ η̇η 1 = R(ηη 2 )νν 1 ,. (2-10). donde R(ηη 2 ) representa la rotación alrededor de los tres ejes, definida como R(ηη 2 ) = RzT (ψ) RyT (θ) RxT (φ), siendo RT x(φ) la traspuesta de la matriz de rotación respecto al eje x en el ángulo φ, que puede ser escrita como . 1 0 0 Rx (φ) = 0 cφ sφ , 0 −sφ cφ.
(37) 2.2 Modelamiento del Hexacóptero. 19. con cφ = cos(φ) y sφ = sin(φ). De manera similar, cθ 0 s θ Ry (θ) = 0 1 0 −sθ 0 cθ . cψ −sψ 0 y Rz (ψ) = sψ cψ 0 . 0 0 1 . Por lo que R(ηη 2 ) puede ser escrito como cθ cψ −cθ sψ + sφ sθ cψ sφ sψ + cφ sθ cψ R(ηη 2 ) = cθ sψ cφ cψ + sφ sθ sψ −sφ cψ + cφ sθ sψ −sθ s φ cθ cφ cθ . El orden de las rotaciones se hace siempre considerando que primero ocurre la rotación respecto a x, luego a y y, finalmente, con respecto a z. En este momento es importante precisar que para el modelo del hexacóptero consideramos −π π −π π ≤φ≤ , ≤θ≤ y 0 ≤ ψ ≤ 2π. 2 2 2 2 En este punto, buscamos una transformación entre las velocidades angulares en el marco de referencia abordo del hexacóptero y las variaciones de los ángulos de Euler definidas en el marco de referencia inercial (espacial). Para lo anterior, consideramos ν 2 = [p, q, r]T como las velocidades angulares respecto al marco de referencia del hexacóptero, tal que: Ṙ(ηη 2 ) = R(ηη 2 )ν̂ν 2. y ν̂ν 2 = RT (ηη 2 )Ṙ(ηη 2 ),. donde 0 −r q ν̂ν 2 = r 0 −p −q p 0 . es una representación matricial (anti-simétrica) del mapeo lineal ν 1 → ν 2 × ν 1 = ν̂ν 2ν 1 . Un cálculo directo muestra que la transformación J(.) de η̇ 2 a ν 2 satisface 1 0 −sθ φ̇ ν 2 = J(ηη 2 )η̇η 2 = 0 cφ sφ cθ θ̇ . 0 −sφ cφ cθ ψ̇.
(38) 20. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero J(ηη 2 ) es invertible siempre que cos(θ) 6= 0, entonces en la región de interés, η˙2 = J −1 (ηη 2 )νν 2. (2-11). con 1 sφ tθ cφ tθ J −1 (ηη 2 ) = 0 cφ −sφ . 0 −sφ /cθ cφ /cθ El conjunto de tranformaciones (2-10) y (2-11) constituyen las ecuaciones cinemáticas del hexacóptero, haciendo uso de estas, podemos definir el mapeo de ν a (ηη˙ ) como: . R(ηη 2 ) 03x3 T (ηη ) = , 03x3 J −1 (ηη 2 ) para expresar las ecuaciones cinemáticas como η˙2 = T (ηη )νν .. 2.2.2.. (2-12). Ecuaciones de Movimiento. El movimiento de un cuerpo rı́gido puede ser descompuesto en sus componentes rotacionales y traslacionales. Por lo tanto, con el fin de describir la dinámica de hexacóptero asumido como un cuerpo rı́gido, utilizaremos las ecuaciones de Newton-Euler, que gobiernan el movimiento linear y angular. Primero que todo, la fuerza que actúa sobre el hexacóptero está dada por τ 1 = maa = m(ν˙1 + ν 2 × ν 1 ),. (2-13). donde m es la masa del hexacóptero y es asumida como constante y , a la aceleración del hexacóptero. Para determinar las fuerzas que generan las hélices sobre el hexacóptero, es importante considerar que cada rotor i tiene una velocidad angular Ωi , y están ubicados paralelos al eje Z0 . Por lo que la rotación de los rotores genera una fuerza de empuje, F , paralela al eje Z0 , con componentes iguales a cero en los otros ejes, es decir T T Fi = 0 0 FZ , = 0 0 kΩi 2 , (2-14) siendo k la constante de elevación. El empuje total junto con la fuerza gravitacional representa la fuerza total que actúa sobre el hexacóptero. Dado que la fuerza de empuje está expresada en el marco de.
(39) 2.2 Modelamiento del Hexacóptero. 21. referencia del hexacóptero, al igual que la fuerza total actuando sobre éste y la gravedad actúa en el marco de referencia inercial, podemos escribir la fuerza total actuando sobre el hexacóptero como: τ 1 = F − m g RT (ηη 2 )~e 3 , T con ~e 3 = 0 0 Fi . Reemplazando la expresión de τ 1 en (2-13) y despejando para ν̇ν 1 , tendremos 1 ν̇ν 1 = F − g RT (ηη 2 )~e3 − ν 2 × ν 1 . (2-15) m Con respecto al movimiento rotacional del hexacóptero, se inicia llamando I a la matriz de inercia. El hexacóptero tiene una estructura simétrica respecto a todos los ejes del marco de referencia centrado en el centro de masa del hexacóptero, por lo tanto la matriz de inercia se puede escribir como Ix −Ixy −Ixz Ix 0 0 I = −Ixy Iy Iyz = 0 Iy 0 −Ixz −Iyz Iz 0 0 Iz . Lo anterior se deriva de las simetrı́as con respecto a los ejes X0 , Y0 y Z0 , aunque la simetrı́a con respecto a este último no es completa, asumiendo que no cambie mucho el comportamiento del modelo. Podemos escribir el momento de inercia total que actúa sobre el hexacóptero como: τ 2 = I (ν̇ν 2 + ν 2 × ν 2 ). (2-16). De la estructura geométrica del hexacóptero, es posible obtener información respecto a los momentos que causan roll, pitch y yaw, ası́ 3 2 2 2 2 k l (Ω2 + Ω3 − Ω5 − Ω6 ) τK 4 Ω2 2 Ω3 2 Ω5 2 Ω6 2 τ 2 = τM = , 2 2 + + Ω4 + − ) k l (−Ω1 − 4 4 4 4 τN b (−Ω1 2 + Ω2 2 − Ω3 2 + Ω4 2 − Ω5 2 + Ω6 2 ) . . . (2-17). donde l es la distancia entre el eje del rotor y el centro de gravedad del hexacóptero y b es la constante de arrastre de los motores. Por lo que para el movimiento rotacional tendremos I ν˙2 + ν 2 × (I ν 2 ) = τ 2 , entonces, ν˙2 = I−1 (ττ 2 − ν 2 × (I ν 2 )).. (2-18).
(40) 22. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero De acuerdo a lo anterior, el modelo del hexacóptero se reduce a (2-12) y (2-18), de forma explı́cita se puede escribir como: ẋ =u cos ψ cos θ − v(cos φ sin ψ − sin φ cos ψ sin θ) + w(sin φ sin ψ + cos ψ cos φ sin θ), ẏ =u cos θ sin ψ + v(cos φ cos ψ + sin φ sin ψ sin θ) − w(cos ψ sin φ − cos φ sin ψ sin θ), ż = − u sin θ + v cos θ sin φ + w cos φ cos θ, φ̇ =p + q sin φ tan θ + r cos φ tan θ θ̇ =q cos φ − r sin φ, cos φ sin φ ψ̇ =r +q , cos θ cos θ u̇ =rv − qw − g sin θ, v̇ =pw − ru + g cos θ sin φ, fZ ẇ =qu − pv − + g cos φ cos θ, m Iy − Iz τK ṗ = qr + , Ix Ix Iz − Ix τM q̇ = pr − , Iy Iy τN Ix − Iy pq − . ṙ = Iz Iz (2-19) También podrı́amos escribir el modelo de una forma más compacta, como: x = f (x x, u ), ẋ. (2-20). 0 donde x = η 0 ν 0 será el vector de variables de estado del hexacóptero y u = Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6 será el vector de variables de control, que se puede obtener como función de τ . Note que τ = 0 0 fZ τK τM τN y que 1 2 f Ω1 k Z 2 1 1 1 1 1 1 Ω22 √ τ 2 K 3kl 0 1 1 0 −1 −1 Ω = (2-21) 32 . 2 −2 −1 1 2 1 −1 Ω4 τM −1 1 −1 1 −1 1 Ω25 kl 1 | {z } Ω26 A τN {z } | | b{z } Ω2 τ̄τ. Por lo que, Ω 2 = A0 (A A0)−1 τ̄τ ,.
(41) 2.3 Verificación del comportamiento del modelo o, lo que es equivalente 1 1 1 0 − − 6 6 6 1 1 1 1 1 2 f − Ω1 6 k Z 4 12 6 Ω2 2 1 1 1 2 1 √ τK − 2 Ω3 6 4 12 6 3 k l . 2 = 2 1 1 Ω4 1 2 0 τ M Ω5 6 6 6 kl 1 1 2 1 1 1 Ω6 − − τN 4 12 6 6 b 1 1 1 1 − − 6 4 12 6 . Por lo que el problema se puede ver en dos sentidos, o encontrar las velocidades de las hélices que generan las maniobras deseadas en el hexacóptero o buscar los valores de las 4 componentes de τ y, a partir de la transformación anterior, encontrar las 6 velocidades Ω de los rotores.. 2.3.. Verificación del comportamiento del modelo. Con el fin de verificar que el modelo representa la dinámica de un hexacóptero, se implementó un script de Matlab® (véase sección 6.1.1), que permite observar la evolución de los estados del hexacóptero para valores de las velocidades de los rotores. Es necesario definir son los parámetros del hexacóptero, que incluyen sus propiedades fı́sicas generales y las de los rotores, [14]: m = 0,468 Kg, g = 9,81 m/s2 , l = 0,225 m, k = 0,00000298 Kg-m/rad2 , b = 0,000000114 N-m/ rad, Ix = Iy = 0,004856 Kg-m2 , Iz = 0,008801 Kg-m2 . Para verificar el comportamiento del modelo, vamos a hallar su punto de equilibrio, que para hexacópteros se denomina “hover ”. En la posición del equilibrio, como es bien sabido, todas las derivadas del modelo son iguales a cero. Es decir, el punto de. 23.
(42) 24. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero equilibrio son las soluciones de (2-20) cuando ẋ = 0. En el caso de un hexacóptero [15], el equilibrio consiste en xe = [xe. ye. ze. 0 0 ψe. 0 0 0 0 0 0],. con xe , ye , ze puntos arbitrarios del espacio, debido a que las variables x, y y z no influyen en la dinámica del sistema y φe una orientación arbitraria, porque esta variable tampoco influye en el comportamiento dinámico del hexacóptero. Por su parte para los controles, se encuentra que ue =. mg [1 1 1 1 1 1], 6k. que genera la fuerza que contraresta el peso del cuerpo y hace que el hexacóptero “levite”. De acuerdo a lo anterior, las pruebas que haremos sobre el programa de simulación serán:. Verificación de la condición de hover, para Ωi = 506,7266 r.p.m., i = 1, · · · , 6. El resultado se muestra en la Figura 2-2, donde se evidencia que el hexacóptero mantiene indefinidamente la condición inicial.. Simulación para velocidades de rotores superiores a la velocidad de hover. Especı́ficamente se probó para Ωi = 520, i = 1, · · · , 6., donde lo que se espera que suceda es que se generará mayor fZ , que generará un movimiento sobre el eje z hacia arriba, es decir sobre el eje real negativo, ya que z se toma positivo hacia abajo. En Figura 2-3 muestra se demuestra que efectivamente se presenta el desplazamiento sobre el eje z.. Simulación para velocidades tal que τK > 0. Si buscamos que el momento al rededor del eje x sea mayor que cero, se necesita que Ω22 +Ω23 > Ω25 +Ω26 , por lo que dejaremos Ω2 = Ω3 = 520 y Ωi = 506,7266, i = 1, 4, 5, 6, esperando obtener un movimiento en φ y por ende en y. La Figura 2-4 muestra los resultados esperados, donde además se observa además un desplazamiento en el eje z, debido a que fZ es mayor al valor de equilibrio..
(43) 2.3 Verificación del comportamiento del modelo. 25. (b). 1. 1. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6. [m]. [m]. (a). 0.4 0.2. 0.2. 0. 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t[x] (c) -2. 4. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. t[x] (d). 5. [grados]. [m]. 2. 10. 0. -4 -6. 0 -5. -8 -10. -10 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t[x] (e). 10. 2. 4. t[x] (f). 10 5. [grados]. 5. [grados]. 0.4. 0 -5. 0 -5. -10. -10 0. 2. 4. 6. t[x]. 8. 10. 0. 2. 4. t[x]. Figura 2-2: Verificación de la condición de Hover..
(44) 26. 2 Análisis Dinámico del Hexacóptero. (a). 1. 0.5. m. m. 0.5 0 -0.5. 0 -0.5. -1. -1 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t (s) (c). -10. 2. 4. Grados. m -30. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. t (s) (d). 1. -20. 0.5 0 -0.5. -40. -1 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t (s) (e). 1. 2. 4. t (s) (f). 1. 0.5. Grados. Grados. (b). 1. 0 -0.5. 0.5 0 -0.5. -1. -1 0. 2. 4. 6. t (s). 8. 10. 0. 2. 4. t (s). Figura 2-3: Desplazamiento sobre el eje z con velocidad en los rotores mayor a la velocidad de hover..
(45) 2.3 Verificación del comportamiento del modelo. (a). 27. (b). 2. 1 1.5 1. 0.6. [m]. [m]. 0.8. 0.4. 0.5. 0.2. 0. 0 -0.5 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t[x]. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. t[x]. (c). (d). 150. 0. [grados]. [m]. -2 -4 -6. 100. 50. -8 -10. 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t[x]. t[x]. (e). 10. 5. [grados]. 5. [grados]. (f). 10. 0 -5. 0 -5. -10. -10 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t[x]. Figura 2-4: Comportamiento con τK > 0.. t[x].
(46) Capı́tulo 3 Problema de Maniobrabilidad 3.1.. Introducción. En este capı́tulo, primero definimos el problema de maniobrabilidad del hexacóptero. Luego, con el fin de aproximarnos al problema de maniobrabilidad del hexacóptero, formularemos un problema de control óptimo no lineal con restricciones. Para la solución numérica del problema de control óptimo usaremos el método del descenso por gradiente. Al final del capı́tulo mostraremos la solución numérica al problema con sus restricciones.. 3.2.. Problema de Maniobrabilidad. Fı́sicamente, la trayectoria de un hexacóptero está compuesta particularmente por ˙ = f (x x(t), u (t)) tal que x (t) x(t), u (t)) y x (0) = x 0 , nosotros podemos llamar maniobra (x a la porción de trayectoria x (t). Para hexacópteros en general, las principales maniobras de interés son: Movimiento en lı́nea recta: Manteniendo el rumbo y la altura, avanzando tanto sobre el eje x como sobre el eje y. Movimiento de cambio de Altura: Manteniendo el rumbo y ascendiendo o descendiendo a un punto determinado, o sencillamente manteniendo la posición en x y/o y. El problema de maniobrabilidad para el hexacóptero se puede abordar de la siguiente x(t), u (t)) o trayectoria, que representa manera. Encontrar (si es posible ) un función de (x ˙ x(t), u (t)), tal que x (t) defina una la ley de estados del hexacóptero como x (t) = f (x maniobra especifica de interés, la cual es fijada comenzando. Adicionalmente, podemos requerir algún comportamiento óptimo para alguna variable de estado o variable de control durante la maniobra..
(47) 3.3 Una Aproximación de Control Óptimo. 3.3.. 29. Una Aproximación de Control Óptimo. En términos matemáticos, el problema de maniobrabilidad puede ser formulado para nuestro caso en concreto como se presenta a continuación: Dado un estado inicial x (0) = x 0 ∈ Ω, y un estado final deseado x T ∈ Ω, buscamos un control u (t) tal que resuelve:. (PT ) =. Minimizar u : Sujeto a: . u) = m(x x(T )) + h(u. RT 0. x(τ ), u (τ ), τ )δτ l(x. x = f (x x(t), u (t)); ẋ x (0) = x 0 ∈ Ω; x (t) ∈ Ω y u (t) ∈ K, 0 ≤ t ≤ T.. (3-1). Donde: u) es la función de coste, h(u x(τ ), u (τ ), τ ) es el coste incremental, l(x y x(T )) es el coste terminal, todas estas son funciones escalares. m(x Tı́picamente, x(T )) = m(x. 1 x(T ) − x T (t)]T P 1 [x x(T ) − x T (t)] [x 2. (3-2). y x(t), u (t), t) = l(x. 1 1 x(t) − x d (t)]T Q [x x(t) − x d (t)] + u (t)T R u (t) [x 2 2. (3-3). con P 1 , Q , R , matrices diagonales reales, y x d el estado deseado. P 1 , Q son consideradas matrices positivas semi definidas, mientras que R es considerada extrictamente positiva definida. Ajustando los valores de P 1 y Q nosotros podemos pesar la importancia relativa de la desviación de cada estado de su valor deseado en el tiempo final T y durante todo el tiempo de la maniobra, respectivamente. Para el momento en que se incrementan los elementos de la diagonal de P 1 , p1i nosotros le damos más significancia que la desviación de x i (T ) para el valor deseado, por que haciendo P1i cero indicamos que el valor final de x i no es importante para cualquier valor. De igual manera, podemos darle un peso de relativa importancia a la desviacion de las variables de estado para algun valor en particular a lo largo de toda la maniobra y el esfuerzo del control, ajustando los elementos de las diagonales de Q y R , respectivamente..
(48) 30. 3 Problema de Maniobrabilidad. 3.4.. P t) Solución Numérica del Problema (P. Hay varios métodos de optimización que pueden ser aplicados para solucionar (3-1). Debido a la complejidad de la ley de estado y el número de variables del problema, es bastante razonable usar el método del descenso del gradiente. Brevemente, el esquema de este método consiste en seguir los siguientes pasos: u). 1. Calcular el gradiente de la función de costo, 5h(u 2. Escoger un tamaño de paso pequeño para el paso tj > 0. 3. Actualizar para j ≥ 0 ∈ Z u (j+1) = u(j) − t(j) 5 h(u(j) ).. (3-4). Hasta la convergencia. El criterio de parada puede ser escogido como: u(j+1)) − h(u u(j) )| ≤ ε|h(u u(0) )|, |h(u. (3-5). con ε > 0, una tolerancia conveniente.. 3.4.1.. Cálculo del Gradiente de la Función de Costo. El paso crucial es el cómputo del gradiente 5h(u(k) ). Esto puede ser obtenido usando el método del estado adjunto que es descrito a continuación: 1. Dado el control u(j) , j ≥ 0, soluciona la ecuación de estado: ( ˙ = f (x x(t), u (j) (t)) x (t) x (0) = x (j) (t). (3-6). para obtener el estado x (j+1) (t). u(j) (t), x (j+1) (t)), resolvemos la ecuación del sistema de ecuaciones 2. Con el par (u diferenciales para el estado adjunto p (t), hacia atrás en el tiempo, x(j+1) (t), u (j) (t)) − [5xf (x x(j+1) (t), u (j) (t))]T p (t), ṗp(t) = − 5x l(x (3-7) x(j+1) (T )x xT ), p (T ) = − 5x m(x donde 5x es el gradiente con respecto a las variables de estado x . Ası́, obtenemos p (j+1) (t). 3. Finalmente, el gradiente de la función de coste puede ser encontrado como: u(j) ) = 5u l(x x(j+1) (t), u (j) (t)) + [5uf (x x(j+1) (t), u (j) (t))]T p (j+1) (t), 5h(u donde 5u es el gradiente con respecto a las variables de control u .. (3-8).
(49) 3.5 Ejemplos numéricos de la maniorabilidad del Hexacóptero. 3.4.2.. Las restricciones del problema. Como es visto en la formulación (PT ) hay lı́mites tanto en el estado como en las variables de control. En este trabajo, tratamos con estos lı́mites a seguir: Si durante el proceso de optimización, el comportamiento de variables de estado como son los ángulos de roll ψ(t) o elevación θ(t) están fuera de las fronteras realı́sticas (−45o < φ < 45o , −45o < θ < 45o , 0o < ψ < 360o ), se trata de mantener los lı́mites agregando o incrementando los parámetros q4 y q5 (de la matriz Q ), respectivamente. Lo mismo es aplicable a las variables de control (K = [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.]×[0, 1000 r.p.s.]) en cuanto a los lı́mites fı́sicos asociados a los rotores. No obstante, incluso si después del aumento de los valores de los parámetros de peso de la variable(s) de interés, estamos fuera de los lı́mites, se opta por incrementar el tiempo final, ya que la razón de tal comportamiento del algoritmo está socidado a que el sistema no es fı́sicamente capaz de ejecutar la maniobra deseada, dentro de los lı́mites establecidos. Obviamente, a nivel matemático, la forma correcta de tratar con lı́mites tanto en el estado como en las variables de control debe introducir funciones de barrera asociadas con las restricciones en la función de costo; aunque no seguimos este acercamiento porque nos beneficiamos del fı́sico del problema que hace innecesario el poner en práctica un algoritmo más sofisticado. Como es de esperarse, el hecho de incrementar los valores de q4 y q5 , normalmente repercutirá en una necesidad en la reducción del paso fijo del algoritmo, aumentando el número de iteraciones, y por ende el tiempo, para lograr la convergencia.. 3.5.. Ejemplos numéricos de la maniorabilidad del Hexacóptero. A continuación se realizan pruebas de maniobrabilidad del hexacóptero con el fin de validar el modelo matemático propuesto anteriormente y verificar que podemos encontrar los controles necesarios para describir una maniobra en particular y, en lo posible, que la maniobra termine en la posición de hover. Se realizan pruebas realizando movimientos sencillos en cada uno de los 3 ejes, x, y y z. Se busca que en las pruebas de desplazamiento sobre los ejes x y y que se realice el movimiento sin modificar la posición en el eje z y en la pruebas sobre el eje z que no se tenga variación sobre los ejes x y y, todo esto durante un tiempo definido en que se. 31.
(50) 32. 3 Problema de Maniobrabilidad evidencie estabilidad, para esta oportunidad se realizaron pruebas para un tiempo de 10 segundos. Partiendo de la formulación definida en (3-1), (3-2) y (3-3), se definen: P 1 = diag(α), Q = diag(γ), R = diag(β),. y para cada una de las pruebas mostradas a continuación, los valores para dichos valores se detallan. Ası́ mismo, el paso del algoritmo es definido como λ y se decidió dejar fijo en todas las iteraciones. Se realizaron pruebas sobre el eje Z realizando movimientos desde z0 = −10 a z0 = −5, que teniendo en cuenta que el eje Z es negativo hacia arriba será un movimiento en ascenso. Los parámetros del algoritmo se ajustaron como se muestra a continuación: γ=[ α=[ xd = [ x0 = [ xf = [. 0 0 0 0 0. 0 1 0 0 1 0 0 −5 0 0 −10 0 0 −5 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 3 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 0] 0] 0] 0] 0]. (3-9). con λ = 1 × 10−4 . Se resalta que, en este caso en particular, se decidió tanto penalizar el estado final como el estado a lo largo de todo el tiempo de la maniobra, ya que si solo se penaliza el estado final, el algoritmo no garantiza una velocidad en z de cero al final de la maniobra, lo que podrı́a implicar que el estado final no serı́a el estado de hover, que a su vez implicarı́a perder control del vehı́culo una vez terminada la maniobra. Ası́ mismo, se decidió penalizar la velocidad w durante todo el tiempo, que tiene cierta equivalencia con ż, como se observa a partir de las relaciones cinemáticas, con el fin de que la velocidad sobre el eje Z se garantice en cero lo más pronto posible. Los resultados se muestran en las Figuras 3-1 y 3-2, donde se observa que para lograr el movimiento en el eje Z no se producen desplazamientos ni lineales ni angulares en ninguna otra variable y que se logra la altura deseada luego de 6 s. Respecto a la velocidad de todos los rotores se observa una completa simetrı́a, ya que cada uno de ellos aporta la sexta parte del movimiento en z, cuando la maniobra se desarrolla exclusivamente en dicho eje..
(51) 1. 1. 0.5. 0.5. m. m. 3.5 Ejemplos numéricos(a)de la maniorabilidad del Hexacóptero. 0 -0.5. 33. 0 -0.5. -1. -1 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t (s) (c). -4. 2. 4. Grados. m -8. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. t (s) (d). 1. -6. 0.5 0 -0.5. -10. -1 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t (s) (e). 1. 2. 4. t (s) (f). 1. 0.5. Grados. Grados. (b). 0 -0.5. 0.5 0 -0.5. -1. -1 0. 2. 4. 6. t (s). 8. 10. 0. 2. 4. t (s). Figura 3-1: Movimiento en el eje Z: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ..
(52) 34. 3 Problema de Maniobrabilidad. 2. 550. 500. 500. r.p.m. r.p.m. 1. 550. 450 400. 450 400. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t(s). 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 4. 550. 550. 500. 500. r.p.m. r.p.m. 8. t(s). 3. 450 400. 450 400. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t(s). t(s). 5. 6. 550. 550. 500. 500. r.p.m. r.p.m. 6. 450 400. 450 400. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t(s). 2. 4. t(s). Figura 3-2: Velocidad de los rotores para el movimiento sobre el eje Z. Se realizaron pruebas sobre el eje Y realizando un movimiento desde y0 = 0 a yT = 1. Los parámetros del algoritmo se ajustaron como se muestra a continuación: γ=[ α=[ xd = [ x0 = [ xf = [. 0 10 10 0 0 0 5 5 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 −10 0 0 0 1 −10 0 0. 0 0 0 0 0. 0 10 10 0 0 0] 0 0 1 0 0 0] 0 0 0 0 0 0] 0 0 0 0 0 0] 0 0 0 0 0 0]. (3-10).
(53) 3.5 Ejemplos numéricos de la maniorabilidad del Hexacóptero. 35. con λ = 1 × 10−7 . Se resalta que, en este caso en particular, además de penalizar tanto el estado final como el estado a lo largo de todo el tiempo de la maniobra en la componente y, también fue necesario penalizar en z, ya que los movimientos sobre x y y no son posibles de realizar sin movimiento en z, pero este último desea ser penalizado para que sea lo mı́nimo posible. De la misma forma, no solo se penalizó la velocidad v, sino también w, de nuevo, para lograr que se alcance rápidamente el estado final y garantizar que la maniobra es finalizada en la condición de hover. Los resultados se muestran en las Figuras 3-3 y 3-4, donde se observa que para lograr el movimiento en el eje Y es necesario desplazamiento sobre el eje Z y al rededor del eje X. Respecto a la velocidad de todos los rotores se observa una simetrı́a entre las parejas de rotores 1 y 4, 2 y 3 y, 5 y 6.. (a). 1. 1. m. m. 0.5 0. 0.5. -0.5 -1. 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 2. 4. Grados. -10 -10.1 -10.2. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. t (s) (d). 1. -9.9. m. 0. t (s) (c). -9.8. 0.5 0 -0.5. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. t (s) (e). 1. 2. 4. t (s) (f). 1. 0.5. Grados. Grados. (b). 1.5. 0 -0.5. 0.5 0 -0.5. -1. -1 0. 2. 4. 6. t (s). 8. 10. 0. 2. 4. t (s). Figura 3-3: Movimiento en el eje y: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Ángulo de balanceo (roll) φ, (e) Ángulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Ángulo de viraje (yaw) ψ..
(54) 36. 3 Problema de Maniobrabilidad. 2. 700. 507.5. 600. r.p.m. r.p.m. 1. 508. 507 506.5. 500 400. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t(s). 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 4. 700. 508. 600. 507.5. r.p.m. r.p.m. 3. 500 400. 507 506.5. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 0. 2. 4. t(s). t(s) 5. 6. 600. r.p.m. 600. r.p.m. 6. t(s). 400. 200. 400. 200 0. 2. 4. 6. t(s). 8. 10. 0. 2. 4. t(s). Figura 3-4: Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje Y . Se realizaron pruebas sobre el eje X realizando un movimiento desde x0 = 0 a xT = 1. Los parámetros del algoritmo se ajustaron como se muestra a continuación: γ = [ 10 0 10 0 0 0 10 0 10 0 0 0] α=[ 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0] (3-11) x d = [ 1 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0] x 0 = [ 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0] x f = [ 1 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
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